Sa paksang ito, isasaalang-alang natin ang konsepto ng isang matrix, pati na rin ang mga uri ng matrice. Dahil maraming termino sa paksang ito, magdaragdag ako ng buod para mas madaling i-navigate ang materyal.
Kahulugan ng isang matrix at ang elemento nito. Notasyon.
Matrix ay isang talahanayan na may $m$ na mga hilera at $n$ na mga hanay. Ang mga elemento ng isang matrix ay maaaring maging mga bagay na may ganap na magkakaibang kalikasan: mga numero, variable, o, halimbawa, iba pang mga matrice. Halimbawa, ang matrix na $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ ay may 3 row at 2 column; ang mga elemento nito ay mga integer. Ang matrix $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ naglalaman ng 2 row at 4 na column.
Iba't ibang paraan ng pagsulat ng mga matrice: ipakita\itago
Ang matrix ay maaaring isulat hindi lamang sa mga round bracket, kundi pati na rin sa square o double straight bracket. Iyon ay, ang mga entry sa ibaba ay nangangahulugan ng parehong matrix:
$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$
Ang produktong $m\beses n$ ay tinatawag laki ng matrix. Halimbawa, kung ang matrix ay naglalaman ng 5 row at 3 column, ang isa ay nagsasalita ng $5\times 3$ na matrix. Ang matrix na $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ ay may sukat na $3 \times 2$.
Ang mga matrice ay karaniwang tinutukoy ng malalaking titik ng alpabetong Latin: $A$, $B$, $C$, at iba pa. Halimbawa, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Ang pagnunumero ng linya ay napupunta mula sa itaas hanggang sa ibaba; mga hanay - mula kaliwa hanggang kanan. Halimbawa, ang unang hilera ng matrix na $B$ ay naglalaman ng mga elemento 5 at 3, at ang pangalawang hanay ay naglalaman ng mga elemento 3, -87, 0.
Ang mga elemento ng matrice ay karaniwang tinutukoy ng maliliit na titik. Halimbawa, ang mga elemento ng matrix na $A$ ay tinutukoy ng $a_(ij)$. Ang double index na $ij$ ay naglalaman ng impormasyon tungkol sa posisyon ng elemento sa matrix. Ang numerong $i$ ay ang numero ng row, at ang numerong $j$ ay ang numero ng column, sa intersection kung saan matatagpuan ang elementong $a_(ij)$. Halimbawa, sa intersection ng pangalawang row at ikalimang column ng matrix $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ element $ a_(25)= $59:
Katulad nito, sa intersection ng unang row at ang unang column, mayroon tayong elementong $a_(11)=51$; sa intersection ng ikatlong hilera at ang pangalawang hanay - ang elemento $a_(32)=-15$ at iba pa. Tandaan na ang $a_(32)$ ay binabasa bilang "a three two" ngunit hindi "a thirty two".
Para sa pinaikling pagtatalaga ng matrix na $A$, ang laki nito ay katumbas ng $m\times n$, ginagamit ang notation na $A_(m\times n)$. Maaari kang magsulat ng mas detalyado:
$$ A_(m\beses n)=(a_(ij)) $$
kung saan ang notasyon na $(a_(ij))$ ay tumutukoy sa mga elemento ng matrix na $A$. Sa isang ganap na pinalawak na anyo, ang matrix na $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
$$ A_(m\beses n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$
Ipakilala natin ang isa pang termino - pantay na matrice.
Dalawang matrice na magkapareho ang laki $A_(m\times n)=(a_(ij))$ at $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ay tinatawag pantay kung ang kanilang mga kaukulang elemento ay pantay, i.e. $a_(ij)=b_(ij)$ para sa lahat ng $i=\overline(1,m)$ at $j=\overline(1,n)$.
Paliwanag para sa entry na $i=\overline(1,m)$: ipakita\itago
Ang entry na "$i=\overline(1,m)$" ay nangangahulugan na ang parameter na $i$ ay nagbabago mula 1 hanggang m. Halimbawa, ang entry na $i=\overline(1,5)$ ay nagsasabi na ang $i$ na parameter ay tumatagal ng mga halaga 1, 2, 3, 4, 5.
Kaya, para sa pagkakapantay-pantay ng mga matrice, dalawang kondisyon ang kinakailangan: ang pagkakapareho ng mga sukat at ang pagkakapantay-pantay ng mga kaukulang elemento. Halimbawa, ang matrix na $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ ay hindi katumbas ng matrix $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ dahil ang matrix na $A$ ay $3\times 2$ at ang matrix na $B$ ay $2\beses 2$. Gayundin ang matrix na $A$ ay hindi katumbas ng matrix na $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right) $ dahil $a_( 21)\neq c_(21)$ (ibig sabihin, $0\neq 98$). Ngunit para sa matrix na $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$, maaari naming ligtas na maisulat ang $A =F$ dahil ang mga sukat at katumbas na elemento ng mga matrice na $A$ at $F$ ay magkasabay.
Halimbawa #1
Tukuyin ang laki ng matrix $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 at 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Tukuyin kung ano ang katumbas ng mga elementong $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.
Ang matrix na ito ay naglalaman ng 5 row at 3 column, kaya ang laki nito ay $5\beses 3$. Ang notasyong $A_(5\times 3)$ ay maaari ding gamitin para sa matrix na ito.
Ang elementong $a_(12)$ ay nasa intersection ng unang row at ng pangalawang column, kaya $a_(12)=-2$. Ang elementong $a_(33)$ ay nasa intersection ng ikatlong row at ng ikatlong column, kaya $a_(33)=23$. Ang elementong $a_(43)$ ay nasa intersection ng ikaapat na row at ang ikatlong column, kaya $a_(43)=-5$.
Sagot: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.
Mga uri ng matrice depende sa kanilang laki. Pangunahin at gilid na mga diagonal. Bakas ng matrix.
Hayaang magbigay ng ilang matrix na $A_(m\times n)$. Kung $m=1$ (ang matrix ay binubuo ng isang row), kung gayon ang ibinigay na matrix ay tinatawag na matrix-row. Kung $n=1$ (ang matrix ay binubuo ng isang column), kung gayon ang naturang matrix ay tinatawag column matrix. Halimbawa, ang $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ ay isang row matrix, at $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ - column matrix.
Kung ang kundisyong $m\neq n$ ay totoo para sa matrix na $A_(m\times n)$ (ibig sabihin, ang bilang ng mga row ay hindi katumbas ng bilang ng mga column), kung gayon madalas na sinasabi na ang $A$ ay isang hugis-parihaba na matris. Halimbawa, ang matrix na $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ ay may sukat na $2\times 4 $, mga. naglalaman ng 2 row at 4 na column. Dahil ang bilang ng mga row ay hindi katumbas ng bilang ng mga column, ang matrix na ito ay hugis-parihaba.
Kung ang kundisyong $m=n$ ay totoo para sa matrix na $A_(m\times n)$ (ibig sabihin, ang bilang ng mga row ay katumbas ng bilang ng mga column), kung gayon ang $A$ ay sinasabing isang square matrix ng mag-order ng $n$. Halimbawa, ang $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ ay isang second-order square matrix; Ang $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ ay isang 3rd order square matrix. Sa pangkalahatan, ang square matrix na $A_(n\times n)$ ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
$$ A_(n\beses n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$
Ang mga elementong $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ ay sinasabing nasa pangunahing dayagonal matrices $A_(n\beses n)$. Ang mga elementong ito ay tinatawag pangunahing mga elemento ng dayagonal(o mga dayagonal na elemento lamang). Ang mga elementong $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ ay nasa gilid (pangalawang) dayagonal; tinawag sila pangalawang dayagonal na elemento. Halimbawa, para sa matrix na $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ mayroon kaming:
Ang mga elementong $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ ay ang mga pangunahing dayagonal na elemento; ang mga elementong $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ ay pangalawang dayagonal na elemento.
Ang kabuuan ng mga pangunahing elemento ng dayagonal ay tinatawag sinundan ng isang matrix at tinutukoy ng $\Tr A$ (o $\Sp A$):
$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$
Halimbawa, para sa matrix $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ mayroon kami:
$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$
Ang konsepto ng mga elemento ng dayagonal ay ginagamit din para sa mga non-square matrice. Halimbawa, para sa matrix $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ ang pangunahing diagonal na elemento ay magiging $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.
Mga uri ng matrice depende sa mga halaga ng kanilang mga elemento.
Kung ang lahat ng elemento ng matrix $A_(m\times n)$ ay katumbas ng zero, kung gayon ang naturang matrix ay tinatawag na wala at karaniwang tinutukoy ng titik na $O$. Halimbawa, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ ay mga zero matrice.
Hayaang ganito ang matrix na $A_(m\times n)$:
Pagkatapos ang matrix na ito ay tinatawag trapezoidal. Maaaring hindi ito naglalaman ng mga zero na row, ngunit kung mayroon sila, matatagpuan ang mga ito sa ibaba ng matrix. Sa isang mas pangkalahatang anyo, ang isang trapezoidal matrix ay maaaring isulat bilang:
Muli, ang mga sumusunod na null string ay opsyonal. Yung. pormal, maaari nating iisa ang mga sumusunod na kondisyon para sa isang trapezoidal matrix:
- Ang lahat ng mga elemento sa ibaba ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero.
- Ang lahat ng mga elemento mula $a_(11)$ hanggang $a_(rr)$ na nakahiga sa pangunahing dayagonal ay hindi katumbas ng zero: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
- Alinman sa lahat ng elemento ng huling $m-r$ na row ay katumbas ng zero, o $m=r$ (ibig sabihin, walang zero na row).
Mga halimbawa ng trapezoidal matrice:
Lumipat tayo sa susunod na kahulugan. Tinatawag ang matrix na $A_(m\times n)$ humakbang kung ito ay nakakatugon sa mga sumusunod na kondisyon:
Halimbawa, ang mga step matrice ay magiging:
Para sa paghahambing, ang matrix na $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ ay hindi na-step dahil ang ikatlong row ay may parehong zero na bahagi sa pangalawang row. Iyon ay, ang prinsipyong "mas mababa ang linya - mas malaki ang zero na bahagi" ay nilabag. Idaragdag ko na ang trapezoidal matrix ay isang espesyal na kaso ng stepped matrix.
Lumipat tayo sa susunod na kahulugan. Kung ang lahat ng mga elemento ng isang square matrix na matatagpuan sa ilalim ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero, kung gayon ang naturang matrix ay tinatawag na itaas na tatsulok na matris. Halimbawa, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - upper triangular matrix. Tandaan na ang kahulugan ng itaas na tatsulok na matrix ay walang sinasabi tungkol sa mga halaga ng mga elemento na matatagpuan sa itaas ng pangunahing dayagonal o sa pangunahing dayagonal. Maaari silang maging zero o hindi, hindi mahalaga. Halimbawa, ang $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ ay isa ring upper triangular matrix.
Kung ang lahat ng mga elemento ng isang parisukat na matrix na matatagpuan sa itaas ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero, kung gayon ang naturang matrix ay tinatawag na mas mababang triangular matrix. Halimbawa, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - lower triangular matrix. Tandaan na ang kahulugan ng isang mas mababang triangular matrix ay walang sinasabi tungkol sa mga halaga ng mga elemento na matatagpuan sa ilalim o sa pangunahing dayagonal. Maaari silang maging null o hindi, hindi mahalaga. Halimbawa, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ at $\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ ay mas mababang triangular matrice din.
Ang square matrix ay tinatawag dayagonal kung ang lahat ng elemento ng matrix na ito na wala sa pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero. Halimbawa: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(array)\kanan)$. Ang mga elemento sa pangunahing dayagonal ay maaaring anuman (katumbas ng zero o hindi) - hindi ito mahalaga.
Ang diagonal matrix ay tinatawag walang asawa kung ang lahat ng elemento ng matrix na ito na matatagpuan sa pangunahing dayagonal ay katumbas ng 1. Halimbawa, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\kanan)$ - 4th order identity matrix; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ ay ang second order identity matrix.
Mga operasyon sa mga matrice at ang kanilang mga katangian.
Ang konsepto ng isang determinant ng ikalawa at ikatlong order.Mga katangian ng mga determinant at ang kanilang pagkalkula.
3. Pangkalahatang paglalarawan ng gawain.
4. Pagkumpleto ng mga gawain.
5. Paggawa ng ulat sa gawaing laboratoryo.
Talasalitaan
Alamin ang mga kahulugan ng mga sumusunod mga tuntunin:
Dimensyon Ang matrix ay isang koleksyon ng dalawang numero, na binubuo ng bilang ng mga hilera nito m at ang bilang ng mga haligi n.
Kung m=n, kung gayon ang matrix ay tinatawag parisukat matris ng pagkakasunud-sunod n.
Mga operasyon ng matrix: transposing ng isang matrix, multiply (paghahati) ng isang matrix sa isang numero, karagdagan at pagbabawas, multiply ng isang matrix sa isang matrix.
Ang paglipat mula sa matrix A hanggang sa matrix A m, ang mga hilera kung saan ay ang mga haligi, at ang mga haligi ay ang mga hilera ng matrix A, ay tinatawag na transposisyon matrices a.
Halimbawa: A= , A t = .
Upang i-multiply ang isang matrix sa isang numero, kailangan mong i-multiply ang bawat elemento ng matrix sa numerong ito.
Halimbawa: 2A= 2 = .
Sum (pagkakaiba) Ang mga matrice A at B ng parehong dimensyon ay tinatawag na matrix C \u003d A B, ang mga elemento kung saan ay pantay may ij = a ij b ij para sa lahat i at j.
Halimbawa: A = ; B = . A+B= 
= .
trabaho matrix A m n to matrix B n k ay tinatawag na matrix C m k , ang bawat elemento kung saan c ij ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng i-th row ng matrix A at ang kaukulang elemento ng j-th column ng matrix B:
c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j +…+ a in b nj .
Upang ma-multiply ang isang matrix sa isang matrix, dapat sila ay sumang-ayon para sa pagpaparami, ibig sabihin bilang ng mga hanay sa unang matrix ay dapat na katumbas ng bilang ng mga linya sa pangalawang matris.
Halimbawa: A= at B=.
A·B—imposible, dahil hindi sila pare-pareho.
В·А= . = 
= 
.
Mga Katangian ng Matrix Multiplication Operation.
1. Kung ang matrix A ay may sukat mn, at ang matrix B ay ang dimensyon nk, pagkatapos ay umiiral ang produktong A · B.
Ang produktong B A ay maaari lamang umiral kapag m=k.
2. Ang matrix multiplication ay hindi commutative, ibig sabihin. Ang A · B ay hindi palaging katumbas ng B · A, kahit na ang parehong mga produkto ay tinukoy. Gayunpaman, kung ang kaugnayan A B = B A ay nasiyahan, kung gayon ang mga matrice A at B ay tinatawag permutasyon.
Halimbawa. Kalkulahin ang .
menor de edad Ang elemento ay ang determinant ng order matrix na nakuha sa pamamagitan ng pagtanggal sa -th row ng -th column.
Algebraic na karagdagan elemento ay tinatawag na .
Laplace expansion theorem:
Ang determinant ng isang square matrix ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng anumang row (column) at ang kanilang mga algebraic complements.
Halimbawa. Kalkulahin ang .
Desisyon. .
Mga katangian ng nth order determinants:
1) Ang halaga ng determinant ay hindi magbabago kung ang mga row at column ay pinagpalit.
2) Kung ang determinant ay naglalaman ng isang row (column) ng mga zero lamang, kung gayon ito ay katumbas ng zero.
3) Kapag ang dalawang row (columns) ay pinagpalit, ang determinant ay nagbabago ng sign.
4) Ang determinant na mayroong dalawang magkaparehong row (column) ay katumbas ng zero.
5) Ang karaniwang kadahilanan ng mga elemento ng anumang row (column) ay maaaring alisin sa tanda ng determinant.
6) Kung ang bawat elemento ng isang tiyak na row (column) ay ang kabuuan ng dalawang termino, kung gayon ang determinant ay katumbas ng kabuuan ng dalawang determinant, sa bawat isa kung saan ang lahat ng mga row (column), maliban sa isang nabanggit, ay pareho. tulad ng sa ibinigay na determinant, at sa nabanggit na hilera ( column) ng unang determinant ay ang mga unang termino, ang pangalawa - ang pangalawa.
7) Kung ang dalawang row (column) ay proporsyonal sa determinant, ito ay katumbas ng zero.
8) Ang determinant ay hindi nagbabago kung ang mga elemento ng isang tiyak na row (column) ay idinagdag sa mga kaukulang elemento ng isa pang row (column) na pinarami ng parehong numero.
9) Ang mga determinant ng triangular at diagonal matrice ay katumbas ng produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal.
Ang paraan ng pag-iipon ng mga zero para sa pagkalkula ng mga determinant ay batay sa mga katangian ng mga determinant.
Halimbawa. Kalkulahin ang .
Desisyon. Ibinabawas namin ang dobleng pangatlo mula sa unang hilera, pagkatapos ay ginagamit namin ang expansion theorem sa unang hanay.
~ 
.
mga tanong sa pagsusulit(OK-1, OK-2, OK-11, PC-1) :
1. Ano ang tinatawag na second-order determinant?
2. Ano ang mga pangunahing katangian ng mga determinant?
3. Ano ang menor ng elemento?
4. Ano ang tinatawag na algebraic complement ng determinant element?
5. Paano palawakin ang third-order determinant ng mga elemento ng anumang row (column)?
6. Ano ang kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng anumang row (o column), ang determinant sa pamamagitan ng algebraic complements ng mga kaukulang elemento ng isa pang row (o column)?
7. Ano ang tuntunin ng mga tatsulok?
8. Paano kinakalkula ang mas mataas na mga determinant ng order sa pamamagitan ng pagbabawas ng order
10. Anong matrix ang tinatawag na square? Wala? Ano ang isang matrix-row, isang matrix-column?
11. Anong mga matrice ang tinatawag na pantay?
12. Magbigay ng mga kahulugan ng mga operasyon ng karagdagan, pagpaparami ng matrix, pagpaparami ng matrix sa isang numero
13. Anong mga kondisyon ang dapat matugunan ang laki ng mga matrice sa panahon ng pagdaragdag, pagpaparami?
14. Ano ang mga katangian ng algebraic operations: commutativity, associativity, distributivity? Alin sa mga ito ang ginagawa para sa mga matrice sa panahon ng pagdaragdag, pagpaparami, at alin ang hindi?
15. Ano ang inverse matrix? Para sa aling mga matrice ito tinukoy?
16. Bumuo ng teorama sa pagkakaroon at pagiging natatangi ng inverse matrix.
17. Bumuo ng isang lemma sa transposisyon ng produkto ng mga matrice.
Pangkalahatan ang mga praktikal na gawain(OK-1, OK-2, OK-11, PC-1) :
No. 1. Hanapin ang kabuuan at pagkakaiba ng mga matrice A at B :
a) 
b) 
sa) 
No. 2. Sundin ang mga hakbang :
c) Z \u003d -11A + 7B-4C + D
kung 
No. 3. Sundin ang mga hakbang :
sa) 
No. 4. Sa pamamagitan ng paglalapat ng apat na paraan ng pagkalkula ng determinant ng isang square matrix, hanapin ang mga determinant ng mga sumusunod na matrice :
No. 5. Maghanap ng mga determinant ng ika-na-order, sa pamamagitan ng mga elemento ng column (row) :
a) 
b) 
No. 6. Hanapin ang determinant ng isang matrix gamit ang mga katangian ng mga determinant:
a) 
b) 
Tutulungan ka ng gabay na ito na matutunan kung paano mga operasyon ng matrix: karagdagan (pagbabawas) ng mga matris, transposisyon ng isang matris, pagpaparami ng mga matris, paghahanap ng kabaligtaran ng isang matris. Ang lahat ng materyal ay ipinakita sa isang simple at naa-access na form, ang mga nauugnay na halimbawa ay ibinigay, kaya kahit na ang isang hindi handa na tao ay maaaring matuto kung paano magsagawa ng mga aksyon na may mga matrice. Para sa self-control at self-test, maaari kang mag-download ng matrix calculator nang libre >>>.
Susubukan kong i-minimize ang mga teoretikal na kalkulasyon, sa ilang mga lugar ang mga paliwanag "sa mga daliri" at ang paggamit ng mga hindi siyentipikong termino ay posible. Mga mahilig sa matatag na teorya, mangyaring huwag makisali sa pagpuna, ang aming gawain ay matutunan kung paano gumawa ng mga matrice.
Para sa SUPER-FAST na paghahanda sa paksa (na "nasusunog") mayroong isang masinsinang pdf-course Matrix, determinant at offset!
Ang matrix ay isang hugis-parihaba na talahanayan ng ilan mga elemento. Bilang mga elemento isasaalang-alang namin ang mga numero, iyon ay, mga numerical matrices. ELEMENTO ay isang termino. Ito ay kanais-nais na tandaan ang termino, ito ay madalas na mangyari, ito ay hindi nagkataon na ginamit ko ang bold upang i-highlight ito.
pagtatalaga: Ang mga matrice ay karaniwang tinutukoy ng malalaking letrang Latin
Halimbawa: Isaalang-alang ang isang two-by-three matrix:
Ang matrix na ito ay binubuo ng anim mga elemento:
Ang lahat ng mga numero (mga elemento) sa loob ng matrix ay umiiral sa kanilang sarili, iyon ay, walang tanong ng anumang pagbabawas: 
Ito ay isang talahanayan (set) lamang ng mga numero!
Magkakasundo din kami huwag muling ayusin numero, maliban kung iba ang nakasaad sa paliwanag. Ang bawat numero ay may sariling lokasyon, at hindi mo maaaring i-shuffle ang mga ito!
Ang matrix na pinag-uusapan ay may dalawang row: 
at tatlong hanay: 
STANDARD: kapag pinag-uusapan ang mga sukat ng matrix, kung gayon sa simula ipahiwatig ang bilang ng mga hilera, at pagkatapos lamang - ang bilang ng mga hanay. Nasira lang namin ang two-by-three matrix.
Kung ang bilang ng mga hilera at haligi ng isang matrix ay pareho, kung gayon ang matrix ay tinatawag parisukat, Halimbawa: 
ay isang three-by-three matrix.
Kung ang matrix ay may isang haligi o isang hilera, kung gayon ang mga naturang matrice ay tinatawag din mga vector.
Sa katunayan, alam natin ang konsepto ng isang matrix mula noong paaralan, isaalang-alang, halimbawa, ang isang punto na may mga coordinate "x" at "y": . Sa esensya, ang mga coordinate ng isang punto ay isinusulat sa isa-by-dalawang matrix. Sa pamamagitan ng paraan, narito ang isang halimbawa para sa iyo kung bakit mahalaga ang pagkakasunud-sunod ng mga numero: at dalawang ganap na magkaibang mga punto ng eroplano.
Ngayon ay magpatuloy tayo sa pag-aaral. mga operasyon ng matrix:
1) Aksyon isa. Pag-alis ng minus mula sa isang matrix (Ipinapakilala ang isang minus sa isang matrix).
Bumalik sa aming matrix 
. Tulad ng napansin mo, napakaraming negatibong numero sa matrix na ito. Ito ay napaka-inconvenient sa mga tuntunin ng pagsasagawa ng iba't ibang mga aksyon na may matrix, ito ay hindi maginhawa upang magsulat ng napakaraming mga minus, at ito ay mukhang pangit sa disenyo.
Ilipat natin ang minus sa labas ng matrix sa pamamagitan ng pagpapalit ng sign ng BAWAT elemento ng matrix:
Sa zero, tulad ng naiintindihan mo, ang tanda ay hindi nagbabago, zero - ito rin ay zero sa Africa.
Baliktad na halimbawa: 
. Pangit ang itsura.
Ipinakilala namin ang isang minus sa matrix sa pamamagitan ng pagbabago ng tanda ng BAWAT elemento ng matrix:
Aba, mas maganda. At, higit sa lahat, MAS MADALING magsagawa ng anumang mga aksyon gamit ang matrix. Dahil mayroong isang mathematical folk sign: mas maraming minus - mas maraming kalituhan at pagkakamali.
2) Aksyon dalawa. Pagpaparami ng Matrix sa Numero.
Halimbawa:
Ito ay simple, upang i-multiply ang isang matrix sa isang numero, kailangan mo lahat i-multiply ang elemento ng matrix sa ibinigay na numero. Sa kasong ito, tatlo.
Isa pang kapaki-pakinabang na halimbawa:
– pagpaparami ng isang matrix sa isang fraction
Tingnan muna natin kung ano ang gagawin HINDI NA KAILANGAN:
HINDI KAILANGAN na magpasok ng isang fraction sa matrix, una, ginagawa lamang nitong mahirap ang mga karagdagang aksyon na may matrix, at pangalawa, nahihirapan ang guro na suriin ang solusyon (lalo na kung 
- ang huling sagot ng gawain).
At lalo na, HINDI NA KAILANGAN hatiin ang bawat elemento ng matrix sa minus pito:
Mula sa artikulo Matematika para sa mga dummies o kung saan magsisimula, naaalala namin na ang mga decimal fraction na may kuwit sa mas mataas na matematika ay sinusubukan sa lahat ng posibleng paraan upang maiwasan.
Ang tanging bagay kanais-nais ang gagawin sa halimbawang ito ay magpasok ng minus sa matrix:
Ngunit kung LAHAT Ang mga elemento ng matrix ay hinati sa 7 walang bakas, kung gayon magiging posible (at kinakailangan!) na hatiin.
Halimbawa:
Sa kasong ito, maaari mo KAILANGAN i-multiply ang lahat ng elemento ng matrix sa , dahil ang lahat ng mga numero sa matrix ay nahahati sa 2 walang bakas.
Tandaan: sa teorya ng mas mataas na matematika ay walang konsepto ng paaralan ng "dibisyon". Sa halip na ang pariralang "ito ay hinati nito", maaari mong palaging sabihin na "ito ay pinarami ng isang fraction." Iyon ay, ang paghahati ay isang espesyal na kaso ng pagpaparami.
3) Ikatlong aksyon. Transposisyon ng matrix.
Upang i-transpose ang isang matrix, kailangan mong isulat ang mga row nito sa mga column ng transposed matrix.
Halimbawa:
Transpose Matrix
Mayroon lamang isang linya dito at, ayon sa panuntunan, dapat itong isulat sa isang hanay:
ay ang transposed matrix.
Ang transposed matrix ay karaniwang tinutukoy ng isang superscript o isang stroke sa kanang tuktok.
Hakbang-hakbang na halimbawa:
Transpose Matrix 
Una, muling isinulat namin ang unang hilera sa unang hanay:
Pagkatapos ay muling isulat namin ang pangalawang hilera sa pangalawang hanay: 
At sa wakas, muling isinulat namin ang ikatlong hilera sa ikatlong hanay:
handa na. Sa madaling salita, ang ibig sabihin ng transpose ay iikot ang matrix sa gilid nito.
4) Pang-apat na aksyon. Kabuuan (pagkakaiba) ng mga matrice.
Ang kabuuan ng mga matrice ay isang simpleng operasyon.
HINDI LAHAT NG MATRIXES PWEDENG tiklop. Upang maisagawa ang pagdaragdag (pagbabawas) ng mga matrice, kinakailangan na magkapareho ang laki ng mga ito.
Halimbawa, kung ang isang two-by-two matrix ay ibinigay, pagkatapos ay maaari lamang itong idagdag sa isang two-by-two matrix at wala nang iba pa! 
Halimbawa:
Magdagdag ng mga matrice 
at 
Upang magdagdag ng mga matrice, kailangan mong idagdag ang kanilang mga kaukulang elemento:
Para sa pagkakaiba ng mga matrice, ang panuntunan ay magkatulad, ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba ng mga kaukulang elemento.
Halimbawa:
Maghanap ng pagkakaiba ng matrices 
, 
At paano mas madaling malutas ang halimbawang ito, upang hindi malito? Maipapayo na alisin ang mga hindi kinakailangang minus, para dito magdaragdag kami ng minus sa matrix:
Tandaan: sa teorya ng mas mataas na matematika ay walang konsepto ng paaralan ng "pagbabawas". Sa halip na ang pariralang "ibawas ito mula dito", maaari mong palaging sabihin ang "magdagdag ng negatibong numero dito". Iyon ay, ang pagbabawas ay isang espesyal na kaso ng karagdagan.
5) Aksyon limang. Pagpaparami ng matris.
Anong mga matrice ang maaaring i-multiply?
Para sa isang matrix na ma-multiply sa isang matrix, upang ang bilang ng mga haligi ng matrix ay katumbas ng bilang ng mga hilera ng matrix.
Halimbawa:
Posible bang i-multiply ang isang matrix sa isang matrix?
Kaya, maaari mong i-multiply ang data ng matrix.
Ngunit kung ang mga matrice ay muling inayos, kung gayon, sa kasong ito, hindi na posible ang pagpaparami!
Samakatuwid, imposible ang pagpaparami:
Ito ay hindi pangkaraniwan para sa mga gawain na may isang lansihin, kapag ang isang mag-aaral ay hihilingin na i-multiply ang mga matrice, ang pagpaparami nito ay malinaw na imposible.
Dapat pansinin na sa ilang mga kaso posible na i-multiply ang mga matrice sa parehong paraan.
Halimbawa, para sa mga matrice, at ang parehong pagpaparami at pagpaparami ay posible
Kahulugan 1. Laki ng Matrix Am n ay isang parihabang talahanayan ng m row at n column, na binubuo ng mga numero o iba pang mathematical expression (tinatawag na matrix elements), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.
, o
Kahulugan 2.
Dalawang matrice 
at 
parehong laki ang tinatawag pantay, kung tumutugma sila sa elemento sa pamamagitan ng elemento, i.e. 
=
,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.
Sa tulong ng mga matrice, madaling isulat ang ilang mga dependency sa ekonomiya, halimbawa, mga talahanayan ng pamamahagi ng mga mapagkukunan para sa ilang mga sektor ng ekonomiya.
Kahulugan 3. Kung ang bilang ng mga matrix row ay tumutugma sa bilang ng mga column nito, i.e. m = n, pagkatapos ay tinawag ang matrix parisukat na pagkakasunod-sunodn, kung hindi hugis-parihaba.
Kahulugan 4. Ang paglipat mula sa isang matrix A patungo sa isang matrix A m, kung saan ang mga hilera at mga haligi ay pinagpalit sa pangangalaga ng kaayusan, ay tinatawag transposisyon matrice.
Mga uri ng matrice: parisukat (laki 33) - 
,
hugis-parihaba (laki 25) - 
,
dayagonal - 
, walang asawa - 
, zero - 
,
matrix-row - 
, matrix-column -.
Kahulugan 5.
Ang mga elemento ng isang square matrix ng order n na may parehong mga indeks ay tinatawag na mga elemento ng pangunahing dayagonal, i.e. ito ang mga elemento: 
.
Kahulugan 6. Ang mga elemento ng square matrix ng order n ay tinatawag na pangalawang diagonal na elemento kung ang kabuuan ng kanilang mga indeks ay katumbas ng n + 1, i.e. ito ang mga elemento: .
1.2. Mga operasyon sa matrice.
1
0
.
sum
dalawang matrice 
at 
ng parehong laki ay tinatawag na matrix С = (с ij), ang mga elemento nito ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay na may ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2 ,3,…,n).
Mga katangian ng pagpapatakbo ng pagdaragdag ng matrix.
Para sa anumang mga matrice A, B, C na may parehong laki, ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay hawak:
1) A + B = B + A (commutativity),
2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (associativity).
2
0
.
trabaho
matrice
bawat numero
tinatawag na matrix 
kapareho ng sukat ng matrix A, at b ij = 
(i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).
Mga katangian ng pagpapatakbo ng pagpaparami ng isang matrix sa isang numero.
(А) = ()А (associativity ng multiplikasyon);
(А+В) = А+В (distributivity ng multiplication na may kinalaman sa matrix addition);
(+)A = A+A (distributivity ng multiplication na may kinalaman sa pagdaragdag ng mga numero).
Kahulugan 7.
Linear na kumbinasyon ng mga matrice 
at 
Ang parehong laki ay tinatawag na expression ng anyong A + B, kung saan ang at ay mga arbitrary na numero.
3 0 . Produkto A Sa mga matrice Ang A at B, ayon sa pagkakabanggit, na may sukat na mn at nk, ay tinatawag na matrix C na may sukat na mk, na ang elementong may ij ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng i-th row ng matrix A at ang j-th column ng matrix B, i.e. may ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .
Ang produktong AB ay umiiral lamang kung ang bilang ng mga column ng matrix A ay pareho sa bilang ng mga row ng matrix B.
Mga katangian ng pagpapatakbo ng matrix multiplication:
(АВ)С = А(ВС) (associativity);
(А+В)С = АС+ВС (distributivity na may kinalaman sa pagdaragdag ng matrix);
А(В+С) = АВ+АС (distributivity na may kinalaman sa pagdaragdag ng matrix);
АВ ВА (hindi commutativity).
Kahulugan 8. Ang mga matrice A at B, kung saan ang AB = BA, ay tinatawag na commuting o permuting.
Ang pag-multiply ng square matrix ng anumang pagkakasunud-sunod ng kaukulang identity matrix ay hindi nagbabago sa matrix.
Kahulugan 9. Mga pagbabago sa elementarya Ang mga matrice ay tinatawag na mga sumusunod na operasyon:
Magpalit ng dalawang row (column).
I-multiply ang bawat elemento ng isang row (column) sa isang non-zero na numero.
Pagdaragdag sa mga elemento ng isang row (column) ng mga kaukulang elemento ng isa pang row (column).
Kahulugan 10. Ang matrix B na nakuha mula sa matrix A sa tulong ng elementarya na pagbabago ay tinatawag katumbas(tinutukoy na BA).
Halimbawa 1.1. Maghanap ng linear na kumbinasyon ng mga matrice 2A–3B kung
,
.
,
,
.
Halimbawa
1.2.
Maghanap ng produkto ng matrices 
, kung
.
Solusyon: dahil ang bilang ng mga haligi ng unang matrix ay kapareho ng bilang ng mga hilera ng pangalawang matrix, kung gayon ang produkto ng matrix ay umiiral. Bilang resulta, nakakakuha kami ng bagong matrix 
, saan
Bilang resulta, nakukuha namin 
.
Lektura 2. Mga Determinant. Pagkalkula ng mga determinant ng pangalawa, pangatlong pagkakasunud-sunod. Mga Katangian ng Kwalipikasyonn-ika-utos.
ODA. Parihabang mesa na may t mga linya at P Ang mga hanay ng mga tunay na numero ay tinatawag matris laki t×n. Ang mga matrice ay tinutukoy ng malalaking letrang Latin: A, B, ..., at ang hanay ng mga numero ay nakikilala sa pamamagitan ng bilog o parisukat na mga bracket.
Ang mga numerong kasama sa talahanayan ay tinatawag na mga elemento ng matrix at tinutukoy ng maliliit na letrang Latin na may double index, kung saan i- numero ng linya j– bilang ng column sa intersection kung saan matatagpuan ang elemento. Sa pangkalahatan, ang matrix ay nakasulat tulad ng sumusunod:
Dalawang matrice ang isinasaalang-alang pantay kung magkapantay ang mga kaugnay na elemento nito.
Kung ang bilang ng mga hilera ng matrix t katumbas ng bilang ng mga column nito P, pagkatapos ay tinawag ang matrix parisukat(kung hindi man ay hugis-parihaba).
Sukat ng Matrix 
ay tinatawag na row matrix. Sukat ng Matrix 
ay tinatawag na column matrix.
Mga elemento ng matrix na may pantay na mga indeks ( 
atbp.), anyo pangunahing dayagonal matrice. Ang isa pang dayagonal ay tinatawag na gilid na dayagonal.
Ang square matrix ay tinatawag dayagonal kung ang lahat ng mga elemento nito na matatagpuan sa labas ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero.
Tinatawag ang isang dayagonal matrix na ang mga diagonal na entry ay katumbas ng isa walang asawa matrix at may karaniwang notasyon E:
Kung ang lahat ng mga elemento ng isang matrix na matatagpuan sa itaas (o sa ibaba) ang pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero, ang matrix ay sinasabing may isang tatsulok na anyo:
§2. Mga operasyon ng matrix
1. Matrix transposition - isang pagbabagong-anyo kung saan ang mga hilera ng matrix ay isinusulat bilang mga column habang pinapanatili ang kanilang pagkakasunud-sunod. Para sa isang square matrix, ang pagbabagong ito ay katumbas ng isang simetriko na pagmamapa na may paggalang sa pangunahing dayagonal:
.
2. Ang mga matrice ng parehong dimensyon ay maaaring isama (ibawas). Ang kabuuan (pagkakaiba) ng mga matrice ay isang matrix ng parehong dimensyon, ang bawat elemento nito ay katumbas ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga kaukulang elemento ng orihinal na mga matrice:
3. Anumang matrix ay maaaring i-multiply sa isang numero. Ang produkto ng isang matrix sa pamamagitan ng isang numero ay isang matrix ng parehong pagkakasunud-sunod, ang bawat elemento nito ay katumbas ng produkto ng kaukulang elemento ng orihinal na matrix sa pamamagitan ng numerong ito:
.
4. Kung ang bilang ng mga haligi ng isang matrix ay katumbas ng bilang ng mga hilera ng isa pa, maaari mong i-multiply ang unang matrix sa pangalawa. Ang produkto ng naturang mga matrice ay isang matrix, ang bawat elemento nito ay katumbas ng kabuuan ng mga pairwise na produkto ng mga elemento ng kaukulang hilera ng unang matrix at ang mga elemento ng kaukulang column ng pangalawang matrix.
Bunga. Pagpapalawak ng matrix sa Ang >1 ay ang produkto ng matrix A sa minsan. Tinukoy para sa mga square matrice lamang.
Halimbawa.
Mga katangian ng pagpapatakbo sa mga matrice.
(A+B)+C=A+(B+C);
k(A+B)=kA+kV;
A(B+C)=AB+AC;
(A+B)C=AC+BC;
k(AB)=(kA)B=A(kV);
A(BC)=(AB)C;
(kA) T =kA T;
(A + B) T \u003d A T + B T;
(AB) T =B T A T;
Ang mga katangiang nakalista sa itaas ay katulad ng mga katangian ng mga pagpapatakbo sa mga numero. Mayroon ding mga tiyak na katangian ng mga matrice. Kabilang dito, halimbawa, ang natatanging katangian ng matrix multiplication. Kung umiiral ang produktong AB, ang produktong BA
Maaaring wala
Maaaring iba sa AB.
Halimbawa. Ang negosyo ay gumagawa ng mga produkto ng dalawang uri A at B at gumagamit ng tatlong uri ng hilaw na materyales S 1 , S 2 , at S 3 . Ang mga rate ng pagkonsumo ng mga hilaw na materyales ay ibinibigay ng matrix N= 
, saan n ij- dami ng hilaw na materyales j ginugol sa produksyon ng isang yunit ng output i. Ang plano ng produksyon ay ibinibigay ng matrix C = (100 200), at ang halaga ng yunit ng bawat uri ng hilaw na materyal ay ibinibigay ng matrix 
. Tukuyin ang halaga ng mga hilaw na materyales na kinakailangan para sa nakaplanong output at ang kabuuang halaga ng mga hilaw na materyales.
Desisyon. Ang halaga ng mga hilaw na materyales ay tinukoy bilang ang produkto ng mga matrice C at N:
Kinakalkula namin ang kabuuang halaga ng mga hilaw na materyales bilang produkto ng S at P.
