Paraan Kramer at Gaussian isa sa mga pinakasikat na solusyon SLAU. Bilang karagdagan, sa ilang mga kaso ipinapayong gumamit ng mga tiyak na pamamaraan. Ang session ay malapit na, at ngayon ang oras upang ulitin o master ang mga ito mula sa simula. Ngayon ay haharapin natin ang solusyon sa pamamagitan ng paraan ng Cramer. Pagkatapos ng lahat, ang paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng Cramer ay isang napaka-kapaki-pakinabang na kasanayan.
Mga sistema ng linear algebraic equation
Ang sistema ng mga linear algebraic equation ay isang sistema ng mga equation ng anyo:
Itinakda ang halaga x , kung saan ang mga equation ng system ay nagiging mga pagkakakilanlan, ay tinatawag na solusyon ng system, a at b ay mga tunay na coefficient. Ang isang simpleng sistema na binubuo ng dalawang equation na may dalawang hindi alam ay maaaring malutas sa isip o sa pamamagitan ng pagpapahayag ng isang variable sa mga tuntunin ng isa. Ngunit maaaring mayroong higit sa dalawang variable (x) sa SLAE, at ang mga simpleng manipulasyon ng paaralan ay kailangang-kailangan dito. Anong gagawin? Halimbawa, lutasin ang SLAE sa pamamagitan ng paraan ng Cramer!
Kaya hayaan ang sistema n mga equation na may n hindi kilala.
Ang ganitong sistema ay maaaring muling isulat sa matrix form
Dito A ay ang pangunahing matrix ng system, X at B , ayon sa pagkakabanggit, mga column matrice ng mga hindi kilalang variable at libreng miyembro.
SLAE solution sa pamamagitan ng Cramer's method
Kung ang determinant ng pangunahing matrix ay hindi katumbas ng zero (ang matrix ay nonsingular), ang sistema ay maaaring malutas gamit ang paraan ng Cramer.
Ayon sa paraan ng Cramer, ang solusyon ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga formula:
Dito delta ay ang determinant ng pangunahing matrix, at delta x n-th - ang determinant na nakuha mula sa determinant ng pangunahing matrix sa pamamagitan ng pagpapalit ng n-th column ng isang column ng mga libreng miyembro.
Ito ang buong punto ng pamamaraan ni Cramer. Ang pagpapalit ng mga halaga na natagpuan ng mga formula sa itaas x sa nais na sistema, kumbinsido tayo sa kawastuhan (o kabaliktaran) ng ating solusyon. Upang matulungan kang mabilis na maunawaan ang kakanyahan, nagbibigay kami sa ibaba ng isang halimbawa ng isang detalyadong solusyon ng SLAE sa pamamagitan ng paraan ng Cramer:
Kahit na hindi ka magtagumpay sa unang pagkakataon, huwag panghinaan ng loob! Sa kaunting pagsasanay, magsisimula kang mag-pop ng mga SLOW na parang mani. Bukod dito, ngayon ay ganap na hindi kinakailangan na mag-pore sa isang notebook, paglutas ng masalimuot na mga kalkulasyon at pagsulat sa baras. Madaling lutasin ang SLAE sa pamamagitan ng Cramer method online, sa pamamagitan lamang ng pagpapalit ng mga coefficient sa natapos na form. Maaari mong subukan ang online na calculator para sa paglutas ng paraan ng Cramer, halimbawa, sa site na ito.
At kung ang sistema ay naging matigas ang ulo at hindi sumuko, maaari mong palaging bumaling sa aming mga may-akda para sa tulong, halimbawa, sa. Kung mayroong hindi bababa sa 100 na hindi alam sa system, tiyak na malulutas namin ito ng tama at sa tamang oras!
Sa unang bahagi, isinasaalang-alang namin ang ilang teoretikal na materyal, ang paraan ng pagpapalit, pati na rin ang paraan ng termino-by-term na pagdaragdag ng mga equation ng system. Sa lahat ng pumunta sa site sa pamamagitan ng pahinang ito, inirerekumenda kong basahin mo ang unang bahagi. Marahil, mahahanap ng ilang bisita ang materyal na masyadong simple, ngunit sa kurso ng paglutas ng mga sistema ng mga linear equation, gumawa ako ng isang bilang ng mga napakahalagang komento at konklusyon tungkol sa solusyon ng mga problema sa matematika sa pangkalahatan.
At ngayon ay susuriin natin ang panuntunan ng Cramer, pati na rin ang solusyon ng isang sistema ng mga linear na equation gamit ang inverse matrix (matrix method). Ang lahat ng mga materyales ay ipinakita nang simple, detalyado at malinaw, halos lahat ng mga mambabasa ay matututo kung paano lutasin ang mga sistema gamit ang mga pamamaraan sa itaas.
Una naming isaalang-alang ang panuntunan ni Cramer nang detalyado para sa isang sistema ng dalawang linear na equation sa dalawang hindi alam. Para saan? "Kung tutuusin, ang pinakasimpleng sistema ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pamamaraan ng paaralan, sa pamamagitan ng termino-by-term na karagdagan!
Ang katotohanan ay kahit na kung minsan, ngunit mayroong ganoong gawain - upang malutas ang isang sistema ng dalawang linear equation na may dalawang hindi alam gamit ang mga formula ng Cramer. Pangalawa, ang isang mas simpleng halimbawa ay makakatulong sa iyo na maunawaan kung paano gamitin ang panuntunan ng Cramer para sa isang mas kumplikadong kaso - isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam.
Bilang karagdagan, may mga sistema ng linear equation na may dalawang variable, na ipinapayong lutasin nang eksakto ayon sa panuntunan ni Cramer!
Isaalang-alang ang sistema ng mga equation
Sa unang hakbang, kinakalkula namin ang determinant , ito ay tinatawag ang pangunahing determinant ng system.
Pamamaraan ng Gauss.
Kung , kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon, at upang mahanap ang mga ugat, kailangan nating kalkulahin ang dalawa pang determinant:
at
Sa pagsasagawa, ang mga qualifier sa itaas ay maaari ding tukuyin ng Latin na titik.
Ang mga ugat ng equation ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga formula:
,
Halimbawa 7
Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation 
Desisyon: Nakikita namin na ang mga coefficient ng equation ay medyo malaki, sa kanang bahagi ay may mga decimal fraction na may kuwit. Ang kuwit ay isang bihirang panauhin sa mga praktikal na gawain sa matematika; Kinuha ko ang sistemang ito mula sa isang problemang pang-ekonomiya.
Paano malutas ang ganitong sistema? Maaari mong subukang ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa, ngunit sa kasong ito, tiyak na makakakuha ka ng mga kakila-kilabot na magarbong mga praksyon, na lubhang hindi maginhawa upang gumana, at ang disenyo ng solusyon ay magiging kakila-kilabot lamang. Maaari mong i-multiply ang pangalawang equation sa 6 at ibawas ang termino sa pamamagitan ng termino, ngunit ang parehong mga fraction ay lilitaw dito.
Anong gagawin? Sa ganitong mga kaso, ang mga formula ng Cramer ay dumating upang iligtas.
;
;
Sagot: ,
Ang parehong mga ugat ay may walang katapusang mga buntot at matatagpuan nang humigit-kumulang, na medyo katanggap-tanggap (at maging karaniwan) para sa mga problema sa ekonometrika.
Ang mga komento ay hindi kailangan dito, dahil ang gawain ay nalutas ayon sa mga yari na formula, gayunpaman, mayroong isang caveat. Kapag ginagamit ang pamamaraang ito, sapilitan Ang fragment ng assignment ay ang sumusunod na fragment: "kaya ang sistema ay may natatanging solusyon". Kung hindi, maaaring parusahan ka ng tagasuri dahil sa hindi paggalang sa teorama ni Cramer.
Hindi magiging kalabisan ang pagsuri, na kung saan ay maginhawa upang isagawa sa isang calculator: pinapalitan namin ang tinatayang mga halaga sa kaliwang bahagi ng bawat equation ng system. Bilang isang resulta, na may isang maliit na error, ang mga numero na nasa kanang bahagi ay dapat makuha.
Halimbawa 8
Ipahayag ang iyong sagot sa mga ordinaryong improper fraction. Gumawa ng tseke.
Ito ay isang halimbawa para sa isang malayang solusyon (halimbawa ng magandang disenyo at sagot sa katapusan ng aralin).
Bumaling tayo sa pagsasaalang-alang ng panuntunan ni Cramer para sa isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam: 
Nahanap namin ang pangunahing determinant ng system: 
Kung , kung gayon ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi pare-pareho (walang mga solusyon). Sa kasong ito, hindi makakatulong ang panuntunan ni Cramer, kailangan mong gamitin ang paraan ng Gauss.
Kung , kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon, at upang mahanap ang mga ugat, kailangan nating kalkulahin ang tatlo pang determinant: 
, 
, 
At sa wakas, ang sagot ay kinakalkula ng mga formula: 
Tulad ng nakikita mo, ang kaso na "tatlo sa tatlong" ay sa panimula ay hindi naiiba sa kaso ng "dalawa sa dalawa", ang hanay ng mga libreng termino na sunud-sunod na "lumalakad" mula kaliwa hanggang kanan kasama ang mga hanay ng pangunahing determinant.
Halimbawa 9
Lutasin ang system gamit ang mga formula ng Cramer. 
Desisyon: Lutasin natin ang system gamit ang mga formula ng Cramer. 
, kaya may kakaibang solusyon ang system.
Sagot: 
.
Sa totoo lang, wala nang espesyal na magkomento muli dito, dahil sa katotohanan na ang desisyon ay ginawa ayon sa mga handa na pormula. Ngunit mayroong ilang mga tala.
Ito ay nangyayari na bilang isang resulta ng mga kalkulasyon, ang "masamang" hindi mababawasan na mga praksyon ay nakuha, halimbawa: .
Inirerekomenda ko ang sumusunod na algorithm ng "paggamot". Kung walang computer sa kamay, ginagawa namin ito:
1) Maaaring may pagkakamali sa mga kalkulasyon. Sa sandaling makatagpo ka ng "masamang" shot, dapat mong suriin kaagad kung tama ba ang pagkakasulat ng kundisyon. Kung ang kundisyon ay muling isinulat nang walang mga error, kailangan mong muling kalkulahin ang mga determinant gamit ang pagpapalawak sa isa pang hilera (column).
2) Kung walang nakitang mga error bilang resulta ng pagsusuri, malamang na nagkaroon ng typo sa kondisyon ng pagtatalaga. Sa kasong ito, mahinahon at MAINGAT na lutasin ang gawain hanggang sa wakas, at pagkatapos siguraduhing suriin at iguhit ito sa isang malinis na kopya pagkatapos ng desisyon. Siyempre, ang pagsuri sa isang fractional na sagot ay isang hindi kasiya-siyang gawain, ngunit ito ay isang disarming argument para sa guro, na, well, talagang gustong maglagay ng minus para sa anumang masamang bagay tulad. Paano haharapin ang mga fraction ay detalyado sa sagot para sa Halimbawa 8.
Kung mayroon kang computer sa kamay, pagkatapos ay gumamit ng isang awtomatikong programa upang suriin ito, na maaaring ma-download nang libre sa pinakadulo simula ng aralin. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay pinaka-kapaki-pakinabang na gamitin ang programa kaagad (kahit na bago simulan ang solusyon), makikita mo kaagad ang intermediate na hakbang kung saan ka nagkamali! Awtomatikong kinakalkula ng parehong calculator ang solusyon ng system gamit ang matrix method.
Pangalawang pangungusap. Paminsan-minsan mayroong mga sistema sa mga equation kung saan nawawala ang ilang mga variable, halimbawa: 
Dito sa unang equation walang variable , sa pangalawa walang variable . Sa ganitong mga kaso, napakahalaga na isulat nang tama at MABUTI ang pangunahing determinant: 
– inilalagay ang mga zero sa lugar ng mga nawawalang variable.
Sa pamamagitan ng paraan, makatuwiran na buksan ang mga determinant na may mga zero sa hilera (haligi) kung saan matatagpuan ang zero, dahil may kapansin-pansing mas kaunting mga kalkulasyon.
Halimbawa 10
Lutasin ang system gamit ang mga formula ng Cramer. 
Ito ay isang halimbawa para sa self-solving (pagtatapos ng sample at sagot sa katapusan ng aralin).
Para sa kaso ng isang sistema ng 4 na equation na may 4 na hindi alam, ang mga formula ng Cramer ay isinulat ayon sa mga katulad na prinsipyo. Makakakita ka ng live na halimbawa sa aralin ng Determinant Properties. Pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng determinant - limang 4th order determinants ay lubos na nalulusaw. Bagama't ang gawain ay lubos na nakapagpapaalaala sa sapatos ng isang propesor sa dibdib ng isang masuwerteng estudyante.
Solusyon ng system gamit ang inverse matrix
Ang inverse matrix method ay mahalagang isang espesyal na kaso equation ng matrix(Tingnan ang Halimbawa Blg. 3 ng tinukoy na aralin).
Upang pag-aralan ang seksyong ito, kailangan mong palawakin ang mga determinant, hanapin ang inverse matrix at magsagawa ng matrix multiplication. Ibibigay ang mga nauugnay na link habang umuusad ang paliwanag.
Halimbawa 11
Lutasin ang system gamit ang matrix method 
Desisyon: Sinusulat namin ang system sa matrix form:
, saan 
Mangyaring tingnan ang sistema ng mga equation at ang mga matrice. Sa pamamagitan ng kung anong prinsipyo ang isinusulat namin ang mga elemento sa mga matrice, sa palagay ko naiintindihan ng lahat. Ang tanging komento: kung ang ilang mga variable ay nawawala sa mga equation, ang mga zero ay kailangang ilagay sa mga kaukulang lugar sa matrix.
Nahanap namin ang inverse matrix sa pamamagitan ng formula:
, nasaan ang transposed matrix ng algebraic complements ng mga kaukulang elemento ng matrix .
Una, harapin natin ang determinant:
Dito ang determinant ay pinalawak ng unang linya.
Pansin! Kung , kung gayon ang kabaligtaran na matrix ay hindi umiiral, at imposibleng malutas ang sistema sa pamamagitan ng paraan ng matrix. Sa kasong ito, ang sistema ay malulutas sa pamamagitan ng pag-aalis ng mga hindi alam (Gauss method).
Ngayon ay kailangan mong kalkulahin ang 9 na menor de edad at isulat ang mga ito sa matrix ng mga menor de edad 
Sanggunian: Kapaki-pakinabang na malaman ang kahulugan ng double subscripts sa linear algebra. Ang unang digit ay ang numero ng linya kung saan matatagpuan ang elemento. Ang pangalawang digit ay ang numero ng column kung saan matatagpuan ang elemento: 
Iyon ay, ang isang dobleng subscript ay nagpapahiwatig na ang elemento ay nasa unang hilera, ikatlong hanay, habang, halimbawa, ang elemento ay nasa ika-3 hilera, ika-2 hanay.
Sa bilang ng mga equation na kapareho ng bilang ng mga hindi alam na may pangunahing determinant ng matrix, na hindi katumbas ng zero, ang mga coefficient ng system (mayroong solusyon para sa mga naturang equation at ito ay isa lamang).
Teorama ni Cramer.
Kapag ang determinant ng matrix ng isang square system ay non-zero, kung gayon ang sistema ay magkatugma at mayroon itong isang solusyon at ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng Mga formula ng Cramer:
kung saan Δ - determinant ng system matrix,
Δ i- determinant ng matrix ng system, kung saan sa halip na i th column ay ang column ng mga tamang bahagi.
Kapag ang determinant ng system ay zero, kung gayon ang system ay maaaring maging pare-pareho o hindi pare-pareho.
Ang pamamaraang ito ay karaniwang ginagamit para sa maliliit na sistema na may mga kalkulasyon ng dami at kung kailan kinakailangan upang matukoy ang 1 sa mga hindi alam. Ang pagiging kumplikado ng pamamaraan ay kinakailangan upang kalkulahin ang maraming mga determinant.
Paglalarawan ng pamamaraan ni Cramer.
Mayroong isang sistema ng mga equation:
Ang isang sistema ng 3 equation ay maaaring malutas sa pamamagitan ng Cramer's method, na tinalakay sa itaas para sa isang sistema ng 2 equation.
Binubuo namin ang determinant mula sa mga coefficient ng mga hindi alam:
Ito ay qualifier ng system. Kailan D≠0, kaya pare-pareho ang sistema. Ngayon ay bubuo kami ng 3 karagdagang determinant:
,
,
Niresolba namin ang sistema sa pamamagitan ng Mga formula ng Cramer:
Mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraan ni Cramer.
Halimbawa 1.
Ibinigay na sistema:
Solusyonan natin ito sa pamamaraan ni Cramer.
Una kailangan mong kalkulahin ang determinant ng matrix ng system:
kasi Δ≠0, samakatuwid, mula sa teorem ni Cramer, ang sistema ay katugma at mayroon itong isang solusyon. Kinakalkula namin ang mga karagdagang determinant. Ang determinant Δ 1 ay nakuha mula sa determinant Δ sa pamamagitan ng pagpapalit ng unang column nito ng isang column ng libreng coefficients. Nakukuha namin:
Sa parehong paraan, nakuha namin ang determinant Δ 2 mula sa determinant ng matrix ng system, na pinapalitan ang pangalawang haligi ng isang haligi ng mga libreng coefficient:
Ang pamamaraan ng Cramer ay batay sa paggamit ng mga determinant sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Ito ay lubos na nagpapabilis sa proseso ng solusyon.
Ang paraan ng Cramer ay maaaring gamitin upang malutas ang isang sistema ng kasing dami ng mga linear na equation na may mga hindi alam sa bawat equation. Kung ang determinant ng system ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang paraan ng Cramer ay maaaring gamitin sa solusyon; kung ito ay katumbas ng zero, hindi ito magagawa. Bilang karagdagan, ang paraan ng Cramer ay maaaring gamitin upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation na may natatanging solusyon.
Kahulugan. Ang determinant, na binubuo ng mga coefficient ng mga hindi alam, ay tinatawag na determinant ng system at tinutukoy ng (delta).
Mga Determinant
ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coefficient sa kaukulang mga hindi alam ng mga libreng termino:
;
.
Teorama ni Cramer. Kung ang determinant ng system ay nonzero, kung gayon ang sistema ng mga linear equation ay may isang solong solusyon, at ang hindi alam ay katumbas ng ratio ng mga determinant. Ang denominator ay ang determinant ng system, at ang numerator ay ang determinant na nakuha mula sa determinant ng system sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coefficient ng hindi alam ng mga libreng termino. Ang teorem na ito ay humahawak para sa isang sistema ng mga linear na equation ng anumang pagkakasunud-sunod.
Halimbawa 1 Lutasin ang sistema ng mga linear na equation:
Ayon kay Teorama ni Cramer meron kami:
Kaya, ang solusyon ng system (2):
online na calculator, paraan ng solusyon ng Cramer.
Tatlong kaso sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation
Tulad ng lumilitaw mula sa Mga teorema ni Cramer, kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation, maaaring mangyari ang tatlong kaso:
Unang kaso: ang sistema ng mga linear equation ay may natatanging solusyon
(ang sistema ay pare-pareho at tiyak)
Pangalawang kaso: ang sistema ng mga linear na equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon
(ang sistema ay pare-pareho at hindi tiyak)
** 
,
mga. ang mga koepisyent ng mga hindi alam at ang mga libreng termino ay proporsyonal.
Pangatlong kaso: ang sistema ng mga linear na equation ay walang mga solusyon
(hindi tugma ang system)
Kaya ang sistema m linear equation na may n variable ay tinatawag hindi magkatugma kung wala itong mga solusyon, at magkadugtong kung mayroon itong kahit isang solusyon. Ang magkasanib na sistema ng mga equation na may isang solusyon lamang ay tinatawag tiyak, at higit sa isa hindi sigurado.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng linear equation sa pamamagitan ng Cramer method
Hayaan ang sistema
.
Batay sa teorama ni Cramer
………….
,
saan 
-
identifier ng system. Ang natitirang mga determinant ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng column ng mga coefficient ng kaukulang variable (hindi kilala) sa mga libreng miyembro:
Halimbawa 2
.
Samakatuwid, ang sistema ay tiyak. Upang mahanap ang solusyon nito, kinakalkula namin ang mga determinant
Sa pamamagitan ng mga pormula ng Cramer ay makikita natin:
Kaya, (1; 0; -1) ang tanging solusyon sa system.
Upang suriin ang mga solusyon ng mga sistema ng mga equation na 3 X 3 at 4 X 4, maaari mong gamitin ang online na calculator, ang paraan ng paglutas ng Cramer.
Kung walang mga variable sa sistema ng mga linear na equation sa isa o higit pang mga equation, pagkatapos ay sa determinant ang mga elemento na naaayon sa kanila ay katumbas ng zero! Ito ang susunod na halimbawa.
Halimbawa 3 Lutasin ang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng Cramer:
.
Desisyon. Nahanap namin ang determinant ng system:
Tingnang mabuti ang sistema ng mga equation at ang determinant ng system at ulitin ang sagot sa tanong kung saan ang isa o higit pang elemento ng determinant ay katumbas ng zero. Kaya, ang determinant ay hindi katumbas ng zero, samakatuwid, ang sistema ay tiyak. Upang mahanap ang solusyon nito, kinakalkula namin ang mga determinant para sa mga hindi alam
Sa pamamagitan ng mga pormula ng Cramer ay makikita natin:
Kaya, ang solusyon ng system ay (2; -1; 1).
Upang suriin ang mga solusyon ng mga sistema ng mga equation na 3 X 3 at 4 X 4, maaari mong gamitin ang online na calculator, ang paraan ng paglutas ng Cramer.
Ibabaw ng Pahina
Patuloy naming nilulutas ang mga system gamit ang paraan ng Cramer nang magkasama
Tulad ng nabanggit na, kung ang determinant ng system ay katumbas ng zero, at ang mga determinant para sa mga hindi alam ay hindi katumbas ng zero, ang sistema ay hindi pare-pareho, iyon ay, wala itong mga solusyon. Ilarawan natin sa sumusunod na halimbawa.
Halimbawa 6 Lutasin ang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng Cramer:
Desisyon. Nahanap namin ang determinant ng system:
Ang determinant ng system ay katumbas ng zero, samakatuwid, ang sistema ng mga linear equation ay alinman sa hindi pare-pareho at tiyak, o hindi pare-pareho, iyon ay, wala itong mga solusyon. Upang linawin, kinakalkula namin ang mga determinant para sa mga hindi alam
Ang mga determinant para sa mga hindi alam ay hindi katumbas ng zero, samakatuwid, ang sistema ay hindi pare-pareho, iyon ay, wala itong mga solusyon.
Upang suriin ang mga solusyon ng mga sistema ng mga equation na 3 X 3 at 4 X 4, maaari mong gamitin ang online na calculator, ang paraan ng paglutas ng Cramer.
Sa mga problema sa mga sistema ng linear equation, mayroon ding mga kung saan, bilang karagdagan sa mga titik na nagsasaad ng mga variable, mayroon ding iba pang mga titik. Ang mga titik na ito ay kumakatawan sa ilang numero, kadalasan ay totoong numero. Sa pagsasagawa, ang mga naturang equation at sistema ng mga equation ay humahantong sa mga problema upang mahanap ang mga pangkalahatang katangian ng anumang phenomena at mga bagay. Iyon ay, nag-imbento ka ng ilang bagong materyal o aparato, at upang ilarawan ang mga katangian nito, na karaniwan anuman ang laki o bilang ng mga kopya, kailangan mong lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation, kung saan sa halip na ilang mga coefficient para sa mga variable ay may mga titik. Hindi mo kailangang tumingin sa malayo para sa mga halimbawa.
Ang susunod na halimbawa ay para sa isang katulad na problema, tanging ang bilang ng mga equation, variable, at titik na nagsasaad ng ilang tunay na numero ay tumataas.
Halimbawa 8 Lutasin ang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng Cramer:
Desisyon. Nahanap namin ang determinant ng system:
Paghahanap ng mga determinant para sa mga hindi alam
Hayaang maglaman ang sistema ng mga linear equation ng kasing dami ng bilang ng mga independent variable, i.e. may porma
Ang ganitong mga sistema ng linear equation ay tinatawag na quadratic. Ang determinant na binubuo ng mga coefficient ng mga independiyenteng variable ng system (1.5) ay tinatawag na pangunahing determinant ng system. Ipakikilala natin ito sa letrang Griyego na D. Kaya,
. (1.6)
Kung sa pangunahing determinant ay isang arbitrary ( j ika) column, palitan ito ng column ng mga libreng miyembro ng system (1.5), pagkatapos ay makakakuha tayo ng higit pa n pantulong na pantukoy:
(j = 1, 2, …, n). (1.7)
Ang panuntunan ni Cramer ang paglutas ng mga quadratic system ng linear equation ay ang mga sumusunod. Kung ang pangunahing determinant D ng system (1.5) ay nonzero, kung gayon ang system ay may natatanging solusyon, na makikita ng mga formula:
(1.8)
Halimbawa 1.5. Lutasin ang sistema ng mga equation gamit ang pamamaraan ni Cramer
.
Kalkulahin natin ang pangunahing determinant ng system:
Mula noong D¹0, ang system ay may natatanging solusyon na makikita gamit ang mga formula (1.8):
kaya,
Matrix Actions
1. Pagpaparami ng isang matrix sa isang numero. Ang operasyon ng pagpaparami ng isang matrix sa isang numero ay tinukoy bilang mga sumusunod.
2. Upang ma-multiply ang isang matrix sa isang numero, kailangan mong i-multiply ang lahat ng elemento nito sa numerong ito. I.e
. (1.9)
Halimbawa 1.6. 
.
Pagdaragdag ng matrix.
Ang operasyong ito ay ipinakilala lamang para sa mga matrice ng parehong pagkakasunud-sunod.
Upang magdagdag ng dalawang matrice, kinakailangang idagdag ang mga kaukulang elemento ng kabilang matrix sa mga elemento ng isang matrix:
(1.10)
Ang operasyon ng matrix addition ay may mga katangian ng associativity at commutativity.
Halimbawa 1.7. 
.
Pagpaparami ng matrix.
Kung ang bilang ng mga matrix column PERO tumutugma sa bilang ng mga row ng matrix AT, pagkatapos ay para sa gayong mga matrice ang pagpapatakbo ng multiplikasyon ay ipinakilala:
2 
Kaya, kapag nagpaparami ng matrix PERO mga sukat m´ n sa matrix AT mga sukat n´ k nakakakuha tayo ng matrix Sa mga sukat m´ k. Sa kasong ito, ang mga elemento ng matrix Sa ay kinakalkula ayon sa mga sumusunod na formula:
Suliranin 1.8. Hanapin, kung maaari, ang produkto ng mga matrice AB at BA:
Desisyon. 1) Upang makahanap ng trabaho AB, kailangan mo ng mga matrix row A i-multiply sa mga column ng matrix B:
2) Artwork BA ay hindi umiiral, dahil ang bilang ng mga haligi ng matrix B hindi tumutugma sa bilang ng mga matrix row A.
Baliktad na matris. Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa paraang matrix
Matrix a- 1 ay tinatawag na kabaligtaran ng isang square matrix PERO kung ang pagkakapantay-pantay ay hawak:
kung saan saan ako nagsasaad ng identity matrix ng parehong pagkakasunod-sunod ng matrix PERO:
.
Para magkaroon ng inverse ang isang square matrix, kinakailangan at sapat na ang determinant nito ay nonzero. Ang inverse matrix ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
, (1.13)
saan Isang ij- algebraic na pagdaragdag sa mga elemento aij matrice PERO(tandaan na ang mga algebraic na pagdaragdag sa mga hilera ng matrix PERO ay nakaayos sa inverse matrix sa anyo ng kaukulang mga column).
Halimbawa 1.9. Maghanap ng inverse matrix a- 1 hanggang matrix
.
Nahanap namin ang inverse matrix sa pamamagitan ng formula (1.13), na para sa kaso n= 3 mukhang:
.
Hanapin natin si det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Dahil ang determinant ng orihinal na matrix ay naiiba sa zero, kung gayon ang inverse matrix ay umiiral.
1) Maghanap ng mga algebraic na karagdagan Isang ij:
Para sa kaginhawaan ng paghahanap ng inverse matrix, inilagay namin ang algebraic na mga karagdagan sa mga hilera ng orihinal na matrix sa mga kaukulang column.
Mula sa nakuhang algebraic na mga karagdagan, bumubuo kami ng bagong matrix at hinahati ito sa determinant det A. Kaya, makukuha natin ang inverse matrix:
Ang mga quadratic system ng mga linear equation na may non-zero principal determinant ay malulutas gamit ang inverse matrix. Para dito, ang system (1.5) ay nakasulat sa matrix form:
saan 
Pagpaparami ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay (1.14) sa kaliwa ng a- 1 , nakukuha namin ang solusyon ng system:
, saan
Kaya, upang makahanap ng solusyon sa isang square system, kailangan mong hanapin ang inverse matrix sa pangunahing matrix ng system at i-multiply ito sa kanan ng column matrix ng mga libreng termino.
Suliranin 1.10. Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation
gamit ang inverse matrix.
Desisyon. Isinulat namin ang system sa matrix form: ,
saan 
ay ang pangunahing matrix ng system, ay ang column ng mga hindi alam, at ang column ng mga libreng termino. Dahil ang pangunahing determinant ng system 
, pagkatapos ay ang pangunahing matrix ng system PERO may inverse matrix PERO-isa. Upang mahanap ang inverse matrix PERO-1 , kalkulahin ang algebraic complements sa lahat ng elemento ng matrix PERO:
Mula sa nakuha na mga numero, bumubuo kami ng isang matrix (at saka, ang mga algebraic na pagdaragdag sa mga hilera ng matrix PERO isulat sa naaangkop na mga hanay) at hatiin ito sa determinant na D. Kaya, nakita namin ang inverse matrix:
Ang solusyon ng system ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula (1.15):
kaya,
Paglutas ng mga System ng Linear Equation sa pamamagitan ng Ordinary Jordan Exceptions
Hayaang magbigay ng isang arbitrary (hindi kinakailangang parisukat) na sistema ng mga linear na equation:
(1.16)
Kinakailangang maghanap ng solusyon sa system, i.e. tulad ng isang hanay ng mga variable na nakakatugon sa lahat ng pagkakapantay-pantay ng system (1.16). Sa pangkalahatang kaso, ang system (1.16) ay maaaring magkaroon ng hindi lamang isang solusyon, kundi pati na rin ng isang walang katapusang bilang ng mga solusyon. Maaaring wala rin itong mga solusyon.
Kapag nilulutas ang mga naturang problema, ang kilalang paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam mula sa kurso ng paaralan, na tinatawag ding paraan ng ordinaryong pag-aalis ng Jordanian, ay ginagamit. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay nakasalalay sa katotohanan na sa isa sa mga equation ng system (1.16) ang isa sa mga variable ay ipinahayag sa mga tuntunin ng iba pang mga variable. Pagkatapos ang variable na ito ay pinapalitan sa ibang mga equation ng system. Ang resulta ay isang sistema na naglalaman ng isang equation at isang mas kaunting variable kaysa sa orihinal na sistema. Ang equation kung saan ipinahayag ang variable ay naaalala.
Ang prosesong ito ay paulit-ulit hanggang ang isang huling equation ay mananatili sa system. Sa proseso ng pag-aalis ng mga hindi alam, ang ilang mga equation ay maaaring maging tunay na pagkakakilanlan, halimbawa. Ang mga naturang equation ay hindi kasama sa system, dahil ang mga ito ay wasto para sa anumang mga halaga ng mga variable at, samakatuwid, ay hindi nakakaapekto sa solusyon ng system. Kung, sa proseso ng pag-aalis ng mga hindi alam, ang hindi bababa sa isang equation ay naging isang pagkakapantay-pantay na hindi masisiyahan para sa anumang mga halaga ng mga variable (halimbawa, ), pagkatapos ay napagpasyahan namin na ang sistema ay walang solusyon.
Kung sa kurso ng paglutas ng hindi pantay na mga equation ay hindi lumabas, kung gayon ang isa sa mga natitirang mga variable dito ay matatagpuan mula sa huling equation. Kung isang variable lamang ang nananatili sa huling equation, ito ay ipinahayag bilang isang numero. Kung ang ibang mga variable ay mananatili sa huling equation, kung gayon ang mga ito ay itinuturing na mga parameter, at ang variable na ipinahayag sa pamamagitan ng mga ito ay magiging isang function ng mga parameter na ito. Pagkatapos ay ginawa ang tinatawag na "reverse move". Ang nahanap na variable ay pinapalitan sa huling kabisadong equation at ang pangalawang variable ay matatagpuan. Pagkatapos ang dalawang nahanap na variable ay pinapalitan sa penultimate memorized equation at ang ikatlong variable ay matatagpuan, at iba pa, hanggang sa unang kabisadong equation.
Bilang resulta, nakukuha namin ang solusyon ng system. Ang solusyon na ito ay magiging isa lamang kung ang mga nahanap na variable ay mga numero. Kung ang unang nahanap na variable, at pagkatapos ang lahat ng iba ay nakasalalay sa mga parameter, ang system ay magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyon (bawat hanay ng mga parameter ay tumutugma sa isang bagong solusyon). Ang mga formula na nagpapahintulot sa paghahanap ng solusyon sa system depende sa isang partikular na hanay ng mga parameter ay tinatawag na pangkalahatang solusyon ng system.
Halimbawa 1.11.
x
Pagkatapos kabisaduhin ang unang equation 
at nagdadala ng mga katulad na termino sa pangalawa at pangatlong equation, dumating tayo sa system:
Express y mula sa pangalawang equation at palitan ito sa unang equation:
Alalahanin ang pangalawang equation, at mula sa una ay makikita natin z:
Ang paggawa ng reverse move, sunud-sunod naming nahanap y at z. Upang gawin ito, pinapalitan muna namin ang huling kabisadong equation , kung saan matatagpuan namin y:
.
Pagkatapos ay pinapalitan namin at sa unang kabisadong equation mula sa kung saan namin mahanap x:
Suliranin 1.12. Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pag-aalis ng mga hindi alam:
. (1.17)
Desisyon. Ipahayag natin ang variable mula sa unang equation x at palitan ito sa pangalawa at pangatlong equation:
.
Tandaan ang unang equation 
Sa sistemang ito, ang una at pangalawang equation ay sumasalungat sa isa't isa. Sa katunayan, nagpapahayag y 
, nakukuha natin na 14 = 17. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay hindi nasisiyahan, para sa anumang mga halaga ng mga variable x, y, at z. Dahil dito, ang sistema (1.17) ay hindi pare-pareho, ibig sabihin, walang solusyon.
Iniimbitahan ang mga mambabasa na independyenteng i-verify na ang pangunahing determinant ng orihinal na system (1.17) ay katumbas ng zero.
Isaalang-alang ang isang sistema na naiiba sa system (1.17) sa pamamagitan lamang ng isang libreng termino.
Suliranin 1.13. Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pag-aalis ng mga hindi alam:
. (1.18)
Desisyon. Tulad ng dati, ipinapahayag namin ang variable mula sa unang equation x at palitan ito sa pangalawa at pangatlong equation:
.
Tandaan ang unang equation at ipinapakita namin ang mga katulad na termino sa pangalawa at pangatlong equation. Dumating kami sa sistema:
pagpapahayag y mula sa unang equation at pinapalitan ito sa pangalawang equation , nakuha namin ang pagkakakilanlan 14 = 14, na hindi nakakaapekto sa solusyon ng system, at, samakatuwid, maaari itong ibukod mula sa system.
Sa huling kabisadong pagkakapantay-pantay, ang variable z ay ituturing bilang isang parameter. Naniniwala kami . Pagkatapos
Kapalit y at z sa unang kabisadong pagkakapantay-pantay at hanapin x:
.
Kaya, ang system (1.18) ay may walang katapusang hanay ng mga solusyon, at anumang solusyon ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga formula (1.19) sa pamamagitan ng pagpili ng arbitraryong halaga ng parameter. t:
(1.19)
Kaya, ang mga solusyon ng system, halimbawa, ay ang mga sumusunod na hanay ng mga variable (1; 2; 0), (2; 26; 14), atbp. Ang mga formula (1.19) ay nagpapahayag ng pangkalahatang (anumang) solusyon ng system (1.18). ).
Sa kaso kapag ang orihinal na sistema (1.16) ay may sapat na malaking bilang ng mga equation at hindi alam, ang ipinahiwatig na paraan ng ordinaryong pag-aalis ng Jordan ay tila mahirap. Gayunpaman, hindi ito. Ito ay sapat na upang makuha ang algorithm para sa muling pagkalkula ng mga coefficient ng system sa isang hakbang sa isang pangkalahatang anyo at gawing pormal ang solusyon ng problema sa anyo ng mga espesyal na talahanayan ng Jordan.
Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear na anyo (equation):
, (1.20)
saan xj- mga independiyenteng (nais na) variable, aij- pare-pareho ang mga coefficient
(ako = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Mga tamang bahagi ng system y i (ako = 1, 2,…, m) ay maaaring parehong variable (depende) at constants. Kinakailangang maghanap ng mga solusyon sa sistemang ito sa pamamagitan ng pag-aalis ng mga hindi alam.
Isaalang-alang natin ang sumusunod na operasyon, pagkatapos ay tinutukoy bilang "isang hakbang ng mga ordinaryong pagbubukod sa Jordan". Mula sa isang arbitrary ( r th) pagkakapantay-pantay, nagpapahayag kami ng isang di-makatwirang variable ( x s) at palitan sa lahat ng iba pang pagkakapantay-pantay. Siyempre, ito ay posible lamang kung isang rs¹ 0. Coefficient isang rs ay tinatawag na paglutas (kung minsan ay gumagabay o pangunahing) elemento.
Makukuha natin ang sumusunod na sistema:
. (1.21)
Mula sa s ika-pantay ng sistema (1.21), hahanapin natin ang variable x s(pagkatapos mahanap ang iba pang mga variable). S Ang ika-linya ay naaalala at pagkatapos ay hindi kasama sa system. Ang natitirang sistema ay maglalaman ng isang equation at isang mas kaunting independent variable kaysa sa orihinal na sistema.
Kalkulahin natin ang mga coefficient ng nagresultang sistema (1.21) sa mga tuntunin ng mga coefficient ng orihinal na sistema (1.20). Magsimula tayo sa r ika equation, na, pagkatapos ipahayag ang variable x s sa iba pang mga variable ay magiging ganito:
Kaya, ang mga bagong coefficient r ang equation ay kinakalkula ng mga sumusunod na formula:
(1.23)
Kalkulahin natin ngayon ang mga bagong coefficient b ij(i¹ r) ng isang arbitrary na equation. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang variable na ipinahayag sa (1.22) x s sa i ika equation ng system (1.20):
Pagkatapos magdala ng mga katulad na termino, makukuha natin:
(1.24)
Mula sa pagkakapantay-pantay (1.24) nakakakuha tayo ng mga formula kung saan kinakalkula ang natitirang mga koepisyent ng system (1.21) (maliban sa r ika-equation):
(1.25)
Ang pagbabagong-anyo ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng ordinaryong Jordanian eliminations ay ipinakita sa anyo ng mga talahanayan (matrices). Ang mga talahanayang ito ay tinatawag na "Jordan tables".
Kaya, ang problema (1.20) ay nauugnay sa sumusunod na talahanayan ng Jordan:
Talahanayan 1.1
| x 1 | x 2 | … | xj | … | x s | … | x n | |
| y 1 = | a 11 | a 12 | a 1j | a 1s | a 1n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y i= | a i 1 | a i 2 | aij | a ay | isang in | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y r= | isang r 1 | isang r 2 | isang rj | isang rs | isang rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n= | isang m 1 | isang m 2 | isang mj | isang ms | amn |
Ang talahanayan ng Jordan 1.1 ay naglalaman ng kaliwang head column, kung saan nakasulat ang mga kanang bahagi ng system (1.20), at ang tuktok na head line, kung saan nakasulat ang mga independent variable.
Ang natitirang mga elemento ng talahanayan ay bumubuo sa pangunahing matrix ng mga coefficient ng system (1.20). Kung i-multiply natin ang matrix PERO sa matrix na binubuo ng mga elemento ng hilera sa itaas na header, pagkatapos ay makuha namin ang matrix na binubuo ng mga elemento ng kaliwang haligi ng header. Iyon ay, sa esensya, ang talahanayan ng Jordan ay isang matrix na anyo ng pagsulat ng isang sistema ng mga linear na equation: . Sa kasong ito, ang sumusunod na talahanayan ng Jordan ay tumutugma sa system (1.21):
Talahanayan 1.2
| x 1 | x 2 | … | xj | … | y r | … | x n | |
| y 1 = | b 11 | b 12 | b 1 j | b 1 s | b 1 n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y i = | b i 1 | b i 2 | b ij | b ay | b sa | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| x s = | br 1 | br 2 | b rj | brs | b rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n = | b m 1 | b m 2 | bmj | b ms | bmn |
Permissive na elemento isang rs i-highlight natin nang naka-bold. Alalahanin na upang maipatupad ang isang hakbang ng mga pagbubukod sa Jordan, ang elemento ng paglutas ay dapat na nonzero. Ang isang table row na naglalaman ng permissive element ay tinatawag na permissive row. Ang column na naglalaman ng enable element ay tinatawag na enable column. Kapag lumipat mula sa isang ibinigay na talahanayan patungo sa susunod na talahanayan, isang variable ( x s) mula sa tuktok na hilera ng header ng talahanayan ay inilipat sa kaliwang hanay ng header at, sa kabaligtaran, isa sa mga libreng miyembro ng system ( y r) ay inililipat mula sa kaliwang hanay ng header ng talahanayan patungo sa hilera sa tuktok na header.
Ilarawan natin ang algorithm para sa muling pagkalkula ng mga coefficient sa pagpasa mula sa talahanayan ng Jordan (1.1) patungo sa talahanayan (1.2), na sumusunod mula sa mga formula (1.23) at (1.25).
1. Ang elementong nagpapagana ay pinapalitan ng kabaligtaran na numero:
2. Ang natitirang mga elemento ng permissive line ay hinati sa permissive element at change sign sa kabaligtaran: 
3. Ang natitirang mga elemento ng column na nagpapagana ay nahahati sa elementong nagpapagana: 
4. Ang mga elementong hindi kasama sa hanay ng paglutas at hanay ng paglutas ay muling kinakalkula ayon sa mga formula: 
Ang huling formula ay madaling matandaan kung mapapansin mo na ang mga elementong bumubuo sa fraction 
, ay nasa intersection i-oh at r-ika linya at j ika at s-th column (paglutas ng row, pagresolba ng column at ang row at column sa intersection kung saan matatagpuan ang elementong kakalkulahin muli). Mas tiyak, kapag isinasaulo ang formula 
maaari mong gamitin ang sumusunod na tsart:
Ang pagsasagawa ng unang hakbang ng Jordanian exceptions, anumang elemento ng Table 1.3 na matatagpuan sa mga column x 1 ,…, x 5 (lahat ng tinukoy na elemento ay hindi katumbas ng zero). Hindi mo lang dapat piliin ang nagpapagana na elemento sa huling column, dahil Kailangang maghanap ng mga independiyenteng variable x 1 ,…, x 5 . Pinipili namin, halimbawa, ang koepisyent 1 na may variable x 3 sa ikatlong hilera ng talahanayan 1.3 (ipinapakita nang bold ang elementong nagpapagana). Kapag lumipat sa talahanayan 1.4, ang variable x Ang 3 mula sa itaas na hilera ng header ay pinapalitan ng pare-parehong 0 ng kaliwang column ng header (ikatlong hilera). Kasabay nito, ang variable x 3 ay ipinahayag sa mga tuntunin ng natitirang mga variable.
string x 3 (Talahanayan 1.4) ay maaaring, na naalala, ay hindi kasama sa Talahanayan 1.4. Ibinubukod din ng talahanayan 1.4 ang ikatlong column na may zero sa itaas na linya ng header. Ang punto ay anuman ang mga coefficient ng column na ito b i 3 lahat ng mga termino na naaayon dito ng bawat equation 0 b i 3 sistema ay magiging katumbas ng zero. Samakatuwid, ang mga coefficient na ito ay hindi maaaring kalkulahin. Pag-aalis ng isang variable x 3 at naaalala ang isa sa mga equation, nakarating kami sa isang sistema na naaayon sa Talahanayan 1.4 (na may linyang naka-cross out x 3). Pagpili sa talahanayan 1.4 bilang isang elemento ng paglutas b 14 = -5, pumunta sa talahanayan 1.5. Sa talahanayan 1.5, naaalala namin ang unang hilera at ibinubukod ito mula sa talahanayan kasama ang ikaapat na hanay (na may zero sa itaas).
Talahanayan 1.5 Talahanayan 1.6
Mula sa huling talahanayan 1.7 nakita namin: x 1 = - 3 + 2x 5 .
Sunud-sunod na pinapalitan ang mga nahanap na variable sa mga kabisadong linya, makikita natin ang natitirang mga variable:
Kaya, ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. variable x 5 , maaari kang magtalaga ng mga arbitrary na halaga. Ang variable na ito ay gumaganap bilang isang parameter x 5 = t. Napatunayan namin ang pagiging tugma ng system at natagpuan ang pangkalahatang solusyon nito:
x 1 = - 3 + 2t
x 2 = - 1 - 3t
x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t
x 5 = t
Pagbibigay ng parameter t magkaibang mga halaga, nakakakuha tayo ng walang katapusang bilang ng mga solusyon sa orihinal na sistema. Kaya, halimbawa, ang solusyon ng system ay ang sumusunod na hanay ng mga variable (- 3; - 1; - 2; 4; 0).
