Spline(Ingles) splines - bar, rail) - isang function na ang domain ng kahulugan ay nahahati sa isang may hangganan na bilang ng mga segment, sa bawat isa kung saan ang spline ay tumutugma sa ilang algebraic function. Ang pinakamataas na antas ng mga function na ginagamit (karaniwang polynomial) ay tinatawag na antas ng spline. Ang pagkakaiba sa pagitan ng antas ng spline at ang kinis ng balangkas nito (ang kawalan ng mga discontinuities sa mga coordinate, sa una at pangalawang derivatives) ay tinatawag na spline defect. Halimbawa, ang tuluy-tuloy na putol na linya ng mga segment ng linya ay isang spline ng degree 1 at depekto 1 (sa mga junction point ng mga spline segment, ang mga unang derivative break - nilabag ang kinis).

Ang mga spline ay may maraming mga aplikasyon, kapwa sa matematikal na teorya at sa iba't ibang mga computational na aplikasyon. Sa partikular, ang mga spline ng dalawang variable ay masinsinang ginagamit upang tukuyin ang mga ibabaw sa iba't ibang sistema ng pagmomodelo ng computer.

Gamit ang spline interpolation na ipinapakita sa Fig. 2.8, ang orihinal na function ay pinalitan ng mga segment ng cubic parabolas na dumadaan sa apat na katabing nodal point. Ang mga coefficient ng mga parabola ay kinakalkula upang ang mga coordinate, pati na rin ang una at pangalawang derivatives, ay nag-tutugma sa mga junction point ng mga spline fragment (ang spline defect ay katumbas ng zero).

Ang linya na inilalarawan ng naturang mga spline function ay kahawig sa hugis ng isang flexible ruler na naayos sa mga nodal point.

Ang pagkalkula ng isang spline ay karaniwang bumababa sa paglutas ng isang sistema ng mga linear equation.

2.4. Pagtataya

Ang isang malawakang gawain ng pagproseso at pagmomodelo ng data ay ang representasyon ng kanilang kabuuan sa pamamagitan ng ilang function f(x). Ang gawain ng approximation ay upang makuha ang mga parameter ng function na ito, upang ang function ay tinatantya ang "cloud" ng mga paunang puntos na may ang pinakamaliit na root mean square error . Ang pagtatantya ay karaniwang batay sa hindi bababa sa parisukat na paraan.

2.4.1. Polynomial approximation

Polynomial - isang pagpapahayag ng anyo: sa=a 0 +a 1 H X+a 2 h X 2 +...+a n h x n

Sa bawat isa sa n mga punto kung saan kilala ang mga halaga x i at y i, nakita namin ang kabuuan ng mga squared deviations ng kinakalkula at sinusukat na mga halaga

Upang mahanap ang pinakamahusay na approximation, kinakailangan upang mahanap ang minimum ng function na ito para sa mga variable: a tungkol sa, a 1 , a 2 , ..., a n.

Desisyon: ibahin ang pag-andar f para sa bawat isa sa mga variable na ito at i-equate ang derivative sa zero. Pagkatapos ng mga simpleng pagbabago, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga linear na equation. Sa pamamagitan ng paglutas ng sistemang ito, mahahanap ng isa ang hindi kilalang mga koepisyent ng polynomial a tungkol sa, a 1 , a 2 , ..., a n.

Coefficients para sa mga hindi alam	Libre
isang n	...	a 2	isang o	miyembro
	...
	...
...	...	....	.....	....
	...		N

Ang isang halimbawa ng polynomial data approximation ay ipinapakita sa fig. 2.10.

kanin. 2.10 Polynomial approximation

2.4.2. Linear approximation

Ang isang partikular, ngunit din ang pinakasikat na kaso ng polynomial approximation ay linear approximation. Sa isang linear approximation, ang function y(x) naglalarawan ng isang tuwid na bahagi ng linya at may anyo y(x) = a + bx (Larawan 2.11).

kanin. 2.11. Linear approximation

2.4.3. Paraan ng least squares para sa isang arbitrary na function

Function y(x) ay maaaring katawanin ng isang arbitrary differentiable function (Larawan 2.12). Sa pagsasagawa, hindi inirerekomenda na gumamit ng mga function na may mga kapangyarihan na mas mataas kaysa sa 4-6 - ang mga error sa pagpapatupad ay tumataas nang malaki.

kanin. 2.12. Approximation sa pamamagitan ng arbitrary functions

2.5. Pagpapakinis ng data

Ang data ng karamihan sa mga eksperimento ay may mga random na bahagi (maingay), kaya may pangangailangan para sa statistical data smoothing.

Kinakalkula nito ang set Z =z 1 ,z 2 ,...z n makinis na mga halaga ng function f(x,y), ibinigay ng mga hanay ng mga halaga ng argumento X =x 1 ,x 2 ,...x n at Y =y 1 ,y 2 ,...y n katumbas na halaga ng function.

Function smoothing, na ibinibigay ng isang talahanayan ng mga halaga sa hindi pantay na pagitan ng mga punto, gamit ang isang polynomial ng unang antas, na binuo ayon sa k (hindi bababa sa tatlong puntos) hanggang sa magkakasunod na puntos sa pamamagitan ng pamamaraang least squares (Fig. 2.13).

kanin. 2.13. Pagpapakinis ng data

Sa k= 3 - para sa bawat tatlong magkakasunod na puntos (x j -2 , y j-2),( x j -1 , y j -1), ( x j , y j) para sa j=3,...n isang pagkakasunud-sunod ng mga polynomial ng unang antas ay itinayo W j ( x)=m j x+b j, na nagbibigay sa mga puntong ito ng pinakamaliit na paglihis mula sa mga ibinigay sa kahulugan ng hindi bababa sa mga parisukat.

Kahulugan ng mga coefficient m j at b j polinomyal W j ( x) ginawa sa pamamagitan ng least squares method.

Mga kinakailangang smoothed value z j = W j ( x) = m j x + b j kinakalkula ng formula:

2.6. Extrapolation ng data (paghula)

Kapag nag-extrapolate mula sa isang serye ng mga ibinigay na puntos, ang isang tiyak na numero ay kinakalkula N kasunod na mga punto.

Sa fig. 2.14 ang solidong linya ay nagpapakita ng graph ng function na naglalarawan sa posisyon ng mga ibinigay na puntos, ang may tuldok na linya ay nagpapakita ng hula (extrapolation ng graph).

kanin. 2.14. Extrapolation ng data

2.7. Numerical differentiation

Geometric interpolation ng unang derivative - ito ay katumbas ng tangent ng slope ng tangent.

Kapag kinakalkula ang derivative ng isang function na ibinigay ng isang talahanayan, kailangan mong matukoy ang mga halaga ng function y kaliwa at kanang katumbas ng halaga x , kung saan gusto naming kalkulahin ang halaga ng derivative, at hatiin ang kanilang pagkakaiba sa h (sa pagsasagawa, bumababa ito sa isang tinatayang pagpapasiya ng tangent ng slope ng tangent, mas maliit h , mas tumpak ang resulta (Larawan 2.15):

kanin. 2.15. Numerical differentiation

.

Mga halaga ay matatagpuan sa pamamagitan ng interpolation.

2.8. Pagkalkula ng isang tiyak na integral

Ang geometric na interpretasyon ng isang tiyak na integral ay ang lugar ng geometric figure na nabuo ng graph ng integrand at ang x-axis sa pagitan.

Ang isang simple at kasabay na magandang paraan ay ang mga sumusunod: ang seksyon ng pagsasama ay nahahati sa ilang pantay na maliliit na agwat. Ang integral sa bawat maliit na pagitan ay tinatayang katumbas ng produkto ng haba ng pagitan at ang average na halaga ng integrand sa simula at pagtatapos nito. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na trapezoidal na pamamaraan , dahil ang resulta ay parang sa bawat maliit na pagitan ang arko ng graph ay pinalitan ng chord nito, at ang lugar sa ilalim ng arko na ito (ang halaga ng integral) ay pinalitan ng lugar ng nagresultang trapezoid na may mga vertical na base ( Larawan 2.16).

kanin. 2.16. Trapezoidal na pamamaraan

Ang kaukulang formula ay ganito ang hitsura:

kung saan para sa kaiklian ito ay denoted.

Ang isang mas mahusay na formula ay maaaring makuha kung ang curve sa isang maliit na pagitan ay pinalitan ng isang parabola, i.e. quadratic dependency graph.

Hatiin natin ang segment ng integration mula sa x = a dati x= b sa pantay na bilang ng pantay na pagitan. Mga hangganan ng pagitan: . Tukuyin ang haba ng pagitan h , kaya .

Ang formula na ito ay tinatawag na Ang formula ni Simpson . Ang mga bentahe ng formula ni Simpson kumpara sa formula ng trapezoid ay lalo na binibigkas na may pagtaas sa bilang. n paghahati ng mga pagitan. Maaari itong ipakita na sa kasong ito ang error ng trapezoid formula ay bumababa nang inversely proportionally n 2 , at ang error ng formula ng Simpson ay inversely proportional sa n 4 .

2.9. Numerical na solusyon ng mga differential equation

First order differential equation: ,

saan y ay isang hindi kilalang function mula sa x .

Karaniwang ipinapalagay na ang equation na ito ay nalulusaw na may kinalaman sa derivative, i.e. mukhang: . Upang malutas ang equation, kinakailangan upang itakda ang mga paunang kondisyon: x = x 0 at y = y 0 .

Kung ang equation ay mukhang at ang mga paunang kondisyon ay ibinigay x=x 0 at y=y 0 , pagkatapos, pinapalitan ang mga halaga x 0 at y 0 sa function , nakita namin ang halaga ng derivative sa punto x 0: .

Halaga ng function: , kung saan D x - maliit na pagtaas x .

Kaya ang halaga ng function y 1 = y(x 1) = ,

saan x 1 = x 0+D x .

Ngayon, kunin ang punto ( x 1 ,y 1) para sa orihinal, maaari kang makakuha ng isang punto sa eksaktong parehong paraan y 2 = y(x 2) = , saan x 2 = x 1+D x . Kaya, hakbang-hakbang, maaari mong sunud-sunod na kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar para sa iba't ibang x .

Ang isang halimbawa ng isang first-order differential equation ay ang pangunahing equation ng tren: , saan - tiyak na resultang puwersa, depende sa bilis.

Ang pagtatayo ng kurba ng bilis ng tren bilang isang function ng distansyang nilakbay ay batay sa graphical o analytical na pagsasama ng pangunahing equation ng paggalaw ng tren:

, nasaan ang tiyak na resultang puwersa. (isa)

Para sa graphical na pagsasama ng pangunahing equation ng paggalaw ng tren, maraming mga pamamaraan ang binuo (ang pamamaraan ng Lipets, ang paraan ng Uprein), na batay sa pagtatantya ng curve ng bilis ng mga segment ng tangents (Lipets) o mga arko (Uprein ).

Karaniwang nauugnay sa paggamit ang mga pamamaraan ng pagsasama ng analitiko Paraan ng Euler at sa batayan nito, sa ganap na alinsunod sa mga probisyon na kilala mula sa matematika, isang konklusyon ang ginawa tungkol sa katumpakan ng pagbuo ng curve .

Ang Euler broken line method ay batay sa ideya ng graphical na pagbuo ng solusyon sa isang differential equation. Ang pamamaraang ito ay sabay-sabay na nagbibigay ng paraan upang mahanap ang nais na function sa numerical (tabular) form.

Ang ideya ng pamamaraan ay na sa isang maliit na pagitan ng pagbabago ng independiyenteng variable, ang integral curve ng differential equation ay pinalitan ng isang tuwid na linya ng segment (tangent).

Mula dito , at ang proseso ay maaaring ulitin para sa pagitan, atbp. Numero h ay isang table step.

Gumaganang formula para sa pagtukoy ng mga halaga y ayon sa paraan ng Euler ay may anyo , saan

Ang geometric integral curve ay pinalitan ng isang putol na linya na tinatawag na Euler broken line (Larawan 2.17).

Ang pamamaraan ni Euler ay may mababang katumpakan, bukod dito, ang error ng bawat bagong hakbang, sa pangkalahatan, ay sistematikong tumataas. Sa kasong ito, ang pinaka-katanggap-tanggap na paraan para sa pagtatasa ng katumpakan ay ang double counting method - na may isang hakbang h at may hakbang h/ 2. Ang pagkakatulad ng mga decimal na lugar sa mga resulta na nakuha sa dalawang paraan ay nagbibigay ng natural na batayan para sa pagsasaalang-alang sa mga ito na tama. Ang error sa pamamaraan ay proporsyonal h2 . Mayroong iba't ibang mga pagpipino ng pamamaraan ng Euler na nagpapataas ng katumpakan nito upang ang pagkakamali ng pamamaraan ay maging proporsyonal sa h 3 .

kanin. 2.17. Integral curve at polygonal Euler

Sa fig. Ipinapakita ng 2.18 ang speed curve, na binuo nang buong alinsunod sa computational scheme ng Euler method.

kanin. 2.18. Ang iminungkahing pamamaraan para sa pagbuo ng isang kurba ng bilis

Sa kasong ito, ang lahat ng mga pamamaraan ng analytical at graphical na pagsasama ng pangunahing equation ng paggalaw ng tren ay batay sa pagpapatupad ng isa pang computational scheme.

Sa fig. Ipinapakita ng 2.19 ang speed curve na ginawa alinsunod sa aktwal na ipinatupad na algorithm.

kanin. 2.19. Ang aktwal na pamamaraan ng paglalagay ng kurba ng bilis

Tulad ng nakikita mo, ang pagtatayo ay nag-tutugma lamang sa unang hakbang, at sa mga susunod na hakbang, ang mga prinsipyo para sa pagbuo ng kurba ay naiiba. Ang aktwal na error sa pagtatayo sa pangalawang kaso ay hindi lamang mas mababa kaysa sa una, ngunit mayroon ding isang malinaw na pagkahilig sa karagdagang pagbaba.

Ang dahilan para sa pagkakaibang ito ay marahil ang mga sumusunod.

Kapag gumagawa ng kurba ng bilis, ang pangunahing equation ng paggalaw ng tren ay nabawasan sa anyo

o 2)

Ang equation na ito ay naiiba sa Equation 1, kung saan, sa katunayan, ang Euler method ay nilayon. Kasabay nito, ang derivative (ang tangent ng slope ng tangent sa geometric na interpretasyon) ay hindi matukoy sa simula, ngunit kinakalkula sa pamamagitan ng pagpili ng pagtaas ng nag-iisang independent variable. V . Functional dependence ng magnitude ng derivative sa landas S ay hindi kasama sa kanang bahagi ng equation 2. Ito ay isang pare-pareho na nakasalalay sa pinababang slope sa ilalim ng tren at nagbabago lamang kapag nagbago ito, na pinapanatili ang lahat ng mga katangian ng isang pare-pareho.

Ang parehong naaangkop sa pagtatayo ng speed curve sa pamamagitan ng pagsasama ng pangunahing equation ng paggalaw ng tren sa paglipas ng panahon, kapag ang track increment ay pinili din ayon sa speed increment para sa isang tiyak na agwat ng oras.

Ang pangunahing equation ng paggalaw ng tren ay maaari lamang isama sa bilis, ang tanging tunay na independiyenteng variable na kasama dito, habang ang paraan ng Euler ay ipinapalagay ang pagsasama sa landas.

Ang pagtatantya ng tunay na katumpakan ng pagbuo ng velocity curve ay kabilang sa larangan ng istatistikal na pananaliksik. Halos lahat ng paunang data ng pagkalkula ng traksyon, maliban sa data sa longitudinal profile at track plan, ay karaniwan.

Samakatuwid, ang pagtaas ng katumpakan ng pagkalkula ng traksyon ay dapat na maunawaan bilang ang paglabas ng ginamit na teknolohiya sa pag-compute mula sa sarili nitong mga pagkakamali, pagpapalagay at pagpapasimple upang matantya, kung hindi sa eksaktong, pagkatapos ay sa mathematically inaasahang resulta.

Ang modernong antas ng pag-unlad ng teknolohiya ng computer ay nag-aalis ng halos lahat ng mga paghihigpit upang mapabuti ang katumpakan ng pagkalkula ng traksyon sa ganitong kahulugan.

Ang katumpakan ng pagbuo ng velocity curve ay makabuluhang nakadepende sa integration step - walang mga hadlang sa pagbabawas ng hakbang ngayon.

Ang katumpakan ng konstruksiyon ay maaaring tumaas sa pamamagitan ng pagpapatupad ng mga algorithm na may mga pagbabalik, kapag, pagkatapos kalkulahin ang pagtaas ng bilis sa kahabaan ng tangent, na binuo sa simula ng agwat, ang pagtaas sa kahabaan ng tangent sa gitnang bahagi nito ay muling kinalkula sa mga pag-uulit hanggang sa ang numerical na solusyon ay nagpapatatag.

Ang limitasyon ng pagtaas ng katumpakan ay marahil ang pagpapatupad ng algorithm na may mga pagbabalik kapag muling kinakalkula ang pagtaas ng bilis hindi sa mga tuntunin ng halaga ng resulta sa isang average na bilis , at ayon sa ibig sabihin ng tanda ng resultang , nasaan ang mga inisyal at panghuling bilis sa pagitan.

Ang lahat ng mga algorithm na ito ay madaling ipinatupad sa mga modernong kondisyon.

Mula sa punto ng view ng organisasyon ng proseso ng computational, ang pinaka-kaakit-akit na pagpipilian ay ang pagtaas ng oras bilang hakbang sa pagsasama. Sa kasong ito, mula sa punto ng view ng katumpakan at bilis ng algorithm, ang pagtaas ng bilis at, nang naaayon, ang landas sa bawat hakbang sa pagkalkula ay awtomatikong na-optimize.

Sa mababang bilis, ang mga pagtaas ng landas ay maliit din, na nagbibigay ng mataas na katumpakan ng konstruksiyon. Habang tumataas ang bilis ng tren, tumataas ang mga pagtaas ng riles, tumataas ang bilis ng konstruksyon. Sa kasong ito, ang mga pagtaas ng bilis ay maliit at nagsisimulang bumaba habang papalapit sila sa tuluy-tuloy na bilis, kaya inaalis ang problema ng sapilitang pagbabago sa hakbang ng pagsasama sa iba't ibang bilis ng tren.

Sa fig. Ipinapakita ng 2.20 ang mga graph ng mga increment ng path at bilis na nakuha sa pamamagitan ng pagbuo ng curve sa pamamagitan ng analytically integration ng basic equation ng paggalaw ng tren sa oras (min) sa site kasama ang tren na bumibilis sa steady speed.

Ito ang pamamaraang ito na ipinatupad sa kilalang programa ng mga kalkulasyon ng traksyon na "ERA-TEP" - ang karaniwang programa ng JSC Russian Railways (V.A. Anisimov, Far East State University of Transportation).

kanin. 2.20. Velocity curve (a) at mga plot ng increments ng path at velocity bilang function ng distansyang nilakbay (b)

2.10. Pagmomodelo ng lupain

Ang huling resulta ng engineering-geodetic at engineering-geological survey ay kasalukuyang modelo ng digital terrain .

Ang digital terrain model (DTM) ay isang set na ang mga elemento ay topographic at geodetic na impormasyon tungkol sa terrain. Kabilang dito ang:

Impormasyong panukat - geodetic spatial coordinates ng mga katangiang punto ng kaluwagan at sitwasyon;

Syntactic na impormasyon upang ilarawan ang mga koneksyon sa pagitan ng mga punto - ang mga hangganan ng mga gusali, kagubatan, mga lupang taniman, mga reservoir, mga kalsada, mga linya ng watershed at spillway, mga direksyon ng mga slope sa pagitan ng mga katangian ng mga punto sa mga slope, atbp.;

Semantikong impormasyon na nagpapakilala sa mga katangian ng mga bagay - mga teknikal na parameter ng mga istruktura ng engineering, mga geological na katangian ng mga lupa, data sa mga puno sa kagubatan, atbp.;

Impormasyon sa istruktura na naglalarawan ng kaugnayan sa pagitan ng iba't ibang mga bagay - ang kaugnayan ng mga bagay sa anumang hanay: magkahiwalay na mga punto ng linya ng tren, mga gusali at istruktura ng pamayanan, mga gusali at istruktura ng kaukulang mga industriya, atbp.;

Pangkalahatang impormasyon - ang pangalan ng site, ang sistema ng mga coordinate at taas, nomenclature.

Ang Topographic DTM ay nagpapakilala sa sitwasyon at terrain. Binubuo ito ng digital terrain model (DTM) at digital terrain contour (situation) model (DTM). Bilang karagdagan, ang DTM ay maaaring dagdagan ng isang espesyal na modelo ng engineering (CMI).

Sa pagsasanay sa engineering, kadalasang ginagamit ang kumbinasyon ng mga digital na modelo na nagpapakilala sa sitwasyon, relief, hydrological, engineering-geological, teknikal, pang-ekonomiya at iba pang mga indicator. Ang isang digital terrain model na naitala sa isang machine medium, sa ilang partikular na istruktura at code, ay isang electronic na mapa (Larawan 2.21).

kanin. 2.21. Electronic na mapa batay sa DSM na nakuha mula sa laser scanning data

Kapag nilulutas ang mga problema sa engineering at geodetic sa isang computer, ginagamit ang isang matematikal na interpretasyon ng mga digital na modelo. tawag nila sa kanya modelo ng mathematical terrain (MMM).

Binabawasan ng computer-aided na disenyo batay sa DMM at MMM ang mga gastos sa paggawa at oras ng sampung beses kumpara sa paggamit ng mga papel na topographic na mapa at mga plano para sa mga layuning ito.

Ang paunang data para sa paglikha ng mga modelo ng digital terrain ay ang mga resulta ng isang topographic survey, data sa heolohiya at hydrography ng lugar.

Modelo ng digital elevation terrain (DTM) ay isang hanay ng mga survey point coordinates X ,Y ,H .

Modelo ng tulong sa matematika(DRM) ay pinagsasama-sama ang isang digital elevation model at mga pamamaraan para sa pagtatantya ng mga punto ng survey at interpolating sa ibabaw ng lupa sa pagitan ng mga ito.

Mayroong isang malaking bilang ng mga uri ng DTM at MTM, na ang bawat isa ay naiiba sa paraan ng pagtatantya ng relief na namodelo ng network ng mga punto ng survey at ang mga patakaran para sa pagtatantya ng mga punto ng survey at interpolation - ang pagkakasunud-sunod ng pagkalkula ng elevation H punto na ibinigay ng mga coordinate X,Y sa pangkalahatang kaso, iyon ay, kapag ang ibinigay na punto ay hindi nag-tutugma sa alinman sa mga punto ng survey.

Posible ang linear at spline interpolation ng mga elevation.

Gamit ang isang digital elevation model, posibleng makakuha ng longitudinal profile ng earth sa anumang itinalagang direksyon (Fig. 2.22).

kanin. 2.22. Digital elevation model at longitudinal profile ng earth sa isang partikular na direksyon

Ang pinakakaraniwan ay ang triangulation terrain model ( TIN ) na may linear na interpolation ng mga elevation.

Ang kakanyahan ng modelo TIN sa pangalan nito - "Irregular triangular network" (sa orihinal na Ingles - Triangulated Irregular Network ). Sa spatial expression nito, ito ay isang network ng mga triangles na may mga marka ng taas sa mga node, na nagpapahintulot sa amin na kumatawan sa simulate na ibabaw bilang isang multifaceted (Fig. 2.23).

kanin. 2.23. Halimbawa ng triangulation

Ang gawain ng pagbuo ng isang modelo ng triangulation ay unang ipinakita noong 1934 sa gawain ng Soviet mathematician na si B.N. Delaunay.

Upang maunawaan ang paraan ng triangulation ng Delaunay, kailangang ipakilala ang ilang mga kahulugan.

Kahulugan 1. Ang planar graph ay tinatawag na triangulation, na ang lahat ng mga panloob na rehiyon ay mga tatsulok (Larawan 2.23).

Depinisyon 2. Ang problema sa pagbuo ng isang triangulation mula sa isang ibinigay na hanay ng mga dalawang-dimensional na mga punto ay ang problema ng pagkonekta ng mga ibinigay na mga punto sa pamamagitan ng mga di-nagsasalubong na mga segment upang ang isang sistema ng hindi nagsasalubong na mga tatsulok ay nabuo. Ang gawain ng pagbuo ng isang triangulation batay sa paunang hanay ng mga puntos ay hindi maliwanag, i.e. ay maraming solusyon.

Depinisyon 3. Ang triangulation ay tinatawag na pinakamainam kung ang kabuuan ng mga haba ng lahat ng mga gilid ay minimal sa lahat ng posibleng triangulation na binuo sa parehong mga panimulang punto (sa kasong ito, wala sa mga ibinigay na triangulation point ang nahuhulog sa loob ng bilog na inilarawan sa paligid ng anumang itinayong tatsulok) ( Larawan 2.24).

kanin. 2.24. Delaunay triangulation

Sinusuportahan ng lahat ng kasalukuyang kilalang computer-aided design (CAD) system ang paggawa ng function TIN .

2.11. Simulation ng isang longitudinal profile at plano sa panahon ng muling pagtatayo ng mga riles

Sa panahon ng operasyon, sa ilalim ng impluwensya ng gumagalaw na mga tren at natural na phenomena, ang axis ng riles ng tren ay nawawala ang tamang geometric na hugis nito sa mga tuntunin ng plano at longitudinal profile, na humahantong sa isang pagkasira sa dinamika ng trapiko ng tren, isang pagtaas sa pagkasira. ng track at rolling stock. Pana-panahon, sa proseso ng pag-aayos at muling pagtatayo ng kalsada, ang plano at ang longitudinal na profile ay dinadala sa tamang geometric na hugis, na nangangailangan ng paggawa ng naaangkop na mga kalkulasyon at pagmomodelo ng paunang data.

Sa muling pagtatayo ng mga riles, ang paunang data para sa mga kalkulasyon ay ang mga resulta ng pag-survey sa umiiral na track sa plan at longitudinal na profile.

Ginagawang posible ng digital na modelo ng longitudinal profile (Larawan 2.25) na gumamit ng optimization at interactive na mga pamamaraan ng disenyo, upang makakuha ng mga marka ng ulo ng tren sa pagitan ng mga punto ng survey. Ang abscissa ay palaging kinuha bilang axis ng landas.

kanin. 2.25. Simulation ng longitudinal profile ng mga riles

Ang mga marka ng disenyo ng longitudinal profile ay kinakalkula na isinasaalang-alang ang pagkakaroon ng mga vertical curve na nakaayos sa mga break ng linya ng disenyo kapag ang pagkakaiba sa mga slope ng mga elemento ng isinangkot ay umabot sa isang tiyak na halaga, mas tiyak, kung ang pagwawasto mula sa vertical curve ay lumampas. 0.01 m at ang algebraic na pagkakaiba sa mga slope , saan R V- radius ng vertical curve (Larawan 2.26).

kanin. 2.26. Vertical curve, scheme ng pagkalkula

Sa pangkalahatan, ang marka ng disenyo ay tinutukoy ng sumusunod na algorithm:

Marka ng bali ng profile;

- libis j -ika elemento ng profile;

- pagkakaiba ng slope, ‰;

kung , kung gayon ang pagwawasto ay hindi ipinakilala, kung hindi man

- markahan ang punto ng disenyo nang hindi isinasaalang-alang ang vertical curve;

padaplis ng vertical curve;

kung ang pagwawasto ay hindi ipinasok - ang punto ay nasa labas ng vertical curve), kung hindi man

- pagwawasto mula sa vertical curve;

kung hindi man

Ang pagsasagawa ng naturang pagkalkula sa awtomatikong mode ay ipinapalagay ang pagkakaroon ng isang digital na modelo ng longitudinal profile. Kapag kinakalkula ang "manu-mano", ang gayong modelo (skema ng pagkalkula) ay tahasan ding nilikha.

Pagmomodelo ng Plano ay nagbibigay-daan sa iyo upang kalkulahin ang mga parameter ng mga elemento nito - tuwid, pabilog at mga curve ng paglipat.

Ang modelo ng plano ng kasalukuyang track sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate (Larawan 2.27) ay ipinapalagay ang paggamit ng isang katulad na modelo ng coordinate ng plano ng landas ng proyekto (Larawan 2.28). Ang pagtatrabaho sa gayong mga modelo ay "manu-mano" ay napakatagal na ang pamamaraang ito ay hindi ginamit bago ang pagdating ng mga computer.

kanin. 2.27. Kasalukuyang modelo ng coordinate ng plano ng track

kanin. 2.28. Modelo ng Coordinate ng Plano ng Landas ng Proyekto

Para sa mga kalkulasyon (massive at labor-intensive), ang mga modelo ng plano (umiiral at project track) ay ginamit sa isang curvilinear coordinate system, kung saan ang axis ng kasalukuyang track ay kinuha bilang abscissa axis.

Dalawang uri ng mga modelo ang ginamit - ang angular diagram at ang curvature (arrow) plot.

Ang paggamit ng mga modelong ito (sa halaga ng ilang mga pagpapalagay at pagpapagaan) ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang mga parameter ng mga elemento ng plano "manu-mano", gamit, bukod sa iba pang mga bagay, simple at maginhawang graphic-analytical na mga pamamaraan.

Sa angular diagram (Larawan 2.29), ang mga anggulo ng pag-ikot ng curve ay naka-plot kasama ang y-axis.

Sa mga tuwid na linya, ang anggulo ay pare-pareho,

Sa mga pabilog na kurba - nagbabago nang linear,

Sa mga curve ng paglipat - ang pagbabago sa anggulo ng pag-ikot na may ilang mga pagpapalagay ay maaaring inilarawan ng isang parisukat na parabola.

kanin. 2.29. diagram ng anggulo

Upang bigyan ang axis ng landas ng tamang geometric na hugis, kinakailangan na magsagawa ng mga shift (pagtuwid) ng axis nito sa pamamagitan ng isang tiyak na halaga na tinutukoy ng pagkalkula.

Kapag gumagamit ng mga angle chart, ang dami ng shift ay:

, saan U g , U v – mga anggulo ng pag-ikot ng disenyo at umiiral na track axis bilang isang function ng distansya mula sa pagsisimula ng survey (angular diagram), S - distansya mula sa simula ng survey hanggang sa kinakalkulang punto.

Ang graphical na interpretasyon ng integral ay ang lugar. Kaya, - ang pagkakaiba sa pagitan ng mga lugar ng disenyo at umiiral na angular diagram.

Sa curve ng curvature (arrow) (Fig. 2.30), ang curvature ng path (baluktot na arrow) ay naka-plot kasama ang y-axis. Ang curvature ay ang kapalit ng radius. Arrow (Larawan 2.31), f - distansya mula sa axis ng landas sa isang chord ng isang tiyak na haba a , (karaniwan ay 20 m). Ang curvature graph ay naiiba sa isang arrow graph dahil ang curvature ay tinukoy sa isang punto, habang ang isang arrow ay tinukoy sa isang chord. Lumilitaw lamang ang mga pagkakaiba sa mga transition zone mula sa isang tuwid na linya patungo sa isang transition curve at mula sa isang transition curve patungo sa isang circular curve.

kanin. 2.30. Curvature graph (mga arrow)

kanin. 3.31. Pagsukat ng mga baluktot na arrow

Kung ang arrow ay sinusukat sa millimeters, pagkatapos ay sa a = 20 m: .

Para sa isang path ng disenyo na umaangkop sa tamang geometric na posisyon:

Sa mga tuwid na linya - ang kurbada (arrow) ay katumbas ng zero,

Sa mga pabilog na kurba - ang kurbada (arrow) ay pare-pareho,

Sa mga curve ng paglipat - ang curvature (arrow) ay nagbabago nang linear.

Paglipat , kung saan: Kg , K v ay ang curvature ng axis ng landas sa disenyo at mga kasalukuyang posisyon bilang isang function ng distansya mula sa simula ng lugar ng survey, s ; S - ang distansya mula sa simula ng seksyon hanggang sa kinakalkula na punto.

Ang dobleng integral ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagsusuma ng mga lugar ng curvature graph (mga arrow) nang dalawang beses.

3. MATHEMATICAL METHODS

3.1. Pagpapatupad ng numerical model sa isang computer

Ang paghahanap ng anuman, lalo na ang pinakamainam, na solusyon sa disenyo ay hindi maaaring hindi nangangailangan ng iba't ibang diskarte.

Ang paggamit ng mga pamamaraan sa matematika ay nagpapahintulot sa amin na bawasan ang bilang ng mga inihambing na opsyon sa kinakailangan at sapat na minimum, gayunpaman, ito ay palaging malaki, at tanging ang paggamit ng teknolohiya ng computer ang nagpapahintulot sa amin na malutas ang problema sa isang katanggap-tanggap na oras.

Ang kadahilanan ng gastos ng oras ng computer ay may tiyak na kahalagahan kapag pumipili ng isang paraan para sa paglutas ng isang partikular na inilapat na problema. "Maaaring magsalita ang isa ng isang epektibong paraan ng solusyon kung talagang malulutas nito ang mga problema ng ganitong uri sa mga totoong computer sa totoong oras ng computer" .

Alinsunod dito, ang mismong konsepto ng isang pamamaraan sa computational mathematics ay naiiba sa tradisyonal, iyon ay, mula sa representasyon nito bilang isang pagkakasunud-sunod ng mga tagubilin, ang pagpapatupad nito ay hindi maiiwasang humahantong sa nais na resulta sa isang tiyak na bilang ng mga hakbang.

Karaniwan hindi nila pinag-uusapan ang tungkol sa isang pamamaraan, ngunit tungkol sa isang pangkalahatang diskarte sa paglutas ng isang tiyak na problema, na maaaring ipatupad sa loob ng balangkas ng iba't ibang mga computational scheme (numerical na inilapat na mga pamamaraan), kung saan mayroong isang pinakamainam, at ang pinakamainam na ito ay palaging naiintindihan sa kahulugan ng isang minimum na oras ng computer na ginugol sa pagkalkula ( ceteris paribus).

Sa pagsasalita ng isang "tiyak na problema sa disenyo", kinakailangan na mahigpit na tukuyin ang mga pormal na katangian nito na may kaugnayan sa, halimbawa, ang pagpili ng mga kinokontrol na variable, ang layunin ng pag-andar ng gawain, ang sistema ng mga paghihigpit na ipinataw sa mga kinokontrol na variable.

Ang numerical na paraan ay hindi pa programmable algorithm (na binubuo ng hiwalay na mga operasyon na nagpapatuloy sa isang solong halaga na pagkakasunud-sunod), ay may tiyak na simula, pati na rin ang isang wakas na maaabot pagkatapos ng isang tiyak na bilang ng mga hakbang, at samakatuwid, sa prinsipyo, ay maaaring maisakatuparan ng isang makina.

Pamantayan sa Pagpili ng Pamamaraan. Upang malutas ang problema, mayroong, bilang isang patakaran, isang bilang ng mga pamamaraan (mga diskarte). Ang pagpili ng isang tiyak na paraan para sa numerical na solusyon ng isang problema at ang huling pagbabago nito sa isang programmable algorithm ay palaging isang pagtatangka sa pag-optimize, at ang mga paunang probisyon at karagdagang mga kinakailangan ay nagsisilbing karagdagang mga kondisyon, ang pinakamahalaga sa mga ito ay ang mga sumusunod:

Mga panimulang posisyon:

Pahayag ng problema at mga pagpapalagay tungkol sa isang makatwirang diskarte sa solusyon nito;

Karagdagang impormasyon tungkol sa source data (numerical area, uri ng numerical material, atbp.);

Mga katangian ng teknolohiya ng computer (bilis, memorya, atbp.);

Ang representasyon ng data, katumpakan, pag-ikot, atbp.

Mga kinakailangan:

Mga espesyal na kinakailangan para sa data ng output (halimbawa, mga kinakailangan para sa katumpakan, output ng mga intermediate na resulta, output ng mga graphics, kabilang ang mga interactive, atbp.);

Ang antas ng pagiging pangkalahatan (kung ang isang gawain ay dapat lutasin, o kinakailangan ang unibersal na software na may paggalang sa isang wastong set ng data);

Pagbawas ng gastos (oras ng pagkalkula).

Ang mga kundisyong ito ay bahagyang magkakapatong sa isa't isa (salungat) at samakatuwid, kapag sinusubukang bigyang-kasiyahan ang mga ito, sinusubukan nilang makamit ang isang tiyak na pinakamabuting kalagayan. Upang gawin ito, gumamit ng ilang panuntunan na tinutukoy ng sentido komun at nakaraang karanasan sa pag-compute.

Ang batayan sa pagpili ng paraan ay direktang aplikasyon prinsipyo : kailangan mong pumili, kung maaari, isang paraan na eksaktong malulutas ang gawain, at hindi humahantong sa isang solusyon sa pamamagitan ng ilang mga subtasks. Ang mga "mathematically eleganteng" na solusyon ay kadalasang hindi nakikita sa mga tuntunin ng pagpapalaganap ng error at katatagan, hindi pabor sa numero.

Ang pinakamahalagang dahilan para sa labis na akumulasyon ng mga error ay ang madalas na paggamit ng mga pagkakaiba (humahantong sa pagkawala ng mga makabuluhang numero) at paghahati sa mga numero ng hindi kilalang pagkakasunud-sunod (humahantong sa pag-apaw ng bit grid) - dapat itong iwasan ng tamang organisasyon ng programa.

3.2. target na function. Mga paghihigpit

Ang mga pagpapasya ay kailangang gawin palagi sa lahat ng mga lugar ng aktibidad. Sa mga kasong iyon kung saan maaaring gawing pormal ang sitwasyon kung saan sila tinanggap, maaaring maging lubhang kapaki-pakinabang ang paggamit ng mathematical apparatus.

Ang mga kurba at mga ibabaw na nakatagpo sa mga praktikal na problema ay kadalasang may medyo kumplikadong hugis, na hindi pinapayagan ang isang unibersal na pagtutukoy ng analytical sa kabuuan sa tulong ng mga pag-andar ng elementarya. Samakatuwid, ang mga ito ay binuo mula sa medyo simpleng makinis na mga fragment - mga segment (curve) o mga hiwa (ibabaw), ang bawat isa ay maaaring lubos na kasiya-siyang inilarawan gamit ang elementarya na pag-andar ng isa o dalawang variable. Kasabay nito, medyo natural na humiling na ang mga makinis na function na ginagamit sa pagbuo ng mga partial curve o surface ay may katulad na katangian, halimbawa, ay mga polynomial na may parehong antas. At upang ang resultang curve o ibabaw ay maging sapat na makinis, kinakailangan na maging maingat lalo na sa mga junction ng kaukulang mga fragment. Ang antas ng polynomials ay pinili mula sa mga simpleng geometric na pagsasaalang-alang at, bilang isang panuntunan, ay maliit. Para sa isang maayos na pagbabago ng tangent kasama ang buong compound curve, ito ay sapat na upang ilarawan ang mga pinagsamang curve gamit ang polynomials ng ikatlong degree, cubic polynomials. Ang mga coefficient ng naturang polynomial ay maaaring palaging piliin upang ang curvature ng kaukulang composite curve ay tuluy-tuloy. Ang mga kubiko spline na lumitaw sa paglutas ng mga one-dimensional na problema ay maaaring iakma sa paghubog ng mga fragment ng pinagsama-samang mga ibabaw. At dito, medyo natural, may lumilitaw na mga bicubic spline, na inilarawan ng mga polynomial ng ikatlong antas sa bawat isa sa dalawang variable. Ang pagtatrabaho sa gayong mga spline ay nangangailangan ng higit pang mga kalkulasyon. Ngunit ang isang maayos na organisadong proseso ay magbibigay-daan sa pagsasaalang-alang sa patuloy na lumalagong mga kakayahan ng teknolohiya ng computer sa pinakamataas na lawak. Spline functions Let on the segment , iyon ay, Remark. Ang index (t) ng mga numerong a^ ay nagpapahiwatig na. na ang hanay ng mga coefficient kung saan ang function na S(x) ay tinutukoy sa bawat bahagyang segment D ay sarili nitong. Sa bawat isa sa mga segment D1, ang spline 5(x) ay isang polynomial ng degree p at tinutukoy sa segment na ito ng p + 1 coefficient. Kabuuang bahagyang mga segment - pagkatapos. Kaya, upang ganap na matukoy ang spline, kinakailangan upang mahanap ang (p + 1) pagkatapos ay ang mga numero. Kondisyon) ay nangangahulugan ng pagpapatuloy ng function na S(x) at ang mga derivatives nito sa lahat ng panloob na grid node w. Ang bilang ng naturang mga node ay m - 1. Kaya, upang mahanap ang mga coefficient ng lahat ng polynomial, p(m - 1) na mga kondisyon (equation) ay nakuha. Para sa kumpletong kahulugan ng spline, walang sapat (mga kundisyon (mga equation). Ang pagpili ng mga karagdagang kundisyon ay tinutukoy ng likas na katangian ng problemang isinasaalang-alang, at kung minsan sa pamamagitan lamang ng pagnanais ng gumagamit. TEORYANG SPLINE Mga halimbawa ng mga solusyon Kadalasan, ang mga problema sa interpolation at smoothing ay isinasaalang-alang, kapag kinakailangan na bumuo ng isa o isa pang spline mula sa isang naibigay na hanay ng mga punto sa isang eroplano. Sa mga problema sa interpolation, kinakailangan na ang spline graph ay dumaan sa mga puntos, na nagpapataw ng m + 1 karagdagang kundisyon (equation) sa mga coefficient nito. Ang natitirang mga kondisyon ng p - 1 (mga equation) para sa natatanging pagtatayo ng isang spline ay madalas na itinakda sa anyo ng mga halaga ng mas mababang mga derivatives ng spline sa mga dulo ng segment na isinasaalang-alang [a, 6] - hangganan ( hangganan) kundisyon. Ang kakayahang pumili ng iba't ibang kundisyon ng hangganan ay nagbibigay-daan sa iyo na bumuo ng mga spline na may iba't ibang katangian. Sa mga problema sa pagpapakinis, ang isang spline ay binuo upang ang graph nito ay pumasa malapit sa mga punto (i "" Y "), * = 0, 1, ..., m, at hindi sa pamamagitan ng mga ito. Ang sukat ng lapit na ito ay maaaring tukuyin sa iba't ibang paraan, na humahantong sa isang makabuluhang pagkakaiba-iba ng mga smoothing spline. Ang mga inilarawang opsyon para sa pagpili kapag gumagawa ng mga function ng spline ay malayo sa pagkaubos ng kanilang pagkakaiba-iba. At kung sa una ay isasaalang-alang lamang ang mga function ng polynomial spline, pagkatapos ay habang lumalawak ang saklaw ng kanilang mga aplikasyon, nagsimulang lumitaw ang mga spline, na "nakadikit" mula sa iba pang mga elementarya na function din. Interpolation cubic splines Statement of the interpolation problem Hayaang ibigay ang grid w sa pagitan [a, 6) Isaalang-alang ang isang set ng mga numero Problema. Bumuo ng isang function na makinis sa segment (a, 6] at kumukuha ng mga ibinigay na halaga sa mga node ng grid o, ibig sabihin, "Sa pamamagitan ng pagpapataw ng mga karagdagang kundisyon sa function na itinatayo, makakamit ng isa ang kinakailangang uniqueness. Sa mga application, kadalasang nagiging kinakailangan upang tantiyahin ang isang function na ibinigay nang analytically sa pamamagitan ng isang function na may inireseta na sapat na mahusay na mga katangian. Halimbawa, sa mga kaso kung saan ang pagkalkula ng mga halaga ng isang ibinigay na function f(x) sa mga puntos na segment [a, 6] ay nauugnay sa mga makabuluhang kahirapan at/o ang ibinigay na pag-andar /(x) ay walang kinakailangang kinis, ito ay maginhawang gumamit ng isa pang function na magtatantiya sa ibinigay na pag-andar nang sapat at walang mga pagkukulang nito. [a, 6] isang maayos na function na a(x) na tumutugma sa mga grid node w sa ibinigay na function /(X). Kahulugan ng interpolating cubic spline Ang interpolating cubic spline S(x) sa isang mesh w ay isang function na 1) sa bawat isa sa mga segment ay polynomial ng ikatlong degree, 2) ay dalawang beses na patuloy na naiba sa segment [a, b ], ibig sabihin, kabilang sa klase C2[a, 6], at 3) ay nakakatugon sa mga kundisyon Sa bawat isa sa mga segment, ang spline S(x) ay isang polynomial ng degree na tatlo at tinutukoy sa segment na ito ng apat na coefficient. Ang kabuuang bilang ng mga segment ay m. Nangangahulugan ito na upang ganap na matukoy ang spline, kinakailangan upang makahanap ng 4m na mga numero. Ang kondisyon ay nangangahulugan ng pagpapatuloy ng function na S (x) at ang mga derivatives nito na S "(x) at 5" (x) sa lahat ng panloob na grid node w. Ang bilang ng naturang mga node ay m - 1. Kaya, upang mahanap ang mga coefficient ng lahat ng polynomials, 3 (m - 1) higit pang mga kondisyon (equation) ang nakuha. Kasama ng mga kondisyon (2), ang mga kundisyon (equation) ay nakuha. Mga kundisyon ng hangganan (hangganan) Dalawang nawawalang kundisyon ang tinukoy bilang mga paghihigpit sa mga halaga ng spline at/o mga derivatives nito sa mga dulo ng pagitan [a, 6]. Kapag gumagawa ng interpolating cubic spline, ang mga kundisyon ng hangganan ng sumusunod na apat na uri ay kadalasang ginagamit. A. Mga kundisyon sa hangganan ng 1st type. - sa dulo ng agwat [a, b], ibinibigay ang mga halaga ng unang derivative ng nais na function. B. Mga kondisyon sa hangganan ng ika-2 uri. - sa dulo ng pagitan (a, 6) ang mga halaga ng pangalawang derivative ng nais na function ay nakatakda. B. Mga kondisyon sa hangganan ng ika-3 uri. ay tinatawag na periodic. Natural na kailanganin ang katuparan ng mga kundisyong ito sa mga kaso kung saan ang interpolated function ay panaka-nakang may period T = b-a. D. Mga kondisyon ng hangganan ng ika-4 na uri. nangangailangan ng espesyal na komento. Magkomento. Sa mga panloob na sepsi node, ang pangatlong derivative ng function na S(x), sa pangkalahatan, ay hindi nagpapatuloy. Gayunpaman, ang bilang ng mga discontinuities ng ikatlong derivative ay maaaring bawasan sa pamamagitan ng paggamit ng mga kondisyon ng ika-4 na uri. Sa kasong ito, ang nabuong spline ay tuluy-tuloy na naiba-iba nang tatlong beses sa pagitan.Pagbuo ng isang interpolating cubic spline Ilarawan natin ang isang paraan para sa pagkalkula ng mga coefficient ng isang cubic spline, kung saan ang bilang ng mga dami na tutukuyin ay pantay. Sa bawat isa sa mga pagitan, ang interpolation spline function ay hinahanap sa sumusunod na anyo Para sa mga kundisyon sa hangganan ng ika-1 at ika-2 uri, ang sistemang ito ay may sumusunod na anyo kung saan ang mga Coefficient ay nakasalalay sa pagpili ng mga kundisyon sa hangganan. Mga kundisyon sa hangganan ng ika-1 uri: Mga kundisyon sa hangganan ng ika-2 uri: Sa kaso ng mga kundisyon ng hangganan ng ika-3 uri, ang sistema para sa pagtukoy ng mga numero ay nakasulat bilang mga sumusunod. Para sa mga kondisyon ng hangganan ng ika-4 na uri, ang sistema para sa pagtukoy ng mga numero ay may anyo Ang mga matrice ng lahat ng tatlong linear algebraic system ay mga matrice na may dayagonal na dominasyon. Ang mga matrice na ito ay hindi degenerate, at samakatuwid ang bawat isa sa mga sistemang ito ay may natatanging solusyon. Teorama. Ang isang interpolation cubic spline na nakakatugon sa mga kundisyon (2) at isang hangganan na kundisyon ng isa sa nakalistang apat na uri ay umiiral at natatangi. Kaya, ang pagbuo ng interpolating cubic spline ay nangangahulugan ng paghahanap ng mga coefficient nito. Kapag ang mga coefficient ng spline ay natagpuan, ang halaga ng spline S(x) sa isang arbitrary point ng segment [a, b] ay matatagpuan gamit ang formula ( 3). Gayunpaman, para sa mga praktikal na kalkulasyon, ang sumusunod na algorithm para sa paghahanap ng dami S(x) ay mas angkop. Hayaan ang x 6 [x", Una, ang mga halaga A at B ay kinakalkula ayon sa mga formula at pagkatapos ay ang halaga 5(x) ay matatagpuan: Ang paggamit ng algorithm na ito ay makabuluhang binabawasan ang mga gastos sa computational para sa pagtukoy ng halaga Payo sa user Ang pagpili ng mga kundisyon ng hangganan (hangganan) at mga interpolation node ay nagbibigay-daan sa isang tiyak na lawak na kontrolin ang mga katangian ng mga interpolation spline. A. Pagpili ng mga kundisyon ng hangganan (boundary). Ang pagpili ng mga kundisyon ng hangganan ay isa sa mga pangunahing problema sa interpolation ng mga function. Nakakakuha ito ng espesyal na kahalagahan sa kaso kung kailan kinakailangan upang matiyak ang mataas na katumpakan ng approximation ng function f(x) sa pamamagitan ng spline 5(g) malapit sa mga dulo ng segment [a, 6]. Ang mga halaga ng hangganan ay may kapansin-pansing epekto sa pag-uugali ng spline 5(g) malapit sa mga puntong a at b, at ang epektong ito ay mabilis na humihina habang lumalayo tayo sa kanila. Ang pagpili ng mga kundisyon sa hangganan ay madalas na tinutukoy ng pagkakaroon ng karagdagang impormasyon tungkol sa pag-uugali ng function na f(x) na tinatantya. Kung ang mga halaga ng unang hinalaw na f "(x) ay kilala sa mga dulo ng segment (a, 6), natural na gamitin ang mga kundisyon ng hangganan ng unang uri. Kung ang mga halaga ng pangalawa derivative f "(x) ay kilala sa mga dulo ng segment [a, 6], pagkatapos ito ay natural na paggamit ng mga kondisyon ng hangganan ng ika-2 uri. Kung posible na pumili sa pagitan ng mga kundisyon ng hangganan ng 1st at 2nd na uri, kung gayon ang kagustuhan ay dapat ibigay sa mga kondisyon ng 1st type. Kung ang f(x) ay isang pana-panahong pag-andar, dapat tayong huminto sa mga kundisyon ng hangganan ng ika-3 uri. Kung walang karagdagang impormasyon tungkol sa pag-uugali ng function na tinatantya, ang tinatawag na natural na mga kondisyon ng hangganan ay madalas na ginagamit. Gayunpaman, dapat itong tandaan na sa gayong pagpili ng mga kundisyon ng hangganan, ang katumpakan ng pagtatantya ng function f (x) sa pamamagitan ng spline S (x) malapit sa mga dulo ng segment (a, ft] ay bumababa nang husto. Minsan, ginagamit ang mga kundisyon ng hangganan ng 1st o 2nd type, ngunit hindi sa eksaktong mga halaga ng mga kaukulang derivatives, ngunit sa kanilang mga pagtatantya ng pagkakaiba. Ang katumpakan ng diskarteng ito ay mababa. Ang praktikal na karanasan ng mga kalkulasyon ay nagpapakita na sa sitwasyong isinasaalang-alang, ang pinakaangkop na pagpipilian ay ang mga kondisyon ng hangganan ng ika-4 na uri. B. Pagpili ng mga interpolation node. Kung ang pangatlong derivative f""(x) ng function ay dumaranas ng discontinuity sa ilang mga punto ng segment [a, b], pagkatapos ay upang mapabuti ang kalidad ng approximation, ang mga puntong ito ay dapat isama sa bilang ng mga interpolation node. Kung ang pangalawang derivative /"(x) ay hindi nagpapatuloy, pagkatapos ay upang maiwasan ang oscillation ng spline malapit sa mga discontinuity point, dapat gumawa ng mga espesyal na hakbang. Kadalasan, ang mga interpolation node ay pinili upang ang mga discontinuity point ng pangalawang derivative ay mahulog sa loob ang pagitan \xif), ganoon. at maaaring mapili sa pamamagitan ng numerical na eksperimento (kadalasan ay sapat na upang itakda ang a = 0.01). Mayroong isang hanay ng mga recipe para sa pagtagumpayan ng mga paghihirap na lumitaw kapag ang unang derivative f "(x) ay walang tigil. Bilang isa sa pinakasimple, maaari naming imungkahi ito: hatiin ang segment ng pagtatantya sa mga pagitan kung saan tuloy-tuloy ang derivative, at bumuo ng spline sa bawat isa sa mga pagitan na ito. Pagpili ng interpolation function (mga plus at minus) Approach 1st. Lagrange interpolation polynomial Ayon sa isang ibinigay na array SPLINE THEORY na mga halimbawa ng solusyon (Fig. 3) ang Lagrange interpolation polynomial ay tinutukoy ng formula Maipapayo na isaalang-alang ang mga katangian ng Lagrange interpolation polynomial mula sa dalawang magkasalungat na posisyon, na tinatalakay ang mga pangunahing bentahe nang hiwalay mula sa disadvantages. Ang mga pangunahing bentahe ng 1st approach: 1) ang graph ng Lagrange interpolation polynomial ay dumadaan sa bawat punto ng array, 2) ang constructed function ay madaling inilarawan (ang bilang ng mga coefficient ng Lagrange interpolation polynomial sa grid u na matutukoy ay katumbas ng m + 1), 3) ang constructed function ay may tuluy-tuloy na derivatives ng anumang pagkakasunud-sunod, 4) na ibinigay ng isang array, ang interpolation polynomial ay natatanging tinutukoy. Ang mga pangunahing kawalan ng 1st approach: 1) ang antas ng Lagrange interpolation polynomial ay depende sa bilang ng mga grid node, at kung mas malaki ang numerong ito, mas mataas ang antas ng interpolation polynomial at, samakatuwid, mas maraming mga kalkulasyon ang kinakailangan, 2 ) ang pagbabago ng hindi bababa sa isang punto sa array ay nangangailangan ng kumpletong muling pagkalkula ng mga coefficient ng Lagrange interpolation polynomial, 3) ang pagdaragdag ng isang bagong punto sa array ay nagpapataas ng antas ng Lagrange interpolation polynomial ng isa at kahit na humahantong sa isang kumpletong muling pagkalkula ng mga coefficient nito , 4) na may walang limitasyong mesh refinement, ang antas ng Lagrange interpolation polynomial ay tumataas nang walang katiyakan. Ang pag-uugali ng Lagrange interpolation polynomial sa ilalim ng walang limitasyong mesh refinement sa pangkalahatan ay nangangailangan ng espesyal na atensyon. Mga Puna A. Approximation ng tuluy-tuloy na function sa pamamagitan ng polynomial. Ito ay kilala (Weierstrass, 1885) na ang anumang tuluy-tuloy (at higit na makinis) na paggana sa isang pagitan ay maaaring tantiyahin pati na rin ang ninanais sa pagitan na ito ng isang polynomial. Ilarawan natin ang katotohanang ito sa wika ng mga formula. Hayaang ang f(x) ay isang function na tuluy-tuloy sa segment [a, 6]. Pagkatapos ay para sa anumang e > 0 mayroong isang polynomial Рn(x) na para sa anumang x mula sa pagitan [a, 6] ang hindi pagkakapantay-pantay ay masisiyahan (Larawan 4) , mayroong walang hanggan na marami. Sa segment [a, 6] kami ay gumagawa ng grid w. Malinaw na ang mga node nito, sa pangkalahatan, ay hindi nag-tutugma sa mga intersection point ng mga graph ng polynomial Pn(x) at ang function na f(x) (Fig. 5). Samakatuwid, para sa kinunan na grid, ang polynomial na Pn(x) ay hindi isang interpolation polynomial. Kapag ang isang tuluy-tuloy na function ay tinatantya ng isang Jla-grajj interpolation polynomial, ang graph nito ay hindi lamang kailangang malapit sa graph ng function na f(x) sa bawat punto ng segment [a, b), ngunit maaaring lumihis mula sa ang function na ito hangga't ninanais. Magbigay tayo ng dalawang halimbawa. Halimbawa 1 (Rung, 1901). Sa isang walang limitasyong pagtaas sa bilang ng mga node para sa isang function sa pagitan [-1, 1], ang pagkakapantay-pantay ng limitasyon ay natutupad (Larawan 6) Halimbawa 2 (Berichtein, 1912). Isang pagkakasunud-sunod ng Lagrange interpolation polynomial na binuo sa pare-parehong grids nm para sa tuluy-tuloy na function /(x) = |x| sa segment na may pagtaas sa bilang ng mga node m ay hindi malamang sa function na f(x) (Larawan 7). Paglapit sa ika-2. Piecewise linear interpolation Kung ang kinis ng interpolated function ay inabandona, ang ratio sa pagitan ng bilang ng mga pakinabang at bilang ng mga disadvantages ay maaaring kapansin-pansing mabago sa direksyon ng dating. Bumuo tayo ng isang piecewise linear function sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagkonekta ng mga punto (xit y,) na may mga straight line segment (Fig. 8). Ang mga pangunahing bentahe ng 2nd approach: 1) ang graph ng isang piecewise linear function ay dumadaan sa bawat punto ng array, 2) ang constructed function ay madaling inilarawan (ang bilang ng mga coefficient ng kaukulang linear function na matutukoy para sa grid ( 1) ay 2m), 3) ang itinayong function ay tinukoy ng isang naibigay na array nang hindi malabo, 4) ang antas ng polynomial na ginamit upang ilarawan ang interpolation function ay hindi nakasalalay sa bilang ng mga grid node (katumbas ng 1), 5) pagpapalit ng isa Ang punto sa array ay nangangailangan ng pagkalkula ng apat na numero (ang mga coefficient ng dalawang rectilinear link na nagmumula sa bagong punto), 6) ang pagdaragdag ng karagdagang punto sa array ay nangangailangan ng pagkalkula ng apat na coefficient. Ang piecewise linear function ay kumikilos nang maayos kapag pinipino ang grid. i Ang pangunahing disbentaha ng 2nd approach ay ang approximating piecewise linear function ay hindi maayos: ang unang derivatives ay dumaranas ng discontinuity sa mga grid node (interpolation ears). Paglapit sa ika-3. Spline interpolation Ang mga iminungkahing approach ay maaaring pagsamahin upang ang bilang ng mga nakalistang bentahe ng parehong approach ay mapangalagaan habang binabawasan ang bilang ng mga disadvantages. Magagawa ito sa pamamagitan ng pagbuo ng isang maayos na interpolating spline function ng degree p. Ang pangunahing bentahe ng ika-3 diskarte: 1) ang graph ng constructed function ay dumadaan sa bawat punto ng array, 2) ang constructed function ay medyo madaling ilarawan (ang bilang ng mga coefficient ng kaukulang polynomials na tutukuyin para sa grid ( 1) ay 3) ang constructed function ay natatanging tinutukoy ng isang naibigay na array, 4) ang degree polynomials ay hindi nakadepende sa bilang ng mga grid node at, samakatuwid, ay hindi nagbabago sa pagtaas nito, 5) ang constructed function ay may tuluy-tuloy na derivatives up sa pagkakasunud-sunod p - 1 inclusive, 6) ang constructed function ay may magandang approximation properties. Maikling sanggunian. Ang iminungkahing pangalan - spline - ay hindi sinasadya - ang makinis na piecewise polynomial function na ipinakilala namin at pagguhit ng mga spline ay malapit na nauugnay. Isaalang-alang ang isang flexible, perpektong manipis na ruler na dumadaan sa mga reference point ng array na matatagpuan sa (x, y) plane. Ayon sa batas ng Bernoulli-Euler, ang linearized equation ng isang curved ruler ay may anyo Ang function na S(x), na naglalarawan sa mga pinuno, ay isang polynomial ng ikatlong antas sa pagitan ng bawat isa at dalawang magkalapit na punto ng array (mga sumusuporta) at dalawang beses na patuloy na naiba-iba sa buong pagitan (a, 6). Magkomento. 06 interpolation ng isang tuluy-tuloy na function Hindi tulad ng Lagrange interpolation polynomials, ang isang sequence ng interpolation cubic splines sa isang pare-parehong grid ay palaging nagtatagpo sa isang interpolated na tuluy-tuloy na function, at sa pagpapabuti ng mga differential properties ng function na ito, ang rate ng convergence ay tumataas. Halimbawa. Para sa isang function, ang cubic spline sa isang grid na may bilang ng mga node m = 6 ay nagbibigay ng approximation error ng parehong pagkakasunud-sunod ng interpolation polynomial Ls(z), at sa isang grid na may bilang ng mga node m = 21, ang error na ito ay napakaliit na sa sukat ng isang ordinaryong pagguhit ng libro ay hindi ito maipakita (Fig. 10) (ang interpolation polynomial 1>2o(r) ay nagbibigay sa kasong ito ng error na humigit-kumulang 10,000 W). Mga katangian ng isang interpolated cubic spline A. Approximation properties ng isang cubic spline. Ang mga katangian ng approximation ng interpolating spline ay nakasalalay sa kinis ng function na f(x) - mas mataas ang kinis ng interpolated function, mas mataas ang pagkakasunud-sunod ng approximation, at kapag ang grid ay pino, mas mataas ang convergence rate. Kung ang interpolated function na f(x) ay tuloy-tuloy sa interval Kung ang interpolated function na f(x) ay may tuluy-tuloy na unang derivative sa interval [a, 6], iyon ay, isang interpolation spline na nakakatugon sa mga kundisyon ng hangganan ng 1st o Ika-3 uri, pagkatapos ay para sa h mayroon kaming Sa kasong ito, hindi lamang ang spline ay nagtatagpo sa interpolated function, kundi pati na rin ang derivative ng spline ay nagtatagpo sa derivative ng function na ito. Kung tinatantya ng spline na S(x) ang function na f(x) sa segment na [a, b], at ang una at pangalawang derivative nito ay tinatantya ang function B, ayon sa pagkakabanggit. Extremal property ng isang cubic spline. Ang interpolating cubic spline ay may isa pang kapaki-pakinabang na katangian. Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa. halimbawa. Bumuo ng function /(x) na nagpapaliit sa functional sa klase ng mga function mula sa space C2 na ang mga graph ay dumadaan sa mga punto ng array x) na nakakatugon sa mga kundisyon sa hangganan ay naghahatid ng extremum (minimum) sa functional. Puna 2. Kagiliw-giliw na tandaan na ang interpolating cubic spline ay mayroong extremal property na inilarawan sa itaas sa isang napakalawak na klase ng mga function, ibig sabihin, sa klase |0, 5]. 1.2. Smoothing cubic splines Sa pagbabalangkas ng problema sa smoothing Hayaang magbigay ng grid at isang set ng mga numero. Sa katunayan, nangangahulugan ito na ang isang pagitan ay tinukoy para sa bawat isa, at anumang numero mula sa pagitan na ito ay maaaring kunin bilang ang halaga ng y, . Maginhawang bigyang-kahulugan ang mga halaga ng y, halimbawa, bilang mga resulta ng mga sukat ng ilang function na y(x) para sa mga ibinigay na halaga ng variable x, na naglalaman ng random na error. Kapag nilulutas ang problema ng pagpapanumbalik ng isang function mula sa mga "experimental" na halaga, halos hindi ipinapayong gumamit ng interpolation, dahil ang interpolation function ay masunuring magpaparami ng mga kakaibang oscillations na dulot ng isang random na bahagi sa array (y,). Ang isang mas natural na diskarte ay batay sa isang smoothing procedure na idinisenyo upang kahit papaano ay bawasan ang elemento ng randomness bilang resulta ng mga sukat. Karaniwan sa mga ganitong problema ay kinakailangan upang makahanap ng isang function na ang mga halaga para sa x = x, * = 0, 1, .... m, ay mahuhulog sa kaukulang mga pagitan at kung saan, bilang karagdagan, ay magkakaroon ng sapat na magagandang katangian. Halimbawa, magkakaroon ito ng tuluy-tuloy na una at pangalawang derivative, o ang graph nito ay hindi magiging masyadong malakas na hubog, ibig sabihin, hindi ito magkakaroon ng malakas na oscillations. Ang isang problema ng ganitong uri ay lumitaw din kapag, ayon sa isang naibigay na (eksaktong) array, kinakailangan na bumuo ng isang function na dadaan sa mga hindi ibinigay na mga punto, ngunit malapit sa kanila at, bukod dito, medyo maayos na nagbabago. Sa madaling salita, ang nais na pag-andar ay pinakinis ang ibinigay na hanay, kumbaga, at hindi na-interpolate ito. Hayaang magbigay ng grid w at dalawang set ng mga numero.SPLINE THEORY mga halimbawa ng solusyon Problema. Bumuo ng isang maayos na function sa segment [a, A] na ang mga halaga sa mga node ng grid at naiiba mula sa mga numero y sa pamamagitan ng mga ibinigay na halaga. Ang formulated smoothing problem ay pagbawi smooth function na ibinigay sa isang table. Malinaw na ang ganitong problema ay may maraming iba't ibang solusyon. Sa pamamagitan ng pagpapataw ng mga karagdagang kundisyon sa itinayong pag-andar, makakamit natin ang kinakailangang pagiging natatangi. Kahulugan ng isang nagpapakinis na cubic spline Ang isang nagpapakinis na cubic spline na S(x) sa isang mesh w ay isang function na 1) sa bawat isa sa mga segment ay isang polynomial ng ikatlong antas, 2) ay dalawang beses na patuloy na naiba sa segment [a, 6 ], iyon ay, kabilang sa klase C2 [a , b], 3) naghahatid ng isang minimum sa functional kung saan binibigyan ng mga numero, 4) natutugunan ang mga kundisyon ng hangganan ng isa sa tatlong uri na ipinahiwatig sa ibaba. Mga kundisyon ng hangganan (boundary) Ang mga kundisyon ng hangganan ay tinukoy bilang mga paghihigpit sa mga halaga ng spline at mga derivatives nito sa mga boundary node ng mesh w. A. Mga kundisyon sa hangganan ng 1st type. - sa dulo ng agwat [a, b) ang mga halaga ng unang derivative ng nais na function ay ibinibigay. Mga kondisyon sa hangganan ng ika-2 uri. - ang pangalawang derivatives ng nais na function sa mga dulo ng interval (a, b] ay katumbas ng zero. C. Ang mga kondisyon ng hangganan ng ika-3 uri ay tinatawag na periodic. Theorem. Cubic spline S (x), minimizing ang functional (4 ) at natutugunan ang mga kundisyon ng hangganan ng isa sa tatlong ipinahiwatig na mga uri, ay natatanging tinukoy. Kahulugan. Ang isang cubic spline na nagpapaliit sa functional J(f) at nakakatugon sa mga kondisyon ng hangganan ng i-type ay tinatawag na isang i-type smoothing spline. Ang segment na ito sa pamamagitan ng apat na coefficients.Kabuuang mga segment - m.Kaya, upang ganap na matukoy ang spline, kailangan mong makahanap ng 4m na mga numero.Ang kondisyon ay nangangahulugan ng pagpapatuloy ng function na 5(ar) at lahat ng derivatives sa lahat ng panloob na node ng grid o. "Ang bilang ng mga naturang node ay m - 1 Kaya, upang mahanap ang mga coefficient ng lahat ng polynomial, 3(m - 1) na mga kondisyon (equation) ang nakuha. kung saan ang bilang ng mga dami na tutukuyin ay 2m + 2. Sa bawat isa sa mga pagitan, hinahanap ang pagpapaandar ng smoothing spline sa sumusunod na anyo Ilarawan muna natin kung paano matatagpuan ang mga dami n*. Para sa mga kondisyon ng hangganan ng ika-1 at ika-2 na uri, ang sistema ng mga linear na equation para sa pagtukoy ng mga halaga ng Hi ay nakasulat sa sumusunod na anyo kung saan ang mga kilalang numero). Ang mga coefficient ay nakasalalay sa pagpili ng mga kondisyon ng hangganan. Mga kundisyon sa hangganan ng unang uri: Mga kundisyon sa hangganan ng ika-2 uri: Sa kaso ng mga kundisyon ng hangganan ng ika-3 uri, ang sistema para sa pagtukoy ng mga numero ay nakasulat tulad ng sumusunod: bukod pa rito, ang lahat ng mga coefficient ay kinakalkula ng mga formula (5) (ang mga dami na may ang mga indeks k at m + k ay itinuturing na katumbas ng : Mahalagang* tala. Ang mga matrice ng mga sistema ay hindi nabubulok, at samakatuwid ang bawat isa sa mga sistemang ito ay may natatanging solusyon. Kung ang mga numero n, - ay matatagpuan, kung gayon ang mga dami ay madaling matukoy ng mga formula Kung ang lahat at ang smoothing spline ay lumabas na isang interpolation. Nangangahulugan ito, sa partikular, na ang mas tumpak na mga halaga ay ibinigay, mas maliit ang prescale na halaga ng kaukulang weighting coefficients. Kung, sa kabilang banda, kinakailangan na ang spline ay dumaan sa punto (x^, yk), kung gayon ang weight factor na katumbas nito ay dapat itakda na katumbas ng zero. Sa mga praktikal na kalkulasyon, ang pinakamahalaga ay ang pagpili ng mga halaga pi-Let D, - ang error sa pagsukat ng halaga y,. Pagkatapos ay natural na kailanganin na ang smoothing spline ay nakakatugon sa kundisyon o, na pareho. Gayunpaman, ang gayong pagpili ng mga timbang p, ay hindi pinapayagan ang paggamit ng "koridor" dahil sa mga pagkakamali sa mga halaga ng y, -. Ang isang mas makatwiran, ngunit mas maraming oras-ubos na algorithm para sa pagtukoy ng mga halaga ng p, - ay maaaring magmukhang mga sumusunod. Kung sa fc-th na pag-ulit ay matatagpuan ang mga halaga, pagkatapos ay ipinapalagay kung saan ang e ay isang maliit na numero, na pinili sa eksperimento na isinasaalang-alang ang bit grid ng computer, ang mga halaga ng D, at ang katumpakan ng paglutas ng sistema ng mga linear algebraic equation. Kung sa fc-th na pag-ulit sa puntong i, ang kundisyon (6) ay nilabag, kung gayon ang huling formula ay titiyakin ang pagbaba sa kaukulang koepisyent ng timbang p,. Kung pagkatapos, sa susunod na pag-ulit, ang pagtaas ng p, ay hahantong sa isang mas kumpletong paggamit ng "corridor" (6) at, sa huli, isang mas maayos na pagbabago ng spline. Kaunting teorya A. Pagpapatibay ng mga formula para sa pagkalkula ng mga coefficient ng interpolation cubic spline. Ipinakilala namin ang notasyon kung saan ang m, ay hindi kilalang mga dami. Ang kanilang numero ay katumbas ng m + 1. Ang spline, na nakasulat sa anyo kung saan natutugunan nito ang mga kondisyon ng interpolation at tuloy-tuloy sa buong pagitan [a, b\: paglalagay sa formula, nakukuha natin, ayon sa pagkakabanggit. Bilang karagdagan, mayroon itong isang tuluy-tuloy na unang hinalaw sa pagitan [a, 6]: pag-iiba ng kaugnayan (7) at setting, nakukuha natin ang katumbas. sa totoo lang. Ipakita natin na ang mga numerong m ay maaaring piliin upang ang spline function (7) ay may tuluy-tuloy na pangalawang derivative sa pagitan [a, 6]. Kalkulahin ang pangalawang derivative ng spline sa pagitan: Sa puntong x, - 0 (sa t = 1) mayroon tayong Kalkulahin ang pangalawang derivative ng spline sa pagitan Sa puntong mayroon tayo Mula sa kondisyon ng pagpapatuloy ng pangalawang derivative sa panloob na grid nodes a; nakukuha natin ang m - 1 na ugnayan kung saan Ang pagdaragdag sa mga m - 1 equation na ito ng dalawa pa, na nagmumula sa at mula sa mga kondisyon ng hangganan, nakakakuha tayo ng isang sistema ng m + 1 linear algebraic equation na may m + I unknown miy i = 0, 1. ... , m. Ang sistema ng mga equation para sa pagkalkula ng mga halaga ng gw sa kaso ng mga kondisyon ng hangganan ng ika-1 at ika-2 uri ay may anyo kung saan (mga kondisyon ng hangganan ng ika-1 uri), (mga kondisyon ng hangganan ng ika-2 uri). Para sa pana-panahong kundisyon ng hangganan (mga kundisyon ng hangganan ng ika-3 uri), ang grid o; pahabain ng isa pang node at ipagpalagay Pagkatapos ang sistema para sa pagtukoy ng mga halaga ng r* ay magkakaroon ng pagpapatuloy ng anyo sa pangalawa at (ika - !) na mga grid node. Mayroon kaming Mula sa huling dalawang relasyon, nakuha namin ang nawawalang dalawang equation na tumutugma sa mga kondisyon ng hangganan ng ika-4 na uri: Hindi kasama ang hindi kilalang r0 mula sa mga equation, at ang hindi kilalang pc mula sa mga equation, bilang isang resulta nakakuha kami ng isang sistema ng mga equation Tandaan na ang bilang ng mga hindi alam sa sistemang ito ay katumbas ng r - I. 6. Pagpapatibay ng mga formula para sa pagkalkula ng kahusayan ng isang smoothing subic spline. Ipinakilala namin ang notasyon kung saan ang Zi at nj ay hindi pa rin alam na dami. Ang kanilang numero ay katumbas ng 2m + 2. Ang spline function na nakasulat sa form ay tuloy-tuloy sa buong interval (a, 6]: paglalagay sa formula na ito, makuha natin, ayon sa pagkakabanggit. Ipakita natin na ang mga numerong z, at n, ay maaaring mapili upang ang spline na nakasulat sa anyong ( 8), ay may tuloy-tuloy na unang derivative sa pagitan [a, 6] Kalkulahin ang unang derivative ng spline S(x) sa pagitan : Sa isang punto, mayroon tayong Mula sa kondisyon ng pagpapatuloy ng unang derivative ng spline sa mga panloob na node ng grid at --> nakakakuha tayo ng m - 1 na ugnayan. Maginhawang isulat ang relasyon na ito sa anyong matrix. relasyon (8) at setting, nakukuha natin, ayon sa pagkakabanggit, Yeshe olyu matrix relasyon ay nakuha mula sa kondisyon ng minimum ng functional (4). Mayroon kaming Ang huling dalawang matrix equalities ay maaaring ituring bilang isang linear system ng 2m + 2 linear algebraic equation sa 2m + 2 unknowns. Ang pagpapalit ng column r sa unang pagkakapantay-pantay sa expression na nakuha mula sa kaugnayan (9), dumating kami sa matrix equation SPLINE THEORY mga halimbawa ng mga solusyon para sa pagtukoy ng column M. Ang equation na ito ay may natatanging solusyon dahil sa katotohanan na ang matrix A + Ang 6HRH7 ay palaging hindi nabubulok. Sa paghahanap sa kanya, madali naming nakilala si Mr. Eamshine. Ang mga elemento ng trianglemagolal matrice A at H ay natutukoy n lamang ng mga parameter ng grid u (na may mga hakbang hi) at hindi nakasalalay sa mga halaga yj. Linear Space ng Cubic Spline Function Ang set ng cubic spline na binuo sa segment [a, 6) ng node wcra + l ay isang linear space ng dimensyon m + 3: 1) ang kabuuan ng dalawang cubic spline na binuo ng grid u> at ang produkto ng isang cubic spline , na binuo sa grid u>, isang arbitrary na numero na mas lihim ay mga cubic spline na binuo sa grid na ito, 2) anumang cubic spline na binuo sa grid at mula sa node ay ganap na tinutukoy ng m + 1 ng halaga ng mga halaga ng y "sa mga node na ito at dalawang kundisyon ng hangganan - + 3 mga parameter lamang. Ang pagpili sa puwang na ito ng isang batayan na binubuo ng m + 3 linearly independent splines, maaari tayong sumulat ng arbitrary cubic spline a(x) bilang isang linear na kumbinasyon ng mga ito sa isang natatanging paraan. Magkomento. Ang nasabing spline specification ay malawakang ginagamit sa computational practice. Partikular na maginhawa ang batayan, na binubuo ng tinatawag na cubic B-splines (basic, o fundamental, splines). Ang paggamit ng D-splines ay maaaring makabuluhang bawasan ang mga kinakailangan para sa memorya ng computer. L-splines. B -spline ng zero degree, na binuo sa isang number line sa kahabaan ng grid w, ay ang function ng fork B -spline ng degree k ^ I, na binuo sa isang number line kasama ang grid u, ay tinutukoy ng recursive formula second in \7\x) degrees ay ipinapakita sa Fig. 11 at 12 ayon sa pagkakabanggit. B-spline ng arbitrary na degree k ay maaaring mag-iba mula sa zero lamang sa isang partikular na segment (tinukoy ng k + 2 node). splines upang ang spline B,-3* (n) ay iba mula sa zero sa segment ir,-+2]. Magbigay tayo ng formula para sa isang cubic spline ng ikatlong degree para sa kaso ng isang pare-parehong grid (na may isang hakbang A). ​​Mayroon kami sa iba pang mga kaso. Ang isang tipikal na plot ng isang cubic B-spline ay ipinakita sa Fig. 13. Ang function a) ay dalawang beses na patuloy na naiba-iba sa isang segment, iyon ay, kabilang ito sa klase C2[ a, "), c) ay nonzero lamang sa apat na magkakasunod na segment na pinalawig na grid w * mo Kinakailangang bumuo ng isang pamilya ng m + 3 cubic B-splines: Ang pamilyang ito ay bumubuo ng batayan sa espasyo ng mga cubic spline sa segment (a, b). Kaya, isang arbitrary na cubic spline S(z) na binuo sa segment |s, 6] ng grid o; mula sa +1 node, ay maaaring katawanin sa segment na ito bilang isang linear na kumbinasyon. Ang mga kondisyon ng problema, ang mga coefficient ft, ng pagpapalawak na ito ay natatanging tinutukoy. ... Sa kaso kapag ang mga halaga ng function sa mga node ng grid at ang mga halaga ng unang derivative ng function sa mga dulo ng grid "(problema ng interpolation sa mga kondisyon sa hangganan ng unang uri), ang mga coefficient na ito ay kinakalkula mula sa sistema ng sumusunod na anyo na i at &m+i, nakakakuha kami ng isang linear na sistema na may hindi alam na 5q, ... , bm at isang tatlong-diagonal na matrix. Ang kundisyon ay nagbibigay ng dayagonal pangingibabaw at, samakatuwid, ang posibilidad ng paggamit ng paraan ng sweep upang malutas ito. mga problema sa interpolation Zmmchm* 2. Sa paghahambing sa mga algorithm na inilarawan sa seksyon 1.1, ang paggamit ng R-spline sa mga problema sa interpolation * binabawasan ang dami ng impormasyong nakaimbak, iyon ay, makabuluhang binabawasan ang mga kinakailangan para sa memorya ng computer, bagaman ito ay humahantong sa isang pagtaas sa bilang ng mga operasyon. . Konstruksyon ng mga spline curves gamit ang spline functions Sa itaas, ang mga arrays ay isinasaalang-alang, ang mga punto ay binibilang upang ang kanilang mga abscissas ay bumuo ng isang mahigpit na pagtaas ng pagkakasunod-sunod. Halimbawa, ang kaso na inilalarawan sa Fig. 14, kapag ang iba't ibang mga punto ng array ay may parehong abscissa, ay hindi pinapayagan. Tinukoy ng sitwasyong ito ang parehong pagpili ng klase ng tinatayang mga kurba (trapiko ng mga function) at ang paraan ng pagbuo ng mga ito. Gayunpaman, ang pamamaraan na iminungkahi sa itaas ay ginagawang posible na lubos na matagumpay na bumuo ng isang interpolation curve sa isang mas pangkalahatang kaso, kapag ang pagnunumero ng mga array point at ang kanilang lokasyon sa eroplano, bilang panuntunan, ay hindi nauugnay (Larawan 15). Bukod dito, kapag naglalagay ng problema sa pagbuo ng isang interpolation curve, maaari nating isaalang-alang ang ibinigay na array na hindi planar, iyon ay, malinaw na upang malutas ang pangkalahatang problemang ito, kinakailangan upang makabuluhang palawakin ang klase ng mga tinatanggap na curve, kabilang ang sa loob nito ay parehong saradong mga kurba, at mga kurba na mayroong mga punto ng intersection sa sarili, at mga spatial na kurba. Maginhawang ilarawan ang mga naturang kurba gamit ang mga parametric equation. Bukod pa rito, upang ang mga function ay may sapat na kinis, halimbawa, nabibilang sila sa klase C1 [a, /0] o sa klase Upang mahanap ang mga parametric equation ng isang curve na sunud-sunod na dumadaan sa lahat ng mga punto ng array, magpatuloy bilang mga sumusunod. 1st step. Sa isang arbitrary na segment (\displaystyle ), ay tinatawag na polynomial spline utos m (\displaystyle m) may mga buhol x j ∈ (a ≤ x 0< . . . < x n ≤ b) {\displaystyle x_{j}\in (a\leq x_{0}<..., kung sa bawat isa sa mga segment [ x j − 1 , x j) (\displaystyle (3) (\displaystyle \left[(\begin(array)(*(20)(c))((P_(j))((t_(j)))= f((t_(j))))\\(((P_(j))((t_(j-1)))=f((t_(j-1))))\\(((P") _(j))((t_(j)))=f"((t_(j))))\\(((P")_(j))((t_(j-1)))=f "((t_(j-1))))\\\end(array))\kanan]\qquad (3))

nagbibigay-daan sa iyong natatanging matukoy ang apat na coefficient ng polynomial. Para sa isang polynomial ng 5th degree, ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng 2nd derivative sa mga dulo ng segment ay dapat idagdag, atbp. Mula sa sinabi, dapat na malinaw kung bakit ang mga spline ay binuo pangunahin mula sa mga polynomial na kakaibang degree (na may isang pantay na bilang ng mga coefficient).

Para sa mga polynomial ng even degrees kapag nag-assemble ng system (3):

• ang derivative ay nananatiling hindi tiyak sa isa sa mga dulo ng segment;
• at ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng mga derivatives (kinis ng kurba) ay hindi masisiyahan,

samakatuwid, para sa isang polynomial ng 2nd degree, imposibleng makamit ang pagkakapantay-pantay ng 1st derivative sa mga junction point, at para sa 4th degree - ang 2nd derivative, atbp. Upang makabuo ng mga spline na may pantay na degree, ang mga karagdagang kundisyon ay artipisyal na idinagdag upang bumuo ng isang sistema ng mga equation, katulad ng (3). Kung ang mga derivatives ng isang spline polynomial ay tinukoy sa parehong paraan tulad ng kaukulang derivatives ng interpolated function, ang spline ay tinatawag Hermitian.

P j (n) (t j) = f n (t j) , P j (n) (f j − 1) = f n (t j − 1) (4) (\displaystyle P_(j)^((n))((t_ (j)))=(f^(n))((t_(j))),\qquad P_(j)^((n))((f_(j-1)))=(f^(n ))((t_(j-1)))\qquad(4))

May mga lokal na pamamaraan para sa pagbuo ng Bessel at Akimi splines, B - splines [ ] . Karaniwan, pagdating sa mga spline, ang ibig sabihin ng mga ito ay mga spline na binuo mula sa mga algebraic polynomial. Ito ang mga kahulugang ibinigay sa itaas. Ang mga spline na ito ang pinaka pinag-aralan. Gayunpaman, ang isang spline ay maaaring binubuo ng mga fragment ng mga function ng anumang klase. SA [ ] ang pagtatayo ng naturang mga spline ay isinasaalang-alang at ang kanilang mga ari-arian ay sinisiyasat. May-akda [ WHO?] ay hindi nagbibigay ng pangkalahatang kahulugan ng mga constructed splines. Malinaw, para sa anumang mga klase ng mga function na bumubuo sa spline, ang kahulugan na ibinigay sa simula ng artikulo ay hindi ganap na angkop. Halimbawa, kung ang spline ay binubuo ng mga segment ng exponent, mawawalan ng kahulugan ang konsepto ng isang spline defect. Bagama't ang bilang ng tuloy-tuloy na derivatives ay mananatiling mahalagang katangian. Ang pagbuo ng isang spline na ang mga fragment ay hindi tuluy-tuloy na mga function (rational functions, Pade functions) ay medyo lampas sa saklaw ng spline idea, dahil ang isa sa mga pangunahing bentahe ng splines ay ang kanilang smoothness. Kung ang mga naturang constructions ay arbitraryong pinalawak, pagkatapos ay ang mga pagkakaiba sa pagitan ng mga spline at bukol na mga function ay mabubura. Ang isa pang benepisyo ng splines ay computational efficiency. Ang labis na komplikasyon ng mga fragment ay makabuluhang binabawasan ang kalamangan ng mga spline kaysa sa mga klasikal na function.

Ang mga spline ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga sumusunod na tampok: ang isang spline ay binubuo ng mga fragment - mga function ng parehong klase, na naiiba lamang sa kanilang mga parameter, ang ilang mga kundisyon ay ipinapataw sa mga kalapit na mga fragment sa mga junction point, na nabawasan sa pagpapatuloy ng mga halaga at ilang mga unang derivatives. Ang mga spline ay isang sangay ng inilapat na matematika na masinsinang umuunlad. Ang Internet ay naglalaman ng malawak na bibliograpiya sa mga spline (Spline bibliography database (SBD)).

Pag-uuri ng spline

Tulad ng nabanggit sa itaas, mayroong isang malaking bilang ng mga istruktura na tinatawag na mga spline. Samakatuwid, kinakailangang ipakilala ang isang tiyak na pag-uuri sa iba't-ibang ito, na may layuning i-highlight ang mga tampok na iyon na magbibigay-daan sa iyo upang pumili ng mga spline na angkop para sa isang partikular na inilapat na problema.

Pagtatalaga ng mga spline. Sa pamamagitan ng layunin, tatlong pangunahing grupo ng mga spline ang maaaring makilala: "interpolation splines" o "functional splines" - eksaktong dumadaan sa mga ibinigay na punto, "smoothing splines" - dumaan sa mga ibinigay na punto, isinasaalang-alang ang mga pagkakamali sa kanilang pagpapasiya; "correlation splines" - dumadaan sa hanay ng mga ugnayan ng mga puntos at ipinapakita ang pangkalahatang pag-asa (trend, regression). Ang interpolation at functional splines ay ginagamit sa mga geometric modeling na gawain, halimbawa, ang pagtatakda ng mga contour ng mga hull ng tubig at sasakyang panghimpapawid. Ang mga smoothing spline ay kadalasang ginagamit upang ilarawan ang mga dependency ng mga pisikal na eksperimento na may kilalang error sa pagsukat. Ang mga correlation spline ay ginagamit bilang mga non-linear regression graph, ang pinakasimpleng nito ay maaaring ituring na isang paglalarawan ng dependence sa pamamagitan ng isang hakbang at piecewise linear function (zero at first degree splines).

Tingnan ang mga fragment ng spline. Ang katotohanan na ang spline ay binubuo ng mga fragment ng parehong uri ay isa sa mga pangunahing tampok na nakikilala ito mula sa iba pang mga function ng piraso. Gayunpaman, may mga pinagsamang spline, na binubuo ng mga fragment ng iba't ibang splines.

Ang pinakasikat na mga spline - na binubuo ng mga fragment - ay mga algebraic polynomial na hindi mas mataas sa isang partikular na degree. Bilang isang patakaran, ang mga ito ay mga kubiko polynomial, o mga polynomial ng kakaibang degree: una, pangatlo (kubiko), ikalimang degree. Ang mas matataas na antas ay bihirang ginagamit dahil sa pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon at sa mga kumplikadong inilarawan sa nakaraang seksyon. Ang kanilang pangunahing bentahe ay ang pagiging simple ng mga kalkulasyon at pagsusuri. Ang kawalan ay ang medyo kakaunting tunay na pisikal na proseso ay tumutugma sa pagtitiwala na ito.

Exponential splines. Kung ang isang flexible metal ruler na naayos sa mga node ay nakaunat, kung gayon ang solusyon sa differential equation ay hindi isang algebraic polynomial, ngunit isang exponential. Samakatuwid, ang mga naturang spline ay tinatawag din panahunan. Inilalarawan ng exponent ang maraming pisikal na proseso sa mga dynamical system. Ang kawalan ay ang pagiging kumplikado ng pagkalkula.

Sa pamamagitan ng mekanikal na pagkakatulad sa isang metal ruler, na isang modelo ng disenyo ng isang sinag, ang mga spline ng variable stiffness ay nakuha, na inilarawan sa mga gawa ng Snigirev V.F. at Pavlenko A.P. Sa una, ang naturang mga spline ay tinatawag na degenerate o logarithmic, dahil ang solusyon ng orihinal spline differential equation, na spline fragment ay maglalaman ng natural na logarithmic function. Ang katigasan sa mga ito ay maaaring kumilos bilang isang timbang, kung ito ay paunang natukoy, o bilang isang function ng kontrol, na matatagpuan mula sa mga kondisyon para sa minimum na paggana ng enerhiya ng operator ng orihinal na spline equation, na katulad ng kabuuang potensyal. enerhiya ng pagpapapangit ng pinuno (beam). Binibigyang-daan ka ng stiffness function na kontrolin ang hugis ng spline. Sa kaso kapag ang stiffness function ay isang control function, kung gayon ang mga spline ay tinatawag na splines ng pinakamababang stiffness.

Ang trigonometric ay mga spline, na ang mga fragment ay inilalarawan ng mga trigonometric polynomial. Mayroon silang medyo kumplikadong mga expression ng pagkalkula. Mahigit sa limampung spline fragment ng iba't ibang uri ang inilarawan sa mga gawa ni B. A. Popov.

Mayroon ding mga rational spline at Padé splines. Ang kanilang tampok ay ang posibilidad na masira ang mga derivatives sa mga fragment, na may pagpapatuloy sa mga node. Bumubuo ang M. Ansermet ng mga fractional spline, kung saan tinukoy ang mga fragment gamit ang gamma function.

Ang pagiging angkop ng paggamit ng mga fragment ng isang tiyak na uri ay batay sa mga partikular na kondisyon ng problema at mga paghihigpit sa pagpapatupad. Bilang isang tuntunin, ang pangunahing kinakailangan ay upang makamit ang isang naibigay na katumpakan ng interpolation sa isang katanggap-tanggap na halaga ng oras at mga mapagkukunan para sa pagpapatupad. Ang isang mahusay na pagpipilian ng mga fragment, na tumutugma sa likas na katangian ng proseso, binabawasan ang oras ng pagkalkula at ang kinakailangang dami ng memorya.

Bilang ng mga fragment. Malinaw, ang pinakamababang bilang ng mga fragment ay isa. Ang klasikal na kahulugan ng isang spline ay naglilimita sa bilang ng mga fragment sa isang tiyak na numero sa isang may hangganang segment. Gayunpaman, posible na bumuo ng mga spline na may walang katapusang bilang ng mga fragment, ngunit sa katotohanan ang mga pamamaraan at algorithm na ito ay hindi nangangailangan ng impormasyon tungkol sa isang tiyak na bilang ng mga fragment. Ang mga spline na ito ay kinakatawan ng kardinal mga spline na ginalugad ni Schoenberg. Para sa pagbuo ng mga spline na may walang limitasyong bilang ng mga fragment, ang mga lokal na spline ay mas angkop.

Lapad ng Fragment. Kinakailangang pumili ng mga spline na may pantay na lapad ng mga fragment. Ito ay nagpapahintulot sa iyo na makabuluhang pasimplehin ang mga expression ng pagkalkula, pabilisin ang pagpapatakbo ng mga algorithm at bawasan ang mga gastos sa pagpapatupad. Ang isang tiyak na pagpapasimple ay maaaring makamit sa pamamagitan ng paggamit ng mga fragment na may maramihang lapad. May mga spline na may zero width na mga fragment (De Boer). Ito ay humahantong sa multiplicity ng mga buhol at ang posibilidad ng approximating splines na may hindi mapaghihiwalay na mga fragment ng mga hindi tuloy-tuloy na function. Nakukuha ang mga expression ng pagkalkula bilang resulta ng mga paglilipat ng limitasyon. Ang mga spline ay maaari ding magkaroon ng mga fragment na may walang katapusang lapad. Ang mga fragment na ito ay dapat na sukdulan. Minsan ginagawa nitong posible na natural na itakda ang mga kundisyon sa hangganan. Sa mahigpit na pagsasalita, ang lapad ng mga fragment ay nakasalalay sa pagpili ng isang parameter - ang argumento ng spline function, at nangangailangan ito ng paglutas ng isang hiwalay na problema sa parameterization. Ang perpektong pagpipilian bilang isang parameter ay ang haba ng interpolated function, na hindi palaging kilala, kaya maraming mga paraan upang malutas ang problemang ito. Ang pinakakaraniwang paraan ng parametrization ay sa pamamagitan ng chord.

Mga kundisyon para sa pagsali sa mga fragment. Isa pang mahalagang tampok na nagpapakilala sa mga spline. Pagdating sa mga spline, bilang panuntunan, ang mga fragment ay itinuturing na maayos na pinagsama. Iyon ay, ang pagpapatuloy ng mga halaga at ang unang derivative ay natiyak. konsepto depekto sa spline ay nauugnay sa bilang ng mga tuluy-tuloy na derivatives na mayroon ang isang fragment function ng isang partikular na uri at ang bilang ng mga derivatives na ang continuity ay ginagarantiyahan sa mga node. Ang exponent, ang sinusoid ay may walang katapusang bilang ng mga derivatives. Para sa kanila, ang konseptong ito ay hindi makatwiran. Samakatuwid, mas maginhawang magsalita nang direkta tungkol sa bilang ng mga derivatives na ang pagpapatuloy ay ginagarantiyahan sa mga node ng spline. Sa pagsasagawa, pinag-uusapan natin ang tungkol sa pagpapatuloy ng mga halaga at ang una, pinakamataas na pangalawang hinalaw. Ang agwat sa pagitan ng pangalawa at mas mataas na mga derivatives ay hindi nakikita, kaya bihira itong isinasaalang-alang. Malinaw na ang unang derivative sa mga junction point ay maaaring tukuyin sa iba't ibang paraan. Ang pinakakaraniwan ay dalawang pamamaraan. Ang halaga ng unang derivative ay pinili upang matiyak ang pagpapatuloy ng pangalawa (global cubic splines ng pinakamababang depekto). Ang unang derivative ay katumbas ng unang derivative ng interpolated function (posibleng humigit-kumulang) sa Hermitian splines.

Mga kundisyon sa hangganan . Mayroong 4 na uri ng klasikal na kundisyon ng hangganan at isang bilang ng mga hindi klasikal. Kung ang mga spline ay may limitadong bilang ng mga fragment, kung gayon, natural, wala silang matinding mga fragment sa kaliwa at kanan, kaya't walang makakasama sa mga matinding node. Ang tanging pagbubukod ay ang mga panaka-nakang spline, na may natural na extension (ika-3 uri ng klasikal na mga kundisyon sa hangganan). Minsan ang mga kundisyon ng hangganan na may zero derivative ay tinatawag na natural, bagaman walang dahilan upang isaalang-alang ang mga ito na mas natural kaysa sa iba, ngunit para sa isang cubic spline, ang natural (natural) na mga kundisyon ng hangganan ay isang espesyal na kaso ng ika-2 uri ng klasikal na kundisyon ng hangganan na tumutukoy pangalawang derivatives sa mga gilid ng spline. Sa kasong ito, ang equating ng pangalawang derivatives sa zero ay naglalabas ng mga gilid ng metal ruler mula sa pag-load ng isang baluktot na sandali, na natural na mangyayari kapag ito ay inilapat sa mga nakapirming (ibinigay) na mga node sa pisikal na espasyo. Sa unang uri ng klasikal na mga kondisyon ng hangganan, ang mga unang derivatives (tangential) ay nakatakda sa mga gilid ng spline; sa ika-2 uri - itakda ang pangalawang derivatives (curvature); ang ika-3 uri ay ginagamit para sa interpolation ng sarado o pana-panahong mga linya at binubuo sa pagsali sa matinding mga fragment ng spline; Ang ika-4 na uri ay ginagamit kapag ang una o ang pangalawang derivatives ay hindi kilala sa mga gilid ng spline at binubuo sa pagsali sa katabing mga pares ng matinding mga fragment (ang 1st kasama ang 2nd at ang huli na may penultimate) ng ikatlong derivatives, na sa Ang pagsasanay ay natanto sa pagguhit ng mga pares sa pamamagitan ng mga node na kalapit na matinding mga fragment ng isang function na katulad ng isang spline fragment (para sa isang polynomial spline - isang polynomial ng parehong antas ng spline fragment). Iba't ibang kumbinasyon ng mga kundisyon sa hangganan ang ginagamit, na binabawasan sa 4 na uri ng klasikal na kundisyon na ito. Kung ang mga kondisyon ng hangganan ay hindi maaaring bawasan sa apat na uri na ito, tulad ng, halimbawa, ang pagbabago sa isang pares ng mga katabing matinding fragment ng spline ng ikatlong derivative nito ayon sa linear (affine) na batas, na iminungkahi sa mga gawa ni Snigirev V. F., kung gayon ang mga ganitong kundisyon ay tinatawag na di-klasikal na bersyon ng mga kundisyon sa hangganan. Nasa ibaba ang ilang variant na bumababa sa mga klasikal na kundisyon ng hangganan. Kung ang spline ay may mga fragment ng parehong lapad, ang mga nawawalang fragment ng parehong lapad ay binibilang. Ang isa pang pagpipilian ay isaalang-alang ang mga nawawalang fragment na pinalawak hanggang sa kawalang-hanggan. Ang bentahe ng diskarteng ito ay ang posibilidad ng extrapolation. Maaari mong isaalang-alang ang lapad ng mga fragment na zero. Ang mga kalkuladong expression ay nakukuha sa pamamagitan ng mga paglilipat ng limitasyon. Kung titingnan natin ang mga kondisyon ng hangganan mula sa punto ng view ng pagbuo ng isang spline mula sa mga pag-andar ng batayan, kung gayon ang mga ito ay nabawasan sa pagpapatuloy ng kaukulang mga lokal na pag-andar ng batayan. Ang lapad ng mga kalapit na fragment ay nakakaapekto sa kanilang hugis. Ang isang simpleng hiwa ay madalas na humahantong sa oscillation at isang pagtaas sa error sa mga gilid. Ang mga kondisyon ng hangganan ay mahalaga sa pagproseso ng imahe at sa mga problema sa extrapolation.

Mga karagdagang paghihigpit. Ang mga ito ay kadalasang may kinalaman sa mga derivatives sa mga node. Minsan sumusunod sila mula sa pisika ng proseso. Mga kundisyon: kawalan ng kakayahan ng mga halaga, pagkakapantay-pantay ng mga sandali, mga lugar, mga kondisyon ng normalisasyon. Ang mga karagdagang kundisyon kung minsan ay nagpapasimple sa pagsusuri ng mga katangian ng spline, ngunit maaaring seryosong gawing kumplikado ang mga gastos sa pagtatayo at pagpapatupad.

Grid ng mga interpolation point. Maaaring makabuluhang makaapekto sa kahusayan ng mga kalkulasyon. Ang mga kaso ng isang pare-parehong grid at isang pare-parehong grid, na may distansya sa pagitan ng mga punto na isang multiple ng distansya sa pagitan ng mga node ng spline, ay mahalaga. Ang paghahanap ng grid ng mga interpolation point (interpolation node) ay isang parametrization na gawain, na tinalakay na sa seksyong Fragment Width.

Mga lokal na katangian ng mga pag-andar ng batayan. Ang isang spline ay maaaring katawanin bilang ang kabuuan ng mga weighted base splines. Ang lapad ng mga base function na ito ay mahalaga. Kaya, sa mga pandaigdigang spline, ang mga pangunahing spline ay hindi zero sa buong segment ng interpolation. Bagaman nararapat na tandaan na sa isang tiyak na katumpakan (sapat para sa maraming mga teknikal na kalkulasyon) maaari silang ituring na lokal. Para sa mga lokal na spline, ang lapad ng mga base function ay maliit (apat na fragment para sa cubic Hermitian splines). Malaki ang epekto nito sa kahusayan ng mga kalkulasyon at mga gastos sa pagpapatupad.

Form ng Pagtatanghal. Ang mga function na tumutukoy sa mga fragment ng isang spline, bilang panuntunan, ay nakasalalay sa maraming mga parameter dahil sa kung saan nagbabago ang kanilang hugis. Ang mga halaga ng parameter sa bawat isa sa mga fragment ay indibidwal. Ang mga parameter na ito ay maaaring tumukoy ng isang partikular na spline. Para sa polynomial splines, ito ang mga polynomial coefficients. Kaya, ang isang spline ay maaaring katawanin ng isang set ng mga parameter ng function sa bawat isa sa mga fragment. Tawagin natin itong representasyong per-fragment. Ang ganitong representasyon ay naglalarawan at kadalasan ay may malinaw na pisikal na kahulugan. Ngunit ang bilang ng mga parameter ay labis. Kaya, para sa isang cubic spline, kailangan mong magkaroon ng 4 * (r-1) na mga parameter ( r ay ang bilang ng mga spline node). Ang representasyong ito ay nakuha bilang resulta ng hindi tiyak na pagsasama ng isang fragment ng orihinal na spline differential equation at tinatawag na analogous piecewise polynomial form (pp-form) sa pamamagitan ng pagkakatulad sa polynomial splines. Upang tahasang ipahayag ang mga coefficient sa mga tuntunin ng mga kilalang halaga ng mga coordinate ng mga nodal point, ang isang decomposition ng isang katulad na piecewise polynomial form sa mga pangunahing function ay ginagamit sa pamamagitan ng pagpapalit nito sa mga kondisyon ng hangganan ng Hermite (mga kundisyon ng hangganan para sa isang spline fragment , kundisyon para sa interpolation at pag-asa sa mga derivatives). Ang resulta ay ang pangunahing hugis (B-hugis) ng spline. Ang representasyong ito ng isang spline ay mas siksik at maaaring isulat sa mga tuntunin ng mga pangunahing function ng spline sa anyo:

S (x) = ∑ j = 1 r a j B j (x) (\displaystyle S(x)=\sum \limits _(j=1)^(r)((a_(j))(B_(j)) (x))),

saan B j (x) (\displaystyle (B_(j))(x))- mga pangunahing function ng spline (karaniwan ay lokal), a j (\displaystyle a_(j))- mga numerical coefficient na tumutukoy sa bigat ng mga base function sa pagbuo ng isang spline, ang pisikal na kahulugan nito ay ang pangkalahatan (linear at angular) na mga displacement ng metal ruler sa mga node. Ang bilang ng mga parameter na tumutukoy sa spline ay katumbas ng bilang ng mga spline node. May kaugnayan sa pagitan ng mga parameter ng function sa fragment at ng mga coefficient ng polynomial-spline, na ginagawang posible na makahanap ng iba na may ilang mga coefficient, bagaman ang mga formula ay maaaring maging kumplikado.

Ang pagbabagong-anyo ng isang katulad na piecewise polynomial form ng representasyon ng spline sa pangunahing anyo ay binabawasan ang pagkakasunud-sunod ng sistema ng mga linear algebraic equation para sa paghahanap ng hindi kilalang spline coefficients, dahil ang mga ito ay bahagyang ipinahayag sa mga tuntunin ng alam na mga parameter - ang mga coordinate ng mga ibinigay na puntos ( nodes), na maaaring makabuluhang bawasan ang mga gastos sa computational dahil sa kakayahang mag-apply ng mga matipid na pamamaraan ng solusyon, tulad ng algebraic sweep method o mga variant ng Gaussian method para sa mga sparse (tape) matrice na may pagpili ng nangungunang elemento ng column.

Spline coefficient na nilalaman. Tulad ng nabanggit sa nakaraang talata, ang nilalaman ng mga parameter ng spline sa representasyon ng fragment ay tinutukoy ng uri ng function. Sa isang polynomial na representasyon, dapat isa-isa ng isa ang kaso kapag ang mga coefficient ay may parehong pisikal na kahulugan bilang ang input data. Iyon ay, ang mga coefficient ay ang mga halaga ng spline sa mga node. Ang form na ito ay tinatawag na Lagrange, sa pamamagitan ng pagkakatulad sa Lagrange polynomial. Dapat tandaan na ang mga pangunahing spline ng form na ito ay katumbas ng isa sa gitnang node at zero sa lahat ng iba pa.

Ang mga coefficient ng interpolation at functional spline ay palaging naglalaman ng mga halaga ng mga coordinate ng mga ibinigay na puntos, na sumusunod mula sa mga kondisyon ng interpolation. At din, depende sa mga kondisyon para sa pag-asa sa mga derivatives, naglalaman sila ng mga halaga ng kaukulang mga derivatives sa mga hangganan ng spline fragment (sa mga nodal point). Bilang isang patakaran, kapag nagsusulat ng mga naturang kundisyon, ang isang spline fragment sa mga hangganan nito ay batay sa una o pangalawang derivatives. Ang spline fragment na nakapatong sa mga unang derivative ay malinaw na sumasalamin sa pisikal na kahulugan, dahil ang mga unang derivatives (tangential) ay ang mga angular displacement (pag-ikot) ng metal ruler na may kaugnayan sa transverse axis. Ang pag-asa sa mga pangalawang derivative ng spline ay ginagamit upang pasimplehin ang anyo ng mga expression ng pagkalkula upang mabawasan ang mga error kapag manu-manong muling isinulat ang mga ito, gayunpaman, sa ilang mga kaso, ang paggamit ng mga naturang expression sa ilalim ng anumang karagdagang mga kundisyon ay maaaring humantong sa mga walang kuwentang solusyon.

Mga espesyal na spline. Sa ilang mga kaso, ang mga function ay isinasaalang-alang na malapit sa hangganan sa pagitan ng mga spline at ordinaryong function, pati na rin ang mga spline at bukol na function. Halimbawa, ito ay mga spline na binubuo ng dalawang fragment. Mayroon silang pinasimple na bersyon ng konstruksiyon, ngunit ang espesyal na pansin ay dapat bayaran sa mga kondisyon ng hangganan.

Kasama sa mga espesyal na spline ang isang multidimensional orthogonal normalized spline na naglalarawan sa isang nonlinear na modelo ng isang artipisyal na neuron (modelo ng spline ni Khakimov). ginamit upang imodelo ang dependence ng isang function sa isang set ng maramihang mga argumento.

Tingnan din

Mga Tala

Vershinin VV, Zavyalov Yu. S, Pavlov NN Extremal properties ng splines at ang problema ng smoothing. - Novosibirsk: Nauka, 1988, UDC 519.651

Rozhenko Alexander Iosifovich. Teorya at algorithm ng variational spline approximation: Dis. … Dr. phys.-math. Mga Agham: 01.01.07: Novosibirsk, 2003 231 p. RSL OD, 71:05-1/136

Shikin E. V., Plis L. I. Mga kurba at mga ibabaw sa screen ng computer. Isang gabay sa mga spline para sa mga gumagamit. - M.: DIALOG-MEPhI, 1996. - 240 p. ISBN 5-86404-080-0 , UDC 681.3 Sh57

Khakimov B.V. Pagmomodelo ng mga dependency ng ugnayan sa pamamagitan ng mga spline sa mga halimbawa sa geology at ekolohiya. - St. Petersburg. : Neva, 2003. - 144 p. - ISBN 5-211-04588-2.

Pavlenko Alexey Petrovich. Application ng mga pangkalahatang solusyon para sa disenyo ng mga elemento ng beam ng mga istruktura ng sasakyang panghimpapawid at pagbuo ng mga functional splines: Dis. … cand. tech. Mga Agham: 05.07.02, 05.13.18 Kazan, 2007. 185 RSL OD, 61 07-5/5391

Ang mga spline (Spline - piecewise polynomial function) ay mga two-dimensional na geometric na bagay na ganap na independyente at maaaring magsilbing batayan para sa pagbuo ng mas kumplikadong three-dimensional na katawan. Sa panlabas, ang mga spline ay iba't ibang mga linya, ang hugis ng linya ay tinutukoy ng uri ng mga vertices kung saan ito dumaan. Ang mga spline ay maaaring parehong mga simpleng geometric na hugis: mga parihaba, bituin, ellipse, atbp., pati na rin ang mga kumplikadong polyline o curve, pati na rin ang mga contour ng mga text character.

Ang mga pangunahing elemento ng splines ay mga vertex (Vertex) at mga segment (Segment). Ang mga vertex ay tinatawag na mga punto na matatagpuan sa spline, habang ang unang vertex, na nagpapahiwatig ng simula ng spline, ay minarkahan ng isang puting parisukat. Ang isang segment ay karaniwang nauunawaan bilang isang seksyon ng isang spline line na nililimitahan ng dalawang magkatabing vertices - ang mga segment ay maaaring maging tuwid o curved na mga segment. Ang mga spline vertices ay naiiba sa uri, na tumutukoy sa antas ng curvature ng mga spline segment na katabi ng mga vertex na ito. Sa kabuuan, apat na uri ng vertices ang nakikilala (Fig. 1):
Corner (Angular) - tuktok kung saan ang spline ay may pahinga, at ang mga segment na magkadugtong dito ay pinagkaitan ng curvature.
Smooth (Smoothed) - isang vertex kung saan ang spline curve ay iginuhit na may makinis na liko, at ang curvature ng mga segment na katabi ng vertex ay pareho sa magkabilang panig.
Bezier (Bezier) - isang vertex na kahawig ng isang makinis at naiiba mula dito sa kakayahang kontrolin ang antas ng curvature ng parehong mga segment. Ang huli ay isinasagawa dahil sa pagkakaroon ng mga tangent vectors sa vertex, na limitado sa mga dulo ng mga marker sa anyo ng berdeng mga parisukat at tinatawag na Bezier handle. Sa pamamagitan ng paglipat ng mga bezier handle, maaari mong baguhin ang direksyon kung saan pumapasok at umalis ang mga spline segment sa vertex, at sa pamamagitan ng pagbabago ng distansya mula sa mga handle hanggang sa vertex, maaari mong kontrolin ang antas ng curvature ng mga spline segment. Ang mga vertices ng ganitong uri ay may Bezier handle na konektado sa isa't isa, at ang paglipat ng isa sa mga ito ay awtomatikong nagiging sanhi ng paglipat ng pangalawa.
Bezier Corner (Angular Bezier) - isang vertex na may tangent vectors na nagbibigay-daan sa iyong kontrolin ang antas ng curvature ng mga segment, gayunpaman, hindi tulad ng Bezier Corner vertices, tangent vectors sa Bezier Corner vertices ay hindi konektado sa isa't isa at ang paggalaw ng isa ng mga marker ay hindi nakasalalay sa paggalaw ng iba.

Magkaiba rin ang mga segment sa uri: Curve (Curve) o Line (Line). Sa pamamagitan ng pagpili sa uri ng Curve, maaari kang makakuha ng mga curved na segment kung ang mga vertice ay makinis o may uri ng Bezier, habang sa kaso ng mga corner vertices, kahit na ang uri ng Curve ay nakatakda, ang segment ay mananatiling linear. Ang pagpili sa uri ng Linya ay nagiging sanhi ng hindi papansinin ang uri ng vertex, na nagiging sanhi ng isang segment ng ganitong uri na palaging mukhang linear.

Ang talakayan sa itaas ng interpolation ay nagpapakita na ang pagtaas ng katumpakan ng approximation ng isang maayos na function sa pamamagitan ng pagtaas ng antas ng interpolation polynomial ay posible (tingnan ang Theorem 11.8), ngunit nauugnay sa isang makabuluhang pagtaas sa computational complexity. Bilang karagdagan, ang paggamit ng mga polynomial ng isang mataas na antas ay nangangailangan ng mga espesyal na pag-iingat kahit na sa pagpili ng anyo ng kanilang notasyon, at ang mga kalkulasyon ay sinamahan ng isang akumulasyon ng mga error sa pag-ikot.

Samakatuwid, sa pagsasagawa, mas gusto ang piecewise polynomial interpolation gamit ang mga polynomial na mababa ang degree. Gayunpaman, ang pamamaraang ito ng pagtatantya ay may kakulangan: sa mga "junction" na mga punto ng dalawang magkatabing polynomial, ang derivative, bilang panuntunan, ay may discontinuity (tingnan ang Halimbawa 11.12). Kadalasan ang sitwasyong ito ay hindi gumaganap ng isang mahalagang papel. Sa parehong oras, madalas na kinakailangan na ang approximating function ay makinis, at pagkatapos ay ang pinakasimpleng piecewise polynomial interpolation ay nagiging hindi katanggap-tanggap.

Ang natural na pangangailangan para sa approximating function na magsasama-sama ng lokal na pagiging simple ng isang polynomial na may mababang antas at global smoothness sa buong interval na humantong sa paglitaw noong 1946 ng tinatawag na spline function o splines - smooth piecewise polynomial functions na binuo sa isang espesyal na paraan . Ang pagkakaroon ng katanyagan noong dekada 60 bilang isang paraan ng interpolating complex curves, ang mga spline ay naging mahalagang bahagi na ngayon ng isang malawak na iba't ibang mga pamamaraan ng computational at nakahanap ng malawak na aplikasyon sa paglutas ng iba't ibang mga problemang pang-agham, teknikal at inhinyero.

Magbigay tayo ng mahigpit na kahulugan ng spline. Hayaang hatiin ang segment ayon sa mga punto sa mga bahagyang segment. Ang degree spline ay isang function na may mga sumusunod na katangian:

1) ang function ay tuluy-tuloy sa pagitan kasama ang lahat ng mga derivative nito hanggang sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod

2) sa bawat bahagyang agwat, ang function ay tumutugma sa ilang algebraic polynomial ng degree

Ang pagkakaiba sa pagitan ng antas ng spline at ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng derivative na tuloy-tuloy sa segment ay tinatawag na depekto ng spline.

Ang pinakasimpleng halimbawa ng spline ay ibinibigay ng tuluy-tuloy na piecewise linear

isang function (Larawan 11.8), na isang spline ng unang antas (linear spline) na may depektong katumbas ng isa. Sa katunayan, ang mismong function (zero derivative) ay tuloy-tuloy sa pagitan. Kasabay nito, sa bawat bahagyang segment ay nag-tutugma ito sa ilang polynomial ng unang degree.

Ang pinakamalawak na ginagamit sa pagsasanay ay ang mga spline ng ikatlong antas (cubic splines) na may depekto na katumbas ng 1 o 2. Ang ganitong mga spline sa bawat isa sa mga bahagyang segment ay tumutugma sa cubic polynomial:

at magkaroon ng hindi bababa sa isang tuluy-tuloy na derivative sa pagitan

Ang terminong "spline" ay nagmula sa salitang Ingles (flexible ruler, rod) - ang pangalan ng isang aparato na ginagamit ng mga draftsmen upang gumuhit ng makinis na mga kurba sa mga ibinigay na punto. Kung naglagay ka ng isang nababaluktot na tagapamahala ng bakal sa isang gilid at, baluktot, ayusin ang posisyon nito sa mga nodal point (Larawan 11.9), makakakuha ka ng mekanikal na analogue ng isang cubic spline. Sa katunayan, mula sa kurso ng lakas ng mga materyales ay kilala na ang equation ng libreng equilibrium ng profile ng ruler ay ang mga sumusunod: Samakatuwid, sa pagitan ng dalawang katabing node ay isang polynomial ng ikatlong antas. Kasabay nito, ang kawalan ng kinks sa ruler ay nagpapahiwatig ng pagpapatuloy ng tangent sa graph ng function at curvature, i.e., derivatives

2. Interpolation spline.

Hayaang maibigay ang isang function sa pamamagitan ng isang talahanayan ng mga halaga nito Ang isang spline ay tinatawag na interpolating kung para sa lahat ng Value ay tinatawag na slope ng spline sa isang punto

Tandaan na sa isang segment ang interpolating cubic spline ay natatanging tinutukoy sa pamamagitan ng pagtatakda ng mga value, sa katunayan, ang sumusunod na formula ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay (11.31):

Iba't ibang paraan ng interpolation sa pamamagitan ng cubic splines ay naiiba sa isa't isa sa paraan ng pagpili ng mga slope. Talakayin natin ang ilan sa mga ito.

3. Lokal na spline.

Kung sa mga puntong x, ang mga halaga ng derivative ay kilala, pagkatapos ay natural na ilagay para sa lahat Pagkatapos, sa bawat bahagyang segment, alinsunod sa formula (11.64), ang spline ay natatanging tinutukoy ng mga halaga ( kaya naman tinawag itong local spline). Tandaan na kasabay ito ng cubic Hermite interpolation polynomial (11.31) para sa segment

Inequality (11.33) ay nagbubunga ng sumusunod na pagtatantya para sa interpolation error ng isang lokal na cubic spline:

kung saan ang Ashach ay ang maximum ng haba ng mga bahagyang segment.

Tandaan na para sa isang spline na binuo sa ganitong paraan, tanging ang function at ang unang derivative nito 53 ang matitiyak na tuluy-tuloy sa pagitan, i.e. ang depekto nito ay 2.

Mayroong iba pang mga paraan upang piliin ang mga coefficient a, na humahantong sa mga lokal na spline (kubiko Bessel polynomial, pamamaraan ni Akima, atbp.).

4. Mga pandaigdigang pamamaraan para sa pagbuo ng mga cubic spline.

Upang ang spline ay magkaroon ng tuloy-tuloy na pangalawang derivative sa segment, kinakailangang piliin ang mga slope a, upang sa mga puntong x, ang "junction" ng polynomials, ang mga halaga ng kanilang pangalawang derivatives ay nag-tutugma:

Gamit ang formula (11.64), nakita namin ang halaga

Mula sa isang katulad na formula na isinulat

Kaya, ang mga pagkakapantay-pantay (11.66) ay humahantong sa sumusunod na sistema ng mga equation na may paggalang sa mga coefficient

Tandaan na ang sistemang ito ng mga equation ay hindi natukoy, dahil ang bilang ng mga equation ng system (katumbas ng mas mababa sa bilang ng mga hindi alam (katumbas ng) Ang pagpili ng dalawang natitirang equation ay kadalasang nauugnay sa ilang karagdagang kundisyon na ipinataw sa spline sa mga punto ng hangganan (mga kundisyon sa hangganan). Ituro natin ang ilan sa mga pinakakilalang kundisyon ng hangganan .

1°. Kung ang mga halaga ng unang derivative ay kilala sa mga hangganan ng mga punto, pagkatapos ay natural na ilagay

Sa pagpupuno ng sistema (11.69) na may mga equation (11.70), nakarating tayo sa isang sistema ng mga equation na may tridiagonal na matrix, na madaling malutas sa pamamagitan ng paraan ng sweep (tingnan ang Kabanata 5). Ang nagresultang spline ay tinatawag na pangunahing cubic spline.

2°. Kung ang mga halaga ng pangalawang derivative ay kilala sa mga boundary point, kung gayon ang mga kondisyon ng hangganan ay maaaring ipataw sa spline, na humahantong sa mga sumusunod na equation:

(ito ay sapat na sa pagkakapantay-pantay (11.68) upang kumuha ng isang sa pagkakapantay-pantay

3°. Sa pag-aakalang sa mga equation kung nasiyahan ang mga kundisyong ito para sa interpolated function), nakarating tayo sa isang sistema ng mga equation na tumutukoy sa tinatawag na natural cubic spline.

4°. Kadalasan walang karagdagang impormasyon tungkol sa mga halaga ng mga derivatives sa mga dulo ng segment. Ang isang diskarte na ginamit sa sitwasyong ito ay ang paggamit ng kondisyong "walang node". Ang pagpili ng mga slope ay ginawa sa paraang ang mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan para sa nagreresultang spline. Upang gawin ito, sapat na upang hilingin na ang kaukulang pangatlong derivatives ay tumutugma sa mga punto:

Ang katumbas na algebraic equation ay ganito ang hitsura:

Ang parehong approximating function ay maaaring makuha sa isang bahagyang naiibang paraan. Bawasan natin ang bilang ng mga bahagyang segment sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga segment sa mga pares. Ito ay tumutugma sa paghahati ng segment ayon sa mga punto kung saan para sa at pagbuo ng katumbas na interpolation spline.

5°. Kung ang isang periodic function na may period na katumbas ng o kung gayon ang system (11-69) ay dapat dagdagan ng mga kundisyon