(lat. malawak- magnitude) - ito ang pinakamalaking deviation ng oscillating body mula sa equilibrium position.

Para sa isang pendulum, ito ang pinakamataas na distansya na ginagalaw ng bola mula sa posisyon ng equilibrium nito (figure sa ibaba). Para sa mga oscillations na may maliliit na amplitude, ang distansya na ito ay maaaring kunin bilang ang haba ng arc 01 o 02, pati na rin ang mga haba ng mga segment na ito.

Ang oscillation amplitude ay sinusukat sa mga yunit ng haba - metro, sentimetro, atbp. Sa oscillation graph, ang amplitude ay tinukoy bilang ang maximum (modulo) ordinate ng sinusoidal curve, (tingnan ang figure sa ibaba).

Panahon ng oscillation.

Panahon ng oscillation- ito ang pinakamaliit na yugto ng panahon pagkatapos kung saan ang sistema, na gumagawa ng mga oscillations, ay muling bumalik sa parehong estado kung saan ito ay sa unang sandali ng oras, pinili nang arbitraryo.

Sa madaling salita, ang oscillation period ( T) ay ang oras kung saan nagaganap ang isang kumpletong oscillation. Halimbawa, sa figure sa ibaba, ito ang oras na kinakailangan para sa bigat ng pendulum na lumipat mula sa pinakakanang punto hanggang sa punto ng equilibrium. O sa pinakakaliwang punto at pabalik sa punto O muli sa dulong kanan.

Para sa isang buong panahon ng oscillation, samakatuwid, ang katawan ay naglalakbay sa isang landas na katumbas ng apat na amplitude. Ang panahon ng oscillation ay sinusukat sa mga yunit ng oras - segundo, minuto, atbp. Ang panahon ng oscillation ay maaaring matukoy mula sa kilalang oscillation graph (tingnan ang figure sa ibaba).

Ang konsepto ng "panahon ng oscillation", mahigpit na pagsasalita, ay wasto lamang kapag ang mga halaga ng oscillating quantity ay eksaktong paulit-ulit pagkatapos ng isang tiyak na tagal ng panahon, iyon ay, para sa mga harmonic oscillations. Gayunpaman, ang konseptong ito ay inilalapat din sa mga kaso ng humigit-kumulang na umuulit na dami, halimbawa, para sa damped oscillations.

Dalas ng oscillation.

Dalas ng oscillation ay ang bilang ng mga oscillation sa bawat yunit ng oras, halimbawa, sa 1 s.

Ang SI unit ng frequency ay pinangalanan hertz(Hz) bilang parangal sa German physicist na si G. Hertz (1857-1894). Kung ang dalas ng oscillation ( v) ay katumbas ng 1 Hz, pagkatapos ay nangangahulugan ito na ang isang oscillation ay ginawa para sa bawat segundo. Ang dalas at panahon ng mga oscillation ay nauugnay sa mga relasyon:

Sa teorya ng oscillations, ginamit din ang konsepto paikot, o pabilog na dalas ω . Ito ay nauugnay sa normal na dalas v at panahon ng oscillation T ratios:

.

Paikot na dalas ay ang bilang ng mga oscillations bawat 2π segundo.

Mathematical pendulum tinatawag na isang materyal na punto na nasuspinde sa isang walang timbang at hindi nababagong sinulid na nakakabit sa isang suspensyon at matatagpuan sa larangan ng grabidad (o iba pang puwersa).

Pinag-aaralan namin ang mga oscillations ng isang mathematical pendulum sa isang inertial frame of reference, na nauugnay kung saan ang punto ng suspensyon nito ay nakapahinga o gumagalaw nang pantay sa isang tuwid na linya. Papabayaan natin ang puwersa ng paglaban ng hangin (isang perpektong mathematical pendulum). Sa una, ang pendulum ay nasa pahinga sa posisyon ng ekwilibriyo C. Sa kasong ito, ang puwersa ng grabidad na kumikilos dito at ang puwersa ng pagkalastiko F?ynp ng sinulid ay kapwa nabayaran.

Dinadala namin ang pendulum mula sa posisyon ng ekwilibriyo (i-deflecting ito, halimbawa, sa posisyon A) at hayaan itong umalis nang walang paunang bilis (Larawan 1). Sa kasong ito, ang mga puwersa at hindi balanse sa bawat isa. Ang tangential component ng gravity, na kumikilos sa pendulum, ay nagbibigay ito ng tangential acceleration a?? (ang bahagi ng kabuuang acceleration na nakadirekta sa kahabaan ng tangent sa trajectory ng mathematical pendulum), at ang pendulum ay nagsisimulang lumipat patungo sa equilibrium na posisyon na may pagtaas ng bilis sa ganap na halaga. Ang tangential component ng gravity ay kaya ang restoring force. Ang normal na bahagi ng gravity ay nakadirekta sa kahabaan ng thread laban sa nababanat na puwersa. Ang resultang puwersa at nagsasabi sa pendulum normal na acceleration, na nagbabago sa direksyon ng velocity vector, at ang pendulum ay gumagalaw sa kahabaan ng arc ABCD.

Ang mas malapit ang pendulum ay lumalapit sa equilibrium na posisyon C, nagiging mas maliit ang halaga ng tangential component. Sa posisyon ng balanse, ito ay katumbas ng zero, at ang bilis ay umabot sa pinakamataas na halaga nito, at ang pendulum ay gumagalaw nang higit pa sa pamamagitan ng pagkawalang-kilos, tumataas paitaas sa kahabaan ng arko. Sa kasong ito, ang bahagi ay nakadirekta laban sa bilis. Sa isang pagtaas sa anggulo ng pagpapalihis a, ang modulus ng puwersa ay tumataas, at ang modulus ng bilis ay bumababa, at sa punto D ang bilis ng pendulum ay nagiging katumbas ng zero. Ang pendulum ay huminto saglit at pagkatapos ay magsisimulang gumalaw sa kabaligtaran ng direksyon patungo sa posisyon ng ekwilibriyo. Ang pagkakaroon muli ng pagpasa nito sa pamamagitan ng pagkawalang-galaw, ang pendulum, bumagal, ay aabot sa punto A (walang friction), i.e. gumagawa ng puspusan. Pagkatapos nito, ang paggalaw ng pendulum ay uulitin sa pagkakasunud-sunod na inilarawan na.

Nakukuha namin ang isang equation na naglalarawan sa mga libreng oscillations ng isang mathematical pendulum.

Hayaang ang pendulum sa isang naibigay na sandali ng oras ay nasa punto B. Ang displacement nito S mula sa posisyon ng ekwilibriyo sa sandaling ito ay katumbas ng haba ng arko CB (i.e. S = |CB|). Tukuyin natin ang haba ng suspension thread bilang l, at ang masa ng pendulum bilang m.

Ipinapakita ng Figure 1 na , kung saan . Sa maliliit na anggulo () pagpapalihis ng pendulum, samakatuwid

Ang minus sign sa formula na ito ay inilalagay dahil ang tangential component ng gravity ay nakadirekta patungo sa equilibrium position, at ang displacement ay binibilang mula sa equilibrium position.

Ayon sa ikalawang batas ni Newton. Ipinakita namin ang mga dami ng vector ng equation na ito sa direksyon ng tangent sa trajectory ng mathematical pendulum

Mula sa mga equation na ito nakukuha natin

Dynamic na equation ng paggalaw ng isang mathematical pendulum. Ang tangential acceleration ng isang mathematical pendulum ay proporsyonal sa displacement nito at nakadirekta patungo sa equilibrium na posisyon. Ang equation na ito ay maaaring isulat bilang

Paghahambing nito sa equation ng harmonic oscillations , maaari nating tapusin na ang mathematical pendulum ay nagsasagawa ng mga harmonic oscillations. At dahil ang itinuturing na mga oscillations ng pendulum ay naganap sa ilalim ng pagkilos ng mga panloob na pwersa lamang, ito ay mga libreng oscillations ng pendulum. Samakatuwid, ang mga libreng oscillations ng isang mathematical pendulum na may maliit na deviations ay harmonic.

Magpakilala

Cyclic frequency ng mga oscillations ng pendulum.

Ang panahon ng oscillation ng pendulum. Kaya naman,

Ang expression na ito ay tinatawag na Huygens formula. Tinutukoy nito ang panahon ng mga libreng oscillations ng mathematical pendulum. Ito ay sumusunod mula sa pormula na sa maliliit na anggulo ng paglihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo, ang panahon ng oscillation ng mathematical pendulum:

1. ay hindi nakasalalay sa masa at amplitude ng mga oscillations nito;
2. proporsyonal sa square root ng haba ng pendulum at inversely proportional sa square root ng free fall acceleration.

Ito ay pare-pareho sa mga eksperimentong batas ng maliliit na oscillations ng isang mathematical pendulum, na natuklasan ni G. Galileo.

Binibigyang-diin namin na ang formula na ito ay maaaring gamitin upang kalkulahin ang panahon sa ilalim ng sabay-sabay na katuparan ng dalawang kundisyon:

1. pendulum oscillations ay dapat na maliit;
2. ang suspension point ng pendulum ay dapat na nakapahinga o gumagalaw ng pare-parehong rectilinearly kaugnay ng inertial reference frame kung saan ito matatagpuan.

Kung ang suspension point ng isang mathematical pendulum ay gumagalaw nang may acceleration, kung gayon ang tension force ng thread ay nagbabago, na humahantong sa isang pagbabago sa restoring force, at, dahil dito, ang dalas at panahon ng oscillation. Tulad ng ipinapakita ng mga kalkulasyon, ang panahon ng oscillation ng pendulum sa kasong ito ay maaaring kalkulahin ng formula

nasaan ang "epektibong" acceleration ng pendulum sa isang non-inertial frame of reference. Ito ay katumbas ng geometric na kabuuan ng gravitational acceleration at ang vector na kabaligtaran sa vector , i.e. maaari itong kalkulahin gamit ang formula

Ano ang panahon ng oscillation? Ano ang dami na ito, anong pisikal na kahulugan mayroon ito at kung paano kalkulahin ito? Sa artikulong ito, haharapin natin ang mga isyung ito, isaalang-alang ang iba't ibang mga formula kung saan maaaring kalkulahin ang panahon ng mga oscillations, at malalaman din kung anong relasyon ang umiiral sa pagitan ng mga pisikal na dami tulad ng panahon at dalas ng mga oscillations ng isang katawan / system.

Kahulugan at pisikal na kahulugan

Ang panahon ng oscillation ay isang yugto ng panahon kung saan ang katawan o sistema ay gumagawa ng isang oscillation (kinakailangang kumpleto). Sa parallel, maaari nating tandaan ang parameter kung saan ang oscillation ay maaaring ituring na kumpleto. Ang papel ng naturang kondisyon ay ang pagbabalik ng katawan sa orihinal nitong estado (sa orihinal na coordinate). Ang pagkakatulad sa panahon ng isang function ay napakahusay na iginuhit. Hindi sinasadya, isang pagkakamali na isipin na ito ay nagaganap lamang sa karaniwan at mas mataas na matematika. Tulad ng alam mo, ang dalawang agham na ito ay hindi mapaghihiwalay. At ang panahon ng mga pag-andar ay maaaring makatagpo hindi lamang kapag ang paglutas ng mga trigonometriko equation, kundi pati na rin sa iba't ibang sangay ng pisika, ibig sabihin, pinag-uusapan natin ang tungkol sa mekanika, optika at iba pa. Kapag inililipat ang panahon ng mga oscillation mula sa matematika patungo sa pisika, dapat itong maunawaan bilang isang pisikal na dami (at hindi isang function), na may direktang pag-asa sa paglipas ng oras.

Ano ang mga pagbabago?

Ang mga oscillation ay nahahati sa harmonic at anharmonic, pati na rin ang periodic at non-periodic. Magiging lohikal na ipagpalagay na sa kaso ng mga harmonic oscillations, nangyayari ang mga ito ayon sa ilang harmonic function. Maaari itong maging sine o cosine. Sa kasong ito, ang mga coefficient ng compression-stretching at increase-decrease ay maaari ding lumabas sa kaso. Gayundin, ang mga vibrations ay damped. Iyon ay, kapag ang isang tiyak na puwersa ay kumikilos sa sistema, na unti-unting "nagpapabagal" sa mga oscillations mismo. Sa kasong ito, ang panahon ay nagiging mas maikli, habang ang dalas ng mga oscillation ay palaging tumataas. Ang pinakasimpleng eksperimento gamit ang isang pendulum ay nagpapakita ng gayong pisikal na axiom nang napakahusay. Maaari itong maging uri ng tagsibol, pati na rin ang matematika. Hindi na ito mahalaga. Sa pamamagitan ng paraan, ang panahon ng oscillation sa naturang mga sistema ay matutukoy ng iba't ibang mga formula. Ngunit higit pa sa na mamaya. Ngayon magbigay tayo ng mga halimbawa.

Karanasan sa mga pendulum

Maaari kang kumuha ng anumang pendulum muna, walang pagkakaiba. Ang mga batas ng pisika ay ang mga batas ng pisika, na sila ay iginagalang sa anumang kaso. Ngunit sa ilang kadahilanan, ang mathematical pendulum ay mas gusto ko. Kung ang isang tao ay hindi nakakaalam kung ano ito: ito ay isang bola sa isang hindi mapalawak na sinulid na nakakabit sa isang pahalang na bar na nakakabit sa mga binti (o ang mga elemento na gumaganap ng kanilang papel - upang panatilihing balanse ang sistema). Ang bola ay pinakamahusay na kinuha mula sa metal, upang ang karanasan ay mas malinaw.

Kaya, kung aalisin mo ang ganoong sistema sa balanse, maglapat ng ilang puwersa sa bola (sa madaling salita, itulak ito), pagkatapos ay magsisimula ang bola sa pag-ugoy sa thread, kasunod ng isang tiyak na tilapon. Sa paglipas ng panahon, maaari mong mapansin na ang trajectory kung saan ang bola ay pumasa ay nabawasan. Kasabay nito, ang bola ay nagsisimulang gumalaw pabalik-balik nang mas mabilis at mas mabilis. Ito ay nagpapahiwatig na ang dalas ng oscillation ay tumataas. Ngunit ang oras na aabutin para bumalik ang bola sa orihinal nitong posisyon ay bumababa. Ngunit ang oras ng isang kumpletong oscillation, gaya ng nalaman natin kanina, ay tinatawag na period. Kung ang isang halaga ay bumababa at ang isa ay tumaas, kung gayon sila ay nagsasalita ng kabaligtaran na proporsyonalidad. Kaya nakarating kami sa unang sandali, batay sa kung aling mga formula ang binuo upang matukoy ang panahon ng mga oscillations. Kung kukuha tayo ng spring pendulum para sa pagsubok, kung gayon ang batas ay susundin doon sa isang bahagyang naiibang anyo. Upang ito ay maging mas malinaw na kinakatawan, itinakda namin ang sistema sa paggalaw sa isang patayong eroplano. Upang gawing mas malinaw, ito ay unang nagkakahalaga ng pagsasabi kung ano ang isang spring pendulum. Mula sa pangalan ay malinaw na ang isang bukal ay dapat naroroon sa disenyo nito. At totoo nga. Muli, mayroon kaming isang pahalang na eroplano sa mga suporta, kung saan ang isang spring ng isang tiyak na haba at higpit ay sinuspinde. Dito, ang isang bigat ay sinuspinde. Maaari itong maging isang silindro, isang kubo o ibang pigura. Maaaring ito ay ilang third-party na item. Sa anumang kaso, kapag ang sistema ay inalis sa balanse, magsisimula itong magsagawa ng mga damped oscillations. Ang pagtaas ng dalas ay pinakamalinaw na nakikita sa patayong eroplano, nang walang anumang paglihis. Sa karanasang ito, makakatapos ka.

Kaya, sa kanilang kurso, nalaman namin na ang panahon at dalas ng mga oscillation ay dalawang pisikal na dami na may kabaligtaran na relasyon.

Pagtatalaga ng mga dami at sukat

Karaniwan, ang panahon ng oscillation ay tinutukoy ng Latin na letrang T. Mas madalas, maaari itong tukuyin sa ibang paraan. Ang dalas ay tinutukoy ng titik µ (“Mu”). Tulad ng sinabi namin sa pinakasimula, ang isang panahon ay hindi hihigit sa panahon kung saan ang isang kumpletong oscillation ay nangyayari sa system. Pagkatapos ang dimensyon ng panahon ay magiging isang segundo. At dahil inversely proportional ang period at frequency, ang dimensyon ng frequency ay unit na hinati sa isang segundo. Sa talaan ng mga gawain, magiging ganito ang lahat: T (s), µ (1/s).

Formula para sa isang mathematical pendulum. Gawain 1

Tulad ng sa kaso sa mga eksperimento, nagpasya akong una sa lahat na harapin ang mathematical pendulum. Hindi kami pupunta sa derivation ng formula nang detalyado, dahil ang naturang gawain ay hindi orihinal na itinakda. Oo, at ang konklusyon mismo ay mahirap. Ngunit kilalanin natin ang mga formula mismo, alamin kung anong uri ng mga dami ang kasama nila. Kaya, ang formula para sa panahon ng oscillation para sa isang mathematical pendulum ay ang mga sumusunod:

Kung saan ang l ay ang haba ng thread, n \u003d 3.14, at ang g ay ang acceleration ng gravity (9.8 m / s ^ 2). Ang formula ay hindi dapat maging sanhi ng anumang mga paghihirap. Samakatuwid, nang walang karagdagang mga katanungan, kami ay agad na magpapatuloy sa paglutas ng problema sa pagtukoy ng panahon ng oscillation ng isang mathematical pendulum. Ang isang metal na bola na tumitimbang ng 10 gramo ay sinuspinde mula sa isang hindi mapalawak na sinulid na 20 sentimetro ang haba. Kalkulahin ang panahon ng oscillation ng system, kinuha ito para sa isang mathematical pendulum. Ang solusyon ay napaka-simple. Tulad ng sa lahat ng mga problema sa pisika, ito ay kinakailangan upang pasimplehin ito hangga't maaari sa pamamagitan ng pagtatapon ng mga hindi kinakailangang salita. Ang mga ito ay kasama sa konteksto upang malito ang mapagpasyang isa, ngunit sa katunayan sila ay ganap na walang timbang. Sa karamihan ng mga kaso, siyempre. Dito posible na ibukod ang sandali na may "hindi maihahambing na thread". Ang pariralang ito ay hindi dapat humantong sa pagkahilo. At dahil mayroon tayong mathematical pendulum, hindi tayo dapat maging interesado sa masa ng load. Iyon ay, ang mga salita tungkol sa 10 gramo ay idinisenyo lamang upang malito ang mag-aaral. Ngunit alam natin na walang masa sa pormula, kaya kung may malinis na budhi ay maaari tayong magpatuloy sa solusyon. Kaya, kinukuha namin ang formula at pinapalitan lamang ang mga halaga dito, dahil kinakailangan upang matukoy ang panahon ng system. Dahil walang karagdagang kundisyon ang tinukoy, ipapaikot namin ang mga halaga sa ika-3 decimal na lugar, gaya ng nakaugalian. Ang pagpaparami at paghahati ng mga halaga, nakuha namin na ang panahon ng oscillation ay 0.886 segundo. Nalutas ang problema.

Formula para sa isang spring pendulum. Gawain #2

Ang mga formula ng pendulum ay may isang karaniwang bahagi, katulad ng 2n. Ang halagang ito ay nasa dalawang formula nang sabay-sabay, ngunit naiiba ang mga ito sa root expression. Kung sa problema tungkol sa panahon ng isang spring pendulum, ang mass ng load ay ipinahiwatig, kung gayon imposibleng maiwasan ang mga kalkulasyon sa paggamit nito, tulad ng nangyari sa mathematical pendulum. Ngunit hindi ka dapat matakot. Ganito ang hitsura ng pormula ng panahon para sa isang spring pendulum:

Sa loob nito, ang m ay ang masa ng pag-load na sinuspinde mula sa tagsibol, ang k ay ang koepisyent ng higpit ng tagsibol. Sa problema, maaaring ibigay ang halaga ng koepisyent. Ngunit kung sa formula ng isang mathematical pendulum ay hindi ka partikular na nag-clear up - pagkatapos ng lahat, 2 sa 4 na mga halaga ay pare-pareho - pagkatapos ay isang 3rd parameter ay idinagdag dito, na maaaring magbago. At sa output mayroon kaming 3 mga variable: ang panahon (dalas) ng mga oscillations, ang koepisyent ng spring stiffness, ang masa ng suspendido na pagkarga. Ang gawain ay maaaring nakatuon sa paghahanap ng alinman sa mga parameter na ito. Ang paghahanap muli ng panahon ay magiging napakadali, kaya babaguhin natin nang kaunti ang kundisyon. Hanapin ang higpit ng spring kung ang full swing time ay 4 na segundo at ang bigat ng spring pendulum ay 200 gramo.

Upang malutas ang anumang pisikal na problema, makabubuting gumawa muna ng isang guhit at magsulat ng mga formula. Sila ang kalahati ng labanan dito. Ang pagkakaroon ng nakasulat na formula, ito ay kinakailangan upang ipahayag ang stiffness coefficient. Ito ay nasa ilalim ng aming ugat, kaya namin parisukat ang magkabilang panig ng equation. Upang maalis ang fraction, i-multiply ang mga bahagi sa k. Ngayon iwanan lamang natin ang koepisyent sa kaliwang bahagi ng equation, iyon ay, hinahati natin ang mga bahagi sa T^2. Sa prinsipyo, ang problema ay maaaring maging mas kumplikado sa pamamagitan ng pagtatakda ng hindi isang tuldok sa mga numero, ngunit isang dalas. Sa anumang kaso, kapag ang pagkalkula at pag-round (napagkasunduan naming i-round up sa ika-3 decimal na lugar), lumalabas na k = 0.157 N/m.

Ang panahon ng libreng oscillations. Libreng period formula

Ang formula para sa panahon ng mga libreng oscillations ay nauunawaan na ang ibig sabihin ng mga formula na sinuri namin sa dalawang dating ibinigay na problema. Binubuo din nila ang isang equation ng mga libreng oscillations, ngunit doon na natin pinag-uusapan ang tungkol sa mga displacement at coordinate, at ang tanong na ito ay kabilang sa isa pang artikulo.

1) Bago gawin ang isang gawain, isulat ang pormula na nauugnay dito.

2) Ang pinakasimpleng mga gawain ay hindi nangangailangan ng mga guhit, ngunit sa mga pambihirang kaso kakailanganin nilang gawin.

3) Subukang alisin ang mga ugat at denominador kung maaari. Ang isang equation na nakasulat sa isang linya na walang denominator ay mas maginhawa at mas madaling lutasin.

Sa teknolohiya at sa mundo sa paligid natin, madalas nating kailangang harapin periodical(o halos pana-panahon) mga prosesong umuulit sa mga regular na pagitan. Ang mga ganitong proseso ay tinatawag oscillatory.

Ang mga panginginig ng boses ay isa sa mga pinakakaraniwang proseso sa kalikasan at teknolohiya. Mga pakpak ng mga insekto at ibon na lumilipad, mga matataas na gusali at mga wire na may mataas na boltahe sa ilalim ng pagkilos ng hangin, ang pendulum ng isang orasan ng sugat at isang kotse sa mga bukal sa panahon ng paggalaw, ang antas ng ilog sa panahon ng taon at ang temperatura ng ang katawan ng tao sa panahon ng sakit, ang tunog ay pagbabagu-bago sa density at presyon ng hangin, mga radio wave - panaka-nakang pagbabago sa lakas ng mga electric at magnetic field, ang nakikitang liwanag ay mga electromagnetic oscillations, na may bahagyang naiibang wavelength at frequency, mga lindol - vibrations ng lupa. , pulse beats - panaka-nakang contraction ng kalamnan ng puso ng tao, atbp.

Ang mga vibrations ay mekanikal, electromagnetic, kemikal, thermodynamic at iba't iba pa. Sa kabila ng pagkakaiba-iba na ito, lahat sila ay may maraming pagkakatulad.

Ang mga oscillatory phenomena ng iba't ibang pisikal na kalikasan ay napapailalim sa mga pangkalahatang batas. Halimbawa, ang mga kasalukuyang oscillations sa isang electrical circuit at oscillations ng isang mathematical pendulum ay maaaring ilarawan ng parehong mga equation. Ang pagkakapareho ng mga oscillatory regularities ay ginagawang posible na isaalang-alang ang mga oscillatory na proseso ng iba't ibang kalikasan mula sa isang punto ng view. Ang isang tanda ng oscillatory motion ay nito periodicity.

Mga mekanikal na panginginig ng boses -Itomga paggalaw na eksaktong umuulit o humigit-kumulang sa mga regular na pagitan.

Ang mga halimbawa ng mga simpleng oscillatory system ay ang timbang sa isang spring (spring pendulum) o isang bola sa isang thread (mathematical pendulum).

Sa panahon ng mga mekanikal na panginginig ng boses, ang kinetic at potensyal na enerhiya ay nagbabago sa pana-panahon.

Sa maximum na paglihis katawan mula sa posisyon ng balanse, ang bilis nito, at dahil dito, at Ang kinetic energy ay napupunta sa zero. Sa ganitong posisyon potensyal na enerhiya oscillating na katawan umabot sa pinakamataas na halaga. Para sa isang load sa isang spring, ang potensyal na enerhiya ay ang enerhiya ng nababanat na pagpapapangit ng spring. Para sa isang mathematical pendulum, ito ang enerhiya sa gravitational field ng Earth.

Kapag ang isang katawan sa paggalaw nito ay dumaan posisyon ng ekwilibriyo, ang bilis nito ay maximum. Nilaktawan ng katawan ang posisyon ng balanse ayon sa batas ng inertia. Sa sandaling ito mayroon na maximum na kinetic at pinakamababang potensyal na enerhiya. Ang isang pagtaas sa kinetic energy ay nangyayari sa gastos ng isang pagbawas sa potensyal na enerhiya.

Sa karagdagang paggalaw, ang potensyal na enerhiya ay nagsisimulang tumaas dahil sa pagbaba ng kinetic energy, atbp.

Kaya, na may harmonic vibrations, mayroong isang panaka-nakang pagbabago ng kinetic energy sa potensyal na enerhiya at vice versa.

Kung walang friction sa oscillatory system, kung gayon ang kabuuang mekanikal na enerhiya sa panahon ng mga mekanikal na panginginig ng boses ay nananatiling hindi nagbabago.

Para sa pag-load ng tagsibol:

Sa posisyon ng maximum na pagpapalihis, ang kabuuang enerhiya ng pendulum ay katumbas ng potensyal na enerhiya ng deformed spring:

Kapag dumadaan sa posisyon ng equilibrium, ang kabuuang enerhiya ay katumbas ng kinetic energy ng load:

Para sa maliliit na oscillations ng isang mathematical pendulum:

Sa posisyon ng maximum na paglihis, ang kabuuang enerhiya ng pendulum ay katumbas ng potensyal na enerhiya ng katawan na itinaas sa taas h:

Kapag dumadaan sa posisyon ng balanse, ang kabuuang enerhiya ay katumbas ng kinetic energy ng katawan:

Dito h m ay ang pinakamataas na taas ng pag-angat ng pendulum sa gravitational field ng Earth, x m at υ m = ω 0 x m ay ang pinakamataas na paglihis ng pendulum mula sa posisyon ng equilibrium at ang bilis nito.

Harmonic oscillations at ang kanilang mga katangian. Equation ng harmonic oscillation.

Ang pinakasimpleng uri ng proseso ng oscillatory ay simple harmonic vibrations, na inilalarawan ng equation

x = x m cos(ω t + φ 0).

Dito x- pag-aalis ng katawan mula sa posisyon ng balanse,
x m- ang amplitude ng mga oscillations, iyon ay, ang maximum na pag-aalis mula sa posisyon ng equilibrium,
ω – cyclic o circular frequency pag-aatubili,
t- oras.

Mga katangian ng oscillatory motion.

Offset x - paglihis ng oscillating point mula sa posisyon ng ekwilibriyo. Ang yunit ng pagsukat ay 1 metro.

Amplitude ng oscillation A - ang maximum deviation ng oscillating point mula sa equilibrium position. Ang yunit ng pagsukat ay 1 metro.

Panahon ng oscillationT- ang pinakamababang agwat ng oras kung saan naganap ang isang kumpletong oscillation ay tinatawag. Ang yunit ng pagsukat ay 1 segundo.

T=t/N

kung saan ang t ay ang oras ng oscillation, ang N ay ang bilang ng mga oscillation na ginawa sa panahong ito.

Ayon sa graph ng mga harmonic oscillations, maaari mong matukoy ang panahon at amplitude ng mga oscillations:

Dalas ng oscillation ν - isang pisikal na dami na katumbas ng bilang ng mga oscillation sa bawat yunit ng oras.

ν=N/t

Ang dalas ay ang kapalit ng panahon ng oscillation:

Dalas Ang mga oscillations ν ay nagpapakita kung gaano karaming mga oscillations ang nangyayari sa 1 s. Ang yunit ng frequency ay hertz(Hz).

Paikot na dalas ω ay ang bilang ng mga oscillation sa 2π segundo.

Ang dalas ng oscillation ν ay nauugnay sa cyclic frequency ω at panahon ng oscillation T ratios:

Phase harmonic process - isang halaga na nasa ilalim ng sign ng sine o cosine sa equation ng harmonic oscillations φ = ω t + φ 0 . Sa t= 0 φ = φ 0 , samakatuwid φ 0 tinawag unang bahagi.

Graph ng mga harmonic oscillations ay isang sine wave o isang cosine wave.

Sa lahat ng tatlong kaso para sa mga asul na kurba φ 0 = 0:

lamang mas malaki malawak(x" m > x m);

iba ang red curve sa blue lamang halaga panahon(T" = T / 2);

iba ang red curve sa blue lamang halaga unang bahagi(masaya).

Kapag ang katawan ay nag-oscillate sa isang tuwid na linya (axis OX) ang velocity vector ay palaging nakadirekta sa tuwid na linyang ito. Ang bilis ng katawan ay tinutukoy ng expression

Sa matematika, ang pamamaraan para sa paghahanap ng limitasyon ng ratio Δx / Δt sa Δ t Ang → 0 ay tinatawag na pagkalkula ng derivative ng function x(t) ayon sa panahon t at tinutukoy bilang x"(t).Ang bilis ay katumbas ng derivative ng function na x( t) ayon sa panahon t.

Para sa maharmonya na batas ng paggalaw x = x m cos(ω t+ φ 0) ang pagkalkula ng derivative ay humahantong sa sumusunod na resulta:

υ X =x"(t)= ω x m kasalanan (ω t + φ 0)

Ang acceleration ay tinukoy sa katulad na paraan isang x katawan sa ilalim ng harmonic vibrations. Pagpapabilis a ay katumbas ng derivative ng function na υ( t) ayon sa panahon t, o ang pangalawang derivative ng function x(t). Ang mga kalkulasyon ay nagbibigay ng:

isang x \u003d υ x "(t) =x""(t)= -ω 2 x m cos(ω t+ φ 0)=-ω 2 x

Ang minus sign sa expression na ito ay nangangahulugan na ang acceleration a(t) palaging may kabaligtaran na tanda ng offset x(t), at, samakatuwid, ayon sa pangalawang batas ni Newton, ang puwersa na nagiging sanhi ng katawan na magsagawa ng mga harmonic oscillations ay palaging nakadirekta sa posisyon ng balanse ( x = 0).

Ipinapakita ng figure ang mga graph ng mga coordinate, velocity at acceleration ng isang katawan na nagsasagawa ng mga harmonic oscillations.

Mga graph ng coordinate x(t), velocity υ(t) at acceleration a(t) ng isang katawan na nagsasagawa ng mga harmonic oscillations.

Spring pendulum.

Spring pendulumtumawag sa isang load ng ilang mass m, na nakakabit sa isang spring ng higpit k, ang pangalawang dulo nito ay naayos na hindi gumagalaw..

natural na dalasω 0 libreng vibrations ng load sa spring ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Panahon T harmonic vibrations ng load sa spring ay katumbas ng

Nangangahulugan ito na ang panahon ng oscillation ng spring pendulum ay depende sa masa ng load at sa higpit ng spring.

Mga pisikal na katangian ng oscillatory system tukuyin lamang ang natural na dalas ng oscillation ω 0 at ang panahon T . Ang nasabing mga parameter ng proseso ng oscillation bilang amplitude x m at ang paunang yugto φ 0 , ay tinutukoy ng paraan kung saan ang sistema ay inilabas sa ekwilibriyo sa unang sandali ng oras.

Mathematical pendulum.

Mathematical pendulumtinatawag na isang katawan ng maliit na sukat, na nasuspinde sa isang manipis na hindi mapalawak na sinulid, ang masa nito ay bale-wala kumpara sa masa ng katawan.

Sa posisyon ng equilibrium, kapag ang pendulum ay nakabitin sa isang plumb line, ang gravity force ay nababalanse ng thread tension force N. Kapag ang pendulum ay lumihis mula sa equilibrium na posisyon sa pamamagitan ng isang tiyak na anggulo φ, lumilitaw ang isang tangential component ng gravity force. F τ = – mg kasalanan phi. Ang minus sign sa formula na ito ay nangangahulugan na ang tangential component ay nakadirekta sa direksyon na tapat sa pendulum deflection.

Mathematical pendulum.φ - angular deviation ng pendulum mula sa posisyon ng equilibrium,

x= lφ – pag-aalis ng pendulum sa kahabaan ng arko

Ang natural na dalas ng maliliit na oscillations ng isang mathematical pendulum ay ipinahayag ng formula:

Panahon ng oscillation ng isang mathematical pendulum:

Nangangahulugan ito na ang panahon ng oscillation ng isang mathematical pendulum ay depende sa haba ng thread at sa acceleration ng free fall ng lugar kung saan naka-install ang pendulum.

Libre at sapilitang vibrations.

Ang mga mekanikal na oscillations, tulad ng mga oscillatory na proseso ng anumang iba pang pisikal na kalikasan, ay maaaring libre at pilit.

Libreng vibrations -Ito ang mga oscillations na nagaganap sa system sa ilalim ng pagkilos ng mga panloob na pwersa, pagkatapos na mailabas ang system sa isang posisyon ng matatag na ekwilibriyo.

Ang mga oscillations ng isang timbang sa isang spring o ang mga oscillations ng isang pendulum ay libreng oscillations.

Upang maganap ang mga libreng oscillations alinsunod sa harmonic law, kinakailangan na ang puwersang naghahanda upang ibalik ang katawan sa posisyon ng balanse ay proporsyonal sa pag-aalis ng katawan mula sa posisyon ng balanse at nakadirekta sa direksyon na kabaligtaran ng displacement. .

Sa totoong mga kondisyon, ang anumang oscillatory system ay nasa ilalim ng impluwensya ng mga puwersa ng friction (paglaban). Sa kasong ito, ang bahagi ng mekanikal na enerhiya ay na-convert sa panloob na enerhiya ng thermal motion ng mga atom at molekula, at ang mga vibrations ay nagiging kumukupas.

Nabubulok tinatawag na vibrations, ang amplitude nito ay bumababa sa paglipas ng panahon.

Upang ang mga oscillations ay hindi mamasa, kinakailangan upang magbigay ng karagdagang enerhiya sa system, i.e. kumilos sa oscillatory system na may panaka-nakang puwersa (halimbawa, sa pag-ugoy ng swing).

Ang mga oscillation na nangyayari sa ilalim ng impluwensya ng isang panlabas na pana-panahong nagbabagong puwersa ay tinatawagpilit.

Ang panlabas na puwersa ay gumaganap ng positibong trabaho at nagbibigay ng pag-agos ng enerhiya sa oscillatory system. Hindi nito pinapayagan ang mga oscillations na kumupas, sa kabila ng pagkilos ng mga puwersa ng friction.

Ang isang pana-panahong panlabas na puwersa ay maaaring mag-iba sa oras ayon sa iba't ibang mga batas. Ang partikular na interes ay ang kaso kapag ang isang panlabas na puwersa, na nagbabago ayon sa isang harmonic na batas na may dalas na ω, ay kumikilos sa isang oscillatory system na may kakayahang magsagawa ng mga natural na oscillations sa isang tiyak na frequency ω 0 .

Kung ang mga libreng vibrations ay nangyayari sa isang dalas ω 0 , na tinutukoy ng mga parameter ng system, kung gayon palagiang nangyayari ang mga steady forced oscillations dalas ω ng panlabas na puwersa .

Ang kababalaghan ng isang matalim na pagtaas sa amplitude ng sapilitang mga oscillations kapag ang dalas ng natural na mga oscillations ay tumutugma sa dalas ng panlabas na puwersa sa pagmamaneho ay tinatawagresonance.

Amplitude dependence x m sapilitang oscillations mula sa frequency ω ng puwersang nagtutulak ay tinatawag matunog na katangian o resonance curve.

Mga kurba ng resonance sa iba't ibang antas ng pamamasa:

1 - oscillatory system na walang alitan; sa resonance, ang amplitude x m ng sapilitang mga oscillations ay tumataas nang walang katiyakan;

2, 3, 4 - totoong resonance curves para sa mga oscillatory system na may iba't ibang friction.

Sa kawalan ng friction, ang amplitude ng sapilitang mga oscillations sa resonance ay dapat tumaas nang walang katiyakan. Sa totoong mga kondisyon, ang amplitude ng steady-state forced oscillations ay tinutukoy ng kondisyon: ang gawain ng isang panlabas na puwersa sa panahon ng mga oscillations ay dapat na katumbas ng pagkawala ng mekanikal na enerhiya sa parehong oras dahil sa friction. Ang mas kaunting alitan, mas malaki ang amplitude ng sapilitang mga oscillations sa resonance.

Ang kababalaghan ng resonance ay maaaring maging sanhi ng pagkawasak ng mga tulay, mga gusali at iba pang mga istraktura, kung ang mga natural na frequency ng kanilang mga oscillations ay nag-tutugma sa dalas ng isang pana-panahong kumikilos na puwersa, na lumitaw, halimbawa, dahil sa pag-ikot ng isang hindi balanseng motor.

oscillatory motion- panaka-nakang o halos pana-panahong paggalaw ng isang katawan, ang coordinate, bilis at acceleration na sa mga regular na pagitan ay tumatagal ng humigit-kumulang sa parehong mga halaga.

Ang mga mekanikal na oscillations ay nangyayari kapag, kapag ang isang katawan ay inalis sa ekwilibriyo, isang puwersa ang lilitaw na may posibilidad na ibalik ang katawan.

Displacement x - paglihis ng katawan mula sa posisyon ng ekwilibriyo.

Amplitude A - ang module ng maximum na pag-aalis ng katawan.

Panahon ng oscillation T - oras ng isang oscillation:

Dalas ng oscillation

Ang bilang ng mga oscillations na ginawa ng katawan sa bawat yunit ng oras: Sa panahon ng mga oscillations, ang bilis at acceleration ay nagbabago sa pana-panahon. Sa posisyon ng balanse, ang bilis ay maximum, ang acceleration ay zero. Sa mga punto ng maximum na pag-aalis, ang acceleration ay umabot sa pinakamataas nito, at ang bilis ay naglalaho.

GRAPH NG HARMONIC OSCILLATIONS

Harmonic Ang mga oscillations na nagaganap ayon sa batas ng sine o cosine ay tinatawag na:

kung saan ang x(t) ay ang displacement ng system sa oras na t, A ay ang amplitude, ω ay ang cyclic oscillation frequency.

Kung ang paglihis ng katawan mula sa posisyon ng balanse ay naka-plot sa kahabaan ng vertical axis, at ang oras ay naka-plot kasama ang pahalang na axis, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang graph ng oscillation x = x(t) - ang pag-asa ng pag-aalis ng katawan sa oras. Sa libreng harmonic oscillations, ito ay isang sinusoid o isang cosine wave. Ipinapakita ng figure ang mga graph ng displacement x, velocity projection V x at acceleration a x versus time.

Tulad ng makikita mula sa mga graph, sa pinakamataas na displacement x, ang bilis ng V ng oscillating body ay zero, ang acceleration a, at samakatuwid ang puwersa na kumikilos sa katawan, ay pinakamataas at nakadirekta sa tapat ng displacement. Sa posisyon ng balanse, ang displacement at acceleration ay nawawala, ang bilis ay maximum. Ang acceleration projection ay palaging may kabaligtaran na tanda ng displacement.

ENERHIYA NG VIBRATIONAL MOVEMENT

Ang kabuuang mekanikal na enerhiya ng isang oscillating body ay katumbas ng kabuuan ng kinetic at potensyal na enerhiya nito at, sa kawalan ng friction, ay nananatiling pare-pareho:

Sa sandaling ang displacement ay umabot sa pinakamataas na x = A, ang bilis, at kasama nito ang kinetic energy, ay naglalaho.

Sa kasong ito, ang kabuuang enerhiya ay katumbas ng potensyal na enerhiya:

Ang kabuuang mekanikal na enerhiya ng isang oscillating body ay proporsyonal sa parisukat ng amplitude ng mga oscillations nito.

Kapag ang sistema ay pumasa sa posisyon ng equilibrium, ang displacement at potensyal na enerhiya ay katumbas ng zero: x \u003d 0, E p \u003d 0. Samakatuwid, ang kabuuang enerhiya ay katumbas ng kinetic:

Ang kabuuang mekanikal na enerhiya ng isang oscillating body ay proporsyonal sa parisukat ng bilis nito sa posisyon ng equilibrium. Kaya naman:

MATHEMATICAL PENDULUM

1. Mathematical pendulum ay isang materyal na punto na nasuspinde sa isang walang timbang na hindi mapalawak na sinulid.

Sa posisyon ng balanse, ang puwersa ng grabidad ay binabayaran ng pag-igting ng sinulid. Kung ang pendulum ay pinalihis at pinakawalan, kung gayon ang mga puwersa at titigil sa pagtumbas sa isa't isa, at magkakaroon ng resultang puwersa na ididirekta sa posisyon ng ekwilibriyo. Pangalawang batas ni Newton:

Para sa maliliit na pagbabagu-bago, kapag ang displacement x ay mas mababa sa l, ang materyal na punto ay lilipat halos kasama ang pahalang na x axis. Pagkatapos mula sa tatsulok na MAB nakukuha natin:

Bilang kasalanan a \u003d x / l, pagkatapos ay ang projection ng nagresultang puwersa R sa x-axis ay katumbas ng

Ang minus sign ay nagpapahiwatig na ang puwersa R ay palaging nakadirekta laban sa displacement x.

2. Kaya, sa panahon ng mga oscillations ng isang mathematical pendulum, pati na rin sa panahon ng oscillations ng isang spring pendulum, ang restoring force ay proporsyonal sa displacement at nakadirekta sa tapat na direksyon.

Ihambing natin ang mga expression para sa pagpapanumbalik ng puwersa ng mathematical at spring pendulum:

Makikita na ang mg/l ay isang analog ng k. Pinapalitan ang k ng mg/l sa formula para sa panahon ng spring pendulum

nakukuha namin ang formula para sa panahon ng isang mathematical pendulum:

Ang panahon ng maliliit na oscillations ng isang mathematical pendulum ay hindi nakadepende sa amplitude.

Ang isang mathematical pendulum ay ginagamit upang sukatin ang oras, upang matukoy ang acceleration ng free fall sa isang partikular na lokasyon sa ibabaw ng mundo.

Ang mga libreng oscillations ng isang mathematical pendulum sa maliliit na anggulo ng pagpapalihis ay magkatugma. Nangyayari ang mga ito dahil sa nagreresultang puwersa ng gravity at ang pag-igting ng sinulid, pati na rin ang pagkawalang-kilos ng pagkarga. Ang resulta ng mga puwersang ito ay ang puwersang nagpapanumbalik.

Halimbawa. Tukuyin ang free fall acceleration sa isang planeta kung saan ang isang pendulum na 6.25 m ang haba ay may panahon ng libreng oscillation na 3.14 s.

Ang panahon ng oscillation ng isang mathematical pendulum ay depende sa haba ng thread at ang acceleration ng free fall:

Sa pamamagitan ng pag-square sa magkabilang panig ng equation, nakukuha natin ang:

Sagot: ang free fall acceleration ay 25 m/s 2 .

Mga gawain at pagsusulit sa paksang "Topic 4. "Mechanics. Panginginig ng boses at alon.

• Transverse at longitudinal waves. Haba ng daluyong

  Aralin: 3 Takdang-Aralin: 9 Pagsusulit: 1

• Mga sound wave. Bilis ng tunog - Mga mekanikal na oscillations at alon. Sound grade 9