Kahulugan.

Ito ay isang heksagono, ang mga base nito ay dalawang pantay na parisukat, at ang mga gilid na mukha ay pantay na mga parihaba.

Tadyang sa gilid ay ang karaniwang bahagi ng dalawang magkatabing gilid na mukha

Taas ng Prisma ay isang segment ng linya na patayo sa mga base ng prisma

Prism Diagonal- isang segment na nagkokonekta sa dalawang vertices ng mga base na hindi kabilang sa parehong mukha

Diagonal na eroplano- isang eroplano na dumadaan sa dayagonal ng prism at sa mga gilid nito

Diagonal na seksyon- ang mga hangganan ng intersection ng prism at ang diagonal na eroplano. Ang dayagonal na seksyon ng isang regular na quadrangular prism ay isang parihaba

Perpendicular section (orthogonal section)- ito ang intersection ng isang prism at isang eroplanong iginuhit patayo sa mga gilid nito.

Mga elemento ng isang regular na quadrangular prism

Ang figure ay nagpapakita ng dalawang regular na quadrangular prisms, na minarkahan ng kaukulang mga titik:

• Ang mga batayang ABCD at A 1 B 1 C 1 D 1 ay pantay-pantay at parallel sa isa't isa
• Nakaharap sa gilid AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C at CC 1 D 1 D, na ang bawat isa ay parihaba
• Lateral surface - ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng panig na mukha ng prisma
• Kabuuang ibabaw - ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga base at gilid na mukha (ang kabuuan ng lugar ng gilid na ibabaw at mga base)
• Mga side ribs AA 1 , BB 1 , CC 1 at DD 1 .
• Diagonal B 1 D
• Base dayagonal BD
• Diagonal na seksyon BB 1 D 1 D
• Perpendikular na seksyon A 2 B 2 C 2 D 2 .

Mga katangian ng isang regular na quadrangular prism

• Ang mga base ay dalawang pantay na parisukat
• Ang mga base ay parallel sa bawat isa
• Ang mga gilid ay parihaba.
• Ang mga gilid na mukha ay pantay sa bawat isa
• Ang mga gilid na mukha ay patayo sa mga base
• Ang mga lateral ribs ay parallel sa isa't isa at pantay
• Perpendicular section patayo sa lahat ng side ribs at parallel sa bases
• Perpendicular Section Angles - Kanan
• Ang dayagonal na seksyon ng isang regular na quadrangular prism ay isang parihaba
• Perpendicular (orthogonal section) parallel sa mga base

Mga formula para sa isang regular na quadrangular prism

Mga tagubilin para sa paglutas ng mga problema

Kapag nilulutas ang mga problema sa paksa " regular na quadrangular prism" nagpapahiwatig na:

Tamang prisma- isang prisma sa base kung saan matatagpuan ang isang regular na polygon, at ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga eroplano ng base. Iyon ay, ang isang regular na quadrangular prism ay naglalaman sa base nito parisukat. (tingnan sa itaas ang mga katangian ng isang regular na quadrangular prism) Tandaan. Ito ay bahagi ng aralin na may mga gawain sa geometry (section solid geometry - prism). Narito ang mga gawain na nagdudulot ng kahirapan sa paglutas. Kung kailangan mong malutas ang isang problema sa geometry, na wala dito - isulat ang tungkol dito sa forum. Upang tukuyin ang aksyon ng pagkuha ng square root sa paglutas ng mga problema, ginagamit ang simbolo√ .

Gawain.

Sa isang regular na quadrangular prism, ang base area ay 144 cm 2 at ang taas ay 14 cm. Hanapin ang dayagonal ng prism at ang kabuuang surface area.

Desisyon.
Ang isang regular na may apat na gilid ay isang parisukat.
Alinsunod dito, ang gilid ng base ay magiging katumbas ng

√144 = 12 cm.
Kung saan ang dayagonal ng base ng isang regular na parihabang prism ay magiging katumbas ng
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Ang dayagonal ng isang regular na prism ay bumubuo ng isang tamang tatsulok na may dayagonal ng base at ang taas ng prisma. Alinsunod dito, ayon sa Pythagorean theorem, ang dayagonal ng isang regular na quadrangular prism ay magiging katumbas ng:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Sagot: 22 cm

Gawain

Hanapin ang kabuuang lugar ng ibabaw ng isang regular na quadrangular prism kung ang dayagonal nito ay 5 cm at ang dayagonal ng gilid na mukha ay 4 cm.

Desisyon.
Dahil ang base ng isang regular na quadrangular prism ay isang parisukat, kung gayon ang gilid ng base (na tinukoy bilang a) ay matatagpuan ng Pythagorean theorem:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Ang taas ng gilid na mukha (na tinukoy bilang h) ay magiging katumbas ng:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
h 2 + 12.5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3.5

Ang kabuuang lugar sa ibabaw ay magiging katumbas ng kabuuan ng lateral surface area at dalawang beses sa base area

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Sagot: 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Uri ng trabaho: 8
Tema: Prisma

Kundisyon

Sa isang regular na tatsulok na prism ABCA_1B_1C_1, ang mga gilid ng base ay 4 , at ang mga gilid na gilid ay 10 . Hanapin ang sectional area ng prism sa pamamagitan ng eroplanong dumadaan sa mga midpoint ng mga gilid AB, AC, A_1B_1 at A_1C_1.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Isaalang-alang ang sumusunod na pigura.

Ang Segment MN ay ang midline ng triangle A_1B_1C_1, kaya MN = \frac12 B_1C_1=2. Gayundin, KL=\frac12BC=2. Bilang karagdagan, MK = NL = 10. Ito ay nagpapahiwatig na ang quadrilateral MNLK ay isang paralelogram. Dahil MK\parallel AA_1, pagkatapos ay MK\perp ABC at MK\perp KL. Samakatuwid, ang quadrilateral MNLK ay isang parihaba. S_(MNLK) = MK\cdot KL= 10\cdot 2 = 20.

Sagot

Uri ng trabaho: 8
Tema: Prisma

Kundisyon

Ang volume ng isang regular na quadrangular prism ABCDA_1B_1C_1D_1 ay 24 . Ang point K ay ang gitna ng gilid CC_1 . Hanapin ang volume ng pyramid KBCD.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Ayon sa kondisyon, ang KC ay ang taas ng pyramid KBCD . Ang CC_1 ay ang taas ng prisma ABCDA_1B_1C_1D_1 .

Dahil ang K ay ang midpoint ng CC_1 , kung gayon KC=\frac12CC_1. Hayaan ang CC_1=H , pagkatapos KC=\frac12H. Tandaan din iyan S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). pagkatapos, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Kaya naman, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 8
Tema: Prisma

Kundisyon

Hanapin ang lateral surface area ng isang regular na hexagonal prism na ang base side ay 6 at ang taas nito ay 8.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Ang lugar ng lateral surface ng prism ay matatagpuan sa gilid ng formula S. = P pangunahing. · h = 6a\cdot h, kung saan P pangunahing. at h ay, ayon sa pagkakabanggit, ang perimeter ng base at ang taas ng prism, katumbas ng 8 , at ang a ay ang gilid ng isang regular na heksagono, katumbas ng 6 . Samakatuwid, S side. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 8
Tema: Prisma

Kundisyon

Ang tubig ay ibinubuhos sa isang sisidlan na hugis tulad ng isang regular na tatsulok na prisma. Ang antas ng tubig ay umabot sa 40 cm. Sa anong taas ang antas ng tubig kung ito ay ibubuhos sa isa pang sisidlan ng parehong hugis, na ang base na bahagi ay dalawang beses kaysa sa una? Ipahayag ang iyong sagot sa sentimetro.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Hayaang ang a ay ang gilid ng base ng unang sisidlan, pagkatapos ang 2 a ay ang gilid ng base ng pangalawang sisidlan. Sa kondisyon, ang dami ng likido V sa una at pangalawang sisidlan ay pareho. Ipahiwatig sa pamamagitan ng H ang antas kung saan tumaas ang likido sa pangalawang sisidlan. Pagkatapos V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, at, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Mula rito \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H, H=10.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 8
Tema: Prisma

Kundisyon

Sa isang regular na hexagonal prism ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 lahat ng mga gilid ay 2 . Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga punto A at E_1 .

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Ang Triangle AEE_1 ay right-angled, dahil ang gilid EE_1 ay patayo sa plane ng base ng prism, ang angle AEE_1 ay magiging isang right angle.

Pagkatapos ay sa pamamagitan ng Pythagorean theorem AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Hanapin ang AE mula sa tatsulok na AFE gamit ang cosine theorem. Ang bawat panloob na anggulo ng isang regular na hexagon ay 120^(\circ). Pagkatapos AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\left (-\frac12 \right).

Kaya naman, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 8
Tema: Prisma

Kundisyon

Hanapin ang lugar ng lateral surface ng isang tuwid na prisma na ang base ay isang rhombus na may mga diagonal na katumbas ng 4\sqrt5 at 8 , at isang gilid na gilid na katumbas ng 5 .

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Ang lugar ng lateral surface ng isang tuwid na prisma ay matatagpuan sa gilid ng formula S. = P pangunahing. · h = 4a\cdot h, kung saan P pangunahing. at h, ayon sa pagkakabanggit, ang perimeter ng base at ang taas ng prism, katumbas ng 5, at ang a ay ang gilid ng rhombus. Hanapin natin ang gilid ng rhombus, gamit ang katotohanan na ang mga dayagonal ng rhombus ABCD ay magkaparehong patayo at ang intersection point ay nahahati sa kalahati.

Hayaang kailanganin upang mahanap ang dami ng isang tamang tatsulok na prism, ang base area kung saan ay katumbas ng S, at ang taas ay katumbas ng h= AA' = BB' = CC' (Larawan 306).

Hiwalay kaming gumuhit ng base ng prisma, ibig sabihin, ang tatsulok na ABC (Larawan 307, a), at kumpletuhin ito sa isang parihaba, kung saan gumuhit kami ng isang tuwid na linya KM sa pamamagitan ng vertex B || AC at mula sa mga puntong A at C ay ibinabagsak namin ang mga patayo na AF at CE sa linyang ito. Nakukuha namin ang ACEF rectangle. Ang pagkakaroon ng pagguhit ng taas na BD ng tatsulok na ABC, makikita natin na ang ACEF na parihaba ay nahahati sa 4 na tamang tatsulok. Bukod dito, \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD at \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Nangangahulugan ito na ang lugar ng rektanggulo na ACEF ay dalawang beses sa lugar ng tatsulok na ABC, iyon ay, ito ay katumbas ng 2S.

Sa prisma na ito na may batayang ABC nagdaragdag kami ng mga prisma na may mga baseng LAHAT at BAF at taas h(Larawan 307, b). Kumuha kami ng isang parihabang parallelepiped na may base ng ACEF.

Kung puputulin natin ang parallelepiped na ito ng isang eroplanong dumadaan sa mga linyang BD at BB', makikita natin na ang rectangular parallelepiped ay binubuo ng 4 na prisms na may mga baseng BCD, ALL, BAD at BAF.

Ang mga prism na may mga baseng BCD at ALL ay maaaring pagsamahin, dahil ang kanilang mga base ay pantay (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BSE) at ang kanilang mga gilid na gilid, na patayo sa isang eroplano, ay pantay din. Samakatuwid, ang mga volume ng mga prism na ito ay pantay. Ang mga volume ng prisms na may mga baseng BAD at BAF ay pantay din.

Kaya, lumalabas na ang dami ng isang ibinigay na tatsulok na prism na may base ABC ay kalahati ng dami ng isang parihabang parallelepiped na may base na ACEF.

Alam namin na ang dami ng isang hugis-parihaba na parallelepiped ay katumbas ng produkto ng lugar ng base nito at ang taas, ibig sabihin, sa kasong ito ito ay katumbas ng 2S h. Kaya't ang dami ng kanang tatsulok na prisma na ito ay katumbas ng S h.

Ang dami ng isang right triangular prism ay katumbas ng produkto ng lugar ng base nito at ang taas.

2. Ang dami ng isang tuwid na polygonal prism.

Upang mahanap ang volume ng isang tuwid na polygonal prism, tulad ng isang pentagonal, na may base area S at taas h, hatiin natin ito sa tatsulok na prism (Larawan 308).

Ang pagtukoy sa mga base na lugar ng triangular prisms sa pamamagitan ng S 1, S 2 at S 3, at ang dami ng polygonal prism na ito hanggang V, nakukuha natin ang:

V = S 1 h+S2 h+ S 3 h, o

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

At sa wakas: V = S h.

Sa parehong paraan, ang formula para sa dami ng isang tuwid na prisma na may anumang polygon sa base nito ay hinango.

Ibig sabihin, Ang dami ng anumang tuwid na prisma ay katumbas ng produkto ng lugar ng base nito at ang taas.

Dami ng Prisma

Teorama. Ang dami ng isang prisma ay katumbas ng lugar ng base na beses ang taas.

Una naming patunayan ang teorama na ito para sa isang tatsulok na prisma, at pagkatapos ay para sa isang polygonal.

1) Gumuhit (Larawan 95) sa gilid ng AA 1 ng tatsulok na prism ABCA 1 B 1 C 1 ng isang eroplanong parallel sa mukha BB 1 C 1 C, at sa gilid ng CC 1 - isang eroplanong parallel sa mukha AA 1 B 1 B; pagkatapos ay ipagpatuloy namin ang mga eroplano ng magkabilang base ng prisma hanggang sa magsalubong sila sa mga iginuhit na eroplano.

Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang parallelepiped BD 1, na hinati ng diagonal plane AA 1 C 1 C sa dalawang triangular prisms (isa sa mga ito ang ibinigay). Patunayan natin na ang mga prism na ito ay pantay. Upang gawin ito, gumuhit kami ng isang patayo na seksyon a B C D. Sa seksyon, makakakuha ka ng paralelogram, na isang dayagonal alas ay nahahati sa dalawang pantay na tatsulok. Ang prisma na ito ay katumbas ng isang tuwid na prisma, na ang base ay \(\Delta\) abc, at ang taas ay ang gilid AA 1 . Ang isa pang tatsulok na prisma ay katumbas ng lugar sa isang linya na ang base ay \(\Delta\) adc, at ang taas ay ang gilid AA 1 . Ngunit ang dalawang tuwid na prisma na may pantay na base at pantay na taas ay pantay (dahil pinagsama ang mga ito kapag nakapugad), na nangangahulugang ang mga prisma na ABCA 1 B 1 C 1 at ADCA 1 D 1 C 1 ay pantay. Mula dito sumusunod na ang dami ng prisma na ito ay kalahati ng dami ng parallelepiped BD 1; samakatuwid, na tumutukoy sa taas ng prisma sa pamamagitan ng H, nakukuha natin:

$$ V_(\Delta ex) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Iguhit sa gilid ng AA 1 ng polygonal prism (Fig. 96) ang mga diagonal na eroplano AA 1 C 1 C at AA 1 D 1 D.

Pagkatapos ang prisma na ito ay gupitin sa ilang tatsulok na prisma. Ang kabuuan ng mga volume ng mga prism na ito ay ang nais na dami. Kung tukuyin natin ang mga lugar ng kanilang mga base sa pamamagitan ng b 1 , b 2 , b 3 , at ang kabuuang taas hanggang H, nakukuha natin:

dami ng isang polygonal prism = b 1H+ b 2H+ b 3 H =( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (lugar ABCDE) H.

Bunga. Kung ang V, B at H ay mga numero na nagpapahayag sa kaukulang mga yunit ng volume, base area at taas ng prisma, kung gayon, ayon sa napatunayan, maaari nating isulat:

Iba pang mga materyales

Kasama sa video course na "Kumuha ng A" ang lahat ng mga paksang kailangan para sa matagumpay na pagpasa ng pagsusulit sa matematika sa pamamagitan ng 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile USE sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic USE sa matematika. Kung gusto mong pumasa sa pagsusulit na may 90-100 puntos, kailangan mong lutasin ang bahagi 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Paghahanda ng kurso para sa pagsusulit para sa mga baitang 10-11, pati na rin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo upang malutas ang bahagi 1 ng pagsusulit sa matematika (ang unang 12 problema) at problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Examination, at hindi magagawa ng isang daang puntos na mag-aaral o isang humanist kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na solusyon, bitag at sikreto ng pagsusulit. Ang lahat ng nauugnay na gawain ng bahagi 1 mula sa mga gawain ng Bank of FIPI ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng USE-2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain sa pagsusulit. Mga problema sa teksto at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm sa paglutas ng problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa PAGGAMIT. Stereometry. Mga tusong trick para sa paglutas, kapaki-pakinabang na mga cheat sheet, pagbuo ng spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula - hanggang sa gawain 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Visual na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Base para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng ika-2 bahagi ng pagsusulit.