Sa araling video na ito, ang paksang "Function y \u003d x 2. Graphical na solusyon ng mga equation. Sa araling ito, makikilala ng mga mag-aaral ang isang bagong paraan ng paglutas ng mga equation - graphical, na batay sa kaalaman sa mga katangian ng mga function graph. Ipapakita sa iyo ng guro kung paano graphical na lutasin ang function na y=x 2 .
Paksa:Function
Aralin:Function. Graphical na solusyon ng mga equation
Ang graphical na solusyon ng mga equation ay batay sa kaalaman ng mga function graph at ang kanilang mga katangian. Inililista namin ang mga function na alam namin ang mga graph:
1), ang graph ay isang tuwid na linya na kahanay ng x-axis, na dumadaan sa isang punto sa y-axis. Isaalang-alang ang isang halimbawa: y=1:
Para sa iba't ibang mga halaga, nakakakuha kami ng isang pamilya ng mga tuwid na linya na kahanay sa x-axis.
2) Direct proportionality function Ang graph ng function na ito ay isang tuwid na linya na dumadaan sa pinanggalingan. Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Nagawa na namin ang mga graph na ito sa mga nakaraang aralin, alalahanin na upang mabuo ang bawat linya, kailangan mong pumili ng isang punto na nakakatugon dito, at kunin ang pinagmulan bilang pangalawang punto.
Alalahanin ang papel ng coefficient k: habang tumataas ang function, ang anggulo sa pagitan ng linya at ang positibong direksyon ng x-axis ay talamak; kapag bumababa ang function, ang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya at ang positibong direksyon ng x-axis ay mahina. Bilang karagdagan, mayroong sumusunod na ugnayan sa pagitan ng dalawang parameter k ng parehong tanda: para sa positibong k, mas malaki ito, mas mabilis na tumataas ang function, at para sa negatibo, mas mabilis na bumababa ang function para sa malalaking halaga ng k modulo.
3) Linear function. Kailan - nakukuha natin ang punto ng intersection sa y-axis at lahat ng linya ng ganitong uri ay dumadaan sa punto (0; m). Bilang karagdagan, habang tumataas ang function, ang anggulo sa pagitan ng linya at ang positibong direksyon ng x-axis ay talamak; kapag bumababa ang function, ang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya at ang positibong direksyon ng x-axis ay mahina. At siyempre, ang halaga ng k ay nakakaapekto sa rate ng pagbabago ng halaga ng function.
4). Ang graph ng function na ito ay isang parabola.
Isaalang-alang ang mga halimbawa.
Halimbawa 1 - graphical na lutasin ang equation:
Hindi namin alam ang mga function ng ganitong uri, kaya kailangan naming baguhin ang ibinigay na equation upang gumana sa mga kilalang function:
Nakakuha kami ng mga pamilyar na function sa parehong bahagi ng equation:
Bumuo tayo ng mga graph ng mga function:
Ang mga graph ay may dalawang intersection point: (-1; 1); (2; 4)
Suriin natin kung ang solusyon ay natagpuan nang tama, palitan ang mga coordinate sa equation:
Ang unang punto ay matatagpuan nang tama.
, 
, , , , ,
Ang pangalawang punto ay matatagpuan din nang tama.
Kaya, ang mga solusyon ng equation ay at
Gumaganap kami nang katulad sa nakaraang halimbawa: binabago namin ang ibinigay na equation sa mga function na kilala sa amin, i-plot ang kanilang mga graph, hanapin ang mga intersection currents, at mula dito ipinapahiwatig namin ang mga solusyon.
Kumuha kami ng dalawang pag-andar:
Bumuo tayo ng mga graph:
Ang mga graph na ito ay walang mga intersection point, na nangangahulugan na ang ibinigay na equation ay walang mga solusyon
Konklusyon: sa araling ito, sinuri namin ang mga function na kilala sa amin at ang kanilang mga graph, naalala ang kanilang mga katangian at isinasaalang-alang ang isang graphical na paraan upang malutas ang mga equation.
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 7. Ika-6 na edisyon. M.: Enlightenment. 2010
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. at iba pa.Algebra 7 .M .: Edukasyon. 2006
Gawain 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. et al. Algebra 7, blg. 494, p. 110;
Gawain 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. at iba pa Algebra 7, No. 495, aytem 110;
Gawain 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. et al. Algebra 7, blg. 496, p. 110;
Hayaang magkaroon ng kumpletong quadratic equation: A*x2+B*x+C=0, kung saan ang A, B at C ay anumang mga numero, at ang A ay hindi katumbas ng zero. Ito ang pangkalahatang kaso ng isang quadratic equation. Mayroon ding pinababang anyo kung saan ang A=1. Upang malutas ang graphical na anumang equation, kailangan mong ilipat ang term na may pinakamataas na antas sa isa pang bahagi at ipantay ang parehong bahagi sa ilang variable.
Pagkatapos nito, ang A * x2 ay mananatili sa kaliwang bahagi ng equation, at ang B * x-C ay mananatili sa kanang bahagi (maaari nating ipagpalagay na ang B ay isang negatibong numero, hindi nito binabago ang kakanyahan). Nakukuha namin ang equation na A*x2=B*x-C=y. Para sa kalinawan, sa kasong ito, ang parehong mga bahagi ay equated sa variable y.
Pag-plot at pagproseso ng mga resulta
Ngayon ay maaari tayong sumulat ng dalawang equation: y=A*x2 at y=B*x-C. Susunod, kailangan mong i-plot ang bawat isa sa mga function na ito. Ang graph na y=A*x2 ay isang parabola na may vertex sa pinanggalingan, na ang mga sanga ay nakadirekta pataas o pababa, depende sa tanda ng numerong A. Kung ito ay negatibo, ang mga sanga ay nakadirekta pababa, kung ito ay positibo - pataas.
Ang graph na y=B*x-C ay isang regular na tuwid na linya. Kung C=0, ang linya ay dumadaan sa pinanggalingan. Sa pangkalahatang kaso, pinuputol nito ang isang segment na katumbas ng C mula sa ordinate axis. Ang anggulo ng inclination ng tuwid na linyang ito na may kaugnayan sa abscissa axis ay tinutukoy ng coefficient B. Ito ay katumbas ng slope ng anggulong ito.
Matapos mabuo ang mga graph, makikita na nagsalubong ang mga ito sa dalawang punto. Ang mga coordinate ng mga puntong ito sa kahabaan ng abscissa ay tumutukoy sa mga ugat ng quadratic equation. Upang tumpak na matukoy ang mga ito, kailangan mong malinaw na bumuo ng mga graph at piliin ang tamang sukat.
Isa pang graphic na solusyon
May isa pang paraan upang graphical na malutas ang isang quadratic equation. Hindi kinakailangang ilipat ang B*x+C sa kabilang panig ng equation. Maaari mong agad na i-plot ang function na y=A*x2+B*x+C. Ang ganitong graph ay isang parabola na may vertex sa isang arbitrary na punto. Ang pamamaraang ito ay mas kumplikado kaysa sa nauna, ngunit maaari ka lamang bumuo ng isang graph upang iyon.
Una kailangan mong matukoy ang vertex ng parabola na may mga coordinate x0 at y0. Ang abscissa nito ay kinakalkula ng formula x0=-B/2*a. Upang matukoy ang ordinate, kailangan mong palitan ang nakuha na halaga ng abscissa sa orihinal na function. Sa matematika, ang pahayag na ito ay nakasulat bilang mga sumusunod: y0=y(x0).
Pagkatapos ay kailangan mong makahanap ng dalawang puntos na simetriko sa axis ng parabola. Sa kanila, ang orihinal na function ay dapat maglaho. Pagkatapos nito, maaari kang bumuo ng isang parabola. Ang mga punto ng intersection nito sa X-axis ay magbibigay ng dalawang ugat ng quadratic equation.
Sa linear programming, isang graphical na paraan ang ginagamit upang matukoy ang convex sets (solusyon polyhedron). Kung ang pangunahing problema sa linear programming ay may pinakamainam na plano, kung gayon ang layunin ng function ay tumatagal ng isang halaga sa isa sa mga vertices ng desisyon polyhedron (tingnan ang figure).
Pagtatalaga ng serbisyo. Gamit ang serbisyong ito, maaari mong lutasin ang problema ng linear programming gamit ang geometric na pamamaraan online, pati na rin makakuha ng solusyon sa dalawahang problema (tantiyahin ang pinakamainam na paggamit ng mga mapagkukunan). Bilang karagdagan, ang isang template ng solusyon ay nilikha sa Excel.
Pagtuturo. Piliin ang bilang ng mga hilera (bilang ng mga limitasyon).
Kung ang bilang ng mga variable ay higit sa dalawa, kinakailangang dalhin ang system sa SZLP (tingnan ang halimbawa at halimbawa No. 2). Kung doble ang pagpilit, halimbawa, 1 ≤ x 1 ≤ 4 , pagkatapos ay nahahati ito sa dalawa: x 1 ≥ 1 , x 1 ≤ 4 (iyon ay, ang bilang ng mga hilera ay tumataas ng 1).Maaari ka ring bumuo ng feasible solution area (DDR) gamit ang serbisyong ito.
Ang mga sumusunod ay ginagamit din sa calculator na ito:
Simplex na paraan para sa paglutas ng LLP
Solusyon sa problema sa transportasyon
Matrix na solusyon sa laro
Gamit ang serbisyo sa online, matutukoy mo ang presyo ng isang matrix game (lower and upper bounds), suriin para sa saddle point, maghanap ng solusyon sa isang halo-halong diskarte gamit ang mga sumusunod na pamamaraan: minimax, simplex method, graphical (geometric) na paraan, Pamamaraan ni Brown.
Extremum ng isang function ng dalawang variable
Limitahan ang Pagkalkula
Ang paglutas ng isang linear na problema sa programming sa pamamagitan ng isang graphical na pamamaraan ay kinabibilangan ng mga sumusunod na hakbang:
- Ang mga linya ay itinayo sa eroplano X 1 0X 2.
- Ang kalahating eroplano ay tinukoy.
- Tukuyin ang isang polygon ng desisyon;
- Bumuo ng vector N(c 1 ,c 2), na nagpapahiwatig ng direksyon ng layunin ng function;
- Ilipat ang direktang layunin na function c 1 x 2 + c 2 x 2= 0 sa direksyon ng vector N hanggang sa matinding punto ng polygon ng solusyon.
- Kalkulahin ang mga coordinate ng punto at ang halaga ng layunin ng function sa puntong ito.
Halimbawa. Ang kumpanya ay gumagawa ng dalawang uri ng mga produkto - P1 at P2. Para sa paggawa ng mga produkto, dalawang uri ng hilaw na materyales ang ginagamit - C1 at C2. Ang pakyawan na presyo ng isang yunit ng produksyon ay katumbas ng: CU 5 para sa P1 at 4 c.u. para sa P2. Ang pagkonsumo ng mga hilaw na materyales sa bawat yunit ng produksyon ng uri P1 at uri P2 ay ibinibigay sa talahanayan.
Talahanayan - Pagkonsumo ng mga hilaw na materyales para sa produksyon
Ito ay kinakailangan upang matukoy:
Ilang produkto ng bawat uri ang dapat gawin ng kumpanya upang mapakinabangan ang kita mula sa pagbebenta ng mga produkto?
- Bumuo ng isang mathematical model ng isang linear programming problem.
- Lutasin ang isang linear na problema sa programming sa graphically (para sa dalawang variable).
Bumuo tayo ng isang mathematical model ng isang linear programming problem.
x 1 - produksyon P1, mga yunit.
x 2 - produksyon ng mga produktong P2, mga yunit.
x 1 , x 2 ≥ 0
Mga limitasyon sa mapagkukunan
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6
Mga limitasyon sa demand
x 1 +1 ≥ x 2
x2 ≤ 2
layunin function
5x1 + 4x2 → max
Pagkatapos ay makuha namin ang sumusunod na LLP:
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6
x 2 - x 1 ≤ 1
x2 ≤ 2
x 1 , x 2 ≥ 0
5x1 + 4x2 → max
Unang antas
Paglutas ng mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, mga sistema gamit ang mga function graph. Gabay sa Visual (2019)
Maraming mga gawain na nakasanayan na nating magkalkula ng puro algebraically ay mas madaling malutas at mas mabilis, ang paggamit ng mga function graph ay makakatulong sa atin dito. Sabi mo "paano kaya?" upang gumuhit ng isang bagay, at ano ang iguguhit? Maniwala ka sa akin, kung minsan ito ay mas maginhawa at mas madali. Magsisimula na ba tayo? Magsimula tayo sa mga equation!
Graphical na solusyon ng mga equation
Graphical na solusyon ng mga linear na equation
Tulad ng alam mo na, ang graph ng isang linear equation ay isang tuwid na linya, kaya ang pangalan ng ganitong uri. Ang mga linear equation ay medyo madaling lutasin sa algebraically - inililipat namin ang lahat ng hindi alam sa isang bahagi ng equation, lahat ng alam namin - sa isa pa, at voila! Natagpuan namin ang ugat. Ngayon ay ipapakita ko sa iyo kung paano ito gagawin graphic na paraan.
Kaya mayroon kang isang equation:
Paano ito lutasin?
Pagpipilian 1, at ang pinakakaraniwan ay ang paglipat ng mga hindi alam sa isang tabi, at ang kilala sa isa pa, nakukuha natin ang:
At ngayon kami ay nagtatayo. Ano ang nakuha mo?
Ano sa palagay mo ang ugat ng ating equation? Tama, ang coordinate ng intersection point ng mga graph:
Ang sagot namin ay
Iyan ang buong karunungan ng graphic na solusyon. Bilang madali mong suriin, ang ugat ng aming equation ay isang numero!
Tulad ng sinabi ko sa itaas, ito ang pinakakaraniwang opsyon, malapit sa algebraic na solusyon, ngunit maaari mo itong lutasin sa ibang paraan. Upang isaalang-alang ang isang alternatibong solusyon, bumalik tayo sa ating equation:
Sa pagkakataong ito, hindi na kami ililipat ng anuman mula sa gilid patungo sa gilid, ngunit gagawa ng mga graph nang direkta, tulad ng mga ito ngayon:
itinayo? Tingnan mo!
Ano ang solusyon sa pagkakataong ito? Lahat tama. Ang parehong ay ang coordinate ng punto ng intersection ng mga graph:
At, muli, ang sagot namin ay .
Tulad ng nakikita mo, sa mga linear na equation, ang lahat ay sobrang simple. Panahon na para isaalang-alang ang isang bagay na mas kumplikado... Halimbawa, graphic na solusyon ng mga quadratic equation.
Graphical na solusyon ng mga quadratic equation
Kaya, ngayon simulan natin ang paglutas ng quadratic equation. Sabihin nating kailangan mong hanapin ang mga ugat ng equation na ito:
Siyempre, maaari ka nang magsimulang magbilang sa pamamagitan ng discriminant, o ayon sa Vieta theorem, ngunit maraming nerves ang nagkakamali kapag nagpaparami o nag-square, lalo na kung ang halimbawa ay may malalaking numero, at, tulad ng alam mo, hindi ka magkakaroon ng calculator sa pagsusulit ... Samakatuwid, subukan nating mag-relax ng kaunti at gumuhit habang nilulutas ang equation na ito.
Sa graphically, ang mga solusyon sa equation na ito ay matatagpuan sa iba't ibang paraan. Isaalang-alang ang iba't ibang mga pagpipilian, at ikaw mismo ang pipili kung alin ang pinakagusto mo.
Paraan 1. Direkta
Bumubuo lang kami ng parabola ayon sa equation na ito:
Upang mapabilis ito, bibigyan kita ng isang maliit na pahiwatig: ito ay maginhawa upang simulan ang konstruksiyon sa pamamagitan ng pagtukoy ng vertex ng parabola. Ang mga sumusunod na formula ay makakatulong na matukoy ang mga coordinate ng vertex ng parabola:
Sabi mo "Tumigil ka! Ang formula para sa ay halos kapareho sa pormula para sa paghahanap ng discriminant na "oo, ito nga, at ito ay isang malaking kawalan ng" direktang "pagbuo ng isang parabola upang mahanap ang mga ugat nito. Gayunpaman, magbilang tayo hanggang sa dulo, at pagkatapos ay ipapakita ko sa iyo kung paano gawin itong mas (mas!) mas madali!
Nagbilang ka ba? Ano ang mga coordinate ng vertex ng parabola? Sabay-sabay nating alamin ito:
Eksaktong parehong sagot? Magaling! At ngayon alam na natin ang mga coordinate ng vertex, at para makabuo ng parabola, kailangan natin ng higit pang ... puntos. Ano sa palagay mo, gaano karaming mga minimum na puntos ang kailangan natin? Tama, .
Alam mo na ang isang parabola ay simetriko sa tuktok nito, halimbawa:
Alinsunod dito, kailangan namin ng dalawa pang punto sa kaliwa o kanang sangay ng parabola, at sa hinaharap ay simetriko naming ipapakita ang mga puntong ito sa kabaligtaran:
Bumalik kami sa aming parabola. Para sa aming kaso, ang punto. Kailangan natin ng dalawa pang puntos, ayon sa pagkakabanggit, maaari ba tayong kumuha ng mga positibo, ngunit maaari ba tayong kumuha ng mga negatibo? Ano ang mga pinakamahusay na puntos para sa iyo? Mas maginhawa para sa akin na magtrabaho kasama ang mga positibo, kaya magkalkula ako gamit ang at.
Ngayon ay mayroon na tayong tatlong puntos, at madali nating mabuo ang ating parabola sa pamamagitan ng pagpapakita ng huling dalawang puntos sa tuktok nito:
Ano sa tingin mo ang solusyon sa equation? Iyan ay tama, ang mga punto kung saan, iyon ay, at. kasi.
At kung sasabihin natin iyan, nangangahulugan ito na dapat ding pantay, o.
Basta? Natapos na namin ang paglutas ng equation sa iyo sa isang kumplikadong graphical na paraan, o magkakaroon ng higit pa!
Siyempre, maaari mong suriin ang aming sagot sa algebraically - maaari mong kalkulahin ang mga ugat sa pamamagitan ng Vieta theorem o ang Discriminant. Ano ang nakuha mo? Pareho? Kita mo! Ngayon tingnan natin ang isang napakasimpleng graphical na solusyon, sigurado akong magugustuhan mo ito!
Paraan 2. Hatiin sa ilang mga function
Kunin din natin ang lahat, ang ating equation: , ngunit isinulat natin ito sa isang bahagyang naiibang paraan, katulad:
Maaari ba nating isulat ito ng ganito? Kaya natin, dahil ang pagbabago ay katumbas. Tingnan pa natin.
Bumuo tayo ng dalawang function nang hiwalay:
- - ang graph ay isang simpleng parabola, na madali mong mabuo kahit na hindi tinukoy ang vertex gamit ang mga formula at paggawa ng talahanayan upang matukoy ang iba pang mga punto.
- - Ang graph ay isang tuwid na linya, na maaari mong gawin nang madali sa pamamagitan ng pagtantya ng mga halaga at sa iyong ulo nang hindi gumagamit ng calculator.
itinayo? Ikumpara sa nakuha ko:
Ano sa palagay mo ang ugat ng equation sa kasong ito? Tama! Coordinates by, na nakukuha sa pamamagitan ng pagtawid sa dalawang graph at, iyon ay:
Alinsunod dito, ang solusyon sa equation na ito ay:
Anong masasabi mo? Sumang-ayon, ang solusyon na ito ay mas madali kaysa sa nauna at mas madali kaysa sa paghahanap ng mga ugat sa pamamagitan ng discriminant! Kung gayon, subukan ang paraang ito upang malutas ang sumusunod na equation:
Ano ang nakuha mo? Ihambing natin ang ating mga chart:
Ipinapakita ng mga graph na ang mga sagot ay:
Inayos mo ba? Magaling! Ngayon tingnan natin ang mga equation na medyo mas kumplikado, ibig sabihin, ang solusyon ng mga mixed equation, iyon ay, mga equation na naglalaman ng mga function ng iba't ibang uri.
Graphical na solusyon ng halo-halong mga equation
Ngayon subukan nating lutasin ang sumusunod:
Siyempre, maaari mong dalhin ang lahat sa isang karaniwang denominator, hanapin ang mga ugat ng nagresultang equation, habang hindi nakakalimutang isaalang-alang ang ODZ, ngunit muli, susubukan naming lutasin ito nang graphical, tulad ng ginawa namin sa lahat ng nakaraang mga kaso.
Sa pagkakataong ito, i-plot natin ang sumusunod na 2 graph:
- - ang graph ay isang hyperbola
- - Ang isang graph ay isang tuwid na linya na madali mong mabuo sa pamamagitan ng pagtantya ng mga halaga at sa iyong ulo nang hindi gumagamit ng calculator.
Napagtanto? Ngayon simulan ang pagbuo.
Narito ang nangyari sa akin:
Sa pagtingin sa larawang ito, ano ang mga ugat ng ating equation?
Tama iyon, at. Narito ang kumpirmasyon:
Subukang isaksak ang aming mga ugat sa equation. Nangyari?
Lahat tama! Sumang-ayon, ang graphical na paglutas ng mga naturang equation ay isang kasiyahan!
Subukang lutasin ang equation sa iyong sarili nang grapiko:
Binibigyan kita ng pahiwatig: ilipat ang bahagi ng equation sa kanan upang ang magkabilang panig ay may pinakasimpleng mga function upang bumuo. Nakuha ang pahiwatig? Gumawa ng aksyon!
Ngayon tingnan natin kung ano ang nakuha mo:
Ayon sa pagkakabanggit:
- - kubiko parabola.
- - isang ordinaryong tuwid na linya.
Buweno, nagtatayo kami:
Habang isinulat mo sa mahabang panahon, ang ugat ng equation na ito ay -.
Nang malutas ito malaking bilang ng mga halimbawa, sigurado akong napagtanto mo kung paano mo madali at mabilis na malulutas ang mga equation nang grapiko. Panahon na upang malaman kung paano lutasin ang mga sistema sa ganitong paraan.
Graphic na solusyon ng mga system
Ang graphical na solusyon ng mga system ay mahalagang hindi naiiba sa graphical na solusyon ng mga equation. Bubuo din kami ng dalawang graph, at ang kanilang mga intersection point ang magiging ugat ng system na ito. Ang isang graph ay isang equation, ang pangalawang graph ay isa pang equation. Ang lahat ay sobrang simple!
Magsimula tayo sa pinakasimpleng - paglutas ng mga sistema ng mga linear equation.
Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation
Sabihin nating mayroon tayong sumusunod na sistema:
Upang magsimula, babaguhin natin ito sa paraang sa kaliwa mayroong lahat ng bagay na konektado, at sa kanan - kung ano ang konektado. Sa madaling salita, isinusulat namin ang mga equation na ito bilang isang function sa karaniwang anyo para sa amin:
At ngayon ay bumuo na lang tayo ng dalawang tuwid na linya. Ano ang solusyon sa ating kaso? Tama! Ang punto ng intersection nila! At dito kailangan mong maging napaka, maingat! Isipin kung bakit? Bibigyan kita ng pahiwatig: nakikipag-usap tayo sa isang sistema: pareho ang system, at... Nakuha ba ang pahiwatig?
Lahat tama! Kapag nilulutas ang sistema, dapat nating tingnan ang parehong mga coordinate, at hindi lamang, tulad ng paglutas ng mga equation! Ang isa pang mahalagang punto ay isulat ang mga ito nang tama at hindi malito kung saan tayo may halaga at kung saan ang halaga! Naitala? Ngayon ihambing natin ang lahat sa pagkakasunud-sunod:
At mga sagot: i. Gumawa ng tseke - palitan ang mga nahanap na ugat sa system at siguraduhing nalutas namin ito nang tama sa isang graphical na paraan?
Paglutas ng mga sistema ng nonlinear equation
Ngunit paano kung sa halip na isang tuwid na linya, mayroon tayong isang quadratic equation? ayos lang! Gumawa ka lang ng parabola sa halip na isang tuwid na linya! Hindi naniniwala? Subukang lutasin ang sumusunod na sistema:
Ano ang ating susunod na hakbang? Tama, isulat ito upang maging maginhawa para sa amin na bumuo ng mga graph:
At ngayon ang lahat ay tungkol sa maliit na bagay - Binuo ko ito nang mabilis at narito ang solusyon para sa iyo! Gusali:
Pareho ba ang mga graphics? Ngayon markahan ang mga solusyon ng system sa larawan at isulat nang tama ang mga nahayag na sagot!
Ginawa ko na lahat? Ikumpara sa aking mga tala:
Lahat tama? Magaling! Nag-click ka na sa mga ganoong gawain tulad ng mga mani! At kung gayon, bigyan ka namin ng mas kumplikadong sistema:
Anong gagawin natin? Tama! Isinulat namin ang system upang ito ay maginhawa upang bumuo:
Bibigyan kita ng kaunting pahiwatig, dahil mukhang napakakomplikado ng system! Kapag gumagawa ng mga graph, buuin ang mga ito ng "higit pa", at higit sa lahat, huwag magulat sa bilang ng mga intersection point.
Kaya tara na! Napabuga ng hangin? Ngayon simulan ang pagbuo!
Well, paano? maganda? Ilang intersection point ang nakuha mo? Ako ay may tatlong! Ihambing natin ang ating mga graph:
Parehong paraan? Ngayon maingat na isulat ang lahat ng mga solusyon ng aming system:
Ngayon tingnan muli ang system:
Maaari mo bang isipin na nalutas mo ito sa loob lamang ng 15 minuto? Sumang-ayon, ang matematika ay simple pa rin, lalo na kapag tumitingin sa isang expression, hindi ka natatakot na magkamali, ngunit kunin mo ito at magpasya! Ikaw ay isang malaking bata!
Graphical na solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay
Graphical na solusyon ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay
Pagkatapos ng huling halimbawa, ikaw ang bahala sa gawain! Ngayon huminga nang palabas - kumpara sa mga nakaraang seksyon, ang isang ito ay magiging napakadali!
Nagsisimula kami, gaya ng dati, sa isang graphical na solusyon ng isang linear na hindi pagkakapantay-pantay. Halimbawa, ang isang ito:
Upang magsimula, isasagawa namin ang pinakasimpleng mga pagbabagong-anyo - bubuksan namin ang mga bracket ng perpektong mga parisukat at magbibigay ng mga katulad na termino:
Ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, samakatuwid - ay hindi kasama sa pagitan, at ang solusyon ay ang lahat ng mga punto na nasa kanan, dahil higit pa, higit pa, at iba pa:
Sagot:
Iyon lang! madali? Lutasin natin ang isang simpleng hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable:
Gumuhit tayo ng isang function sa coordinate system.
Mayroon ka bang gayong tsart? At ngayon maingat nating tinitingnan kung ano ang mayroon tayo sa hindi pagkakapantay-pantay? Mas maliit? Kaya, pinipinta namin ang lahat ng nasa kaliwa ng aming tuwid na linya. Paano kung marami pa? Tama, pagkatapos ay ipinta nila ang lahat ng nasa kanan ng aming tuwid na linya. Simple lang ang lahat.
Ang lahat ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nilagyan ng kulay kahel. Iyon lang, nalutas ang dalawang-variable na hindi pagkakapantay-pantay. Nangangahulugan ito na ang mga coordinate at anumang punto mula sa may kulay na lugar ay ang mga solusyon.
Graphical na solusyon ng mga quadratic inequalities
Ngayon ay haharapin natin kung paano graphical na lutasin ang mga quadratic inequalities.
Ngunit bago tayo dumiretso sa punto, balikan natin ang ilang bagay tungkol sa square function.
Ano ang pananagutan ng discriminant? Iyan ay tama, para sa posisyon ng graph na may kaugnayan sa axis (kung hindi mo ito maalala, pagkatapos ay basahin ang teorya tungkol sa mga quadratic function para sigurado).
Sa anumang kaso, narito ang isang maliit na paalala para sa iyo:
Ngayong na-refresh na natin ang lahat ng materyal sa ating memorya, mag-negosyo tayo - graphical nating malulutas ang hindi pagkakapantay-pantay.
Sasabihin ko kaagad sa iyo na mayroong dalawang pagpipilian para sa paglutas nito.
Pagpipilian 1
Isinulat namin ang aming parabola bilang isang function:
Gamit ang mga formula, tinutukoy namin ang mga coordinate ng vertex ng parabola (sa parehong paraan tulad ng paglutas ng mga quadratic equation):
Nagbilang ka ba? Ano ang nakuha mo?
Ngayon ay kumuha tayo ng dalawa pang magkakaibang puntos at kalkulahin para sa kanila:
Nagsisimula kaming bumuo ng isang sangay ng parabola:
Kami ay simetriko na sumasalamin sa aming mga punto sa isa pang sangay ng parabola:
Ngayon bumalik sa aming hindi pagkakapantay-pantay.
Kailangan namin itong mas mababa sa zero, ayon sa pagkakabanggit:
Dahil sa aming hindi pagkakapantay-pantay mayroong isang palatandaan na mahigpit na mas kaunti, hindi namin kasama ang mga punto ng pagtatapos - kami ay "pumutok".
Sagot:
Malayo, tama? Ngayon ay ipapakita ko sa iyo ang isang mas simpleng bersyon ng graphical na solusyon gamit ang parehong hindi pagkakapantay-pantay bilang isang halimbawa:
Opsyon 2
Bumalik tayo sa ating hindi pagkakapantay-pantay at markahan ang mga agwat na kailangan natin:
Sumang-ayon, ito ay mas mabilis.
Isulat natin ang sagot ngayon:
Isaalang-alang natin ang isa pang paraan ng solusyon na nagpapasimple sa bahagi ng algebraic, ngunit ang pangunahing bagay ay hindi malito.
I-multiply ang kaliwa at kanang bahagi sa pamamagitan ng:
Subukang lutasin nang mag-isa ang sumusunod na quadratic inequality sa anumang paraan na gusto mo: .
Inayos mo ba?
Tingnan kung paano lumabas ang aking chart:
Sagot: .
Graphical na solusyon ng magkahalong hindi pagkakapantay-pantay
Ngayon ay lumipat tayo sa mas kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay!
Paano mo ito gusto:
Kakila-kilabot, tama? Sa totoo lang, wala akong ideya kung paano lutasin ito sa algebraically ... Ngunit, hindi ito kinakailangan. Sa graphically, walang kumplikado dito! Ang mga mata ay natatakot, ngunit ang mga kamay ay gumagawa!
Ang unang bagay na sinimulan natin ay sa pamamagitan ng pagbuo ng dalawang graph:
Hindi ako magsusulat ng talahanayan para sa lahat - sigurado akong magagawa mo ito nang perpekto sa iyong sarili (siyempre, napakaraming mga halimbawa upang malutas!).
pininturahan? Ngayon bumuo ng dalawang graph.
Ihambing natin ang ating mga guhit?
Mayroon ka bang pareho? ayos! Ngayon, ilagay natin ang mga intersection point at tukuyin gamit ang isang kulay kung aling graph ang dapat mayroon tayo, sa teorya, ay dapat na mas malaki, iyon ay. Tingnan kung ano ang nangyari sa huli:
At ngayon tinitingnan na lang natin kung saan mas mataas ang napili nating chart kaysa sa chart? Huwag mag-atubiling kumuha ng lapis at pintura sa lugar na ito! Ito ang magiging solusyon sa ating kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay!
Sa anong mga pagitan sa kahabaan ng axis mas mataas tayo? Tama, . Ito ang sagot!
Kaya, ngayon ay maaari mong pangasiwaan ang anumang equation, at anumang sistema, at higit pa sa anumang hindi pagkakapantay-pantay!
MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING
Algorithm para sa paglutas ng mga equation gamit ang mga function graph:
- Ipahayag sa pamamagitan ng
- Tukuyin ang uri ng function
- Bumuo tayo ng mga graph ng mga resultang function
- Hanapin ang mga intersection point ng mga graph
- Isulat nang tama ang sagot (isinasaalang-alang ang mga palatandaan ng ODZ at hindi pagkakapantay-pantay)
- Suriin ang sagot (palitan ang mga ugat sa equation o system)
Para sa higit pang impormasyon tungkol sa pag-plot ng mga function graph, tingnan ang paksang "".
Sa aralin, ipinakita ng mga mag-aaral ang kaalaman at kakayahan ng programa:
- kilalanin ang mga uri ng mga function, bumuo ng kanilang mga graph;
– nagsasanay ng mga kasanayan sa pagbuo ng isang quadratic function;
– gumawa ng mga graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation gamit ang full square selection method.
Nais kong magbayad ng espesyal na pansin sa paglutas ng mga problema sa isang parameter, dahil ang USE sa matematika ay nag-aalok ng maraming mga gawain ng ganitong uri.
Ang pagkakataong ilapat ang ganitong uri ng trabaho sa silid-aralan ay ibinigay sa akin ng mga mag-aaral mismo, dahil mayroon silang sapat na base ng kaalaman na maaaring palalimin at palawakin.
Ang mga paunang inihanda na template ng mga mag-aaral ay pinapayagang makatipid ng oras ng aralin. Sa panahon ng aralin, nagawa kong ipatupad ang mga gawain sa simula ng aralin at makuha ang inaasahang resulta.
Ang paggamit ng isang minutong pisikal na edukasyon ay nakatulong upang maiwasan ang labis na trabaho ng mga mag-aaral, upang mapanatili ang isang produktibong pagganyak para sa pagkuha ng kaalaman.
Sa pangkalahatan, nasiyahan ako sa resulta ng aralin, ngunit sa palagay ko ay mayroon pa ring mga reserbang pagkakataon: mga modernong makabagong teknolohikal na kasangkapan, na, sa kasamaang-palad, wala tayong pagkakataong gamitin.
Uri ng aralin: pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal.
Layunin ng Aralin:
- Pangkalahatang edukasyon at didaktiko:
- bumuo ng iba't ibang paraan ng mental na aktibidad ng mga mag-aaral;
- upang mabuo ang kakayahang nakapag-iisa na malutas ang mga problema;
- turuan ang matematikal na kultura ng mga mag-aaral;
- paunlarin ang intuwisyon ng mga mag-aaral at ang kakayahang gamitin ang kaalamang natamo.
- mga layunin sa pag-aaral:
- ibuod ang naunang pinag-aralan na impormasyon sa paksang "Graphical solution ng quadratic equation";
- ulitin ang pag-plot ng mga quadratic function;
- upang mabuo ang mga kasanayan sa paggamit ng mga algorithm para sa paglutas ng mga quadratic equation sa pamamagitan ng isang graphical na pamamaraan.
- Pang-edukasyon:
- pagtanim ng interes sa mga aktibidad na pang-edukasyon, sa paksa ng matematika;
- pagbuo ng pagpapaubaya (tolerance), ang kakayahang magtrabaho sa isang pangkat.
SA PANAHON NG MGA KLASE
I. Pansamahang sandali
- Ngayon sa aralin ay gagawin nating pangkalahatan at pagsasama-samahin ang graphical na solusyon ng mga quadratic equation sa iba't ibang paraan.
Sa hinaharap, kakailanganin natin ang mga kasanayang ito sa mataas na paaralan sa mga aralin sa matematika kapag nilulutas ang mga trigonometric at logarithmic equation, paghahanap ng lugar ng isang curvilinear trapezoid, pati na rin sa mga aralin sa pisika.
II. Sinusuri ang takdang-aralin
Suriin natin sa pisara Blg. 23.5 (g).
Lutasin ang equation na ito gamit ang isang parabola at isang tuwid na linya.
Desisyon:
x 2 + x - 6 = 0
Ibahin natin ang equation: x 2 \u003d 6 - x
Ipakilala natin ang mga function:
y \u003d x 2; quadratic function y \u003d 6 - x linear,
tsart yavl. parabola, graph yavl. tuwid,
Bumubuo kami ng mga graph ng mga function sa isang coordinate system (ayon sa isang template)
Nakakuha kami ng dalawang punto ng intersection.
Ang solusyon sa quadratic equation ay ang abscissas ng mga puntong ito x 1 = - 3, x 2 = 2.
Sagot: - 3; 2.
III. Pangharap na survey
- Ano ang graph ng isang quadratic function?
- Maaari mo bang sabihin sa akin ang algorithm para sa pag-plot ng isang graph ng isang quadratic function?
- Ano ang isang quadratic equation?
- Magbigay ng mga halimbawa ng quadratic equation?
- Isulat sa pisara ang iyong halimbawa ng quadratic equation.Ano ang mga coefficient?
- Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng equation?
- Ilang paraan ang alam mo sa graphical na solusyon ng mga quadratic equation?
- Ano ang mga graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation:
IV. Pag-aayos ng materyal
Sa pisara, nagpapasya ang mga estudyante sa una, pangalawa, pangatlong paraan.
Ang klase ay nagpasya sa ikaapat
- x 2 + 6x - 5 \u003d 0
Babaguhin ko ang quadratic equation, na i-highlight ang buong parisukat ng binomial:
- x 2 + 6x - 5 \u003d - (x 2 - 6x + 5) \u003d - (x 2 - 6x + 32 - 9 + 5) \u003d - ((x - 3) 2 - 4) \u003d - ( x - 3) 2+4
Nakakuha kami ng isang quadratic equation:
- (x - 3) 2 + 4 \u003d 0
Ipakilala natin ang isang function:
y \u003d - (x 2 - 3) 2 + 4
Quadratic function ng form y \u003d a (x + L) 2 + m
Graph yavl. parabola, mga sanga na nakadirekta pababa, ilipat ang pangunahing parabola sa kahabaan ng axis ng Ox pakanan ng 3 unit, pataas ng 4 na unit sa kahabaan ng Oy axis, sa itaas (3; 4).
Bumubuo kami ayon sa template.
Natagpuan ang mga punto ng intersection ng parabola sa x-axis. Abscissas ng mga puntong ito yavl. solusyon ng equation na ito. x=1, x=5.
Tingnan natin ang iba pang mga graphic na solusyon sa board. Magkomento sa iyong paraan ng paglutas ng mga quadratic equation.
1 mag-aaral
Desisyon:
- x 2 + 6x - 5 \u003d 0
Ipinakilala namin ang function na y \u003d - x + 6x - 5, isang quadratic function, ang graph ay isang parabola, ang mga sanga ay nakadirekta pababa, ang tuktok
x 0 \u003d - sa / 2a
x 0 \u003d - 6 / - 2 \u003d 3
y 0 \u003d - 3 2 + 18 \u003d 9; tuldok (3; 9)
axis ng simetriya x = 3
Bumubuo kami ayon sa template
Nakakuha kami ng mga punto ng intersection sa Ox axis, ang abscissas ng mga puntong ito ay ang solusyon ng isang quadratic equation. Dalawang ugat x 1 = 1, x 2 = 5
2 mag-aaral
Desisyon:
- x 2 + 6x - 5 \u003d 0
Ibahin natin ang: - x 2 + 6x \u003d 5
Ipinakilala namin ang mga function: y1 \u003d - x 2 + 6x, y2 \u003d 5, linear function, quadratic function, graph graph yavl. linya y || Oh yavl. parabola, mga sanga na nakadirekta pababa, vertex x 0 \u003d - sa / 2a
x 0 \u003d - 6 / - 2 \u003d 3
y 0 \u003d - 3 2 + 18 \u003d 9;
(3; 9).
axis ng simetriya x = 3
Bumubuo kami ayon sa template
Nakakuha ng mga intersection point
parabola at isang tuwid na linya, ang kanilang mga abscissas ay ang solusyon ng isang quadratic equation. Dalawang ugat x 1 = 1, x 2 = 5
Kaya, ang parehong equation ay maaaring malutas sa iba't ibang paraan, at ang sagot ay dapat na pareho.
V. Edukasyong pisikal
VI. Paglutas ng problema sa isang parameter
Sa anong halaga R equation x 2 + 6x + 8 = p:
- Walang ugat?
- May isang ugat?
Mayroon ba itong dalawang ugat?
Paano naiiba ang equation na ito sa nauna?
Tama, sulat!
Tatalakayin natin ang liham na ito bilang parameter, R.
As long as wala siyang sinasabi sayo. Ngunit patuloy naming malulutas ang iba't ibang mga problema gamit ang isang parameter.
Ngayon ay malulutas natin ang isang quadratic equation na may isang parameter gamit ang isang graphical na pamamaraan gamit ang ikatlong paraan gamit ang isang parabola at isang tuwid na linya na kahanay sa x-axis.
Tinutulungan ng mag-aaral ang guro sa paglutas sa pisara.
Saan tayo magsisimulang magdesisyon?
Itakda natin ang mga function:
y 1 \u003d x 2 + 6x + 8 y 2 \u003d p linear function,
quadratic function, ang graph ay isang tuwid na linya
tsart yavl. parabola,
mga sanga na nakaturo pababa
x 0 \u003d - sa / 2a,
x 0 = - 6/2 = - 3
y 0 \u003d (- 3) 2 + 6 (- 3) + 8 \u003d - 1
(– 3; – 1)
Ang axis ng symmetry x = 3, hindi ako gagawa ng table, ngunit kukunin ko ang template na y = x 2 at ilakip ito sa tuktok ng parabola.
Ang parabola ay binuo! Ngayon kailangan nating gumuhit ng isang linya y = p.
Saan dapat iguhit ang isang linya? R para makakuha ng dalawang ugat?
Saan dapat iguhit ang isang linya? R para makakuha ng isang ugat?
Saan dapat iguhit ang isang linya? R walang ugat?
– Kaya, gaano karaming mga ugat ang maaaring magkaroon ng ating equation?
Nagustuhan mo ba ang gawain? Salamat sa tulong! Baitang 5.
VII. Pansariling gawain ayon sa mga opsyon (5 min.)
y \u003d x 2 - 5x + 6 y \u003d - x 2 + x - 6
Lutasin ang isang quadratic equation sa isang graphical na paraan, pagpili ng isang maginhawang paraan para sa iyo. Kung nakumpleto ng isang tao ang gawain nang mas maaga, suriin ang iyong solusyon sa ibang paraan. Ito ay sasailalim sa mga karagdagang marka.
VIII. Buod ng aralin
- Ano ang natutuhan mo sa aralin ngayon?
- Ngayon sa aralin, nalutas namin ang mga quadratic equation gamit ang isang graphical na pamamaraan, gamit ang iba't ibang paraan ng paglutas, at itinuturing na isang graphical na paraan para sa paglutas ng isang quadratic equation na may parameter!
- Lumipat tayo sa takdang-aralin.
IX. Takdang aralin
1. Pagsusulit sa tahanan sa pahina 147, mula sa libro ng problema ni Mordkovich para sa mga opsyon I at II.
2. Sa bilog, sa Miyerkules, lulutasin natin ang V-th method, (hyperbola at straight line).
X. Panitikan:
1. A.G. Mordkovich. Algebra-8. Bahagi 1. Teksbuk para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon. Moscow: Mnemosyne, 2008
2. A.G. Mordkovich, L.A. Aleksandrova, T.N. Mishustin, E.E. Tulcinskaya. Algebra - 8. Bahagi 2. Task book para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon. Moscow: Mnemosyne, 2008
3. A.G. Mordkovich. Algebra 7-9. Patnubay sa pamamaraan para sa isang guro. M .: Mnemosyne, 2004
4. L.A. Alexandrova. Algebra-8. Malayang gawain para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon./Ed. A.G. Mordkovich. Moscow: Mnemosyne, 2009
