Sa geometry hypercube- Ito n-dimensional na pagkakatulad ng isang parisukat ( n= 2) at kubo ( n= 3). Ito ay isang closed convex figure, na binubuo ng mga grupo ng mga parallel na linya na matatagpuan sa magkabilang gilid ng figure, at konektado sa bawat isa sa tamang mga anggulo.

Ang figure na ito ay kilala rin bilang tesseract(tesseract). Ang tesseract ay sa kubo habang ang kubo ay sa parisukat. Sa mas pormal na paraan, ang isang tesseract ay maaaring ilarawan bilang isang regular na matambok na apat na dimensyon na polytope (polytope) na ang hangganan ay binubuo ng walong cubic cell.

Ayon sa Oxford English Dictionary, ang salitang "tesseract" ay nilikha noong 1888 ni Charles Howard Hinton at ginamit sa kanyang aklat na A New Era of Thought. Ang salita ay nabuo mula sa Griyegong "τεσσερες ακτινες" ("apat na sinag"), ay nasa anyo ng apat na coordinate axes. Bilang karagdagan, sa ilang mga mapagkukunan, ang parehong figure ay tinawag tetracube(tetracube).

n-dimensional hypercube ay tinatawag din n-kubo.

Ang isang punto ay isang hypercube ng dimensyon 0. Kung inilipat mo ang isang punto sa pamamagitan ng isang yunit ng haba, makakakuha ka ng isang segment ng haba ng yunit - isang hypercube ng dimensyon 1. Dagdag pa, kung ililipat mo ang isang segment sa pamamagitan ng isang yunit ng haba sa isang direksyon na patayo sa direksyon ng segment, makakakuha ka ng isang kubo - isang hypercube ng dimensyon 2. Ang paglilipat ng parisukat sa pamamagitan ng isang yunit ng haba sa direksyon na patayo sa eroplano ng parisukat, isang kubo ang nakuha - isang hypercube ng dimensyon 3. Ang prosesong ito maaaring gawing pangkalahatan sa anumang bilang ng mga sukat. Halimbawa, kung inilipat mo ang isang kubo sa pamamagitan ng isang yunit ng haba sa ikaapat na dimensyon, makakakuha ka ng isang tesseract.

Ang pamilya ng hypercubes ay isa sa ilang regular na polyhedra na maaaring katawanin sa anumang dimensyon.

Mga elemento ng hypercube

Dimensyon hypercube n may 2 n"mga gilid" (isang-dimensional na linya ay may 2 puntos; dalawang-dimensional na parisukat - 4 na gilid; tatlong-dimensional na kubo - 6 na mukha; apat na-dimensional na tesseract - 8 mga cell). Ang bilang ng mga vertex (puntos) ng hypercube ay 2 n(halimbawa, para sa isang kubo - 2 3 vertices).

Dami m-dimensional hypercubes sa hangganan n-katumbas ng kubo

Halimbawa, sa hangganan ng isang hypercube mayroong 8 cubes, 24 squares, 32 edges at 16 vertices.

Mga elemento ng hypercubes

n-kubo	Pangalan	Vertex (0-mukha)	gilid (1-mukha)	gilid (2-mukha)	Cell (3-mukha)	(4-mukha)	(5-mukha)	(6-mukha)	(7-mukha)	(8-mukha)
0-kubo	Dot	1
1-kubo	Segment ng linya	2	1
2-kubo	parisukat	4	4	1
3-kubo	Cube	8	12	6	1
4-kubo	tesseract	16	32	24	8	1
5-kubo	Penteract	32	80	80	40	10	1
6-kubo	Hexeact	64	192	240	160	60	12	1
7-kubo	Hepteract	128	448	672	560	280	84	14	1
8-kubo	Octeract	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-kubo	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Projection ng eroplano

Ang pagbuo ng isang hypercube ay maaaring kinakatawan sa sumusunod na paraan:

• Dalawang puntos na A at B ay maaaring ikonekta upang bumuo ng segment ng linya AB.
• Dalawang magkatulad na mga segment AB at CD ay maaaring konektado upang bumuo ng isang parisukat ABCD.
• Dalawang magkatulad na parisukat ang ABCD at EFGH ay maaaring pagsamahin upang mabuo ang kubo na ABCDEFGH.
• Dalawang parallel cube ABCDEFGH at IJKLMNOP ay maaaring ikonekta upang bumuo ng isang hypercube ABCDEFGHIJKLMNOP.

Ang huling istraktura ay hindi madaling isipin, ngunit posible na ilarawan ang projection nito sa dalawa o tatlong dimensyon. Bukod dito, ang mga projection sa isang 2D na eroplano ay maaaring maging mas kapaki-pakinabang sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga posisyon ng mga inaasahang vertices. Sa kasong ito, maaaring makuha ang mga larawan na hindi na sumasalamin sa mga spatial na relasyon ng mga elemento sa loob ng tesseract, ngunit naglalarawan ng istraktura ng mga koneksyon sa vertex, tulad ng sa mga halimbawa sa ibaba.

Ang unang ilustrasyon ay nagpapakita kung paano ang isang tesseract ay nabuo sa prinsipyo sa pamamagitan ng pagsali sa dalawang cube. Ang scheme na ito ay katulad ng scheme para sa paglikha ng isang kubo mula sa dalawang parisukat. Ang pangalawang diagram ay nagpapakita na ang lahat ng mga gilid ng tesseract ay may parehong haba. Ang pamamaraan na ito ay pinilit din na maghanap ng mga cube na konektado sa bawat isa. Sa ikatlong diagram, ang mga vertices ng tesseract ay matatagpuan alinsunod sa mga distansya sa kahabaan ng mga mukha na may kaugnayan sa ilalim na punto. Ang pamamaraan na ito ay kawili-wili dahil ito ay ginagamit bilang isang pangunahing pamamaraan para sa topology ng network ng pagkonekta ng mga processor sa pag-aayos ng parallel computing: ang distansya sa pagitan ng anumang dalawang node ay hindi lalampas sa 4 na mga haba ng gilid, at mayroong maraming iba't ibang mga paraan upang balansehin ang pagkarga.

Hypercube sa sining

Ang hypercube ay lumitaw sa science fiction mula noong 1940, nang si Robert Heinlein, sa kuwentong "The House That Teal Built" ("And He Built a Crooked House"), ay inilarawan ang isang bahay na itinayo sa hugis ng isang tesseract na nagbukas. Sa kuwento, ito Dagdag pa, ang bahay na ito ay nakatiklop, nagiging isang four-dimensional tesseract. Pagkatapos nito, lumilitaw ang hypercube sa maraming mga libro at nobela.

Cube 2: Ang Hypercube ay tungkol sa walong tao na nakulong sa isang network ng mga hypercube.

Ang pagpipinta na Crucifixion (Corpus Hypercubus), 1954 ni Salvador Dali ay naglalarawan kay Hesus na ipinako sa krus sa isang tesseract scan. Ang pagpipinta na ito ay makikita sa Museo ng Sining (Metropolitan Museum of Art) sa New York.

Konklusyon

Ang hypercube ay isa sa pinakasimpleng four-dimensional na mga bagay, sa halimbawa kung saan makikita mo ang lahat ng pagiging kumplikado at hindi pangkaraniwan ng ika-apat na dimensyon. At ang mukhang imposible sa tatlong dimensyon ay posible sa apat, halimbawa, imposibleng mga numero. Kaya, halimbawa, ang mga bar ng isang imposibleng tatsulok sa apat na dimensyon ay konektado sa tamang mga anggulo. At ang figure na ito ay magmumukhang ganito mula sa lahat ng mga pananaw, at hindi mababaluktot, hindi katulad ng mga pagpapatupad ng imposibleng tatsulok sa tatlong-dimensional na espasyo (tingnan ang Fig.

Mga Puntos (±1, ±1, ±1, ±1). Sa madaling salita, maaari itong katawanin bilang sumusunod na hanay:

Ang tesseract ay nililimitahan ng walong hyperplane, ang intersection kung saan ang tesseract mismo ay tumutukoy sa tatlong-dimensional na mga mukha nito (na mga ordinaryong cube). Ang bawat pares ng hindi magkatulad na 3D na mukha ay nagsalubong upang bumuo ng mga 2D na mukha (mga parisukat), at iba pa. Panghuli, ang isang tesseract ay may 8 3D na mukha, 24 2D, 32 gilid at 16 na vertex.

Sikat na Paglalarawan

Subukan nating isipin kung ano ang magiging hitsura ng hypercube nang hindi umaalis sa tatlong-dimensional na espasyo.

Sa isang-dimensional na "espasyo" - sa isang linya - pumili kami ng isang segment na AB ng haba L. Sa isang dalawang-dimensional na eroplano sa layo na L mula sa AB, gumuhit kami ng isang segment na DC parallel dito at ikinonekta ang kanilang mga dulo. Makakakuha ka ng isang parisukat na CDBA. Ang pag-uulit ng operasyong ito gamit ang isang eroplano, nakakakuha tayo ng isang three-dimensional cube CDBAGHFE. At sa pamamagitan ng paglilipat ng kubo sa ikaapat na dimensyon (patayo sa unang tatlo) sa layo na L, nakukuha natin ang CDBAGHFEKLJIOPNM hypercube.

Paggawa ng isang tesseract sa isang eroplano

Ang isang-dimensional na segment na AB ay nagsisilbing isang gilid ng dalawang-dimensional na parisukat na CDBA, ang parisukat ay ang gilid ng kubo CDBAGHFE, na, naman, ay magiging bahagi ng apat na-dimensional na hypercube. Ang segment ng tuwid na linya ay may dalawang boundary point, ang isang parisukat ay may apat na vertices, at ang isang cube ay may walo. Kaya, sa isang four-dimensional hypercube, magkakaroon ng 16 vertices: 8 vertices ng orihinal na cube at 8 vertices ang inilipat sa ika-apat na dimensyon. Mayroon itong 32 mga gilid - 12 bawat isa ay nagbibigay ng mga inisyal at panghuling posisyon ng orihinal na kubo, at 8 pang mga gilid ang "gumuhit" ng walong mga vertice nito na lumipat sa ikaapat na dimensyon. Ang parehong pangangatwiran ay maaaring gawin para sa mga mukha ng hypercube. Sa dalawang-dimensional na espasyo, ito ay isa (ang parisukat mismo), ang kubo ay may 6 sa kanila (dalawang mukha mula sa inilipat na parisukat at apat pa ang maglalarawan sa mga gilid nito). Ang isang four-dimensional hypercube ay may 24 square faces - 12 squares ng orihinal na cube sa dalawang posisyon at 12 squares mula sa labindalawang gilid nito.

Dahil ang mga gilid ng isang parisukat ay 4 na isang-dimensional na mga segment, at ang mga gilid (mga mukha) ng isang kubo ay 6 na dalawang-dimensional na mga parisukat, kaya para sa "four-dimensional na kubo" (tesseract) ang mga gilid ay 8 tatlong-dimensional na mga kubo. Ang mga puwang ng magkasalungat na pares ng mga tesseract cube (iyon ay, ang mga three-dimensional na espasyo kung saan nabibilang ang mga cube na ito) ay magkatulad. Sa figure, ito ay mga cube: CDBAGHFE at KLJIOPNM, CDBAKLJI at GHFEOPNM, EFBAMNJI at GHDCOPLK, CKIAGOME at DLJBHPNF.

Sa katulad na paraan, maaari nating ipagpatuloy ang pangangatwiran para sa mga hypercubes ng mas malaking bilang ng mga dimensyon, ngunit mas kawili-wiling makita kung paano tayo hahanapin ng isang four-dimensional hypercube, mga naninirahan sa three-dimensional na espasyo. Gamitin natin para dito ang pamilyar na paraan ng pagkakatulad.

Kunin natin ang wire cube ABCDHEFG at tingnan ito gamit ang isang mata mula sa gilid ng mukha. Makakakita tayo at maaring gumuhit ng dalawang parisukat sa eroplano (ang malapit at malayong mga mukha nito), na konektado ng apat na linya - mga gilid sa gilid. Katulad nito, ang isang four-dimensional na hypercube sa three-dimensional na espasyo ay magmumukhang dalawang cubic na "kahon" na ipinasok sa isa't isa at konektado ng walong gilid. Sa kasong ito, ang mga "kahon" mismo - tatlong-dimensional na mga mukha - ay ipapakita sa "aming" espasyo, at ang mga linya na nagkokonekta sa kanila ay mag-uunat sa direksyon ng ikaapat na axis. Maaari mo ring subukang isipin ang isang kubo hindi sa projection, ngunit sa isang spatial na imahe.

Kung paanong ang isang three-dimensional na kubo ay nabuo sa pamamagitan ng isang parisukat na inilipat ng haba ng isang mukha, ang isang kubo na inilipat sa ikaapat na dimensyon ay bubuo ng isang hypercube. Ito ay limitado ng walong cube, na sa hinaharap ay magmumukhang medyo kumplikadong pigura. Ang mismong four-dimensional hypercube ay binubuo ng isang walang katapusang bilang ng mga cube, tulad ng isang three-dimensional na cube ay maaaring "hiwain" sa isang walang katapusang bilang ng mga flat square.

Sa pamamagitan ng pagputol ng anim na mukha ng isang three-dimensional na kubo, maaari mong mabulok ito sa isang patag na pigura - isang pag-unlad. Magkakaroon ito ng isang parisukat sa bawat gilid ng orihinal na mukha, kasama ang isa pa - ang mukha sa tapat nito. Ang isang three-dimensional na pag-unlad ng isang four-dimensional hypercube ay bubuuin ng orihinal na cube, anim na cube na "lumago" mula dito, kasama ang isa pa - ang panghuling "hyperface".

Ang mga katangian ng isang tesseract ay isang extension ng mga katangian ng mga geometric na figure ng isang mas maliit na dimensyon sa isang apat na dimensional na espasyo.

mga projection

sa dalawang-dimensional na espasyo

Mahirap isipin ang istrukturang ito, ngunit posibleng i-project ang isang tesseract sa 2D o 3D na mga puwang. Bilang karagdagan, ang projection sa isang eroplano ay ginagawang madaling maunawaan ang lokasyon ng mga vertices ng hypercube. Sa ganitong paraan, posibleng makakuha ng mga larawang hindi na sumasalamin sa mga spatial na relasyon sa loob ng isang tesseract, ngunit naglalarawan sa istruktura ng vertex na koneksyon, tulad ng sa mga sumusunod na halimbawa:

Ang ikatlong larawan ay nagpapakita ng tesseract sa isometry, na nauugnay sa punto ng konstruksiyon. Interesado ang view na ito kapag ginagamit ang tesseract bilang batayan para sa isang topological network upang maiugnay ang maramihang mga processor sa parallel computing.

sa three-dimensional na espasyo

Ang isa sa mga projection ng tesseract sa three-dimensional na espasyo ay dalawang nested three-dimensional cube, ang mga kaukulang vertices na konektado ng mga segment. Ang panloob at panlabas na mga cube ay may iba't ibang laki sa 3D na espasyo, ngunit ang mga ito ay pantay na mga cube sa 4D na espasyo. Upang maunawaan ang pagkakapantay-pantay ng lahat ng mga cube ng tesseract, isang umiikot na modelo ng tesseract ang nilikha.

• Ang anim na pinutol na pyramid sa mga gilid ng tesseract ay mga larawan ng pantay na anim na cube. Gayunpaman, ang mga cube na ito ay para sa tesseract tulad ng mga parisukat (mga mukha) sa cube. Ngunit sa katunayan, ang isang tesseract ay maaaring hatiin sa isang walang katapusang bilang ng mga cube, tulad ng isang kubo ay maaaring hatiin sa isang walang katapusang bilang ng mga parisukat, o isang parisukat ay maaaring hatiin sa isang walang katapusang bilang ng mga segment.

Ang isa pang kawili-wiling projection ng tesseract papunta sa three-dimensional na espasyo ay isang rhombic dodecahedron na may apat na diagonal na iginuhit, na nagkokonekta ng mga pares ng magkasalungat na vertices sa malalaking anggulo ng mga rhombus. Sa kasong ito, 14 sa 16 na vertices ng tesseract ay itinatakda sa 14 na vertices ng rhombic dodecahedron, at ang mga projection ng natitirang 2 ay nag-tutugma sa gitna nito. Sa naturang projection sa three-dimensional space, ang pagkakapantay-pantay at parallelism ng lahat ng one-dimensional, two-dimensional at three-dimensional na panig ay napanatili.

pares ng stereo

Ang isang stereopair ng isang tesseract ay inilalarawan bilang dalawang projection sa three-dimensional na espasyo. Ang paglalarawang ito ng tesseract ay idinisenyo upang kumatawan sa lalim bilang ikaapat na dimensyon. Ang pares ng stereo ay tinitingnan upang ang bawat mata ay makakita lamang ng isa sa mga larawang ito, isang stereoscopic na larawan ang lumitaw na nagpaparami sa lalim ng tesseract.

Paglalahad ng Tesseract

Ang ibabaw ng isang tesseract ay maaaring buksan sa walong cube (katulad ng kung paano ang ibabaw ng isang kubo ay maaaring iladlad sa anim na parisukat). Mayroong 261 iba't ibang paglalahad ng tesseract. Ang mga paglalahad ng isang tesseract ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng paglalagay ng mga konektadong sulok sa graph.

Tesseract sa sining

• Sa New Plain ni Edwine A. Abbott, ang hypercube ay ang tagapagsalaysay.
• Sa isang episode ng The Adventures of Jimmy Neutron, nag-imbento ang "boy genius" na si Jimmy ng four-dimensional hypercube, na kapareho ng foldbox mula sa nobelang Glory Road (1963) ni Robert Heinlein.
• Binanggit ni Robert E. Heinlein ang mga hypercubes sa hindi bababa sa tatlong kwento ng science fiction. Sa The House of Four Dimensions (The House That Teel Built), inilarawan niya ang isang bahay na itinayo bilang isang paglalahad ng isang tesseract, at pagkatapos, dahil sa isang lindol, "nabuo" sa ikaapat na dimensyon at naging isang "tunay" na tesseract.
• Sa nobelang Glory Road ni Heinlein, inilarawan ang isang hyperdimensional na kahon na mas malaki sa loob kaysa sa labas.
• Ang kuwento ni Henry Kuttner na "All Borog's Tenals" ay naglalarawan ng isang laruang pang-edukasyon para sa mga bata mula sa malayong hinaharap, na katulad ng istraktura sa isang tesseract.
• Sa nobela ni Alex Garland ( ), ang terminong "tesseract" ay ginamit para sa three-dimensional na paglalahad ng isang four-dimensional na hypercube, sa halip na ang hypercube mismo. Ito ay isang metapora na idinisenyo upang ipakita na ang cognizing system ay dapat na mas malawak kaysa sa cognizable.
• Ang plot ng The Cube 2: Hypercube ay nakasentro sa walong estranghero na nakulong sa isang "hypercube", o network ng mga naka-link na cube.
• Ang serye sa TV na Andromeda ay gumagamit ng mga generator ng tesseract bilang isang conspiracy device. Pangunahing nilayon ang mga ito na kontrolin ang espasyo at oras.
• Pagpinta ng " Crucifixion"(Corpus Hypercubus) ni Salvador Dali ().
• Ang Nextwave comic book ay naglalarawan ng isang sasakyan na may kasamang 5 tesseract zone.
• Sa album na Voivod Nothingface, isa sa mga kanta ang tinatawag na "In my hypercube".
• Sa nobelang Route Cube ni Anthony Pierce, ang isa sa mga orbital moon ng IDA ay tinatawag na tesseract na na-compress sa 3 dimensyon.
• Sa seryeng "School" Black Hole "" sa ikatlong season mayroong isang episode na "Tesseract". Pinindot ni Lucas ang secret button at nagsimulang "maghugis tulad ng mathematical tesseract" ang paaralan.
• Ang terminong "tesseract" at ang terminong "tesse" na hango rito ay matatagpuan sa kwento ni Madeleine L'Engle na "The Wrinkle of Time".
• Ang TesseracT ay ang pangalan ng isang British djent band.
• Sa serye ng pelikulang Marvel Cinematic Universe, ang Tesseract ay isang pangunahing elemento ng plot, isang hypercube-shaped cosmic artifact.
• Sa kuwento ni Robert Sheckley na "Miss Mouse and the Fourth Dimension", isang esoteric na manunulat, isang kakilala ng may-akda, ang sumusubok na makita ang tesseract, na naghahanap ng maraming oras sa device na kanyang idinisenyo: isang bola sa isang binti na may mga rod na nakadikit dito, sa kung aling mga cube ang itinanim, idinidikit ang lahat ng uri ng esoteric na simbolo. Binanggit sa kuwento ang gawa ni Hinton.
• Sa mga pelikulang The First Avenger, The Avengers. Ang Tesseract ay ang enerhiya ng buong uniberso

Ibang pangalan

• Hexadecachoron (Ingles) Hexadecachon)
• Octochoron (Ingles) Octachoron)
• tetracube
• 4-kubo
• Hypercube (kung ang bilang ng mga dimensyon ay hindi tinukoy)

Mga Tala

Panitikan

• Charles H Hinton. Ikaapat na Dimensyon, 1904. ISBN 0-405-07953-2
• Martin Gardner, Mathmatical Carnival, 1977. ISBN 0-394-72349-X
• Ian Stewart, Mga Konsepto ng Makabagong Matematika, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Mga link

Sa Russian

• Programa ng Transformator4D. Pagbuo ng mga modelo ng three-dimensional na projection ng mga four-dimensional na bagay (kabilang ang Hypercube).
• Isang programa na nagpapatupad ng pagbuo ng isang tesseract at lahat ng affine transformation nito, na may mga source ng C++.

Sa Ingles

• Ang Mushware Limited ay isang tesseract output program ( Tagapagsanay ng Tesseract, lisensyado sa ilalim ng GPLv2) at isang 4D na first-person shooter ( Adanaxis; graphics, karamihan ay tatlong-dimensional; mayroong isang bersyon ng GPL sa mga repositoryo ng OS).

Polyhedra
tama (Platonic Solids)
Stellated dodecahedron Stellated icosidodecahedron Stellated icosahedron Stellated polyhedron Stellated octahedron
matambok	Mga solidong archimedean Cuboctahedron Icosidodecahedron Pinutol na tetrahedron Pinutol na octahedron Pinutol na icosahedron Pinutol na kubo Pinutol na dodecahedron Rhombicuboctahedron Rhombicosidodecahedron Rhombicosidodecahedron Pinutol na cuboctahedron Rhombotruncated icosidoubdecahedron na rhombotruncated icosidoubdecahedron na cube Mga katawan ng Catalan Rhombododecahedron Rhombotriacontahedron Triakistetrahedron Tetrakishexahedron Pentakisdodecahedron Triakisoctahedron Triakisicosahedron Deltoid icositetrahedron Deltoidal hexecontahedron Pentagonal icositetrahedron Pentagonal hexecontahedron Disdakisdoderiacahedron Disdakisdoderiacahedron Nang walang kumpletong spatial symmetry Pyramid Prism Bipyramid Antiprism Zonohedron Parallelepiped Rhombohedron Prismatoid Pinutol na Pyramid Pentagondodecahedron Parallelohedron
mga formula, theorems, mga teorya
Iba pa

Kung fan ka ng mga pelikulang Avengers, ang unang bagay na maaaring pumasok sa isip mo kapag narinig mo ang salitang "Tesseract" ay ang transparent na hugis cube na sisidlan ng Infinity Stone na naglalaman ng walang limitasyong kapangyarihan.

Para sa mga tagahanga ng Marvel Universe, ang Tesseract ay isang kumikinang na asul na cube, kung saan ang mga tao mula sa hindi lamang Earth, kundi pati na rin ang iba pang mga planeta ay nababaliw. Iyon ang dahilan kung bakit ang lahat ng Avengers ay nagsama-sama upang protektahan ang mga Gunder mula sa lubhang mapanirang pwersa ng Tesseract.

Ang kailangang sabihin ay ito: Ang tesseract ay isang aktwal na geometric na konsepto, mas partikular, isang hugis na umiiral sa 4D. Ito ay hindi lamang isang asul na cube mula sa The Avengers ... ito ay isang tunay na konsepto.

Ang tesseract ay isang bagay sa 4 na dimensyon. Ngunit bago natin ito ipaliwanag nang detalyado, magsimula tayo sa simula.

Ano ang isang "pagsukat"?

Narinig ng lahat ang mga terminong 2D at 3D, na kumakatawan sa dalawang-dimensional o tatlong-dimensional na bagay ng espasyo. Ngunit ano ang mga ito?

Ang isang dimensyon ay isang direksyon lamang na maaari mong puntahan. Halimbawa, kung gumuhit ka ng isang linya sa isang piraso ng papel, maaari kang pumunta sa kaliwa/kanan (x-axis) o pataas/pababa (y-axis). Kaya sinasabi namin na ang papel ay dalawang-dimensional dahil maaari ka lamang maglakad sa dalawang direksyon.

May sense of depth sa 3D.

Ngayon, sa totoong mundo, bilang karagdagan sa dalawang direksyon na binanggit sa itaas (kaliwa/kanan at pataas/pababa), maaari ka ring pumasok/lumabas. Dahil dito, ang isang pakiramdam ng lalim ay idinagdag sa 3D na espasyo. Kaya nga sinasabi natin na ang totoong buhay ay 3-dimensional.

Ang isang punto ay maaaring kumatawan sa 0 dimensyon (dahil hindi ito gumagalaw sa anumang direksyon), ang isang linya ay kumakatawan sa 1 dimensyon (haba), isang parisukat ay kumakatawan sa 2 dimensyon (haba at lapad), at isang kubo ay kumakatawan sa 3 dimensyon (haba, lapad at taas ).

Kumuha ng 3D cube at palitan ang bawat mukha (na kasalukuyang parisukat) ng isang cube. At kaya! Ang hugis na makukuha mo ay ang tesseract.

Ano ang tesseract?

Sa madaling salita, ang tesseract ay isang cube sa 4-dimensional na espasyo. Maaari mo ring sabihin na ito ay katumbas ng 4D ng isang kubo. Ito ay isang 4D na hugis kung saan ang bawat mukha ay isang cube.

Isang 3D projection ng isang tesseract na nagsasagawa ng dobleng pag-ikot sa paligid ng dalawang orthogonal na eroplano.
Larawan: Jason Hise

Narito ang isang simpleng paraan upang makonsepto ang mga sukat: ang isang parisukat ay dalawang-dimensional; kaya ang bawat sulok nito ay may 2 linya na umaabot mula dito sa 90 degrees sa bawat isa. Ang kubo ay 3D, kaya ang bawat sulok nito ay may 3 linyang lumalabas dito. Katulad nito, ang tesseract ay isang 4D na hugis, kaya bawat sulok ay may 4 na linya na umaabot mula dito.

Bakit mahirap isipin ang isang tesseract?

Dahil tayo bilang mga tao ay nag-evolve para i-visualize ang mga bagay sa tatlong dimensyon, anumang bagay na napupunta sa mga dagdag na dimensyon tulad ng 4D, 5D, 6D, atbp. ay hindi masyadong makabuluhan sa amin dahil hindi namin talaga ma-visualize ang mga ito. ipakilala. Hindi maintindihan ng ating utak ang ika-4 na dimensyon sa kalawakan. Hindi lang natin maiisip.

Hypercube at Platonic Solids

Gayahin ang isang pinutol na icosahedron (“soccer ball”) sa “Vector” system
kung saan ang bawat pentagon ay napapaligiran ng mga heksagono

Pinutol na icosahedron maaaring makuha sa pamamagitan ng pagputol ng 12 vertices upang bumuo ng mga mukha sa anyo ng mga regular na pentagons. Kasabay nito, ang bilang ng mga vertices ng bagong polyhedron ay tumataas ng 5 beses (12 × 5 = 60), 20 triangular na mukha ay nagiging regular na hexagons (sa kabuuan ang mga mukha ay nagiging 20+12=32), a ang bilang ng mga gilid ay tumataas sa 30+12×5=90.

Mga hakbang para sa pagbuo ng pinutol na icosahedron sa Vector system

Mga figure sa 4-dimensional na espasyo.

--à

--à ?

Halimbawa, binigyan ng cube at hypercube. Mayroong 24 na mukha sa isang hypercube. Nangangahulugan ito na ang isang 4-dimensional na octahedron ay magkakaroon ng 24 na vertices. Bagama't hindi, ang hypercube ay may 8 mukha ng mga cube - sa bawat gitna ay isang vertex. Nangangahulugan ito na ang isang 4-dimensional na octahedron ay magkakaroon ng 8 vertices ng isang iyon na mas madali.

4-dimensional na octahedron. Binubuo ito ng walong equilateral at pantay na tetrahedra,
nakakonekta ang apat sa bawat vertex.

kanin. Isang pagtatangka upang gayahin
hyperball-hypersphere sa "Vector" system

Harapan - likod na mukha - mga bola na walang pagbaluktot. Isa pang anim na bola - maaaring tukuyin sa pamamagitan ng mga ellipsoid o parisukat na ibabaw (sa pamamagitan ng 4 na linya ng tabas bilang mga generator) o sa pamamagitan ng mga mukha (unang tinukoy sa pamamagitan ng mga generator).

Higit pang mga trick para "bumuo" ng hypersphere
- ang parehong "soccer ball" sa 4-dimensional na espasyo

Annex 2

Para sa convex polyhedra, mayroong isang ari-arian na nauugnay sa bilang ng mga vertices, gilid, at mukha nito, na pinatunayan noong 1752 ni Leonhard Euler, at tinawag na Euler's theorem.

Bago ito bumalangkas, isaalang-alang ang polyhedra na kilala sa amin at punan ang sumusunod na talahanayan, kung saan ang B ay ang bilang ng mga vertices, P - mga gilid at G - mga mukha ng isang ibinigay na polyhedron:

Ang pangalan ng polyhedron
tatsulok na pyramid
quadrangular pyramid
tatsulok na prisma
parisukat na prisma
n-pyramid ng karbon	n+1	2n	n+1
n-carbon prism	2n	3n	n+2
n-pinutol ang carbon pyramid	2n	3n	n+2

Direktang nakikita mula sa talahanayang ito na para sa lahat ng napiling polyhedra ang pagkakapantay-pantay B - P + T = 2. Lumalabas na ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo hindi lamang para sa mga polyhedra na ito, kundi pati na rin para sa isang arbitrary na convex polyhedron.

Ang teorama ni Euler. Para sa anumang convex polyhedron, ang pagkakapantay-pantay

V - R + G \u003d 2,

kung saan ang B ay ang bilang ng mga vertices, ang P ay ang bilang ng mga gilid, at ang G ay ang bilang ng mga mukha ng ibinigay na polyhedron.

Patunay. Upang patunayan ang pagkakapantay-pantay na ito, isipin ang ibabaw ng isang binigay na polyhedron na gawa sa isang nababanat na materyal. Tanggalin natin (gupitin) ang isa sa mga mukha nito at iunat ang natitirang ibabaw sa isang eroplano. Nakakakuha kami ng isang polygon (nabuo ng mga gilid ng inalis na mukha ng polyhedron), nahahati sa mas maliliit na polygons (nabuo ng natitirang mga mukha ng polyhedron).

Tandaan na ang mga polygon ay maaaring ma-deform, palakihin, bawasan, o baluktot ang kanilang mga gilid, hangga't ang mga gilid ay hindi masira. Hindi magbabago ang bilang ng mga vertex, gilid at mukha.

Patunayan natin na ang resultang pagkahati ng isang polygon sa mas maliliit na polygon ay nakakatugon sa pagkakapantay-pantay

(*) V - R + G "= 1,

kung saan ang B ay ang kabuuang bilang ng mga vertices, ang P ay ang kabuuang bilang ng mga gilid, at ang Г "ay ang bilang ng mga polygon na kasama sa partition. Malinaw na ang Г" = Г - 1, kung saan ang Г ay ang bilang ng mga mukha ng binigyan ng polyhedron.

Patunayan natin na ang pagkakapantay-pantay (*) ay hindi nagbabago kung gumuhit tayo ng dayagonal sa ilang polygon ng ibinigay na partisyon (Larawan 5, a). Sa katunayan, pagkatapos ng pagguhit ng gayong dayagonal, ang bagong partisyon ay magkakaroon ng mga B vertices, P + 1 na mga gilid, at ang bilang ng mga polygon ay tataas ng isa. Samakatuwid, mayroon kaming

V - (R + 1) + (G "+1) \u003d V - R + G" .

Gamit ang ari-arian na ito, gumuhit kami ng mga diagonal na naghahati sa mga papasok na polygon sa mga tatsulok, at para sa nagresultang pagkahati ay ipinapakita namin na ang pagkakapantay-pantay (*) ay nasiyahan (Larawan 5, b). Upang gawin ito, palagi naming aalisin ang mga panlabas na gilid, na binabawasan ang bilang ng mga tatsulok. Sa kasong ito, posible ang dalawang kaso:

a) upang alisin ang tatsulok ABC ito ay kinakailangan upang alisin ang dalawang tadyang, sa aming kaso AB at BC;

b) alisin ang tatsulokMKNito ay kinakailangan upang alisin ang isang gilid, sa aming kasoMN.

Sa parehong mga kaso, ang pagkakapantay-pantay (*) ay hindi magbabago. Halimbawa, sa unang kaso, pagkatapos alisin ang tatsulok, ang graph ay bubuo ng B - 1 vertices, R - 2 edge at G "- 1 polygon:

(B - 1) - (P + 2) + (G "- 1) \u003d B - R + G".

Isaalang-alang ang pangalawang kaso para sa iyong sarili.

Kaya, ang pag-alis ng isang tatsulok ay hindi nagbabago sa pagkakapantay-pantay (*). Ang pagpapatuloy ng prosesong ito ng pag-alis ng mga tatsulok, sa kalaunan ay makakarating tayo sa isang partisyon na binubuo ng isang tatsulok. Para sa gayong pagkahati, B \u003d 3, P \u003d 3, Г "= 1 at, samakatuwid, B - Р + Г" = 1. Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay (*) ay humahawak din para sa orihinal na pagkahati, kung saan sa wakas ay nakuha namin na para sa isang naibigay na polygon partition equality (*) ay totoo. Kaya, para sa orihinal na convex polyhedron, ang pagkakapantay-pantay B - P + G = 2 ay totoo.

Ang isang halimbawa ng isang polyhedron kung saan ang relasyon ng Euler ay hindi hawak ay ipinapakita sa Figure 6. Ang polyhedron na ito ay may 16 vertices, 32 edges at 16 faces. Kaya, para sa polyhedron na ito, ang pagkakapantay-pantay B - P + G = 0 ay nasiyahan.

Appendix 3

Film Cube 2: Hypercube "(Eng. Cube 2: Hypercube) - isang science fiction na pelikula, isang pagpapatuloy ng pelikulang" Cube ".

Walong estranghero ang gumising sa mga kwartong hugis cube. Ang mga silid ay nasa loob ng isang four-dimensional hypercube. Ang mga silid ay patuloy na gumagalaw sa pamamagitan ng "quantum teleportation", at kung umakyat ka sa susunod na silid, malamang na hindi ito bumalik sa nauna. Ang mga magkatulad na mundo ay nagsalubong sa hypercube, iba ang daloy ng oras sa ilang mga silid, at ang ilang mga silid ay mga bitag ng kamatayan.

Ang balangkas ng larawan ay higit na inuulit ang kuwento ng unang bahagi, na makikita rin sa mga larawan ng ilang mga karakter. Sa mga silid ng hypercube, namatay ang Nobel laureate na si Rosenzweig, na kinakalkula ang eksaktong oras ng pagkawasak ng hypercube.

Pagpuna

Kung sa unang bahagi ang mga taong nakakulong sa isang labirint ay sinubukang tulungan ang isa't isa, sa pelikulang ito ito ay ang bawat tao para sa kanyang sarili. Mayroong maraming mga dagdag na espesyal na epekto (sila rin ay mga bitag) na hindi lohikal na nagkokonekta sa bahaging ito ng pelikula sa nauna. Iyon ay, lumalabas na ang pelikulang Cube 2 ay isang uri ng labirint ng hinaharap 2020-2030, ngunit hindi 2000. Sa unang bahagi, ang lahat ng mga uri ng mga bitag ay maaaring theoretically nilikha ng isang tao. Sa ikalawang bahagi, ang mga bitag na ito ay isang programa ng ilang uri ng kompyuter, ang tinatawag na "Virtual Reality".

Ang ebolusyon ng utak ng tao ay naganap sa tatlong-dimensional na espasyo. Samakatuwid, mahirap para sa amin na isipin ang mga puwang na may sukat na higit sa tatlo. Sa katunayan, hindi maiisip ng utak ng tao ang mga geometric na bagay na may higit sa tatlong dimensyon. At sa parehong oras, madali nating maisip ang mga geometric na bagay na may mga sukat hindi lamang tatlo, kundi pati na rin sa mga sukat na dalawa at isa.

Ang pagkakaiba at pagkakatulad sa pagitan ng 1D at 2D, at ang pagkakaiba at pagkakatulad sa pagitan ng 2D at 3D ay nagbibigay-daan sa amin na iangat ang kaunting misteryo na nagsasara sa amin mula sa mas matataas na dimensyong espasyo. Upang maunawaan kung paano ginagamit ang pagkakatulad na ito, isaalang-alang ang isang napakasimpleng apat na dimensyon na bagay - isang hypercube, iyon ay, isang apat na dimensional na kubo. Hayaan, para sa katiyakan, sabihin nating gusto nating lutasin ang isang partikular na problema, ibig sabihin, bilangin ang bilang ng mga parisukat na mukha ng isang apat na dimensyon na kubo. Ang lahat ng pagsasaalang-alang sa ibaba ay magiging maluwag, nang walang anumang ebidensya, sa pamamagitan lamang ng pagkakatulad.

Upang maunawaan kung paano binuo ang isang hypercube mula sa isang ordinaryong kubo, dapat munang tingnan ng isa kung paano itinayo ang isang ordinaryong kubo mula sa isang ordinaryong parisukat. Para sa pagka-orihinal ng pagtatanghal ng materyal na ito, tatawagin natin dito ang isang ordinaryong parisukat na SubCube (at hindi natin ito malito sa isang succubus).

Upang makabuo ng isang kubo mula sa isang subcube, kinakailangan upang pahabain ang subcube sa isang direksyon na patayo sa eroplano ng subcube sa direksyon ng ikatlong dimensyon. Kasabay nito, lalago ang isang subcube mula sa bawat panig ng paunang subcube, na isang lateral na dalawang-dimensional na mukha ng kubo, na maglilimita sa tatlong-dimensional na volume ng kubo mula sa apat na gilid, dalawang patayo sa bawat direksyon sa ang eroplano ng subcube. At kasama ang bagong ikatlong axis, mayroon ding dalawang subcube na naglilimita sa tatlong-dimensional na dami ng kubo. Ito ang dalawang-dimensional na mukha kung saan orihinal na matatagpuan ang aming subcube at ang dalawang-dimensional na mukha ng kubo kung saan dumating ang subcube sa dulo ng konstruksyon ng kubo.

Ang nabasa mo pa lang ay nakalagay sa sobrang detalye at may maraming paglilinaw. At hindi basta-basta. Ngayon ay gagawa kami ng ganoong trick, papalitan namin ang ilang mga salita sa nakaraang teksto nang pormal sa ganitong paraan:
kubo -> hypercube
subcube -> kubo
eroplano -> volume
pangatlo -> pang-apat
2D -> 3D
apat -> anim
three-dimensional -> four-dimensional
dalawa -> tatlo
eroplano -> kalawakan

Bilang resulta, nakukuha namin ang sumusunod na makabuluhang teksto, na tila hindi na masyadong detalyado.

Upang bumuo ng isang hypercube mula sa isang kubo, kailangan mong iunat ang kubo sa isang direksyon na patayo sa dami ng kubo sa direksyon ng ika-apat na dimensyon. Kasabay nito, lalago ang isang kubo mula sa bawat panig ng orihinal na kubo, na siyang lateral na tatlong-dimensional na mukha ng hypercube, na maglilimita sa apat na dimensyon na dami ng hypercube mula sa anim na gilid, tatlong patayo sa bawat direksyon sa ang espasyo ng kubo. At kasama ang bagong ikaapat na axis, mayroon ding dalawang cube na naglilimita sa apat na dimensyon na dami ng hypercube. Ito ang tatlong-dimensional na mukha kung saan ang aming kubo ay orihinal na matatagpuan at ang tatlong-dimensional na mukha ng hypercube, kung saan ang kubo ay dumating sa dulo ng pagbuo ng hypercube.

Bakit tayo sigurado na natanggap natin ang tamang paglalarawan ng pagtatayo ng hypercube? Oo, dahil sa eksaktong parehong pormal na pagpapalit ng mga salita nakakakuha tayo ng isang paglalarawan ng pagtatayo ng isang kubo mula sa isang paglalarawan ng pagtatayo ng isang parisukat. (Tingnan ito para sa iyong sarili.)

Ngayon ay malinaw na kung ang isa pang tatlong-dimensional na kubo ay dapat lumaki mula sa bawat panig ng kubo, kung gayon ang isang mukha ay dapat lumaki mula sa bawat gilid ng paunang kubo. Sa kabuuan, ang kubo ay may 12 gilid, na nangangahulugan na magkakaroon ng karagdagang 12 bagong mukha (subcubes) para sa 6 na cube na naglilimita sa apat na dimensyon na volume sa kahabaan ng tatlong axes ng three-dimensional na espasyo. At may dalawa pang cube na naglilimita sa apat na dimensyon na volume na ito mula sa ibaba at mula sa itaas kasama ang ikaapat na axis. Ang bawat isa sa mga cube na ito ay may 6 na mukha.

Sa kabuuan, nakukuha natin na ang hypercube ay may 12+6+6=24 square faces.

Ang sumusunod na larawan ay nagpapakita ng lohikal na istraktura ng isang hypercube. Ito ay tulad ng isang projection ng isang hypercube papunta sa tatlong-dimensional na espasyo. Sa kasong ito, ang isang three-dimensional na frame ng ribs ay nakuha. Sa figure, siyempre, makikita mo ang projection ng frame na ito sa isang eroplano.

Sa frame na ito, ang panloob na kubo ay, kumbaga, ang paunang kubo kung saan nagsimula ang konstruksiyon at na naglilimita sa apat na dimensyon na dami ng hypercube kasama ang ikaapat na axis mula sa ibaba. Iniuunat namin ang paunang kubo na ito sa kahabaan ng axis ng ikaapat na dimensyon at papunta ito sa panlabas na kubo. Kaya nililimitahan ng panlabas at panloob na mga cube mula sa figure na ito ang hypercube kasama ang axis ng ikaapat na dimensyon.

At sa pagitan ng dalawang cube na ito, 6 pang bagong cube ang makikita, na nakikipag-ugnayan sa unang dalawa ng mga karaniwang mukha. Nililimitahan ng anim na cube na ito ang aming hypercube kasama ang tatlong axes ng three-dimensional na espasyo. Tulad ng makikita mo, hindi lamang sila nakikipag-ugnayan sa unang dalawang cube, na panloob at panlabas sa tatlong-dimensional na frame na ito, ngunit nakikipag-ugnayan pa rin sila sa isa't isa.

Maaari mong kalkulahin nang direkta sa figure at siguraduhin na ang hypercube ay talagang may 24 na mukha. Ngunit narito ang tanong. Ang 3D hypercube frame na ito ay puno ng walong 3D cube na walang anumang gaps. Upang makagawa ng isang tunay na hypercube mula sa 3D projection na ito ng isang hypercube, kinakailangang i-on ang frame na ito sa loob upang limitahan ng lahat ng 8 cube ang 4D volume.

Ginagawa ito ng ganito. Inaanyayahan namin ang isang residente ng four-dimensional space na bumisita at hilingin sa kanya na tulungan kami. Kinuha nito ang inner cube ng framework na ito at inilipat ito patungo sa ikaapat na dimensyon, na patayo sa aming 3D space. Nakikita namin sa aming tatlong-dimensional na espasyo na parang ang buong panloob na frame ay nawala at tanging ang frame ng panlabas na kubo ang natitira.

Susunod, nag-aalok ang aming 4D assistant na tumulong sa mga walang sakit na panganganak, ngunit ang aming mga buntis na kababaihan ay natatakot sa pag-asang mawala na lang ang sanggol mula sa tiyan at mapupunta sa isang parallel na 3D space. Samakatuwid, ang fourfold ay magalang na tinanggihan.

At kami ay nagtataka kung ang ilan sa aming mga cube ay naalis kapag ang hypercube frame ay nakabukas sa loob. Pagkatapos ng lahat, kung ang ilang mga three-dimensional na cube na nakapalibot sa hypercube ay dumampi sa kanilang mga kapitbahay sa frame, hahawakan din ba nila ang parehong mga mukha kung ang isang four-dimensional ay iikot ang frame sa loob palabas.

Muli nating buksan ang pagkakatulad sa mga puwang ng mas mababang dimensyon. Ihambing ang larawan ng hypercube wireframe sa projection ng 3D cube papunta sa eroplanong ipinapakita sa sumusunod na larawan.

Ang mga naninirahan sa dalawang-dimensional na espasyo na binuo sa isang eroplano ay isang balangkas ng isang cube projection papunta sa isang eroplano at inanyayahan kami, mga tatlong-dimensional na mga residente, na ibalik ang balangkas na ito. Kinukuha namin ang apat na vertices ng panloob na parisukat at inilipat ang mga ito patayo sa eroplano. Kasabay nito, nakikita ng mga two-dimensional na residente ang kumpletong pagkawala ng buong panloob na frame, at mayroon lamang silang frame ng panlabas na parisukat. Sa ganoong operasyon, ang lahat ng mga parisukat na nakikipag-ugnayan sa kanilang mga gilid ay patuloy na nagkakadikit tulad ng dati na may parehong mga gilid.

Samakatuwid, inaasahan namin na ang lohikal na pamamaraan ng hypercube ay hindi rin lalabag kapag ang hypercube frame ay nakabukas sa loob, at ang bilang ng mga parisukat na mukha ng hypercube ay hindi tataas sa kasong ito at mananatiling katumbas ng 24. Ito, ng siyempre, ay hindi isang patunay sa lahat, ngunit pulos hula sa pamamagitan ng pagkakatulad .

Matapos basahin ang lahat dito, madali mong maiguhit ang lohikal na balangkas ng isang limang-dimensional na kubo at kalkulahin kung gaano karaming mga vertice, gilid, mukha, cube at hypercubes ang mayroon ito. Ito ay hindi mahirap sa lahat.