Halimbawa, ang sequence \(2\); \(5\); \(walo\); \(labing-isa\); Ang \(14\)… ay isang pag-unlad ng aritmetika, dahil ang bawat susunod na elemento ay naiiba sa nauna nang tatlo (maaaring makuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagdaragdag ng tatlo):
Sa pag-unlad na ito, ang pagkakaiba \(d\) ay positibo (katumbas ng \(3\)), at samakatuwid ang bawat susunod na termino ay mas malaki kaysa sa nauna. Ang ganitong mga pag-unlad ay tinatawag dumarami.
Gayunpaman, ang \(d\) ay maaari ding negatibong numero. Halimbawa, sa arithmetic progression \(16\); \(sampu\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… ang pagkakaiba sa pag-unlad \(d\) ay katumbas ng minus anim.
At sa kasong ito, ang bawat susunod na elemento ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Ang mga pag-unlad na ito ay tinatawag bumababa.
Arithmetic progression notation
Ang pag-unlad ay tinutukoy ng isang maliit na letrang Latin.
Ang mga numero na bumubuo ng isang pag-unlad ay tinatawag na ito mga miyembro(o mga elemento).
Ang mga ito ay tinutukoy ng parehong titik bilang ang pag-unlad ng arithmetic, ngunit may isang numerical index na katumbas ng numero ng elemento sa pagkakasunud-sunod.
Halimbawa, ang arithmetic progression \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) ay binubuo ng mga elementong \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) at iba pa.
Sa madaling salita, para sa pag-unlad \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Paglutas ng mga problema sa isang pag-unlad ng aritmetika
Sa prinsipyo, ang impormasyon sa itaas ay sapat na upang malutas ang halos anumang problema sa isang pag-unlad ng arithmetic (kabilang ang mga inaalok sa OGE).
Halimbawa (OGE).
Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kundisyon \(b_1=7; d=4\). Hanapin ang \(b_5\).
Desisyon:
Sagot: \(b_5=23\)
Halimbawa (OGE).
Ang unang tatlong termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay: \(62; 49; 36…\) Hanapin ang halaga ng unang negatibong termino ng pag-usad na ito..
Desisyon:
|
Ibinigay sa amin ang mga unang elemento ng pagkakasunud-sunod at alam na ito ay isang pag-unlad ng aritmetika. Iyon ay, ang bawat elemento ay naiiba mula sa kalapit na isa sa pamamagitan ng parehong numero. Alamin kung alin sa pamamagitan ng pagbabawas ng nauna sa susunod na elemento: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Ngayon ay maaari nating ibalik ang ating pag-unlad sa nais na (unang negatibo) na elemento. |
|
|
handa na. Maaari kang sumulat ng sagot. |
Sagot: \(-3\)
Halimbawa (OGE).
Ilang sunud-sunod na elemento ng isang arithmetic progression ang ibinibigay: \(...5; x; 10; 12.5...\) Hanapin ang halaga ng elemento na tinutukoy ng titik \(x\).
Desisyon:
|
|
Upang mahanap ang \(x\), kailangan nating malaman kung gaano kalaki ang pagkakaiba ng susunod na elemento sa nauna, sa madaling salita, ang pagkakaiba ng pag-unlad. Hanapin natin ito mula sa dalawang kilalang kalapit na elemento: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
At ngayon nakita namin ang aming hinahanap nang walang anumang mga problema: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
handa na. Maaari kang sumulat ng sagot. |
Sagot: \(7,5\).
Halimbawa (OGE).
Ang arithmetic progression ay ibinibigay ng mga sumusunod na kondisyon: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Hanapin ang kabuuan ng unang anim na termino ng progression na ito.
Desisyon:
|
Kailangan nating hanapin ang kabuuan ng unang anim na termino ng pag-unlad. Ngunit hindi natin alam ang kanilang mga kahulugan, binibigyan lamang tayo ng unang elemento. Samakatuwid, una naming kinakalkula ang mga halaga, gamit ang ibinigay sa amin: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Nahanap na ang hiniling na halaga. |
Sagot: \(S_6=9\).
Halimbawa (OGE).
Sa arithmetic progression \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Hanapin ang pagkakaiba ng pag-unlad na ito.
Desisyon:
Sagot: \(d=7\).
Mahahalagang Arithmetic Progression Formula
Tulad ng nakikita mo, maraming mga problema sa pag-unlad ng aritmetika ay maaaring malutas sa pamamagitan lamang ng pag-unawa sa pangunahing bagay - na ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang hanay ng mga numero, at ang bawat susunod na elemento sa kadena na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong numero sa nauna (ang pagkakaiba ng pag-unlad).
Gayunpaman, kung minsan may mga sitwasyon kung kailan napakahirap na malutas ang "sa noo". Halimbawa, isipin na sa pinakaunang halimbawa, kailangan nating hanapin hindi ang ikalimang elemento \(b_5\), ngunit ang tatlong daan at walumpu't anim na \(b_(386)\). Ano ito, namin \ (385 \) beses na magdagdag ng apat? O isipin na sa penultimate na halimbawa, kailangan mong hanapin ang kabuuan ng unang pitumpu't tatlong elemento. Nakakalito ang pagbibilang...
Samakatuwid, sa ganitong mga kaso, hindi nila nalulutas ang "sa noo", ngunit gumagamit ng mga espesyal na formula na nagmula para sa pag-unlad ng aritmetika. At ang mga pangunahing ay ang pormula para sa ika-n na termino ng pag-unlad at ang pormula para sa kabuuan ng \(n\) ng mga unang termino.
Formula para sa \(n\)th miyembro: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kung saan ang \(a_1\) ay ang unang miyembro ng progression;
\(n\) – numero ng kinakailangang elemento;
Ang \(a_n\) ay isang miyembro ng progression na may numerong \(n\).
Ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa amin upang mabilis na mahanap ang hindi bababa sa tatlong daan, kahit na ang ika-milyong elemento, alam lamang ang una at ang pagkakaiba ng pag-unlad.
Halimbawa.
Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kondisyon: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Hanapin ang \(b_(246)\).
Desisyon:
Sagot: \(b_(246)=1850\).
Ang formula para sa kabuuan ng unang n termino ay: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kung saan
Ang \(a_n\) ay ang huling summed term;
Halimbawa (OGE).
Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kondisyon \(a_n=3.4n-0.6\). Hanapin ang kabuuan ng unang \(25\) mga tuntunin ng pag-usad na ito.
Desisyon:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Upang kalkulahin ang kabuuan ng unang dalawampu't limang elemento, kailangan nating malaman ang halaga ng una at dalawampu't limang termino. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\) |
Ngayon, hanapin natin ang ikadalawampu't limang termino sa pamamagitan ng pagpapalit ng dalawampu't lima sa halip na \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\) |
Kaya, ngayon ay kinakalkula namin ang kinakailangang halaga nang walang anumang mga problema. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Handa na ang sagot. |
Sagot: \(S_(25)=1090\).
Para sa kabuuan ng \(n\) ng mga unang termino, maaari kang makakuha ng isa pang formula: kailangan mo lang na \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) sa halip na \(a_n\) palitan ang formula para dito \(a_n=a_1+(n-1)d\). Nakukuha namin:
Ang formula para sa kabuuan ng unang n termino ay: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kung saan
\(S_n\) – ang kinakailangang kabuuan \(n\) ng mga unang elemento;
Ang \(a_1\) ay ang unang termino na susumahin;
\(d\) – pagkakaiba sa pag-unlad;
\(n\) - ang bilang ng mga elemento sa kabuuan.
Halimbawa.
Hanapin ang kabuuan ng unang \(33\)-ex terms ng arithmetic progression: \(17\); \(15,5\); \(labing-apat\)…
Desisyon:
Sagot: \(S_(33)=-231\).
Mas kumplikadong mga problema sa pag-unlad ng aritmetika
Ngayon ay mayroon ka na ng lahat ng impormasyong kailangan mo upang malutas ang halos anumang problema sa pag-unlad ng arithmetic. Tapusin natin ang paksa sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang ng mga problema kung saan kailangan mong hindi lamang maglapat ng mga formula, ngunit mag-isip din ng kaunti (sa matematika, maaari itong maging kapaki-pakinabang ☺)
Halimbawa (OGE).
Hanapin ang kabuuan ng lahat ng negatibong termino ng progression: \(-19.3\); \(-labinsiyam\); \(-18.7\)…
Desisyon:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Ang gawain ay halos kapareho sa nauna. Sinimulan namin ang paglutas sa parehong paraan: una naming mahanap ang \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Ngayon ay papalitan namin ang \(d\) sa pormula para sa kabuuan ... at narito ang isang maliit na nuance ay nagpa-pop up - hindi namin alam \(n\). Sa madaling salita, hindi natin alam kung ilang termino ang kailangang idagdag. Paano malalaman? Tayo'y mag isip. Hihinto kami sa pagdaragdag ng mga elemento kapag nakarating na kami sa unang positibong elemento. Iyon ay, kailangan mong malaman ang bilang ng elementong ito. paano? Isulat natin ang formula para sa pagkalkula ng anumang elemento ng isang arithmetic progression: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para sa aming kaso. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\) |
Kailangan natin ang \(a_n\) na mas malaki sa zero. Alamin natin kung ano \(n\) ang mangyayari. |
|
|
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\) |
||
|
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
Hinahati namin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Inilipat namin ang minus one, hindi nakakalimutang baguhin ang mga palatandaan |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Nagko-compute... |
|
|
\(n>65,333…\) |
…at lumalabas na ang unang positibong elemento ay magkakaroon ng numerong \(66\). Alinsunod dito, ang huling negatibo ay mayroong \(n=65\). Kung sakali, tingnan natin ito. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) |
Kaya, kailangan nating idagdag ang unang \(65\) na mga elemento. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Handa na ang sagot. |
Sagot: \(S_(65)=-630.5\).
Halimbawa (OGE).
Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kondisyon: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Hanapin ang kabuuan mula sa \(26\)th hanggang \(42\) kasama ang elemento.
Desisyon:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Sa problemang ito, kailangan mo ring hanapin ang kabuuan ng mga elemento, ngunit hindi nagsisimula sa una, ngunit mula sa \(26\)th. Wala kaming formula para dito. Paano magdesisyon? |
|
|
Para sa aming pag-unlad \(a_1=-33\), at ang pagkakaiba \(d=4\) (pagkatapos ng lahat, nagdaragdag kami ng apat sa nakaraang elemento upang mahanap ang susunod). Sa pag-alam nito, makikita natin ang kabuuan ng unang \(42\)-uh elemento. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Ngayon ang kabuuan ng unang \(25\)-th na mga elemento. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
At sa wakas, kinakalkula namin ang sagot. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Sagot: \(S=1683\).
Para sa isang pag-unlad ng aritmetika, may ilang higit pang mga formula na hindi namin isinasaalang-alang sa artikulong ito dahil sa kanilang mababang praktikal na pagiging kapaki-pakinabang. Gayunpaman, madali mong mahahanap ang mga ito.
Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")
Ang pag-unlad ng arithmetic ay isang serye ng mga numero kung saan ang bawat numero ay mas malaki (o mas kaunti) kaysa sa nauna sa parehong halaga.
Ang paksang ito ay kadalasang mahirap at hindi maintindihan. Mga indeks ng titik, ang ika-1 termino ng pag-unlad, ang pagkakaiba ng pag-unlad - lahat ng ito ay nakakalito, oo ... Alamin natin ang kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika at lahat ay gagana kaagad.)
Ang konsepto ng pag-unlad ng aritmetika.
Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang napakasimple at malinaw na konsepto. Pagdududa? Walang kabuluhan.) Tingnan mo ang iyong sarili.
Magsusulat ako ng hindi natapos na serye ng mga numero:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Maaari mo bang pahabain ang linyang ito? Anong mga numero ang susunod na pupunta, pagkatapos ng lima? Lahat ... uh ..., sa madaling salita, malalaman ng lahat na ang mga numero 6, 7, 8, 9, atbp.
Gawin nating kumplikado ang gawain. Nagbibigay ako ng hindi natapos na serye ng mga numero:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Maaari mong makuha ang pattern, pahabain ang serye, at pangalanan ikapito numero ng hilera?
Kung naisip mo na ang numerong ito ay 20 - binabati kita! Hindi mo lang naramdaman mga pangunahing punto ng pag-unlad ng aritmetika, ngunit matagumpay ding nagamit ang mga ito sa negosyo! Kung hindi mo maintindihan, basahin mo.
Ngayon, isalin natin ang mga pangunahing punto mula sa mga sensasyon sa matematika.)
Unang mahalagang punto.
Ang pag-unlad ng aritmetika ay tumatalakay sa mga serye ng mga numero. Ito ay nakalilito sa una. Nakasanayan na namin ang paglutas ng mga equation, pagbuo ng mga graph at lahat ng iyon ... At pagkatapos ay pahabain ang serye, hanapin ang bilang ng serye ...
ayos lang. Ang mga pag-unlad lamang ay ang unang kakilala sa isang bagong sangay ng matematika. Ang seksyon ay tinatawag na "Serye" at gumagana sa mga serye ng mga numero at expression. Masanay ka na.)
Pangalawang mahalagang punto.
Sa isang pag-unlad ng aritmetika, ang anumang numero ay naiiba sa nauna sa parehong halaga.
Sa unang halimbawa, ang pagkakaibang ito ay isa. Anuman ang bilang na kunin mo, ito ay higit pa ng isa kaysa sa nauna. Sa pangalawa - tatlo. Ang anumang numero ay tatlong beses na mas malaki kaysa sa nauna. Sa totoo lang, ito ang sandaling ito na nagbibigay sa amin ng pagkakataon na mahuli ang pattern at kalkulahin ang mga kasunod na numero.
Pangatlong pangunahing punto.
Ang sandaling ito ay hindi kapansin-pansin, oo ... Ngunit napaka, napakahalaga. Nandiyan siya: bawat progression number ay nasa lugar nito. Mayroong unang numero, mayroong ikapito, mayroong apatnapu't lima, at iba pa. Kung malito mo sila nang biglaan, mawawala ang pattern. Mawawala din ang arithmetic progression. Ito ay isang serye lamang ng mga numero.
Iyon ang buong punto.
Siyempre, lalabas ang mga bagong termino at notasyon sa bagong paksa. Kailangan nilang malaman. Kung hindi, hindi mo mauunawaan ang gawain. Halimbawa, kailangan mong magpasya tulad ng:
Isulat ang unang anim na termino ng arithmetic progression (a n) kung a 2 = 5, d = -2.5.
Nakaka-inspire ba ito?) Mga liham, ilang mga index... At ang gawain, sa pamamagitan ng paraan, ay hindi maaaring maging mas madali. Kailangan mo lamang na maunawaan ang kahulugan ng mga termino at notasyon. Ngayon ay pag-uusapan natin ang bagay na ito at babalik sa gawain.
Mga tuntunin at pagtatalaga.
Arithmetic progression ay isang serye ng mga numero kung saan ang bawat numero ay iba sa nauna sa parehong halaga.
Ang halagang ito ay tinatawag . Pag-usapan natin ang konseptong ito nang mas detalyado.
Pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika.
Pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika ay ang halaga kung saan ang anumang numero ng pag-unlad higit pa ang nauna.
Isang mahalagang punto. Mangyaring bigyang-pansin ang salita "higit pa". Sa matematika, nangangahulugan ito na ang bawat numero ng pag-unlad ay nakuha pagdaragdag ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression sa nakaraang numero.
Upang makalkula, sabihin natin pangalawa mga numero ng hilera, ito ay kinakailangan upang una numero idagdag ang mismong pagkakaibang ito ng isang pag-unlad ng aritmetika. Para sa pagkalkula panglima- kailangan ang pagkakaiba idagdag sa pang-apat mabuti, atbp.
Pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika maaaring positibo pagkatapos ang bawat numero ng serye ay magiging totoo higit pa sa nauna. Ang pag-unlad na ito ay tinatawag dumarami. Halimbawa:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Narito ang bawat numero pagdaragdag positibong numero, +5 sa nauna.
Ang pagkakaiba ay maaaring negatibo pagkatapos ay ang bawat numero sa serye ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Ang pag-unlad na ito ay tinatawag na (hindi ka maniniwala!) bumababa.
Halimbawa:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Dito nakuha din ang bawat numero pagdaragdag sa dati, ngunit negatibong numero na, -5.
Sa pamamagitan ng paraan, kapag nagtatrabaho sa isang pag-unlad, ito ay lubhang kapaki-pakinabang upang agad na matukoy ang kalikasan nito - kung ito ay tumataas o bumababa. Malaki ang maitutulong upang mahanap ang iyong mga paniniwala sa desisyon, upang makita ang iyong mga pagkakamali at itama ang mga ito bago maging huli ang lahat.
Pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika karaniwang tinutukoy ng titik d.
Paano hanapin d? Napakasimple. Ito ay kinakailangan upang ibawas mula sa anumang bilang ng mga serye dati numero. Ibawas. Sa pamamagitan ng paraan, ang resulta ng pagbabawas ay tinatawag na "pagkakaiba".)
Tukuyin natin, halimbawa, d para sa pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Kinukuha namin ang anumang numero ng row na gusto namin, halimbawa, 11. Ibawas dito ang dating numero mga. walo:
Ito ang tamang sagot. Para sa pag-unlad ng arithmetic na ito, tatlo ang pagkakaiba.
Maaari mo lamang kunin anumang bilang ng mga pag-unlad, kasi para sa isang tiyak na pag-unlad d-palaging pareho. Kahit saan sa simula ng row, kahit sa gitna, kahit saan. Hindi mo maaaring kunin lamang ang pinakaunang numero. Dahil lang sa pinakaunang numero walang nauna.)
Sa pamamagitan ng paraan, alam iyon d=3, ang paghahanap ng ikapitong numero ng pag-unlad na ito ay napakasimple. Nagdaragdag kami ng 3 sa ikalimang numero - nakukuha namin ang ikaanim, ito ay magiging 17. Nagdaragdag kami ng tatlo sa ikaanim na numero, nakuha namin ang ikapitong numero - dalawampu't.
Tukuyin natin d para sa isang bumababang pag-unlad ng aritmetika:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Ipinaaalala ko sa iyo na, anuman ang mga palatandaan, upang matukoy d kailangan mula sa anumang numero tanggalin ang nauna. Pinipili namin ang anumang bilang ng pag-unlad, halimbawa -7. Ang dati niyang numero ay -2. Pagkatapos:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression ay maaaring maging anumang numero: integer, fractional, irrational, any.
Iba pang mga termino at pagtatalaga.
Ang bawat numero sa serye ay tinatawag miyembro ng isang arithmetic progression.
Ang bawat miyembro ng pag-unlad may number niya. Ang mga numero ay mahigpit na nakaayos, nang walang anumang mga trick. Una, pangalawa, pangatlo, pang-apat, atbp. Halimbawa, sa progression 2, 5, 8, 11, 14, ... dalawa ang unang miyembro, lima ang pangalawa, labing-isa ang pang-apat, well, naiintindihan mo ...) Mangyaring malinaw na maunawaan - ang mga numero mismo maaaring maging ganap na anuman, buo, fractional, negatibo, anuman, ngunit pagnunumero- mahigpit na pagkakasunud-sunod!
Paano magsulat ng isang pag-unlad sa pangkalahatang anyo? Walang problema! Ang bawat numero sa serye ay nakasulat bilang isang titik. Upang tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika, bilang panuntunan, ginagamit ang titik a. Ang numero ng miyembro ay ipinahiwatig ng index sa kanang ibaba. Ang mga miyembro ay isinulat na pinaghihiwalay ng mga kuwit (o semicolon), tulad nito:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 ay ang unang numero a 3- pangatlo, atbp. Walang nakakalito. Maaari mong isulat ang seryeng ito nang maikli tulad nito: (isang n).
May mga pag-unlad may hangganan at walang katapusan.
Ultimate ang pag-unlad ay may limitadong bilang ng mga miyembro. Lima, tatlumpu't walo, anuman. Ngunit ito ay isang may hangganang numero.
Walang katapusang progression - may walang katapusang bilang ng mga miyembro, gaya ng maaari mong hulaan.)
Maaari kang magsulat ng panghuling pag-unlad sa pamamagitan ng isang seryeng tulad nito, lahat ng miyembro at isang tuldok sa dulo:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
O tulad nito, kung maraming miyembro:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
Sa isang maikling entry, kailangan mong ipahiwatig din ang bilang ng mga miyembro. Halimbawa (para sa dalawampung miyembro), tulad nito:
(a n), n = 20
Ang isang walang katapusang pag-unlad ay maaaring makilala ng ellipsis sa dulo ng hilera, tulad ng sa mga halimbawa sa araling ito.
Ngayon ay maaari mo nang lutasin ang mga gawain. Ang mga gawain ay simple, para lamang sa pag-unawa sa kahulugan ng pag-unlad ng arithmetic.
Mga halimbawa ng mga gawain para sa pag-unlad ng aritmetika.
Tingnan natin ang gawain sa itaas:
1. Isulat ang unang anim na miyembro ng arithmetic progression (a n), kung a 2 = 5, d = -2.5.
Isinasalin namin ang gawain sa naiintindihang wika. Dahil sa walang katapusang pag-unlad ng arithmetic. Ang pangalawang bilang ng pag-unlad na ito ay kilala: a 2 = 5. Kilalang pagkakaiba sa pag-unlad: d = -2.5. Kailangan nating hanapin ang una, ikatlo, ikaapat, ikalima at ikaanim na miyembro ng pag-unlad na ito.
Para sa kalinawan, magsusulat ako ng isang serye ayon sa kondisyon ng problema. Ang unang anim na miyembro, kung saan ang pangalawang miyembro ay lima:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....
a 3 = a 2 + d
Pinapalitan namin sa expression a 2 = 5 at d=-2.5. Huwag kalimutan ang minus!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Ang ikatlong termino ay mas mababa kaysa sa pangalawa. Ang lahat ay lohikal. Kung ang bilang ay mas malaki kaysa sa nauna negatibo halaga, kaya ang numero mismo ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Bumababa ang progreso. Okay, isaalang-alang natin ito.) Isinasaalang-alang namin ang ikaapat na miyembro ng aming serye:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
isang 5 = a 4 + d
isang 5=0+(-2,5)= - 2,5
isang 6 = isang 5 + d
isang 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Kaya, ang mga termino mula sa ikatlo hanggang sa ikaanim ay nakalkula. Nagresulta ito sa isang serye:
a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....
Ito ay nananatili upang mahanap ang unang termino a 1 ayon sa kilalang pangalawa. Ito ay isang hakbang sa kabilang direksyon, sa kaliwa.) Kaya, ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika d hindi dapat idagdag sa a 2, a alisin:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Iyon lang ang mayroon. Tugon sa gawain:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Sa pagpasa, tandaan ko na nalutas namin ang gawaing ito paulit-ulit paraan. Ang kakila-kilabot na salitang ito ay nangangahulugang, tanging, ang paghahanap para sa isang miyembro ng pag-unlad sa pamamagitan ng nakaraang (katabing) numero. Ang iba pang mga paraan upang gumana sa pag-unlad ay tatalakayin sa ibang pagkakataon.
Isang mahalagang konklusyon ang maaaring makuha mula sa simpleng gawaing ito.
Tandaan:
Kung alam natin ang kahit isang miyembro at ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika, mahahanap natin ang sinumang miyembro ng pag-unlad na ito.
Tandaan? Ang simpleng konklusyon na ito ay nagpapahintulot sa amin na malutas ang karamihan sa mga problema ng kurso sa paaralan sa paksang ito. Ang lahat ng mga gawain ay umiikot sa tatlong pangunahing mga parameter: miyembro ng isang arithmetic progression, pagkakaiba ng isang progression, bilang ng isang miyembro ng isang progression. Lahat.
Siyempre, ang lahat ng nakaraang algebra ay hindi kinansela.) Ang mga hindi pagkakapantay-pantay, mga equation, at iba pang mga bagay ay nakakabit sa pag-unlad. Pero ayon sa pag-unlad- lahat ay umiikot sa tatlong parameter.
Halimbawa, isaalang-alang ang ilang mga tanyag na gawain sa paksang ito.
2. Isulat ang huling pag-unlad ng arithmetic bilang isang serye kung n=5, d=0.4, at isang 1=3.6.
Simple lang ang lahat dito. Lahat binigay na. Kailangan mong tandaan kung paano kinakalkula, binibilang, at isinulat ang mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika. Maipapayo na huwag laktawan ang mga salita sa kondisyon ng gawain: "pangwakas" at " n=5". Upang hindi na mabilang hanggang sa ikaw ay ganap na bughaw sa mukha.) Mayroon lamang 5 (limang) miyembro sa pag-unlad na ito:
isang 2 \u003d isang 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4
isang 3 \u003d isang 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4
a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8
isang 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2
Ito ay nananatiling isulat ang sagot:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Isa pang gawain:
3. Tukuyin kung ang numero 7 ay magiging miyembro ng isang arithmetic progression (a n) kung isang 1 \u003d 4.1; d = 1.2.
Hmm... Sinong nakakaalam? Paano tukuyin ang isang bagay?
Paano-paano ... Oo, isulat ang pag-unlad sa anyo ng isang serye at tingnan kung magkakaroon ng pito o wala! Naniniwala kami:
isang 2 \u003d isang 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3
isang 3 \u003d isang 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5
a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Ngayon ay malinaw na nakikita na kami ay pito lamang nakalusot sa pagitan ng 6.5 at 7.7! Ang pito ay hindi nakapasok sa aming serye ng mga numero, at, samakatuwid, ang pito ay hindi magiging miyembro ng ibinigay na pag-unlad.
Sagot: hindi.
At narito ang isang gawain batay sa isang tunay na bersyon ng GIA:
4. Ilang magkakasunod na miyembro ng arithmetic progression ang nakasulat:
...; labinlimang; X; siyam; 6; ...
Narito ang isang serye na walang katapusan at simula. Walang numero ng miyembro, walang pagkakaiba d. ayos lang. Upang malutas ang problema, sapat na upang maunawaan ang kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Tingnan natin at tingnan kung ano ang magagawa natin matuklasan mula sa linyang ito? Ano ang mga parameter ng tatlong pangunahing mga?
Mga numero ng miyembro? Walang kahit isang numero dito.
Ngunit mayroong tatlong numero at - pansin! - salita "magkasunod" nasa kondisyon. Nangangahulugan ito na ang mga numero ay mahigpit na nakaayos, walang mga puwang. Dalawa ba sa row na ito? kapitbahay mga kilalang numero? Oo meron ako! Ito ay 9 at 6. Para makalkula natin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic! Ibawas namin sa anim dati numero, i.e. siyam:
May natitira pang mga bakanteng espasyo. Anong numero ang magiging nauna para sa x? labinlima. Kaya ang x ay madaling mahanap sa pamamagitan ng simpleng karagdagan. Sa 15 idagdag ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic:
Iyon lang. Sagot: x=12
Kami mismo ang nagresolba sa mga sumusunod na problema. Tandaan: ang mga puzzle na ito ay hindi para sa mga formula. Purely for understanding the meaning of an arithmetic progression.) Nagsusulat lang kami ng serye ng mga numero-titik, tingnan at isipin.
5. Hanapin ang unang positive term ng arithmetic progression kung a 5 = -3; d = 1.1.
6. Ito ay kilala na ang numero 5.5 ay isang miyembro ng arithmetic progression (a n), kung saan a 1 = 1.6; d = 1.3. Tukuyin ang bilang n ng miyembrong ito.
7. Ito ay kilala na sa isang arithmetic progression isang 2 = 4; isang 5 \u003d 15.1. Maghanap ng 3.
8. Ilang magkakasunod na miyembro ng arithmetic progression ang nakasulat:
...; 15.6; X; 3.4; ...
Hanapin ang termino ng progression, na tinutukoy ng titik x.
9. Nagsimulang gumalaw ang tren mula sa istasyon, unti-unting tumataas ang bilis nito ng 30 metro kada minuto. Ano ang magiging bilis ng tren sa loob ng limang minuto? Ibigay ang iyong sagot sa km/h.
10. Ito ay kilala na sa isang arithmetic progression isang 2 = 5; a 6 = -5. Maghanap ng 1.
Mga sagot (magulo): 7.7; 7.5; 9.5; siyam; 0.3; 4.
Nagtagumpay ang lahat? Kahanga-hanga! Maaari mong matutunan ang pag-unlad ng aritmetika sa mas mataas na antas sa mga sumusunod na aralin.
Hindi ba natuloy ang lahat? Walang problema. Sa Espesyal na Seksyon 555, ang lahat ng mga problemang ito ay pinaghiwa-hiwalay.) At, siyempre, ang isang simpleng praktikal na pamamaraan ay inilarawan na agad na nagha-highlight sa solusyon ng naturang mga gawain nang malinaw, malinaw, tulad ng sa iyong palad!
Sa pamamagitan ng paraan, sa palaisipan tungkol sa tren mayroong dalawang mga problema kung saan ang mga tao ay madalas na natitisod. Isa - puro sa pamamagitan ng pag-unlad, at ang pangalawa - karaniwan sa anumang mga gawain sa matematika, at physics din. Isa itong pagsasalin ng mga sukat mula sa isa't isa. Ipinapakita nito kung paano dapat lutasin ang mga problemang ito.
Sa araling ito, sinuri namin ang elementarya na kahulugan ng isang pag-unlad ng arithmetic at ang mga pangunahing parameter nito. Ito ay sapat na upang malutas ang halos lahat ng mga problema sa paksang ito. Idagdag d sa mga numero, magsulat ng isang serye, ang lahat ay magpapasya.
Ang solusyon sa daliri ay mahusay na gumagana para sa napakaikling piraso ng serye, tulad ng sa mga halimbawa sa araling ito. Kung mas mahaba ang serye, magiging mas mahirap ang mga kalkulasyon. Halimbawa, kung sa problema 9 sa tanong, palitan "limang minuto" sa "tatlumpu't limang minuto" lalala ang problema.)
At mayroon ding mga gawain na simple sa kakanyahan, ngunit lubos na walang katotohanan sa mga tuntunin ng mga kalkulasyon, halimbawa:
Binigyan ng aritmetika na pag-unlad (a n). Maghanap ng 121 kung ang isang 1 =3 at d=1/6.
At ano, dadagdagan natin ng 1/6 ng marami, maraming beses?! Posible bang magpakamatay!?
Maaari mo.) Kung hindi mo alam ang isang simpleng pormula kung saan maaari mong malutas ang mga naturang gawain sa isang minuto. Ang pormula na ito ay nasa susunod na aralin. At ang problemang iyon ay nalutas doon. Sa isang minuto.)
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)
maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
Kapag nag-aaral ng algebra sa isang sekondaryang paaralan (grade 9), isa sa mga mahalagang paksa ay ang pag-aaral ng mga numerical sequence, na kinabibilangan ng mga progression - geometric at arithmetic. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang isang pag-unlad ng aritmetika at mga halimbawa na may mga solusyon.
Ano ang isang arithmetic progression?
Upang maunawaan ito, kinakailangang magbigay ng kahulugan ng pag-unlad na isinasaalang-alang, gayundin ang pagbibigay ng mga pangunahing pormula na higit pang gagamitin sa paglutas ng mga problema.
Ito ay kilala na sa ilang algebraic progression ang 1st term ay katumbas ng 6, at ang 7th term ay katumbas ng 18. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba at ibalik ang sequence na ito sa 7th term.
Gamitin natin ang formula upang matukoy ang hindi kilalang termino: a n = (n - 1) * d + a 1 . Pinapalitan namin ang kilalang data mula sa kundisyon dito, iyon ay, ang mga numero a 1 at 7, mayroon kami: 18 \u003d 6 + 6 * d. Mula sa expression na ito, madali mong makalkula ang pagkakaiba: d = (18 - 6) / 6 = 2. Kaya, ang unang bahagi ng problema ay nasagot.
Upang maibalik ang sequence sa ika-7 miyembro, dapat mong gamitin ang kahulugan ng isang algebraic progression, iyon ay, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, at iba pa. Bilang resulta, ibinabalik namin ang buong pagkakasunud-sunod: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 at 7 = 18.
Halimbawa #3: paggawa ng progreso
Lalo pa nating gawing kumplikado ang kalagayan ng problema. Ngayon ay kailangan mong sagutin ang tanong kung paano makahanap ng isang pag-unlad ng aritmetika. Maaaring ibigay ang sumusunod na halimbawa: dalawang numero ang ibinibigay, halimbawa, 4 at 5. Kinakailangang gumawa ng algebraic progression upang tatlo pang termino ang mailagay sa pagitan ng mga ito.
Bago simulan ang paglutas ng problemang ito, kinakailangang maunawaan kung anong lugar ang sasakupin ng mga ibinigay na numero sa pag-unlad sa hinaharap. Dahil magkakaroon ng tatlong higit pang mga termino sa pagitan nila, pagkatapos ay isang 1 \u003d -4 at isang 5 \u003d 5. Kapag naitatag ito, nagpapatuloy kami sa isang gawain na katulad ng nauna. Muli, para sa nth term, ginagamit namin ang formula, nakukuha namin: isang 5 \u003d isang 1 + 4 * d. Mula sa: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Dito ang pagkakaiba ay hindi isang integer na halaga, ngunit ito ay isang rational na numero, kaya ang mga formula para sa algebraic progression ay nananatiling pareho.
Ngayon, idagdag natin ang nakitang pagkakaiba sa isang 1 at ibalik ang mga nawawalang miyembro ng progression. Nakukuha namin ang: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, isang 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u,0,0 na kasabay ng kalagayan ng problema.
Halimbawa #4: Ang unang miyembro ng progression
Patuloy kaming nagbibigay ng mga halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika na may solusyon. Sa lahat ng nakaraang problema, ang unang bilang ng algebraic progression ay kilala. Ngayon isaalang-alang ang isang problema ng ibang uri: hayaan ang dalawang numero na ibigay, kung saan ang isang 15 = 50 at isang 43 = 37. Ito ay kinakailangan upang mahanap mula sa kung anong numero ang sequence na ito ay nagsisimula.
Ang mga formula na ginamit hanggang ngayon ay may kaalaman sa isang 1 at d. Walang nalalaman tungkol sa mga numerong ito sa kondisyon ng problema. Gayunpaman, isulat natin ang mga expression para sa bawat termino kung saan mayroon tayong impormasyon: a 15 = a 1 + 14 * d at a 43 = a 1 + 42 * d. Nakakuha kami ng dalawang equation kung saan mayroong 2 hindi kilalang dami (a 1 at d). Nangangahulugan ito na ang problema ay nabawasan sa paglutas ng isang sistema ng mga linear equation.
Ang tinukoy na sistema ay pinakamadaling lutasin kung nagpapahayag ka ng 1 sa bawat equation, at pagkatapos ay ihambing ang mga resultang expression. Unang equation: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; pangalawang equation: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Ang equating mga expression na ito, makakakuha tayo ng: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, kung saan ang pagkakaiba d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (3 decimal na lugar lamang ang ibinigay).
Alam ang d, maaari mong gamitin ang alinman sa 2 expression sa itaas para sa isang 1 . Halimbawa, una: isang 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.
Kung may mga pagdududa tungkol sa resulta, maaari mong suriin ito, halimbawa, matukoy ang ika-43 na miyembro ng pag-unlad, na tinukoy sa kondisyon. Nakukuha namin ang: isang 43 \u003d isang 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Ang isang maliit na error ay dahil sa ang katunayan na ang rounding sa thousandths ay ginamit sa mga kalkulasyon.
Halimbawa #5: Sum
Ngayon tingnan natin ang ilang mga halimbawa na may mga solusyon para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Hayaang magbigay ng numerical progression ng sumusunod na form: 1, 2, 3, 4, ...,. Paano makalkula ang kabuuan ng 100 ng mga numerong ito?
Salamat sa pag-unlad ng teknolohiya ng computer, maaaring malutas ang problemang ito, iyon ay, sunud-sunod na idagdag ang lahat ng mga numero, na gagawin ng computer sa sandaling pinindot ng isang tao ang Enter key. Gayunpaman, ang problema ay malulutas sa isip kung bibigyan mo ng pansin na ang ipinakita na serye ng mga numero ay isang algebraic progression, at ang pagkakaiba nito ay 1. Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan, makukuha natin: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Nakakagulat na tandaan na ang problemang ito ay tinatawag na "Gaussian", dahil sa simula ng ika-18 siglo ang sikat na Aleman, na nasa edad na 10 taong gulang pa lamang, ay nagawang lutasin ito sa kanyang isip sa loob ng ilang segundo. Hindi alam ng batang lalaki ang formula para sa kabuuan ng isang algebraic progression, ngunit napansin niya na kung magdadagdag ka ng mga pares ng mga numero na matatagpuan sa mga gilid ng sequence, palagi kang makakakuha ng parehong resulta, iyon ay, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., at dahil ang mga kabuuan na ito ay magiging eksaktong 50 (100/2), kung gayon upang makuha ang tamang sagot, sapat na upang i-multiply ang 50 sa 101.
Halimbawa #6: kabuuan ng mga termino mula n hanggang m
Ang isa pang tipikal na halimbawa ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ang mga sumusunod: binigyan ng isang serye ng mga numero: 3, 7, 11, 15, ..., kailangan mong hanapin kung ano ang magiging kabuuan ng mga termino nito mula 8 hanggang 14.
Ang problema ay nalutas sa dalawang paraan. Ang una sa mga ito ay nagsasangkot ng paghahanap ng mga hindi kilalang termino mula 8 hanggang 14, at pagkatapos ay pagbubuod ng mga ito nang sunud-sunod. Dahil kakaunti ang mga termino, ang pamamaraang ito ay hindi sapat na matrabaho. Gayunpaman, iminungkahi na lutasin ang problemang ito sa pamamagitan ng pangalawang paraan, na mas pangkalahatan.
Ang ideya ay upang makakuha ng formula para sa kabuuan ng isang algebraic progression sa pagitan ng mga terminong m at n, kung saan ang n > m ay mga integer. Para sa parehong mga kaso, sumulat kami ng dalawang expression para sa kabuuan:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Dahil n > m, halatang kasama sa 2 sum ang una. Ang huling konklusyon ay nangangahulugan na kung kukunin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga kabuuan na ito, at idagdag ang terminong a m dito (sa kaso ng pagkuha ng pagkakaiba, ito ay ibabawas mula sa kabuuan S n), pagkatapos ay makukuha natin ang kinakailangang sagot sa problema. Mayroon kaming: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Kinakailangang palitan ang mga formula para sa a n at a m sa expression na ito. Pagkatapos ay makukuha natin ang: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Ang resultang formula ay medyo mahirap, gayunpaman, ang kabuuan ng S mn ay nakasalalay lamang sa n, m, a 1 at d. Sa aming kaso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ang pagpapalit sa mga numerong ito, makakakuha tayo ng: S mn = 301.
Tulad ng makikita mula sa mga solusyon sa itaas, ang lahat ng mga problema ay batay sa kaalaman ng expression para sa ika-n na termino at ang formula para sa kabuuan ng hanay ng mga unang termino. Bago mo simulan ang paglutas ng alinman sa mga problemang ito, inirerekumenda na maingat mong basahin ang kondisyon, malinaw na maunawaan kung ano ang gusto mong hanapin, at pagkatapos ay magpatuloy sa solusyon.
Ang isa pang tip ay upang magsikap para sa pagiging simple, iyon ay, kung masasagot mo ang tanong nang hindi gumagamit ng kumplikadong mga kalkulasyon sa matematika, kailangan mong gawin iyon, dahil sa kasong ito ang posibilidad na magkamali ay mas mababa. Halimbawa, sa halimbawa ng isang pag-unlad ng aritmetika na may solusyon No. 6, maaaring huminto ang isa sa formula S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, at hatiin ang pangkalahatang gawain sa magkakahiwalay na mga subtask (sa kasong ito, hanapin muna ang mga terminong a n at a m).
Kung may mga pagdududa tungkol sa resulta, inirerekumenda na suriin ito, tulad ng ginawa sa ilan sa mga halimbawang ibinigay. Paano makahanap ng pag-unlad ng aritmetika, nalaman. Kapag naisip mo na, hindi na mahirap.
Arithmetic progression pangalanan ang pagkakasunod-sunod ng mga numero (mga miyembro ng isang progression)
Kung saan ang bawat kasunod na termino ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng isang bakal na termino, na tinatawag ding pagkakaiba ng hakbang o pag-unlad.
Kaya, sa pamamagitan ng pagtatakda ng hakbang ng pag-unlad at ang unang termino nito, mahahanap mo ang alinman sa mga elemento nito gamit ang formula
Mga katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika
1) Ang bawat miyembro ng arithmetic progression, simula sa pangalawang numero, ay ang arithmetic mean ng nakaraan at susunod na miyembro ng progression
Totoo rin ang kabaligtaran. Kung ang arithmetic mean ng mga kalapit na odd (even) na mga miyembro ng progression ay katumbas ng member na nasa pagitan nila, kung gayon ang sequence ng mga numero ay isang arithmetic progression. Sa pamamagitan ng assertion na ito ay napakadaling suriin ang anumang pagkakasunud-sunod.
Sa pamamagitan din ng pag-aari ng pag-unlad ng arithmetic, ang formula sa itaas ay maaaring gawing pangkalahatan sa mga sumusunod
Madali itong i-verify kung isusulat namin ang mga tuntunin sa kanan ng equal sign
Madalas itong ginagamit sa pagsasanay upang gawing simple ang mga kalkulasyon sa mga problema.
2) Ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay kinakalkula ng formula
Tandaan na mabuti ang formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ito ay kailangang-kailangan sa mga kalkulasyon at medyo karaniwan sa mga simpleng sitwasyon sa buhay.
3) Kung kailangan mong hanapin hindi ang buong kabuuan, ngunit isang bahagi ng sequence simula sa k -th na miyembro nito, kung gayon ang sumusunod na sum formula ay magiging kapaki-pakinabang sa iyo
4) Isang praktikal na interes na mahanap ang kabuuan ng n mga miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic simula sa kth na numero. Upang gawin ito, gamitin ang formula
Dito nagtatapos ang teoretikal na materyal at nagpapatuloy kami sa paglutas ng mga problema na karaniwan sa pagsasanay.
Halimbawa 1. Hanapin ang ikaapatnapung termino ng pag-unlad ng arithmetic 4;7;...
Desisyon:
Ayon sa kondisyon, mayroon tayo
Tukuyin ang hakbang ng pag-unlad
Ayon sa kilalang pormula, makikita natin ang ikaapatnapung termino ng pag-unlad
Halimbawa2. Ang arithmetic progression ay ibinibigay ng ikatlo at ikapitong miyembro nito. Hanapin ang unang termino ng progression at ang kabuuan ng sampu.
Desisyon:
Isinulat namin ang mga ibinigay na elemento ng pag-unlad ayon sa mga formula
Ibinabawas namin ang unang equation mula sa pangalawang equation, bilang isang resulta nakita namin ang hakbang ng pag-unlad
Ang nahanap na halaga ay pinapalitan sa alinman sa mga equation upang mahanap ang unang termino ng pag-unlad ng arithmetic
Kalkulahin ang kabuuan ng unang sampung termino ng pag-unlad
Nang hindi naglalapat ng mga kumplikadong kalkulasyon, nakita namin ang lahat ng kinakailangang halaga.
Halimbawa 3. Ang isang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng denominator at ng isa sa mga miyembro nito. Hanapin ang unang termino ng progression, ang kabuuan ng 50 termino nito simula sa 50, at ang kabuuan ng unang 100.
Desisyon:
Isulat natin ang formula para sa ika-daang elemento ng progression
at hanapin ang una
Batay sa una, makikita natin ang ika-50 termino ng pag-unlad
Paghahanap ng kabuuan ng bahagi ng pag-unlad
at ang kabuuan ng unang 100
Ang kabuuan ng pag-unlad ay 250.
Halimbawa 4
Hanapin ang bilang ng mga miyembro ng isang arithmetic progression kung:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Desisyon:
Isinulat namin ang mga equation sa mga tuntunin ng unang termino at ang hakbang ng pag-unlad at tukuyin ang mga ito
Pinapalitan namin ang mga nakuhang halaga sa sum formula upang matukoy ang bilang ng mga miyembro sa kabuuan
Paggawa ng mga pagpapasimple
at lutasin ang quadratic equation
Sa dalawang halaga na natagpuan, tanging ang numero 8 ay angkop para sa kondisyon ng problema. Kaya ang kabuuan ng unang walong termino ng pag-unlad ay 111.
Halimbawa 5
lutasin ang equation
1+3+5+...+x=307.
Solusyon: Ang equation na ito ay ang kabuuan ng isang arithmetic progression. Isinulat namin ang unang termino nito at hanapin ang pagkakaiba ng pag-unlad
Bago tayo magsimulang magdesisyon mga problema sa pag-unlad ng aritmetika, isaalang-alang kung ano ang pagkakasunod-sunod ng numero, dahil ang pag-unlad ng aritmetika ay isang espesyal na kaso ng pagkakasunud-sunod ng numero.
Ang numerical sequence ay isang numerical set, ang bawat elemento ay may sariling serial number. Ang mga elemento ng set na ito ay tinatawag na mga miyembro ng sequence. Ang ordinal na numero ng isang sequence element ay ipinahiwatig ng isang index:
Ang unang elemento ng pagkakasunod-sunod;
Ang ikalimang elemento ng sequence;
- "nth" na elemento ng sequence, i.e. ang elementong "nakatayo sa pila" sa numero n.
Mayroong dependency sa pagitan ng value ng isang sequence element at ang ordinal number nito. Samakatuwid, maaari nating isaalang-alang ang isang sequence bilang isang function na ang argumento ay ang ordinal na numero ng isang elemento ng sequence. Sa madaling salita, masasabi ng isa iyan ang sequence ay isang function ng natural na argumento:
Maaaring tukuyin ang pagkakasunud-sunod sa tatlong paraan:
1 . Maaaring tukuyin ang pagkakasunud-sunod gamit ang isang talahanayan. Sa kasong ito, itinakda lang namin ang halaga ng bawat miyembro ng sequence.
Halimbawa, nagpasya ang isang tao na gumawa ng personal na pamamahala ng oras, at upang magsimula sa, upang kalkulahin kung gaano karaming oras ang ginugugol niya sa VKontakte sa isang linggo. Sa pamamagitan ng pagsulat ng oras sa isang talahanayan, makakakuha siya ng pagkakasunod-sunod na binubuo ng pitong elemento:
Ang unang linya ng talahanayan ay naglalaman ng bilang ng araw ng linggo, ang pangalawa - ang oras sa minuto. Nakikita namin iyon, iyon ay, noong Lunes May gumugol ng 125 minuto sa VKontakte, iyon ay, noong Huwebes - 248 minuto, at, iyon ay, noong Biyernes, 15 lamang.
2 . Ang pagkakasunud-sunod ay maaaring tukuyin gamit ang nth member formula.
Sa kasong ito, ang pag-asa ng halaga ng elemento ng pagkakasunud-sunod sa numero nito ay direktang ipinahayag sa anyo ng isang formula.
Halimbawa, kung , pagkatapos
Upang mahanap ang halaga ng isang elemento ng pagkakasunud-sunod na may isang ibinigay na numero, pinapalitan namin ang numero ng elemento sa formula para sa ika-na miyembro.
Gayon din ang ginagawa natin kung kailangan nating hanapin ang halaga ng isang function kung alam ang halaga ng argumento. Pinapalitan namin ang halaga ng argumento sa halip sa equation ng function:
Kung, halimbawa, 
, pagkatapos
Muli, tandaan ko na sa isang pagkakasunud-sunod, sa kaibahan sa isang di-makatwirang numeric function, natural na numero lamang ang maaaring maging argumento.
3 . Maaaring tukuyin ang sequence gamit ang isang formula na nagpapahayag ng dependence ng value ng miyembro ng sequence na may numero n sa value ng mga nakaraang miyembro. Sa kasong ito, hindi sapat para sa amin na malaman lamang ang bilang ng isang sequence member upang mahanap ang halaga nito. Kailangan nating tukuyin ang unang miyembro o unang ilang miyembro ng sequence.
Halimbawa, isaalang-alang ang pagkakasunud-sunod 
, 
Mahahanap natin ang mga halaga ng mga miyembro ng isang sequence sa pagkakasunod-sunod, simula sa pangatlo:
Iyon ay, sa bawat oras na mahanap ang halaga ng ika-na miyembro ng pagkakasunud-sunod, babalik tayo sa naunang dalawa. Ang ganitong paraan ng pagkakasunud-sunod ay tinatawag paulit-ulit, mula sa salitang Latin recurro- bumalik.
Ngayon ay maaari nating tukuyin ang isang pag-unlad ng arithmetic. Ang pag-unlad ng arithmetic ay isang simpleng espesyal na kaso ng isang numerical sequence.
Arithmetic progression tinatawag na numerical sequence, ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, idinagdag na may parehong numero.
Tinatawag ang numero pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika. Ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic ay maaaring positibo, negatibo, o zero.
Kung title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} dumarami.
Halimbawa, 2; 5; walo; labing-isa;...
Kung , kung gayon ang bawat termino ng pag-unlad ng aritmetika ay mas mababa kaysa sa nauna, at ang pag-unlad ay humihina.
Halimbawa, 2; -isa; -4; -7;...
Kung , ang lahat ng miyembro ng progression ay katumbas ng parehong numero, at ang progression ay nakatigil.
Halimbawa, 2;2;2;2;...
Ang pangunahing katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika:
Tingnan natin ang larawan.
Nakikita natin yan
, at sa parehong oras
Ang pagdaragdag ng dalawang pagkakapantay-pantay na ito, nakukuha natin:
.
Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 2:
Kaya, ang bawat miyembro ng arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawang magkalapit:
Bukod dito, dahil
, at sa parehong oras
, pagkatapos
, at samakatuwid
Ang bawat miyembro ng arithmetic progression na nagsisimula sa title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
pormula ng miyembro.
Nakikita namin na para sa mga miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, ang mga sumusunod na ugnayan ay nagtataglay:
at sa wakas
Nakakuha kami formula ng nth term.
MAHALAGA! Ang sinumang miyembro ng isang arithmetic progression ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng at . Alam ang unang termino at ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika, mahahanap mo ang alinman sa mga miyembro nito.
Ang kabuuan ng n miyembro ng isang arithmetic progression.
Sa isang di-makatwirang pag-unlad ng aritmetika, ang mga kabuuan ng mga termino na pantay na may pagitan mula sa mga sukdulan ay katumbas ng bawat isa:
Isaalang-alang ang isang arithmetic progression na may n mga miyembro. Hayaang ang kabuuan ng n miyembro ng pag-unlad na ito ay katumbas ng .
Ayusin muna ang mga tuntunin ng pag-unlad sa pataas na pagkakasunud-sunod ng mga numero, at pagkatapos ay sa pababang pagkakasunud-sunod:
Ipares natin ito:
Ang kabuuan sa bawat panaklong ay , ang bilang ng mga pares ay n.
Nakukuha namin:
Kaya, ang kabuuan ng n miyembro ng isang arithmetic progression ay matatagpuan gamit ang mga formula:
Isipin mo paglutas ng mga problema sa pag-unlad ng aritmetika.
1 . Ang pagkakasunud-sunod ay ibinibigay ng formula ng ika-n na termino: . Patunayan na ang sequence na ito ay isang arithmetic progression.
Patunayan natin na ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang magkatabing miyembro ng sequence ay katumbas ng parehong numero.
Nakuha namin na ang pagkakaiba ng dalawang katabing miyembro ng sequence ay hindi nakadepende sa kanilang numero at isang pare-pareho. Samakatuwid, ayon sa kahulugan, ang sequence na ito ay isang aritmetika na pag-unlad.
2 . Nabigyan ng aritmetika na pag-unlad -31; -27;...
a) Hanapin ang 31 terms ng progression.
b) Tukuyin kung ang bilang 41 ay kasama sa pag-unlad na ito.
a) Nakikita natin na;
Isulat natin ang formula para sa ika-n na termino para sa ating pag-unlad.
Sa pangkalahatan 
Sa kaso natin 
, Kaya naman 
