Pangunahing teorama ng pagsusuri
Pangunahing teorama ng pagsusuri o Formula ng Newton-Leibniz nagbibigay ng kaugnayan sa pagitan ng dalawang operasyon: pagkuha ng isang tiyak na integral at pagkalkula ng antiderivative
Salita
Isaalang-alang ang integral ng function y = f(x) sa loob ng pare-parehong bilang a hanggang sa bilang x, na isasaalang-alang namin variable. Isinulat namin ang integral sa sumusunod na anyo:
Ang ganitong uri ng integral ay tinatawag na integral na may variable na upper limit. Gamit ang mean-in-definite integral theorem, madaling ipakita na ang isang ibinigay na function ay tuluy-tuloy at naiba. At gayundin ang derivative ng function na ito sa puntong x ay katumbas ng integrable function mismo. Mula dito sumusunod na ang anumang tuluy-tuloy na pag-andar ay may isang antiderivative sa anyo ng isang quadrature: . At dahil ang klase ng mga antiderivatives ng function f ay nagkakaiba sa pamamagitan ng isang pare-pareho, madaling ipakita na: ang tiyak na integral ng function na f ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng mga antiderivatives sa mga punto b at a
Wikimedia Foundation. 2010 .
- Pleiades
- 6174 (numero)
Tingnan kung ano ang "Main Theorem of Analysis" sa ibang mga diksyunaryo:
Fundamental Residue Theorem- Ang residue theorem ay isang makapangyarihang tool para sa pagkalkula ng integral ng isang meromorphic function sa isang closed contour. Madalas din itong ginagamit upang kalkulahin ang mga tunay na integral. Ito ay isang generalization ng Cauchy integral theorem at ang integral ... ... Wikipedia
Pangunahing teorama ng algebra- iginiit na ang bawat hindi pare-parehong polynomial (ng isang variable) na may mga kumplikadong coefficient ay may hindi bababa sa isang ugat sa larangan ng kumplikadong mga numero. Ang katumbas na pagbabalangkas ng theorem ay ang mga sumusunod: Ang larangan ng mga kumplikadong numero ... ... Wikipedia
Ang teorama ni Newton- Ang formula ng Newton Leibniz o ang pangunahing theorem ng pagsusuri ay nagbibigay ng ugnayan sa pagitan ng dalawang operasyon: pagkuha ng isang tiyak na integral at pagkalkula ng antiderivative. Kung ito ay tuloy-tuloy sa isang segment at ang anumang antiderivative nito sa segment na ito, kung gayon mayroon itong ... Wikipedia
Formula ng Newton-Leibniz
Newton - Leibniz formula- Ang pangunahing theorem ng pagsusuri o ang formula ni Newton Leibniz ay nagbibigay ng ugnayan sa pagitan ng dalawang operasyon: pagkuha ng isang tiyak na integral at pagkalkula ng antiderivative Formulation Isaalang-alang ang integral ng function na y \u003d f (x) mula sa isang pare-parehong numero a hanggang ... . .. Wikipedia
integral- Definite integral bilang area ng figure Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Integral (disambiguation). Ang integral ng isang function ... Wikipedia - para sa isang function, ito ang koleksyon ng lahat ng antiderivatives ng isang ibinigay na function. Kung ang isang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa pagitan at ang antiderivative nito, iyon ay, sa, pagkatapos ay ... Wikipedia
Minsan, malayo ang pagmamaneho namin ng tatay ko sakay ng kotse. At ito ay isang magandang dahilan para sa isang matalinong pag-uusap.
Pinag-uusapan natin ang mga "basic theorems". Ang pangunahing theorem ng arithmetic ay ang anumang integer ay maaaring mabulok sa isang produkto ng mga prime number, at sa isang natatanging paraan. Ang pangunahing teorama ng algebra ay ang isang polynomial ay may kasing dami ng mga ugat gaya ng antas nito (bagaman mayroong impiyerno sa mga pormulasyon). At pagkatapos ay ang pangunahing teorama ng pagsusuri sa paanuman ay lumipad sa aking ulo noon.
Iminungkahi ni Itay na ang pangunahing teorama ng pagsusuri ay ang Newton-Leibniz theorem. “Tungkol saan ito?” Nagtanong ako. Ama: "Hindi ko matandaan ang eksaktong mga salita, ngunit isang bagay tungkol sa katotohanan na ang pagsasama ay isang operasyon na kabaligtaran sa pagkakaiba-iba."
Teka, di ba by definition yun?
Gaya ng nakasanayan sa mga pangunahing teorema na ito, ang mga sinasabi nila ay tila halata pagkatapos mo na itong maranasan. Ngunit sa katunayan, ito ang pangunahing teorama na nagpapahintulot sa amin na isaalang-alang ang pagsasama at pagkita ng kaibhan bilang mga kabaligtaran na operasyon. Ang malalim na anti-siyentipikong pangangatwiran ay lalakad nang higit pa, kung saan makakahanap ang sinumang mathematician ng 100500 pormal na mga error, ngunit hindi ito mahalaga ngayon.
Ano ang differentiation? Ito ay kapag gumuhit tayo ng tangent sa bawat punto ng function at hanapin ang tangent ng anggulo kung saan ito dumadaan sa horizon, tulad nito:
Ngayon, kung ang bawat punto ay itinalaga ang nahanap na tangent, pagkatapos ay isang bagong function ang makukuha, na tinatawag na derivative. Hayaan akong ipaalala sa iyo na ang numero e na ang derivative ng function e x ay katumbas ng e x, iyon ay, sa bawat punto, ang tangent ng anggulo ay katumbas lamang ng halaga ng mismong function.
Ano ang integration? Ito ay ang paghahanap ng lugar ng figure sa ilalim ng curve ng isang function na nalilimitahan ng ilang vertical na hangganan. a at b at ang pahalang na axis:
Kung hatiin mo sa isang pagtaas ng bilang ng mga parihaba at titingnan ang limitasyon ng kabuuan ng mga lugar, pagkatapos ay makukuha mo lamang ang lugar ng figure na ito. Ang lugar na ito ay tinatawag na tiyak na integral ng function y = f(x) sa segment [ a; b] at minarkahan ng ganito:
Sa totoo lang, hindi talaga halata na ang kalokohan tungkol sa mga anggulo at kalokohan tungkol sa lugar ay karaniwang konektado sa anumang paraan.
At ito ay kung paano sila konektado. Ang inverse derivative ng isang function ay tinatawag na antiderivative. Antiderivative mula sa f(x) ay tulad ng isang function g(x) na ang hinango nito g'(x) = f(x). Halimbawa, ang function y = x 2 + 8 derivative y = 2x. Kaya para sa pag-andar y = x function y = (x 2 / 2) + 4 ay antiderivative.
Madaling makita na mayroong walang katapusang bilang ng mga naturang function. Halimbawa, ang derivative ng function y = x 2 + 28 din y = 2x. Kaya para sa pag-andar y = x function ( x 2 / 2) + 14 ay isa ring antiderivative. Ito ay lohikal, dahil ang derivative ay ang anggulo sa bawat punto, at natural na hindi ito nagbabago depende sa taas kung saan patayo nating itinataas ang buong graph ng function sa kabuuan. Kaya para sa pag-andar x primitive ay x 2/2 plus hangga't gusto mo.
Kaya, ito ay lumiliko, upang mahanap ang lugar ng figure sa ilalim ng function y = f(x) mula sa a dati b, kailangan mong kunin ang mga halaga ng alinman sa mga antiderivatives nito g(x) sa mga punto b at a at ibawas ang isa sa isa:
Dito g- kahit na anuman, ngunit mayroon pa ring isang uri ng isang primitive, samakatuwid, "kung gaano karaming gusto mo" ay magiging pareho para dito, sila ay ibawas sa bawat isa at hindi makakaapekto sa resulta. Maaari kang kumuha ng ilang simpleng function tulad ng y = 2x, kung saan ang lugar na walang integral ay madaling kalkulahin sa iyong isip at suriin. Gumagana!
Ang formula na ito ay tinatawag na pangunahing teorama ng pagsusuri o ang Newton-Leibniz theorem. Kung ito ay napatunayan, maaari na nating tawagan ang paghahanap ng antiderivative integration at sa pangkalahatan ay ituring ang pagkita ng kaibhan at pagsasama bilang magkabaligtaran na mga operasyon.
§ 5. Pangunahing teorama ng pagsusuri
1. Pangunahing teorama. Ang konsepto ng integrasyon, at sa ilang lawak ng pagkita ng kaibhan, ay mahusay na binuo bago ang gawain nina Newton at Leibniz. Ngunit ito ay ganap na kinakailangan upang gumawa ng isang napaka-simpleng pagtuklas upang magbigay ng lakas sa napakalaking ebolusyon ng bagong likhang mathematical analysis. Ang dalawang tila hindi magkadikit na proseso ng paglilimita, ginamit ang isa para sa pagkita ng kaibhan, ang isa pa para sa pagsasama-sama ng mga function, ay naging malapit na nauugnay. Sa totoo lang, mutual sila
baliktad na mga operasyon, |
||||
mabuti para sa mga operasyon tulad ng |
||||
karagdagan at pagbabawas, matalino |
||||
pagputol at paghahati. magkaiba- |
||||
panlipunan at integral |
||||
mga numero ay |
||||
isang bagay na pinag-isa. |
||||
Ang dakilang tagumpay ng Bago |
||||
tono at si Leibniz ay |
||||
sa na sa unang pagkakataon nila |
||||
kanin. 274. Int nilalaro bilang isang function itaas |
ngunit naunawaan at ginamit |
|||
ang pangunahing teorama ng pagsusuri na ito |
||||
sa likod. Walang alinlangan, bukas sila |
||||
itali lay n ngunit ang direktang landas ay siyentipikong pag-unlad, at hindi talaga nakakagulat Kapansin-pansin, ang pagkakaiba Ang mga indibidwal na ito ay dumating nang nakapag-iisa at halos sabay-sabay sa isang malinaw na pag-unawa sa mga pangyayari sa itaas.
Upang tumpak na mabalangkas ang pangunahing teorama, isinasaalang-alang namin ang integral ng function na y = f(x) sa hanay mula sa isang pare-parehong numero a hanggang sa isang numerong x, na isasaalang-alang namin na variable. Upang hindi malito ang itaas na limitasyon ng integration x sa variable na lumilitaw sa ilalim ng integral sign, isinusulat namin ang integral sa sumusunod na form (tingnan ang pahina 428):
F(x)=Z |
kaya ipinapakita ang aming intensyon na pag-aralan ang integral bilang isang function F(x) ng itaas na limitasyon nito (Fig. 274). Ang function na F (x) ay ang lugar sa ilalim ng curve y = f(u) mula sa puntong u = a hanggang sa puntong u = x. Minsan ang integral F(x) na may variable na upper limit ay tinatawag na "indefinite integral".
Ang pangunahing teorama ng pagsusuri ay ang mga sumusunod:
Ang derivative ng indefinite integral (1) na may kinalaman sa itaas na limitasyon nito x ay katumbas ng halaga ng function na f(u) sa puntong u = x:
F 0 (x) = f(x).
PANGUNAHING TEOREM NG PAGSUSURI |
Sa madaling salita, ang proseso ng integrasyon na humahantong mula sa function na f(x) hanggang sa function na F(x) ay "nasira" ng kabaligtaran na proseso ng pagkita ng kaibhan na inilapat sa function na F(x).
Sa intuitive na batayan, ang patunay ng panukalang ito ay hindi mahirap. Nakabatay ito sa interpretasyon ng integral F(x) bilang isang lugar, at matatabunan kung susubukan naming i-plot ang function na F(x) at bigyang-kahulugan ang derivative F0(x) bilang katumbas na slope. Ang pag-iwan sa dati nang naitatag na geometric na interpretasyon ng derivative, pananatilihin natin ang geometric na interpretasyon ng integral F (x) bilang isang lugar, at tayo ay magiging isang analytical na paraan upang pag-iba-ibahin ang function na F (x). Pagkakaiba
F (x1 ) − F (x)
ay simpleng lugar sa ilalim ng kurba na y = f(u) sa pagitan ng mga limitasyon na u = x1 at u = x (Fig. 275), at madaling maunawaan na ang numerical na halaga ng lugar na ito ay nasa pagitan ng mga numero (x1 − x )m at (x1 − x) M:
(x1 − x)m 6 F (x1 ) − F (x) 6 (x1 − x)M,
kung saan ang M at m ay, ayon sa pagkakabanggit, ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function na f(u) sa pagitan mula u = x hanggang u = x1 . Sa katunayan, ang mga produktong ito ay nagbibigay ng mga lugar ng dalawang parihaba, kung saan ang isa ay naglalaman ng curvilinear na rehiyon na isinasaalang-alang, at ang isa ay nakapaloob dito.
kanin. 275. Sa patunay ng pangunahing teorama
ito ay nagpapahiwatig
m 6 F (x1 ) − F (x) 6 M. x1 − x
Ipagpalagay natin na ang function na f(u) ay tuloy-tuloy, upang habang ang x1 ay may kaugaliang x, ang parehong dami ng M at m ay may posibilidad sa halaga ng function na f(u) sa puntong u = x, ibig sabihin, sa halaga ng f(x). Sa kasong ito, maaaring isaalang-alang ng isa
468 MATHEMATICAL ANALYSIS Ch. VIII
napatunayan na |
|||
F 0 (x) = lim |
F (x1 ) − F (x) |
||
x1→x |
x1 − x |
Ang intuitive na kahulugan ng resultang ito ay habang tumataas ito, ang rate ng pagbabago ng lugar sa ilalim ng curve y = f(x) ay katumbas ng taas ng curve sa x.
Sa ilang mga manwal, ang nilalaman ng pangunahing teorama na ito ay natatakpan dahil sa hindi magandang napiling terminolohiya. Ibig sabihin, maraming mga may-akda ang unang nagpapakilala ng konsepto ng isang derivative, at pagkatapos ay tukuyin ang "indefinite integral" bilang resulta lamang ng inverse operation na may kinalaman sa differentiation: sinasabi nila na ang function na G(x) ay isang indefinite integral ng function f (x) kung
G0 (x) = f(x).
Kaya, ang ganitong paraan ng pagtatanghal ay direktang nag-uugnay sa pagkakaiba-iba sa salitang "integral". Sa bandang huli lamang ipinakilala ang konsepto ng "tiyak na integral", itinuturing bilang isang lugar o bilang limitasyon ng pagkakasunud-sunod ng mga kabuuan, at hindi sapat na binibigyang-diin na ang salitang "integral" ngayon ay nangangahulugang isang bagay na ganap na naiiba kaysa dati. At ngayon ay lumalabas na ang pinakamahalagang bagay na nakapaloob sa teorya ay nakuha lamang nang palihim - sa pamamagitan ng pintuan sa likod, at ang mag-aaral ay nakatagpo ng malubhang kahirapan sa kanyang mga pagsisikap na maunawaan ang kakanyahan ng bagay. Mas gusto naming tawagan ang mga function na G(x) kung saan ang G0 (x) = f(x) ay hindi "indefinite integrals", ngunit antiderivatives ng function na f(x). Pagkatapos ang pangunahing teorama ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod:
Ang function na F (x), na isang integral ng function na f(x) na may pare-parehong mas mababa at isang variable na upper limit x, ay isa sa mga antiderivatives ng function na f(x).
Sinasabi namin ang "isa sa" mga antiderivative function sa kadahilanang kung ang G(x) ay isang antiderivative function ng f(x), pagkatapos ay agad na malinaw na ang anumang function ng form na H(x) = G(x) + c (c - arbitrary constant) ay isa ring antiderivative, dahil H0 (x) = G0 (x). Totoo rin ang kabaligtaran. Dalawang antiderivative function G(x)
at ang H(x) ay maaaring mag-iba sa isa't isa lamang sa pamamagitan ng isang pare-parehong termino. Sa katunayan, ang pagkakaiba ng U(x) = G(x) − H(x) ay may U0 (x) = G0 (x) − H0 (x) = f(x) − f(x) = 0 bilang derivative, i.e. , Ibig sabihin, ang pagkakaibang ito ay pare-pareho, dahil maliwanag na kung ang graph ng isang function ay pahalang sa bawat isa sa mga punto nito, kung gayon ang mismong function, na kinakatawan ng graph, ay dapat na tiyak na pare-pareho.
Ito ay humahantong sa isang napakahalagang tuntunin para sa pagkalkula ng integral sa pagitan ng a at b - ipagpalagay na alam natin ang ilang antiderivative function G(x) ng function na f(x). Ayon sa aming pangunahing
PANGUNAHING TEOREM NG PAGSUSURI |
teorama, pag-andar
mayroon ding antiderivative function ng function na f(x). Kaya F(x) =
G(x) + c, kung saan ang c ay isang pare-pareho. Ang halaga ng pare-parehong ito ay matutukoy,
kung isasaalang-alang natin na ang F (a) = f(u) du = 0. Ito ay nagpapahiwatig:
0 = G(a) + c, kaya c = −G(a). Pagkatapos ang tiyak na integral sa pagitan ng a at x ay magkaparehong natutugunan ang pagkakapantay-pantay
F (x) = f(u) du = G(x) − G(a);
ang pagpapalit ng x sa pamamagitan ng b ay humahantong sa formula
f(u) du = G(b) − G(a), |
hindi alintana kung alin sa mga antiderivative function ang "inilunsad". Sa madaling salita: upang kalkulahin ang isang tiyak na in-
integral f(x) dx, sapat na upang makahanap ng function na G(x) kung saan
kuyog G0 (x) = f(x), at pagkatapos ay gawin ang pagkakaiba G(b) − G(a).
2. Mga unang aplikasyon. Pagsasama-sama ng mga function xr , cos x, sin x. arctg x function. Dito imposibleng magbigay ng isang kumpletong ideya ng papel ng pangunahing teorama, at kinukulong namin ang aming sarili sa pagbibigay ng ilang mga nagpapahayag na mga halimbawa. Sa mga problemang nakatagpo sa mekanika at pisika o sa matematika mismo, madalas na kinakailangan upang kalkulahin ang numerical na halaga ng ilang tiyak na integral. Ang isang direktang pagtatangka upang mahanap ang integral bilang isang limitasyon ay maaaring hindi malulutas na mahirap. Sa kabilang banda, tulad ng nakita natin sa § 3, ang anumang pagkita ng kaibhan ay isinasagawa nang medyo madali, at hindi mahirap mag-ipon ng napakalaking bilang ng mga formula ng pagkita ng kaibhan. Ang bawat naturang formula na G0 (x) = f(x), sa kabaligtaran, ay maaaring ituring bilang isang formula na tumutukoy sa antiderivative function G(x) ng function na f(x).
Binibigyang-daan ng Formula (3) ang paggamit ng kilalang antiderivative function na kalkulahin ang integral ng function na f(x) sa ilang partikular na pagitan.
Kung tayo, halimbawa, ay nais na makahanap ng mga integral ng mga kapangyarihan x2, x3, o xn sa pangkalahatan, kung gayon ang pinakasimpleng bagay ay magpatuloy gaya ng ipinahiwatig sa § 1. Sa pamamagitan ng formula ng pagkakaiba-iba ng kapangyarihan, ang derivative ng xn ay nxn−1.
470 MATHEMATICAL ANALYSIS Ch. VIII
kaya ang derivative ng function
G(x) = n x |
|
1 (n 6= -1) |
may function
G0 (x) = n n + + 1 1 xn = xn .
xn+1
Sa kasong ito, ang function n + 1 ay ang antiderivative function
na may paggalang sa function na f(x) = xn , at samakatuwid ay agad naming nakuha ang formula
x n dx = G(b) − G(a) = b n+1 − a n+1 . n + 1
Ang argumentong ito ay hindi maihahambing na mas simple kaysa sa masalimuot na pamamaraan para sa direktang pagkalkula ng integral bilang limitasyon ng kabuuan.
Bilang isang mas pangkalahatang kaso, nakita namin sa § 3 na para sa anumang makatwirang s, parehong positibo at negatibo, ang derivative ng function na xs ay katumbas ng sxs−1 , at samakatuwid, para sa s = r + 1, ang function
x r+1
ay may hinangong f(x) = G0 (x) = xr (ipagpalagay natin na r 6= −1,
x r+1
ibig sabihin, iyon ay 6= 0). Kaya ang function r + 1 ay ang antiderivative function, o
"indefinite integral" ng xr , at nakukuha natin (para sa positive a at b at para sa r 6= −1) ang formula
xr dx = |
b r+1 − a r+1 |
||
Sa formula (4), kailangang ipalagay na ang function na xr sa ilalim ng integral ay tinukoy at tuloy-tuloy sa integration interval, kaya ang point x = 0 ay dapat na hindi kasama kung r< 0. Вот потому мы и вынуждены допустить, что в этом случае a и b положительны.
Kung itinakda natin ang G(x) = − cos x, pagkatapos ay makuha natin ang G0 (x) = sin x, at samakatuwid ang kaugnayan ay lumitaw
sin xdx = -(cos a - cos 0) = 1 - cos a.
Katulad nito, kung G(x) = sin x, pagkatapos G0 (x) = cos x, at samakatuwid
cos xdx \u003d sin a - sin 0 \u003d sin a.
§ 5 PANGUNAHING TEOREM NG PAGSUSURI 471
Ang isang partikular na kawili-wiling resulta ay nakuha mula sa formula para sa pagkakaiba-iba ng function arctg x:
Dahil ang function na arctg x ay antiderivative na may paggalang sa function |
||||||||
1+x2 |
||||||||
pagkatapos, batay sa formula (3), maaari tayong sumulat
arctan b − arctan 0 = Z 0 |
1 + x2dx. |
|
Ngunit arctan 0 = 0 (isang zero na halaga ng tangent ay tumutugma sa isang zero na halaga ng anggulo). Kaya mayroon kami
arctg b = Z 0 |
|||||||||||||
1+x2 |
|||||||||||||
Sa partikular, |
ibig sabihin |
padaplis, |
|||||||||||
1, tugma |
|||||||||||||
sa 45◦, na sa radian na sukat ay tumutugma sa |
|||||||||||||
naglalagay ng p . Kaya, kami |
|||||||||||||
nakukuha natin |
|||||||||||||
kahanga-hanga |
|||||||||||||
1 + x2dx. |
|||||||||||||
mga palabas |
anong lugar |
||||||||||||
iskedyul |
|||||||||||||
1 + x 2 mula sa x = 0 hanggang x = |
|||||||||||||
Ang 1 ay katumbas ng isang-kapat ng lugar ng yunit |
276. Lugar sa ilalim ng Cree |
||||||||||||
walang bilog. |
|||||||||||||
sa loob ng |
|||||||||||||
3. Pormula |
Leibniz |
1+x2 |
|||||||||||
nangunguna |
|||||||||||||
para sa p. Pinakabagong Resulta |
sa pinakamaganda |
||||||||||||
mga mathematical formula na natuklasan noong ika-17 siglo - sa isang sign-variable |
|||||||||||||
sa serye ng Leibniz, na nagbibigay-daan sa pagkalkula ng p: |
|||||||||||||
4 p = 1 1 − 3 1 + 5 1 − 7 1 + 9 1 − 11 1 + . . . |
|||||||||||||
+ simbolo. . . dapat na maunawaan sa kahulugan na ang pagkakasunud-sunod ng mga may hangganan na "mga partial sums" na nakuha kapag ang kanang bahagi ng
ng mga pagkakapantay-pantay, tanging n mga tuntunin ng kabuuan ang kinuha, ay may posibilidad sa limitasyong p at
walang limitasyong pagtaas ng n.
MATHEMATICAL ANALYSIS |
Upang patunayan ang kahanga-hangang pormula na ito, kailangan lang nating alalahanin ang formula para sa kabuuan ng isang may hangganang geometric na pag-unlad
1 − qn = 1 + q + q2 + . . . + qn−1 ,
kung saan ang "tirang termino" na Rn ay ipinahayag ng formula
Rn = (−1)n x 2n 2 .
Ang pagkakapantay-pantay (8) ay maaaring isama sa loob ng hanay mula 0 hanggang 1. Kasunod ng panuntunan a) mula § 3, dapat nating kunin ang kabuuan ng mga integral ng indibidwal na termino sa kanang bahagi. Batay sa (4) alam natin iyon
xm dx = |
bm+1 |
− am+1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
sa partikular, nakukuha namin |
xm dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
mula saan, sa |
1+x2 |
1 − 3 + |
At dahil dito, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
− 7 |
+ . . . + (−1)n−1 |
2n − 1 + Tn , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
p R0 |
1+x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Tn = ( |
Ayon sa formula (5), ang kaliwang bahagi ng form ay |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ly (9 ) ay |
pagkakaiba sa pagitan ng |
at pribadong kabuuan |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
(−1)n−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Sn = 1 - |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− Sn = Tn . Ito ay nananatiling upang patunayan na ang Tn ay may posibilidad na maging zero bilang |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
pagtaas n. Mayroon tayong hindi pagkakapantay-pantay
x 2n 6 x2n .
1+x2
Pag-alaala sa formula (13) § 1, na nagtatatag ng hindi pagkakapantay-pantay
f(x) dx 6 g(x) dx para sa f(x) 6 g(x) at a< b,
Ang konsepto ng integrasyon, at sa ilang lawak ng pagkita ng kaibhan, ay mahusay na binuo bago ang gawain nina Newton at Leibniz. Ngunit ito ay ganap na kinakailangan upang gumawa ng isang napaka-simpleng pagtuklas upang magbigay ng lakas sa napakalaking ebolusyon ng bagong likhang mathematical analysis. Dalawang tila hindi magkadikit na proseso ng paglilimita, ginamit ang isa para sa pagkita ng kaibhan, ang isa pa para sa pagsasama ng mga function, ay naging malapit na nauugnay. Sa katunayan, ang mga ito ay magkabaligtaran na mga operasyon, tulad ng mga operasyon tulad ng pagdaragdag at pagbabawas, pagpaparami at paghahati. Ang pagkakaiba at integral na calculus ay isang bagay.
Ang dakilang tagumpay nina Newton at Leibniz ay na sa unang pagkakataon ay malinaw nilang napagtanto at ginamit ang pangunahing teorama ng pagsusuri. Walang alinlangan, ang kanilang pagtuklas ay nasa direktang landas ng natural na pag-unlad ng siyensya, at hindi nakakagulat na ang iba't ibang mga tao ay dumating nang nakapag-iisa at halos sabay-sabay sa isang malinaw na pag-unawa sa mga pangyayari sa itaas.
kanin. 274. Integral bilang isang Function ng Upper Limit
Upang tumpak na mabalangkas ang pangunahing teorama, isinasaalang-alang namin ang integral ng isang function mula sa isang pare-parehong numero a hanggang sa isang numerong x, na isasaalang-alang namin na variable. Upang hindi malito ang itaas na limitasyon ng integration x sa variable na lumilitaw sa ilalim ng integral sign, isinusulat namin ang integral sa sumusunod na anyo (tingnan ang p. 459):
kaya ipinapakita ang aming intensyon na pag-aralan ang integral bilang isang function ng itaas na limitasyon nito (Larawan 274). Ang function na ito ay ang lugar sa ilalim ng curve mula sa punto hanggang punto. Minsan ang isang integral na may variable na upper limit ay tinatawag na isang "indefinite integral."
Ang pangunahing teorama ng pagsusuri ay ang mga sumusunod: Ang derivative ng hindi tiyak na integral (1) na may paggalang sa itaas na limitasyon nito x ay katumbas ng halaga ng function sa punto
Sa madaling salita, ang proseso ng integrasyon na humahantong mula sa pag-andar patungo sa pag-andar ay "nawasak" ng kabaligtaran na proseso ng pagkita ng kaibhan na inilapat sa pag-andar.
kanin. 275. Sa patunay ng pangunahing teorama
Sa intuitive na batayan, ang patunay ng panukalang ito ay hindi mahirap. Ito ay batay sa interpretasyon ng integral bilang isang lugar, at malalaliman kung susubukan naming i-plot ang function at bigyang-kahulugan ang derivative bilang katumbas na slope. Ang pag-iwan sa dati nang naitatag na geometric na interpretasyon ng derivative, pananatilihin natin ang geometric na interpretasyon ng integral bilang isang lugar, at tayo ay magiging isang analytical na paraan upang pag-iba-ibahin ang isang function. Pagkakaiba
mayroon lamang ang lugar sa ilalim ng kurba sa pagitan ng mga limitasyon (Larawan 275), at hindi mahirap maunawaan na ang numerical na halaga ng lugar na ito ay nakapaloob sa pagitan ng mga numero.
kung saan (ayon sa pagkakabanggit, ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa pagitan mula hanggang) Sa katunayan, ang mga produktong ito ay nagbibigay ng mga lugar ng dalawang parihaba, ang isa ay naglalaman ng curvilinear na rehiyon na isinasaalang-alang, at ang isa ay nakapaloob dito.
Ito ay nagpapahiwatig:
Ipagpalagay natin na ang function ay tuluy-tuloy, upang ang parehong dami ay may posibilidad sa halaga ng function
sa puntong , ibig sabihin, sa halaga Sa kasong ito, maaari nating isaalang-alang na napatunayan iyon
Ang intuitive na kahulugan ng resultang ito ay habang tumataas ito, ang rate ng pagbabago ng lugar sa ilalim ng curve ay katumbas ng taas ng curve sa x.
Sa ilang mga manwal, ang nilalaman ng pangunahing teorama na ito ay natatakpan dahil sa hindi magandang napiling terminolohiya. Ibig sabihin, maraming mga may-akda ang unang nagpapakilala ng konsepto ng isang derivative, at pagkatapos ay tukuyin ang "indefinite integral" bilang resulta lamang ng operasyon na kabaligtaran sa pagkita ng kaibahan: sinasabi nila na ang isang function ay isang hindi tiyak na integral ng isang function kung
Kaya, ang ganitong paraan ng pagtatanghal ay direktang nag-uugnay sa pagkakaiba-iba sa salitang "integral". Sa bandang huli lamang ipinakilala ang konsepto ng "tiyak na integral", itinuturing bilang isang lugar o bilang limitasyon ng pagkakasunud-sunod ng mga kabuuan, at hindi sapat na binibigyang-diin na ang salitang "integral" ngayon ay nangangahulugang isang bagay na ganap na naiiba kaysa dati. At ngayon ay lumalabas na ang pinakamahalagang bagay na nakapaloob sa teorya ay nakuha lamang nang palihim - sa pamamagitan ng pintuan sa likod, at ang mag-aaral ay nakatagpo ng malubhang kahirapan sa kanyang mga pagsisikap na maunawaan ang kakanyahan ng bagay. Mas gusto namin ang mga function na tinatawag naming hindi "indefinite integral", ngunit antiderivative function ng isang function. Kung gayon ang pangunahing theorem ay maaaring buuin bilang mga sumusunod:
Ang isang function na integral ng isang function na may constant lower at variable upper limit x ay isa sa mga antiderivative function ng function.
Sinasabi namin ang "isa sa" ng mga antiderivative na function sa kadahilanang kung ay isang antiderivative function ng pagkatapos ay agad na malinaw na ang anumang function ng form (c ay isang arbitrary constant) ay isa ring antiderivative, dahil ang kabaligtaran na pahayag ay totoo din. Ang dalawang antiderivative function ay maaaring magkaiba sa isa't isa lamang sa pamamagitan ng pare-parehong termino. Sa katunayan, ang pagkakaiba ay may bilang isang hinalaw i.e. ang pagkakaiba na ito ay pare-pareho, dahil ito ay malinaw na kung ang function graph sa bawat isa
Ang konsepto ng integrasyon, at sa ilang lawak ng pagkita ng kaibhan, ay mahusay na binuo bago ang gawain nina Newton at Leibniz. Ngunit ito ay ganap na kinakailangan upang gumawa ng isang napaka-simpleng pagtuklas upang magbigay ng lakas sa napakalaking ebolusyon ng bagong likhang mathematical analysis. Dalawang tila hindi magkadikit na proseso ng paglilimita, ginamit ang isa para sa pagkita ng kaibhan, ang isa pa para sa pagsasama ng mga function, ay naging malapit na nauugnay. Sa katunayan, ang mga ito ay magkabaligtaran na mga operasyon, tulad ng mga operasyon tulad ng pagdaragdag at pagbabawas, pagpaparami at paghahati. Ang pagkakaiba at integral na calculus ay isang bagay.
Ang dakilang tagumpay nina Newton at Leibniz ay sa unang pagkakataon ay malinaw nilang nakilala at ginamit ito ang pangunahing teorama ng pagsusuri. Walang alinlangan, ang kanilang pagtuklas ay nasa direktang landas ng natural na pag-unlad ng siyensya, at hindi nakakagulat na ang iba't ibang mga tao ay dumating nang nakapag-iisa at halos sabay-sabay sa isang malinaw na pag-unawa sa mga pangyayari sa itaas.
Upang mabuo ang pangunahing teorama nang eksakto, isinasaalang-alang namin ang integral ng function y=f(x) mula sa isang pare-parehong numero a hanggang sa isang numerong x, na isasaalang-alang natin na variable. Upang hindi malito ang itaas na limitasyon ng integration x sa variable na lumilitaw sa ilalim ng integral sign, isinusulat namin ang integral sa sumusunod na anyo (tingnan ang p. 435):
kaya ipinapakita ang aming intensyon na pag-aralan ang integral bilang isang function ng F(x) ng itaas na limitasyon nito (Fig. 274). Ang function na F(x) ay ang lugar sa ilalim ng curve y=f(u) mula sa punto u = a sa punto u=x. Minsan ang integral F(x) na may variable na upper limit ay tinatawag na "indefinite integral".
Ang pangunahing teorama ng pagsusuri ay ang mga sumusunod: Ang derivative ng indefinite integral (1) na may kinalaman sa itaas na limitasyon nito x ay katumbas ng halaga ng function na f (u) sa puntong u = x:
F "(x) \u003d f (x).
Sa madaling salita, ang proseso ng integrasyon na humahantong mula sa function na f(x) hanggang sa function na F(x) ay "nasira" ng kabaligtaran na proseso ng pagkita ng kaibhan na inilapat sa function na F(x).
Sa intuitive na batayan, ang patunay ng panukalang ito ay hindi mahirap. Ito ay batay sa interpretasyon ng integral F(x) bilang isang lugar, at matatabunan kung susubukan naming i-plot ang function na F(x) at bigyang-kahulugan ang derivative F"(x) bilang katumbas na slope. Iiwanan ang naunang itinatag ang geometric na interpretasyon ng derivative , pananatilihin natin ang geometric na interpretasyon ng integral F (x) bilang isang lugar, at iibahin ang function na F (x) ay magiging isang analytical na pamamaraan.
F (x 1) - F (x)
ay ang lugar lamang sa ilalim ng kurba y=f(u) sa pagitan ng mga limitasyon u = x 1 at u=x(Larawan 275), at madaling maunawaan na ang numerical na halaga ng lugar na ito ay nakapaloob sa pagitan ng mga numero. (x 1 - x)m at (x 1 - x) M:
(x 1 - x)m≤F (x 1) - F (x) ≤(x 1 - x) M,
kung saan ang M at m ay ayon sa pagkakabanggit ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function na f (u) sa pagitan mula u = x hanggang u = x 1 . Sa katunayan, ang mga produktong ito ay nagbibigay ng mga lugar ng dalawang parihaba, kung saan ang isa ay naglalaman ng curvilinear na rehiyon na isinasaalang-alang, at ang isa ay nakapaloob dito.
Ito ay nagpapahiwatig:
Ipagpalagay na ang function na f (u) ay tuloy-tuloy, upang ang x 1 ay may posibilidad na x, ang parehong dami ng M at m ay may posibilidad sa halaga ng function na f (u) sa puntong u \u003d x, ibig sabihin, sa halaga ng f (x). Sa kasong ito, maaari itong ituring na napatunayan na
Ang intuitive na kahulugan ng resultang ito ay habang tumataas ang rate ng pagbabago sa lugar sa ilalim ng curve, y=f(x) katumbas ng taas ng kurba sa x.
Sa ilang mga manwal, ang nilalaman ng pangunahing teorama na ito ay natatakpan ng hindi magandang napiling terminolohiya. Ibig sabihin, unang ipinakilala ng maraming may-akda ang konsepto ng isang derivative, at pagkatapos ay tukuyin ang "indefinite integral" bilang resulta lamang ng inverse operation na may paggalang sa differentiation: sinasabi nila na ang function na G (x) ay isang indefinite integral ng function f (x) kung
G"(x) = f(x).
Kaya, ang ganitong paraan ng pagtatanghal ay direktang nag-uugnay sa pagkakaiba-iba sa salitang "integral". Sa bandang huli lamang ipinakilala ang konsepto ng "tiyak na integral", itinuturing bilang isang lugar o bilang limitasyon ng pagkakasunud-sunod ng mga kabuuan, at hindi sapat na binibigyang-diin na ang salitang "integral" ngayon ay nangangahulugang isang bagay na ganap na naiiba kaysa dati. At ngayon ay lumalabas na ang pinakamahalagang bagay na nakapaloob sa teorya ay nakuha lamang nang palihim mula sa likod na pinto, at ang mag-aaral ay nakatagpo ng mga seryosong paghihirap sa kanyang mga pagsisikap na maunawaan ang kakanyahan ng bagay. Mas gusto namin ang mga function na G(x) kung saan G "(x) \u003d f (x), hindi tinatawag na "indefinite integrals", ngunit antiderivative function mula sa function na f(x). Pagkatapos ang pangunahing teorama ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod:
Ang function na F (x), na siyang integral ng function na f (x) na may pare-parehong lower at variable na upper limit x, ay isa sa mga antiderivatives ng function na f (x).
Sinasabi namin ang "isa sa" mga antiderivative function para sa kadahilanang kung ang G(x) ay isang antiderivative function ng f(x), pagkatapos ay agad na malinaw na ang anumang function ng form H(x) = G(x) + c(c ay isang arbitrary constant) ay isa ring antiderivative, dahil H "(x) = G" (x). Totoo rin ang kabaligtaran. Ang dalawang antiderivative function na G(x) at H(x) ay maaari lamang mag-iba sa isa't isa sa pamamagitan ng pare-parehong termino. Sa katunayan, ang pagkakaiba U(x) = G(x) - H(x) ay bilang isang derivative U "(x) \u003d G" (x) - H "(x) \u003d f (x) - f (x) \u003d 0, ibig sabihin, ang pagkakaibang ito ay pare-pareho, dahil maliwanag na kung ang graph ng isang function ay pahalang sa bawat isa sa mga punto nito, kung gayon ang mismong function, na kinakatawan ng graph, ay dapat na tiyak na pare-pareho.
