Aralin at presentasyon sa mga paksa: "Arxine. Arcsine table. Formula y=arcsin(x)"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga manual at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 10 mula 1C
Kapaligiran ng software "1C: Mathematical constructor 6.1"
Niresolba namin ang mga problema sa geometry. Mga interactive na gawain para sa pagbuo sa espasyo

Ano ang ating pag-aaralan:
1. Ano ang arcsine?
2. Pagtatalaga ng arcsine.
3. Kaunting kasaysayan.
4. Kahulugan.

6. Mga halimbawa.

Ano ang arcsine?

Guys, natutunan na natin kung paano i-solve ang mga equation para sa cosine, ngayon alamin natin kung paano i-solve ang mga katulad na equation para sa sine. Isaalang-alang ang sin(x)= √3/2. Upang malutas ang equation na ito, kailangan mong bumuo ng isang tuwid na linya y= √3/2 at tingnan: sa anong mga punto ito bumabagtas sa bilog ng numero. Makikita na ang linya ay nag-intersect sa bilog sa dalawang punto F at G. Ang mga puntong ito ang magiging solusyon sa ating equation. Palitan ang pangalan ng F bilang x1 at G bilang x2. Natagpuan na namin ang solusyon sa equation na ito at nakuha: x1= π/3 + 2πk,
at x2= 2π/3 + 2πk.

Ang paglutas ng equation na ito ay medyo simple, ngunit kung paano lutasin, halimbawa, ang equation
sin(x)=5/6. Malinaw, ang equation na ito ay magkakaroon din ng dalawang ugat, ngunit anong mga halaga ang tumutugma sa solusyon sa bilog ng numero? Tingnan natin ang ating sin(x)=5/6 equation.
Ang solusyon sa aming equation ay magiging dalawang puntos: F= x1 + 2πk at G= x2 ​​​​+ 2πk,
kung saan ang x1 ay ang haba ng arc AF, ang x2 ay ang haba ng arc AG.
Tandaan: x2= π - x1, dahil AF= AC - FC, ngunit FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Ngunit ano ang mga tuldok na ito?

Nahaharap sa isang katulad na sitwasyon, ang mga mathematician ay nakabuo ng isang bagong simbolo - arcsin (x). Ito ay nagbabasa tulad ng isang arcsine.

Pagkatapos ang solusyon ng ating equation ay isusulat tulad ng sumusunod: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

At ang pangkalahatang solusyon: x= arcsin(5/6) + 2πk at x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Ang arcsine ay ang anggulo (haba ng arko AF, AG) sine, na katumbas ng 5/6.

Isang kaunting kasaysayan ng arcsine

Ang kasaysayan ng pinagmulan ng ating simbolo ay eksaktong kapareho ng sa arccos. Sa unang pagkakataon, lumilitaw ang simbolo ng arcsin sa mga gawa ng mathematician na si Scherfer at ng sikat na French scientist na si J.L. Lagrange. Medyo mas maaga, ang konsepto ng arcsine ay isinasaalang-alang ni D. Bernuli, kahit na isinulat niya ito kasama ng iba pang mga simbolo.

Ang mga simbolo na ito ay naging pangkalahatang tinanggap lamang sa pagtatapos ng ika-18 siglo. Ang prefix na "arc" ay nagmula sa Latin na "arcus" (bow, arc). Ito ay medyo pare-pareho sa kahulugan ng konsepto: ang arcsin x ay isang anggulo (o maaari mong sabihin na isang arko), ang sine kung saan ay katumbas ng x.

Kahulugan ng arcsine

Kung |а|≤ 1, ang arcsin(a) ay isang numero mula sa pagitan [- π/2; π/2], na ang sine ay a.

Kung |a|≤ 1, ang equation na sin(x)= a ay may solusyon: x= arcsin(a) + 2πk at
x= π - arcsin(a) + 2πk

Muli nating isulat:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Guys, tingnan mong mabuti ang aming dalawang solusyon. Ano sa palagay mo: maaari ba silang isulat sa isang pangkalahatang pormula? Tandaan na kung mayroong plus sign bago ang arcsine, ang π ay i-multiply sa isang even number na 2πk, at kung ang sign ay minus, ang multiplier ay odd na 2k+1.
Sa pag-iisip na ito, isinusulat namin ang pangkalahatang formula ng solusyon para sa equation na sin(x)=a:

Mayroong tatlong mga kaso kung saan mas gustong magsulat ng mga solusyon sa mas simpleng paraan:

sin(x)=0, pagkatapos x= πk,

sin(x)=1, pagkatapos x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, pagkatapos x= -π/2 + 2πk.

Para sa anumang -1 ≤ a ≤ 1, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay taglay: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Sumulat tayo ng isang talahanayan ng mga halaga ng cosine sa kabaligtaran at kumuha ng talahanayan para sa arcsine.

Mga halimbawa

1. Kalkulahin: arcsin(√3/2).
Solusyon: Hayaan ang arcsin(√3/2)= x, pagkatapos ay sin(x)= √3/2. Ayon sa kahulugan: - π/2 ≤x≤ π/2. Tingnan natin ang mga halaga ng sine sa talahanayan: x= π/3, dahil sin(π/3)= √3/2 at –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Sagot: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Kalkulahin: arcsin(-1/2).
Solusyon: Hayaan ang arcsin(-1/2)= x, pagkatapos ay sin(x)= -1/2. Ayon sa kahulugan: - π/2 ≤x≤ π/2. Tingnan natin ang mga halaga ng sine sa talahanayan: x= -π/6, dahil sin(-π/6)= -1/2 at -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Sagot: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Kalkulahin: arcsin(0).
Solusyon: Hayaan ang arcsin(0)= x, pagkatapos ay sin(x)= 0. Sa pamamagitan ng kahulugan: - π/2 ≤x≤ π/2. Tingnan natin ang mga halaga ng sine sa talahanayan: nangangahulugan ito ng x = 0, dahil sin(0)= 0 at - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Sagot: arcsin(0)=0.

4. Lutasin ang equation: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk at x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Tingnan natin ang halaga sa talahanayan: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Sagot: x= -π/4 + 2πk at x= 5π/4 + 2πk.

5. Lutasin ang equation: sin(x) = 0.
Solusyon: Gamitin natin ang kahulugan, pagkatapos ay isusulat ang solusyon sa form:
x= arcsin(0) + 2πk at x= π - arcsin(0) + 2πk. Tingnan natin ang halaga sa talahanayan: arcsin(0)= 0.
Sagot: x= 2πk at x= π + 2πk

6. Lutasin ang equation: sin(x) = 3/5.
Solusyon: Gamitin natin ang kahulugan, pagkatapos ay isusulat ang solusyon sa form:
x= arcsin(3/5) + 2πk at x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Sagot: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na sin(x) Solusyon: Ang sine ay ang ordinate ng punto ng numerical na bilog. Kaya: kailangan nating hanapin ang mga naturang punto, ang ordinate nito ay mas mababa sa 0.7. Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya y=0.7. Bina-intersect nito ang bilog na numero sa dalawang punto. Hindi pagkakapantay-pantay y Kung gayon ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ay magiging: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Mga problema sa arcsine para sa independiyenteng solusyon

1) Kalkulahin: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0.8).
2) Lutasin ang equation: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0.25,
e) sin(x) = -1.2.
3) Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: a) sin (x)> 0.6, b) sin (x) ≤ 1/2.

Mas maaga, ayon sa programa, ang mga mag-aaral ay nakakuha ng ideya tungkol sa paglutas ng mga trigonometric equation, nakilala ang mga konsepto ng arc cosine at arc sine, mga halimbawa ng mga solusyon sa mga equation na cos t = a at sin t = a. Sa tutorial na ito ng video, isasaalang-alang natin ang solusyon ng mga equation na tg x = a at ctg x = a.

Sa simula ng pag-aaral ng paksang ito, isaalang-alang ang mga equation na tg x = 3 at tg x = - 3. Kung lutasin natin ang equation na tg x = 3 gamit ang isang graph, makikita natin na ang intersection ng mga graph ng mga function na y = tg x at y = 3 ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, kung saan x = x 1 + πk. Ang halaga x 1 ay ang x coordinate ng punto ng intersection ng mga graph ng mga function y = tg x at y = 3. Ipinakilala ng may-akda ang konsepto ng arctangent: ang arctg 3 ay isang numero na ang tg ay 3, at ang numerong ito ay kabilang sa ang pagitan mula -π/2 hanggang π/2. Gamit ang konsepto ng arctangent, ang solusyon ng equation na tan x = 3 ay maaaring isulat bilang x = arctan 3 + πk.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad, nalutas ang equation tg x \u003d - 3. Ayon sa mga itinayong graph ng mga function y \u003d tg x at y \u003d - 3, makikita na ang mga intersection point ng mga graph, at samakatuwid ang mga solusyon ng mga equation, ay magiging x \u003d x 2 + πk. Gamit ang arc tangent, ang solusyon ay maaaring isulat bilang x = arctan (- 3) + πk. Sa sumusunod na figure, makikita natin na arctg (- 3) = - arctg 3.

Ang pangkalahatang kahulugan ng arc tangent ay ang mga sumusunod: ang arc tangent ng a ay isang numero mula sa pagitan mula -π / 2 hanggang π / 2, ang tangent kung saan ay a. Pagkatapos ang solusyon ng equation tg x = a ay x = arctg a + πk.

Ang may-akda ay nagbibigay ng isang halimbawa 1. Maghanap ng isang solusyon sa expression na arctg. Ipakilala natin ang notasyon: ang arc tangent ng numero ay x, at ang tg x ay magiging katumbas ng ibinigay na numero, kung saan ang x ay kabilang sa segment mula sa -π/ 2 hanggang π/2. Tulad ng sa mga halimbawa sa mga nakaraang paksa, gagamit kami ng talahanayan ng mga halaga. Ayon sa talahanayang ito, ang tangent ng numerong ito ay tumutugma sa halagang x = π/3. Isinulat namin ang solusyon sa equation ng arc tangent ng isang naibigay na numero na katumbas ng π / 3, π / 3 ay kabilang din sa pagitan mula -π / 2 hanggang π / 2.

Halimbawa 2 - Kalkulahin ang arc tangent ng isang negatibong numero. Gamit ang equality arctg (- a) = - arctg a, ilagay ang x value. Katulad ng halimbawa 2, isinusulat namin ang halaga ng x, na kabilang sa pagitan mula -π/2 hanggang π/2. Ayon sa talahanayan ng mga halaga, nakita namin na x = π/3, samakatuwid, -- tg x = - π/3. Ang sagot sa equation ay - π/3.

Isaalang-alang ang Halimbawa 3. Lutasin natin ang equation tan x = 1. Isulat natin na x = arctan 1 + πk. Sa talahanayan, ang halaga ng tg 1 ay tumutugma sa halaga x \u003d π / 4, samakatuwid, arctg 1 \u003d π / 4. Ipalit ang halagang ito sa orihinal na formula x at isulat ang sagot x = π/4 + πk.

Halimbawa 4: kalkulahin ang tg x = - 4.1. Sa kasong ito, x = arctg (- 4.1) + πk. kasi hindi posible na mahanap ang halaga ng arctg sa kasong ito, ang sagot ay magmumukhang x = arctg (- 4.1) + πk.

Isinasaalang-alang ng Halimbawa 5 ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay tg x > 1. Upang malutas ito, inilalagay namin ang mga graph ng mga function na y = tg x at y = 1. Gaya ng makikita sa figure, ang mga graph na ito ay nagsalubong sa mga puntong x = π /4 + πk. kasi sa kasong ito, tg x > 1, sa graph pipiliin namin ang lugar ng tangentoid, na nasa itaas ng graph y = 1, kung saan ang x ay kabilang sa pagitan mula π/4 hanggang π/2. Isinulat namin ang sagot bilang π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Susunod, isaalang-alang ang equation ctg x = a. Ang figure ay nagpapakita ng mga graph ng mga function y = ctg x, y = a, y = - a, na mayroong maraming intersection point. Ang mga solusyon ay maaaring isulat bilang x = x 1 + πk, kung saan x 1 = arcctg a at x = x 2 + πk, kung saan x 2 = arcctg (- a). Napansin na x 2 \u003d π - x 1. Ito ay nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay arcctg (- a) = π - arcctg a. Dagdag pa, ang kahulugan ng arc cotangent ay ibinigay: ang arc cotangent ng a ay tulad ng isang numero mula sa pagitan mula 0 hanggang π, na ang cotangent ay katumbas ng a. Ang solusyon ng equation na сtg x = a ay nakasulat bilang: x = arcctg a + πk.

Sa pagtatapos ng aralin sa video, isa pang mahalagang konklusyon ang ginawa - ang expression na ctg x = a ay maaaring isulat bilang tg x = 1/a, sa kondisyon na ang a ay hindi katumbas ng zero.

INTERPRETASYON NG TEKSTO:

Isaalang-alang ang solusyon ng mga equation tg x \u003d 3 at tg x \u003d - 3. Ang paglutas ng unang equation sa graphically, nakikita namin na ang mga graph ng mga function y \u003d tg x at y \u003d 3 ay may walang katapusan na maraming mga intersection point, ang abscissas na isinusulat namin sa anyo

x \u003d x 1 + πk, kung saan ang x 1 ay ang abscissa ng punto ng intersection ng linya y \u003d 3 kasama ang pangunahing sangay ng tangentoid (Larawan 1), kung saan naimbento ang pagtatalaga

arctan 3 (arc tangent ng tatlo).

Paano maintindihan ang arctg 3?

Ito ay isang numero na ang tangent ay 3 at ang numerong ito ay kabilang sa pagitan (-;). Pagkatapos ang lahat ng mga ugat ng equation tg x \u003d 3 ay maaaring isulat ng formula x \u003d arctan 3 + πk.

Katulad nito, ang solusyon ng equation tg x \u003d - 3 ay maaaring isulat bilang x \u003d x 2 + πk, kung saan ang x 2 ay ang abscissa ng punto ng intersection ng linya y \u003d - 3 kasama ang pangunahing sangay ng tangentoid (Fig. 1), kung saan ang pagtatalaga arctg (- 3) (arct tangent minus tatlo). Pagkatapos ang lahat ng mga ugat ng equation ay maaaring isulat ng formula: x \u003d arctg (-3) + πk. Ipinapakita ng figure na arctg(- 3)= - arctg 3.

Bumuo tayo ng kahulugan ng arc tangent. Ang arc tangent a ay isang numero mula sa pagitan (-;), na ang tangent ay katumbas ng a.

Ang pagkakapantay-pantay ay kadalasang ginagamit: arctg(-a) = -arctg a, na wasto para sa alinmang a.

Alam ang kahulugan ng arc tangent, gumuhit kami ng isang pangkalahatang konklusyon tungkol sa solusyon ng equation

tg x \u003d a: ang equation na tg x \u003d a ay may solusyon x \u003d arctg a + πk.

Isaalang-alang ang mga halimbawa.

HALIMBAWA 1. Kalkulahin ang arctg.

Desisyon. Hayaan ang arctg = x, pagkatapos ay tgx = at xϵ (-;). Ipakita ang talahanayan ng mga halaga Samakatuwid, x =, dahil tg = at ϵ (- ;).

Kaya arctg =.

HALIMBAWA 2 Kalkulahin ang arctan (-).

Desisyon. Gamit ang pagkakapantay-pantay arctg (- a) \u003d - arctg a, isinulat namin:

arctg(-) = - arctg . Hayaan - arctg = x, pagkatapos - tgx = at xϵ (-;). Samakatuwid, x =, dahil tg = at ϵ (- ;). Ipakita ang talahanayan ng mga halaga

Kaya - arctg=- tgх= - .

HALIMBAWA 3. Lutasin ang equation tgх = 1.

1. Isulat natin ang formula ng solusyon: x = arctg 1 + πk.

2. Hanapin ang halaga ng arc tangent

dahil tg = . Ipakita ang talahanayan ng mga halaga

Kaya arctg1= .

3. Ilagay ang nahanap na halaga sa formula ng solusyon:

HALIMBAWA 4. Lutasin ang equation tgx \u003d - 4.1 (ang tangent x ay katumbas ng minus apat na punto ng isang ikasampu).

Desisyon. Isulat natin ang formula ng solusyon: x \u003d arctg (- 4.1) + πk.

Hindi namin makalkula ang halaga ng arc tangent, kaya iiwan namin ang solusyon ng equation kung ano ito.

HALIMBAWA 5. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay tgх 1.

Desisyon. Gawin natin ito nang graphical.

1. Bumuo tayo ng tangentoid

y \u003d tgx at isang tuwid na linya y \u003d 1 (Larawan 2). Nagsalubong sila sa mga punto ng anyong x = + πk.

2. Piliin ang pagitan ng x-axis, kung saan ang pangunahing sangay ng tangentoid ay matatagpuan sa itaas ng tuwid na linya y \u003d 1, dahil ayon sa kondisyon tgх 1. Ito ang pagitan (;).

3. Ginagamit namin ang periodicity ng function.

Property 2. y \u003d tg x - isang periodic function na may basic period π.

Isinasaalang-alang ang periodicity ng function y \u003d tgx, isinusulat namin ang sagot:

(;). Ang sagot ay maaaring isulat bilang isang dobleng hindi pagkakapantay-pantay:

Lumipat tayo sa equation na ctg x \u003d a. Magpakita tayo ng isang graphical na paglalarawan ng solusyon ng equation para sa positibo at negatibong a (Larawan 3).

Mga graph ng mga function y \u003d ctg x at y \u003d a at

y=ctg x at y=-a

ay may walang katapusang maraming karaniwang mga punto, ang mga abscissas ay may anyo:

x \u003d x 1 +, kung saan ang x 1 ay ang abscissa ng punto ng intersection ng linya y \u003d a kasama ang pangunahing sangay ng tangentoid at

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 +, kung saan ang x 2 ay ang abscissa ng punto ng intersection ng linya

y \u003d - ngunit may pangunahing sangay ng tangentoid at x 2 \u003d arcсtg (- a).

Tandaan na x 2 \u003d π - x 1. Kaya isulat namin ang mahalagang equation:

arcctg (-a) = π - arcctg a.

Bumuo tayo ng kahulugan: ang arc cotangent ng a ay isang numero mula sa pagitan (0; π) na ang cotangent ay katumbas ng a.

Ang solusyon ng equation na ctg x \u003d a ay nakasulat bilang: x \u003d arcсtg a +.

Tandaan na ang equation na ctg x = a ay maaaring i-convert sa form

tg x = , maliban kung a = 0.

Ano ang arcsine, arccosine? Ano ang arc tangent, arc tangent?

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Sa mga konsepto arcsine, arccosine, arctangent, arccotangent ang populasyon ng mga mag-aaral ay maingat. Hindi niya naiintindihan ang mga terminong ito at, samakatuwid, ay hindi nagtitiwala sa maluwalhating pamilyang ito.) Ngunit walang kabuluhan. Ito ay napakasimpleng mga konsepto. Na kung saan, ginagawang mas madali ang buhay para sa isang taong may kaalaman kapag nilulutas ang mga trigonometric equation!

Nalilito tungkol sa pagiging simple? Walang kabuluhan.) Dito at ngayon ay makukumbinsi ka nito.

Siyempre, para sa pag-unawa, ito ay magandang malaman kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent. Oo, ang kanilang mga halaga ng talahanayan para sa ilang mga anggulo ... Hindi bababa sa mga pinaka-pangkalahatang termino. Pagkatapos ay wala ring magiging problema dito.

Kaya, nagulat kami, ngunit tandaan: arcsine, arccosine, arctangent at arctangent ay ilang mga anggulo lamang. Wala na, walang kulang. May anggulo, sabihin 30°. At may anggulo arcsin0.4. O kaya arctg(-1.3). Mayroong lahat ng uri ng mga anggulo.) Maaari mo lamang isulat ang mga anggulo sa iba't ibang paraan. Maaari mong isulat ang anggulo sa mga degree o radian. O kaya mo - sa pamamagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent nito ...

Ano ang ibig sabihin ng ekspresyon

arcsin 0.4?

Ito ang anggulo na ang sine ay 0.4! Oo Oo. Ito ang kahulugan ng arcsine. Ulitin ko partikular: ang arcsin 0.4 ay isang anggulo na ang sine ay 0.4.

At ayun na nga.

Upang mapanatili ang simpleng pag-iisip na ito sa aking isipan sa mahabang panahon, bibigyan ko pa nga ng isang breakdown ang kakila-kilabot na terminong ito - ang arcsine:

arko kasalanan 0,4
iniksyon, kaninong sine katumbas ng 0.4

Gaya ng nasusulat, gayon din ang naririnig.) Halos. Prefix arko ibig sabihin arko(salita arko alam?), kasi Ang mga sinaunang tao ay gumamit ng mga arko sa halip na mga sulok, ngunit hindi nito binabago ang kakanyahan ng bagay. Tandaan itong elementary decoding ng isang mathematical term! Bukod dito, para sa arc cosine, arc tangent at arc tangent, ang pag-decode ay naiiba lamang sa pangalan ng function.

Ano ang arccos 0.8?
Ito ay isang anggulo na ang cosine ay 0.8.

Ano ang arctan(-1,3) ?
Ito ay isang anggulo na ang padaplis ay -1.3.

Ano ang arcctg 12?
Ito ay isang anggulo na ang cotangent ay 12.

Ang ganitong elementary decoding ay nagbibigay-daan, sa pamamagitan ng paraan, upang maiwasan ang mga epic blunders.) Halimbawa, ang expression na arccos1,8 ay mukhang medyo solid. Magsimula tayo sa pag-decode: Ang arccos1,8 ay isang anggulo na ang cosine ay katumbas ng 1.8... Hop-hop!? 1.8!? Ang cosine ay hindi maaaring higit sa isa!

Tama. Ang expression na arccos1,8 ay walang katuturan. At ang pagsulat ng ganoong ekspresyon sa ilang sagot ay lubos na magpapasaya sa verifier.)

Elementarya, gaya ng makikita mo.) Ang bawat anggulo ay may sariling personal na sine at cosine. At halos lahat ay may sariling tangent at cotangent. Samakatuwid, alam ang trigonometriko function, maaari mong isulat ang anggulo mismo. Para dito, ang mga arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent ay inilaan. Dagdag pa, tatawagin kong maliit ang buong pamilyang ito - mga arko. para mas kaunti ang pag-type.)

Pansin! Elementarya pasalita at mulat Ang pag-decipher sa mga arko ay nagbibigay-daan sa iyo na mahinahon at may kumpiyansa na malutas ang iba't ibang mga gawain. At sa hindi karaniwan mga gawain lamang ang iniligtas niya.

Posible bang lumipat mula sa mga arko patungo sa mga ordinaryong degree o radian?- Nakarinig ako ng maingat na tanong.)

Bakit hindi!? Madali. Maaari kang pumunta doon at bumalik. Bukod dito, kung minsan ay kinakailangan na gawin ito. Ang mga arko ay isang simpleng bagay, ngunit kung wala ang mga ito ay mas kalmado ito, tama?)

Halimbawa: ano ang arcsin 0.5?

Tingnan natin ang decryption: Ang arcsin 0.5 ay ang anggulo na ang sine ay 0.5. Ngayon i-on ang iyong ulo (o Google)) at tandaan kung aling anggulo ang may sine na 0.5? Ang sine ay 0.5 y anggulo ng 30 degrees. Iyon lang ang mayroon dito: Ang arcsin 0.5 ay isang 30° anggulo. Maaari mong ligtas na magsulat:

arcsin 0.5 = 30°

O, mas matatag, sa mga tuntunin ng mga radian:

Iyon lang, maaari mong kalimutan ang tungkol sa arcsine at magtrabaho sa karaniwang mga degree o radian.

Kung napagtanto mo ano ang arcsine, arccosine ... Ano ang arctangent, arccotangent ... Pagkatapos ay madali mong haharapin, halimbawa, ang gayong halimaw.)

Ang isang mangmang na tao ay uurong sa kakila-kilabot, oo ...) At isang may kaalaman tandaan ang decryption: ang arcsine ay ang anggulo na ang sine ay ... Well, at iba pa. Kung alam din ng isang taong may kaalaman ang talahanayan ng mga sine ... Ang talahanayan ng mga cosine. Isang talahanayan ng mga tangent at cotangent, kung gayon walang mga problema sa lahat!

Ito ay sapat na upang isaalang-alang na:

I will decipher, i.e. isalin ang formula sa mga salita: anggulo na ang padaplis ay 1 (arctg1) ay isang 45° anggulo. O, na pareho, Pi/4. Katulad nito:

at iyon lang... Pinapalitan namin ang lahat ng mga arko ng mga halaga sa radians, lahat ay nabawasan, nananatili itong kalkulahin kung magkano ang magiging 1 + 1. Ito ay magiging 2.) Alin ang tamang sagot.

Ito ay kung paano mo (at dapat) lumipat mula sa mga arcsine, arccosine, arctangent at arctangent hanggang sa mga ordinaryong degree at radian. Lubos nitong pinapasimple ang mga nakakatakot na halimbawa!

Kadalasan, sa ganitong mga halimbawa, sa loob ng mga arko ay negatibo mga halaga. Tulad ng, arctg(-1.3), o, halimbawa, arccos(-0.8)... Hindi iyon problema. Narito ang ilang simpleng formula para sa pagpunta mula sa negatibo patungo sa positibo:

Kailangan mo, sabihin, upang matukoy ang halaga ng isang expression:

Maaari mong lutasin ito gamit ang isang trigonometric na bilog, ngunit hindi mo nais na iguhit ito. Well, okay. galing sa negatibo mga halaga sa loob ng arc cosine sa positibo ayon sa pangalawang formula:

Sa loob ng arccosine sa kanan na positibo ibig sabihin. Ano

kailangan mo lang malaman. Ito ay nananatiling palitan ang mga radian sa halip na ang arc cosine at kalkulahin ang sagot:

Iyon lang.

Mga paghihigpit sa arcsine, arccosine, arctangent, arccotangent.

Mayroon bang problema sa mga halimbawa 7 - 9? Well, oo, mayroong ilang trick doon.)

Ang lahat ng mga halimbawang ito, mula ika-1 hanggang ika-9, ay maingat na inayos sa mga istante sa Seksyon 555. Ano, paano at bakit. Sa lahat ng mga lihim na traps at trick. Plus mga paraan upang kapansin-pansing pasimplehin ang solusyon. Sa pamamagitan ng paraan, ang seksyong ito ay naglalaman ng maraming kapaki-pakinabang na impormasyon at praktikal na mga tip sa trigonometrya sa pangkalahatan. At hindi lamang sa trigonometrya. Malaki ang naitutulong.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Arctangent (y = arctg x) ay ang inverse function ng tangent (x = tg y
tg(arctg x) = x
arctg(tg x) = x

Ang arc tangent ay tinukoy bilang mga sumusunod:
.

Arc tangent function graph

Graph ng function na y = arctg x

Ang arctangent plot ay nakuha mula sa tangent plot sa pamamagitan ng pagpapalit ng abscissa at ordinate axes. Upang maalis ang kalabuan, ang hanay ng mga halaga ay nililimitahan ng agwat , kung saan ang pag-andar ay monotoniko. Ang kahulugan na ito ay tinatawag na pangunahing halaga ng arc tangent.

Arc padaplis, arcctg

Arc padaplis (y = arcctg x) ay ang inverse function ng cotangent (x = ctg y). Ito ay may saklaw at isang hanay ng mga halaga.
ctg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x

Ang arc tangent ay tinukoy bilang mga sumusunod:
.

Arc cotangent function graph

Graph ng function na y = arcctg x

Ang plot ng arc tangent ay nakuha mula sa plot ng cotangent sa pamamagitan ng pagpapalitan ng abscissa at ordinate axes. Upang maalis ang kalabuan, ang hanay ng mga halaga ay limitado sa pagitan kung saan ang pag-andar ay monotoniko. Ang ganitong kahulugan ay tinatawag na pangunahing halaga ng arc tangent.

Pagkakapantay-pantay

Ang arctangent function ay kakaiba:
arctan(-x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctg x

Ang arc cotangent function ay hindi pantay o kakaiba:
arcctg(-x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x ≠ ± arcctg x.

Properties - extrema, pagtaas, pagbaba

Ang arctangent at arccotangent function ay tuloy-tuloy sa kanilang domain, iyon ay, para sa lahat ng x. (tingnan ang patunay ng pagpapatuloy). Ang mga pangunahing katangian ng arctangent at arccotangent ay ipinakita sa talahanayan.

	y= arctg x	y= arcctg x
Saklaw at pagpapatuloy	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Maraming halaga
Pataas pababa	tumataas monotonically	bumababa nang monotoniko
Mataas, mababa	Hindi	Hindi
Mga zero, y= 0	x= 0	Hindi
Mga punto ng intersection sa y-axis, x = 0	y= 0	y = π/ 2
	-	π
		0

Talaan ng mga arc tangent at arc tangent

Ipinapakita ng talahanayang ito ang mga halaga ng mga arc tangent at arc tangent, sa mga degree at radian, para sa ilang mga halaga ng argumento.

x	arctg x		arcctg x
	deg.	masaya.	deg.	masaya.
- ∞	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
- 1	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
1	45°		45°
	60°		30°
+ ∞	90°		0°	0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

Mga pormula

Mga formula ng kabuuan at pagkakaiba

sa

sa

sa

sa

sa

sa

Mga expression sa mga tuntunin ng logarithm, kumplikadong mga numero

,
.

Mga expression sa mga tuntunin ng hyperbolic function

Derivatives

Tingnan ang Derivatives ng derivatives ng arctangent at arccotangent > > >

Derivatives ng mas mataas na mga order:
Hayaan . Kung gayon ang nth derivative ng arc tangent ay maaaring katawanin sa isa sa mga sumusunod na paraan:
;
.
Ang simbolo ay nangangahulugan ng haka-haka na bahagi ng sumusunod na expression.

Tingnan ang Derivation ng higher order derivatives ng arc tangent at arc tangent > > >
Ang mga formula para sa mga derivatives ng unang limang order ay ibinibigay din doon.

Katulad din para sa arc tangent. Hayaan . Pagkatapos
;
.

Mga integral

Gumagawa kami ng isang pagpapalit x = tg t at pagsamahin ayon sa mga bahagi:
;
;
;

Ipinapahayag namin ang arc tangent sa pamamagitan ng arc tangent:
.

Pagpapalawak ng serye ng kapangyarihan

Para sa |x| ≤ 1 nagaganap ang sumusunod na pagkabulok:
;
.

Inverse function

Ang inverses ng arctangent at arccotangent ay tangent at cotangent, ayon sa pagkakabanggit.

Ang mga sumusunod na formula ay may bisa sa buong domain ng kahulugan:
tg(arctg x) = x
ctg(arctg x) = x .

Ang mga sumusunod na formula ay may bisa lamang sa hanay ng mga halaga ng arc tangent at arc tangent:
arctg(tg x) = x sa
arcctg(ctg x) = x sa .

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.