Gawain 1. Ang kapal ng 300 sheet ng printer paper ay 3.3 cm. Gaano kakapal ang isang stack ng 500 sheet ng parehong papel?

Desisyon. Hayaang ang x cm ay ang kapal ng isang 500-sheet paper ream. Sa dalawang paraan nahanap natin ang kapal ng isang sheet ng papel:

3,3: 300 o x : 500.

Dahil ang mga sheet ng papel ay pareho, ang dalawang ratio na ito ay katumbas ng bawat isa. Nakukuha namin ang proporsyon paalala: Ang proporsyon ay ang pagkakapantay-pantay ng dalawang ratios):

x=(3.3 · 500): 300;

x=5.5. Sagot: pack 500 may kapal ang mga sheet ng papel 5.5 cm.

Ito ay isang klasikong pangangatwiran at pagbabalangkas ng isang solusyon sa isang problema. Ang ganitong mga problema ay madalas na kasama sa mga pagsusulit sa pagtatapos, na karaniwang isinusulat ang solusyon sa form na ito:

o sila ay nagpasya nang pasalita, na nagtatalo ng mga sumusunod: kung ang 300 na mga sheet ay may kapal na 3.3 cm, kung gayon ang 100 na mga sheet ay may kapal na 3 beses na mas maliit. Hinahati namin ang 3.3 sa 3, nakakakuha kami ng 1.1 cm Ito ang kapal ng isang 100 sheet ng papel. Samakatuwid, ang 500 na mga sheet ay magkakaroon ng kapal ng 5 beses na mas malaki, samakatuwid, i-multiply namin ang 1.1 cm sa 5 at nakuha namin ang sagot: 5.5 cm.

Siyempre, ito ay makatwiran, dahil ang oras para sa pagsubok sa mga nagtapos at mga aplikante ay limitado. Gayunpaman, sa araling ito ay pangangatuwiran at isusulat natin ang solusyon kung paano ito dapat gawin 6 klase.

Gawain 2. Gaano karaming tubig ang nilalaman ng 5 kg ng pakwan kung alam na ang pakwan ay binubuo ng 98% na tubig?

Desisyon.

Ang buong masa ng pakwan (5 kg) ay 100%. Ang tubig ay magiging x kg o 98%. Sa dalawang paraan, mahahanap mo kung gaano karaming kg ang nahuhulog sa 1% ng masa.

5: 100 o x : 98. Nakukuha namin ang proporsyon:

5: 100 = x : 98.

x=(5 · 98): 100;

x=4.9 Sagot: sa 5kg pakwan ay naglalaman ng 4.9 kg ng tubig.

Ang masa ng 21 litro ng langis ay 16.8 kg. Ano ang masa ng 35 litro ng langis?

Desisyon.

Hayaang ang masa ng 35 litro ng langis ay x kg. Pagkatapos ay sa dalawang paraan mahahanap mo ang masa ng 1 litro ng langis:

16,8: 21 o x : 35. Nakukuha namin ang proporsyon:

16,8: 21=x : 35.

Hanapin ang gitnang termino ng proporsyon. Upang gawin ito, pinarami namin ang matinding termino ng proporsyon ( 16,8 at 35 ) at hatiin sa kilalang panggitnang termino ( 21 ). Bawasan ang fraction ng 7 .

I-multiply ang numerator at denominator ng fraction sa 10 upang ang numerator at denominator ay naglalaman lamang ng mga natural na numero. Binabawasan namin ang fraction ng 5 (5 at 10) at sa 3 (168 at 3).

Sagot: 35 ang litro ng langis ay may masa 28 kg.

Matapos maararo ang 82% ng buong bukirin, 9 na ektarya pa ang natitira upang araruhin. Ano ang lugar ng buong field?

Desisyon.

Hayaang ang lugar ng buong field ay x ha, na 100%. Nananatili itong mag-araro ng 9 na ektarya, na 100% - 82% = 18% ng buong bukid. Ipahayag natin ang 1% ng field area sa dalawang paraan. Ito ay:

X : 100 o 9 : 18. Gumagawa kami ng isang proporsyon:

X : 100 = 9: 18.

Nahanap namin ang hindi kilalang sukdulang termino ng proporsyon. Upang gawin ito, pinarami namin ang average na mga termino ng proporsyon ( 100 at 9 ) at hatiin sa kilalang extreme term ( 18 ). Binabawasan namin ang fraction.

Sagot: lugar ng buong field 50 ha.

Pahina 1 ng 1 1

Ang proporsyon ay isang mathematical expression kung saan ang dalawa o higit pang mga numero ay inihahambing sa isa't isa. Sa mga proporsyon, maihahambing ang mga ganap na halaga at dami o bahagi ng mas malaking kabuuan. Ang mga proporsyon ay maaaring isulat at kalkulahin sa iba't ibang paraan, ngunit ang pangunahing prinsipyo ay pareho.

Mga hakbang

Bahagi 1

Ano ang proporsyon

Alamin kung para saan ang mga proporsyon. Ang mga proporsyon ay ginagamit kapwa sa siyentipikong pananaliksik at sa pang-araw-araw na buhay upang ihambing ang iba't ibang mga halaga at dami. Sa pinakasimpleng kaso, dalawang numero ang pinaghahambing, ngunit ang isang proporsyon ay maaaring magsama ng anumang bilang ng mga halaga. Kapag naghahambing ng dalawa o higit pang mga dami, maaari kang palaging maglapat ng isang proporsyon. Ang pag-alam kung paano nauugnay ang mga dami sa isa't isa ay ginagawang posible, halimbawa, na isulat ang mga formula ng kemikal o mga recipe para sa iba't ibang mga pagkain. Magagamit ang mga proporsyon para sa iba't ibang layunin.

1. Alamin kung ano ang ibig sabihin ng proporsyon. Gaya ng nabanggit sa itaas, pinapayagan ka ng mga proporsyon na matukoy ang ugnayan sa pagitan ng dalawa o higit pang mga dami. Halimbawa, kung kinakailangan ng 2 tasa ng harina at 1 tasa ng asukal upang makagawa ng cookies, sinasabi namin na mayroong 2 hanggang 1 na ratio sa pagitan ng dami ng harina at asukal.

   • Sa mga proporsyon, maaari mong ipakita kung paano nauugnay ang iba't ibang dami sa isa't isa, kahit na hindi direktang nauugnay ang mga ito sa isa't isa (hindi tulad ng isang recipe). Halimbawa, kung mayroong limang babae at sampung lalaki sa klase, ang ratio ng bilang ng mga babae sa bilang ng mga lalaki ay 5 hanggang 10. Sa kasong ito, ang isang numero ay hindi nakadepende sa isa at hindi direktang nauugnay sa ito: maaaring magbago ang proporsyon kung may aalis sa klase o vice versa , darating ang mga bagong estudyante dito. Pinapayagan ka lamang ng proporsyon na ihambing ang dalawang dami.

2. Bigyang-pansin ang iba't ibang paraan ng pagpapahayag ng mga proporsyon. Maaaring isulat ang mga proporsyon sa mga salita o maaaring gamitin ang mga simbolo ng matematika.

   • Sa pang-araw-araw na buhay, ang mga proporsyon ay mas madalas na ipinahayag sa mga salita (tulad ng nasa itaas). Ang mga proporsyon ay ginagamit sa isang malawak na iba't ibang mga lugar, at kung ang iyong propesyon ay hindi nauugnay sa matematika o ibang agham, kadalasan ay makakatagpo ka ng ganitong paraan ng pagsulat ng mga proporsyon.
   • Ang mga proporsyon ay kadalasang isinusulat gamit ang isang tutuldok. Kapag naghahambing ng dalawang numero gamit ang isang proporsyon, maaari silang isulat gamit ang isang tutuldok, gaya ng 7:13. Kung higit sa dalawang numero ang inihahambing, ang isang colon ay magkasunod na ipinapasok sa pagitan ng bawat dalawang numero, halimbawa 10:2:23. Sa halimbawa ng klase sa itaas, inihahambing namin ang bilang ng mga babae at lalaki, na may 5 babae: 10 lalaki. Kaya, sa kasong ito, ang proporsyon ay maaaring isulat bilang 5:10.
   • Minsan kapag nagsusulat ng mga proporsyon, ginagamit ang isang fraction sign. Sa halimbawa ng aming klase, ang ratio ng 5 babae sa 10 lalaki ay isusulat bilang 5/10. Sa kasong ito, hindi dapat basahin ang "divide" sign at dapat tandaan na hindi ito isang fraction, ngunit ang ratio ng dalawang magkaibang numero.

   Bahagi 2

   Mga operasyon na may mga sukat

   1. Dalhin ang proporsyon sa pinakasimpleng anyo nito. Ang mga proporsyon ay maaaring gawing simple, tulad ng mga fraction, sa pamamagitan ng pagbabawas ng kanilang mga miyembro sa pamamagitan ng isang karaniwang divisor. Upang gawing simple ang isang proporsyon, hatiin ang lahat ng mga numero dito sa pamamagitan ng mga karaniwang divisors. Gayunpaman, hindi dapat kalimutan ng isa ang tungkol sa mga paunang halaga na humantong sa proporsyon na ito.

      • Sa halimbawa sa itaas na may klase ng 5 babae at 10 lalaki (5:10), ang magkabilang panig ng proporsyon ay may karaniwang divisor na 5. Hinahati ang pareho sa 5 (pinakamahusay na karaniwang divisor), makakakuha tayo ng ratio na 1 babae sa 2 mga lalaki (i.e. 1:2). Gayunpaman, kapag gumagamit ng isang pinasimple na proporsyon, dapat tandaan ng isa ang mga unang numero: walang 3 mag-aaral sa klase, ngunit 15. Ang pinababang proporsyon ay nagpapakita lamang ng ratio sa pagitan ng bilang ng mga batang babae at lalaki. Mayroong dalawang lalaki para sa bawat babae, ngunit hindi ito nangangahulugan na mayroong 1 babae at 2 lalaki sa klase.
      • Ang ilang mga proporsyon ay hindi pumapayag sa pagpapasimple. Halimbawa, ang ratio na 3:56 ay hindi maaaring bawasan, dahil ang mga dami na kasama sa proporsyon ay walang karaniwang divisor: 3 ay isang prime number, at 56 ay hindi nahahati ng 3.

   2. Para sa "scaling" na mga proporsyon ay maaaring i-multiply o hatiin. Ang mga proporsyon ay kadalasang ginagamit upang dagdagan o bawasan ang mga numero sa proporsyon sa bawat isa. Ang pagpaparami o paghahati ng lahat ng mga dami sa isang proporsyon ng parehong numero ay nagpapanatili sa ratio sa pagitan ng mga ito na hindi nagbabago. Kaya, ang mga proporsyon ay maaaring i-multiply o hatiin ng "scale" factor.

      • Ipagpalagay na kailangang triplehin ng isang panadero ang dami ng cookies na kanilang ini-bake. Kung ang harina at asukal ay kinuha sa isang ratio na 2 hanggang 1 (2:1), upang madagdagan ang bilang ng cookies ng tatlong beses ang proporsyon na ito ay dapat na i-multiply sa 3. Ang resulta ay 6 na tasa ng harina para sa 3 tasa ng asukal ( 6:3).
      • Maaari mo ring gawin ang kabaligtaran. Kung kailangang hatiin ng panadero ang dami ng cookies, ang parehong bahagi ng proporsyon ay dapat hatiin sa 2 (o i-multiply sa 1/2). Ang resulta ay 1 tasa ng harina para sa kalahating tasa (1/2, o 0.5 tasa) ng asukal.

   3. Alamin kung paano maghanap ng hindi kilalang dami gamit ang dalawang katumbas na proporsyon. Ang isa pang karaniwang problema kung saan malawakang ginagamit ang mga proporsyon ay ang paghahanap ng hindi kilalang dami sa isa sa mga proporsyon, kung ibinigay ang pangalawang proporsyon na katulad nito. Ang panuntunan sa pagpaparami para sa mga fraction ay lubos na nagpapasimple sa gawaing ito. Isulat ang bawat proporsyon bilang isang fraction, pagkatapos ay ipantay ang mga fraction na ito sa isa't isa at hanapin ang nais na halaga.

      • Ipagpalagay na mayroon kaming isang maliit na grupo ng mga mag-aaral ng 2 lalaki at 5 babae. Kung gusto nating panatilihin ang ratio sa pagitan ng mga lalaki at babae, ilang lalaki ang dapat magkaroon sa isang klase na may 20 babae? Una, buuin natin ang parehong proporsyon, ang isa ay naglalaman ng hindi kilalang halaga: 2 lalaki: 5 babae \u003d x lalaki: 20 babae. Kung isusulat natin ang mga proporsyon bilang mga fraction, makakakuha tayo ng 2/5 at x/20. Matapos i-multiply ang magkabilang panig ng equation ng mga denominator, makuha natin ang equation na 5x=40; hinahati namin ang 40 sa 5 at bilang resulta nakita namin ang x=8.

   Bahagi 3

   Pagtukoy ng error

   1. Kapag nakikitungo sa mga sukat, iwasan ang pagdaragdag at pagbabawas. Maraming problema sa proporsyon ang ganito: “Kailangan ng 4 na patatas at 5 karot para makagawa ng ulam. Kung gusto mong gumamit ng 8 patatas, ilang karot ang kailangan mo?" Marami ang nagkakamali sa simpleng pagsusumikap na magdagdag ng mga katumbas na halaga. Gayunpaman, upang mapanatili ang parehong proporsyon, dapat kang magparami, hindi magdagdag. Narito ang mali at tamang solusyon para sa problemang ito:

      • Maling paraan: "8 - 4 = 4, iyon ay, 4 na patatas ang idinagdag sa recipe. Kaya, kailangan mong kunin ang nakaraang 5 karot at magdagdag ng 4 sa kanila, upang ... may hindi tama! Ang mga proporsyon ay gumagana nang iba. Subukan natin ulit".
      • Ang tamang paraan ay: “8/4 = 2, ibig sabihin, dumoble ang bilang ng patatas. Nangangahulugan ito na ang bilang ng mga karot ay dapat ding i-multiply sa 2. 5 x 2 = 10, ibig sabihin, 10 karot ang dapat gamitin sa bagong recipe.

   2. I-convert ang lahat ng mga halaga sa parehong mga yunit. Minsan ang problema ay lumitaw dahil ang mga halaga ay may iba't ibang mga yunit. Bago isulat ang proporsyon, i-convert ang lahat ng dami sa parehong mga yunit ng pagsukat. Halimbawa:

      • Ang dragon ay may 500 gramo ng ginto at 10 kilo ng pilak. Ano ang ratio ng ginto sa pilak sa mga reserbang dragon?
      • Ang mga gramo at kilo ay magkaibang mga yunit ng pagsukat, kaya dapat silang magkaisa. 1 kilo = 1,000 gramo, kaya 10 kilo = 10 kilo x 1,000 gramo/1 kilo = 10 x 1,000 gramo = 10,000 gramo.
      • Kaya ang dragon ay may 500 gramo ng ginto at 10,000 gramo ng pilak.
      • Ang ratio ng masa ng ginto sa masa ng pilak ay 500 gramo ng ginto / 10,000 gramo ng pilak = 5/100 = 1/20.

   3. Isulat ang mga yunit ng pagsukat sa solusyon ng problema. Sa mga problema sa mga proporsyon, mas madaling makahanap ng error kung isusulat mo pagkatapos ng bawat halaga ang yunit ng pagsukat nito. Tandaan na kung ang numerator at denominator ay may parehong mga yunit ng sukat, ang mga ito ay nababawasan. Pagkatapos ng lahat ng posibleng pagdadaglat, ang tamang mga yunit ng pagsukat ay dapat makuha sa sagot.

      • Halimbawa: binigyan ng 6 na kahon, at sa bawat tatlong kahon ay may 9 na bola; ilan ang bola?
      • Maling paraan: 6 boxes x 3 boxes / 9 marbles = ... Hmm, walang nabawasan, at ang sagot ay “boxes x boxes / marbles“. Ito ay walang kwenta.
      • Tamang paraan: 6 na kahon x 9 na bola / 3 kahon = 6 na kahon x 3 bola / 1 kahon = 6 x 3 bola / 1 = 18 bola.

Proporsyon - pagkakapantay-pantay ng dalawang relasyon, i.e. pagkakapantay-pantay ng anyo a:b = c:d , o, sa ibang notasyon, ang pagkakapantay-pantay

Kung ang a : b = c : d, pagkatapos a at d tinawag sukdulan, a b at c - karaniwanmga miyembro mga sukat.

Walang makalayo sa "proporsyon", ito ay kailangang-kailangan sa maraming gawain. Mayroon lamang isang paraan out - upang harapin ang ratio na ito at gamitin ang proporsyon bilang isang lifesaver.

Bago magpatuloy sa pagsasaalang-alang ng mga problema sa proporsyon, mahalagang tandaan ang pangunahing tuntunin ng proporsyon:

sa proporsyon

ang produkto ng mga extreme terms ay katumbas ng produkto ng average

Kung hindi alam ang ilang value sa proporsyon, magiging madali itong mahanap batay sa panuntunang ito.

Halimbawa,

Iyon ay, ang hindi kilalang halaga ng proporsyon - ang halaga ng fraction, sa denominator na ang bilang sa tapat ng hindi kilalang halaga , sa numerator - ang produkto ng natitirang mga miyembro ng proporsyon (hindi alintana kung saan nakatayo ang hindi kilalang halaga na ito ).

Gawain 1.

Mula sa 21 kg ng cottonseed, nakuha ang 5.1 kg ng langis. Gaano karaming langis ang makukuha mula sa 7 kg ng cottonseed?

Desisyon:

Naiintindihan namin na ang pagbaba ng bigat ng isang buto sa pamamagitan ng isang kadahilanan ng ilang beses ay nangangailangan ng pagbaba sa bigat ng nagresultang langis sa parehong halaga. Iyon ay, ang mga dami ay direktang nauugnay.

Punan natin ang talahanayan:

Hindi kilalang halaga - ang halaga ng fraction, sa denominator kung saan - 21 - ang halaga sa tapat ng hindi alam sa talahanayan, sa numerator - ang produkto ng natitirang mga miyembro ng table-proportion.

Samakatuwid, nakuha namin na 1.7 kg ng langis ay lalabas sa 7 kg ng buto.

Upang tama punan ang talahanayan, mahalagang tandaan ang panuntunan:

Ang magkatulad na mga pangalan ay dapat na nakasulat sa ilalim ng bawat isa. Nagsusulat kami ng mga porsyento sa ilalim ng mga porsyento, mga kilo sa ilalim ng mga kilo, atbp.

Gawain 2.

I-convert sa radians.

Desisyon:

Alam naman natin yun. Punan natin ang talahanayan:

Gawain 3.

Ang isang bilog ay inilalarawan sa may checkered na papel. Ano ang lugar ng bilog kung ang lugar ng shaded sector ay 27?

Desisyon:

Malinaw na nakikita na ang sektor na walang lilim ay tumutugma sa anggulo sa (halimbawa, dahil ang mga gilid ng sektor ay nabuo ng mga bisector ng dalawang magkatabing tamang anggulo). At dahil ang buong bilog ay , kung gayon ang may kulay na sektor ay sumasagot sa .

Gumawa tayo ng talahanayan:

Saan nagmula ang lugar ng bilog?

Gawain 4. Matapos maararo ang 82% ng buong bukirin, 9 na ektarya pa ang natitira upang araruhin. Ano ang lugar ng buong field?

Desisyon:

Ang buong bukirin ay 100%, at dahil 82% ang inaararo, kung gayon 100%-82%=18% ng bukirin ang nananatiling araruhin.

Punan ang talahanayan:

Saan natin nakukuha na ang buong field ay (ha).

At ang susunod na gawain ay sa isang ambush.

Gawain 5.

Ang distansya sa pagitan ng dalawang lungsod ay nilakbay ng isang pampasaherong tren sa bilis na 80 km/h sa loob ng 3 oras. Ilang oras ang aabutin para sa isang freight train na maglakbay sa parehong distansya sa bilis na 60 km/h?

Kung malulutas mo ang problemang ito sa parehong paraan tulad ng nauna, makukuha mo ang sumusunod:

ang oras na kailangan para sa isang freight train upang maglakbay sa parehong distansya bilang isang pampasaherong tren ay oras. Iyon ay, lumalabas na, sa pagpunta sa isang mas mababang bilis, ito ay nagtagumpay (sa parehong oras) ang distansya nang mas mabilis kaysa sa isang tren na may mas mataas na bilis.

Ano ang error sa pangangatwiran?

Sa ngayon, isinasaalang-alang namin ang mga problema kung saan ang dami direktang proporsyonal sa bawat isa , ibig sabihin paglago ng parehong magnitude sa pamamagitan ng isang tiyak na halaga, ay nagbibigay paglago ang pangalawang dami na nauugnay dito sa parehong bilang ng beses (katulad ng pagbaba, siyempre). At dito mayroon tayong ibang sitwasyon: ang bilis ng pampasaherong tren higit pa ang bilis ng isang kargamento ng tren sa pamamagitan ng isang kadahilanan ng ilang beses, ngunit ang oras na kinakailangan upang mapagtagumpayan ang parehong distansya ay kinakailangan ng isang pampasaherong tren mas mababa kasing dami ng tren ng kargamento. Ibig sabihin, mga halaga sa isa't isa inversely proportional .

Ang scheme na ginamit namin sa ngayon ay kailangang bahagyang mabago sa kasong ito.

Desisyon:

Nangangatuwiran kami ng ganito:

Ang isang pampasaherong tren ay naglakbay ng 3 oras sa bilis na 80 km/h, kaya ito ay bumiyahe ng km. Nangangahulugan ito na sasaklawin ng isang freight train ang parehong distansya sa loob ng isang oras.

Iyon ay, kung tayo ay gagawa ng isang proporsyon, dapat ay pinalitan muna natin ang mga cell ng kanang hanay. Makakatanggap sana ng:

Kaya, mangyaring maging maingat sa pagguhit ng proporsyon. Una, alamin kung anong uri ng pagkagumon ang iyong kinakaharap - direkta o baligtad.

Mula sa punto ng view ng matematika, ang isang proporsyon ay ang pagkakapantay-pantay ng dalawang ratios. Ang pagtutulungan ay katangian ng lahat ng bahagi ng proporsyon, pati na rin ang kanilang hindi nagbabagong resulta. Maiintindihan mo kung paano gumawa ng isang proporsyon sa pamamagitan ng pamilyar sa iyong sarili sa mga katangian at formula ng proporsyon. Upang maunawaan ang prinsipyo ng paglutas ng mga proporsyon, sapat na upang isaalang-alang ang isang halimbawa. Direktang paglutas lamang ng mga proporsyon, madali at mabilis mong matututunan ang mga kasanayang ito. At ang artikulong ito ay makakatulong sa mambabasa dito.

Mga katangian ng proporsyon at formula

1. Pagbabaligtad ng proporsyon. Kung ang ibinigay na pagkakapantay-pantay ay mukhang 1a: 2b = 3c: 4d, isulat ang 2b: 1a = 4d: 3c. (Bukod dito, ang 1a, 2b, 3c at 4d ay mga pangunahing numero maliban sa 0).
2. Pagpaparami ng ibinigay na mga miyembro ng proporsyon nang crosswise. Sa literal na mga termino, ganito ang hitsura nito: 1a: 2b \u003d 3c: 4d, at ang pagsulat ng 1a4d \u003d 2b3c ay magiging katumbas nito. Kaya, ang produkto ng mga matinding bahagi ng anumang proporsyon (ang mga numero sa mga gilid ng pagkakapantay-pantay) ay palaging katumbas ng produkto ng mga gitnang bahagi (ang mga numero na matatagpuan sa gitna ng pagkakapantay-pantay).
3. Kapag nag-compile ng isang proporsyon, ang gayong pag-aari nito bilang isang permutasyon ng sukdulan at gitnang mga termino ay maaari ding maging kapaki-pakinabang. Ang equality formula 1a: 2b = 3c: 4d ay maaaring ipakita sa mga sumusunod na paraan:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (kapag ang mga gitnang miyembro ng proporsyon ay muling inayos).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (kapag ang mga extreme na miyembro ng proporsyon ay muling inayos).
4. Perpektong nakakatulong sa paglutas ng proporsyon ng pag-aari nito ng pagtaas at pagbaba. Gamit ang 1a: 2b = 3c: 4d, isulat ang:
   • (1a + 2b): 2b = (3c + 4d): 4d (pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagtaas ng proporsyon).
   • (1a - 2b): 2b = (3c - 4d): 4d (pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagpapababa ng proporsyon).
5. Maaari kang lumikha ng mga proporsyon sa pamamagitan ng pagdaragdag at pagbabawas. Kapag ang proporsyon ay isinulat bilang 1a:2b = 3c:4d pagkatapos ay:
   • (1a + 3c): (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (idinagdag ang proporsyon).
   • (1a - 3c): (2b - 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (binabawas ang proporsyon).
6. Gayundin, kapag nilulutas ang isang proporsyon na naglalaman ng fractional o malalaking numero, maaari mong hatiin o i-multiply ang pareho ng mga termino nito sa parehong numero. Halimbawa, ang mga bahagi ng proporsyon na 70:40=320:60 ay maaaring isulat nang ganito: 10*(7:4=32:6).
7. Ang variant ng paglutas ng proporsyon na may mga porsyento ay ganito ang hitsura. Halimbawa, isulat, 30=100%, 12=x. Ngayon ay dapat mong i-multiply ang mga gitnang termino (12 * 100) at hatiin sa kilalang sukdulan (30). Kaya, ang sagot ay: x=40%. Sa katulad na paraan, kung kinakailangan, maaari mong i-multiply ang mga kilalang extreme terms at hatiin ang mga ito sa isang naibigay na average na numero, upang makuha ang nais na resulta.

Kung interesado ka sa isang tiyak na formula ng proporsyon, kung gayon sa pinakasimpleng at pinakakaraniwang bersyon, ang proporsyon ay tulad ng isang pagkakapantay-pantay (pormula): a / b \u003d c / d, kung saan ang a, b, c at d ay apat na hindi -zero na mga numero.

Ang paglutas ng problema gamit ang mga proporsyon ay bumababa sa paggawa ng hindi kilalang halaga x miyembro ng proporsyon na ito. Pagkatapos, gamit ang pangunahing katangian ng proporsyon, kumuha ng linear equation at lutasin ito.

Mga Paunang Kasanayan Nilalaman ng aralin

Paano lutasin ang isang problema gamit ang proporsyon

Isaalang-alang natin ang pinakasimpleng halimbawa. Tatlong grupo ang kailangang magbayad ng scholarship na 1600 rubles bawat isa. Mayroong 20 mag-aaral sa unang pangkat. Nangangahulugan ito na ang unang pangkat ay babayaran ng 1600 × 20, iyon ay, 32 libong rubles.

Mayroong 17 katao sa pangalawang pangkat. Nangangahulugan ito na ang pangalawang pangkat ay babayaran ng 1600 × 17, iyon ay, 27.200 libong rubles.

Well, magbabayad kami ng scholarship sa ikatlong grupo. Mayroon itong 15 katao. Kailangan nilang gumastos ng 1600 × 15, iyon ay, 24 libong rubles.

Bilang resulta, mayroon kaming sumusunod na solusyon:

Para sa gayong mga problema, ang solusyon ay maaaring isulat gamit ang isang proporsyon.

Ang proporsyon, ayon sa kahulugan, ay ang pagkakapantay-pantay ng dalawang ratios. Halimbawa, ang pagkakapantay-pantay ay isang proporsyon. Ang proporsyon na ito ay mababasa tulad ng sumusunod:

a kaya naaangkop sa b, bilang c nalalapat d

Katulad nito, maaari mong iugnay ang scholarship at mga mag-aaral, upang ang lahat ay makakuha ng 1600 rubles.

Kaya, isulat natin ang unang ratio, lalo na ang ratio ng isang libo anim na raang rubles bawat tao:

Nalaman namin na para mabayaran ang 20 estudyante ng 1600 rubles bawat isa, kailangan namin ng 32 libong rubles. Kaya ang pangalawang ratio ay magiging ratio ng tatlumpu't dalawang libo hanggang dalawampung mag-aaral:

Ngayon ikinonekta namin ang nakuha na mga relasyon na may pantay na tanda:

Nakakuha kami ng proporsyon. Maaari itong basahin tulad nito:

Isang libo anim na raang rubles ang tinatrato ang isang mag-aaral sa parehong paraan tulad ng pagtrato ng tatlumpu't dalawang libong rubles sa dalawampung estudyante.

Unawain ang 1600 rubles bawat isa. Kung hahatiin natin sa magkabilang panig ng equation , pagkatapos ay nalaman namin na ang isang estudyante, tulad ng dalawampung estudyante, ay makakakuha ng 1600 rubles bawat isa.

Ngayon isipin na ang halaga ng pera na kailangan upang magbayad ng mga scholarship sa dalawampung mag-aaral ay hindi alam. Sabihin natin kung ang tanong ay: sa isang grupo ng 20 estudyante at bawat isa ay kailangang magbayad ng 1600 rubles. Ilang rubles ang kinakailangan upang bayaran ang scholarship?

Sa kasong ito, ang proporsyon kukuha ng form. Iyon ay, ang halaga ng pera na kailangan upang bayaran ang scholarship ay naging isang hindi kilalang miyembro ng proporsyon. Ang proporsyon na ito ay mababasa nang ganito:

Isang libo anim na raang rubles ang tinatrato ang isang estudyante bilang hindi kilalang bilang ng mga rubles tumutukoy sa dalawampung estudyante

Ngayon gamitin natin ang pangunahing pag-aari ng proporsyon. Sinasabi nito na ang produkto ng matinding termino ng proporsyon ay katumbas ng produkto ng average:

Ang pagpaparami ng mga tuntunin ng proporsyon na "crosswise", makuha natin ang pagkakapantay-pantay 1600 × 20 = 1 × x. Ang pagkalkula ng magkabilang panig ng equation, makakakuha tayo ng 32000 = x o x= 32000 . Sa madaling salita, makikita natin ang halaga ng hindi kilalang dami na hinahanap natin.

Katulad nito, posibleng matukoy ang kabuuang halaga para sa natitirang bilang ng mga mag-aaral - para sa 17 at 15. Ang mga proporsyon na ito ay mukhang at . Gamit ang pangunahing pag-aari ng proporsyon, mahahanap mo ang halaga x

Gawain 2. Naglakbay ang bus ng 100 km sa loob ng 2 oras. Gaano katagal ang bus para maglakbay ng 300 km kung ito ay bumibiyahe sa parehong bilis?

Maaari mo munang matukoy ang layo na bibiyahe ng bus sa loob ng isang oras. Pagkatapos ay tukuyin kung gaano karaming beses ang distansyang ito ay nakapaloob sa 300 kilometro:

100: 2 = 50 km kada oras ng paglalakbay

300 km: 50 = 6 na oras

O maaari mong gawin ang proporsyon na "isang daang kilometro ay nauugnay sa isang oras habang ang tatlong daang kilometro ay sa hindi kilalang bilang ng oras":

Ang ratio ng parehong dami

Kung ang sukdulan o gitnang mga miyembro ng proporsyon ay ipinagpapalit, kung gayon ang proporsyon ay hindi lalabag.

Oo, sa proporsyon maaari mong palitan ang mga termino ng pagtatapos. Pagkatapos ay makukuha mo ang proporsyon .

Ang proporsyon ay hindi rin lalabag kung ito ay baligtad, iyon ay, gamitin ang mga kabaligtaran na ratios sa parehong bahagi.

I-flip natin ang proporsyon . Pagkatapos makuha namin ang proporsyon . Hindi nasisira ang relasyon. Ang ratio sa pagitan ng mga mag-aaral ay katumbas ng ratio sa pagitan ng mga halaga ng pera na inilaan para sa mga mag-aaral na ito. Ang proporsyon na ito ay madalas na binubuo sa paaralan kapag ang mga talahanayan ay pinagsama-sama upang malutas ang isang problema.

Ang paraan ng pagsulat na ito ay napaka-maginhawa, dahil pinapayagan ka nitong isalin ang kondisyon ng problema sa isang mas naiintindihan na anyo. Malulutas namin ang isang problema kung saan kinakailangan upang matukoy kung gaano karaming mga rubles ang kinakailangan upang magbayad ng mga iskolar sa dalawampung mag-aaral.

Isinulat namin ang kondisyon ng problema tulad ng sumusunod:

Gumawa tayo ng talahanayan batay sa kundisyong ito:

Gumawa tayo ng isang proporsyon gamit ang data ng talahanayan:

Gamit ang pangunahing pag-aari ng proporsyon, nakakakuha tayo ng isang linear na equation at hinahanap ang ugat nito:

Sa una, hinarap namin ang proporsyon , na binubuo ng mga ratio ng mga dami ng iba't ibang kalikasan. Ang mga numerator ng mga relasyon ay ang mga halaga ng pera, at ang mga denominador ay ang bilang ng mga mag-aaral:

Ang pagpapalit ng mga matinding termino, nakuha namin ang proporsyon . Ang proporsyon na ito ay binubuo ng mga ratios ng magnitude ng parehong kalikasan. Ang unang kaugnayan ay naglalaman ng mga bilang ng mga mag-aaral, at ang pangalawa ay naglalaman ng mga halaga ng pera:

Kung ang isang relasyon ay binubuo ng mga dami ng parehong kalikasan, pagkatapos ay tatawagin natin ito ang ratio ng parehong dami. Halimbawa, ang relasyon sa pagitan ng mga prutas, pera, pisikal na dami, phenomena, mga aksyon.

Ang ratio ay maaaring binubuo ng parehong mga halaga, at ng mga halaga ng iba't ibang kalikasan. Ang mga halimbawa ng huli ay ang ratio ng distansya sa oras, ang ratio ng halaga ng isang produkto sa dami nito, ang ratio ng kabuuang halaga ng scholarship sa bilang ng mga mag-aaral.

Halimbawa 2. Ang mga puno ng pine at birch ay nakatanim sa hardin ng paaralan, at mayroong 2 puno ng birch para sa bawat pine tree. Ilang pines ang naitanim sa hardin kung 240 birch ang itinanim?

Tukuyin kung gaano karaming mga pine ang itinanim sa hardin. Upang gawin ito, gagawa kami ng isang proporsyon. Sinasabi ng kondisyon na para sa bawat pine mayroong 2 birches. Sumulat tayo ng isang ratio na nagpapakita na mayroong dalawang birch bawat pine tree:

Ngayon isulat natin ang pangalawang kaugnayan, na ipinapakita iyon sa x pines account para sa 240 birches

Ikinonekta namin ang mga ugnayang ito sa isang pantay na tanda, nakukuha namin ang sumusunod na proporsyon:

"Ang 2 puno ng birch ay may kaugnayan sa isang pine,
paano nauugnay ang 240 birch tree sa x pine tree"

Gamit ang pangunahing pag-aari ng proporsyon, nakita namin ang halaga x

O ang proporsyon ay maaaring iguhit sa pamamagitan ng unang pagsusulat ng kundisyon, tulad ng sa nakaraang halimbawa:

Ang parehong proporsyon ay makukuha, ngunit sa pagkakataong ito ay bubuuin ito ng mga ratio ng mga dami ng parehong pangalan:

Kaya 120 pines ang itinanim sa hardin.

Halimbawa 3. Mula sa 225 kg ng ore, nakuha ang 34.2 kg ng tanso. Ano ang porsyento ng tanso sa mineral?

Maaari mong hatiin ang 34.2 sa 225 at ipahayag ang resulta bilang isang porsyento:

O gumawa ng isang proporsyon ng 225 kilo ng ore kaya 100%, dahil ang 34.2 kg ng tanso ay nahulog sa hindi kilalang porsyento:

O gumawa ng isang proporsyon kung saan ang mga ratio ay binubuo ng mga dami ng parehong pangalan:

Mga gawain para sa direktang proporsyonalidad

Ang pag-unawa sa kaugnayan ng magkatulad na dami ay humahantong sa isang pag-unawa sa solusyon ng mga problema para sa direkta at baligtad na proporsyonalidad. Magsimula tayo sa mga problema sa direktang proporsyonalidad.

Una, tandaan natin kung ano ang direktang proporsyonalidad. Ito ang relasyon sa pagitan ng dalawang dami kung saan ang pagtaas sa isa sa mga ito ay nangangailangan ng pagtaas sa isa pa ng parehong halaga.

Kung ang isang bus ay sumasaklaw sa layo na 50 km sa loob ng 1 oras, aabutin ang bus ng 2 oras upang masakop ang layo na 100 km (sa parehong bilis). Kung gaano karaming beses ang distansya ay tumaas, ang oras ng paggalaw ay tumaas ng parehong halaga. Paano ito maipakita nang may proporsyon?

Ang isa sa mga layunin ng isang ratio ay upang ipakita kung gaano karaming beses ang unang halaga ay mas malaki kaysa sa pangalawa. Nangangahulugan ito na maaari nating gamitin ang proporsyon upang ipakita na ang distansya at oras ay nadoble. Upang gawin ito, ginagamit namin ang ratio ng parehong dami.

Ipakita natin na nadoble ang distansya:

Katulad nito, ipinapakita namin na ang oras ay tumaas ng parehong kadahilanan

"Ang 100 kilometro ay nauugnay sa 50 kilometro habang ang 2 oras ay nauugnay sa 1 oras"

Kung hahatiin natin sa parehong bahagi ng equation , makikita natin na ang distansya at oras ay nadagdagan ng parehong bilang ng beses.

2 = 2

Gawain 2. Sa loob ng 3 oras, 27 tonelada ng harina ng trigo ang giniling sa gilingan. Ilang tonelada ng harina ng trigo ang maaaring gilingin sa loob ng 9 na oras kung ang bilis ng trabaho ay hindi nagbabago?

Desisyon

Ang oras ng pagpapatakbo ng gilingan at ang masa ng giniling na harina ay direktang proporsyonal. Sa pagtaas ng oras ng pagpapatakbo nang maraming beses, ang halaga ng giniling na harina ay tataas ng parehong halaga. Ipakita natin ito nang may proporsyon.

Sa problema, 3 oras ang ibinibigay. Ang 3 oras na ito ay tumaas sa 9 na oras. Isulat natin ang ratio ng 9 na oras hanggang 3 oras. Ipapakita ng ratio na ito kung gaano karaming beses na tumaas ang oras ng gilingan:

Ngayon isulat natin ang pangalawang kaugnayan. Ito ang magiging saloobin x tonelada ng harina ng trigo hanggang 27 tonelada. Ang ratio na ito ay magpapakita na ang dami ng giniling na harina ay tumaas nang kasing dami ng oras ng gilingan

Ikinonekta namin ang mga relasyon na ito sa isang pantay na tanda, nakukuha namin ang proporsyon.

Ginagamit namin ang pangunahing pag-aari ng proporsyon at paghahanap x

Nangangahulugan ito na 81 tonelada ng harina ng trigo ay maaaring gilingin sa loob ng 9 na oras.

Sa pangkalahatan, kung kukuha tayo ng dalawang direktang proporsyonal na halaga at tataas ang mga ito sa parehong bilang ng beses, kung gayon ang ratio ng bagong halaga sa lumang halaga ng unang halaga ay magiging katumbas ng ratio ng bagong halaga sa luma. halaga ng pangalawang halaga.

Kaya sa nakaraang problema, ang mga lumang halaga ay 3 h at 27 t. Ang mga halagang ito ay nadagdagan ng parehong bilang ng beses (tatlong beses). Ang mga bagong halaga ay 9 na oras at 81 na oras. Pagkatapos ang ratio ng bagong halaga ng oras ng pagpapatakbo ng gilingan sa lumang halaga ay katumbas ng ratio ng bagong halaga ng masa ng giniling na harina sa lumang halaga

Kung hahatiin natin sa parehong bahagi ng equation, makikita natin na ang oras ng pagpapatakbo ng gilingan at ang dami ng giniling na harina ay tumaas ng parehong bilang ng beses:

3 = 3

Ang proporsyon na binubuo sa mga gawain para sa direktang proporsyonalidad ay maaaring ilarawan gamit ang expression:

Kung saan kalaunan ay naging katumbas ito ng 81.

Gawain 2. Para sa 8 baka sa taglamig, ang milkmaid araw-araw ay naghahanda ng 80 kg ng dayami, 96 kg ng root crops, 120 kg ng silage at 12 kg ng concentrates. Tukuyin ang pang-araw-araw na pagkonsumo ng mga feed na ito para sa 18 baka.

Desisyon

Ang bilang ng mga baka at ang bigat ng bawat feed ay direktang proporsyonal. Sa pagtaas ng bilang ng mga baka nang maraming beses, ang masa ng bawat isa sa mga feed ay tataas ng parehong halaga.

Gumawa tayo ng ilang mga proporsyon na kinakalkula ang masa ng bawat isa sa mga feed para sa 18 baka.

Magsimula tayo sa hay. Araw-araw para sa 8 baka ito ay inaani ng 80 kg. Pagkatapos ay para sa 18 baka ang aanihin x kg ng dayami.

Sumulat tayo ng ratio na nagpapakita kung gaano karaming beses nadagdagan ang bilang ng mga baka:

Ngayon ay isinulat namin ang ratio na nagpapakita kung gaano karaming beses na tumaas ang masa ng dayami:

Ikinonekta namin ang mga ugnayang ito sa isang pantay na tanda, nakukuha namin ang proporsyon:

Mula dito makikita natin x

Kaya para sa 18 baka kailangan mong maghanda ng 180 kg ng dayami. Katulad nito, tinutukoy namin ang masa ng mga pananim na ugat, silage at concentrates.

Para sa 8 baka, 96 kg ng root crops ang inaani araw-araw. Pagkatapos ay para sa 18 baka ang aanihin x kg ng mga pananim na ugat. Buuin ang proporsyon mula sa mga ratio at , pagkatapos ay kalkulahin ang halaga x

Alamin natin kung gaano karaming silage at concentrates ang kailangang ihanda para sa 18 baka:

Nangangahulugan ito na 180 kg ng hay, 216 kg ng root crops, 270 kg ng silage at 27 kg ng concentrates ang kailangang anihin araw-araw para sa 18 baka.

Gawain 3. Nagluluto ang hostess ng cherry jam, at naglalagay ng 2 tasa ng asukal sa 3 tasa ng seresa. Gaano karaming asukal ang dapat ilagay sa 12 tasa ng seresa? para sa 10 tasa ng seresa? para sa isang baso ng seresa?

Desisyon

Ang bilang ng mga baso ng seresa at ang bilang ng mga baso ng butil na asukal ay direktang proporsyonal. Sa pagtaas ng bilang ng mga baso ng seresa nang maraming beses, ang bilang ng mga baso ng asukal ay tataas ng parehong halaga.

Sumulat tayo ng isang ratio na nagpapakita kung gaano karaming beses ang bilang ng mga baso ng seresa ay tumaas:

Ngayon magsulat tayo ng isang ratio na nagpapakita kung gaano karaming beses ang bilang ng mga baso ng asukal ay tumaas:

Ikinonekta namin ang mga relasyon na ito sa isang pantay na tanda, nakukuha namin ang proporsyon at hanapin ang halaga x

Kaya para sa 12 tasa ng seresa kailangan mong maglagay ng 8 tasa ng asukal.

Tukuyin ang bilang ng mga baso ng asukal para sa 10 baso ng seresa at isang baso ng seresa

Inverse Proportional Problems

Upang malutas ang mga problema sa kabaligtaran na proporsyonalidad, muli, maaari kang gumamit ng isang proporsyon na binubuo ng mga ratio ng parehong dami.

Hindi tulad ng direktang proporsyonalidad, kung saan tumataas o bumababa ang mga dami sa parehong direksyon, sa baligtad na proporsyonalidad, nagbabago ang mga dami pabalik sa isa't isa.

Kung ang isang halaga ay tumaas nang maraming beses, ang isa ay bababa ng parehong halaga. Sa kabaligtaran, kung ang isang halaga ay bumaba ng ilang beses, ang isa ay tataas ng parehong halaga.

Sabihin nating kailangan mong magpinta ng isang bakod na binubuo ng 8 mga sheet

Isang pintor ang magpipintura ng lahat ng 8 sheet sa kanyang sarili

Kung mayroong 2 pintor, ang bawat isa ay magpinta ng 4 na sheet.

Ito, siyempre, sa kondisyon na ang mga pintor ay tapat sa isa't isa at patas na ibinabahagi ang gawaing ito sa pagitan ng dalawa.

Kung mayroong 4 na pintor, ang bawat isa ay magpinta ng 2 sheet

Napansin namin na sa pagtaas ng bilang ng mga pintor nang maraming beses, ang bilang ng mga sheet na nahuhulog sa isang pintor ay bumababa ng parehong halaga.

Kaya dinagdagan namin ang bilang ng mga pintor mula 1 hanggang 4. Sa madaling salita, apat na beses namin ang bilang ng mga pintor. Isulat natin ito na may kaugnayan:

Bilang resulta, ang bilang ng mga sheet ng bakod sa bawat isang pintor ay nabawasan ng apat na beses. Isulat natin ito na may kaugnayan:

Ikinonekta namin ang mga relasyon na ito sa isang pantay na tanda, nakukuha namin ang proporsyon

"4 na pintor ay para sa 1 pintor habang ang 8 sheet ay sa 2 sheet"

Gawain 2. Tinapos ng 15 manggagawa ang mga apartment sa bagong gusali sa loob ng 24 na araw. Ilang araw ang aabutin ng 18 manggagawa upang gawin ang gawaing ito?

Desisyon

Ang bilang ng mga manggagawa at ang bilang ng mga araw na ginugol sa trabaho ay inversely proportional. Kung ang bilang ng mga manggagawa ay tumaas nang maraming beses, ang bilang ng mga araw na kinakailangan upang makumpleto ang gawaing ito ay bababa ng parehong halaga.

Isulat natin ang ratio ng 18 manggagawa sa 15 manggagawa. Ipapakita ng ratio na ito kung gaano karaming beses tumaas ang bilang ng mga manggagawa

Ngayon isulat natin ang pangalawang ratio, na nagpapakita kung gaano karaming beses nabawasan ang bilang ng mga araw. Dahil ang bilang ng mga araw ay bababa mula 24 na araw hanggang x araw, kung gayon ang pangalawang ratio ay ang ratio ng lumang bilang ng mga araw (24 na araw) sa bagong bilang ng mga araw ( x araw)

Ikinonekta namin ang nakuha na mga relasyon na may pantay na tanda, nakukuha namin ang proporsyon:

Mula dito makikita natin x

Nangangahulugan ito na 18 manggagawa ang matatapos sa kinakailangang trabaho sa loob ng 20 araw.

Sa pangkalahatan, kung kukuha ka ng dalawang inversely proportional na dami at dagdagan ang isa sa mga ito sa isang tiyak na bilang ng beses, ang isa ay bababa ng parehong halaga. Pagkatapos ang ratio ng bagong halaga sa lumang halaga ng unang dami ay magiging katumbas ng ratio ng lumang halaga sa bagong halaga ng pangalawang dami.

Kaya sa nakaraang gawain, ang lumang halaga ay 15 manggagawa at 24 na araw. Ang bilang ng mga manggagawa ay nadagdagan mula 15 hanggang 18 (iyon ay, ito ay nadagdagan ng isang kadahilanan ng 1). Bilang resulta, ang bilang ng mga araw na kinakailangan upang makumpleto ang trabaho ay nabawasan ng parehong kadahilanan. Ang mga bagong halaga ay 18 araw ng trabaho at 20 araw. Pagkatapos ang ratio ng bagong bilang ng mga manggagawa sa lumang numero ay katumbas ng ratio ng lumang bilang ng mga araw sa bagong numero

Upang gumuhit ng isang proporsyon sa mga problema sa kabaligtaran na proporsyonalidad, maaari mong gamitin ang formula:

Kaugnay ng aming gawain, ang mga halaga ng mga variable ay ang mga sumusunod:

Kung saan kalaunan ay naging 20.

Gawain 2. Ang bilis ng bapor ay nauugnay sa bilis ng ilog bilang 36: 5. Ang bapor ay lumipat sa ibaba ng agos sa loob ng 5 oras at 10 minuto. Gaano katagal siya makakabalik?

Desisyon

Ang sariling bilis ng bangka ay 36 km/h. Ang bilis ng daloy ng ilog ay 5 km/h. Dahil ang bapor ay gumagalaw sa daloy ng braso, ang bilis nito ay 36 + 5 = 41 km/h. Ang oras ng paglalakbay ay 5 oras 10 minuto. Para sa kaginhawahan, ipinapahayag namin ang oras sa ilang minuto:

5 oras 10 minuto = 300 minuto + 10 minuto = 310 minuto

Dahil sa pabalik ang bapor ay kumikilos laban sa agos ng ilog, ang bilis nito ay 36 − 5 = 31 km/h.

Ang bilis ng barko at ang oras ng paggalaw nito ay inversely proportional. Kung ang bilis ay bumaba nang maraming beses, ang oras ng paggalaw nito ay tataas ng parehong halaga.

Sumulat tayo ng isang ratio na nagpapakita kung gaano karaming beses ang bilis ng paggalaw ay nabawasan:

Ngayon ay isulat natin ang pangalawang ratio, na nagpapakita kung gaano karaming beses ang oras ng paggalaw ay tumaas. Mula noong bagong panahon x ay magiging mas malaki kaysa sa lumang panahon, sa numerator ng ratio isulat namin ang oras x, at ang denominator ay ang lumang panahon, katumbas ng tatlong daan at sampung minuto

Ikinonekta namin ang nakuha na mga ratio na may pantay na tanda, nakuha namin ang proporsyon. Mula dito makikita natin ang halaga x

Ang 410 minuto ay 6 na oras at 50 minuto. Kaya aabutin ng 6 na oras at 50 minuto ang barko para makabalik.

Gawain 3. 15 tao ang nagtrabaho sa pag-aayos ng kalsada, at kinailangan nilang tapusin ang trabaho sa loob ng 12 araw. Sa ikalimang araw ng umaga, marami pang manggagawa ang dumating, at ang natitirang trabaho ay natapos sa loob ng 6 na araw. Ilang manggagawa ang dumating bilang karagdagan?

Desisyon

Ibawas ang 4 na araw na nagtrabaho mula sa 12 araw. Kaya tutukuyin natin kung ilang araw pa ang natitira para magtrabaho ang labinlimang manggagawa

12 araw − 4 na araw = 8 araw

Sa ikalimang araw dumating ang karagdagang x manggagawa. Pagkatapos ang kabuuang bilang ng mga manggagawa ay 15 + x .

Ang bilang ng mga manggagawa at ang bilang ng mga araw na kinakailangan upang makumpleto ang trabaho ay inversely proportional. Sa pagtaas ng bilang ng mga manggagawa ng ilang beses, ang bilang ng mga araw ay bababa ng parehong halaga.

Sumulat tayo ng ratio na nagpapakita kung gaano karaming beses nadagdagan ang bilang ng mga manggagawa:

Ngayon, isulat natin kung ilang beses nabawasan ang bilang ng mga araw na kinakailangan upang makumpleto ang gawain:

Ikinonekta namin ang mga relasyon na ito sa isang pantay na tanda, nakukuha namin ang proporsyon. Mula dito maaari mong kalkulahin ang halaga x

Kaya 5 manggagawa din ang dumating.

Iskala

Ang sukat ay ang ratio ng haba ng segment sa larawan sa haba ng kaukulang segment sa lupa.

Ipagpalagay na ang distansya mula sa bahay hanggang paaralan ay 8 km. Subukan nating gumuhit ng isang plano ng lugar, kung saan ipahiwatig ang bahay, paaralan at ang distansya sa pagitan nila. Ngunit hindi kami maaaring gumuhit ng isang distansya na 8 km sa papel, dahil ito ay medyo malaki. Ngunit sa kabilang banda, maaari nating bawasan ang distansyang ito ng ilang beses upang ito ay magkasya sa papel.

Hayaang ang mga kilometro sa lupa sa aming plano ay ipahayag sa sentimetro. Ang pag-convert ng 8 kilometro sa sentimetro, makakakuha tayo ng 800,000 sentimetro.

Bawasan natin ang 800,000 cm ng isang daang libong beses:

800,000 cm: 100,000 cm = 8 cm

Ang 8 cm ay ang distansya mula sa bahay sa paaralan, na nabawasan ng isang daang libong beses. Ngayon ay madali kang gumuhit ng isang bahay at isang paaralan sa papel, ang distansya sa pagitan ng kung saan ay magiging 8 cm.

Ang 8 cm na ito ay tumutukoy sa tunay na 800,000 cm. Isulat natin ito gamit ang ratio:

8: 800 000

Ang isa sa mga katangian ng isang relasyon ay ang kaugnayan ay hindi nagbabago kung ang mga termino nito ay i-multiply o hinati sa parehong bilang.

Upang gawing simple ang ratio na 8: 800,000, ang parehong mga miyembro nito ay maaaring hatiin ng 8. Pagkatapos ay makuha natin ang ratio na 1: 100,000. Ang ratio na ito ay tatawaging iskala. Ipinapakita ng ratio na ito na ang isang sentimetro sa plano ay nauugnay sa (o tumutugma sa) isang daang libong sentimetro sa lupa.

Samakatuwid, sa aming figure ay kinakailangan upang ipahiwatig na ang plano ay iginuhit sa isang sukat na 1: 100,000

Ang 1 cm sa plano ay tumutukoy sa 100,000 cm sa lupa;
2 cm sa plano ay tumutukoy sa 200,000 cm sa lupa;
Ang 3 cm sa plano ay tumutukoy sa 300,000 sa lupa, atbp.

Sa anumang mapa o plano, ito ay ipinahiwatig sa kung anong sukat ang mga ito ay ginawa. Ang sukat na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang tunay na distansya sa pagitan ng mga bagay.

Kaya, ang aming plano ay iginuhit sa sukat na 1: 100,000. Sa planong ito, ang distansya sa pagitan ng tahanan at paaralan ay 8 cm. Upang makalkula ang totoong distansya sa pagitan ng tahanan at paaralan, kailangan mong dagdagan ang 8 cm ng 100,000 beses. Sa madaling salita, i-multiply ang 8 cm sa 100,000

8 cm × 100,000 = 800,000 cm

Makakakuha tayo ng 800,000 cm o 8 km kung iko-convert natin ang sentimetro sa kilometro.

Ipagpalagay na may isang puno sa pagitan ng bahay at paaralan. Sa plano, ang distansya sa pagitan ng paaralan at ng punong ito ay 4 cm.

Kung gayon ang totoong distansya sa pagitan ng bahay at ng puno ay magiging 4 cm × 100,000 = 400,000 cm o 4 km.

Ang distansya sa lupa ay maaaring matukoy gamit ang proporsyon. Sa aming halimbawa, ang distansya sa pagitan ng tahanan at paaralan ay kakalkulahin gamit ang sumusunod na proporsyon:

Ang 1 cm sa plano ay nauugnay sa 100,000 cm sa lupa habang ang 8 cm sa plano ay nauugnay sa x cm sa lupa.

Mula sa proporsyon na ito, nalaman natin na ang halaga x katumbas ng 800000 cm.

Halimbawa 2. Sa mapa, ang distansya sa pagitan ng dalawang lungsod ay 8.5 cm. Tukuyin ang aktwal na distansya sa pagitan ng mga lungsod kung ang mapa ay iginuhit sa sukat na 1: 1,000,000.

Desisyon

Ang Scale 1: 1,000,000 ay nagpapahiwatig na ang 1 cm sa mapa ay tumutugma sa 1,000,000 cm sa lupa. Pagkatapos ay magkasya ang 8.5 cm x tingnan ang lokalidad. Gawin natin ang isang proporsyon ng 1 hanggang 1000000 bilang 8.5 hanggang x

Ang 1 km ay naglalaman ng 100,000 cm. Pagkatapos ay 8,500,000 cm ang magiging

O maaari kang makipagtalo ng ganito. Ang distansya sa mapa at distansya sa lupa ay direktang proporsyonal. Kung tataasan mo ang distansya sa mapa nang maraming beses, ang distansya sa lupa ay tataas ng parehong halaga. Pagkatapos ang proporsyon ay kukuha ng sumusunod na anyo. Ang unang ratio ay magpapakita kung gaano karaming beses ang distansya sa lupa ay mas malaki kaysa sa distansya sa mapa:

Ang pangalawang ratio ay magpapakita na ang distansya sa lupa ay mas maraming beses na mas malaki kaysa sa 8.5 cm sa mapa:

Mula rito x katumbas ng 8,500,000 cm o 85 km.

Gawain 3. Ang haba ng Neva River ay 74 km. Ano ang haba nito sa isang mapa, ang sukat nito ay 1: 2,000,000

Desisyon

Ang Scale 1:2000000 ay nangangahulugan na ang 1 cm sa mapa ay tumutugma sa 2,000,000 cm sa lupa.

At ang 74 km ay 74 × 100,000 = 7,400,000 cm sa lupa. Sa pamamagitan ng pagbabawas ng 7,400,000 hanggang 2,000,000, tutukuyin natin ang haba ng Neva River sa mapa

7,400,000: 2,000,000 = 3.7 cm

Kaya sa mapa, ang sukat kung saan ay 1: 2,000,000, ang haba ng Neva River ay 3.7 cm.

Sinusulat namin ang solusyon gamit ang isang proporsyon. Ipapakita ng unang ratio kung gaano karaming beses ang haba sa mapa ay mas mababa kaysa sa haba sa lupa:

Ang pangalawang ratio ay magpapakita na ang 74 km (7,400,000 cm) ay nabawasan ng parehong salik:

Mula dito makikita natin x katumbas ng 3.7 cm

Mga gawain para sa malayang solusyon

Gawain 1. 5.1 kg ng langis ay nakuha mula sa 21 kg ng cottonseed. Gaano karaming langis ang makukuha mula sa 7 kg ng cottonseed?

Desisyon

Hayaan x kg ng langis ay maaaring makuha mula sa 7 kg ng cottonseed. Ang masa ng cottonseed at ang masa ng nagresultang langis ay direktang proporsyonal. Pagkatapos ang pagbawas ng cottonseed mula 21 kg hanggang 7 kg ay hahantong sa pagbaba sa nagresultang langis sa parehong halaga.

Sagot: mula sa 7 kg ng cottonseed, 1.7 kg ng langis ang makukuha.

Problema 2. Sa isang partikular na seksyon ng riles ng tren, ang mga lumang riles na 8 m ang haba ay pinalitan ng mga bago na 12 m ang haba. Ilang bagong labindalawang metrong riles ang kakailanganin kung 360 lumang riles ang aalisin?

Desisyon

Ang haba ng seksyon kung saan pinapalitan ang mga riles ay 8 × 360 = 2880 m.

Hayaan x labindalawang metrong riles ang kailangan para palitan. Ang pagtaas sa haba ng isang riles mula 8 m hanggang 12 m ay hahantong sa pagbaba sa bilang ng mga riles mula 360 hanggang 12 m. x bagay. Sa madaling salita, ang haba ng riles at ang kanilang bilang ay magkabalikan

Sagot: 240 bagong riles ang kakailanganin upang palitan ang lumang riles.

Gawain 3. 60% ng mga mag-aaral sa klase ang pumunta sa sinehan, at ang natitirang 12 tao ay pumunta sa eksibisyon. Ilang estudyante ang nasa klase?

Desisyon

Kung 60% ng mga mag-aaral ang pumunta sa sinehan, at ang natitirang 12 katao ay pumunta sa eksibisyon, kung gayon 40% ng mga mag-aaral ay kukuha ng 12 katao na pumunta sa eksibisyon. Pagkatapos ay posible na gumuhit ng isang proporsyon kung saan ang 12 mag-aaral ay nauugnay sa 40% sa parehong paraan tulad ng lahat. x ang mga mag-aaral ay 100%

O maaari kang gumawa ng isang proporsyon na binubuo ng mga ratio ng parehong dami. Ang bilang ng mga mag-aaral at ang porsyento ay nagbabago sa direktang proporsyon. Pagkatapos ay maaaring isulat na kung gaano karaming beses na tumaas ang bilang ng mga kalahok, ang porsyento ng bahagi ay tumaas ng parehong halaga

Problema 5. Ang pedestrian ay gumugol ng 2.5 oras sa daan, kumikilos sa bilis na 3.6 km/h. Gaano katagal gugugol ang isang pedestrian sa parehong landas kung ang kanyang bilis ay 4.5 km/h

Desisyon

Ang bilis at oras ay inversely proportional. Kung tataas mo ang bilis nang maraming beses, bababa ang oras ng paggalaw ng parehong halaga.

Isulat natin ang ratio na nagpapakita kung gaano karaming beses tumaas ang bilis ng pedestrian:

Isulat natin ang ratio na nagpapakita na ang oras ng paggalaw ay nabawasan ng parehong salik:

Ikinonekta namin ang mga relasyon na ito sa isang pantay na tanda, nakukuha namin ang proporsyon at hanapin ang halaga x

O maaari mong gamitin ang mga ratio ng parehong dami. Direktang proporsyonal ang bilang ng mga makinang ginawa at ang porsyento ng mga makinang ito. Sa pagtaas ng bilang ng mga makina nang maraming beses, tumataas ang porsyento ng parehong halaga. Pagkatapos ay maaari nating isulat na ang 230 mga makina ay napakaraming beses na higit pa kaysa x mga kagamitan sa makina, kung gaano karaming beses na higit sa 115% kaysa sa 100%

Sagot: Ayon sa plano, ang planta ay dapat na gumawa ng 200 mga makina.

Nagustuhan mo ba ang aralin?
Sumali sa aming bagong pangkat ng Vkontakte at magsimulang makatanggap ng mga abiso ng mga bagong aralin