Isaalang-alang ang mga projection ng mga punto sa dalawang eroplano, kung saan kukuha kami ng dalawang patayo na eroplano (Larawan 4), na tatawagin naming pahalang na pangharap at mga eroplano. Ang linya ng intersection ng mga eroplanong ito ay tinatawag na projection axis. Nag-project kami ng isang punto A sa mga itinuturing na eroplano gamit ang flat projection. Upang gawin ito, kinakailangan na ibaba ang mga patayo na Aa at A mula sa ibinigay na punto papunta sa itinuturing na mga eroplano.

Ang projection sa isang pahalang na eroplano ay tinatawag view ng plano puntos PERO, at ang projection a? sa frontal plane ay tinatawag projection sa harap.

Ang mga puntong ipapakita sa mapaglarawang geometry ay karaniwang tinutukoy gamit ang malalaking letrang Latin. A, B, C. Ang mga maliliit na titik ay ginagamit upang italaga ang mga pahalang na projection ng mga puntos. a, b, c... Ang mga frontal projection ay ipinahiwatig sa maliliit na letra na may stroke sa itaas a?, b?, c?…

Ang pagtatalaga ng mga puntos na may Roman numeral I, II, ... ay ginagamit din, at para sa kanilang mga projection - na may Arabic numeral 1, 2 ... at 1?, 2? ...

Kapag ang pahalang na eroplano ay pinaikot ng 90°, ang isang guhit ay maaaring makuha kung saan ang parehong mga eroplano ay nasa parehong eroplano (Larawan 5). Ang larawang ito ay tinatawag balangkas ng punto.

Sa pamamagitan ng mga patayong linya Ah at ah? gumuhit ng eroplano (Larawan 4). Ang resultang eroplano ay patayo sa pangharap at pahalang na mga eroplano dahil naglalaman ito ng mga patayo sa mga eroplanong ito. Samakatuwid, ang eroplanong ito ay patayo sa linya ng intersection ng mga eroplano. Ang nagresultang tuwid na linya ay nagsalubong sa pahalang na eroplano sa isang tuwid na linya aa x, at ang frontal plane - sa isang tuwid na linya huh? X. Diretso aah at huh? x ay patayo sa axis ng intersection ng mga eroplano. I.e Aaah? ay isang parihaba.

Kapag pinagsasama ang pahalang at pangharap na mga eroplanong projection a at a? ay hihiga sa isang patayo sa axis ng intersection ng mga eroplano, dahil kapag ang pahalang na eroplano ay umiikot, ang perpendicularity ng mga segment aa x at huh? x ay hindi nasira.

Nakukuha namin iyon sa projection diagram a at a? ilang mga punto PERO laging nakahiga sa parehong patayo sa axis ng intersection ng mga eroplano.

Dalawang projection a at a? ng ilang punto A ay maaaring natatanging matukoy ang posisyon nito sa espasyo (Larawan 4). Ito ay nakumpirma ng katotohanan na kapag gumagawa ng isang patayo mula sa projection a hanggang sa pahalang na eroplano, ito ay dadaan sa punto A. Katulad nito, ang patayo mula sa projection a? sa frontal plane ay dadaan sa punto PERO, ibig sabihin, punto PERO namamalagi sa dalawang tiyak na linya sa parehong oras. Point A ay ang kanilang intersection point, ibig sabihin, ito ay tiyak.

Isaalang-alang ang isang parihaba Aaa X a?(Larawan 5), kung saan totoo ang mga sumusunod na pahayag:

1) Layo ng punto PERO mula sa frontal plane ay katumbas ng distansya ng pahalang na projection nito a mula sa axis ng intersection ng mga eroplano, i.e.

ah? = aa X;

2) distansya ng punto PERO mula sa pahalang na eroplano ng mga projection ay katumbas ng distansya ng frontal projection nito a? mula sa axis ng intersection ng mga eroplano, i.e.

Ah = huh? X.

Sa madaling salita, kahit na wala ang punto mismo sa balangkas, gamit lamang ang dalawang projection nito, maaari mong malaman kung anong distansya mula sa bawat isa sa mga projection planes ang puntong ito.

Ang intersection ng dalawang projection planes ay naghahati sa espasyo sa apat na bahagi, na tinatawag quarters(Larawan 6).

Ang axis ng intersection ng mga eroplano ay naghahati sa pahalang na eroplano sa dalawang quarters - ang harap at likuran, at ang frontal na eroplano sa itaas at ibabang quarters. Ang itaas na bahagi ng frontal plane at ang nauuna na bahagi ng horizontal plane ay itinuturing na mga hangganan ng unang quarter.

Sa pagtanggap ng diagram, ang pahalang na eroplano ay umiikot at nag-tutugma sa pangharap na eroplano (Larawan 7). Sa kasong ito, ang harap ng pahalang na eroplano ay magkakasabay sa ilalim ng pangharap na eroplano, at ang likod ng pahalang na eroplano sa tuktok ng pangharap na eroplano.

Ang mga figure 8-11 ay nagpapakita ng mga punto A, B, C, D, na matatagpuan sa iba't ibang bahagi ng espasyo. Nasa unang quarter ang point A, nasa pangalawa ang point B, nasa third ang point C, at nasa fourth ang point D.

Kapag ang mga puntos ay matatagpuan sa una o ikaapat na quarter ng kanilang pahalang na projection na matatagpuan sa harap ng pahalang na eroplano, at sa diagram ay hihiga sila sa ibaba ng axis ng intersection ng mga eroplano. Kapag ang isang punto ay matatagpuan sa ikalawa o ikatlong quarter, ang pahalang na projection nito ay nasa likod ng pahalang na eroplano, at sa plot ito ay nasa itaas ng axis ng intersection ng mga eroplano.

Mga projection sa harap Ang mga punto na matatagpuan sa una o ikalawang quarter ay matatagpuan sa itaas na bahagi ng frontal plane, at sa diagram ay matatagpuan sila sa itaas ng axis ng intersection ng mga eroplano. Kapag ang isang punto ay matatagpuan sa ikatlo o ikaapat na kuwadrante, ang frontal projection nito ay nasa ibaba ng axis ng intersection ng mga eroplano.

Kadalasan, sa mga tunay na konstruksyon, ang pigura ay inilalagay sa unang quarter ng espasyo.

Sa ilang partikular na kaso, ang punto ( E) ay maaaring humiga sa isang pahalang na eroplano (Larawan 12). Sa kasong ito, ang pahalang na projection nito e at ang punto mismo ay magkakasabay. Ang frontal projection ng naturang punto ay nasa axis ng intersection ng mga eroplano.

Sa kaso kung saan ang punto Upang namamalagi sa frontal plane (Larawan 13), ang pahalang na projection nito k namamalagi sa axis ng intersection ng mga eroplano, at ang frontal k? ipinapakita ang aktwal na lokasyon ng puntong iyon.

Para sa mga naturang punto, ang palatandaan na ito ay namamalagi sa isa sa mga projection plane ay ang isa sa mga projection nito ay nasa axis ng intersection ng mga eroplano.

Kung ang isang punto ay namamalagi sa intersection axis ng projection planes, ito at ang parehong projection nito ay nag-tutugma.

Kapag ang isang punto ay hindi nakahiga sa projection planes, ito ay tinatawag punto ng pangkalahatang posisyon. Sa mga sumusunod, kung walang mga espesyal na marka, ang puntong isinasaalang-alang ay isang punto sa pangkalahatang posisyon.

2. Kakulangan ng projection axis

Upang ipaliwanag kung paano makuha sa mga modelo ng projection ng isang punto papunta sa patayo na mga eroplano ng projection (Larawan 4), kinakailangan na kumuha ng isang piraso ng makapal na papel sa anyo ng isang pinahabang parihaba. Kailangan itong baluktot sa pagitan ng mga projection. Ang fold line ay maglalarawan sa axis ng intersection ng mga eroplano. Kung pagkatapos nito ang baluktot na piraso ng papel ay ituwid muli, makakakuha tayo ng isang diagram na katulad ng ipinapakita sa figure.

Ang pagsasama-sama ng dalawang projection plane sa drawing plane, hindi mo maipapakita ang fold line, ibig sabihin, huwag iguhit ang axis ng intersection ng mga eroplano sa diagram.

Kapag gumagawa sa isang diagram, dapat mong palaging ilagay ang mga projection a at a? punto A sa isang patayong linya (Larawan 14), na patayo sa axis ng intersection ng mga eroplano. Samakatuwid, kahit na ang posisyon ng axis ng intersection ng mga eroplano ay nananatiling hindi natukoy, ngunit ang direksyon nito ay tinutukoy, ang axis ng intersection ng mga eroplano ay maaari lamang na patayo sa tuwid na linya sa diagram. ah?.

Kung walang projection axis sa point diagram, tulad ng sa unang figure 14 a, maaari mong isipin ang posisyon ng puntong ito sa espasyo. Upang gawin ito, gumuhit sa anumang lugar na patayo sa linya ah? projection axis, tulad ng sa pangalawang figure (Larawan 14) at ibaluktot ang pagguhit kasama ang axis na ito. Kung ibabalik natin ang mga perpendicular sa mga punto a at a? bago sila magsalubong, maaari kang makakuha ng isang punto PERO. Kapag binabago ang posisyon ng projection axis, ang iba't ibang mga posisyon ng point na nauugnay sa projection planes ay nakuha, ngunit ang kawalan ng katiyakan ng posisyon ng projection axis ay hindi nakakaapekto sa relatibong posisyon ng ilang mga punto o figure sa espasyo.

3. Mga projection ng isang punto sa tatlong projection planes

Isaalang-alang ang profile plane ng mga projection. Ang mga projection sa dalawang perpendikular na eroplano ay karaniwang tinutukoy ang posisyon ng figure at ginagawang posible upang malaman ang tunay na sukat at hugis nito. Ngunit may mga pagkakataon na hindi sapat ang dalawang projection. Pagkatapos ay ilapat ang pagtatayo ng ikatlong projection.

Ang ikatlong projection plane ay isinasagawa upang ito ay patayo sa parehong projection plane sa parehong oras (Fig. 15). Ang ikatlong eroplano ay tinatawag profile.

Sa ganitong mga konstruksyon, ang karaniwang linya ng pahalang at pangharap na mga eroplano ay tinatawag aksis X , ang karaniwang linya ng pahalang at profile na eroplano - aksis sa , at ang karaniwang tuwid na linya ng pangharap at profile na mga eroplano - aksis z . Dot O, na nabibilang sa lahat ng tatlong eroplano, ay tinatawag na punto ng pinagmulan.

Ipinapakita ng Figure 15a ang punto PERO at tatlo sa mga projection nito. Projection papunta sa profile plane ( a??) ay tinatawag projection ng profile at magpakilala a??.

Upang makakuha ng diagram ng point A, na binubuo ng tatlong projection a, isang a, kinakailangang putulin ang trihedron na nabuo ng lahat ng mga eroplano sa kahabaan ng y axis (Fig. 15b) at pagsamahin ang lahat ng mga eroplanong ito sa eroplano ng frontal projection. Ang pahalang na eroplano ay dapat na paikutin tungkol sa axis X, at ang profile plane ay malapit sa axis z sa direksyon na ipinahiwatig ng arrow sa Figure 15.

Ipinapakita ng Figure 16 ang posisyon ng mga projection ah, huh? at a?? puntos PERO, nakuha bilang resulta ng pagsasama-sama ng lahat ng tatlong eroplano sa drawing plane.

Bilang resulta ng hiwa, ang y-axis ay nangyayari sa diagram sa dalawang magkaibang lugar. Sa isang pahalang na eroplano (Larawan 16), ito ay tumatagal ng isang patayong posisyon (patayo sa axis X), at sa profile plane - pahalang (patayo sa axis z).

Ang Figure 16 ay nagpapakita ng tatlong projection ah, huh? at a?? Ang mga punto A ay may mahigpit na tinukoy na posisyon sa diagram at napapailalim sa mga hindi malabo na kundisyon:

a at a? dapat palaging matatagpuan sa isang patayong tuwid na linya na patayo sa axis X;

a? at a?? dapat palaging matatagpuan sa parehong pahalang na linya patayo sa axis z;

3) kapag iginuhit sa pamamagitan ng isang pahalang na projection at isang pahalang na linya, ngunit sa pamamagitan ng isang profile projection a??- isang patayong tuwid na linya, ang mga itinayong linya ay kinakailangang mag-intersect sa bisector ng anggulo sa pagitan ng mga projection axes, dahil ang figure Oa sa a 0 a n ay isang parisukat.

Kapag gumagawa ng tatlong projection ng isang punto, kinakailangang suriin ang katuparan ng lahat ng tatlong kondisyon para sa bawat punto.

4. Point coordinates

Ang posisyon ng isang punto sa espasyo ay maaaring matukoy gamit ang tatlong numero na tinatawag na nito mga coordinate. Ang bawat coordinate ay tumutugma sa distansya ng isang punto mula sa ilang projection plane.

Layo ng punto PERO sa profile plane ay ang coordinate X, kung saan X = huh?(Larawan 15), ang distansya sa frontal plane - sa pamamagitan ng coordinate y, at y = huh?, at ang distansya sa pahalang na eroplano ay ang coordinate z, kung saan z = aA.

Sa Figure 15, ang point A ay sumasakop sa lapad ng isang hugis-parihaba na kahon, at ang mga sukat ng kahon na ito ay tumutugma sa mga coordinate ng puntong ito, ibig sabihin, ang bawat isa sa mga coordinate ay ipinakita sa Figure 15 apat na beses, ibig sabihin:

x \u003d a? A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

Sa diagram (Larawan 16), ang mga x at z na coordinate ay nangyayari nang tatlong beses:

x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Lahat ng mga segment na tumutugma sa coordinate X(o z) ay parallel sa isa't isa. Coordinate sa dalawang beses na kinakatawan ng vertical axis:

y \u003d Oa y \u003d a x a

at dalawang beses - matatagpuan nang pahalang:

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

Ang pagkakaibang ito ay lumitaw dahil sa ang katunayan na ang y-axis ay naroroon sa diagram sa dalawang magkaibang posisyon.

Dapat tandaan na ang posisyon ng bawat projection ay tinutukoy sa diagram sa pamamagitan lamang ng dalawang mga coordinate, katulad:

1) pahalang - mga coordinate X at sa,

2) frontal - mga coordinate x at z,

3) profile - mga coordinate sa at z.

Gamit ang mga coordinate x, y at z, maaari kang bumuo ng mga projection ng isang punto sa diagram.

Kung ang punto A ay ibinibigay sa pamamagitan ng mga coordinate, ang kanilang tala ay tinukoy bilang mga sumusunod: A ( X; y; z).

Kapag gumagawa ng mga projection ng punto PERO ang mga sumusunod na kondisyon ay dapat suriin:

1) pahalang at pangharap na mga projection a at a? X X;

2) mga projection sa harapan at profile a? at a? dapat na matatagpuan sa parehong patayo sa axis z, dahil mayroon silang isang karaniwang coordinate z;

3) pahalang na projection at inalis din sa axis X, tulad ng projection ng profile a malayo sa axis z, simula nung projection ah? at huh? magkaroon ng isang karaniwang coordinate sa.

Kung ang punto ay nasa alinman sa mga projection plane, kung gayon ang isa sa mga coordinate nito ay katumbas ng zero.

Kapag ang isang punto ay nasa projection axis, ang dalawang coordinate nito ay zero.

Kung ang isang punto ay nasa pinanggalingan, ang lahat ng tatlong mga coordinate nito ay zero.

MGA PROYEKSYON NG PUNTOS.

ORTHOGONAL SYSTEM NG DALAWANG EROPLO NG PROJECTIONS.

Ang kakanyahan ng pamamaraan ng orthogonal projection ay nakasalalay sa katotohanan na ang bagay ay naka-project sa dalawang magkaparehong patayo na mga eroplano sa pamamagitan ng mga sinag na orthogonal (patayo) sa mga eroplanong ito.

Ang isa sa mga projection plane H ay inilalagay nang pahalang, at ang isa pang V ay inilalagay nang patayo. Ang eroplano H ay tinatawag na pahalang na eroplano ng mga projection, V - frontal. Ang mga eroplano H at V ay walang hanggan at malabo. Ang linya ng intersection ng projection planes ay tinatawag na coordinate axis at denoted OX. Hinahati ng mga projection plane ang espasyo sa apat na dihedral na anggulo - quarters.

Isinasaalang-alang ang mga orthogonal projection, ipinapalagay na ang observer ay nasa unang quarter sa isang walang katapusang malaking distansya mula sa mga projection planes. Dahil ang mga eroplanong ito ay malabo, tanging ang mga punto, linya at figure na nasa loob ng parehong unang quarter lamang ang makikita ng nagmamasid.

Kapag gumagawa ng mga projection, kinakailangang tandaan iyon point orthogonal projectionsa isang eroplano ay tinatawag na base ng patayo na bumaba mula sa isang naibigay na puntosa eroplanong ito.

Ipinapakita ng figure ang tuldok PERO at ang mga orthogonal projection nito a 1 at a 2 .

Punto a 1 tinawag view ng plano puntos PERO, punto a 2- kanya projection sa harap. Ang bawat isa sa kanila ay ang base ng patayo na bumaba mula sa punto PERO ayon sa pagkakasunod sa eroplano H at V.

Mapapatunayan na point projectionpalaging matatagpuan sa mga tuwid na linya, patayocular axisOH at tumatawid sa axis na itosa parehong punto. Sa katunayan, projecting rays PEROa 1 at PEROa 2 tukuyin ang isang eroplanong patayo sa mga eroplano ng mga projection at ang mga linya ng kanilang intersection - axes OH. Nag-intersect ang eroplanong ito H at V sa mga tuwid na linya isang 1 ax at isang 1 ax, na bumubuo sa axis OX at sa bawat isa ng mga tamang anggulo na may vertex sa isang punto ax.

Ang kabaligtaran ay totoo rin, i.e. kung ang mga puntos ay ibinigay sa projection planesa 1 at a 2 , na matatagpuan sa mga tuwid na linya na nagsasalubong aksis OXsa puntong ito sa tamang anggulo,pagkatapos sila ay mga projection ng ilanpuntos A. Ang puntong ito ay tinutukoy ng intersection ng mga perpendicular na binuo mula sa mga punto a 1 at a 2 sa mga eroplano H at V.

Tandaan na maaaring iba ang posisyon ng mga projection planes sa kalawakan. Halimbawa, ang parehong mga eroplano, na magkaparehong patayo, ay maaaring patayo. Ngunit sa kasong ito, ang pagpapalagay sa itaas tungkol sa oryentasyon ng magkasalungat na mga projection ng mga puntos na nauugnay sa axis ay nananatiling wasto.

Upang makakuha ng flat drawing na binubuo ng mga projection sa itaas, ang eroplano H nakahanay sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng isang axis OX may eroplano V tulad ng ipinapakita ng mga arrow sa figure. Bilang isang resulta, ang harap na kalahating eroplano H ay ihahanay sa lower half-plane V, at ang likurang kalahating eroplano H- may upper half-plane V.

Ang isang projection drawing, kung saan ang projection planes kasama ang lahat ng bagay na inilalarawan sa kanila, ay pinagsama sa isang tiyak na paraan sa isa't isa, ay tinatawag dayagram(mula sa French epure - pagguhit). Ang figure ay nagpapakita ng isang diagram ng isang punto PERO.

Sa ganitong paraan ng pagsasama-sama ng mga eroplano H at V projection a 1 at a 2 ay matatagpuan sa parehong patayo sa axis OX. At the same time, ang layo a 1 isang x — mula sa pahalang na projection ng punto hanggang sa axis OX PERO hanggang sa eroplano V, at ang layo a 2 isang x — mula sa frontal projection ng punto hanggang sa axis OX katumbas ng distansya mula sa punto PERO hanggang sa eroplano H.

Mga tuwid na linya na nagkokonekta sa magkasalungat na projection ng isang punto sa diagram, sumasang-ayon kaming tumawag mga linya ng komunikasyon ng projection.

Ang posisyon ng mga projection ng mga puntos sa diagram ay depende sa quarter kung saan matatagpuan ang ibinigay na punto. Kaya kung ang punto AT ay matatagpuan sa ikalawang quarter, pagkatapos pagkatapos ng pagkakahanay ng mga eroplano, ang parehong mga projection ay nasa itaas ng axis OX.

Kung punto Sa ay nasa ikatlong quarter, pagkatapos ang pahalang na projection nito, pagkatapos pagsamahin ang mga eroplano, ay nasa itaas ng axis, at ang frontal projection ay nasa ibaba ng axis OX. Sa wakas, kung ang punto D na matatagpuan sa ikaapat na quarter, pagkatapos ang parehong mga projection nito ay nasa ilalim ng axis OX. Ipinapakita ng figure ang mga puntos M at N nakahiga sa mga projection planes. Sa posisyong ito, ang punto ay tumutugma sa isa sa mga projection nito, habang ang isa pang projection nito ay lumabas na nakahiga sa axis OX. Ang tampok na ito ay makikita rin sa pagtatalaga: malapit sa projection kung saan ang punto mismo ay nag-tutugma, isang malaking titik na walang index ang nakasulat.

Dapat ding tandaan na ang kaso kapag ang parehong mga projection ng punto ay nag-tutugma. Mangyayari ito kung ang punto ay nasa ikalawa o ikaapat na quarter sa parehong distansya mula sa mga projection planes. Ang parehong mga projection ay pinagsama sa punto mismo, kung ang huli ay matatagpuan sa axis OX.

ORTHOGONAL SYSTEM NG TATLONG EROPLO NG MGA PROYEKSYON.

Ipinakita sa itaas na ang dalawang projection ng isang punto ay tumutukoy sa posisyon nito sa kalawakan. Dahil ang bawat pigura o katawan ay isang koleksyon ng mga puntos, maaari itong pagtalunan na ang dalawang orthogonal projection ng isang bagay (sa pagkakaroon ng mga pagtatalaga ng titik) ay ganap na tinutukoy ang hugis nito.

Gayunpaman, sa pagsasagawa ng paglalarawan ng mga istruktura ng gusali, mga makina at iba't ibang mga istruktura ng engineering, kinakailangan na lumikha ng mga karagdagang projection. Ginagawa nila ito para sa tanging layunin na gawing mas malinaw, mas nababasa ang projection drawing.

Ang modelo ng tatlong projection planes ay ipinapakita sa figure. Ang ikatlong eroplano, patayo at H at V, na tinutukoy ng liham W at tinawag profile.

Ang mga projection ng mga punto sa eroplanong ito ay tatawaging profile, at ang mga ito ay tinutukoy ng malalaking titik o numero na may index 3 (ah,bh,ch,...1h, 2h, 3 3 ...).

Ang mga projection plane, na nagsa-intersecting sa mga pares, ay tumutukoy sa tatlong axes: OX, OY at OZ, na maaaring ituring bilang isang sistema ng hugis-parihaba na mga coordinate ng Cartesian sa espasyo na may pinagmulan sa puntong O. Ang sistema ng mga palatandaan na ipinahiwatig sa figure ay tumutugma sa "tamang sistema" ng mga coordinate.

Tatlong projection plane ang naghahati sa espasyo sa walong trihedral na anggulo - ito ang tinatawag octants. Ang bilang ng mga octants ay ibinibigay sa figure.

Upang makakuha ng isang plot ng isang eroplano H at W paikutin tulad ng ipinapakita sa figure hanggang sa nakahanay sa eroplano V. Bilang resulta ng pag-ikot, ang harap na kalahating eroplano H lumalabas na nakahanay sa lower half-plane V, at ang likurang kalahating eroplano H- may upper half-plane V. Kapag pinaikot 90° sa paligid ng axis OZ harap kalahating eroplano W coincides sa kanang kalahating eroplano V, at ang likurang kalahating eroplano W- kasama ang kaliwang kalahating eroplano V.

Ang huling view ng lahat ng pinagsamang projection planes ay ibinibigay sa figure. Sa pagguhit na ito, ang mga palakol OX at OZ, nakahiga sa isang nakapirming eroplano V, ay ipinapakita nang isang beses lamang, at ang axis OY ipinakita ng dalawang beses. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng ang katunayan na, umiikot sa eroplano H, aksis OY sa diagram ay nakahanay sa axis OZ, habang umiikot sa eroplano W, ang parehong axis ay nakahanay sa axis OX.

Sa hinaharap, kapag itinalaga ang mga axes sa diagram, ang mga negatibong semiaxes (- OX, — OY, — OZ) ay hindi ipahiwatig.

TATLONG COORDINATES AT TATLONG PROJECTIONS NG ISANG PUNTO AT RADIUS-VECTOR NITO.

Ang mga coordinate ay mga numero nailagay sa sulat na may isang punto upang matukoyniya ng posisyon nito sa kalawakan o saibabaw.

Sa tatlong-dimensional na espasyo, ang posisyon ng isang punto ay itinakda gamit ang hugis-parihaba na mga coordinate ng Cartesian x, y at z.

Coordinate X tinawag abscissa, sa— ordinate at z — applique. Abscissa X tumutukoy sa distansya mula sa isang naibigay na punto sa isang eroplano W, ordinate y - hanggang sa eroplano V at applique z - hanggang sa eroplano H. Ang pagkakaroon ng pinagtibay ang sistema na ipinapakita sa figure para sa pagbibilang ng mga coordinate ng isang punto, bubuo kami ng isang talahanayan ng mga palatandaan ng mga coordinate sa lahat ng walong octants. Anumang punto sa kalawakan PERO, na ibinigay ng mga coordinate, ay ilalarawan bilang sumusunod: A(x, y,z).

Kung x = 5, y = 4 at z = 6, ang entry ay kukuha ng sumusunod na form PERO(5, 4, 6). Ang puntong ito PERO, lahat ng mga coordinate na positibo, ay nasa unang octant

Point coordinates PERO ay, sa parehong oras, ang mga coordinate ng radius-vector nito

OA may kinalaman sa pinagmulan ng mga coordinate. Kung ang i, j, k ay mga unit vector na nakadirekta ayon sa pagkakasunod-sunod sa mga coordinate axes x, y,z(larawan), pagkatapos

OA =OA x i+OAyj + OAzk , saan OA X, OA U, OA g - mga coordinate ng vector OA

Inirerekomenda na bumuo ng isang imahe ng punto mismo at ang mga projection nito sa isang spatial na modelo (figure) gamit ang isang coordinate na parihabang parallelepiped. Una sa lahat, sa coordinate axes mula sa punto O ipagpaliban ang mga segment, ayon sa pagkakabanggit ay pantay 5, 4 at 6 mga yunit ng haba. Sa mga segment na ito (Oisang x , Oisang y , Oisang z ), tulad ng sa mga gilid, bumuo ng isang parihabang parallelepiped. Ang vertex nito, sa tapat ng pinanggalingan, ay tutukuyin ang ibinigay na punto PERO. Ito ay madaling makita na upang matukoy ang punto PERO ito ay sapat na upang bumuo lamang ng tatlong mga gilid ng parallelepiped, halimbawa Oisang x , isang x a 1 at a 1 PERO o Oisang y , a y a 1 at a 1 A Ang mga gilid na ito ay bumubuo ng isang coordinate polyline, ang haba ng bawat link na kung saan ay tinutukoy ng kaukulang coordinate ng punto.

Gayunpaman, ang pagtatayo ng isang parallelepiped ay nagpapahintulot sa amin na matukoy hindi lamang ang punto PERO, kundi pati na rin ang lahat ng tatlong orthogonal projection nito.

Mga sinag na nagpapalabas ng isang punto sa isang eroplano H, V, W ay ang tatlong gilid ng parallelepiped na nagsalubong sa punto PERO.

Ang bawat isa sa mga orthogonal projection ng punto PERO, na matatagpuan sa isang eroplano, ay tinutukoy ng dalawang coordinate lamang.

Oo, ang pahalang na projection a 1 tinutukoy ng mga coordinate X at y, projection sa harap a 2 - mga coordinate x atz, projection ng profile a 3 — mga coordinate sa at z. Ngunit ang anumang dalawang projection ay tinutukoy ng tatlong coordinate. Iyon ang dahilan kung bakit ang pagtukoy ng isang punto na may dalawang projection ay katumbas ng pagtukoy ng isang punto na may tatlong coordinate.

Sa diagram (figure), kung saan pinagsama ang lahat ng mga projection plane, ang mga projection a 1 at a 2 ay nasa parehong patayo sa axis OX, at mga projection a 2 at a 3 — isang patayo sa axis oz.

Tulad ng para sa mga projection a 1 at a 3 , pagkatapos sila ay konektado sa pamamagitan ng mga tuwid na linya a 1 isang y at a 3 isang y , patayo sa axis OY. Ngunit dahil ang axis na ito ay sumasakop sa dalawang posisyon sa diagram, ang segment a 1 isang y hindi maaaring isang pagpapatuloy ng isang segment a 3 isang y .

Konstruksyon ng mga point projection A (5, 4, 6) sa diagram sa ibinigay na mga coordinate, ang mga ito ay ginanap sa sumusunod na pagkakasunud-sunod: una sa lahat, sa abscissa axis mula sa pinanggalingan, ang isang segment ay inilatag Oisang x = x(sa kaso natin x =5), pagkatapos ay sa pamamagitan ng tuldok isang x gumuhit patayo sa axis OX, kung saan, isinasaalang-alang ang mga palatandaan, ipinagpaliban namin ang mga segment isang x a 1 = y(nakuha namin a 1 ) at isang x a 2 = z(nakuha namin a 2 ). Nananatili itong bumuo ng projection ng profile ng punto a 3 . Dahil ang profile at frontal projection ng punto ay dapat na matatagpuan sa parehong patayo sa axis oz , pagkatapos ay sa pamamagitan ng a 3 direkta a 2 isang z ^ oz.

Sa wakas, ang huling tanong ay lumitaw: sa anong distansya mula sa axis OZ dapat ay isang 3?

Isinasaalang-alang ang coordinate box (tingnan ang figure), ang mga gilid nito a z a 3 =O isang y = isang x a 1 = y napagpasyahan namin na ang nais na distansya a z a 3 katumbas y. Segment ng linya a z a 3 itabi sa kanan ng OZ axis kung y>0, at sa kaliwa kung y

Tingnan natin kung anong mga pagbabago ang magaganap sa diagram kapag nagsimulang baguhin ng punto ang posisyon nito sa espasyo.

Hayaan, halimbawa, ang isang punto A (5, 4, 6) ay lilipat sa isang tuwid na linya patayo sa eroplano V. Sa ganitong kilusan, isang coordinate lang ang magbabago y, nagpapakita ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano V. Ang mga coordinate ay mananatiling pare-pareho. x atz , at ang projection ng punto na tinukoy ng mga coordinate na ito, i.e. a 2 hindi magbabago ang kanyang posisyon.

Tulad ng para sa mga projection a 1 at a 3 , pagkatapos ay ang una ay magsisimulang lumapit sa axis OX, ang pangalawa - sa axis OZ. Sa mga figure, ang bagong posisyon ng punto ay tumutugma sa mga pagtatalaga a 1 (a 1 1 a 2 1 a 3 1 ). Kapag ang punto ay nasa eroplano V(y = 0), dalawa sa tatlong projection ( a 1 2 at a 3 2 ) ay hihiga sa mga palakol.

Lumipat mula sa ako octant sa II, ang punto ay magsisimulang lumayo sa eroplano V, coordinate sa nagiging negatibo, tataas ang absolute value nito. Ang pahalang na projection ng puntong ito, na matatagpuan sa likod na kalahating eroplano H, sa balangkas ay nasa itaas ng axis OX, at ang profile projection, na nasa likod na kalahating eroplano W, sa diagram ay nasa kaliwa ng axis OZ. Gaya ng dati, gupitin isang za 3 3 = y.

Sa kasunod na mga diagram, hindi namin tukuyin sa pamamagitan ng mga titik ang mga punto ng intersection ng mga coordinate axes na may mga linya ng koneksyon ng projection. Ito ay gawing simple ang pagguhit sa ilang mga lawak.

Sa hinaharap, magkakaroon ng mga diagram na walang coordinate axes. Ginagawa ito sa pagsasanay kapag naglalarawan ng mga bagay, kung kailan tanging ang imahe mismo ang mahalagabagay, hindi ang posisyon nito na may kaugnayan saprojection planes.

Ang mga projection plane sa kasong ito ay tinutukoy na may katumpakan lamang hanggang sa parallel na pagsasalin (figure). Ang mga ito ay karaniwang inilipat parallel sa kanilang mga sarili sa paraang ang lahat ng mga punto ng bagay ay nasa itaas ng eroplano. H at sa harap ng eroplano V. Dahil ang posisyon ng X 12 axis ay lumalabas na hindi tiyak, ang pagbuo ng diagram sa kasong ito ay hindi kailangang iugnay sa pag-ikot ng mga eroplano sa paligid ng coordinate axis. Kapag lumipat sa isang plane plot H at V ay pinagsama upang ang kabaligtaran na mga projection ng mga punto ay matatagpuan sa mga patayong linya.

Walang aksis na plot ng mga puntos A at B(larawan) hinditinutukoy ang kanilang posisyon sa kalawakan,ngunit nagpapahintulot sa amin na hatulan ang kanilang kamag-anak na oryentasyon. Kaya, ang segment na △x ay nagpapakilala sa pag-aalis ng punto PERO kaugnay ng punto AT sa isang direksyon na parallel sa H at V na mga eroplano. Sa madaling salita, △x ay nagpapahiwatig kung gaano kalaki ang punto PERO matatagpuan sa kaliwa ng punto AT. Ang kamag-anak na offset ng punto sa direksyon na patayo sa V plane ay tinutukoy ng segment △y, i.e. ang punto At sa sa ating halimbawa, mas malapit sa nagmamasid kaysa sa punto SA, isang distansya na katumbas ng △y.

Sa wakas, ang segment na △z ay nagpapakita ng labis sa punto PERO sa ibabaw ng tuldok AT.

Ang mga tagasuporta ng axisless na pag-aaral ng kurso ng descriptive geometry ay wastong itinuro na sa paglutas ng maraming mga problema posible na gawin nang walang coordinate axes. Gayunpaman, ang isang kumpletong pagtanggi sa kanila ay hindi maituturing na kapaki-pakinabang. Ang mapaglarawang geometry ay idinisenyo upang ihanda ang hinaharap na inhinyero hindi lamang para sa karampatang pagpapatupad ng mga guhit, kundi pati na rin para sa paglutas ng iba't ibang mga teknikal na problema, kung saan ang mga problema ng spatial statics at mechanics ay hindi sumasakop sa huling lugar. At para dito kinakailangan na linangin ang kakayahang i-orient ito o ang bagay na iyon na may kaugnayan sa mga cartesian coordinate axes. Kakailanganin din ang mga kasanayang ito kapag pinag-aaralan ang mga seksyon ng descriptive geometry bilang perspective at axonometry. Samakatuwid, sa isang bilang ng mga diagram sa aklat na ito, nagse-save kami ng mga larawan ng mga coordinate axes. Ang ganitong mga guhit ay tumutukoy hindi lamang sa hugis ng bagay, kundi pati na rin sa lokasyon nito na may kaugnayan sa mga projection plane.

Upang makabuo ng mga larawan ng isang bilang ng mga detalye, kinakailangan upang mahanap ang mga projection ng mga indibidwal na puntos. Halimbawa, mahirap gumuhit ng tuktok na view ng bahagi na ipinapakita sa Fig. 139 nang hindi nagtatayo ng mga pahalang na projection ng mga punto A, B, C, D, E, F, atbp.

Ang problema sa paghahanap ng mga projection ng mga puntos sa pamamagitan ng isang ibinigay sa ibabaw ng bagay ay malulutas bilang mga sumusunod. Una, ang mga projection ng ibabaw kung saan matatagpuan ang punto ay matatagpuan. Pagkatapos, ang pagguhit ng isang linya ng koneksyon sa projection, kung saan ang ibabaw ay kinakatawan ng isang linya, ang pangalawang projection ng punto ay matatagpuan. Ang ikatlong projection ay nasa intersection ng mga linya ng komunikasyon.

Isaalang-alang ang isang halimbawa.

Tatlong projection ng bahagi ang ibinigay (Larawan 140, a). Ang pahalang na projection a ng punto A na nakahiga sa nakikitang ibabaw ay ibinigay. Kailangan nating hanapin ang iba pang mga projection ng puntong ito.

Una sa lahat, kailangan mong gumuhit ng isang pantulong na linya. Kung ang dalawang view ay ibinigay, kung gayon ang lugar ng auxiliary line sa pagguhit ay pinili nang arbitraryo, sa kanan ng tuktok na view, upang ang view sa kaliwa ay nasa kinakailangang distansya mula sa pangunahing view (Larawan 141).

Kung ang tatlong view ay naitayo na (Larawan 142, a), kung gayon ang lugar ng auxiliary line ay hindi maaaring basta-basta mapili; kailangan mong hanapin ang punto kung saan ito dadaan. Upang gawin ito, sapat na upang magpatuloy hanggang sa magkaparehong intersection ng pahalang at profile projection ng axis ng simetrya at sa pamamagitan ng nagresultang punto k (Larawan 142, b) gumuhit ng isang tuwid na segment ng linya sa isang anggulo ng 45 °, na kung saan ay magiging pantulong na tuwid na linya.

Kung walang mga axes ng simetrya, pagkatapos ay magpatuloy hanggang sa intersection sa punto k 1 pahalang at profile projection ng anumang mukha na inaasahang sa anyo ng mga tuwid na mga segment ng linya (Fig. 142, b).

Ang pagkakaroon ng pagguhit ng isang pantulong na tuwid na linya, nagsisimula silang bumuo ng mga projection ng punto (tingnan ang Fig. 140, b).

Ang frontal a" at profile a" na mga projection ng point A ay dapat na matatagpuan sa mga katumbas na projection ng surface kung saan nabibilang ang point A. Ang mga projection na ito ay matatagpuan. Sa fig. 140, b sila ay naka-highlight sa kulay. Gumuhit ng mga linya ng komunikasyon gaya ng ipinahiwatig ng mga arrow. Sa mga intersection ng mga linya ng komunikasyon na may mga projection ng ibabaw, ang nais na mga projection a" at a" ay matatagpuan.

Ang pagtatayo ng mga projection ng mga puntos B, C, D ay ipinapakita sa fig. 140, sa mga linya ng komunikasyon na may mga arrow. Ang mga ibinigay na projection ng mga puntos ay may kulay. Ang mga linya ng komunikasyon ay iginuhit sa projection kung saan ang ibabaw ay inilalarawan bilang isang linya, at hindi bilang isang pigura. Samakatuwid, ang frontal projection mula sa puntong C ay unang natagpuan. Ang profile projection mula sa punto C ay tinutukoy ng intersection ng mga linya ng komunikasyon.

Kung ang ibabaw ay hindi inilalarawan ng isang linya sa anumang projection, kung gayon ang isang auxiliary plane ay dapat gamitin upang bumuo ng mga projection ng mga puntos. Halimbawa, ang isang frontal projection d ng point A ay ibinigay, na nakahiga sa ibabaw ng isang kono (Larawan 143, a). Ang isang pantulong na eroplano ay iginuhit sa pamamagitan ng isang punto na kahanay sa base, na magsa-intersect sa kono sa isang bilog; ang frontal projection nito ay isang tuwid na linya ng segment, at ang pahalang ay isang bilog na may diameter na katumbas ng haba ng segment na ito (Larawan 143, b). Sa pamamagitan ng pagguhit ng linya ng komunikasyon sa bilog na ito mula sa punto a, ang isang pahalang na projection ng punto A ay nakuha.

Ang profile projection a" ng point A ay matatagpuan sa karaniwang paraan sa intersection ng mga linya ng komunikasyon.

Sa parehong paraan, mahahanap ng isa ang mga projection ng isang punto na nakahiga, halimbawa, sa ibabaw ng isang pyramid o isang bola. Kapag ang isang pyramid ay na-intersect ng isang eroplanong parallel sa base at dumaan sa isang naibigay na punto, isang figure na katulad ng base ay nabuo. Ang mga projection ng ibinigay na punto ay nakasalalay sa mga projection ng figure na ito.

Sagutin ang mga tanong

1. Sa anong anggulo iginuhit ang auxiliary line?

2. Saan iginuhit ang auxiliary line kung ang mga front at top view ay ibinigay, ngunit kailangan mong bumuo ng view mula sa kaliwa?

3. Paano matukoy ang lugar ng auxiliary line sa pagkakaroon ng tatlong uri?

4. Ano ang paraan ng pagbuo ng mga projection ng isang punto ayon sa isang ibinigay na isa, kung ang isa sa mga ibabaw ng bagay ay kinakatawan ng isang linya?

5. Para sa anong mga geometric na katawan at sa anong mga kaso matatagpuan ang mga projection ng isang punto na ibinigay sa kanilang ibabaw gamit ang isang auxiliary plane?

Mga takdang-aralin sa § 20

Pagsasanay 68

Isulat sa workbook kung aling mga projection ng mga puntos na ipinahiwatig ng mga numero sa mga view ang tumutugma sa mga puntong ipinahiwatig ng mga titik sa visual na imahe sa halimbawang ipinahiwatig sa iyo ng guro (Larawan 144, a-d).

Pagsasanay 69

Sa fig. 145, a-b na mga titik ay nagpapahiwatig lamang ng isang projection ng ilan sa mga vertices. Hanapin sa halimbawang ibinigay sa iyo ng guro, ang natitirang mga projection ng mga vertex na ito at italaga ang mga ito ng mga titik. Buuin sa isa sa mga halimbawa ang mga nawawalang projection ng mga puntos na ibinigay sa mga gilid ng bagay (Larawan 145, d at e). I-highlight nang may kulay ang mga projection ng mga gilid kung saan matatagpuan ang mga punto. Kumpletuhin ang gawain sa transparent na papel, na i-overlay ito sa pahina ng aklat-aralin. Hindi na kailangang i-redraw ang Fig. 145.

Pagsasanay 70

Hanapin ang mga nawawalang projection ng mga puntos na ibinigay ng isang projection sa mga nakikitang ibabaw ng bagay (Fig. 146). Lagyan sila ng mga titik. I-highlight ang ibinigay na mga projection ng mga puntos na may kulay. Ang isang visual na imahe ay makakatulong sa iyo na malutas ang problema. Ang gawain ay maaaring makumpleto pareho sa isang workbook at sa transparent na papel, na naka-overlay ito sa pahina ng aklat-aralin. Sa huling kaso, i-redraw ang Fig. 146 ay hindi kailangan.

Pagsasanay 71

Sa halimbawang ibinigay sa iyo ng guro, gumuhit ng tatlong uri (Larawan 147). Buuin ang mga nawawalang projection ng mga puntos na ibinigay sa mga nakikitang ibabaw ng bagay. I-highlight ang ibinigay na mga projection ng mga puntos na may kulay. Lagyan ng label ang lahat ng projection ng punto. Upang bumuo ng mga projection ng mga puntos, gumamit ng isang pantulong na tuwid na linya. Gumawa ng isang teknikal na pagguhit at markahan ang mga ibinigay na puntos dito.

Isang maikling kurso sa descriptive geometry

Ang mga lektura ay inilaan para sa mga mag-aaral ng engineering at teknikal na mga specialty

Paraan ng Monge

Kung ang impormasyon tungkol sa distansya ng isang punto na may kaugnayan sa projection plane ay ibinigay hindi sa tulong ng isang numerical mark, ngunit sa tulong ng pangalawang projection ng point, na binuo sa pangalawang projection plane, kung gayon ang pagguhit ay tinatawag na two- larawan o kumplikado. Ang mga pangunahing prinsipyo para sa pagbuo ng gayong mga guhit ay itinakda ni G. Monge.
Ang pamamaraan na itinakda ni Monge - ang paraan ng orthogonal projection, at dalawang projection ay kinuha sa dalawang magkaparehong patayo na projection plane - na nagbibigay ng pagpapahayag, katumpakan at pagiging madaling mabasa ng mga larawan ng mga bagay sa isang eroplano, ay at nananatiling pangunahing paraan para sa pagguhit ng mga teknikal na guhit

Figure 1.1 Point sa sistema ng tatlong projection planes

Ang modelo ng tatlong projection planes ay ipinapakita sa Figure 1.1. Ang ikatlong eroplano, patayo sa parehong P1 at P2, ay tinutukoy ng letrang P3 at tinatawag na profile plane. Ang mga projection ng mga punto sa eroplanong ito ay tinutukoy ng malalaking titik o mga numero na may index 3. Ang mga projection plane, na nagsa-intersecting sa mga pares, ay tumutukoy sa tatlong axes 0x, 0y at 0z, na maaaring ituring bilang isang sistema ng Cartesian coordinate sa espasyo na may pinagmulan. sa punto 0. Hinahati ng tatlong projection plane ang espasyo sa walong trihedral na anggulo - octants. Tulad ng dati, ipagpalagay natin na ang tumitingin sa bagay ay nasa unang octant. Upang makakuha ng diagram, ang mga punto sa sistema ng tatlong projection plane ng P1 at P3 na eroplano ay iniikot hanggang sa magkasabay sila sa P2 plane. Kapag nagtatalaga ng mga palakol sa isang diagram, karaniwang hindi ipinapahiwatig ang mga negatibong semiax. Kung ang imahe lamang ng bagay mismo ay makabuluhan, at hindi ang posisyon nito na nauugnay sa mga projection planes, kung gayon ang mga axes sa diagram ay hindi ipinapakita. Ang mga coordinate ay mga numero na tumutugma sa isang punto upang matukoy ang posisyon nito sa kalawakan o sa ibabaw. Sa tatlong-dimensional na espasyo, ang posisyon ng isang punto ay itinatakda gamit ang hugis-parihaba na mga coordinate ng Cartesian na x, y, at z (abscissa, ordinate, at applicate).

Upang matukoy ang posisyon ng isang tuwid na linya sa espasyo, mayroong mga sumusunod na pamamaraan: 1. Dalawang puntos (A at B). Isaalang-alang ang dalawang punto sa espasyo A at B (Larawan 2.1). Sa pamamagitan ng mga puntong ito maaari tayong gumuhit ng isang tuwid na linya, makakakuha tayo ng isang segment. Upang mahanap ang mga projection ng segment na ito sa projection plane, kinakailangan upang mahanap ang mga projection ng mga puntos A at B at ikonekta ang mga ito sa isang tuwid na linya. Ang bawat isa sa mga projection ng segment sa projection plane ay mas maliit kaysa sa segment mismo:<; <; <.

Figure 2.1 Pagtukoy sa posisyon ng isang tuwid na linya mula sa dalawang puntos

2. Dalawang eroplano (a; b). Ang pamamaraang ito ng pagtatakda ay tinutukoy ng katotohanan na ang dalawang di-parallel na eroplano ay nagsalubong sa espasyo sa isang tuwid na linya (ang pamamaraang ito ay tinalakay nang detalyado sa kurso ng elementarya na geometry).

3. Point at mga anggulo ng pagkahilig sa projection planes. Ang pag-alam sa mga coordinate ng isang punto na kabilang sa linya at ang mga anggulo ng pagkahilig nito sa mga projection planes, maaari mong mahanap ang posisyon ng linya sa espasyo.

Depende sa posisyon ng tuwid na linya na may kaugnayan sa mga projection planes, maaari itong sakupin ang parehong pangkalahatan at partikular na mga posisyon. 1. Ang isang tuwid na linya na hindi parallel sa anumang projection plane ay tinatawag na isang tuwid na linya sa pangkalahatang posisyon (Larawan 3.1).

2. Ang mga tuwid na linya na parallel sa projection planes ay sumasakop sa isang partikular na posisyon sa kalawakan at tinatawag na level lines. Depende sa kung aling projection plane ang ibinigay na linya ay kahanay, mayroong:

2.1. Ang mga direktang projection na kahanay sa pahalang na eroplano ay tinatawag na pahalang o mga linya ng tabas (Larawan 3.2).

Larawan 3.2 Pahalang na tuwid na linya

2.2. Ang mga direktang projection na parallel sa frontal plane ay tinatawag na frontal o frontals (Fig. 3.3).

Larawan 3.3 Pangharap na tuwid

2.3. Ang mga direktang projection na parallel sa profile plane ay tinatawag na profile projection (Larawan 3.4).

Larawan 3.4 Diretso ang profile

3. Ang mga tuwid na linya na patayo sa projection planes ay tinatawag na projecting. Ang isang linya na patayo sa isang projection plane ay parallel sa iba pang dalawa. Depende sa kung aling projection plane ang inimbestigahang linya ay patayo, mayroong:

3.1. Frontally projecting straight line - AB (Fig. 3.5).

Figure 3.5 Front projection line

3.2. Profile projecting straight line - AB (Fig. 3.6).

Figure 3.6 Profile-projecting line

3.3. Pahalang na pag-project ng tuwid na linya - AB (Larawan 3.7).

Figure 3.7 Pahalang na projecting na linya

Ang eroplano ay isa sa mga pangunahing konsepto ng geometry. Sa isang sistematikong paglalahad ng geometry, ang konsepto ng isang eroplano ay karaniwang kinukuha bilang isa sa mga paunang konsepto, na hindi direktang tinutukoy ng mga axiom ng geometry. Ilang katangian ng isang eroplano: 1. Ang eroplano ay isang ibabaw na ganap na naglalaman ng bawat linya na nagdudugtong sa alinman sa mga punto nito; 2. Ang eroplano ay isang hanay ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa dalawang ibinigay na mga punto.

Mga paraan ng graphical na kahulugan ng mga eroplano Ang posisyon ng isang eroplano sa kalawakan ay maaaring matukoy:

1. Tatlong puntos na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya (Fig. 4.1).

Figure 4.1 Plane na tinukoy ng tatlong puntos na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya

2. Isang tuwid na linya at isang punto na hindi kabilang sa tuwid na linyang ito (Larawan 4.2).

Figure 4.2 Plane na tinukoy ng isang tuwid na linya at isang punto na hindi kabilang sa linyang ito

3. Dalawang intersecting na tuwid na linya (Larawan 4.3).

Figure 4.3 Plane na tinukoy sa pamamagitan ng dalawang intersecting na tuwid na linya

4. Dalawang parallel na linya (Larawan 4.4).

Figure 4.4 Plane na tinukoy ng dalawang parallel na tuwid na linya

Iba't ibang posisyon ng eroplano na nauugnay sa mga projection planes

Depende sa posisyon ng eroplano na may kaugnayan sa mga projection planes, maaari itong sakupin ang parehong pangkalahatan at partikular na mga posisyon.

1. Ang isang eroplanong hindi patayo sa anumang projection plane ay tinatawag na isang eroplano sa pangkalahatang posisyon. Ang nasabing eroplano ay sumasalubong sa lahat ng mga projection planes (may tatlong bakas: - pahalang S 1; - frontal S 2; - profile S 3). Ang mga bakas ng generic na eroplano ay nagsalubong nang magkapares sa mga palakol sa mga puntong palakol,ay,az. Ang mga puntong ito ay tinatawag na naglalaho na mga punto, maaari silang ituring na mga vertices ng trihedral na mga anggulo na nabuo ng ibinigay na eroplano na may dalawa sa tatlong projection na eroplano. Ang bawat isa sa mga bakas ng eroplano ay tumutugma sa projection nito ng parehong pangalan, at ang iba pang dalawang projection ng magkasalungat na pangalan ay namamalagi sa mga palakol (Larawan 5.1).

2. Mga eroplanong patayo sa mga eroplano ng mga projection - sumasakop sa isang partikular na posisyon sa kalawakan at tinatawag na projecting. Depende sa kung aling projection plane ang ibinigay na eroplano ay patayo, mayroong:

2.1. Ang eroplanong patayo sa horizontal projection plane (S ^ П1) ay tinatawag na horizontally projecting plane. Ang pahalang na projection ng naturang eroplano ay isang tuwid na linya, na siyang pahalang na bakas din nito. Ang mga pahalang na projection ng lahat ng mga punto ng anumang mga figure sa eroplanong ito ay nag-tutugma sa pahalang na bakas (Larawan 5.2).

Figure 5.2 Pahalang na projection plane

2.2. Ang eroplanong patayo sa frontal plane ng mga projection (S ^ P2) ay ang front-projecting plane. Ang frontal projection ng eroplano S ay isang tuwid na linya na tumutugma sa trace S 2 (Larawan 5.3).

Figure 5.3 Front projection plane

2.3. Ang eroplanong patayo sa profile plane (S ^ П3) ay ang profile-projecting plane. Ang isang espesyal na kaso ng naturang eroplano ay ang bisector plane (Larawan 5.4).

Figure 5.4 Profile-projecting plane

3. Mga eroplanong parallel sa mga eroplano ng projection - sumasakop sa isang partikular na posisyon sa kalawakan at tinatawag na mga antas ng eroplano. Depende sa kung aling eroplano ang eroplanong pinag-aaralan ay parallel, mayroong:

3.1. Pahalang na eroplano - isang eroplanong parallel sa horizontal projection plane (S //P1) - (S ^P2, S ^P3). Anumang figure sa eroplanong ito ay inaasahang papunta sa eroplano P1 nang walang pagbaluktot, at sa eroplano P2 at P3 sa mga tuwid na linya - mga bakas ng eroplano S 2 at S 3 (Larawan 5.5).

Figure 5.5 Pahalang na eroplano

3.2. Frontal plane - isang eroplanong parallel sa frontal projection plane (S //P2), (S ^P1, S ^P3). Anumang figure sa eroplanong ito ay inaasahang papunta sa eroplano P2 nang walang pagbaluktot, at sa eroplano P1 at P3 sa mga tuwid na linya - mga bakas ng eroplano S 1 at S 3 (Larawan 5.6).

Larawan 5.6 Pangharap na eroplano

3.3. Profile plane - isang eroplanong parallel sa profile plane ng mga projection (S //P3), (S ^P1, S ^P2). Anumang figure sa eroplanong ito ay inaasahang papunta sa eroplano P3 nang walang pagbaluktot, at sa eroplano P1 at P2 sa mga tuwid na linya - mga bakas ng eroplano S 1 at S 2 (Larawan 5.7).

Larawan 5.7 Profile plane

Mga bakas ng eroplano

Ang bakas ng eroplano ay ang linya ng intersection ng eroplano sa mga projection planes. Depende sa kung alin sa mga projection plane ang binigay na nagsa-intersect, nakikilala nila ang: pahalang, frontal at profile na mga bakas ng eroplano.

Ang bawat bakas ng eroplano ay isang tuwid na linya, para sa pagtatayo kung saan kinakailangan na malaman ang dalawang punto, o isang punto at ang direksyon ng tuwid na linya (tulad ng para sa pagtatayo ng anumang tuwid na linya). Ipinapakita ng Figure 5.8 ang paghahanap ng mga bakas ng eroplano S (ABC). Ang frontal trace ng eroplano S 2 ay itinayo bilang isang linya na nagkokonekta sa dalawang puntos 12 at 22, na kung saan ay ang mga frontal na bakas ng kaukulang mga linya na kabilang sa eroplano S . Ang pahalang na bakas S 1 ay isang tuwid na linya na dumadaan sa pahalang na bakas ng tuwid na linya AB at S x. Profile trace S 3 - isang tuwid na linya na nagkokonekta sa mga punto (S y at S z) ng intersection ng pahalang at pangharap na mga bakas na may mga palakol.

Figure 5.8 Konstruksyon ng mga bakas ng eroplano

Ang pagtukoy sa kamag-anak na posisyon ng isang tuwid na linya at isang eroplano ay isang positional na problema, para sa solusyon kung saan ginagamit ang paraan ng mga auxiliary cutting planes. Ang kakanyahan ng pamamaraan ay ang mga sumusunod: gumuhit ng isang auxiliary secant plane Q sa pamamagitan ng linya at itakda ang kamag-anak na posisyon ng dalawang linya a at b, ang huli ay ang linya ng intersection ng auxiliary secant plane Q at ang eroplanong T ( Larawan 6.1).

Figure 6.1 Paraan ng auxiliary cutting plane

Ang bawat isa sa tatlong posibleng mga kaso ng kamag-anak na posisyon ng mga linyang ito ay tumutugma sa isang katulad na kaso ng magkaparehong posisyon ng linya at ng eroplano. Kaya, kung ang parehong mga linya ay nag-tutugma, kung gayon ang linya a ay namamalagi sa eroplano T, ang parallelism ng mga linya ay nagpapahiwatig ng parallelism ng linya at ang eroplano, at, sa wakas, ang intersection ng mga linya ay tumutugma sa kaso kapag ang linya ay nag-intersect. ang eroplano T. Kaya, mayroong tatlong mga kaso ng kamag-anak na posisyon ng linya at ang eroplano: nabibilang sa eroplano; Ang linya ay parallel sa eroplano; Ang isang tuwid na linya ay bumalandra sa isang eroplano, isang espesyal na kaso - isang tuwid na linya ay patayo sa eroplano. Isaalang-alang natin ang bawat kaso.

Tuwid na linya na kabilang sa eroplano

Axiom 1. Ang isang linya ay kabilang sa isang eroplano kung ang dalawa sa mga punto nito ay kabilang sa parehong eroplano (fig.6.2).

Gawain. Ibinigay ang isang eroplano (n,k) at isang projection ng linyang m2. Kinakailangang hanapin ang nawawalang mga projection ng linyang m kung alam na ito ay kabilang sa eroplano na ibinigay ng mga intersecting na linya n at k. Ang projection ng linya m2 intersects ang mga linya n at k sa mga punto B2 at C2, upang mahanap ang nawawalang projection ng linya, ito ay kinakailangan upang mahanap ang nawawalang projection ng mga puntos B at C bilang mga puntos na nakahiga sa mga linya n at k , ayon sa pagkakabanggit. Kaya, ang mga puntos na B at C ay nabibilang sa eroplano na ibinigay ng mga intersecting na linya n at k, at ang linyang m ay dumadaan sa mga puntong ito, na nangangahulugan na, ayon sa axiom, ang linya ay kabilang sa eroplanong ito.

Axiom 2. Ang isang linya ay kabilang sa isang eroplano kung ito ay may isang karaniwang punto sa eroplano at parallel sa anumang linya na matatagpuan sa eroplanong ito (Larawan 6.3).

Gawain. Gumuhit ng isang linya na m hanggang sa punto B kung alam na ito ay kabilang sa eroplano na ibinigay ng mga intersecting na linya n at k. Hayaang ang B ay kabilang sa linya n nakahiga sa eroplano na ibinigay ng mga intersecting na linya n at k. Sa pamamagitan ng projection B2 iginuhit namin ang projection ng linya m2 parallel sa linya k2, upang mahanap ang nawawalang projection ng linya, kinakailangan upang bumuo ng projection ng point B1 bilang isang punto na nakahiga sa projection ng linya n1 at iguhit ang projection ng linya m1 sa pamamagitan nito parallel sa projection k1. Kaya, ang mga puntos na B ay nabibilang sa eroplano na ibinigay ng mga intersecting na linya n at k, at ang linyang m ay dumadaan sa puntong ito at kahanay ng linya k, na nangangahulugan na, ayon sa axiom, ang linya ay kabilang sa eroplanong ito.

Figure 6.3 Ang isang tuwid na linya ay may isang karaniwang punto na may isang eroplano at ay parallel sa isang tuwid na linya na matatagpuan sa eroplanong ito

Mga pangunahing linya sa eroplano

Kabilang sa mga tuwid na linya na kabilang sa eroplano, ang isang espesyal na lugar ay inookupahan ng mga tuwid na linya na sumasakop sa isang partikular na posisyon sa espasyo:

1. Horizontals h - mga tuwid na linya na nakahiga sa isang naibigay na eroplano at parallel sa pahalang na eroplano ng mga projection (h / / P1) (Larawan 6.4).

Larawan 6.4 Pahalang

2. Frontals f - mga tuwid na linya na matatagpuan sa eroplano at parallel sa frontal plane ng mga projection (f / / P2) (Fig. 6.5).

Larawan 6.5 Pangharap

3. Profile straight lines p - tuwid na linya na nasa isang ibinigay na eroplano at parallel sa profile plane ng mga projection (p / / P3) (Fig. 6.6). Dapat pansinin na ang mga bakas ng eroplano ay maaari ding maiugnay sa mga pangunahing linya. Ang pahalang na bakas ay ang pahalang ng eroplano, ang frontal ay ang harap at ang profile ay ang profile line ng eroplano.

Larawan 6.6 Diretso ang profile

4. Ang linya ng pinakamalaking slope at ang pahalang na projection nito ay bumubuo ng isang linear na anggulo j, na sumusukat sa dihedral na anggulo na binubuo ng eroplanong ito at ang pahalang na eroplano ng mga projection (Larawan 6.7). Malinaw, kung ang isang linya ay walang dalawang karaniwang mga punto sa isang eroplano, kung gayon ito ay kahanay sa eroplano o intersects ito.

Figure 6.7 Ang linya ng pinakamalaking slope

Parehong posisyon ng isang punto at isang eroplano

Mayroong dalawang mga pagpipilian para sa magkaparehong pag-aayos ng isang punto at isang eroplano: alinman sa punto ay kabilang sa eroplano, o hindi. Kung ang punto ay kabilang sa eroplano, kung gayon isa lamang sa tatlong projection na tumutukoy sa posisyon ng punto sa kalawakan ang maaaring arbitraryong itakda. Isaalang-alang natin ang isang halimbawa (fig.6.8): Konstruksyon ng isang projection ng isang point A na kabilang sa isang eroplano ng pangkalahatang posisyon na ibinigay ng dalawang parallel na tuwid na linya a(a//b).

Gawain. Ibinigay: ang eroplanong T(a,b) at ang projection ng puntong A2. Kinakailangang buuin ang projection A1 kung alam na ang punto A ay nasa eroplano c,a. Sa pamamagitan ng punto A2 iginuhit namin ang projection ng linya m2, na intersects ang mga projection ng mga linya a2 at b2 sa mga punto C2 at B2. Ang pagkakaroon ng pagbuo ng mga projection ng mga puntos C1 at B1, na tumutukoy sa posisyon ng m1, nakita namin ang pahalang na projection ng punto A.

Larawan 6.8. Punto na kabilang sa eroplano

Ang dalawang eroplano sa kalawakan ay maaaring magkapareho, sa isang partikular na kaso na nagtutugma sa isa't isa, o magsalubong. Ang magkaparehong patayo na mga eroplano ay isang espesyal na kaso ng mga intersecting na eroplano.

1. Parallel na eroplano. Ang mga eroplano ay parallel kung ang dalawang intersecting na linya ng isang eroplano ay parallel sa dalawang intersecting na linya ng isa pang eroplano. Ang kahulugan na ito ay mahusay na inilalarawan ng gawain, sa pamamagitan ng punto B, upang gumuhit ng isang eroplanong parallel sa eroplano na ibinigay ng dalawang intersecting na tuwid na linya ab (Larawan 7.1). Gawain. Ibinigay: isang eroplano sa pangkalahatang posisyon na ibinigay ng dalawang intersecting na linya ab at point B. Kinakailangang gumuhit ng eroplano sa punto B na kahanay sa eroplano ab at tukuyin ito sa pamamagitan ng dalawang intersecting na linya c at d. Ayon sa depinisyon, kung ang dalawang intersecting na linya ng isang eroplano ay parallel sa dalawang intersecting na linya ng isa pang eroplano, kung gayon ang mga eroplanong ito ay parallel sa isa't isa. Upang gumuhit ng mga parallel na linya sa diagram, kinakailangang gamitin ang property ng parallel projection - ang mga projection ng parallel lines ay parallel sa isa't isa d||a, c||b; d1||a1,с1||b1; d2||a2 ,с2||b2; d3||a3,с3||b3.

Larawan 7.1. Parallel na eroplano

2. Mga intersecting na eroplano, isang espesyal na kaso - magkaparehong patayo na mga eroplano. Ang linya ng intersection ng dalawang eroplano ay isang tuwid na linya, para sa pagtatayo kung saan ito ay sapat na upang matukoy ang dalawang punto nito na karaniwan sa parehong mga eroplano, o isang punto at ang direksyon ng linya ng intersection ng mga eroplano. Isaalang-alang ang pagtatayo ng linya ng intersection ng dalawang eroplano, kapag ang isa sa kanila ay projecting (Larawan 7.2).

Gawain. Ibinigay: ang isang eroplano sa pangkalahatang posisyon ay ibinibigay ng isang tatsulok na ABC, at ang pangalawang eroplano ay isang pahalang na projecting T. Ito ay kinakailangan upang bumuo ng isang linya ng intersection ng mga eroplano. Ang solusyon sa problema ay ang paghahanap ng dalawang puntong karaniwan sa mga eroplanong ito kung saan maaaring gumuhit ng isang tuwid na linya. Ang eroplanong tinukoy ng tatsulok na ABC ay maaaring katawanin bilang mga tuwid na linya (AB), (AC), (BC). Ang punto ng intersection ng linya (AB) sa eroplano T - punto D, ang linya (AC) -F. Tinutukoy ng segment ang linya ng intersection ng mga eroplano. Dahil ang T ay isang pahalang na projection na eroplano, ang projection na D1F1 ay kasabay ng bakas ng eroplanong T1, kaya nananatili lamang ang pagbuo ng mga nawawalang projection sa P2 at P3.

Larawan 7.2. Intersection ng generic plane na may horizontally projecting plane

Lumipat tayo sa pangkalahatang kaso. Hayaang magbigay ng dalawang generic na eroplano a(m,n) at b (ABC) sa espasyo (Larawan 7.3).

Larawan 7.3. Intersection ng mga eroplano sa pangkalahatang posisyon

Isaalang-alang ang pagkakasunod-sunod ng pagbuo ng linya ng intersection ng mga eroplanong a(m//n) at b(ABC). Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa nakaraang problema, upang mahanap ang linya ng intersection ng mga eroplanong ito, gumuhit kami ng mga auxiliary secant na eroplano g at d. Hanapin natin ang mga linya ng intersection ng mga eroplanong ito sa mga eroplanong isinasaalang-alang. Ang eroplanong g ay nag-intersect sa eroplanong a sa isang tuwid na linya (12), at sa eroplano b - kasama ng isang tuwid na linya (34). Point K - ang punto ng intersection ng mga linyang ito ay sabay-sabay na kabilang sa tatlong eroplano a, b at g, na sa gayon ay isang punto na kabilang sa linya ng intersection ng mga eroplano a at b. Ang eroplanong d ay nag-intersect sa mga eroplanong a at b sa mga linya (56) at (7C), ayon sa pagkakabanggit, ang kanilang intersection point M ay matatagpuan nang sabay-sabay sa tatlong eroplano a, b, d at kabilang sa tuwid na linya ng intersection ng mga eroplano a at b. Kaya, ang dalawang punto ay matatagpuan na kabilang sa linya ng intersection ng mga eroplano a at b - isang tuwid na linya (KM).

Ang ilang pagpapasimple sa paggawa ng linya ng intersection ng mga eroplano ay maaaring makamit kung ang auxiliary secant na mga eroplano ay iguguhit sa pamamagitan ng mga tuwid na linya na tumutukoy sa eroplano.

Parehong patayo na mga eroplano. Ito ay kilala mula sa stereometry na ang dalawang eroplano ay magkaparehong patayo kung ang isa sa mga ito ay dumaan sa isang patayo sa isa. Sa pamamagitan ng puntong A, maaari kang gumuhit ng isang set ng mga eroplano na patayo sa ibinigay na eroplano a (f, h). Ang mga eroplanong ito ay bumubuo ng isang bundle ng mga eroplano sa kalawakan, ang axis nito ay ang patayo na bumaba mula sa puntong A hanggang sa eroplano a. Upang gumuhit ng isang eroplanong patayo sa eroplano na ibinigay ng dalawang intersecting na linya hf mula sa punto A, kinakailangan na gumuhit ng isang tuwid na linya n patayo sa eroplano hf mula sa punto A (ang pahalang na projection n ay patayo sa pahalang na projection ng pahalang h, ang frontal projection n ay patayo sa frontal projection ng frontal f). Anumang eroplano na dumadaan sa linya n ay magiging patayo sa eroplano hf, samakatuwid, upang itakda ang eroplano sa pamamagitan ng mga puntos A, gumuhit kami ng isang arbitrary na linya m. Ang eroplano na ibinigay ng dalawang intersecting na tuwid na linya mn ay magiging patayo sa hf plane (Larawan 7.4).

Larawan 7.4. Parehong patayo na mga eroplano

Paraan ng paggalaw ng plane-parallel

Ang pagbabago ng kamag-anak na posisyon ng projected object at ang projection planes sa pamamagitan ng paraan ng plane-parallel movement ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagbabago ng posisyon ng geometric object upang ang trajectory ng mga punto nito ay nasa parallel planes. Ang mga carrier plane ng mga trajectory ng mga gumagalaw na punto ay parallel sa anumang projection plane (Fig. 8.1). Ang trajectory ay isang arbitrary na linya. Sa isang parallel transfer ng isang geometric na bagay na may kaugnayan sa projection planes, ang projection ng figure, bagama't binago nito ang posisyon nito, ay nananatiling congruent sa projection ng figure sa orihinal nitong posisyon.

Figure 8.1 Pagtukoy ng natural na sukat ng segment sa pamamagitan ng paraan ng plane-parallel na paggalaw

Mga katangian ng plane-parallel na paggalaw:

1. Sa anumang paggalaw ng mga punto sa isang eroplanong parallel sa eroplanong P1, ang frontal projection nito ay gumagalaw sa isang tuwid na linya na parallel sa x axis.

2. Sa kaso ng isang arbitrary na paggalaw ng isang punto sa isang eroplanong parallel sa P2, ang pahalang na projection nito ay gumagalaw sa isang tuwid na linya na kahanay ng x axis.

Paraan ng pag-ikot sa paligid ng isang axis na patayo sa projection plane

Ang mga eroplano ng carrier ng mga trajectory ng paggalaw ng mga puntos ay kahanay sa projection plane. Trajectory - isang arko ng isang bilog, ang gitna nito ay matatagpuan sa axis na patayo sa eroplano ng mga projection. Upang matukoy ang natural na laki ng isang segment ng linya sa pangkalahatang posisyon AB (Larawan 8.2), pipiliin namin ang axis ng pag-ikot (i) patayo sa pahalang na projection plane at dumadaan sa B1. Iikot natin ang segment upang ito ay maging parallel sa frontal projection plane (ang pahalang na projection ng segment ay parallel sa x-axis). Sa kasong ito, ang point A1 ay lilipat sa A "1, at ang point B ay hindi magbabago sa posisyon nito. Ang posisyon ng point A" 2 ay nasa intersection ng frontal projection ng trajectory ng paggalaw ng point A (isang straight line parallel sa x axis) at ang linya ng komunikasyon na iginuhit mula sa A "1. Tinutukoy ng resultang projection B2 A "2 ang aktwal na laki ng segment mismo.

Figure 8.2 Pagtukoy sa natural na sukat ng isang segment sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng isang axis na patayo sa pahalang na eroplano ng mga projection

Paraan ng pag-ikot sa paligid ng isang axis na parallel sa projection plane

Isaalang-alang ang pamamaraang ito gamit ang halimbawa ng pagtukoy ng anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya (Larawan 8.3). Isaalang-alang ang dalawang projection ng mga intersecting na linya a at kung saan nag-intersect sa punto K. Upang matukoy ang natural na halaga ng anggulo sa pagitan ng mga linyang ito, kinakailangan na baguhin ang orthogonal projection upang ang mga linya ay maging parallel sa projection plane. Gamitin natin ang paraan ng pag-ikot sa paligid ng linya ng antas - pahalang. Gumuhit tayo ng isang arbitrary na frontal projection ng pahalang na h2 na kahanay sa axis ng Ox, na nagsa-intersect sa mga linya sa mga punto 12 at 22. Nang matukoy ang mga projection 11 at 11, bumuo kami ng pahalang na projection ng pahalang na h1 . Ang trajectory ng paggalaw ng lahat ng mga punto sa panahon ng pag-ikot sa pahalang ay isang bilog na naka-project sa P1 plane sa anyo ng isang tuwid na linya na patayo sa pahalang na projection ng pahalang.

Figure 8.3 Pagtukoy ng anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya, pag-ikot sa paligid ng isang axis na parallel sa horizontal projection plane

Kaya, ang tilapon ng punto K1 ay tinutukoy ng tuwid na linya K1O1, ang punto O ay ang sentro ng bilog - ang mga tilapon ng punto K. Upang mahanap ang radius ng bilog na ito, nakita namin ang natural na halaga ng segment KO sa pamamagitan ng paraan ng tatsulok. Ang puntong K "1 ay tumutugma sa puntong K, kapag ang mga linya a at b ay nasa isang eroplanong kahanay sa P1 at iginuhit sa pahalang - ang axis ng pag-ikot. Sa pag-iisip na ito, gumuhit kami ng mga tuwid na linya sa pamamagitan ng puntong K "1 at mga puntos na 11 at 21, na ngayon ay nasa isang eroplanong parallel sa P1, at samakatuwid ang anggulo ng phi ay ang natural na halaga ng anggulo sa pagitan ng mga linya a at b.

Paraan para sa pagpapalit ng mga projection plane

Ang pagbabago ng relatibong posisyon ng inaasahang figure at ang projection plane sa pamamagitan ng pagpapalit ng projection plane ay makakamit sa pamamagitan ng pagpapalit ng P1 at P2 na eroplano ng bagong P4 na eroplano (Fig. 8.4). Ang mga bagong eroplano ay pinili patayo sa mga luma. Ang ilang mga pagbabago sa projection ay nangangailangan ng dobleng pagpapalit ng mga projection planes (Larawan 8.5). Ang sunud-sunod na paglipat mula sa isang sistema ng projection planes patungo sa isa pa ay dapat isagawa sa pamamagitan ng pagsunod sa sumusunod na panuntunan: ang distansya mula sa bagong point projection hanggang sa bagong axis ay dapat na katumbas ng distansya mula sa pinalitan na point projection sa pinalitan na axis.

Gawain 1: Tukuyin ang aktwal na sukat ng segment AB ng isang tuwid na linya sa pangkalahatang posisyon (Larawan 8.4). Mula sa pag-aari ng parallel projection, alam na ang isang segment ay naka-project sa isang eroplano sa buong laki kung ito ay parallel sa eroplanong ito. Pumili kami ng bagong projection plane P4, parallel sa segment AB at patayo sa plane P1. Sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong eroplano, pumasa tayo mula sa sistema ng mga eroplanong P1P2 patungo sa sistemang P1P4, at sa bagong sistema ng mga eroplano, ang projection ng segment na A4B4 ay ang natural na halaga ng segment na AB.

Larawan 8.4. Pagpapasiya ng natural na sukat ng isang tuwid na linya ng segment sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga projection planes

Gawain 2: Tukuyin ang distansya mula sa punto C hanggang sa isang linya sa pangkalahatang posisyon na ibinigay ng segment AB (Larawan 8.5).

Larawan 8.5. Pagpapasiya ng natural na sukat ng isang tuwid na linya ng segment sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga projection planes

Ang posisyon ng isang punto sa espasyo ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng dalawang orthogonal projection nito, halimbawa, pahalang at pangharap, pangharap at profile. Ang kumbinasyon ng anumang dalawang orthogonal projection ay nagbibigay-daan sa iyo upang malaman ang halaga ng lahat ng mga coordinate ng isang punto, bumuo ng isang ikatlong projection, matukoy ang octant kung saan ito matatagpuan. Isaalang-alang natin ang ilang karaniwang gawain mula sa kurso ng mapaglarawang geometry.

Ayon sa ibinigay na kumplikadong pagguhit ng mga puntos A at B, kinakailangan:

Alamin muna natin ang mga coordinate ng point A, na maaaring isulat sa anyong A (x, y, z). Ang pahalang na projection ng point A ay point A ", pagkakaroon ng mga coordinate x, y. Gumuhit mula sa point A" na patayo sa x, y axes at hanapin, ayon sa pagkakabanggit, A x, A y. Ang x-coordinate para sa point A ay katumbas ng haba ng segment na A x O na may plus sign, dahil ang A x ay nasa rehiyon ng mga positibong halaga ng x-axis. Isinasaalang-alang ang sukat ng pagguhit, nakita namin ang x \u003d 10. Ang y coordinate ay katumbas ng haba ng segment A y O na may minus sign, dahil ang t. A y ay nasa rehiyon ng mga negatibong y-axis na halaga . Dahil sa sukat ng pagguhit, y = -30. Ang frontal projection ng point A - point A"" ay may x at z coordinates. I-drop natin ang patayo mula A"" sa z-axis at hanapin ang A z . Ang z-coordinate ng point A ay katumbas ng haba ng segment na A z O na may minus sign, dahil ang A z ay nasa rehiyon ng mga negatibong halaga ng z-axis. Dahil sa sukat ng pagguhit, z = -10. Kaya, ang mga coordinate ng point A ay (10, -30, -10).

Ang mga coordinate ng point B ay maaaring isulat bilang B (x, y, z). Isaalang-alang ang pahalang na projection ng point B - point B. "Dahil ito ay namamalagi sa x axis, pagkatapos ay B x \u003d B" at ang coordinate B y \u003d 0. Ang abscissa x ng point B ay katumbas ng haba ng segment B x O na may plus sign. Isinasaalang-alang ang sukat ng pagguhit, x = 30. Ang frontal projection ng point B - point B˝ ay may mga coordinate x, z. Gumuhit ng patayo mula sa B"" hanggang sa z-axis, kaya nahanap ang B z . Ang inilapat na z ng punto B ay katumbas ng haba ng segment B z O na may minus sign, dahil ang B z ay nasa rehiyon ng mga negatibong halaga ng z-axis. Isinasaalang-alang ang sukat ng pagguhit, tinutukoy namin ang halaga z = -20. Kaya ang mga coordinate ng B ay (30, 0, -20). Ang lahat ng kinakailangang mga konstruksyon ay ipinapakita sa figure sa ibaba.

Konstruksyon ng mga projection ng mga puntos

Ang mga puntong A at B sa P 3 na eroplano ay may mga sumusunod na coordinate: A""" (y, z); B""" (y, z). Sa kasong ito, ang A"" at A""" ay nakahiga sa parehong patayo sa z-axis, dahil mayroon silang karaniwang z-coordinate. Sa parehong paraan, ang B"" at B""" ay nakahiga sa isang karaniwang patayo sa z-axis. Upang mahanap ang profile projection ng t. A, itabi namin sa kahabaan ng y-axis ang halaga ng kaukulang coordinate na nakita kanina. Sa figure, ito ay ginagawa gamit ang isang arc ng isang bilog ng radius A y O. Pagkatapos nito, gumuhit kami ng isang patayo mula sa A y hanggang sa intersection na may patayo na naibalik mula sa puntong A "" hanggang sa z axis. Tinutukoy ng intersection point ng dalawang perpendicular na ito ang posisyon ng A""".

Ang point B""" ay nasa z-axis, dahil ang y-ordinate ng puntong ito ay zero. Upang mahanap ang profile projection ng point B sa problemang ito, kinakailangan lamang na gumuhit ng patayo mula sa B"" hanggang sa z -axis. Ang punto ng intersection nitong patayo sa z-axis ay B """.

Pagtukoy sa posisyon ng mga puntos sa espasyo

Ang visual na pag-iisip ng isang spatial na layout na binubuo ng mga projection plane P 1, P 2 at P 3, ang lokasyon ng mga octants, pati na rin ang pagkakasunud-sunod ng pagbabago ng layout sa mga diagram, maaari mong direktang matukoy na ang t. A ay matatagpuan sa octant III, at t. B nakahiga sa eroplano P 2 .

Ang isa pang pagpipilian para sa paglutas ng problemang ito ay ang paraan ng mga pagbubukod. Halimbawa, ang mga coordinate ng point A ay (10, -30, -10). Ang positibong abscissa x ay ginagawang posible upang hatulan na ang punto ay matatagpuan sa unang apat na octants. Ang negatibong y-ordinate ay nagpapahiwatig na ang punto ay nasa pangalawa o pangatlong octant. Sa wakas, ang negatibong applicate ng z ay nagpapahiwatig na ang punto A ay nasa ikatlong octant. Ang ibinigay na pangangatwiran ay malinaw na inilalarawan ng sumusunod na talahanayan.

Octants	Mga palatandaan ng coordinate
	x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Point B na mga coordinate (30, 0, -20). Dahil ang ordinate ng t. B ay katumbas ng zero, ang puntong ito ay matatagpuan sa projection plane П 2 . Ang positibong abscissa at ang negatibong paglalapat ng punto B ay nagpapahiwatig na ito ay matatagpuan sa hangganan ng ikatlo at ikaapat na octants.

Pagbuo ng isang visual na imahe ng mga punto sa sistema ng mga eroplano P 1, P 2, P 3

Gamit ang frontal isometric projection, bumuo kami ng spatial na layout ng ikatlong octant. Ito ay isang hugis-parihaba na trihedron, na ang mga mukha ay ang mga eroplanong P 1, P 2, P 3, at ang anggulo (-y0x) ay 45 º. Sa system na ito, ang mga segment sa kahabaan ng x, y, z axes ay ilalagay sa buong laki nang walang pagbaluktot.

Ang pagtatayo ng isang visual na imahe ng punto A (10, -30, -10) ay magsisimula sa pahalang na projection A ". Sa pagtabi ng kaukulang mga coordinate sa kahabaan ng abscissa at ordinates, makikita natin ang mga puntong A x at A y. Ang Ang intersection ng mga perpendicular na naibalik mula sa A x at A y ayon sa pagkakabanggit sa x at y axes ay tumutukoy sa posisyon ng point A". Ang paglalagay mula sa A" parallel sa z axis patungo sa mga negatibong halaga nito ang segment AA", na ang haba ay katumbas ng 10, nakita namin ang posisyon ng point A.

Ang isang visual na imahe ng point B (30, 0, -20) ay itinayo sa katulad na paraan - sa P 2 plane, ang kaukulang mga coordinate ay dapat na naka-plot kasama ang x at z axes. Ang intersection ng mga perpendicular na na-reconstruct mula sa B x at B z ay tutukuyin ang posisyon ng point B.