Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ay tinatawag na differentiation.

Bilang resulta ng paglutas ng mga problema sa paghahanap ng mga derivatives ng pinakasimpleng (at hindi masyadong simple) na mga pag-andar sa pamamagitan ng pagtukoy sa derivative bilang limitasyon ng ratio ng pagtaas sa pagtaas ng argumento, lumitaw ang isang talahanayan ng mga derivative at tiyak na tinukoy na mga panuntunan ng pagkita ng kaibhan. . Sina Isaac Newton (1643-1727) at Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ang unang nagtrabaho sa larangan ng paghahanap ng mga derivatives.

Samakatuwid, sa ating panahon, upang mahanap ang derivative ng anumang function, hindi kinakailangang kalkulahin ang nabanggit na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento, ngunit kailangan lamang gamitin ang talahanayan. ng mga derivatives at ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ang sumusunod na algorithm ay angkop para sa paghahanap ng derivative.

Upang mahanap ang derivative, kailangan mo ng expression sa ilalim ng stroke sign hatiin ang mga simpleng function at tukuyin kung anong mga aksyon (produkto, kabuuan, kusyente) magkaugnay ang mga function na ito. Dagdag pa, makikita natin ang mga derivatives ng elementary functions sa talahanayan ng mga derivatives, at ang mga formula para sa derivatives ng produkto, sum at quotient - sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ang talahanayan ng mga derivatives at mga panuntunan sa pagkakaiba-iba ay ibinigay pagkatapos ng unang dalawang halimbawa.

Halimbawa 1 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. Mula sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan nalaman natin na ang hinango ng kabuuan ng mga pag-andar ay ang kabuuan ng mga derivatives ng mga pag-andar, i.e.

Mula sa talahanayan ng mga derivatives, nalaman namin na ang derivative ng "X" ay katumbas ng isa, at ang derivative ng sine ay cosine. Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa kabuuan ng mga derivative at hinahanap ang hinango na kinakailangan ng kondisyon ng problema:

Halimbawa 2 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. I-differentiate bilang derivative ng kabuuan, kung saan ang pangalawang termino na may pare-parehong salik, maaari itong alisin sa tanda ng derivative:

Kung mayroon pa ring mga katanungan tungkol sa kung saan nagmula ang isang bagay, sila, bilang panuntunan, ay nagiging malinaw pagkatapos basahin ang talahanayan ng mga derivatives at ang pinakasimpleng mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Pupunta kami sa kanila ngayon.

Talaan ng mga derivatives ng mga simpleng function

1. Derivative ng isang pare-pareho (numero). Anumang numero (1, 2, 5, 200...) na nasa expression ng function. Laging zero. Napakahalagang tandaan ito, dahil madalas itong kinakailangan
2. Derivative ng independent variable. Kadalasan ay "x". Laging katumbas ng isa. Mahalaga rin itong tandaan
3. Derivative ng degree. Kapag nilulutas ang mga problema, kailangan mong i-convert ang mga di-square na ugat sa isang kapangyarihan.
4. Derivative ng isang variable sa kapangyarihan ng -1
5. Derivative ng square root
6. Sine derivative
7. Cosine derivative
8. Tangent derivative
9. Derivative ng cotangent
10. Derivative ng arcsine
11. Derivative ng arc cosine
12. Derivative ng arc tangent
13. Derivative ng inverse tangent
14. Derivative ng natural logarithm
15. Derivative ng isang logarithmic function
16. Derivative ng exponent
17. Derivative ng exponential function

Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba

1. Derivative ng kabuuan o pagkakaiba
2. Derivative ng isang produkto
2a. Derivative ng isang expression na pinarami ng isang pare-parehong kadahilanan
3. Derivative ng quotient
4. Derivative ng isang kumplikadong function

Panuntunan 1Kung functions

ay differentiable sa ilang mga punto , pagkatapos ay sa parehong punto ang mga function

at

mga. ang derivative ng algebraic sum of functions ay katumbas ng algebraic sum ng derivatives ng mga function na ito.

Bunga. Kung ang dalawang naiba-iba na pag-andar ay naiiba sa pamamagitan ng isang pare-pareho, kung gayon ang kanilang mga derivatives ay, ibig sabihin.

Panuntunan 2Kung functions

ay naiba sa isang punto , pagkatapos ang kanilang produkto ay naiba din sa parehong punto

at

mga. ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito at ang derivative ng isa pa.

Bunga 1. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative:

Bunga 2. Ang derivative ng produkto ng ilang differentiable function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng derivative ng bawat salik at lahat ng iba pa.

Halimbawa, para sa tatlong multiplier:

Panuntunan 3Kung functions

naiba sa isang punto at , pagkatapos sa puntong ito ang kanilang quotient ay din differentiable.u/v , at

mga. ang derivative ng isang quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at ang derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng dating numerator .

Kung saan titingin sa ibang mga pahina

Kapag nahanap ang derivative ng produkto at ang quotient sa mga totoong problema, palaging kinakailangan na maglapat ng ilang mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan nang sabay-sabay, kaya higit pang mga halimbawa sa mga derivatives na ito ang nasa artikulo."Ang derivative ng isang produkto at isang quotient".

Magkomento. Hindi mo dapat malito ang isang pare-pareho (iyon ay, isang numero) bilang isang termino sa kabuuan at bilang isang pare-parehong kadahilanan! Sa kaso ng isang termino, ang derivative nito ay katumbas ng zero, at sa kaso ng pare-parehong salik, ito ay inalis sa tanda ng mga derivatives. Isa itong tipikal na pagkakamali na nangyayari sa paunang yugto ng pag-aaral ng mga derivative, ngunit habang ang karaniwang mag-aaral ay nilulutas ang ilang isa-dalawang bahagi na halimbawa, hindi na nagagawa ang pagkakamaling ito.

At kung, kapag iniiba ang isang produkto o isang quotient, mayroon kang termino u"v, kung saan u- isang numero, halimbawa, 2 o 5, iyon ay, isang pare-pareho, kung gayon ang derivative ng numerong ito ay magiging katumbas ng zero at, samakatuwid, ang buong termino ay magiging katumbas ng zero (ang ganitong kaso ay sinusuri sa halimbawa 10) .

Ang isa pang karaniwang pagkakamali ay ang mekanikal na solusyon ng derivative ng isang complex function bilang derivative ng isang simpleng function. Kaya derivative ng isang kumplikadong function nakatuon sa isang hiwalay na artikulo. Ngunit matututunan muna nating maghanap ng mga derivatives ng mga simpleng function.

Kasama ang paraan, hindi mo magagawa nang walang pagbabago ng mga expression. Upang gawin ito, maaaring kailanganin mong buksan sa mga bagong window ang mga manual Mga aksyon na may kapangyarihan at ugat at Mga aksyon na may mga fraction .

Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga derivative na may mga kapangyarihan at ugat, iyon ay, kapag ang function ay mukhang , pagkatapos ay sundan ang aralin na " Derivative of the sum of fractions with powers and roots".

Kung mayroon kang gawain tulad ng , kung gayon ikaw ay nasa aralin na "Derivatives of simple trigonometric functions".

Hakbang-hakbang na mga halimbawa - kung paano hanapin ang derivative

Halimbawa 3 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. Tinutukoy namin ang mga bahagi ng expression ng function: ang buong expression ay kumakatawan sa produkto, at ang mga kadahilanan nito ay mga kabuuan, sa pangalawa kung saan ang isa sa mga termino ay naglalaman ng pare-parehong kadahilanan. Inilapat namin ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto: ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito at ang derivative ng isa pa:

Susunod, inilalapat namin ang tuntunin ng pagkita ng kaibhan ng kabuuan: ang derivative ng algebraic sum ng mga function ay katumbas ng algebraic sum ng mga derivatives ng mga function na ito. Sa aming kaso, sa bawat kabuuan, ang pangalawang termino na may minus sign. Sa bawat kabuuan, makikita natin ang parehong independiyenteng variable, ang derivative nito ay katumbas ng isa, at isang pare-pareho (numero), ang derivative nito ay katumbas ng zero. Kaya, ang "x" ay nagiging isa, at minus 5 - sa zero. Sa pangalawang expression, ang "x" ay pinarami ng 2, kaya pinarami namin ang dalawa sa parehong yunit bilang derivative ng "x". Nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng mga derivatives:

Pinapalitan namin ang mga nahanap na derivative sa kabuuan ng mga produkto at nakuha ang derivative ng buong function na kinakailangan ng kondisyon ng problema:

Halimbawa 4 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. Kinakailangan nating hanapin ang derivative ng quotient. Inilapat namin ang pormula para sa pagkakaiba-iba ng quotient: ang derivative ng isang quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng dating numerator. Nakukuha namin:

Natagpuan na natin ang derivative ng mga salik sa numerator sa Halimbawa 2. Huwag din nating kalimutan na ang produkto, na siyang pangalawang salik sa numerator, ay kinuha na may minus sign sa kasalukuyang halimbawa:

Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga ganitong problema kung saan kailangan mong hanapin ang derivative ng isang function, kung saan mayroong tuluy-tuloy na tumpok ng mga ugat at degree, tulad ng, halimbawa, pagkatapos ay maligayang pagdating sa klase "Ang derivative ng kabuuan ng mga fraction na may kapangyarihan at ugat" .

Kung kailangan mong matuto nang higit pa tungkol sa mga derivatives ng mga sine, cosine, tangent at iba pang trigonometric function, iyon ay, kapag ang function ay parang , tapos may lesson ka "Mga derivative ng simpleng trigonometric function" .

Halimbawa 5 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. Sa function na ito, nakikita natin ang isang produkto, ang isa sa mga salik kung saan ay ang square root ng independent variable, na may derivative kung saan naging pamilyar tayo sa talahanayan ng mga derivatives. Ayon sa panuntunan sa pagkita ng kaibhan ng produkto at ang halaga ng tabular ng derivative ng square root, nakukuha natin ang:

Halimbawa 6 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. Sa function na ito, nakikita natin ang quotient, na ang dibidendo ay ang square root ng independent variable. Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient, na inulit namin at inilapat sa halimbawa 4, at ang halaga ng tabular ng derivative ng square root, nakukuha namin:

Upang maalis ang fraction sa numerator, i-multiply ang numerator at denominator sa .

Imposibleng malutas ang mga pisikal na problema o mga halimbawa sa matematika nang walang kaalaman tungkol sa derivative at mga pamamaraan para sa pagkalkula nito. Ang derivative ay isa sa pinakamahalagang konsepto ng mathematical analysis. Nagpasya kaming italaga ang artikulo ngayon sa pangunahing paksang ito. Ano ang derivative, ano ang pisikal at geometric na kahulugan nito, paano makalkula ang derivative ng isang function? Ang lahat ng mga tanong na ito ay maaaring pagsamahin sa isa: kung paano maunawaan ang hinalaw?

Geometric at pisikal na kahulugan ng derivative

Magkaroon ng function f(x) , ibinigay sa ilang pagitan (a,b) . Ang mga puntos na x at x0 ay nabibilang sa pagitan na ito. Kapag nagbago ang x, nagbabago ang function mismo. Pagbabago ng argumento - pagkakaiba ng mga halaga nito x-x0 . Ang pagkakaibang ito ay nakasulat bilang delta x at tinatawag na argument increment. Ang pagbabago o pagtaas ng isang function ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng function sa dalawang punto. Derivative na kahulugan:

Ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng ratio ng increment ng function sa isang partikular na punto sa pagtaas ng argument kapag ang huli ay may posibilidad na zero.

Kung hindi, maaari itong isulat tulad nito:

Ano ang punto sa paghahanap ng gayong limitasyon? Ngunit alin:

ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng tangent ng anggulo sa pagitan ng OX axis at ang tangent sa graph ng function sa isang naibigay na punto.

Ang pisikal na kahulugan ng derivative: ang time derivative ng path ay katumbas ng bilis ng rectilinear motion.

Sa katunayan, mula noong mga araw ng paaralan, alam ng lahat na ang bilis ay isang pribadong landas. x=f(t) at oras t . Average na bilis sa isang tiyak na tagal ng panahon:

Upang malaman ang bilis ng paggalaw sa isang pagkakataon t0 kailangan mong kalkulahin ang limitasyon:

Unang panuntunan: alisin ang pare-pareho

Ang pare-pareho ay maaaring alisin sa tanda ng derivative. Bukod dito, dapat itong gawin. Kapag nilulutas ang mga halimbawa sa matematika, kunin bilang panuntunan - kung maaari mong pasimplehin ang expression, siguraduhing pasimplehin .

Halimbawa. Kalkulahin natin ang derivative:

Rule two: derivative ng kabuuan ng mga function

Ang derivative ng kabuuan ng dalawang function ay katumbas ng sum ng derivatives ng mga function na ito. Ang parehong ay totoo para sa derivative ng pagkakaiba ng mga function.

Hindi kami magbibigay ng patunay ng teorama na ito, ngunit sa halip ay isaalang-alang ang isang praktikal na halimbawa.

Hanapin ang derivative ng isang function:

Tatlong panuntunan: ang derivative ng produkto ng mga function

Ang derivative ng produkto ng dalawang differentiable function ay kinakalkula ng formula:

Halimbawa: hanapin ang derivative ng isang function:

Desisyon:

Narito mahalagang sabihin ang tungkol sa pagkalkula ng mga derivatives ng mga kumplikadong function. Ang derivative ng isang kumplikadong function ay katumbas ng produkto ng derivative ng function na ito na may paggalang sa intermediate argument sa pamamagitan ng derivative ng intermediate argument na may kinalaman sa independent variable.

Sa halimbawa sa itaas, nakatagpo namin ang expression:

Sa kasong ito, ang intermediate argument ay 8x hanggang sa ikalimang kapangyarihan. Upang makalkula ang derivative ng naturang expression, isaalang-alang muna natin ang derivative ng external function na may paggalang sa intermediate argument, at pagkatapos ay i-multiply sa derivative ng intermediate argument mismo na may paggalang sa independent variable.

Ikaapat na Panuntunan: Ang derivative ng quotient ng dalawang function

Formula para sa pagtukoy ng derivative ng isang quotient ng dalawang function:

Sinubukan naming pag-usapan ang tungkol sa mga derivatives para sa mga dummies mula sa simula. Ang paksang ito ay hindi kasing simple ng tila, kaya't bigyan ng babala: madalas na may mga pitfalls sa mga halimbawa, kaya maging maingat sa pagkalkula ng mga derivatives.

Sa anumang tanong tungkol dito at sa iba pang mga paksa, maaari kang makipag-ugnayan sa serbisyo ng mag-aaral. Sa maikling panahon, tutulungan ka naming lutasin ang pinakamahirap na kontrol at harapin ang mga gawain, kahit na hindi mo pa napag-uusapan ang pagkalkula ng mga derivatives dati.

Sa araling ito, matututunan natin kung paano ilapat ang mga pormula at tuntunin ng pagkakaiba-iba.

Mga halimbawa. Maghanap ng mga derivatives ng mga function.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Paglalapat ng Panuntunan ako, mga formula 4, 2 at 1. Nakukuha namin ang:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Pareho kaming nalulutas, gamit ang parehong mga formula at ang formula 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Paglalapat ng Panuntunan ako, mga formula 3, 5 at 6 at 1.

Paglalapat ng Panuntunan IV, mga formula 5 at 1 .

Sa ikalimang halimbawa, ayon sa tuntunin ako ang derivative ng sum ay katumbas ng sum ng derivatives, at nakita lang namin ang derivative ng 1st term (halimbawa 4 ), samakatuwid, makakahanap tayo ng mga derivatives ika-2 at ika-3 mga tuntunin, at para sa 1st termino, maaari naming agad na isulat ang resulta.

Pag-iiba ika-2 at ika-3 mga tuntunin ayon sa pormula 4 . Upang gawin ito, iko-convert namin ang mga ugat ng ikatlo at ikaapat na degree sa mga denominator sa mga kapangyarihan na may mga negatibong exponent, at pagkatapos, ayon sa 4 formula, nakita namin ang mga derivatives ng mga kapangyarihan.

Tingnan ang halimbawang ito at ang resulta. Nahuli mo ba ang pattern? Mabuti. Nangangahulugan ito na mayroon kaming bagong formula at maaari itong idagdag sa aming talahanayan ng mga derivatives.

Lutasin natin ang ikaanim na halimbawa at kumuha ng isa pang formula.

Ginagamit namin ang panuntunan IV at pormula 4 . Binabawasan namin ang mga resultang fraction.

Tinitingnan namin ang function na ito at ang hinango nito. Siyempre, naunawaan mo ang pattern at handa ka nang pangalanan ang formula:

Pag-aaral ng mga bagong formula!

Mga halimbawa.

1. Maghanap ng argument increment at function increment y= x2 kung ang unang halaga ng argumento ay 4 , at ang bago 4,01 .

Desisyon.

Bagong halaga ng argumento x \u003d x 0 + Δx. Palitan ang data: 4.01=4+Δx, kaya ang pagtaas ng argumento Δх=4.01-4=0.01. Ang pagtaas ng isang function, sa pamamagitan ng kahulugan, ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng bago at nakaraang mga halaga ng function, i.e. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Since may function kami y=x2, pagkatapos Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Sagot: pagtaas ng argumento Δх=0.01; pagtaas ng function Δу=0,0801.

Posibleng mahanap ang pagtaas ng function sa ibang paraan: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.

2. Hanapin ang anggulo ng inclination ng tangent sa function graph y=f(x) sa punto x 0, kung f "(x 0) \u003d 1.

Desisyon.

Ang halaga ng derivative sa punto ng contact x 0 at ang halaga ng tangent ng slope ng tangent (ang geometric na kahulugan ng derivative). Meron kami: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, bilang tg45°=1.

Sagot: ang tangent sa graph ng function na ito ay bumubuo ng isang anggulo na may positibong direksyon ng Ox axis, katumbas ng 45°.

3. Kunin ang formula para sa derivative ng isang function y=xn.

Pagkakaiba-iba ay ang pagkilos ng paghahanap ng derivative ng isang function.

Kapag naghahanap ng mga derivative, ginagamit ang mga formula na hinango batay sa kahulugan ng derivative, sa parehong paraan kung paano namin nakuha ang formula para sa derivative na degree: (x n)" = nx n-1.

Narito ang mga formula.

Derivative table magiging mas madaling kabisaduhin sa pamamagitan ng pagbigkas ng mga verbal formulations:

1. Ang derivative ng isang pare-parehong halaga ay zero.

2. Ang X stroke ay katumbas ng isa.

3. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative.

4. Ang derivative ng isang degree ay katumbas ng produkto ng exponent ng degree na ito ayon sa degree na may parehong base, ngunit ang exponent ay mas mababa ng isa.

5. Ang derivative ng ugat ay katumbas ng isa na hinati ng dalawa sa parehong ugat.

6. Ang derivative ng isang hinati sa x ay minus one na hinati ng x squared.

7. Ang derivative ng sine ay katumbas ng cosine.

8. Ang derivative ng cosine ay katumbas ng minus sine.

9. Ang derivative ng tangent ay katumbas ng isang hinati sa parisukat ng cosine.

10. Ang derivative ng cotangent ay minus one na hinati sa square ng sine.

Nagtuturo kami mga panuntunan sa pagkakaiba-iba.

1. Ang derivative ng algebraic sum ay katumbas ng algebraic sum ng derivative terms.

2. Ang derivative ng produkto ay katumbas ng produkto ng derivative ng unang factor ng pangalawa kasama ang produkto ng unang factor ng derivative ng pangalawa.

3. Ang derivative ng "y" na hinati ng "ve" ay katumbas ng isang fraction, sa numerator kung saan ang "y ay isang stroke na pinarami ng "ve" minus "y, pinarami ng isang stroke", at sa denominator - "ve squared ”.

4. Isang espesyal na kaso ng formula 3.

Sama-sama tayong matuto!

Pahina 1 ng 1 1

Kung susundin natin ang kahulugan, kung gayon ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng increment ratio ng function Δ y sa pagtaas ng argumentong Δ x:

Tila malinaw na ang lahat. Ngunit subukang kalkulahin sa pamamagitan ng formula na ito, sabihin nating, ang derivative ng function f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x kasalanan x. Kung gagawin mo ang lahat sa pamamagitan ng kahulugan, pagkatapos pagkatapos ng ilang mga pahina ng mga kalkulasyon ay matutulog ka lang. Samakatuwid, may mga mas simple at mas epektibong paraan.

Upang magsimula, tandaan namin na ang tinatawag na elementarya na mga pag-andar ay maaaring makilala mula sa buong iba't ibang mga pag-andar. Ang mga ito ay medyo simpleng mga expression, ang mga derivatives na kung saan ay matagal nang kinakalkula at ipinasok sa talahanayan. Ang mga naturang function ay sapat na madaling matandaan, kasama ang kanilang mga derivatives.

Derivatives ng elementarya function

Ang mga elementary function ay lahat ng nakalista sa ibaba. Ang mga derivatives ng mga function na ito ay dapat na kilala sa puso. At saka, hindi mahirap kabisaduhin ang mga ito - kaya naman elementary sila.

Kaya, ang mga derivatives ng elementarya na pag-andar:

Pangalan	Function	Derivative
pare-pareho	f(x) = C, C ∈ R	0 (oo, oo, zero!)
Degree na may rational exponent	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = kasalanan x	cos x
Cosine	f(x) = cos x	− kasalanan x(minus sine)
Padaplis	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangent	f(x) = ctg x	− 1/kasalanan2 x
natural na logarithm	f(x) = log x	1/x
Arbitrary logarithm	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Exponential function	f(x) = e x	e x(walang nagbago)

Kung ang isang elementary function ay pinarami ng isang arbitrary na pare-pareho, kung gayon ang derivative ng bagong function ay madali ding kalkulahin:

(C · f)’ = C · f ’.

Sa pangkalahatan, ang mga constant ay maaaring alisin sa sign ng derivative. Halimbawa:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Malinaw, ang mga elementary function ay maaaring idagdag sa isa't isa, multiply, hinati, at marami pang iba. Ito ay kung paano lilitaw ang mga bagong function, hindi na masyadong elementarya, ngunit din naiba-iba ayon sa ilang mga patakaran. Ang mga tuntuning ito ay tinalakay sa ibaba.

Derivative ng kabuuan at pagkakaiba

Hayaan ang mga function f(x) at g(x), na ang mga derivative ay alam natin. Halimbawa, maaari mong kunin ang mga elementary function na tinalakay sa itaas. Pagkatapos ay mahahanap mo ang derivative ng kabuuan at pagkakaiba ng mga function na ito:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Kaya, ang derivative ng kabuuan (difference) ng dalawang function ay katumbas ng sum (difference) ng mga derivatives. Maaaring may higit pang mga termino. Halimbawa, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Sa mahigpit na pagsasalita, walang konsepto ng "pagbabawas" sa algebra. Mayroong isang konsepto ng "negatibong elemento". Samakatuwid, ang pagkakaiba f − g maaaring isulat muli bilang kabuuan f+ (−1) g, at pagkatapos ay isang formula na lang ang natitira - ang derivative ng kabuuan.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Function f(x) ay ang kabuuan ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya:

f ’(x) = (x 2+ kasalanan x)’ = (x 2)' + (kasalanan x)’ = 2x+ cosx;

Pareho kaming nagtatalo para sa function g(x). Tanging mayroon nang tatlong termino (mula sa punto ng view ng algebra):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Sagot:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivative ng isang produkto

Ang matematika ay isang lohikal na agham, kaya maraming tao ang naniniwala na kung ang derivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives, kung gayon ang derivative ng produkto. strike"\u003e katumbas ng produkto ng mga derivatives. Ngunit figs para sa iyo! Ang derivative ng produkto ay kinakalkula gamit ang isang ganap na naiibang formula. Namely:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Ang formula ay simple, ngunit madalas na nakalimutan. At hindi lamang mga mag-aaral, kundi pati na rin ang mga mag-aaral. Ang resulta ay maling nalutas ang mga problema.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Function f(x) ay isang produkto ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya ang lahat ay simple:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) dahil x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−kasalanan x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x)

Function g(x) ang unang multiplier ay medyo mas kumplikado, ngunit ang pangkalahatang pamamaraan ay hindi nagbabago mula dito. Malinaw, ang unang multiplier ng function g(x) ay isang polynomial, at ang derivative nito ay ang derivative ng kabuuan. Meron kami:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Sagot:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Tandaan na sa huling hakbang, ang derivative ay factorized. Sa pormal, hindi ito kinakailangan, ngunit karamihan sa mga derivative ay hindi kinakalkula sa kanilang sarili, ngunit upang galugarin ang function. Nangangahulugan ito na ang karagdagang derivative ay itutumbas sa zero, ang mga palatandaan nito ay malalaman, at iba pa. Para sa ganitong kaso, mas mainam na magkaroon ng expression na nabulok sa mga kadahilanan.

Kung may dalawang function f(x) at g(x), at g(x) ≠ 0 sa hanay ng interes sa amin, maaari naming tukuyin ang isang bagong function h(x) = f(x)/g(x). Para sa ganoong function, maaari mo ring mahanap ang derivative:

Hindi mahina, tama? Saan nagmula ang minus? Bakit g 2? Pero ganito! Ito ay isa sa mga pinaka-kumplikadong formula - hindi mo maiisip ito nang walang bote. Samakatuwid, mas mahusay na pag-aralan ito na may mga tiyak na halimbawa.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function:

May mga elementarya na function sa numerator at denominator ng bawat fraction, kaya ang kailangan lang natin ay ang formula para sa derivative ng quotient:

Sa pamamagitan ng tradisyon, isinaalang-alang namin ang numerator sa mga kadahilanan - ito ay lubos na magpapasimple sa sagot:

Ang isang kumplikadong function ay hindi kinakailangang isang formula na kalahating kilometro ang haba. Halimbawa, ito ay sapat na upang kunin ang function f(x) = kasalanan x at palitan ang variable x, sabihin, sa x 2+ln x. Iyon pala f(x) = kasalanan ( x 2+ln x) ay isang kumplikadong function. Mayroon din siyang derivative, ngunit hindi ito gagana upang mahanap ito ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas.

Paano maging? Sa ganitong mga kaso, ang pagpapalit ng isang variable at ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function ay tumutulong:

f ’(x) = f ’(t) · t', kung x ay pinalitan ng t(x).

Bilang isang tuntunin, ang sitwasyon na may pag-unawa sa formula na ito ay mas malungkot kaysa sa hinango ng quotient. Samakatuwid, mas mainam din na ipaliwanag ito sa mga partikular na halimbawa, na may detalyadong paglalarawan ng bawat hakbang.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = kasalanan ( x 2+ln x)

Tandaan na kung sa function f(x) sa halip na expression 2 x+ 3 ay magiging madali x, pagkatapos ay makakakuha tayo ng elementarya na function f(x) = e x. Samakatuwid, gumawa kami ng isang pagpapalit: hayaan ang 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Hinahanap namin ang derivative ng isang kumplikadong function sa pamamagitan ng formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

At ngayon - pansin! Gumaganap ng reverse substitution: t = 2x+ 3. Nakukuha namin ang:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Ngayon tingnan natin ang function g(x). Malinaw na kailangang palitan. x 2+ln x = t. Meron kami:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (kasalanan t)’ · t' = kasi t · t ’

Baliktad na kapalit: t = x 2+ln x. Pagkatapos:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Iyon lang! Tulad ng makikita mula sa huling expression, ang buong problema ay nabawasan sa pagkalkula ng derivative ng kabuuan.

Sagot:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) dahil ( x 2+ln x).

Kadalasan sa aking mga aralin, sa halip na ang terminong "derivative", ginagamit ko ang salitang "stroke". Halimbawa, ang stroke ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga stroke. Mas malinaw ba iyon? Well, mabuti iyon.

Kaya, ang pagkalkula ng derivative ay bumaba sa pag-alis ng mga mismong stroke na ito ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas. Bilang huling halimbawa, bumalik tayo sa derivative power na may rational exponent:

(x n)’ = n · x n − 1

Iilan lang ang nakakaalam niyan sa role n maaaring isang fractional number. Halimbawa, ang ugat ay x 0.5 . Ngunit paano kung mayroong isang bagay na nakakalito sa ilalim ng ugat? Muli, ang isang kumplikadong pag-andar ay lalabas - gusto nilang magbigay ng gayong mga konstruksyon sa mga pagsusulit at pagsusulit.

Gawain. Hanapin ang derivative ng isang function:

Una, muling isulat natin ang ugat bilang isang kapangyarihan na may makatwirang exponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Ngayon gumawa kami ng isang pagpapalit: hayaan x 2 + 8x − 7 = t. Nahanap namin ang derivative sa pamamagitan ng formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−0.5 t ’.

Gumagawa kami ng reverse substitution: t = x 2 + 8x− 7. Mayroon kaming:

f ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0.5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Sa wakas, bumalik sa mga ugat:

Apendise

Ang solusyon ng derivative sa site upang pagsama-samahin ang materyal na sakop ng mga mag-aaral at mga mag-aaral. Ang pagkalkula ng derivative ng isang function sa loob ng ilang segundo ay hindi mahirap kung gagamitin mo ang aming online na serbisyo sa paglutas ng problema. Ang bawat ikatlong mag-aaral ay makakapagbigay ng isang detalyadong pagsusuri para sa isang masusing pag-aaral sa isang praktikal na aralin. Kadalasan ay nilalapitan tayo ng departamento ng nauugnay na departamento para sa pagsulong ng matematika sa mga institusyong pang-edukasyon ng bansa. Paano, sa kasong ito, hindi banggitin ang solusyon ng derivative online para sa isang saradong espasyo ng mga numerical sequence. Maraming mayayamang indibidwal ang pinapayagang ipahayag ang kanilang pagkalito. Ngunit sa pansamantala, ang mga mathematician ay hindi umupo nang tahimik at nagtatrabaho nang husto. Ang pagbabago sa mga parameter ng input ayon sa mga linear na katangian ay tatanggapin ng derivatives calculator pangunahin dahil sa suprema ng mga pababang posisyon ng mga cube. Ang resulta ay hindi maiiwasan bilang isang ibabaw. Bilang paunang data, inalis ng online derivative ang pangangailangang gumawa ng mga hindi kinakailangang hakbang. Maliban sa kathang-isip na takdang-aralin. Bilang karagdagan sa katotohanan na ang paglutas ng mga derivatives online ay isang kinakailangan at mahalagang aspeto ng pag-aaral ng matematika, madalas na hindi naaalala ng mga mag-aaral ang mga problema sa nakaraan. Naiintindihan ito ng estudyante, tulad ng isang tamad na nilalang. Ngunit ang mga estudyante ay nakakatawang tao! Alinman sa gawin ito ayon sa mga patakaran, o ang derivative ng function sa isang hilig na eroplano ay maaaring magbigay ng acceleration sa isang materyal na punto. Idirekta natin ang vector ng pababang spatial beam sa isang lugar. Sa nais na sagot, ang paghahanap ng derivative ay tila isang abstract na teoretikal na direksyon dahil sa kawalang-tatag ng sistemang matematika. Isipin ang ratio ng mga numero bilang isang pagkakasunud-sunod ng mga hindi nagamit na opsyon. Ang channel ng komunikasyon ay napunan ng ikalimang linya kasama ang pababang vector mula sa punto ng closed bifurcation ng cube. Sa eroplano ng mga curved space, ang paglutas ng derivative online ay humahantong sa amin sa isang konklusyon na nagpaisip sa pinakadakilang mga isipan ng planeta noong nakaraang siglo. Sa kurso ng mga kaganapan mula sa larangan ng matematika, limang pangunahing mahahalagang salik na nag-aambag sa pagpapabuti ng posisyon ng pagpili ng isang variable ay dinala sa pampublikong talakayan. Kaya't ang batas para sa mga puntos ay nagsasabi na ang online na derivative ay hindi kinakalkula nang detalyado sa bawat kaso, tanging isang matapat na pag-unlad na sandali lamang ang maaaring maging eksepsiyon. Ang pagtataya ay nagdala sa amin sa isang bagong yugto ng pag-unlad. Kailangan natin ng resulta. Sa linya ng mathematical slope na dumaan sa ilalim ng ibabaw, ang calculator ng mga derivatives ng mode ay nasa lugar ng intersection ng mga produkto sa baluktot na hanay. Ito ay nananatiling pag-aralan ang pagkita ng kaibahan ng function sa independiyenteng punto nito malapit sa kapitbahayan ng epsilon. Ito ay makikita ng lahat sa pagsasanay. Bilang resulta, magkakaroon ng isang bagay na mapagpasyahan sa susunod na yugto ng programming. Kailangan ng mag-aaral ang online derivative gaya ng dati, anuman ang mga haka-haka na pag-aaral na ginagawa. Ito ay lumalabas na ang online na solusyon ng derivative function na pinarami ng isang pare-pareho ay hindi nagbabago sa pangkalahatang direksyon ng paggalaw ng materyal na punto, ngunit nailalarawan ang pagtaas ng bilis sa isang tuwid na linya. Sa ganitong kahulugan, magiging kapaki-pakinabang na ilapat ang aming derivative calculator at kalkulahin ang lahat ng mga halaga ng isang function sa buong hanay ng kahulugan nito. Hindi na kailangang pag-aralan ang mga puwersang alon ng gravitational field. Sa anumang kaso ay hindi ipapakita ng online na derivative solution ang slope ng papalabas na beam, ngunit sa mga bihirang kaso lamang, kapag ito ay talagang kinakailangan, maiisip ito ng mga estudyante sa unibersidad. Iniimbestigahan namin ang principal. Ang halaga ng pinakamaliit na rotor ay predictable. Ilapat sa resulta ang mga linyang nakatingin sa kanan, kung saan inilarawan ang bola, ngunit ang online na calculator ng mga derivatives ay ang batayan para sa mga numero ng espesyal na lakas at hindi linear na pag-asa. Ang ulat ng proyekto sa matematika ay handa na. Mga personal na katangian ang pagkakaiba ng pinakamaliit na numero at ang derivative ng function sa kahabaan ng y-axis ay magdadala ng concavity ng parehong function sa taas. May direksyon - may konklusyon. Mas madaling isabuhay ang teorya. May mungkahi mula sa mga mag-aaral sa oras ng pagsisimula ng pag-aaral. Kailangan ng sagot ng guro. Muli, tulad ng sa nakaraang posisyon, ang mathematical system ay hindi kinokontrol batay sa isang aksyon na makakatulong sa paghahanap ng derivative. Gaya ng lower semi-linear na bersyon, ang online derivative ay magsasaad nang detalyado ng pagkakakilanlan ng solusyon ayon sa lumalalang kondisyonal na batas. Ilagay lamang ang ideya ng pagkalkula ng mga formula. Ang linear na pagkita ng kaibhan ng isang function ay tinatanggihan ang katotohanan ng solusyon sa pamamagitan lamang ng paglalagay ng mga hindi nauugnay na positibong pagkakaiba-iba. Ang kahalagahan ng mga palatandaan ng paghahambing ay ituturing bilang isang tuluy-tuloy na break ng function sa kahabaan ng axis. Ito ang kahalagahan ng pinaka-nakakamalay na konklusyon, ayon sa mag-aaral, kung saan ang online derivative ay isang bagay maliban sa isang tapat na halimbawa ng mathematical analysis. Ang radius ng isang hubog na bilog sa Euclidean space, sa kabaligtaran, ay nagbigay sa calculator ng mga derivatives ng natural na representasyon ng pagpapalitan ng mga mapagpasyang problema para sa katatagan. Ang pinakamahusay na paraan ay natagpuan. Mas madaling i-level up ang gawain. Hayaang ang applicability ng independent difference na proporsyon ay humantong sa solusyon ng mga derivatives online. Ang solusyon ay umiikot sa paligid ng x-axis, na naglalarawan sa pigura ng isang bilog. Mayroong isang paraan, at ito ay batay sa pananaliksik na theoretically suportado ng mga mag-aaral sa unibersidad, kung saan ang lahat ay natututo mula sa, at kahit na sa mga sandaling iyon sa oras ay may isang derivative ng function. Nakahanap kami ng paraan para sa pag-unlad at kinumpirma ito ng mga estudyante. Kayang-kaya nating hanapin ang derivative nang hindi lalampas sa isang hindi natural na diskarte sa pagbabago ng sistema ng matematika. Ang kaliwang proporsyonal na sign ay lumalaki nang husto bilang ang mathematical na representasyon ng online na derivative calculator dahil sa hindi alam na pangyayari ng mga linear na salik sa walang katapusang y-axis. Pinatunayan ng mga mathematician sa buong mundo ang pagiging eksklusibo ng proseso ng produksyon. Mayroong pinakamaliit na parisukat sa loob ng isang bilog ayon sa paglalarawan ng teorya. Muli, ang online derivative ay magdedetalye sa aming hula kung ano ang maaaring nakaimpluwensya sa theoretically refined na opinyon sa unang lugar. May mga opinyon na kakaiba kaysa sa ulat na aming sinuri. Maaaring hindi mangyari ang hiwalay na atensyon sa mga mag-aaral ng ating mga faculty, ngunit hindi lamang sa matatalino at advanced na mga mathematician kung saan ang pagkakaiba ng isang function ay isang dahilan lamang. Ang mekanikal na kahulugan ng derivative ay napakasimple. Ang lakas ng pag-angat ay kinakalkula bilang isang online na derivative para sa pababang-sloping steady na mga puwang sa oras. Malinaw, ang derivatives calculator ay isang mahigpit na proseso ng paglalarawan sa problema ng pagkabulok ng isang artipisyal na pagbabago bilang isang amorphous na katawan. Ang unang derivative ay nagsasalita ng pagbabago sa paggalaw ng isang materyal na punto. Ang tatlong-dimensional na espasyo ay malinaw na sinusunod sa konteksto ng mga espesyal na sinanay na teknolohiya para sa paglutas ng mga derivatives online, sa katunayan ito ay nasa bawat colloquium sa paksa ng matematikal na disiplina. Ang pangalawang derivative ay nagpapakilala sa pagbabago sa bilis ng isang materyal na punto at tinutukoy ang acceleration. Ang meridian approach batay sa paggamit ng affine transformation ay tumatagal ng derivative ng isang function sa isang punto mula sa domain ng function na ito patungo sa isang bagong level. Ang isang online na calculator ng mga derivatives ay hindi maaaring walang mga numero at simbolo sa ilang mga kaso para sa tamang executable na sandali, maliban sa nababagong pag-aayos ng mga bagay ng gawain. Nakakagulat, mayroong pangalawang acceleration ng isang materyal na punto, ito ay nagpapakilala sa pagbabago sa acceleration. Sa maikling panahon, magsisimula kaming pag-aralan ang solusyon ng derivative online, ngunit sa sandaling maabot ang isang tiyak na milestone sa kaalaman, ititigil ng aming mag-aaral ang prosesong ito. Ang pinakamahusay na paraan ng networking ay ang makipag-chat nang live sa isang mathematical na paksa. May mga prinsipyo na hindi dapat labagin sa anumang pagkakataon, gaano man kahirap ang gawain. Ito ay kapaki-pakinabang upang mahanap ang derivative online sa oras at walang mga error. Ito ay hahantong sa isang bagong posisyon ng mathematical expression. Ang sistema ay matatag. Ang pisikal na kahulugan ng derivative ay hindi kasing tanyag ng mekanikal. Malamang na hindi naaalala ng sinuman kung paano inilabas nang detalyado ng online na derivative sa eroplano ang balangkas ng mga linya ng function hanggang sa normal mula sa tatsulok na katabi ng x-axis. Ang tao ay nararapat sa isang malaking papel sa pananaliksik ng huling siglo. Isagawa natin sa tatlong elementarya ang pagkakaiba-iba ng function sa mga punto, parehong mula sa domain ng kahulugan at sa infinity. Magsusulat lamang sa larangan ng pag-aaral, ngunit maaaring pumalit sa pangunahing vector sa matematika at teorya ng numero, sa sandaling ang mangyayari ay mag-uugnay sa online na derivative calculator sa problema. Magkakaroon ng dahilan, ngunit magkakaroon ng dahilan para gumawa ng equation. Napakahalagang tandaan ang lahat ng mga parameter ng pag-input. Ang pinakamahusay ay hindi palaging kinuha nang direkta, sa likod nito ay isang napakalaking halaga ng paggawa ng pinakamahusay na isip na alam kung paano kinakalkula ang online derivative sa kalawakan. Simula noon, ang convexity ay itinuturing na isang pag-aari ng isang tuluy-tuloy na pag-andar. Gayunpaman, mas mabuting itakda muna ang gawain ng paglutas ng mga derivatives online sa pinakamaikling posibleng panahon. Kaya magiging kumpleto ang solusyon. Bilang karagdagan sa mga hindi natutupad na pamantayan, hindi ito itinuturing na sapat. Sa una, halos bawat mag-aaral ay nagmumungkahi na maglagay ng isang simpleng paraan tungkol sa kung paano ang derivative ng isang function ay nagdudulot ng isang kontrobersyal na algorithm ng paglago. Sa direksyon ng pataas na sinag. Ito ay may katuturan bilang isang pangkalahatang posisyon. Noong nakaraan, minarkahan nila ang simula ng pagkumpleto ng isang partikular na aksyong matematika, ngunit ngayon ito ay magiging kabaligtaran. Marahil ang solusyon ng derivative online ay muling magtataas ng isyu at tatanggapin natin ang isang karaniwang opinyon sa pangangalaga nito sa talakayan ng pulong ng mga guro. Inaasahan namin ang pag-unawa mula sa lahat ng panig ng mga kalahok sa pulong. Ang lohikal na kahulugan ay nakapaloob sa paglalarawan ng calculator ng mga derivatives sa resonance ng mga numero tungkol sa pagkakasunud-sunod ng pagtatanghal ng pag-iisip ng problema, na sinagot noong huling siglo ng mga dakilang siyentipiko ng mundo. Makakatulong ito upang kunin ang isang kumplikadong variable mula sa na-convert na expression at hanapin ang derivative online upang magsagawa ng napakalaking aksyon ng parehong uri. Ang katotohanan ay mas mahusay kaysa sa hula. Ang pinakamaliit na halaga sa trend. Ang resulta ay hindi magtatagal kapag gumagamit ng isang natatanging serbisyo para sa pinakatumpak na lokasyon, kung saan mayroong isang online na derivative sa detalye. Sa hindi direkta, ngunit sa punto, tulad ng sinabi ng isang matalinong tao, isang online derivatives calculator ay nilikha sa kahilingan ng maraming mga mag-aaral mula sa iba't ibang mga lungsod ng unyon. Kung may pagkakaiba, kung gayon bakit magdesisyon nang dalawang beses. Ang ibinigay na vector ay namamalagi sa parehong panig ng normal. Sa kalagitnaan ng huling siglo, ang pagkita ng kaibhan ng isang function ay hindi na nangangahulugang nakikita ito ngayon. Salamat sa pag-unlad sa pag-unlad, lumitaw ang online na matematika. Sa paglipas ng panahon, nakakalimutan ng mga estudyante na bigyan ng kredito ang mga disiplinang matematika. Ang solusyon ng derivative online ay hahamon sa aming thesis, na nararapat na batay sa aplikasyon ng teorya, na sinusuportahan ng praktikal na kaalaman. Lalampas sa umiiral na halaga ng kadahilanan ng presentasyon at isusulat ang formula sa isang tahasang anyo para sa function. Nangyayari na kailangan mong hanapin ang derivative online ngayon nang hindi gumagamit ng anumang calculator, gayunpaman, maaari mong palaging gamitin ang panlilinlang ng mag-aaral at gumamit pa rin ng ganoong serbisyo bilang isang website. Kaya, ang mag-aaral ay makatipid ng maraming oras sa pagkopya ng mga halimbawa mula sa isang draft na kuwaderno sa isang pangwakas na anyo. Kung walang mga kontradiksyon, pagkatapos ay gamitin ang sunud-sunod na serbisyo ng solusyon para sa mga kumplikadong halimbawa.