Alalahanin ang kinakailangang impormasyon tungkol sa mga kumplikadong numero.

Kumplikadong numero ay isang pagpapahayag ng anyo a + bi, saan a, b ay tunay na mga numero, at i- tinatawag na haka-haka na yunit, ang simbolo na ang parisukat ay -1, i.e. i 2 = -1. Numero a tinawag tunay na bahagi, at ang numero b - haka-haka na bahagi kumplikadong numero z = a + bi. Kung ang b= 0, pagkatapos ay sa halip na a + 0i magsulat ng simple a. Makikita na ang mga tunay na numero ay isang espesyal na kaso ng mga kumplikadong numero.

Ang mga operasyon ng aritmetika sa mga kumplikadong numero ay pareho sa mga tunay: maaari silang idagdag, ibawas, i-multiply at hatiin sa bawat isa. Ang pagdaragdag at pagbabawas ay nagpapatuloy ayon sa panuntunan ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, at pagpaparami - ayon sa panuntunan ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (Ad + bc)i(dito ginagamit lang yan i 2 = -1). Numero = a – bi tinawag kumplikadong conjugate sa z = a + bi. Pagkakapantay-pantay z · = a 2 + b 2 ay nagbibigay-daan sa iyo na maunawaan kung paano hatiin ang isang kumplikadong numero sa isa pang (hindi zero) kumplikadong numero:

(Halimbawa, .)

Ang mga kumplikadong numero ay may maginhawa at visual na geometric na representasyon: ang numero z = a + bi ay maaaring katawanin bilang isang vector na may mga coordinate ( a; b) sa eroplano ng Cartesian (o, na halos pareho, isang punto - ang dulo ng vector na may mga coordinate na ito). Sa kasong ito, ang kabuuan ng dalawang kumplikadong numero ay inilalarawan bilang kabuuan ng mga katumbas na vectors (na maaaring matagpuan ng parallelogram rule). Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, ang haba ng vector na may mga coordinate ( a; b) ay katumbas ng . Ang halagang ito ay tinatawag modyul kumplikadong numero z = a + bi at ipinapahiwatig ng | z|. Ang anggulo na ginagawa ng vector na ito sa positibong direksyon ng x-axis (counted counterclockwise) ay tinatawag argumento kumplikadong numero z at tinutukoy ng Arg z. Ang argumento ay hindi natatanging tinukoy, ngunit hanggang sa pagdaragdag lamang ng isang maramihang ng 2 π radians (o 360°, kung binibilang mo sa mga degree) - pagkatapos ng lahat, malinaw na ang pagliko sa gayong anggulo sa paligid ng pinagmulan ay hindi magbabago sa vector. Ngunit kung ang vector ng haba r bumubuo ng isang anggulo φ na may positibong direksyon ng x-axis, kung gayon ang mga coordinate nito ay katumbas ng ( r cos φ ; r kasalanan φ ). Kaya naman lumalabas trigonometriko notasyon kumplikadong numero: z = |z| (cos(Arg z) + i kasalanan (Arg z)). Ito ay madalas na maginhawa upang magsulat ng mga kumplikadong numero sa form na ito, dahil ito ay lubos na pinapasimple ang mga kalkulasyon. Ang multiplikasyon ng mga kumplikadong numero sa trigonometric form ay mukhang napakasimple: z isa · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + i kasalanan (Arg z 1+arg z 2)) (kapag nagpaparami ng dalawang kumplikadong numero, ang kanilang moduli ay pinarami at ang mga argumento ay idinagdag). Mula dito sumunod Mga formula ng De Moivre: z n = |z|n(cos( n(Arg z)) + i kasalanan( n(Arg z))). Sa tulong ng mga formula na ito, madaling matutunan kung paano kunin ang mga ugat ng anumang antas mula sa mga kumplikadong numero. nth root ng z ay isang kumplikadong numero w, Ano w n = z. Malinaw na , At saan k maaaring kumuha ng anumang halaga mula sa set (0, 1, ..., n- isa). Nangangahulugan ito na laging may eksaktong n mga ugat n ika degree mula sa isang kumplikadong numero (sa eroplano sila ay matatagpuan sa vertices ng isang regular n-gon).