Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function

mga konsepto ng mathematical analysis. Ang halaga na kinuha ng isang function sa ilang punto ng set kung saan tinukoy ang function na ito ay tinatawag na pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga sa set na ito kung ang function ay walang mas malaki (mas maliit) na halaga sa anumang iba pang punto sa set. N. at n. h. f. sa paghahambing sa mga halaga nito sa lahat ng sapat na malapit na mga punto ay tinatawag na extrema (ayon sa pagkakabanggit, maxima at minima) ng function. N. at n. h. f., na ibinigay sa isang segment, ay maaaring makamit alinman sa mga punto kung saan ang derivative ay katumbas ng zero, o sa mga punto kung saan wala ito, o sa mga dulo ng segment. Ang tuluy-tuloy na function na ibinigay sa isang segment ay kinakailangang maabot ang maximum at minimum na mga halaga nito; kung ang isang tuluy-tuloy na pag-andar ay isinasaalang-alang sa isang agwat (iyon ay, isang segment na may hindi kasama na mga dulo), kung gayon sa mga halaga nito sa agwat na ito ay maaaring walang maximum o isang minimum. Halimbawa, ang function sa = x, na ibinigay sa pagitan , umabot sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga, ayon sa pagkakabanggit, sa x= 1 at x= 0 (ibig sabihin, sa mga dulo ng segment); kung isasaalang-alang natin ang function na ito sa pagitan (0; 1), kung gayon sa mga halaga nito sa pagitan na ito ay walang pinakamalaki o pinakamaliit, dahil para sa bawat isa. x0 palaging may punto ng agwat na ito na nasa kanan (sa kaliwa) x0, at ang halaga ng function sa puntong ito ay magiging mas malaki (ayon sa pagkakabanggit, mas mababa) kaysa sa punto x0. Ang mga katulad na pahayag ay wasto para sa mga function ng ilang mga variable. Tingnan din ang Extreme.

Great Soviet Encyclopedia. - M.: Encyclopedia ng Sobyet. 1969-1978 .

Tingnan kung ano ang "Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function" ay nasa iba pang mga diksyunaryo:

Malaking Encyclopedic Dictionary

Mga konsepto ng pagsusuri sa matematika. Ang halaga na kinuha ng function sa ilang punto ng set kung saan ibinigay ang function na ito ay tinatawag na pinakamalaki (pinakamaliit) sa set na ito, kung sa walang ibang punto ang function ay may mas malaki (mas maliit) ... ... encyclopedic Dictionary

Ang mga konsepto ng matematika. pagsusuri. Ang halaga na kinuha ng function sa isang partikular na punto ng set, pa rum function na ito ay ibinigay, tinatawag. pinakamalaki (pinakamaliit) sa set na ito, kung wala sa ibang punto na ang function ay may mas malaki (mas maliit) na halaga ... Likas na agham. encyclopedic Dictionary

MAXIMUM AT MINIMUM FUNCTION- ayon sa pagkakabanggit, ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function kumpara sa mga halaga nito sa lahat ng sapat na malapit na mga punto. Ang mataas at mababang mga punto ay tinatawag na mga matinding punto... Mahusay na Polytechnic Encyclopedia

Ang pinakamalaki at, nang naaayon, ang pinakamaliit na halaga ng isang function na kumukuha ng mga tunay na halaga. Ang punto ng domain ng kahulugan ng function na pinag-uusapan, kung saan tumatagal ng maximum o minimum, ay tinatawag. ayon sa pagkakabanggit ang pinakamataas na punto o ang pinakamababang punto ... ... Mathematical Encyclopedia

Ang isang ternary function sa teorya ng functional system at ternary logic ay isang function ng uri, kung saan ay isang ternary set, at isang non-negative integer, na tinatawag na arity o lokalidad ng function. Ang mga elemento ng set ay digital ... ... Wikipedia

Representasyon ng mga function ng Boolean sa pamamagitan ng mga normal na anyo (tingnan ang mga Normal na anyo ng mga function ng Boolean). ang pinakasimpleng may kinalaman sa ilang sukat ng pagiging kumplikado. Karaniwan, ang pagiging kumplikado ng isang normal na anyo ay nauunawaan bilang ang bilang ng mga titik sa loob nito. Sa kasong ito, ang pinakasimpleng anyo ay tinatawag na ... ... Mathematical Encyclopedia

Isang function na tumatanggap ng infinitesimal increments bilang argument increments infinitessimally. Ang isang single-valued function na f (x) ay tinatawag na tuloy-tuloy para sa halaga ng argumento x0, kung para sa lahat ng mga halaga ng argumento x na medyo kaunti ang pagkakaiba mula sa x0 ... Great Soviet Encyclopedia

- (Latin maximum at minimum, literal ang pinakamalaki at pinakamaliit) (Math.), Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function kumpara sa mga halaga nito sa mga sapat na malapit na puntos. Sa figure, ang function na y \u003d f (x) ay may maximum sa mga puntos na x1 at x3, at sa puntong x2 ... ... encyclopedic Dictionary

- (mula sa Latin na maximum at minimum, ang pinakamalaki at pinakamaliit) (matematika), ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function kumpara sa mga halaga nito sa mga sapat na malapit na puntos. Ang mataas at mababang mga punto ay tinatawag na mga matinding punto... Modern Encyclopedia

Minsan sa mga problema B15 may mga "masamang" function kung saan mahirap hanapin ang derivative. Dati, ito ay sa mga probe lamang, ngunit ngayon ang mga gawaing ito ay karaniwan na hindi na sila maaaring balewalain kapag naghahanda para sa pagsusulit na ito.

Sa kasong ito, gumagana ang iba pang mga trick, isa sa mga ito ay - monotone.

Ang function na f (x) ay tinatawag na monotonically increase sa segment kung para sa anumang puntos x 1 at x 2 ng segment na ito ang sumusunod ay totoo:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Ang function na f (x) ay tinatawag na monotonically decreasing sa segment kung para sa anumang puntos x 1 at x 2 ng segment na ito ang sumusunod ay totoo:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f( x2).

Sa madaling salita, para sa pagtaas ng function, mas malaki ang x, mas malaki ang f(x). Para sa isang nagpapababang function, ang kabaligtaran ay totoo: mas maraming x , ang mas maliit f(x).

Halimbawa, monotonically tumataas ang logarithm kung ang base a > 1 at monotonically bumababa kung 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Ang arithmetic square (at hindi lamang square) na ugat ay tumataas nang monotonically sa buong domain ng kahulugan:

Ang exponential function ay kumikilos katulad ng logarithm: tumataas ito para sa isang > 1 at bumababa para sa 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Panghuli, mga degree na may negatibong exponent. Maaari mong isulat ang mga ito bilang isang fraction. Mayroon silang break point kung saan nasira ang monotony.

Ang lahat ng mga function na ito ay hindi kailanman matatagpuan sa kanilang purong anyo. Ang mga polynomial, fraction at iba pang walang kapararakan ay idinagdag sa kanila, dahil kung saan nagiging mahirap kalkulahin ang derivative. Ano ang mangyayari sa kasong ito - ngayon ay susuriin natin.

Mga coordinate ng parabola vertex

Kadalasan, ang argumento ng function ay pinapalitan ng square trinomial ng anyong y = ax 2 + bx + c . Ang graph nito ay isang karaniwang parabola, kung saan kami ay interesado sa:

1. Mga sanga ng parabola - maaaring tumaas (para sa isang > 0) o pababa (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Ang vertex ng parabola ay ang extremum point ng isang quadratic function, kung saan kinukuha ng function na ito ang pinakamaliit nito (para sa isang > 0) o pinakamalaki (a< 0) значение.

Ang pinakamalaking interes ay tuktok ng isang parabola, ang abscissa ay kinakalkula ng formula:

Kaya, natagpuan namin ang extremum point ng quadratic function. Ngunit kung ang orihinal na function ay monotonic, para dito ang punto x 0 ay magiging isang extremum point din. Kaya, binubuo namin ang pangunahing panuntunan:

Ang mga extremum point ng square trinomial at ang kumplikadong function na pinapasok nito ay nag-tutugma. Samakatuwid, maaari kang maghanap ng x 0 para sa isang square trinomial, at kalimutan ang tungkol sa function.

Mula sa pangangatwiran sa itaas, nananatiling hindi malinaw kung anong uri ng punto ang makukuha natin: maximum o minimum. Gayunpaman, ang mga gawain ay partikular na idinisenyo upang hindi ito mahalaga. Maghusga para sa iyong sarili:

1. Walang segment sa kondisyon ng problema. Samakatuwid, hindi kinakailangang kalkulahin ang f(a) at f(b). Ito ay nananatiling isaalang-alang lamang ang mga extremum point;
2. Ngunit mayroon lamang isang ganoong punto - ito ang tuktok ng parabola x 0, ang mga coordinate na kung saan ay literal na kinakalkula nang pasalita at walang anumang mga derivatives.

Kaya, ang solusyon sa problema ay lubos na pinasimple at nababawasan sa dalawang hakbang lamang:

1. Isulat ang parabola equation y = ax 2 + bx + c at hanapin ang vertex nito gamit ang formula: x 0 = −b /2a;
2. Hanapin ang halaga ng orihinal na function sa puntong ito: f (x 0). Kung walang karagdagang kundisyon, ito ang magiging sagot.

Sa unang sulyap, ang algorithm na ito at ang katwiran nito ay maaaring mukhang kumplikado. Sinadya kong hindi mag-post ng isang "hubad" na pamamaraan ng solusyon, dahil ang walang pag-iisip na aplikasyon ng naturang mga patakaran ay puno ng mga pagkakamali.

Isaalang-alang ang mga tunay na gawain mula sa pagsubok na pagsusulit sa matematika - dito pinakakaraniwan ang pamamaraang ito. Kasabay nito, sisiguraduhin namin na sa ganitong paraan maraming mga problema ng B15 ay halos pasalita.

Sa ilalim ng ugat ay isang quadratic function y \u003d x 2 + 6x + 13. Ang graph ng function na ito ay isang parabola na may mga sanga pataas, dahil ang coefficient ay \u003d 1\u003e 0.

Tuktok ng parabola:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Dahil ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, sa puntong x 0 \u003d −3, ang function na y \u003d x 2 + 6x + 13 ay tumatagal sa pinakamaliit na halaga.

Ang ugat ay monotonically tumataas, kaya x 0 ay ang pinakamababang punto ng buong function. Meron kami:

Gawain. Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Sa ilalim ng logarithm ay muli ang isang quadratic function: y \u003d x 2 + 2x + 9. Ang graph ay isang parabola na may mga sanga pataas, dahil a = 1 > 0.

Tuktok ng parabola:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Kaya, sa puntong x 0 = −1, ang quadratic function ay tumatagal sa pinakamaliit na halaga. Ngunit ang function na y = log 2 x ay monotone, kaya:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Ang exponent ay isang quadratic function y = 1 − 4x − x 2 . Isulat muli natin ito sa normal na anyo: y = −x 2 − 4x + 1.

Malinaw, ang graph ng function na ito ay isang parabola, mga sanga pababa (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Ang orihinal na function ay exponential, ito ay monotone, kaya ang pinakamalaking halaga ay nasa nahanap na punto x 0 = −2:

Tiyak na mapapansin ng isang matulungin na mambabasa na hindi namin isinulat ang lugar ng mga pinahihintulutang halaga ng ugat at logarithm. Ngunit hindi ito kinakailangan: sa loob ay may mga pag-andar na ang mga halaga ay palaging positibo.

Mga kahihinatnan mula sa saklaw ng isang function

Minsan, upang malutas ang problema B15, hindi sapat na hanapin lamang ang vertex ng parabola. Ang nais na halaga ay maaaring magsinungaling sa dulo ng segment, ngunit hindi sa matinding punto. Kung ang gawain ay hindi tumukoy ng isang segment, tingnan saklaw ng pagpapaubaya orihinal na function. Namely:

Bigyang-pansin muli: ang zero ay maaaring nasa ilalim ng ugat, ngunit hindi kailanman sa logarithm o denominator ng isang fraction. Tingnan natin kung paano ito gumagana sa mga partikular na halimbawa:

Gawain. Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function:

Sa ilalim ng ugat ay muli ang isang quadratic function: y \u003d 3 - 2x - x 2. Ang graph nito ay isang parabola, ngunit bumababa dahil a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Isinulat namin ang lugar ng mga pinahihintulutang halaga (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; isa]

Ngayon hanapin ang vertex ng parabola:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Ang punto x 0 = −1 ay kabilang sa ODZ segment - at ito ay mabuti. Ngayon ay isinasaalang-alang namin ang halaga ng function sa punto x 0, pati na rin sa mga dulo ng ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Kaya, nakuha namin ang mga numero 2 at 0. Hinihiling sa amin na hanapin ang pinakamalaki - ito ang numero 2.

Gawain. Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function:

y = log 0.5 (6x - x 2 - 5)

Sa loob ng logarithm mayroong isang quadratic function y \u003d 6x - x 2 - 5. Ito ay isang parabola na may mga sanga pababa, ngunit hindi maaaring magkaroon ng mga negatibong numero sa logarithm, kaya isinusulat namin ang ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Pakitandaan: ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, kaya ang mga dulo ay hindi nabibilang sa ODZ. Sa ganitong paraan, ang logarithm ay naiiba sa ugat, kung saan ang mga dulo ng segment ay angkop sa amin.

Hinahanap ang vertex ng parabola:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Ang tuktok ng parabola ay umaangkop sa kahabaan ng ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ngunit dahil ang mga dulo ng segment ay hindi interesado sa amin, isinasaalang-alang namin ang halaga ng function lamang sa punto x 0:

y min = y (3) = log 0.5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0.5 (18 − 9 − 5) = log 0.5 4 = −2

Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function

Ang pinakamalaking halaga ng isang function ay tinatawag na pinakamalaking, ang pinakamaliit na halaga ay ang pinakamaliit sa lahat ng mga halaga nito.

Ang isang function ay maaaring magkaroon lamang ng isang pinakamalaki at isang pinakamaliit na halaga, o maaaring wala man lang. Ang paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na pag-andar ay batay sa mga sumusunod na katangian ng mga pag-andar na ito:

1) Kung sa ilang pagitan (finite o infinite) ang function na y=f(x) ay tuloy-tuloy at may isang extremum lang, at kung ito ang maximum (minimum), ito ang magiging pinakamalaking (pinakamaliit) na value ng function. sa pagitan na ito.

2) Kung ang function na f(x) ay tuloy-tuloy sa isang partikular na segment, kung gayon ito ay kinakailangang may pinakamalaki at pinakamaliit na halaga sa segment na ito. Ang mga halagang ito ay naaabot alinman sa mga extremum point na nasa loob ng segment, o sa mga hangganan ng segment na ito.

Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga sa segment, inirerekumenda na gamitin ang sumusunod na scheme:

1. Hanapin ang derivative.

2. Hanapin ang mga kritikal na punto ng function kung saan =0 o wala.

3. Hanapin ang mga halaga ng function sa mga kritikal na punto at sa mga dulo ng segment at piliin mula sa kanila ang pinakamalaking f max at ang pinakamaliit na f min.

Kapag nilulutas ang mga inilapat na problema, sa partikular na mga problema sa pag-optimize, ang mga problema sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga (global maximum at global na minimum) ng isang function sa interval X ay mahalaga. Upang malutas ang mga naturang problema, dapat, batay sa kondisyon , pumili ng independent variable at ipahayag ang value na pinag-aaralan sa pamamagitan ng variable na ito. Pagkatapos ay hanapin ang nais na maximum o minimum na halaga ng resultang function. Sa kasong ito, ang pagitan ng pagbabago ng independiyenteng variable, na maaaring may hangganan o walang katapusan, ay tinutukoy din mula sa kondisyon ng problema.

Halimbawa. Ang tangke, na may hugis ng isang hugis-parihaba na parallelepiped na may isang parisukat na ilalim, bukas sa itaas, ay dapat na lata sa loob ng lata. Ano ang dapat na mga sukat ng tangke na may kapasidad na 108 litro. tubig upang ang halaga ng tinning nito ay ang pinakamaliit?

Desisyon. Ang halaga ng patong ng tangke ng lata ay magiging pinakamababa kung, para sa isang naibigay na kapasidad, ang ibabaw nito ay minimal. Tukuyin ng isang dm - ang gilid ng base, b dm - ang taas ng tangke. Kung gayon ang lugar S ng ibabaw nito ay katumbas ng

At

Ang resultang relasyon ay nagtatatag ng ugnayan sa pagitan ng ibabaw na lugar ng tangke S (function) at ang gilid ng base a (argumento). Sinisiyasat namin ang function na S para sa isang extremum. Hanapin ang unang derivative, i-equate ito sa zero at lutasin ang resultang equation:

Kaya a = 6. (a) > 0 para sa isang > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Halimbawa. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa gitna.

Desisyon: Ang tinukoy na function ay tuloy-tuloy sa buong axis ng numero. Function derivative

Hinango sa at sa . Kalkulahin natin ang mga halaga ng function sa mga puntong ito:

.

Ang mga halaga ng function sa mga dulo ng ibinigay na pagitan ay katumbas ng . Samakatuwid, ang pinakamalaking halaga ng function ay sa , ang pinakamaliit na halaga ng function ay sa .

Mga tanong para sa pagsusuri sa sarili

1. Bumuo ng panuntunan ng L'Hopital para sa pagsisiwalat ng mga kawalan ng katiyakan ng form . Ilista ang iba't ibang uri ng kawalan ng katiyakan kung saan maaaring gamitin ang panuntunan ng L'Hospital.

2. Bumuo ng mga palatandaan ng pagtaas at pagbaba ng function.

3. Tukuyin ang maximum at minimum ng isang function.

4. Bumuo ng kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng extremum.

5. Anong mga halaga ng argumento (anong mga punto) ang tinatawag na kritikal? Paano mahahanap ang mga puntong ito?

6. Ano ang mga sapat na senyales ng pagkakaroon ng extremum ng isang function? Balangkas ang isang scheme para sa pag-aaral ng isang function para sa isang extremum gamit ang unang derivative.

7. Balangkasin ang scheme para sa pag-aaral ng function para sa isang extremum gamit ang pangalawang derivative.

8. Tukuyin ang convexity, concavity ng isang curve.

9. Ano ang inflection point ng isang function graph? Tukuyin kung paano hanapin ang mga puntong ito.

10. Bumuo ng kailangan at sapat na mga palatandaan ng convexity at concavity ng curve sa isang partikular na segment.

11. Tukuyin ang asymptote ng curve. Paano mahahanap ang patayo, pahalang at pahilig na mga asymptotes ng isang function graph?

12. Balangkas ang pangkalahatang pamamaraan para sa pagsasaliksik ng isang function at pagbuo ng graph nito.

13. Bumuo ng isang panuntunan para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang naibigay na agwat.

Paano mahahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment?

Para dito sinusunod namin ang kilalang algorithm:

1 . Nakikita namin ang mga function ng ODZ.

2 . Paghahanap ng derivative ng isang function

3 . I-equate ang derivative sa zero

4 . Nahanap namin ang mga agwat kung saan pinapanatili ng derivative ang tanda nito, at mula sa kanila ay tinutukoy namin ang mga agwat ng pagtaas at pagbaba ng function:

Kung sa pagitan ko ang derivative ng function na 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} tumataas sa pagitan na ito.

Kung sa pagitan ko ang derivative ng function , pagkatapos ay ang function bumababa sa pagitan na ito.

5 . Nahanap namin maximum at minimum na puntos ng function.

AT ang function na maximum point, ang derivative ay nagbabago ng sign mula "+" hanggang "-".

AT pinakamababang punto ng functionmga derivative na pagbabago sign mula "-" hanggang "+".

6 . Nahanap namin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment,

• pagkatapos ay inihambing namin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa pinakamataas na puntos, at piliin ang pinakamalaki sa kanila kung kailangan mong hanapin ang pinakamalaking halaga ng function
• o inihahambing namin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa pinakamababang puntos, at piliin ang pinakamaliit sa mga ito kung kailangan mong hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function

Gayunpaman, depende sa kung paano kumikilos ang function sa pagitan, ang algorithm na ito ay maaaring makabuluhang bawasan.

Isaalang-alang ang function . Ang graph ng function na ito ay ganito ang hitsura:

Isaalang-alang natin ang ilang halimbawa ng paglutas ng mga problema mula sa Open Task Bank para sa

isa. Gawain B15 (#26695)

Sa hiwa.

1. Ang function ay tinukoy para sa lahat ng tunay na halaga ng x

Malinaw, ang equation na ito ay walang mga solusyon, at ang derivative ay positibo para sa lahat ng mga halaga ng x. Samakatuwid, ang function ay tumataas at tumatagal ng pinakamalaking halaga sa kanang dulo ng pagitan, iyon ay, sa x=0.

Sagot: 5.

2 . Gawain B15 (No. 26702)

Hanapin ang pinakamalaking halaga ng isang function sa segment.

1.ODZ function title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Ang derivative ay zero sa , gayunpaman, sa mga puntong ito ay hindi ito nagbabago ng sign:

Samakatuwid, title="(!LANG:3/(cos^2(x)))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} tumataas at kumukuha ng pinakamalaking halaga sa kanang dulo ng pagitan, sa .

Upang gawing malinaw kung bakit ang derivative ay hindi nagbabago ng sign, binabago namin ang expression para sa derivative bilang mga sumusunod:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Sagot: 5.

3 . Gawain B15 (#26708)

Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function sa pagitan.

1. ODZ functions: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Ilagay natin ang mga ugat ng equation na ito sa isang trigonometriko na bilog.

Ang pagitan ay naglalaman ng dalawang numero: at

Ilagay natin ang mga karatula. Upang gawin ito, tinutukoy namin ang tanda ng derivative sa puntong x=0: . Kapag dumadaan sa mga puntos at ang derivative na pagbabago sign.

Ilarawan natin ang pagbabago ng mga palatandaan ng derivative ng function sa linya ng coordinate:

Malinaw, ang punto ay isang minimum na punto (kung saan ang derivative ay nagbabago ng sign mula "-" hanggang "+"), at upang mahanap ang pinakamaliit na halaga ng function sa segment, kailangan mong ihambing ang mga halaga ng function sa pinakamababang punto at sa kaliwang dulo ng segment, .

At upang malutas ito, kailangan mo ng kaunting kaalaman sa paksa. Ang susunod na taon ng akademiko ay magtatapos, lahat ay gustong magbakasyon, at upang mailapit ang sandaling ito, agad akong bumaba sa negosyo:

Magsimula tayo sa lugar. Ang lugar na tinutukoy sa kondisyon ay limitado sarado hanay ng mga punto sa eroplano. Halimbawa, isang hanay ng mga puntos na nililimitahan ng isang tatsulok, kasama ang BUONG tatsulok (kung galing mga hangganan"Poke out" kahit isang punto, pagkatapos ay hindi na isasara ang lugar). Sa pagsasagawa, mayroon ding mga lugar ng hugis-parihaba, bilog at bahagyang mas kumplikadong mga hugis. Dapat pansinin na sa teorya ng pagsusuri sa matematika, ang mga mahigpit na kahulugan ay ibinigay mga limitasyon, paghihiwalay, mga hangganan, atbp., ngunit sa palagay ko ay alam ng lahat ang mga konseptong ito sa isang intuitive na antas, at higit pa ang hindi kailangan ngayon.

Ang patag na lugar ay karaniwang tinutukoy ng titik , at, bilang panuntunan, ay binibigyan ng analytical - sa pamamagitan ng ilang mga equation (hindi kinakailangang linear); mas madalas na hindi pagkakapantay-pantay. Isang tipikal na verbal turnover: "closed arealimited by lines".

Ang isang mahalagang bahagi ng gawain na isinasaalang-alang ay ang pagtatayo ng lugar sa pagguhit. Paano ito gagawin? Kinakailangang iguhit ang lahat ng nakalistang linya (sa kasong ito 3 tuwid) at pag-aralan kung ano ang nangyari. Ang nais na lugar ay karaniwang bahagyang napipisa, at ang hangganan nito ay naka-highlight na may naka-bold na linya:


Ang parehong lugar ay maaaring itakda mga linear na hindi pagkakapantay-pantay: , na para sa ilang kadahilanan ay mas madalas na nakasulat bilang isang listahan ng enumeration, at hindi sistema.
Dahil ang hangganan ay kabilang sa rehiyon, kung gayon ang lahat ng hindi pagkakapantay-pantay, siyempre, hindi mahigpit.

At ngayon ang pinakabuod ng bagay. Isipin na ang axis ay dumiretso sa iyo mula sa pinanggalingan ng mga coordinate. Isaalang-alang ang isang function na tuloy-tuloy sa bawat punto ng lugar. Ang graph ng function na ito ay ibabaw, at ang maliit na kaligayahan ay na upang malutas ang problema ngayon, hindi natin kailangang malaman kung ano ang hitsura ng ibabaw na ito. Maaari itong matatagpuan sa itaas, sa ibaba, tumawid sa eroplano - lahat ng ito ay hindi mahalaga. At ang mga sumusunod ay mahalaga: ayon sa Weierstrass theorems, tuloy-tuloy sa limitadong sarado lugar, ang function ay umabot sa maximum nito (sa "pinakamataas") at least (sa "pinakamababa") mga halagang mahahanap. Ang mga halagang ito ay nakamit o sa nakatigil na mga puntos, kabilang sa rehiyonD , o sa mga puntong nasa hangganan ng rehiyong ito. Mula sa kung saan sumusunod ang isang simple at transparent na algorithm ng solusyon:

Halimbawa 1

Sa isang limitadong nakapaloob na lugar

Desisyon: Una sa lahat, kailangan mong ilarawan ang lugar sa pagguhit. Sa kasamaang palad, ito ay teknikal na mahirap para sa akin na gumawa ng isang interactive na modelo ng problema, at samakatuwid ay ibibigay ko kaagad ang pangwakas na paglalarawan, na nagpapakita ng lahat ng "kahina-hinalang" mga punto na natagpuan sa panahon ng pag-aaral. Kadalasan sila ay ibinaba nang isa-isa habang sila ay natagpuan:

Batay sa preamble, ang desisyon ay maginhawang mahahati sa dalawang punto:

I) Maghanap tayo ng mga nakatigil na puntos. Ito ay isang karaniwang aksyon na paulit-ulit nating isinagawa sa aralin. tungkol sa extrema ng ilang variable:

Nakahanap ng nakatigil na punto nabibilang mga lugar: (markahan ito sa drawing), na nangangahulugan na dapat nating kalkulahin ang halaga ng function sa isang naibigay na punto:

- tulad ng sa artikulo Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment, iha-highlight ko ang mahahalagang resulta nang naka-bold. Sa isang kuwaderno, ito ay maginhawa upang bilugan ang mga ito gamit ang isang lapis.

Bigyang-pansin ang aming pangalawang kaligayahan - walang saysay na suriin sapat na kondisyon para sa isang extremum. Bakit? Kahit na sa puntong umabot ang function, halimbawa, lokal na minimum, kung gayon ay HINDI ito nangangahulugang ang magreresultang halaga ay magiging minimal sa buong rehiyon (tingnan ang simula ng aralin tungkol sa mga walang kundisyong labis) .

Paano kung ang nakatigil na punto ay HINDI kabilang sa lugar? Halos wala! Dapat pansinin iyon at pumunta sa susunod na talata.

II) Sinisiyasat namin ang hangganan ng rehiyon.

Dahil ang hangganan ay binubuo ng mga gilid ng isang tatsulok, ito ay maginhawa upang hatiin ang pag-aaral sa 3 subparagraphs. Ngunit ito ay mas mahusay na gawin ito kahit papaano. Mula sa aking pananaw, sa una ay mas kapaki-pakinabang na isaalang-alang ang mga segment na kahanay sa mga coordinate axes, at una sa lahat, ang mga nakahiga sa mga axes mismo. Upang mahuli ang buong pagkakasunud-sunod at lohika ng mga aksyon, subukang pag-aralan ang pagtatapos "sa isang hininga":

1) Ating harapin ang ibabang bahagi ng tatsulok. Upang gawin ito, pinapalitan namin nang direkta ang function:

Bilang kahalili, maaari mong gawin ito tulad nito:

Geometrically, nangangahulugan ito na ang coordinate plane (na ibinigay din ng equation)"cut out" mula sa ibabaw"spatial" na parabola, na ang tuktok nito ay agad na nahuhulog sa ilalim ng hinala. Alamin Natin Nasaan siya:

- ang nagresultang halaga ay "hit" sa lugar, at maaaring ito ay sa puntong iyon (markahan sa drawing) ang function ay umabot sa pinakamalaki o pinakamaliit na halaga sa buong lugar. Anyway, gawin natin ang mga kalkulasyon:

Ang iba pang mga "kandidato" ay, siyempre, ang mga dulo ng segment. Kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga punto (markahan sa drawing):

Dito, sa pamamagitan ng paraan, maaari kang magsagawa ng oral mini-check sa bersyon na "nahubaran":

2) Upang pag-aralan ang kanang bahagi ng tatsulok, pinapalitan namin ito sa function at "ilagay ang mga bagay sa pagkakasunud-sunod doon":

Dito agad kaming nagsasagawa ng magaspang na pagsusuri, "nagri-ring" sa naprosesong dulo ng segment:
, perpekto.

Ang geometric na sitwasyon ay nauugnay sa nakaraang punto:

- ang nagresultang halaga ay "pumasok din sa saklaw ng aming mga interes", na nangangahulugang kailangan naming kalkulahin kung ano ang katumbas ng function sa puntong lumitaw:

Suriin natin ang pangalawang dulo ng segment:

Gamit ang function , suriin natin:

3) Malamang na alam ng lahat kung paano galugarin ang natitirang bahagi. Pinapalitan namin ang function at nagsasagawa ng mga pagpapasimple:

Natapos ang linya naimbestigahan na, ngunit sa draft ay sinusuri pa rin namin kung nahanap namin nang tama ang function :
– kasabay ng resulta ng 1st subparagraph;
– kasabay ng resulta ng 2nd subparagraph.

Ito ay nananatiling alamin kung mayroong isang bagay na kawili-wili sa loob ng segment :

- meron! Ang pagpapalit ng isang tuwid na linya sa equation, nakuha namin ang ordinate ng "kawili-wili" na ito:

Minarkahan namin ang isang punto sa pagguhit at hanapin ang kaukulang halaga ng function:

Kontrolin natin ang mga kalkulasyon ayon sa bersyon ng "badyet". :
, order.

At ang huling hakbang: MABUTI na tingnan ang lahat ng "taba" na numero, inirerekumenda ko kahit na ang mga nagsisimula na gumawa ng isang listahan:

kung saan pipiliin namin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga. Sagot sumulat sa istilo ng problema sa paghahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa pagitan:

Kung sakali, muli akong magkomento sa geometric na kahulugan ng resulta:
– narito ang pinakamataas na punto ng ibabaw sa rehiyon ;
- narito ang pinakamababang punto ng ibabaw sa lugar.

Sa nasuri na problema, nakakita kami ng 7 "kahina-hinalang" puntos, ngunit ang kanilang bilang ay nag-iiba-iba sa bawat gawain. Para sa isang triangular na rehiyon, ang minimum na "exploration set" ay binubuo ng tatlong puntos. Nangyayari ito kapag ang function, halimbawa, ay nagtakda eroplano- medyo malinaw na walang mga nakatigil na puntos, at ang pag-andar ay maaaring maabot ang maximum / minimum na mga halaga lamang sa mga vertices ng tatsulok. Ngunit walang ganoong mga halimbawa isang beses, dalawang beses - kadalasan kailangan mong harapin ang ilang uri ng ibabaw ng 2nd order.

Kung malutas mo ang mga naturang gawain nang kaunti, kung gayon ang mga tatsulok ay maaaring magpaikot ng iyong ulo, at samakatuwid ay naghanda ako ng mga hindi pangkaraniwang halimbawa para sa iyo upang gawin itong parisukat :))

Halimbawa 2

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang saradong lugar na may hangganan ng mga linya

Halimbawa 3

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng isang function sa isang bounded closed area.

Bigyang-pansin ang nakapangangatwiran na pagkakasunud-sunod at pamamaraan ng paggalugad sa hangganan ng lugar, gayundin ang kadena ng mga intermediate na pagsusuri, na halos ganap na maiiwasan ang mga pagkakamali sa pagkalkula. Sa pangkalahatan, maaari mo itong lutasin ayon sa gusto mo, ngunit sa ilang mga problema, halimbawa, sa parehong Halimbawa 2, mayroong bawat pagkakataon na makabuluhang gawing kumplikado ang iyong buhay. Isang tinatayang halimbawa ng pagtatapos ng mga takdang-aralin sa pagtatapos ng aralin.

Isinasaayos namin ang algorithm ng solusyon, kung hindi, sa aking kasipagan ng isang gagamba, kahit papaano ay nawala ito sa isang mahabang thread ng mga komento ng unang halimbawa:

- Sa unang hakbang, nagtatayo kami ng isang lugar, kanais-nais na lilim ito, at i-highlight ang hangganan na may makapal na linya. Sa panahon ng solusyon, lilitaw ang mga puntos na kailangang ilagay sa pagguhit.

- Maghanap ng mga nakatigil na puntos at kalkulahin ang mga halaga ng function lamang sa mga, na nabibilang sa lugar . Ang nakuha na mga halaga ay naka-highlight sa teksto (halimbawa, bilugan ng lapis). Kung ang nakatigil na punto ay HINDI kabilang sa lugar, pagkatapos ay markahan namin ang katotohanang ito ng isang icon o pasalita. Kung walang mga nakatigil na punto sa lahat, pagkatapos ay gumuhit kami ng isang nakasulat na konklusyon na wala sila. Sa anumang kaso, hindi maaaring laktawan ang item na ito!

– Paggalugad sa lugar ng hangganan. Una, kapaki-pakinabang na makitungo sa mga tuwid na linya na kahanay sa mga coordinate axes (kung meron man). Ang mga halaga ng pag-andar na kinakalkula sa "kahina-hinalang" mga punto ay naka-highlight din. Marami na ang nasabi tungkol sa pamamaraan ng solusyon sa itaas at iba pa ang sasabihin sa ibaba - basahin, muling basahin, pag-aralan!

- Mula sa mga napiling numero, piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga at magbigay ng sagot. Minsan nangyayari na ang pag-andar ay umabot sa mga naturang halaga sa ilang mga punto nang sabay-sabay - sa kasong ito, ang lahat ng mga puntong ito ay dapat na maipakita sa sagot. Hayaan, halimbawa, at ito pala ang pinakamaliit na halaga. Pagkatapos ay sinusulat namin iyon

Ang mga huling halimbawa ay nakatuon sa iba pang mga kapaki-pakinabang na ideya na magiging kapaki-pakinabang sa pagsasanay:

Halimbawa 4

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang saradong lugar .

Iningatan ko ang pormulasyon ng may-akda, kung saan ang lugar ay ibinigay bilang dobleng hindi pagkakapantay-pantay. Ang kundisyong ito ay maaaring isulat sa isang katumbas na sistema o sa isang mas tradisyonal na anyo para sa problemang ito:

Paalala ko sa iyo na may hindi linear nakatagpo kami ng hindi pagkakapantay-pantay noong , at kung hindi mo naiintindihan ang geometric na kahulugan ng entry, mangyaring huwag antalahin at linawin ang sitwasyon ngayon ;-)

Desisyon, gaya ng dati, ay nagsisimula sa pagtatayo ng lugar, na isang uri ng "sole":

Hmm, kung minsan kailangan mong ngangain hindi lamang ang granite ng agham ....

I) Maghanap ng mga nakatigil na puntos:

Sistema ng pangarap ng tanga :)

Ang nakatigil na punto ay kabilang sa rehiyon, ibig sabihin, nasa hangganan nito.

At kaya, wala ito ... masaya na aral - iyon ang ibig sabihin ng pag-inom ng tamang tsaa =)

II) Sinisiyasat namin ang hangganan ng rehiyon. Nang walang karagdagang ado, magsimula tayo sa x-axis:

1) Kung , kung gayon

Hanapin kung nasaan ang tuktok ng parabola:
- Pahalagahan ang gayong mga sandali - "hit" hanggang sa punto, kung saan malinaw na ang lahat. Ngunit huwag kalimutang suriin:

Kalkulahin natin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment:

2) Haharapin namin ang mas mababang bahagi ng "nag-iisang" "sa isang upuan" - nang walang anumang mga kumplikadong pinapalitan namin ito sa pag-andar, bukod dito, magiging interesado lamang kami sa segment:

Ang kontrol:

Ngayon ay nagdudulot na ito ng kaunting pagbabago sa monotonous ride sa isang knurled track. Hanapin natin ang mga kritikal na punto:

Kami ang magdedesisyon quadratic equation naaalala mo ba ang isang ito? ... Gayunpaman, tandaan, siyempre, kung hindi, hindi mo nabasa ang mga linyang ito =) Kung sa dalawang nakaraang mga halimbawa ang mga kalkulasyon sa mga decimal fraction ay maginhawa (na kung saan, sa pamamagitan ng paraan, ay bihira), pagkatapos ay narito kami ay naghihintay para sa karaniwang ordinaryong fraction. Nahanap namin ang mga ugat ng "x" at, gamit ang equation, tinutukoy ang kaukulang mga coordinate ng "laro" ng mga punto ng "kandidato":


Kalkulahin natin ang mga halaga ng function sa mga nahanap na punto:

Suriin ang pag-andar sa iyong sarili.

Ngayon ay maingat naming pinag-aaralan ang mga napanalunang tropeo at isulat sagot:

Narito ang mga "kandidato", kaya ang mga "kandidato"!

Para sa isang nakapag-iisang solusyon:

Halimbawa 5

Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang saradong lugar

Ang isang entry na may mga kulot na braces ay ganito ang mababasa: "isang set ng mga puntos na ganyan".

Minsan sa mga ganitong halimbawa ginagamit nila Paraan ng Lagrange multiplier, ngunit ang tunay na pangangailangan na gamitin ito ay malamang na hindi lumabas. Kaya, halimbawa, kung ang isang function na may parehong lugar na "de" ay ibinigay, pagkatapos ay pagkatapos ng pagpapalit dito - na may isang hinalaw na walang mga paghihirap; Bukod dito, ang lahat ay iginuhit sa isang "isang linya" (na may mga palatandaan) nang hindi kinakailangang isaalang-alang ang itaas at mas mababang kalahating bilog nang hiwalay. Ngunit, siyempre, may mga mas kumplikadong mga kaso, kung saan walang Lagrange function (kung saan ang , halimbawa, ay ang parehong equation ng bilog) mahirap makayanan - gaano kahirap makayanan ng walang magandang pahinga!

All the best na makapasa sa session at magkita-kita tayo sa susunod na season!

Mga solusyon at sagot:

Halimbawa 2: Desisyon: iguhit ang lugar sa drawing: