Kaunti na lang ang natitirang oras bago makapasa sa pagsusulit sa matematika. Ang sitwasyon ay umiinit, ang mga nerbiyos ng mga mag-aaral, mga magulang, mga guro at mga tagapagturo ay higit na nababanat. Ang pang-araw-araw na malalim na mga klase sa matematika ay makakatulong sa iyo na mapawi ang tensiyon sa nerbiyos. Pagkatapos ng lahat, wala, tulad ng alam mo, kaya naniningil ng positibo at hindi nakakatulong sa pagpasa sa mga pagsusulit, bilang pagtitiwala sa mga kakayahan at kaalaman ng isang tao. Ngayon, sasabihin sa iyo ng isang math tutor ang tungkol sa paglutas ng mga sistema ng logarithmic at exponential inequalities, mga gawain na tradisyonal na nagdudulot ng mga paghihirap para sa maraming modernong high school na estudyante.

Upang matutunan kung paano lutasin ang mga problema sa C3 mula sa Unified State Examination sa matematika, bilang isang tutor sa matematika, inirerekumenda kong bigyan mo ng pansin ang mga sumusunod na mahahalagang punto.

1. Bago magpatuloy sa paglutas ng mga sistema ng logarithmic at exponential inequalities, kinakailangang matutunan kung paano lutasin ang bawat isa sa mga ganitong uri ng hindi pagkakapantay-pantay nang hiwalay. Sa partikular, upang maunawaan kung paano matatagpuan ang lugar ng mga tinatanggap na halaga, ang mga katumbas na pagbabagong-anyo ng logarithmic at exponential expression ay isinasagawa. Maaari mong maunawaan ang ilan sa mga lihim na nauugnay dito sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga artikulong "" at "".

2. Kasabay nito, kinakailangang mapagtanto na ang solusyon ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi palaging bumababa sa paglutas ng bawat hindi pagkakapantay-pantay nang hiwalay at pagtawid sa mga nagresultang puwang. Minsan, alam ang solusyon ng isang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema, ang solusyon ng pangalawa ay lubos na pinasimple. Bilang isang tutor sa matematika na naghahanda sa mga mag-aaral para sa mga panghuling pagsusulit sa format na USE, magbubunyag ako ng ilang lihim na nauugnay dito sa artikulong ito.

3. Ito ay kinakailangan upang malinaw na maunawaan para sa iyong sarili ang pagkakaiba sa pagitan ng intersection at ang unyon ng mga set. Ito ay isa sa pinakamahalagang kaalaman sa matematika na sinusubukang ibigay ng isang bihasang propesyonal na tagapagturo sa kanyang mag-aaral mula sa pinakaunang mga aralin. Ang isang visual na representasyon ng intersection at unyon ng mga set ay ibinibigay ng tinatawag na "Euler circles".

Itakda ang intersection Ang isang set ay tinatawag na isang set na naglalaman lamang ng mga elementong taglay ng bawat isa sa mga set na ito.

interseksyon

Larawan ng intersection ng mga set gamit ang "Euler circles"

Paliwanag ng daliri. Si Diana ay may "set" sa kanyang pitaka, na binubuo ng ( panulat, lapis, mga pinuno, mga notebook, mga suklay). Si Alice ay may "set" sa kanyang pitaka, na binubuo ng ( kuwaderno, lapis, mga salamin, mga notebook, ang mga cutlet ng Kiev). Ang intersection ng dalawang "set" na ito ay ang "set" na binubuo ng ( lapis, mga notebook), dahil pareho sina Diana at Alice ang parehong "mga elemento" na ito.

Mahalagang tandaan! Kung ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ay ang pagitan at ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ay ang pagitan, kung gayon ang solusyon ng mga sistema:

ay ang pagitan na interseksyon orihinal na mga pagitan. Dito at sa ibabaalinman sa mga karakter title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="17" width="93" style="vertical-align: -4px;">!} at sa ilalim ay ang kabaligtaran ng tanda.

Unyon ng mga hanay ay tinatawag na set na binubuo ng lahat ng elemento ng orihinal na set.

Sa madaling salita, kung ang dalawang set ay ibinigay at pagkatapos ay ang kanilang samahan ay magiging isang set ng sumusunod na form:

Larawan ng unyon ng mga set gamit ang "Euler circles"

Paliwanag ng daliri. Ang unyon ng mga "set" na kinuha sa nakaraang halimbawa ay ang "set" na binubuo ng ( panulat, lapis, mga pinuno, mga notebook, mga suklay, kuwaderno, mga salamin, ang mga cutlet ng Kiev), dahil binubuo ito ng lahat ng elemento ng orihinal na "set". Isang paglilinaw na maaaring hindi kalabisan. Isang grupo ng hindi pwede naglalaman ng parehong mga elemento.

Mahalagang tandaan! Kung ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang pagitan at ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang pagitan, kung gayon ang solusyon ng set ay:

ay ang pagitan na Unyon orihinal na mga pagitan.

Dumiretso tayo sa mga halimbawa.

Halimbawa 1 Lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

Solusyon sa problema C3.

1. Malulutas muna natin ang unang hindi pagkakapantay-pantay. Gamit ang pagpapalit, pumasa tayo sa hindi pagkakapantay-pantay:

2. Nalutas na natin ngayon ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay. Ang saklaw ng mga tinatanggap na halaga nito ay tinutukoy ng hindi pagkakapantay-pantay:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Sa loob ng katanggap-tanggap na hanay, dahil ang base ng logarithm title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="52" style="vertical-align: -4px;"> переходим к равносильному неравенству:!}

Hindi kasama ang mga solusyon na wala sa saklaw ng mga tinatanggap na halaga, nakukuha namin ang agwat

3. Sagot sa sistema hindi pagkakapantay-pantay ay interseksyon

Ang mga nagresultang gaps sa linya ng numero. Ang solusyon ay ang kanilang intersection

Halimbawa 2 Lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

Solusyon sa problema C3.

1. Malulutas muna natin ang unang hindi pagkakapantay-pantay. I-multiply ang parehong bahagi sa pamamagitan ng title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="55" style="vertical-align: 0px;"> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству:!}

Lumipat tayo sa reverse substitution:

2.

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Graphical na representasyon ng resultang span. Solusyon ng system - ang kanilang intersection

Halimbawa 3 Lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

Solusyon sa problema C3.

1. Malulutas muna natin ang unang hindi pagkakapantay-pantay. I-multiply ang parehong bahagi nito sa pamamagitan ng title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="61" style="vertical-align: -4px;"> после чего получаем неравенство:!}

Gamit ang pagpapalit, pumasa tayo sa sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:

Lumipat tayo sa reverse substitution:

2. Nalutas na natin ngayon ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay. Alamin muna natin ang hanay ng mga tinatanggap na halaga ng hindi pagkakapantay-pantay na ito:

ql-right-eqno">

Mangyaring tandaan na

Pagkatapos, isinasaalang-alang ang hanay ng mga pinahihintulutang halaga, nakuha namin:

3. Nahanap namin ang pangkalahatang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay. Ang paghahambing ng mga nakuha na hindi makatwiran na mga halaga ng mga nodal point ay hindi nangangahulugang isang maliit na gawain sa halimbawang ito. Magagawa ito sa sumusunod na paraan. Bilang

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

pagkatapos at ang huling tugon sa system ay:

Halimbawa 4 Lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

Solusyon ng problema С3.

1. Lutasin muna natin ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay:

2. Ang unang hindi pagkakapantay-pantay ng orihinal na sistema ay isang logarithmic variable-base inequality. Ang isang maginhawang paraan upang malutas ang gayong mga hindi pagkakapantay-pantay ay inilarawan sa artikulong "Mga kumplikadong logarithmic na hindi pagkakapantay-pantay", ito ay batay sa isang simpleng formula:

Sa halip na isang senyales, ang anumang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring palitan, ang pangunahing bagay ay pareho ito sa parehong mga kaso. Ang paggamit ng formula na ito ay lubos na nagpapasimple sa solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay:

Alamin natin ngayon ang hanay ng mga tinatanggap na halaga ng hindi pagkakapantay-pantay na ito. Ito ay ibinibigay ng sumusunod na sistema:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Madaling makita na sa parehong oras ang agwat na ito ay magiging solusyon din sa ating hindi pagkakapantay-pantay.

3. Ang huling sagot sa orihinal mga sistema hindi pagkakapantay-pantay ay interseksyon nakuha na mga pagitan, iyon ay

Halimbawa 5 Lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

Solusyon sa problema C3.

1. Malulutas muna natin ang unang hindi pagkakapantay-pantay. Gumagamit kami ng pagpapalit Dumadaan kami sa sumusunod na quadratic inequality:

2. Nalutas na natin ngayon ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay. Ang saklaw ng mga pinahihintulutang halaga nito ay tinutukoy ng system:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng sumusunod na pinaghalong sistema:

Sa hanay ng mga wastong value, iyon ay, na may title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="53" style="vertical-align: -4px;"> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:!}

Isinasaalang-alang ang hanay ng mga pinahihintulutang halaga, nakuha namin ang:

3. Ang huling desisyon ng orihinal mga sistema ay isang

Solusyon sa problema C3.

1. Malulutas muna natin ang unang hindi pagkakapantay-pantay. Sa pamamagitan ng mga katumbas na pagbabagong-anyo, dinadala namin ito sa anyo:

2. Nalutas na natin ngayon ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay. Ang hanay ng mga wastong halaga nito ay tinutukoy ng span: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="68" style="vertical-align: 0px;"> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству:!}

Ang sagot na ito ay ganap na nabibilang sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng hindi pagkakapantay-pantay.

3. Sa pamamagitan ng pagtawid sa mga pagitan na nakuha sa mga nakaraang talata, nakuha namin ang pangwakas na sagot sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

Ngayon ay nalutas na natin ang mga sistema ng logarithmic at exponential inequalities. Ang mga ganitong gawain ay inaalok sa mga trial na bersyon ng USE sa matematika sa buong kasalukuyang akademikong taon. Gayunpaman, bilang isang math tutor na may karanasan sa paghahanda para sa USE, masasabi kong hindi ito nangangahulugan na ang mga katulad na gawain ay nasa mga tunay na bersyon ng USE sa matematika sa Hunyo.

Hayaan akong magpahayag ng isang babala, na pangunahing tinutugunan sa mga tutor at guro ng paaralan na kasangkot sa paghahanda ng mga mag-aaral sa high school para sa PAGGAMIT sa matematika. Napakapanganib na ihanda ang mga mag-aaral para sa isang pagsusulit nang mahigpit sa mga ibinigay na paksa, dahil sa kasong ito ay may panganib na ganap na "punan" ito kahit na may kaunting pagbabago sa naunang nakasaad na format ng gawain. Dapat kumpleto ang edukasyon sa matematika. Mga minamahal na kasamahan, mangyaring huwag ihalintulad ang iyong mga mag-aaral sa mga robot sa pamamagitan ng tinatawag na "pagsasanay" upang malutas ang isang tiyak na uri ng problema. Pagkatapos ng lahat, walang mas masahol pa kaysa sa pormalisasyon ng pag-iisip ng tao.

Good luck sa lahat at malikhaing tagumpay!

Sergey Valerievich

Kung susubukan mo, pagkatapos ay mayroong dalawang mga pagpipilian: ito ay gagana o hindi ito gagana. Kung hindi mo susubukan, isa lang.
© Karunungan ng bayan

Ang solusyon ng karamihan sa mga problema sa matematika ay kahit papaano ay konektado sa pagbabago ng numerical, algebraic o functional na mga expression. Nalalapat ito lalo na sa solusyon. Sa mga variant ng USE sa matematika, kasama sa ganitong uri ng gawain, partikular, ang gawain C3. Ang pag-aaral kung paano lutasin ang mga gawain sa C3 ay mahalaga hindi lamang para sa matagumpay na pagpasa sa pagsusulit, ngunit para din sa kadahilanang ang kasanayang ito ay magiging kapaki-pakinabang kapag nag-aaral ng kursong matematika sa mas mataas na edukasyon.

Sa pagsasagawa ng mga gawain C3, kailangan mong lutasin ang iba't ibang uri ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Kabilang sa mga ito ay makatwiran, hindi makatwiran, exponential, logarithmic, trigonometriko, na naglalaman ng mga module (mga ganap na halaga), pati na rin ang mga pinagsama. Tinatalakay ng artikulong ito ang mga pangunahing uri ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay, pati na rin ang iba't ibang paraan para sa paglutas ng mga ito. Basahin ang tungkol sa paglutas ng iba pang uri ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa heading na "" sa mga artikulong nakatuon sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa C3 mula sa mga variant ng USE sa matematika.

Bago magpatuloy sa pagsusuri ng tiyak exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay, bilang isang tutor sa matematika, iminumungkahi kong pag-aralan mo ang ilan sa mga teoretikal na materyal na kakailanganin natin.

Exponential function

Ano ang exponential function?

Tingnan ang function y = isang x, saan a> 0 at a≠ 1, tinatawag exponential function.

Pangunahing mga katangian ng exponential function y = isang x:

Graph ng isang exponential function

Ang graph ng exponential function ay nagtatanghal:

Mga graph ng exponential function (exponents)

Solusyon ng mga exponential equation

nagpapakilala tinatawag na mga equation kung saan ang hindi kilalang variable ay matatagpuan lamang sa mga exponent ng anumang kapangyarihan.

Para sa mga solusyon mga exponential equation kailangan mong malaman at magamit ang sumusunod na simpleng teorama:

Teorama 1. exponential equation a f(x) = a g(x) (saan a > 0, a≠ 1) ay katumbas ng equation f(x) = g(x).

Bilang karagdagan, kapaki-pakinabang na tandaan ang mga pangunahing formula at aksyon na may mga degree:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Halimbawa 1 Lutasin ang equation:

Desisyon: gamitin ang mga formula sa itaas at pagpapalit:

Ang equation ay magiging:

Ang discriminant ng nakuhang quadratic equation ay positibo:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Nangangahulugan ito na ang equation na ito ay may dalawang ugat. Natagpuan namin sila:

Bumalik sa pagpapalit, nakukuha natin:

Ang pangalawang equation ay walang mga ugat, dahil ang exponential function ay mahigpit na positibo sa buong domain ng kahulugan. Lutasin natin ang pangalawa:

Isinasaalang-alang kung ano ang sinabi sa Theorem 1, pumasa tayo sa katumbas na equation: x= 3. Ito ang magiging sagot sa gawain.

Sagot: x = 3.

Halimbawa 2 Lutasin ang equation:

Desisyon: ang equation ay walang mga paghihigpit sa lugar ng mga tinatanggap na halaga, dahil ang radikal na expression ay may katuturan para sa anumang halaga x(exponential function y = 9 4 -x positibo at hindi katumbas ng zero).

Niresolba namin ang equation sa pamamagitan ng mga katumbas na pagbabagong-anyo gamit ang mga patakaran ng multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan:

Ang huling paglipat ay isinagawa alinsunod sa Theorem 1.

Sagot:x= 6.

Halimbawa 3 Lutasin ang equation:

Desisyon: ang magkabilang panig ng orihinal na equation ay maaaring hatiin ng 0.2 x. Magiging katumbas ang paglipat na ito, dahil ang expression na ito ay mas malaki kaysa sa zero para sa anumang halaga x(ang exponential function ay mahigpit na positibo sa domain nito). Pagkatapos ang equation ay kumukuha ng anyo:

Sagot: x = 0.

Halimbawa 4 Lutasin ang equation:

Desisyon: pinapasimple namin ang equation sa isang elementarya sa pamamagitan ng katumbas na mga pagbabagong-anyo gamit ang mga tuntunin ng paghahati at pagpaparami ng mga kapangyarihan na ibinigay sa simula ng artikulo:

Hinahati ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 4 x, tulad ng sa nakaraang halimbawa, ay isang katumbas na pagbabago, dahil ang expression na ito ay hindi katumbas ng zero para sa anumang mga halaga x.

Sagot: x = 0.

Halimbawa 5 Lutasin ang equation:

Desisyon: function y = 3x, na nakatayo sa kaliwang bahagi ng equation, ay tumataas. Function y = —x-2/3, nakatayo sa kanang bahagi ng equation, ay bumababa. Nangangahulugan ito na kung ang mga graph ng mga function na ito ay magsalubong, pagkatapos ay sa pinakamaraming sa isang punto. Sa kasong ito, madaling hulaan na ang mga graph ay nagsalubong sa punto x= -1. Wala nang ibang ugat.

Sagot: x = -1.

Halimbawa 6 Lutasin ang equation:

Desisyon: pinapasimple namin ang equation sa pamamagitan ng mga katumbas na pagbabago, na isinasaisip sa lahat ng dako na ang exponential function ay mahigpit na mas malaki kaysa sa zero para sa anumang halaga x at paggamit ng mga patakaran para sa pagkalkula ng produkto at bahagyang kapangyarihan na ibinigay sa simula ng artikulo:

Sagot: x = 2.

Paglutas ng mga exponential inequalities

nagpapakilala tinatawag na inequalities kung saan ang hindi kilalang variable ay nakapaloob lamang sa mga exponent ng ilang mga kapangyarihan.

Para sa mga solusyon exponential inequalities Ang kaalaman sa sumusunod na teorama ay kinakailangan:

Teorama 2. Kung ang a> 1, pagkatapos ay ang hindi pagkakapantay-pantay a f(x) > a g(x) ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan: f(x) > g(x). Kung 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay ng kabaligtaran na kahulugan: f(x) < g(x).

Halimbawa 7 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

Desisyon: kumakatawan sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay sa anyo:

Hatiin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay na ito ng 3 2 x, at (dahil sa pagiging positibo ng function y= 3 2x) ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi magbabago:

Gumamit tayo ng pamalit:

Pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumatagal ng anyo:

Kaya, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang pagitan:

pagpasa sa reverse substitution, nakukuha natin:

Ang kaliwang hindi pagkakapantay-pantay, dahil sa pagiging positibo ng exponential function, ay awtomatikong natutupad. Gamit ang kilalang pag-aari ng logarithm, pumasa tayo sa katumbas na hindi pagkakapantay-pantay:

Dahil ang base ng degree ay isang numerong mas malaki kaysa sa isa, ang katumbas (sa pamamagitan ng Theorem 2) ay ang paglipat sa sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:

Kaya nakuha namin sa wakas sagot:

Halimbawa 8 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

Desisyon: gamit ang mga katangian ng pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan, muling isinulat namin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo:

Magpakilala tayo ng bagong variable:

Sa pagpapalit na ito, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasa anyo:

I-multiply ang numerator at denominator ng fraction sa 7, nakukuha natin ang sumusunod na katumbas na hindi pagkakapantay-pantay:

Kaya, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga sumusunod na halaga ng variable t:

Pagkatapos, babalik sa pagpapalit, makukuha natin:

Dahil ang base ng degree dito ay mas malaki kaysa sa isa, ito ay katumbas (sa pamamagitan ng Theorem 2) upang pumasa sa hindi pagkakapantay-pantay:

Sa wakas nakuha namin sagot:

Halimbawa 9 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

Desisyon:

Hinahati namin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng expression:

Ito ay palaging mas malaki kaysa sa zero (dahil ang exponential function ay positibo), kaya ang inequality sign ay hindi kailangang baguhin. Nakukuha namin:

t , na nasa pagitan:

Ang pagpasa sa reverse substitution, nakita namin na ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay nahahati sa dalawang kaso:

Ang unang hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon dahil sa positivity ng exponential function. Lutasin natin ang pangalawa:

Halimbawa 10 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

Desisyon:

Mga sanga ng parabola y = 2x+2-x 2 ay nakadirekta pababa, samakatuwid ito ay nililimitahan mula sa itaas ng halaga na naabot nito sa tuktok nito:

Mga sanga ng parabola y = x 2 -2x Ang +2, na nasa indicator, ay nakadirekta pataas, na nangangahulugang nalilimitahan ito mula sa ibaba ng halaga na naabot nito sa tuktok nito:

Kasabay nito, ang function ay lumalabas na may hangganan mula sa ibaba y = 3 x 2 -2x+2 sa kanang bahagi ng equation. Naabot nito ang pinakamaliit na halaga nito sa parehong punto ng parabola sa index, at ang halagang ito ay katumbas ng 3 1 = 3. Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay maaari lamang maging totoo kung ang function sa kaliwa at ang function sa kanan ay kukuha ng value , katumbas ng 3 (ang intersection ng mga hanay ng mga function na ito ay ang numerong ito lamang). Ang kundisyong ito ay nasiyahan sa isang punto x = 1.

Sagot: x= 1.

Para matutunan kung paano mag-solve exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay, kailangan mong patuloy na magsanay sa kanilang solusyon. Ang iba't ibang mga manual na pamamaraan, mga libro ng problema sa matematika sa elementarya, mga koleksyon ng mga problema sa kompetisyon, mga klase sa matematika sa paaralan, pati na rin ang mga indibidwal na aralin na may isang propesyonal na tagapagturo ay makakatulong sa iyo sa mahirap na gawaing ito. Taos-puso akong hiling sa iyo na magtagumpay sa iyong paghahanda at makikinang na mga resulta sa pagsusulit.

Sergey Valerievich

P.S. Mga minamahal na panauhin! Mangyaring huwag sumulat ng mga kahilingan para sa paglutas ng iyong mga equation sa mga komento. Sa kasamaang palad, wala akong oras para dito. Ang mga naturang mensahe ay tatanggalin. Mangyaring basahin ang artikulo. Marahil dito ay makakahanap ka ng mga sagot sa mga tanong na hindi nagpapahintulot sa iyo na malutas ang iyong gawain sa iyong sarili.

Mga hindi makatwirang hindi pagkakapantay-pantay

Ang hindi makatwirang hindi pagkakapantay-pantay ay nauunawaan bilang isang hindi pagkakapantay-pantay kung saan ang hindi kilalang mga dami ay nasa ilalim ng tanda ng radikal. Ang solusyon sa gayong mga hindi pagkakapantay-pantay ay karaniwang binubuo sa katotohanan na, sa tulong ng ilang mga pagbabagong-anyo, ang mga ito ay pinalitan ng mga katumbas na rational equation, mga hindi pagkakapantay-pantay, o mga sistema ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay (madalas na magkahalong mga sistema, ibig sabihin, ang mga may kasamang parehong mga equation at hindi pagkakapantay-pantay) , at higit pa ay maaaring sundin ng solusyon ang mga hakbang na nakabalangkas sa itaas. Ang mga pagbabagong ito ay, bilang karagdagan sa pagbabago ng mga variable (pagpapakilala ng mga bagong variable) at factorization, gayundin ang elevation ng parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa parehong antas. Gayunpaman, sa kasong ito kinakailangan na subaybayan ang pagkakapantay-pantay ng mga paglipat mula sa isang hindi pagkakapantay-pantay patungo sa isa pa. Sa walang pag-iisip na exponentiation, ang mga ugat ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring parehong mawala at makuha sa parehong oras. Halimbawa, ang pag-square ng tamang hindi pagkakapantay-pantay -1<2, мы получим верное неравенство 1<4; из верного неравенства -5<2 получается уже неверное неравенство 25<4;из неверного неравенства 1<-2 получим верное неравенство 1<4; наконец, из неверного неравенства 5<2 получим неверное неравенство 25<4. Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств!

Gayunpaman, ang pangunahing assertion na ginamit dito ay totoo: kung ang magkabilang panig ng isang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi negatibo, kung gayon ito ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay na nakuha mula dito sa pamamagitan ng termwise exponentiation.

Kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa ganitong paraan, kailangang mag-ingat na huwag makakuha ng mga extraneous na solusyon. Samakatuwid, ito ay kapaki-pakinabang, kung saan posible, upang mahanap ang domain ng kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay, pati na rin ang domain ng mga posibleng halaga ng mga solusyon.

Exponential at logarithmic inequalities

Ang solusyon ng exponential at logarithmic inequalities ay nauuna sa pag-aaral ng mga katangian ng kaukulang mga function; gumaganap ng maraming gawain sa pagbabago ng exponential at logarithmic expression; solusyon ng mga equation na naglalaman ng logarithms at variable sa exponent. Ang solusyon ng pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay, na isinasaalang-alang

kung saan ang ibig sabihin ay isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay<,>,.

Ang punto ay ang paksang ito ay karaniwang ipinakilala bilang isang ganap na bago, batay lamang sa naunang pinag-aralan na mga katangian ng mga pag-andar na ito. Ito ay kapaki-pakinabang, sa aking opinyon, upang ikonekta ito sa solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pangkalahatan (iyon ay, kasama ang alam na algorithm). Dapat tandaan na ang paraan ng pagitan ay hindi maaaring gamitin nang direkta. Ngunit ang solusyon ng iba't ibang exponential at logarithmic inequalities ay batay sa mga sumusunod na patakaran:

Kung a>1, kung gayon

Kung 0

Kung a>1, kung gayon

Kung 0

Kung saan ang tanda ay nangangahulugang kabaligtaran sa kahulugan ng tanda.

Gamit kung aling mga exponential at logarithmic inequalities ang karaniwang binabawasan sa mga makatwiran, na maaari nang lutasin sa pamamagitan ng paraan ng mga pagitan na inilarawan sa itaas.

Mga hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga function ng trigonometriko

Ang paksang ito ay hindi gaanong nasasakupan sa literatura na pang-edukasyon, at sa ilang mga aklat-aralin ito ay karaniwang kinuha sa labas ng saklaw ng kursong pinag-aaralan (tulad ng nabanggit na sa Kabanata I ng gawaing ito). Sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko, bilang panuntunan, ang mga pinakasimpleng uri lamang ang isinasaalang-alang.

Samantalang ang mga gawain na ipinakita sa praktikal na bahagi na may kaugnayan sa talatang ito ay matatagpuan sa mga koleksyon ng mga problemang mapagkumpitensya, sa mga koleksyon para sa mga aplikante at mga materyales para sa mga pagsusulit sa pasukan sa mga teknikal na faculty ng mga unibersidad. Yung. ang materyal na ito ay hindi kasama sa kinakailangang pag-aaral sa elementarya at mataas na paaralan, ngunit kapaki-pakinabang.

Ang paraan ng agwat ay lalong epektibo sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga function na trigonometriko. Kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko sa pamamagitan ng pamamaraang ito, sa halip na ang axis ng numero, maginhawang gumamit ng isang bilog na numero, na hinahati ng mga ugat ng kaukulang mga equation ng trigonometriko (numerator at denominator) sa mga arko na gumaganap ng parehong papel bilang mga pagitan. sa number axis. Sa mga arko na ito, ang trigonometric expression na naaayon sa hindi pagkakapantay-pantay na nalutas ay may pare-parehong mga palatandaan, na maaaring matukoy gamit ang panuntunan ng isang hiwalay na "maginhawa" na punto at ang pag-aari ng multiplicity ng mga ugat. Kadalasan, upang matukoy ang mga arko sa kanilang sarili, hindi kinakailangan na hanapin ang buong (walang katapusan) na hanay ng mga ugat ng kaukulang mga equation; sapat na mula sa mga equation na ito upang mahanap ang mga halaga ng pangunahing trigonometric function (sine, cosine, tangent, cotangent) at markahan ang mga puntos sa bilog ng numero na naaayon sa mga halagang ito.

Maaari mong gamitin ang bilog ng numero nang direkta upang malutas ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko gamit ang paraan ng agwat kung ang lahat ng mga function kung saan nakasulat ang hindi pagkakapantay-pantay ay may pangunahing (pinakamaliit na positibo) na panahon o, kung saan ang m ay ilang positibong integer. Kung ang pangunahing panahon ng mga function na ito ay mas malaki kaysa sa o, dapat mo munang baguhin ang mga variable, at pagkatapos ay gamitin ang numero ng bilog.

Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaman ng parehong trigonometric at iba pang mga function, kung gayon ang numerical axis ay dapat gamitin upang malutas ito sa pamamagitan ng paraan ng pagitan.

Ang lahat ng mga problema sa B7 na nakita ko ay nabalangkas sa parehong paraan: lutasin ang isang equation. Sa kasong ito, ang mga equation mismo ay nabibilang sa isa sa tatlong uri:

1. logarithmic;
2. Demonstratibo;
3. Hindi makatwiran.

Sa pangkalahatan, ang kumpletong gabay sa bawat uri ng equation ay aabot ng higit sa isang dosenang pahina, na lampas sa saklaw ng pagsusulit. Samakatuwid, isasaalang-alang lamang namin ang pinakasimpleng mga kaso na nangangailangan ng hindi mapagpanggap na pangangatwiran at mga kalkulasyon. Ang kaalamang ito ay magiging sapat na upang malutas ang anumang problema sa B7.

Sa matematika, ang terminong "solve an equation" ay nangangahulugang hanapin ang hanay ng lahat ng ugat ng isang ibinigay na equation, o patunayan na walang laman ang set na ito. Ngunit ang mga numero lamang ang maaaring ilagay sa USE form - walang set. Samakatuwid, kung mayroong higit sa isang ugat sa gawain B7 (o, kabaligtaran, wala) - isang error ang ginawa sa solusyon.

Logarithmic Equation

Ang logarithmic equation ay anumang equation na bumababa sa form na log a f(x) = k, saan a > 0, a≠ 1 ang base ng logarithm, f(x) ay isang arbitrary na function, k ay ilang pare-pareho.

Ang nasabing equation ay malulutas sa pamamagitan ng pagpapakilala ng pare-parehong k sa ilalim ng tanda ng logarithm: k= log a a k. Ang base ng bagong logarithm ay katumbas ng base ng orihinal. Nakukuha namin ang equation log a f(x) = log a a k, na nalulutas sa pamamagitan ng pagtatapon ng logarithm.

Tandaan na, sa pamamagitan ng kondisyon a> 0, kaya f(x) = a k> 0, ibig sabihin. umiiral ang orihinal na logarithm.

Gawain. Lutasin ang equation: log 7 (8 − x) = 2.

Desisyon. log 7 (8 − x) = 2 ⇔ log 7 (8 − x) = log 7 7 2 ⇔ 8 − x = 49 ⇔ x = −41.

Gawain. Lutasin ang equation: log 0.5 (6 − x) = −2.

Desisyon. log 0.5 (6 − x) = −2 ⇔ log 0.5 (6 − x) = log 0.5 0.5 −2 ⇔ 6 − x = 4 ⇔ x = 2.

Ngunit paano kung ang orihinal na equation ay lumabas na mas kumplikado kaysa sa karaniwang log a f(x) = k? Pagkatapos ay binabawasan namin ito sa karaniwang isa, kinokolekta ang lahat ng logarithms sa isang direksyon, at ang mga numero sa isa pa.

Kung mayroong higit sa isang logarithm sa orihinal na equation, kakailanganin mong hanapin ang lugar ng mga ​admissible values ​​(ODV) ng bawat function na nakatayo sa ilalim ng logarithm. Kung hindi, maaaring lumitaw ang mga karagdagang ugat.

Gawain. Lutasin ang equation: log 5 ( x+ 1) + log 5 ( x + 5) = 1.

Dahil mayroong dalawang logarithms sa equation, nakita natin ang ODZ:

1. x + 1 > 0 ⇔ x > −1
2. x + 5 > 0 ⇔ x > −5

Nakukuha namin na ang ODZ ay ang pagitan (−1, +∞). Ngayon lutasin namin ang equation:

log 5 ( x+ 1) + log 5 ( x+ 5) = 1 ⇒ log 5 ( x + 1)(x+ 5) = 1 ⇔ log 5 ( x + 1)(x+ 5) = log 5 5 1 ⇔ ( x + 1)(x + 5) = 5 ⇔ x 2 + 6x + 5 = 5 ⇔ x (x + 6) = 0 ⇔ x 1 = 0, x 2 = −6.

Pero x 2 = -6 ay hindi kwalipikado para sa ODZ. Nananatiling ugat x 1 = 0.

mga exponential equation

Ang exponential equation ay anumang equation na bumababa sa anyo a f(x) = k, saan a > 0, a≠ 1 - base ng degree, f(x) ay isang arbitrary na function, k ay ilang pare-pareho.

Ang kahulugang ito ay halos inuulit ng verbatim ang kahulugan ng isang logarithmic equation. Ang mga exponential equation ay mas madaling malutas kaysa sa logarithmic, dahil dito hindi kinakailangan na ang function f(x) ay positibo.

Upang malutas ito, ginagawa namin ang pagpapalit k = a t, saan t Sa pangkalahatan, ang logarithm ( t= log a k), ngunit sa USE ang mga numero a at k ay pipiliin upang mahanap t magiging madali. Sa resultang equation a f(x) = a t ang mga base ay pantay, na nangangahulugan na ang mga exponent ay pantay, i.e. f(x) = t. Ang solusyon ng huling equation, bilang panuntunan, ay hindi nagdudulot ng mga problema.

Gawain. Lutasin ang Equation: 7 x − 2 = 49.

Desisyon. 7 x − 2 = 49 ⇔ 7 x − 2 = 7 2 ⇔ x − 2 = 2 ⇔ x = 4.

Gawain. Lutasin ang equation: 6 16 − x = 1/36.

Desisyon. 6 16 - x = 1/36 ⇔ 6 16 − x = 6 −2 ⇔ 16 − x = −2 ⇔ x = 18.

Kaunti tungkol sa pagbabago ng mga exponential equation. Kung ang orihinal na equation ay iba sa a f(x) = k , inilalapat namin ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga degree:

1. a n · a m = a n + m ,
2. a n / a m = a n − m ,
3. (a n) m = a n · m .

Bilang karagdagan, kailangan mong malaman ang mga patakaran para sa pagpapalit ng mga ugat at fraction na may mga degree na may rational exponent:

Ang ganitong mga equation ay napakabihirang sa USE, ngunit kung wala ang mga ito, ang pagsusuri ng problema B7 ay hindi kumpleto.

Gawain. Lutasin ang Equation: (5/7) x− 2 (7/5) 2 x − 1 = 125/343

Pansinin, na:

1. (7/5) 2x − 1 = ((5/7) −1) 2x − 1 = (5/7) 1 − 2x ,
2. 125/343 = (5 3) /(7 3) = (5/7) 3 .

Mayroon kaming: (5/7) x− 2 (7/5) 2 x − 1 = 125/343 ⇔ (5/7) x− 2 · (5/7) 1 − 2 x = (5/7) 3 ⇔ (5/7) x − 2 + 1 − 2x = (5/7) 3 ⇔ (5/7) −x − 1 = (5/7) 3 ⇔ −x − 1 = 3 ⇔ x = −4.

Mga hindi makatwirang equation

Ang hindi makatwiran ay nauunawaan bilang anumang equation na naglalaman ng tanda ng ugat. Sa buong iba't ibang mga hindi makatwirang equation, isasaalang-alang lamang natin ang pinakasimpleng kaso, kapag ang equation ay may anyo:

Upang malutas ang equation na ito, parisukat namin ang magkabilang panig. Nakukuha namin ang equation f(x) = a 2. Sa kasong ito, ang kinakailangan ng ODZ ay awtomatikong natutupad: f(x) ≥ 0, dahil a 2 ≥ 0. Nananatili itong lutasin ang isang simpleng equation f(x) = a 2 .

Gawain. Lutasin ang equation:

Namin parisukat ang magkabilang panig at makakuha ng: 5 x − 6 = 8 2 ⇔ 5x − 6 = 64 ⇔ 5x = 70 ⇔ x = 14.

Gawain. Lutasin ang equation:

Una, tulad ng huling pagkakataon, parisukat namin ang magkabilang panig. At pagkatapos ay magdaragdag kami ng minus sign sa numerator. Meron kami:

Tandaan na kapag x= −4 magkakaroon ng positibong numero sa ilalim ng ugat, i.e. ang pangangailangan ng ODZ ay natugunan.