Kahulugan. Prisma- ito ay isang polyhedron, ang lahat ng mga vertices na kung saan ay matatagpuan sa dalawang parallel na eroplano, at sa parehong dalawang eroplano mayroong dalawang mukha ng prism, na kung saan ay pantay na polygons na may ayon sa pagkakabanggit parallel panig, at lahat ng mga gilid na hindi namamalagi sa mga ito. ang mga eroplano ay parallel.

Dalawang magkapantay na mukha ang tinatawag mga base ng prisma(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Ang lahat ng iba pang mga mukha ng prisma ay tinatawag mga mukha sa gilid(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Bumubuo ang lahat ng mukha sa gilid gilid na ibabaw ng prisma .

Ang lahat ng panig na mukha ng isang prisma ay mga paralelogram .

Ang mga gilid na hindi nakahiga sa mga base ay tinatawag na mga lateral na gilid ng prisma ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prism Diagonal tinatawag ang isang segment, ang mga dulo nito ay dalawang vertices ng prism na hindi nakahiga sa isa sa mga mukha nito (AD 1).

Ang haba ng segment na nagkokonekta sa mga base ng prism at patayo sa parehong mga base sa parehong oras ay tinatawag taas ng prisma .

pagtatalaga:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Una, sa pagkakasunud-sunod ng bypass, ang mga vertices ng isang base ay ipinahiwatig, at pagkatapos, sa parehong pagkakasunud-sunod, ang mga vertices ng isa pa; ang mga dulo ng bawat gilid na gilid ay itinalaga ng parehong mga titik, tanging ang mga vertices na nakahiga sa ang isang base ay ipinahiwatig ng mga titik na walang index, at sa isa pa - na may index)

Ang pangalan ng prism ay nauugnay sa bilang ng mga anggulo sa figure na nakahiga sa base nito, halimbawa, sa Figure 1, ang base ay isang pentagon, kaya ang prism ay tinatawag pentagonal prism. Pero dahil ang gayong prisma ay may 7 mukha, pagkatapos ito heptahedron(2 mukha ang mga base ng prisma, 5 mukha ay parallelograms, ang mga gilid na mukha nito)

Sa mga tuwid na prisma, ang isang partikular na uri ay namumukod-tangi: mga regular na prisma.

Ang isang tuwid na prisma ay tinatawag tama, kung ang mga base nito ay mga regular na polygon.

Parallelepiped

kuboid- isang kanang parallelepiped na ang base ay isang parihaba.

Mga katangian at teorema:

,

kung saan ang d ay ang dayagonal ng parisukat;
a - gilid ng parisukat.

Ang ideya ng isang prisma ay ibinigay ng:

• iba't ibang mga istraktura ng arkitektura;
• Mga laruan ng bata;
• mga kahon ng pag-iimpake;
• mga bagay na taga-disenyo, atbp.

Kabuuan at lateral surface area ng prisma

S full \u003d S side + 2S main,

saan S puno- kabuuang lugar sa ibabaw, S gilid- bahagi ng ibabaw na lugar, S pangunahing- base na lugar

Ang lugar ng lateral surface ng isang tuwid na prisma ay katumbas ng produkto ng perimeter ng base at ang taas ng prisma.

S gilid\u003d P pangunahing * h,

saan S gilid ay ang lugar ng lateral surface ng isang tuwid na prisma,

P main - ang perimeter ng base ng isang tuwid na prisma,

h ay ang taas ng tuwid na prisma, katumbas ng gilid ng gilid.

Dami ng prisma

Ang dami ng isang prisma ay katumbas ng produkto ng lugar ng base at taas.

Ang lugar ng lateral surface ng prisma. Kamusta! Sa publikasyong ito, susuriin namin ang isang pangkat ng mga gawain sa stereometry. Isaalang-alang ang isang kumbinasyon ng mga katawan - isang prisma at isang silindro. Sa ngayon, kinukumpleto ng artikulong ito ang buong serye ng mga artikulong nauugnay sa pagsasaalang-alang ng mga uri ng mga gawain sa stereometry.

Kung ang mga bago ay lilitaw sa bangko ng mga gawain, kung gayon, siyempre, magkakaroon ng mga karagdagan sa blog sa hinaharap. Ngunit kung ano ang mayroon ay sapat na upang matutunan mo kung paano lutasin ang lahat ng mga problema sa isang maikling sagot bilang bahagi ng pagsusulit. Ang materyal ay magiging sapat para sa mga darating na taon (ang programa sa matematika ay static).

Ang ipinakita na mga gawain ay nauugnay sa pagkalkula ng lugar ng prisma. Pansinin ko na sa ibaba ay isinasaalang-alang namin ang isang tuwid na prisma (at, nang naaayon, isang tuwid na silindro).

Nang hindi nalalaman ang anumang mga formula, naiintindihan namin na ang lateral surface ng prism ay ang lahat ng lateral faces nito. Sa isang tuwid na prisma, ang mga gilid na mukha ay mga parihaba.

Ang lateral surface area ng naturang prism ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga lateral na mukha nito (iyon ay, mga parihaba). Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang regular na prisma kung saan ang isang silindro ay nakasulat, kung gayon malinaw na ang lahat ng mga mukha ng prisma na ito ay PANTAY na mga parihaba.

Pormal, ang lateral surface area ng isang regular na prisma ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod:

27064. Ang isang regular na quadrangular prism ay nakapaligid sa isang silindro na ang base radius at taas ay katumbas ng 1. Hanapin ang lugar ng lateral surface ng prism.

Ang lateral surface ng prism na ito ay binubuo ng apat na parihaba na pantay sa lugar. Ang taas ng mukha ay katumbas ng 1, ang gilid ng base ng prisma ay katumbas ng 2 (ito ay dalawang radii ng silindro), samakatuwid ang lugar ng gilid ng mukha ay katumbas ng:

Lugar sa ibabaw ng gilid:

73023. Hanapin ang lugar ng lateral surface ng isang regular na triangular prism na nakapaligid sa isang silindro na ang base radius ay √0.12 at ang taas ay 3.

Ang lugar ng lateral surface ng prisma na ito ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng tatlong lateral na mukha (mga parihaba). Upang mahanap ang lugar ng gilid ng mukha, kailangan mong malaman ang taas nito at ang haba ng gilid ng base. Tatlo ang taas. Hanapin ang haba ng gilid ng base. Isaalang-alang ang projection (top view):

Mayroon kaming regular na tatsulok kung saan may nakasulat na bilog na may radius √0.12. Mula sa kanang tatsulok na AOC mahahanap natin ang AC. At pagkatapos ay AD (AD=2AC). Sa pamamagitan ng kahulugan ng tangent:

Kaya AD \u003d 2AC \u003d 1.2. Kaya, ang lugar ng lateral surface ay katumbas ng:

27066. Hanapin ang lugar ng lateral surface ng isang regular na hexagonal prism na nakapaligid sa isang cylinder na ang base radius ay √75 at ang taas ay 1.

Ang nais na lugar ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng lahat ng panig na mukha. Para sa isang regular na hexagonal prism, ang mga gilid na mukha ay pantay na mga parihaba.

Upang mahanap ang lugar ng isang mukha, kailangan mong malaman ang taas nito at ang haba ng base na gilid. Ang taas ay kilala, ito ay katumbas ng 1.

Hanapin ang haba ng gilid ng base. Isaalang-alang ang projection (top view):

Mayroon kaming regular na hexagon kung saan may nakasulat na bilog na radius √75.

Isaalang-alang ang isang tamang tatsulok na ABO. Alam natin ang leg OB (ito ang radius ng cylinder). maaari din nating matukoy ang anggulo AOB, ito ay katumbas ng 300 (tatsulok na AOC ay equilateral, OB ay isang bisector).

Gamitin natin ang kahulugan ng tangent sa isang tamang tatsulok:

AC \u003d 2AB, dahil ang OB ay isang median, iyon ay, hinahati nito ang AC sa kalahati, na nangangahulugang AC \u003d 10.

Kaya, ang lugar ng side face ay 1∙10=10 at ang lugar ng side surface ay:

76485. Hanapin ang lugar ng lateral surface ng isang regular na triangular prism na nakasulat sa isang cylinder na ang base radius ay 8√3 at ang taas ay 6.

Ang lugar ng lateral surface ng tinukoy na prisma ng tatlong pantay na laki ng mga mukha (mga parihaba). Upang mahanap ang lugar, kailangan mong malaman ang haba ng gilid ng base ng prisma (alam namin ang taas). Kung isasaalang-alang namin ang projection (top view), pagkatapos ay mayroon kaming isang regular na tatsulok na nakasulat sa isang bilog. Ang gilid ng tatsulok na ito ay ipinahayag sa mga tuntunin ng radius bilang:

Mga detalye ng relasyong ito. Kaya ito ay magiging pantay

Kung gayon ang lugar ng gilid na mukha ay katumbas ng: 24∙6=144. At ang kinakailangang lugar:

245354. Ang isang regular na quadrangular prism ay napapaligiran malapit sa isang cylinder na ang base radius ay 2. Ang lateral surface area ng prism ay 48. Hanapin ang taas ng cylinder.

Simple lang ang lahat. Mayroon kaming apat na gilid na mukha na pantay sa lugar, kaya ang lugar ng isang mukha ay 48:4=12. Dahil ang radius ng base ng cylinder ay 2, kung gayon ang gilid ng base ng prism ay magiging maagang 4 - ito ay katumbas ng diameter ng cylinder (ito ay dalawang radii). Alam namin ang lugar ng mukha at isang gilid, ang pangalawa ay ang taas ay magiging katumbas ng 12:4=3.

27065. Hanapin ang lugar ng lateral surface ng isang regular na triangular prism na nakapaligid sa isang silindro na ang base radius ay √3 at ang taas ay 2.

Taos-puso, Alexander.

"Aralin ng Pythagorean theorem" - Ang Pythagorean theorem. Tukuyin ang uri ng quadrilateral KMNP. Warm up. Panimula sa teorama. Tukuyin ang uri ng tatsulok: Lesson plan: Historical digression. Paglutas ng mga simpleng problema. At humanap ng hagdan na 125 talampakan ang haba. Kalkulahin ang taas CF ng trapezoid ABCD. Patunay. Nagpapakita ng mga larawan. Katibayan ng teorama.

"Dami ng isang prisma" - Ang konsepto ng isang prisma. direktang prisma. Ang dami ng orihinal na prisma ay katumbas ng produktong S · h. Paano mahahanap ang dami ng isang tuwid na prisma? Maaaring hatiin ang prisma sa tuwid na tatsulok na prisma na may taas h. Iguhit ang altitude ng tatsulok na ABC. Ang solusyon sa problema. Mga layunin ng aralin. Mga pangunahing hakbang sa pagpapatunay ng direktang prism theorem? Pag-aaral ng prism volume theorem.

"Prism polyhedra" - Tukuyin ang isang polyhedron. Ang DABC ay isang tetrahedron, isang convex polyhedron. Ang paggamit ng prisma. Saan ginagamit ang mga prisma? Ang ABCDMP ay isang octahedron, na binubuo ng walong tatsulok. Ang ABCDA1B1C1D1 ay isang parallelepiped, isang convex polyhedron. Matambok na polyhedron. Ang konsepto ng isang polyhedron. Ang Polyhedron A1A2..AnB1B2..Bn ay isang prisma.

"Prism class 10" - Ang prism ay isang polyhedron na ang mga mukha ay nasa parallel na eroplano. Ang paggamit ng prisma sa pang-araw-araw na buhay. Sside = P based. + h Para sa isang tuwid na prisma: Sp.p = Pmain. h + 2Smain. hilig. Tama. Diretso. Prisma. Mga formula para sa paghahanap ng lugar. Ang paggamit ng prisma sa arkitektura. Sp.p \u003d S side + 2 S based.

"Patunay ng Pythagorean theorem" - Geometric proof. Ang kahulugan ng Pythagorean theorem. Pythagorean theorem. Patunay ni Euclid. "Sa isang tamang tatsulok, ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti." Mga patunay ng teorama. Ang kahalagahan ng theorem ay ang karamihan sa mga theorems ng geometry ay maaaring mahihinuha mula dito o sa tulong nito.

Polyhedra

Ang pangunahing bagay ng pag-aaral ng stereometry ay tatlong-dimensional na katawan. Katawan ay isang bahagi ng espasyo na napapaligiran ng ilang ibabaw.

polyhedron Ang isang katawan na ang ibabaw ay binubuo ng isang may hangganan na bilang ng mga polygon ng eroplano ay tinatawag. Ang polyhedron ay tinatawag na convex kung ito ay nasa isang gilid ng eroplano ng bawat flat polygon sa ibabaw nito. Ang karaniwang bahagi ng naturang eroplano at ang ibabaw ng isang polyhedron ay tinatawag gilid. Ang mga mukha ng isang convex polyhedron ay flat convex polygons. Ang mga gilid ng mga mukha ay tinatawag mga gilid ng polyhedron, at ang mga vertex vertices ng polyhedron.

Halimbawa, ang isang kubo ay binubuo ng anim na parisukat na mga mukha nito. Naglalaman ito ng 12 mga gilid (mga gilid ng mga parisukat) at 8 mga vertice (mga vertices ng mga parisukat).

Ang pinakasimpleng polyhedra ay prisms at pyramids, na pag-aaralan pa natin.

Prisma

Kahulugan at katangian ng isang prisma

prisma ay tinatawag na polyhedron na binubuo ng dalawang flat polygons na nakahiga sa parallel planes na pinagsama ng parallel translation, at lahat ng mga segment na nagkokonekta sa mga kaukulang punto ng mga polygons na ito. Tinatawag ang mga polygon mga base ng prisma, at ang mga segment na nagkokonekta sa kaukulang vertices ng polygons ay gilid na gilid ng prisma.

Taas ng prisma tinatawag na distansya sa pagitan ng mga eroplano ng mga base nito (). Ang isang segment na nag-uugnay sa dalawang vertices ng isang prisma na hindi kabilang sa parehong mukha ay tinatawag dayagonal na prisma(). Ang prisma ay tinatawag n-uling kung ang base nito ay isang n-gon.

Anumang prisma ay may mga sumusunod na katangian, na sumusunod mula sa katotohanan na ang mga base ng prisma ay pinagsama ng parallel na pagsasalin:

1. Ang mga base ng prism ay pantay.

2. Ang mga gilid ng gilid ng prism ay magkatulad at magkapantay.

Ang ibabaw ng isang prisma ay binubuo ng mga base at lateral surface. Ang lateral surface ng prism ay binubuo ng parallelograms (ito ay sumusunod mula sa mga katangian ng prism). Ang lugar ng lateral surface ng prism ay ang kabuuan ng mga lugar ng lateral faces.

tuwid na prisma

Ang prisma ay tinatawag tuwid kung ang mga gilid na gilid nito ay patayo sa mga base. Kung hindi, ang prisma ay tinatawag pahilig.

Ang mga mukha ng isang tuwid na prisma ay mga parihaba. Ang taas ng isang tuwid na prisma ay katumbas ng mga gilid na mukha nito.

buong ibabaw ng prisma ay ang kabuuan ng lateral surface area at ang mga lugar ng mga base.

Tamang prisma ay tinatawag na right prism na may regular na polygon sa base.

Teorama 13.1. Ang lugar ng pag-ilid na ibabaw ng isang tuwid na prisma ay katumbas ng produkto ng perimeter at ang taas ng prisma (o, katumbas nito, sa gilid ng gilid).

Patunay. Ang mga gilid na mukha ng isang tuwid na prisma ay mga parihaba na ang mga base ay ang mga gilid ng mga polygon sa mga base ng prisma, at ang mga taas ay ang mga gilid na gilid ng prisma. Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan, ang lateral surface area ay:

,

saan ang perimeter ng base ng isang tuwid na prisma.

Parallelepiped

Kung ang mga parallelogram ay namamalagi sa mga base ng isang prisma, kung gayon ito ay tinatawag parallelepiped. Ang lahat ng mga mukha ng isang parallelepiped ay parallelograms. Sa kasong ito, ang kabaligtaran ng mga mukha ng parallelepiped ay parallel at pantay.

Teorama 13.2. Ang mga diagonal ng parallelepiped ay bumalandra sa isang punto at ang intersection point ay nahahati sa kalahati.

Patunay. Isaalang-alang ang dalawang di-makatwirang diagonal, halimbawa, at . kasi ang mga mukha ng parallelepiped ay parallelograms, pagkatapos at , na nangangahulugan na ayon sa T tungkol sa dalawang tuwid na linya na kahanay ng pangatlo . Sa karagdagan, ito ay nangangahulugan na ang mga linya at kasinungalingan sa parehong eroplano (ang eroplano). Ang eroplanong ito ay nag-intersect ng mga parallel na eroplano at kasama ng mga parallel na linya at . Kaya, ang isang quadrilateral ay isang parallelogram, at sa pamamagitan ng pag-aari ng isang parallelogram, ang mga diagonal at intersect nito at ang intersection point ay nahahati sa kalahati, na kinakailangang patunayan.

Ang isang kanang parallelepiped na ang base ay isang parihaba ay tinatawag kuboid. Ang lahat ng mga mukha ng isang cuboid ay parihaba. Ang mga haba ng hindi magkatulad na mga gilid ng isang parihabang parallelepiped ay tinatawag na mga linear na sukat nito (mga sukat). May tatlong sukat (lapad, taas, haba).

Teorama 13.3. Sa isang cuboid, ang parisukat ng anumang dayagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng tatlong dimensyon nito (napatunayan sa pamamagitan ng paglalapat ng Pythagorean T dalawang beses).

Ang isang parihabang parallelepiped kung saan ang lahat ng mga gilid ay pantay ay tinatawag kubo.

Mga gawain

13.1 Gaano karaming mga diagonal ang ginagawa n- carbon prism

13.2 Sa isang inclined triangular prism, ang mga distansya sa pagitan ng mga gilid na gilid ay 37, 13, at 40. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mas malaking gilid na mukha at ang kabaligtaran na gilid ng gilid.

13.3 Sa gilid ng ibabang base ng isang regular na tatsulok na prisma, iginuhit ang isang eroplano na nagsalubong sa mga gilid na nakaharap sa mga segment, ang anggulo sa pagitan ay . Hanapin ang anggulo ng pagkahilig ng eroplanong ito sa base ng prisma.

Kasama sa video course na "Kumuha ng A" ang lahat ng mga paksang kailangan para sa matagumpay na pagpasa ng pagsusulit sa matematika sa pamamagitan ng 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile USE sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic USE sa matematika. Kung gusto mong pumasa sa pagsusulit na may 90-100 puntos, kailangan mong lutasin ang bahagi 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Paghahanda ng kurso para sa pagsusulit para sa mga baitang 10-11, pati na rin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo upang malutas ang bahagi 1 ng pagsusulit sa matematika (ang unang 12 problema) at problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Examination, at hindi magagawa ng isang daang puntos na mag-aaral o isang humanist kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na solusyon, bitag at sikreto ng pagsusulit. Ang lahat ng nauugnay na gawain ng bahagi 1 mula sa mga gawain ng Bank of FIPI ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng USE-2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain sa pagsusulit. Mga problema sa teksto at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm sa paglutas ng problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa PAGGAMIT. Stereometry. Mga tusong trick para sa paglutas, kapaki-pakinabang na mga cheat sheet, pagbuo ng spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula - hanggang sa gawain 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Visual na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Base para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng ika-2 bahagi ng pagsusulit.