Lecture 3 FNP, partial derivatives, differential

Ano ang pangunahing bagay na natutunan namin sa huling panayam

Nalaman namin kung ano ang isang function ng ilang mga variable na may isang argumento mula sa Euclidean space. Pinag-aralan kung ano ang limitasyon at pagpapatuloy para sa naturang function

Ano ang matututuhan natin sa panayam na ito?

Sa pagpapatuloy ng pag-aaral ng FNP, pag-aaralan natin ang mga partial derivatives at differentials para sa mga function na ito. Alamin kung paano isulat ang equation ng tangent plane at ang normal sa ibabaw.

Partial derivative, full differential FNP. Ang kaugnayan sa pagitan ng pagkakaiba-iba ng isang function at ang pagkakaroon ng mga partial derivatives

Para sa isang function ng isang tunay na variable, pagkatapos pag-aralan ang mga paksang "Limit" at "Continuity" (Introduction to Mathematical Analysis), ang mga derivatives at differentials ng function ay pinag-aralan. Bumaling tayo sa pagsasaalang-alang ng mga katulad na tanong para sa isang function ng ilang mga variable. Tandaan na kung ang lahat ng mga argumento maliban sa isa ay naayos sa FRR, ang FRR ay bubuo ng isang function ng isang argumento, kung saan maaaring isaalang-alang ng isa ang isang pagtaas, isang pagkakaiba, at isang derivative. Tatawagin namin silang bahagyang pagtaas, bahagyang pagkakaiba, at bahagyang derivative, ayon sa pagkakabanggit. Dumaan tayo sa mga tiyak na kahulugan.

Kahulugan 10. Hayaang maibigay ang isang function ng mga variable kung saan - isang elemento ng Euclidean space at ang kaukulang mga pagtaas ng mga argumento , ,…, . Kapag ang mga halaga, ay tinatawag na bahagyang pagdaragdag ng function. Ang kabuuang pagtaas ng isang function ay ang halaga ng .

Halimbawa, para sa isang function ng dalawang variable , kung saan ang isang punto sa eroplano at , ang mga katumbas na pagtaas ng mga argumento, ang mga increment , ay magiging pribado. Sa kasong ito, ang halaga ay ang buong pagdaragdag ng isang function ng dalawang variable.

Kahulugan 11. Partial derivative ng isang function ng mga variable sa pamamagitan ng variable ay ang limitasyon ng ratio ng bahagyang pagtaas ng isang function ng variable na ito sa pagtaas ng katumbas na argumento kapag ito ay may posibilidad na 0.

Sinusulat namin ang Depinisyon 11 bilang isang pormula o pinalawak. (2) Para sa isang function ng dalawang variable, ang Depinisyon 11 ay maaaring isulat sa anyo ng mga formula , . Mula sa praktikal na pananaw, ang kahulugan na ito ay nangangahulugan na kapag kinakalkula ang bahagyang derivative na may paggalang sa isang variable, ang lahat ng iba pang mga variable ay naayos at itinuturing namin ang function na ito bilang isang function ng isang piniling variable. Sa paggalang sa variable na ito, ang karaniwang derivative ay kinuha.

Halimbawa 4. Para sa isang function, hanapin ang mga partial derivatives at ang punto kung saan ang parehong partial derivatives ay 0.

Desisyon . Kinakalkula namin ang mga bahagyang derivatives, at isulat ang sistema sa anyo Ang solusyon ng sistemang ito ay dalawang puntos at .

Isaalang-alang natin ngayon kung paano ang konsepto ng isang kaugalian ay maaaring pangkalahatan sa FNP. Alalahanin na ang isang function ng isang variable ay tinatawag na differentiable kung ang pagtaas nito ay kinakatawan bilang , habang ang value ay ang pangunahing bahagi ng pagtaas ng function at tinatawag na differential nito. Ang value ay isang function ng , ay may property na , ibig sabihin, ay isang function na infinitesimal kumpara sa . Naiiba ang function ng isang variable sa isang punto kung at kung mayroon lang itong derivative sa puntong iyon. Bukod dito, ang pare-pareho at katumbas ng derivative na ito, ibig sabihin, ang formula ay wasto para sa kaugalian .

Kung isasaalang-alang namin ang isang bahagyang pagtaas ng FNP, kung gayon isa lamang sa mga argumento ang nagbabago, at ang bahagyang pagtaas na ito ay maaaring ituring bilang isang pagtaas ng isang function ng isang variable, ibig sabihin, gumagana ang parehong teorya. Samakatuwid, ang kondisyon ng pagkakaiba-iba humahawak kung at kung mayroong isang bahagyang derivative, kung saan ang bahagyang pagkakaiba ay ibinibigay ng .

Ano ang kabuuang pagkakaiba ng isang function ng ilang mga variable?

Kahulugan 12. Function ng mga Variable tinatawag na differentiable sa isang punto , kung ang pagtaas nito ay kinakatawan bilang . Sa kasong ito, ang pangunahing bahagi ng increment ay tinatawag na FNP differential.

Kaya, ang FNP differential ay ang halaga . Linawin natin kung ano ang ibig sabihin ng halaga , na tatawagin nating infinitesimal kumpara sa mga increment ng mga argumento . Ito ay isang function na may katangian na kung ang lahat ng mga pagtaas maliban sa isa ay 0, kung gayon ang pagkakapantay-pantay . Sa esensya, nangangahulugan ito na = = + +…+ .

At paano nauugnay ang mga kundisyon para sa pagkakaiba-iba ng FNP at ang mga kundisyon para sa pagkakaroon ng mga partial derivatives ng function na ito?

Teorama 1. Kung ang isang function ng mga variable ay differentiable sa isang punto , pagkatapos ay mayroon itong mga partial derivatives na may paggalang sa lahat ng mga variable sa puntong ito at sa parehong oras.

Patunay. Isinulat namin ang pagkakapantay-pantay para sa at sa anyo at hatiin ang magkabilang panig ng resultang pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng . Sa resultang pagkakapantay-pantay, pumasa tayo sa limitasyon sa . Bilang resulta, nakukuha namin ang kinakailangang pagkakapantay-pantay . Napatunayan na ang theorem.

Bunga. Ang pagkakaiba ng isang function ng mga variable ay kinakalkula ng formula . (3)

Sa halimbawa 4, ang pagkakaiba ng function ay katumbas ng . Tandaan na ang parehong pagkakaiba sa isang punto ay katumbas ng . Ngunit kung kalkulahin natin ito sa isang punto na may mga pagtaas , , kung gayon ang pagkakaiba ay magiging katumbas ng . Tandaan na , ang eksaktong halaga ng ibinigay na function sa punto ay katumbas ng , ngunit ang parehong halaga, tinatayang kinakalkula gamit ang 1st differential, ay katumbas ng . Nakikita namin na sa pamamagitan ng pagpapalit ng pagtaas ng isang function sa pagkakaiba nito, maaari naming tantiyahin ang mga halaga ng function.

Ngunit magiging differentiable ba ang isang function ng ilang variable sa isang punto kung mayroon itong mga partial derivatives sa puntong iyon. Hindi tulad ng isang function ng isang variable, ang sagot sa tanong na ito ay hindi. Ang eksaktong pagbabalangkas ng relasyon ay ibinibigay ng sumusunod na teorama.

Teorama 2. Kung ang pag-andar ng mga variable sa punto may mga tuluy-tuloy na partial derivatives na may paggalang sa lahat ng mga variable, kung gayon ang function ay differentiable sa puntong ito.

bilang . Isang variable lang ang nagbabago sa bawat bracket, para mailapat natin ang finite increment formula ni Lagrange dito at doon. Ang kakanyahan ng formula na ito ay na para sa isang tuluy-tuloy na pagkakaiba-iba ng function ng isang variable, ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng function sa dalawang punto ay katumbas ng halaga ng derivative sa ilang intermediate point, na pinarami ng distansya sa pagitan ng mga puntos. Ang paglalapat ng formula na ito sa bawat isa sa mga bracket, makakakuha tayo ng . Dahil sa pagpapatuloy ng mga partial derivatives, ang derivative sa punto at ang derivative sa punto ay naiiba sa mga derivatives at sa punto sa pamamagitan ng mga halaga at tending sa 0 bilang tending sa 0. Ngunit pagkatapos at, malinaw naman, . Napatunayan na ang theorem. , at ang coordinate Suriin na ang puntong ito ay kabilang sa ibabaw. Isulat ang equation para sa tangent plane at ang equation para sa normal sa ibabaw sa tinukoy na punto.

Desisyon. Talaga, . Nakalkula na namin sa huling lecture ang pagkakaiba ng function na ito sa isang arbitrary na punto, sa isang naibigay na punto ito ay katumbas ng . Samakatuwid, ang equation ng tangent plane ay isusulat sa anyo o , at ang equation ng normal - sa anyo .

Ang bawat partial derivative (over x at sa pamamagitan ng y) ng isang function ng dalawang variable ay ang ordinaryong derivative ng isang function ng isang variable na may nakapirming halaga ng isa pang variable:

(saan y= const),

(saan x= const).

Samakatuwid, ang mga partial derivatives ay kinakalkula mula sa mga formula at panuntunan para sa pagkalkula ng mga derivatives ng mga function ng isang variable, habang isinasaalang-alang ang iba pang variable bilang isang pare-pareho (constant).

Kung hindi mo kailangan ng pagsusuri ng mga halimbawa at ang pinakamababang teorya na kinakailangan para dito, ngunit kailangan mo lamang ng solusyon sa iyong problema, pagkatapos ay magpatuloy sa online na bahagyang derivative calculator .

Kung mahirap tumuon sa pagsubaybay kung nasaan ang constant sa function, maaari mong palitan ang anumang numero sa draft solution ng halimbawa sa halip na variable na may fixed value - pagkatapos ay mabilis mong makalkula ang partial derivative bilang ordinaryo. derivative ng isang function ng isang variable. Kinakailangan lamang na huwag kalimutang ibalik ang pare-pareho (isang variable na may isang nakapirming halaga) sa lugar nito kapag natapos.

Ang pag-aari ng mga partial derivative na inilarawan sa itaas ay sumusunod sa kahulugan ng isang partial derivative, na makikita sa mga tanong sa pagsusulit. Samakatuwid, upang maging pamilyar sa kahulugan sa ibaba, maaari mong buksan ang teoretikal na sanggunian.

Ang konsepto ng pagpapatuloy ng isang function z= f(x, y) sa isang punto ay tinukoy na katulad ng konseptong ito para sa isang function ng isang variable.

Function z = f(x, y) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa isang punto kung

Ang pagkakaiba (2) ay tinatawag na kabuuang pagtaas ng function z(ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong mga argumento).

Hayaan ang function z= f(x, y) at tuldok

Kung magbabago ang function z nangyayari kapag isa lamang sa mga argumento ang nagbabago, halimbawa, x, na may nakapirming halaga ng iba pang argumento y, pagkatapos ay dagdagan ang function

tinatawag na partial increment ng function f(x, y) sa x.

Isinasaalang-alang ang pagbabago ng function z depende sa pagbabago ng isa lamang sa mga argumento, talagang pumasa tayo sa isang function ng isang variable.

Kung may hangganan ang hangganan

pagkatapos ito ay tinatawag na partial derivative ng function f(x, y) sa pamamagitan ng argumento x at tinutukoy ng isa sa mga simbolo

(4)

Ang bahagyang pagtaas ay tinukoy nang katulad z sa y:

at partial derivative f(x, y) sa y:

(6)

Halimbawa 1

Desisyon. Nahanap namin ang partial derivative na may paggalang sa variable na "x":

(y nakapirming);

Nahanap namin ang partial derivative na may kinalaman sa variable na "y":

(x nakapirming).

Tulad ng nakikita mo, hindi mahalaga kung hanggang saan ang variable na naayos: sa kasong ito, ito ay ilang numero lamang na isang kadahilanan (tulad ng sa kaso ng karaniwang derivative) kasama ang variable kung saan makikita natin ang bahagyang derivative. Kung ang nakapirming variable ay hindi pinarami ng variable na may kinalaman sa kung saan makikita natin ang partial derivative, kung gayon ang malungkot na pare-parehong ito, gaano man kalawak, tulad ng sa kaso ng isang ordinaryong derivative, ay naglalaho.

Halimbawa 2 Nabigyan ng function

Maghanap ng mga Partial Derivatives

(sa pamamagitan ng x) at (sa pamamagitan ng y) at kalkulahin ang kanilang mga halaga sa punto PERO (1; 2).

Desisyon. Sa isang nakapirming y ang derivative ng unang termino ay matatagpuan bilang derivative ng power function ( talahanayan ng mga derivative function ng isang variable):

.

Sa isang nakapirming x ang derivative ng unang termino ay matatagpuan bilang derivative ng exponential function, at ang pangalawa - bilang derivative ng constant:

Ngayon ay kinakalkula namin ang mga halaga ng mga bahagyang derivatives sa punto PERO (1; 2):

Maaari mong suriin ang solusyon ng mga problema sa partial derivatives sa online na bahagyang derivative calculator .

Halimbawa 3 Maghanap ng Mga Bahagyang Derivatives ng Mga Function

Desisyon. Sa isang hakbang nahanap natin

(y x, na parang ang argumento ng sine ay 5 x: sa parehong paraan, 5 ay lilitaw bago ang pag-sign ng function);

(x ay naayos at sa kasong ito ay isang salik sa y).

Maaari mong suriin ang solusyon ng mga problema sa partial derivatives sa online na bahagyang derivative calculator .

Ang mga partial derivatives ng isang function ng tatlo o higit pang mga variable ay parehong tinukoy.

Kung ang bawat hanay ng mga halaga ( x; y; ...; t) mga malayang variable mula sa set D tumutugma sa isang tiyak na halaga u mula sa marami E, pagkatapos u ay tinatawag na function ng mga variable x, y, ..., t at magpakilala u= f(x, y, ..., t).

Para sa mga function ng tatlo o higit pang mga variable, walang geometric na interpretasyon.

Ang mga partial derivatives ng isang function ng ilang variable ay tinukoy din at kinakalkula sa ilalim ng pagpapalagay na isa lamang sa mga independyenteng variable ang nagbabago, habang ang iba ay naayos.

Halimbawa 4 Maghanap ng Mga Bahagyang Derivatives ng Mga Function

.

Desisyon. y at z nakapirming:

x at z nakapirming:

x at y nakapirming:

Maghanap ng mga partial derivatives sa iyong sarili at pagkatapos ay tingnan ang mga solusyon

Halimbawa 5

Halimbawa 6 Maghanap ng mga partial derivatives ng isang function.

Ang partial derivative ng isang function ng ilang variable ay pareho mekanikal na kahulugan bilang derivative ng isang function ng isang variable, ay ang rate kung saan nagbabago ang function na nauugnay sa isang pagbabago sa isa sa mga argumento.

Halimbawa 8 dami ng daloy P ang mga pasahero ng tren ay maaaring ipahayag bilang isang function

saan P- ang bilang ng mga pasahero, N- ang bilang ng mga residente ng kaukulang mga punto, R- distansya sa pagitan ng mga puntos.

Partial derivative ng isang function P sa R katumbas ng

ay nagpapakita na ang pagbaba sa daloy ng mga pasahero ay inversely proportional sa parisukat ng distansya sa pagitan ng mga kaukulang punto para sa parehong bilang ng mga naninirahan sa mga punto.

Bahagyang hinango P sa N katumbas ng

ay nagpapakita na ang pagtaas ng daloy ng mga pasahero ay proporsyonal sa doble ng bilang ng mga naninirahan sa mga pamayanan na may parehong distansya sa pagitan ng mga punto.

Maaari mong suriin ang solusyon ng mga problema sa partial derivatives sa online na bahagyang derivative calculator .

Buong kaugalian

Ang produkto ng partial derivative at ang pagtaas ng kaukulang independent variable ay tinatawag na partial differential. Ang mga bahagyang pagkakaiba ay tinutukoy bilang mga sumusunod:

Ang kabuuan ng mga bahagyang pagkakaiba sa lahat ng mga independiyenteng variable ay nagbibigay ng kabuuang pagkakaiba. Para sa isang function ng dalawang independyenteng mga variable, ang kabuuang pagkakaiba ay ipinahayag ng pagkakapantay-pantay

(7)

Halimbawa 9 Hanapin ang buong pagkakaiba ng isang function

Desisyon. Ang resulta ng paggamit ng formula (7):

Ang isang function na may kabuuang pagkakaiba sa bawat punto ng ilang domain ay tinatawag na differentiable sa domain na iyon.

Hanapin ang kabuuang pagkakaiba sa iyong sarili at pagkatapos ay tingnan ang solusyon

Tulad ng sa kaso ng isang function ng isang variable, ang differentiability ng isang function sa isang partikular na rehiyon ay nagpapahiwatig ng pagpapatuloy nito sa rehiyong ito, ngunit hindi sa kabaligtaran.

Magbalangkas tayo nang walang patunay ng isang sapat na kondisyon para sa pagkakaiba-iba ng isang function.

Teorama. Kung ang function z= f(x, y) ay may tuluy-tuloy na partial derivatives

sa isang partikular na rehiyon, kung gayon ito ay naiba-iba sa rehiyong ito at ang pagkakaiba nito ay ipinahayag sa pamamagitan ng formula (7).

Maaari itong ipakita na, tulad ng sa kaso ng isang function ng isang variable, ang differential ng function ay ang pangunahing linear na bahagi ng increment ng function, kaya sa kaso ng isang function ng ilang variable, ang kabuuang differential ay ang pangunahing, linear na may paggalang sa mga pagtaas ng mga independiyenteng variable, bahagi ng kabuuang pagtaas ng function.

Para sa isang function ng dalawang variable, ang kabuuang pagtaas ng function ay may form

(8)

kung saan ang α at β ay infinitesimal para sa at .

Mga partial derivatives ng mas matataas na order

Mga partial derivatives at function f(x, y) ay ang kanilang mga sarili ng ilang mga pag-andar ng parehong mga variable at, sa turn, ay maaaring may mga derivatives na may paggalang sa iba't ibang mga variable, na tinatawag na mga partial derivatives ng mas mataas na mga order.

Hayaang tukuyin ang function sa ilang (bukas) na domain D puntos
dimensional na espasyo, at
ay isang punto sa lugar na ito, i.e.
D.

Bahagyang pagdaragdag ng isang function maraming variable para sa anumang variable ay tinatawag na increment na matatanggap ng function kung magbibigay tayo ng increment sa variable na ito, sa pag-aakalang lahat ng iba pang variable ay may pare-parehong halaga.

Halimbawa, bahagyang pagtaas ng isang function sa isang variable kalooban

Partial derivative na may kinalaman sa independent variable sa punto
mula sa function ay tinatawag na limitasyon (kung ito ay umiiral) ng bahagyang pagtaas ng kaugnayan
mga function upang dagdagan
variable habang nagsusumikap
sa zero:

Ang partial derivative ay tinutukoy ng isa sa mga simbolo:

;
.

Magkomento. Index sa ibaba sa notasyong ito ay nagpapahiwatig lamang kung alin sa mga variable ang hinango mula sa, at hindi nauugnay sa kung anong punto
kinakalkula ang derivative na ito.

Ang pagkalkula ng mga partial derivatives ay walang bago kumpara sa pagkalkula ng ordinaryong derivative, kailangan lamang tandaan na kapag ang pagkakaiba ng isang function na may paggalang sa anumang variable, ang lahat ng iba pang mga variable ay kinuha bilang mga constants. Ipakita natin ito sa mga halimbawa.

Halimbawa 1Maghanap ng Mga Bahagyang Derivatives ng Mga Function
.

Desisyon. Kapag kinakalkula ang bahagyang derivative ng isang function
sa pamamagitan ng argumento isaalang-alang ang function bilang isang function ng isang variable lamang , ibig sabihin. paniwalaan mo yan may nakapirming halaga. Sa isang nakapirming function
ay ang power function ng argument . Ayon sa pormula para sa pagkakaiba-iba ng isang function ng kapangyarihan, nakukuha namin ang:

Katulad nito, kapag kinakalkula ang bahagyang derivative ipinapalagay namin na ang halaga ay naayos , at isaalang-alang ang function
bilang exponential function ng argument . Bilang resulta, nakukuha namin ang:

Halimbawa 2. Hmaghanap ng mga partial derivatives at mga function
.

Desisyon. Kapag kinakalkula ang partial derivative na may kinalaman sa ibinigay na function isasaalang-alang natin bilang isang function ng isang variable , at mga expression na naglalaman ng , ay magiging pare-pareho ang mga kadahilanan, i.e.
gumaganap bilang isang patuloy na kadahilanan na may power function (
). Pag-iiba ng ekspresyong ito na may paggalang sa , nakukuha natin:

.

Ngayon, sa kabaligtaran, ang pag-andar itinuturing bilang isang function ng isang variable , habang naglalaman ng mga expression , kumilos bilang isang koepisyent
(
).Nakakaiba ayon sa mga patakaran ng pagkita ng kaibahan ng mga function ng trigonometriko, nakukuha namin:

Halimbawa 3 Kalkulahin ang Partial Derivatives ng isang Function
sa punto
.

Desisyon. Una naming mahanap ang bahagyang derivatives ng function na ito sa isang arbitrary na punto
domain ng kahulugan nito. Kapag kinakalkula ang partial derivative na may kinalaman sa paniwalaan mo yan
ay permanente.

kapag pinagkaiba ng magiging permanente
:

at kapag kinakalkula ang mga partial derivatives na may kinalaman sa at sa pamamagitan ng , gayundin, magiging pare-pareho, ayon sa pagkakabanggit,
at
, ibig sabihin.:

Ngayon ay kinakalkula namin ang mga halaga ng mga derivatives na ito sa punto
, pinapalitan ang mga tiyak na halaga ng mga variable sa kanilang mga expression. Bilang resulta, nakukuha namin ang:

11. Bahagyang at kabuuang pagkakaiba ng isang function

Kung ngayon sa isang pribadong pagtaas
ilapat ang teorama ni Lagrange sa mga may hangganang pagdaragdag na may paggalang sa isang variable , pagkatapos, pagbibilang tuloy-tuloy, nakukuha namin ang mga sumusunod na relasyon:

saan
,
ay isang infinitesimal na dami.

Partial Differential ng isang Function sa pamamagitan ng variable ay tinatawag na pangunahing linear na bahagi ng bahagyang pagtaas
, katumbas ng produkto ng partial derivative na may kinalaman sa variable na ito at sa pagdagdag ng variable na ito, at tinutukoy

Malinaw, ang bahagyang pagkakaiba ay naiiba mula sa bahagyang pagtaas ng isang infinitesimal na mas mataas na pagkakasunud-sunod.

Buong pagdaragdag ng function maraming variable ang tinatawag na increment nito, na matatanggap nito kapag nagbigay tayo ng increment sa lahat ng independent variable, i.e.

nasaan ang lahat
, depende sa at kasama ng mga ito ay may posibilidad na zero.

Sa ilalim pagkakaiba-iba ng mga independiyenteng baryabol sumang-ayon sa ibig sabihin arbitraryo mga dagdag
at lagyan ng label ang mga ito
. Kaya, ang pagpapahayag ng bahagyang kaugalian ay kukuha ng anyo:

Halimbawa, isang bahagyang kaugalian sa ay tinukoy tulad nito:

.

buong kaugalian
Ang mga function ng maraming variable ay tinatawag na pangunahing linear na bahagi ng kabuuang pagtaas
katumbas ng, i.e. ang kabuuan ng lahat ng bahagyang pagkakaiba nito:

Kung ang function
ay may tuluy-tuloy na partial derivatives

sa punto
, tapos siya naiba-iba sa isang naibigay na punto.

Para sa sapat na maliit para sa isang differentiable function
may mga tinatayang pagkakapantay-pantay

,

na maaaring gamitin para sa tinatayang mga kalkulasyon.

Halimbawa 4Hanapin ang buong pagkakaiba ng isang function
tatlong variable
.

Desisyon. Una sa lahat, nakita namin ang mga bahagyang derivatives:

Pansinin na ang mga ito ay tuloy-tuloy para sa lahat ng mga halaga
, nakita namin:

Para sa mga pagkakaiba-iba ng mga pag-andar ng ilang mga variable, ang lahat ng mga theorems sa mga katangian ng mga kaugalian ay totoo, na napatunayan para sa kaso ng mga pag-andar ng isang variable, halimbawa: kung at ay tuluy-tuloy na pag-andar ng mga variable
, na may tuluy-tuloy na partial derivatives na may kinalaman sa lahat ng variable, at at ay di-makatwirang mga pare-pareho, kung gayon:

(6)

pribadong derivative mga function z = f(x, y sa pamamagitan ng variable x ang derivative ng function na ito ay tinatawag sa isang pare-parehong halaga ng variable y, ito ay denoted o z "x.

pribadong derivative mga function z = f(x, y) sa pamamagitan ng variable y tinatawag na derivative na may paggalang sa y sa isang pare-parehong halaga ng variable na y; ito ay denoted o z "y.

Ang bahagyang derivative ng isang function ng ilang variable na may kinalaman sa isang variable ay tinukoy bilang derivative ng function na ito na may kinalaman sa kaukulang variable, sa kondisyon na ang iba pang mga variable ay itinuturing na pare-pareho.

buong kaugalian function na z = f(x, y) sa isang punto M(X, y) ay tinatawag na expression

,

Kung saan at kinakalkula sa puntong M(x, y), at dx = , dy = y.

Halimbawa 1

Kalkulahin ang kabuuang pagkakaiba ng function.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 sa puntong M (1; 2)

Desisyon:

1) Maghanap ng mga partial derivatives:

2) Kalkulahin ang halaga ng mga partial derivatives sa puntong M(1; 2)

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

Mga tanong para sa pagpipigil sa sarili:

1. Ano ang tinatawag na antiderivative? Ilista ang mga katangian ng isang antiderivative.

2. Ano ang tinatawag na indefinite integral?

3. Ilista ang mga katangian ng di-tiyak na integral.

4. Ilista ang mga pangunahing pormula ng pagsasama.

5. Anong mga paraan ng pagsasanib ang alam mo?

6. Ano ang kakanyahan ng formula ng Newton-Leibniz?

7. Magbigay ng kahulugan ng isang tiyak na integral.

8. Ano ang kakanyahan ng pagkalkula ng isang tiyak na integral sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit?

9. Ano ang kakanyahan ng paraan ng pagkalkula ng isang tiyak na integral sa pamamagitan ng mga bahagi?

10. Anong function ang tinatawag na function ng dalawang variables? Paano ito itinalaga?

11. Anong function ang tinatawag na function ng tatlong variables?

12. Anong set ang tinatawag na domain ng isang function?

13. Sa tulong ng anong mga hindi pagkakapantay-pantay ang maaaring tukuyin ng isang saradong rehiyon D sa isang eroplano?

14. Ano ang tinatawag na partial derivative ng function z \u003d f (x, y) na may paggalang sa variable x? Paano ito itinalaga?

15. Ano ang tinatawag na partial derivative ng function z \u003d f (x, y) na may paggalang sa variable na y? Paano ito itinalaga?

16. Anong expression ang tinatawag na total differential ng isang function

Paksa 1.2 Mga ordinaryong differential equation.

Mga problemang humahantong sa mga differential equation. Differential equation na may mga separable variable. Pangkalahatan at pribadong solusyon. Mga homogenous na differential equation ng unang order. Mga linear na homogenous na equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient.

Praktikal na aralin Blg. 7 "Paghahanap ng pangkalahatan at partikular na mga solusyon sa mga differential equation na may mga separable variable" *

Praktikal na aralin Blg. 8 "Linear at homogenous differential equation"

Praktikal na aralin Blg. 9 "Solusyon ng mga differential equation ng 2nd order na may pare-parehong coefficient" *

L4, kabanata 15, pp. 243 - 256

Mga Alituntunin