Ang maximum ay ang pinakamataas na bilang o pinakamataas na limitasyon na maaaring maabot. Ang pinakamababa ay, tulad ng alam nating lahat, ang direktang kabaligtaran ng maximum, i.e. ito ang pinakamaliit na bilang at pinakamaliit na limitasyon. Ang mga salitang minimum at maximum, pati na rin ang kanilang mga derivatives, ay matatagpuan sa mga expression at parirala tulad ng:

Sulitin ang komunikasyon.

Upang matuto ng isang tula, kailangan mong basahin ito ng hindi bababa sa 3-4 na beses.

Ang pinaka kaya niyang gawin ay...

Mayroon silang hindi bababa sa dalawang magkakaibigan.

Nakuha niya ang pinakamataas na marka.

Sulitin ang iyong mga pagkakataon!

Ito ang minimum na kailangan mong malaman.

Buhay na sahod.

Pinakamababang presyon ng atmospera.

Minimum/maximum na lamig para sa ….. taon.

Kakailanganin mo ng hindi bababa sa ilang oras upang makumpleto ang gawaing ito.

Ang mga konsepto tulad ng maximum at minimum ay maaari ding matagpuan sa mga espesyal na pang-agham na termino. Halimbawa, sa matematika mayroong isang bagay bilang maximum at minimum ng isang function.

Kaya, sa matematika ang pinakamataas na halaga ng isang function ay tinatawag na maximum. Sa kasong ito, ang maximum na halaga ng function ay mas malaki kaysa sa lahat ng mga halaga na katabi nito. Ang maximum ng isang function ay ang halaga nito kapag ang halaga ay unang tumaas at pagkatapos ay agad na nagsimulang bumaba, habang mayroon itong maximum sa lugar kung saan ang pagtaas at pagbaba ng function ay pumasa mula sa isa patungo sa isa pa. Ang minimum ng isang function ay, nang naaayon, ang pinakamaliit na halaga ng function.

Ang unang derivative ng isang function ay maaaring ituring na positibo kung ito ay tumaas kapag pinalaki natin ang variable, kung gayon ang function ay maaaring ituring na positibo. Kung bumababa ang unang variable habang tumataas ang derivative, dapat ituring na negatibo ang function.

Ang derivative ay ang pangunahing value na ginagamit sa differential calculations (ang pag-aaral ng derivative at differential, na tumutulong sa pag-aaral ng mathematical functions), ito ay mauunawaan bilang rate ng pagbabago ng isang function sa isang partikular na punto. Kung mas malaki ang bilis, mas malakas ang pagbabago ng function, mas maliit, mas mabagal (gayunpaman, ito ay totoo lamang kung ang function ay positibo). Kaya, ito ay ang rate ng pagbabago ng isang function sa isang naibigay na punto na tumutukoy sa mga slope at bulge nito. Ang variable ay isang dami na maaaring magbago ng halaga nito. Ito ay tinutukoy bilang x o oras.

Ang isang variable ay maaaring ituring na isang katangian ng isang sistema (parehong pisikal at abstract) na maaaring magbago ng halaga nito. Sa isang mas pandaigdigang kahulugan, ang isang variable ay maaaring tawaging parehong oras at temperatura, at, sa pangkalahatan, lahat ng buhay (maaari silang magbago). Ang isang variable ay may maraming mga halaga na maaari nitong kunin. Maaari nating ipagpalagay na ang set na ito ay isang variable.

Tulad ng para sa function mismo, dapat itong pumunta mula sa isang positibo hanggang sa isang negatibong halaga sa pamamagitan ng zero. Kaya, sa halaga ng variable kung saan tumutugma ang maximum ng function, ang derivative nito ay magiging zero. Ito ang pag-aari ng function na nagbibigay-daan sa amin upang matukoy ang mga halaga ng x kung saan naabot ng function ang maximum nito. Gayunpaman, kung dagdagan natin ang variable at, sa parehong oras, ang function ay unang tumaas at pagkatapos ay bumababa, pagkatapos ay ang function, kapag nagbabago mula sa isang negatibong halaga sa isang positibong halaga (dumaan sa zero), ay hindi maaabot ang maximum, ngunit, sa kabaligtaran, ang pinakamababang halaga. Bagaman, lohikal, ito ay maaaring kunin bilang ang pinakamataas na halaga (ito ay matatagpuan sa tuktok na punto ng function).

Ang maximum at minimum na puntos ng isang function ay tinatawag ding extremum point.

Kaya, pareho sa ordinaryong buhay at sa matematika, ang maximum at minimum ay dalawang matinding magkasalungat na nangangahulugang isang bagay na pinakamalaki at isang bagay na pinakamaliit.

Ang extremum point ng isang function ay ang punto sa domain ng kahulugan ng function kung saan ang halaga ng function ay tumatagal sa isang minimum o maximum na halaga. Ang mga halaga ng function sa mga puntong ito ay tinatawag na extrema (minimum at maximum) ng function.

Kahulugan. Dot x1 function na domain f(x) ay tinatawag na maximum na punto ng function , kung ang halaga ng function sa puntong ito ay mas malaki kaysa sa mga halaga ng function sa mga puntong sapat na malapit dito, na matatagpuan sa kanan at kaliwa nito (iyon ay, ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maximum.

Kahulugan. Dot x2 function na domain f(x) ay tinatawag na pinakamababang punto ng function, kung ang halaga ng function sa puntong ito ay mas mababa sa mga halaga ng function sa mga puntong sapat na malapit dito, na matatagpuan sa kanan at kaliwa nito (iyon ay, ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Sa kasong ito, sinasabi namin na ang function ay nasa punto x2 pinakamababa.

Sabihin nating punto x1 - maximum na punto ng function f(x). Pagkatapos ay sa pagitan hanggang sa x1 tumataas ang function, samakatuwid ang derivative ng function ay mas malaki kaysa sa zero ( f "(x) > 0 ), at sa pagitan pagkatapos x1 bumababa ang function, samakatuwid, derivative ng isang function mas mababa sa zero ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Ipagpalagay din natin na ang punto x2 - pinakamababang punto ng function f(x). Pagkatapos ay sa pagitan hanggang sa x2 ang function ay bumababa at ang derivative ng function ay mas mababa sa zero ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 ang function ay tumataas at ang derivative ng function ay mas malaki kaysa sa zero ( f "(x) > 0 ). Sa kasong ito din sa punto x2 ang derivative ng function ay zero o wala.

Fermat's theorem (isang kinakailangang criterion para sa pagkakaroon ng extremum ng isang function). Kung ang punto x0 - matinding punto ng pag-andar f(x), pagkatapos sa puntong ito ang derivative ng function ay katumbas ng zero ( f "(x) = 0 ) o wala.

Kahulugan. Ang mga punto kung saan ang derivative ng isang function ay zero o wala ay tinatawag kritikal na puntos .

Halimbawa 1. Isaalang-alang natin ang pag-andar.

Sa punto x= 0 ang derivative ng function ay zero, samakatuwid ang punto x= 0 ang kritikal na punto. Gayunpaman, tulad ng makikita sa graph ng function, tumataas ito sa buong domain ng kahulugan, kaya ang punto x Ang = 0 ay hindi ang extremum point ng function na ito.

Kaya, ang mga kondisyon na ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng zero o wala ay mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum, ngunit hindi sapat, dahil ang iba pang mga halimbawa ng mga function ay maaaring ibigay kung saan ang mga kundisyong ito ay natutugunan, ngunit ang function ay walang extremum sa kaukulang punto. kaya lang dapat may sapat na ebidensya, na nagpapahintulot sa isa na hatulan kung mayroong extremum sa isang partikular na kritikal na punto at kung anong uri ng extremum ito - maximum o minimum.

Theorem (ang unang sapat na tanda ng pagkakaroon ng isang extremum ng isang function). Kritikal na punto x0 f(x), kung ang derivative ng function ay nagbabago ng sign kapag dumadaan sa puntong ito, at kung ang sign ay nagbabago mula sa "plus" hanggang "minus", kung gayon ang pinakamataas na punto, at kung mula sa "minus" hanggang "plus", kung gayon ang pinakamababang punto .

Kung malapit sa punto x0 , sa kaliwa at sa kanan nito, pinapanatili ng derivative ang sign nito, nangangahulugan ito na ang function ay bumababa lamang o tumataas lamang sa isang partikular na kapitbahayan ng punto x0 . Sa kasong ito, sa punto x0 walang sukdulan.

Kaya, upang matukoy ang extremum point ng function, kailangan mong gawin ang mga sumusunod :

1. Hanapin ang derivative ng function.
2. I-equate ang derivative sa zero at tukuyin ang mga kritikal na puntos.
3. Sa isip o sa papel, markahan ang mga kritikal na punto sa linya ng numero at tukuyin ang mga palatandaan ng derivative ng function sa mga resultang pagitan. Kung ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa "plus" hanggang sa "minus", kung gayon ang kritikal na punto ay ang pinakamataas na punto, at kung mula sa "minus" hanggang "plus", kung gayon ang pinakamababang punto.
4. Kalkulahin ang halaga ng function sa mga extremum point.

Halimbawa 2. Hanapin ang extrema ng function .

Solusyon. Hanapin natin ang derivative ng function:

I-equate ang derivative sa zero upang mahanap ang mga kritikal na puntos:

.

Dahil para sa anumang mga halaga ng "x" ang denominator ay hindi katumbas ng zero, tinutumbas namin ang numerator sa zero:

Nakakuha ng isang kritikal na punto x= 3 . Tukuyin natin ang tanda ng derivative sa mga agwat na nililimitahan ng puntong ito:

sa saklaw mula sa minus infinity hanggang 3 - minus sign, iyon ay, bumababa ang function,

sa pagitan mula 3 hanggang plus infinity mayroong plus sign, iyon ay, tumataas ang function.

Ibig sabihin, period x= 3 ang pinakamababang punto.

Hanapin natin ang halaga ng function sa pinakamababang punto:

Kaya, ang extremum point ng function ay matatagpuan: (3; 0), at ito ang pinakamababang punto.

Theorem (ang pangalawang sapat na tanda ng pagkakaroon ng extremum ng isang function). Kritikal na punto x0 ay ang extremum point ng function f(x) kung ang pangalawang derivative ng function sa puntong ito ay hindi katumbas ng zero ( f ""(x) ≠ 0 ), at kung ang pangalawang derivative ay mas malaki sa zero ( f ""(x) > 0 ), pagkatapos ay ang pinakamataas na punto, at kung ang pangalawang derivative ay mas mababa sa zero ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Tandaan 1. Kung sa punto x0 Kung ang una at pangalawang derivatives ay nawala, pagkatapos ay sa puntong ito imposibleng hatulan ang pagkakaroon ng isang extremum batay sa pangalawang sapat na pamantayan. Sa kasong ito, kailangan mong gamitin ang unang sapat na criterion para sa extremum ng isang function.

Puna 2. Ang pangalawang sapat na criterion para sa extremum ng isang function ay hindi rin nalalapat kapag ang unang derivative ay hindi umiiral sa nakatigil na punto (kung gayon ang pangalawang derivative ay wala rin). Sa kasong ito, kinakailangan ding gamitin ang unang sapat na criterion para sa extremum ng function.

Lokal na katangian ng extrema ng function

Mula sa mga kahulugan sa itaas, sumusunod na ang extremum ng isang function ay isang lokal na kalikasan - ito ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function kumpara sa pinakamalapit na mga halaga.

Sabihin nating tinitingnan mo ang iyong mga kita sa loob ng isang taon. Kung noong Mayo ay nakakuha ka ng 45,000 rubles, at noong Abril 42,000 rubles at noong Hunyo 39,000 rubles, kung gayon ang mga kita sa Mayo ay ang pinakamataas na function ng kita kumpara sa mga kalapit na halaga. Ngunit noong Oktubre nakakuha ka ng 71,000 rubles, noong Setyembre 75,000 rubles, at noong Nobyembre 74,000 rubles, kaya ang mga kita sa Oktubre ay ang pinakamababa sa function ng kita kumpara sa mga kalapit na halaga. At madali mong makita na ang maximum sa mga halaga ng Abril-Mayo-Hunyo ay mas mababa kaysa sa minimum ng Setyembre-Oktubre-Nobyembre.

Sa pangkalahatan, sa pagitan ng isang function ay maaaring magkaroon ng ilang extrema, at maaaring lumabas na ang ilang minimum ng function ay mas malaki kaysa sa anumang maximum. Kaya, para sa function na ipinapakita sa figure sa itaas, .

Iyon ay, hindi dapat isipin ng isa na ang maximum at minimum ng isang function ay, ayon sa pagkakabanggit, ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga nito sa buong segment na isinasaalang-alang. Sa pinakamataas na punto, ang function ay may pinakamalaking halaga lamang kumpara sa mga halagang iyon na mayroon ito sa lahat ng mga punto na sapat na malapit sa pinakamataas na punto, at sa pinakamababang punto ito ay may pinakamaliit na halaga lamang kumpara sa mga halagang iyon. na mayroon ito sa lahat ng mga punto na sapat na malapit sa pinakamababang punto.

Samakatuwid, maaari nating linawin ang konsepto sa itaas ng mga extremum point ng isang function at tawagan ang mga minimum na puntos ng mga lokal na minimum na puntos, at ang maximum na mga puntos ng mga lokal na maximum na puntos.

Hinahanap namin ang extrema ng function nang magkasama

Halimbawa 3.

Solusyon: Ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa buong linya ng numero. Ang hinango nito umiiral din sa buong linya ng numero. Samakatuwid, sa kasong ito, ang mga kritikal na punto ay ang mga kung saan, i.e. , mula saan at . Mga kritikal na punto at hatiin ang buong domain ng kahulugan ng function sa tatlong pagitan ng monotonicity: . Pumili tayo ng isang control point sa bawat isa sa kanila at hanapin ang sign ng derivative sa puntong ito.

Para sa agwat, ang reference point ay maaaring : nakita namin . Ang pagkuha ng isang punto sa pagitan, makuha natin ang , at pagkuha ng isang punto sa pagitan, mayroon tayong . Kaya, sa pagitan at , at sa pagitan . Ayon sa unang sapat na criterion para sa isang extremum, walang extremum sa punto (dahil ang derivative ay nagpapanatili ng sign nito sa pagitan), at sa punto ang function ay may minimum (dahil ang derivative ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus kapag pumasa. sa pamamagitan ng puntong ito). Hanapin ang mga katumbas na halaga ng function: , at . Sa agwat ang pag-andar ay bumababa, dahil sa agwat na ito , at sa agwat ito ay tumataas, dahil sa agwat na ito .

Upang linawin ang pagbuo ng graph, makikita natin ang mga punto ng intersection nito sa mga coordinate axes. Kapag nakakuha tayo ng equation na ang mga ugat at , ibig sabihin, dalawang puntos (0; 0) at (4; 0) ng graph ng function ay natagpuan. Gamit ang lahat ng impormasyong natanggap, bumuo kami ng isang graph (tingnan ang simula ng halimbawa).

Para sa self-checking sa panahon ng mga kalkulasyon, maaari mong gamitin online na derivative calculator .

Halimbawa 4. Hanapin ang extrema ng function at buuin ang graph nito.

Ang domain ng kahulugan ng isang function ay ang buong linya ng numero, maliban sa punto, i.e. .

Upang paikliin ang pag-aaral, maaari nating gamitin ang katotohanan na ang function na ito ay pantay, dahil . Samakatuwid, ang graph nito ay simetriko tungkol sa axis Oy at ang pag-aaral ay maaari lamang gawin para sa pagitan.

Paghahanap ng derivative at mga kritikal na punto ng function:

1) ;

2) ,

ngunit ang function ay naghihirap sa isang break sa puntong ito, kaya hindi ito maaaring maging isang extremum point.

Kaya, ang ibinigay na function ay may dalawang kritikal na punto: at . Isinasaalang-alang ang parity ng function, sinusuri lamang namin ang punto sa pamamagitan ng pangalawang sapat na tanda ng extremum. Upang gawin ito, nakita namin ang pangalawang derivative at tukuyin ang sign nito sa: makuha namin . Dahil at , ito ang pinakamababang punto ng function, at .

Upang makakuha ng mas kumpletong larawan ng graph ng function, alamin natin ang pag-uugali nito sa mga hangganan ng domain ng kahulugan:

(dito ang simbolo ay nagpapahiwatig ng pagnanais x sa zero mula sa kanan, at x nananatiling positibo; katulad din ang ibig sabihin ng aspirasyon x sa zero mula sa kaliwa, at x nananatiling negatibo). Kaya, kung , pagkatapos . Susunod, hanapin namin

,

mga. kung , kung gayon .

Ang graph ng isang function ay walang intersection point sa mga axes. Ang larawan ay nasa simula ng halimbawa.

Para sa self-checking sa panahon ng mga kalkulasyon, maaari mong gamitin online na derivative calculator .

Patuloy kaming naghahanap ng extrema ng function nang magkasama

Halimbawa 8. Hanapin ang extrema ng function.

Solusyon. Hanapin natin ang domain ng kahulugan ng function. Dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay dapat masiyahan, nakukuha natin mula sa .

Hanapin natin ang unang derivative ng function.

Teorama. (isang kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum) Kung ang function na f (x) ay naiba sa puntong x \u003d x 1 at ang puntong x 1 ay isang extremum point, kung gayon ang derivative ng function ay naglalaho sa puntong ito.

Patunay. Ipagpalagay natin na ang function na f(x) ay may maximum sa puntong x = x 1.

Pagkatapos para sa sapat na maliit na positibong Dх>0 ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay totoo:

A-priory:

Yung. kung Dх®0, ngunit Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, pagkatapos ay f¢(x 1) £ 0.

At ito ay posible lamang kung sa Dх®0 f¢(x 1) = 0.

Para sa kaso kapag ang function na f(x) ay may pinakamababa sa puntong x 2, ang theorem ay napatunayang katulad.

Ang teorama ay napatunayan.

Bunga. Ang baligtad na pahayag ay hindi totoo. Kung ang derivative ng isang function sa ilang punto ay katumbas ng zero, hindi ito nangangahulugan na ang function ay may extremum sa puntong ito. Ang isang mahusay na halimbawa nito ay ang function na y \u003d x 3, na ang derivative sa puntong x \u003d 0 ay katumbas ng zero, ngunit sa puntong ito ang function ay mayroon lamang inflection, at hindi isang maximum o minimum.

Kahulugan. Mga kritikal na puntos Ang mga function ay mga punto kung saan ang derivative ng function ay hindi umiiral o katumbas ng zero.

Ang theorem na isinasaalang-alang sa itaas ay nagbibigay sa amin ng mga kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum, ngunit ito ay hindi sapat.

Halimbawa: f(x) = ôxô Halimbawa: f(x) =

y y

Sa puntong x = 0 ang function ay may pinakamababa, ngunit sa puntong x = 0 ang function ay wala

walang derivative. maximum, walang minimum, walang produksyon

Sa pangkalahatan, ang function na f(x) ay maaaring may extremum sa mga punto kung saan ang derivative ay wala o katumbas ng zero.

Teorama. (Sapat na mga kondisyon para sa pagkakaroon ng extremum)

Hayaang ang function na f(x) ay tuluy-tuloy sa pagitan (a, b), na naglalaman ng kritikal na punto x 1, at naiba sa lahat ng punto ng pagitan na ito (maliban, marahil, ang puntong x 1 mismo).

Kung, kapag dumadaan sa puntong x 1 mula kaliwa pakanan, ang derivative ng function na f¢(x) ay nagbabago ng sign mula sa “+” patungong “-“, pagkatapos ay sa puntong x = x 1 ang function na f(x) ay mayroong isang maximum, at kung ang derivative ay nagbabago ng sign mula sa "- " hanggang sa "+" - kung gayon ang function ay may isang minimum.

Patunay.

Hayaan

Ayon sa teorama ni Lagrange: f(x) – f(x 1) = f¢(e)(x – x 1), kung saan ang x< e < x 1 .

Pagkatapos: 1) Kung x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

2) Kung x > x 1, kung gayon e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

Dahil ang mga sagot ay nagtutugma, maaari nating sabihin na f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума.

Ang patunay ng theorem para sa pinakamababang punto ay magkatulad.

Ang teorama ay napatunayan.

Batay sa itaas, maaari kang bumuo ng isang pinag-isang pamamaraan para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment:

1) Hanapin ang mga kritikal na punto ng function.

2) Hanapin ang mga halaga ng function sa mga kritikal na punto.

3) Hanapin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment.

4) Piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit sa mga nakuhang halaga.

Pag-aaral ng isang function para sa isang extremum na paggamit

derivatives ng mas mataas na mga order.

Hayaan sa puntong x = x 1 f¢(x 1) = 0 at f¢¢(x 1) ay umiiral at tuluy-tuloy sa ilang kapitbahayan ng punto x 1.

Teorama. Kung f¢(x 1) = 0, kung gayon ang function na f(x) sa puntong x = x 1 ay may maximum kung f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.

Patunay.

Hayaan ang f¢(x 1) = 0 at f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

kasi f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 sa x x 1 . Nangangahulugan ito na kapag dumadaan sa puntong x = x 1, ang derivative na f¢(x) ay nagbabago ng sign mula sa "+" hanggang sa "-", i.e.

sa puntong ito ang function na f(x) ay may maximum.

Para sa kaso ng isang minimum na function, ang theorem ay pinatunayan sa katulad na paraan.

Kung f¢¢(x) = 0, kung gayon ang katangian ng kritikal na punto ay hindi alam. Ang karagdagang pananaliksik ay kinakailangan upang matukoy ito.

Convexity at concavity ng isang curve.

Mga inflection point.

Kahulugan. Ang kurba ay matambok pataas sa pagitan (a, b) kung ang lahat ng mga punto nito ay nasa ibaba ng alinman sa mga tangent nito sa pagitan na ito. Ang isang curve convex paitaas ay tinatawag matambok, at tinatawag ang isang kurba na nakaharap nang matambok pababa malukong.

sa

Ang figure ay nagpapakita ng isang paglalarawan ng kahulugan sa itaas.

Teorama 1. Kung sa lahat ng punto ng pagitan (a, b) ang pangalawang derivative ng function na f(x) ay negatibo, kung gayon ang curve y = f(x) ay matambok paitaas (convex).

Patunay. Hayaan ang x 0 О (a, b). Gumuhit ng tangent sa kurba sa puntong ito.

Curve equation: y = f(x);

Tangent equation:

Dapat patunayan na .

Ayon sa Lagrange theorem para sa f(x) – f(x 0): , x 0< c < x.

Ayon sa teorama ni Lagrange para sa

Hayaan ang x > x 0 pagkatapos x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 at c - x 0 > 0, at bilang karagdagan, ayon sa kundisyon

Kaya naman, .

Hayaan ang x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то

Parehong napatunayan na kung f¢¢(x) > 0 sa pagitan (a, b), kung gayon ang kurba y=f(x) ay malukong sa pagitan (a, b).

Ang teorama ay napatunayan.

Kahulugan. Tinatawag ang puntong naghihiwalay sa matambok na bahagi ng kurba mula sa malukong bahagi inflection point.

Malinaw, sa inflection point, ang padaplis na intersect sa curve.

Teorama 2. Hayaang tukuyin ang kurba ng equation na y = f(x). Kung ang pangalawang derivative f¢¢(a) = 0 o f¢¢(a) ay wala at kapag dumadaan sa puntong x = a f¢¢(x) ay nagbabago ng sign, ang punto ng curve na may abscissa x = a ay isang inflection point.

Patunay. 1) Hayaan ang f¢¢(x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >0 para sa x > a. Pagkatapos sa

x< a кривая выпукла, а при x >a ang kurba ay malukong, i.e. ang puntong x = a ay ang inflection point.

2) Hayaang f¢¢(x) > 0 para sa x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >b – matambok pataas. Kung gayon ang x = b ay isang inflection point.

Ang teorama ay napatunayan.

Asymptotes.

Kapag nag-aaral ng mga pag-andar, kadalasang nangyayari na kapag ang x-coordinate ng isang punto sa isang kurba ay gumagalaw sa infinity, ang kurba ay lumalapit nang walang katiyakan sa isang tiyak na tuwid na linya.

Kahulugan. Ang tuwid na linya ay tinatawag asymptote curve kung ang distansya mula sa variable na punto ng curve hanggang sa tuwid na linyang ito ay nagiging zero habang ang punto ay gumagalaw sa infinity.

Dapat tandaan na hindi lahat ng kurba ay may asymptote. Ang mga asymptotes ay maaaring tuwid o pahilig. Ang pag-aaral ng mga function para sa pagkakaroon ng mga asymptotes ay napakahalaga at nagbibigay-daan sa iyong mas tumpak na matukoy ang likas na katangian ng function at ang pag-uugali ng curve graph.

Sa pangkalahatan, ang isang kurba, na walang katiyakang papalapit sa asymptote nito, ay maaaring magsalubong dito, at hindi sa isang punto, tulad ng ipinapakita sa graph ng function sa ibaba . Ang pahilig nitong asymptote y = x.

Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang mga pamamaraan para sa paghahanap ng mga asymptotes ng mga kurba.

Mga patayong asymptotes.

Mula sa kahulugan ng isang asymptote sumusunod na kung o o , kung gayon ang tuwid na linya x = a ay ang asymptote ng kurba y = f(x).

Halimbawa, para sa isang function, ang linyang x = 5 ay ang patayong asymptote.

Oblique asymptotes.

Ipagpalagay na ang curve y = f(x) ay may slanted asymptote y = kx + b.

Tukuyin natin ang punto ng intersection ng curve at ang patayo sa asymptote - M, P - ang punto ng intersection ng patayo na ito sa asymptote. Tukuyin natin ang anggulo sa pagitan ng asymptote at ng Ox axis bilang j. Ang perpendicular MQ sa Ox axis ay nag-intersect sa asymptote sa punto N.

Pagkatapos MQ = y ay ang ordinate ng punto sa curve, NQ = ay ang ordinate ng point N sa asymptote.

Ayon sa kondisyon: , ÐNMP = j, .

Ang anggulo j ay pare-pareho at hindi katumbas ng 90 0, kung gayon

Pagkatapos .

Kaya, ang tuwid na linya y = kx + b ay ang asymptote ng curve. Upang tumpak na matukoy ang linyang ito, kinakailangan upang makahanap ng isang paraan upang makalkula ang mga coefficient k at b.

Sa resultang expression, kinuha namin ang x sa mga bracket:

kasi x®¥, kung gayon , kasi b = const, pagkatapos .

Pagkatapos , samakatuwid,

.

kasi , Iyon , samakatuwid,

Tandaan na ang mga pahalang na asymptote ay isang espesyal na kaso ng oblique asymptotes para sa k = 0.

Halimbawa. .

1) Vertical asymptotes: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, samakatuwid, ang x = 0 ay isang vertical asymptote.

2) Oblique asymptotes:

Kaya, ang tuwid na linya y = x + 2 ay isang pahilig na asymptote.

I-plot natin ang function:

Halimbawa. Maghanap ng mga asymptotes at i-graph ang function.

Ang mga linyang x = 3 at x = -3 ay mga patayong asymptotes ng curve.

Hanapin natin ang oblique asymptotes:

y = 0 – pahalang na asymptote.

Halimbawa. Maghanap ng mga asymptotes at i-graph ang function .

Ang tuwid na linya x = -2 ay ang patayong asymptote ng kurba.

Hanapin natin ang oblique asymptotes.

Sa kabuuan, ang tuwid na linya y = x – 4 ay isang oblique asymptote.

Scheme ng pag-aaral ng function

Ang proseso ng pananaliksik sa pag-andar ay binubuo ng ilang mga yugto. Para sa pinaka kumpletong pag-unawa sa pag-uugali ng function at sa likas na katangian ng graph nito, kinakailangan upang mahanap:

1) Ang domain ng pagkakaroon ng function.

Kasama sa konseptong ito ang parehong domain ng mga halaga at ang domain ng kahulugan ng isang function.

2) Mga breaking point. (Kung bakante).

3) Mga pagitan ng pagtaas at pagbaba.

4) Pinakamataas at pinakamababang puntos.

5) Ang maximum at minimum na halaga ng isang function sa domain ng kahulugan nito.

6) Mga lugar ng convexity at concavity.

7) Mga inflection point (kung mayroon man).

8) Asymptotes (kung mayroon man).

9) Pagbuo ng isang graph.

Tingnan natin ang aplikasyon ng scheme na ito gamit ang isang halimbawa.

Halimbawa. I-explore ang function at buuin ang graph nito.

Nahanap namin ang domain ng pagkakaroon ng function. Obvious naman yun domain ng kahulugan ang function ay ang lugar (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

Sa turn, malinaw na ang mga tuwid na linya x = 1, x = -1 ay vertical asymptotes baluktot.

Lugar ng halaga ng function na ito ay ang pagitan (-¥; ¥).

break points Ang mga function ay ang mga puntos na x=1, x=-1.

Nahanap namin kritikal na puntos.

Hanapin natin ang derivative ng function

Mga kritikal na puntos: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

Hanapin natin ang pangalawang derivative ng function

Alamin natin ang convexity at concavity ng curve sa pagitan.

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < 0, y¢¢ >0, malukong kurba

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ >0, malukong kurba

< x < ¥, y¢¢ >0, malukong kurba

Paghahanap ng mga puwang dumarami At bumababa mga function. Upang gawin ito, tinutukoy namin ang mga palatandaan ng derivative ng function sa mga agwat.

-¥ < x < - , y¢ >0, tumataas ang function

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ >0, tumataas ang function

Makikita na ang puntong x = - ay isang punto maximum, at ang point x = ay isang punto pinakamababa. Ang mga halaga ng function sa mga puntong ito ay katumbas ng -3/2 at 3/2, ayon sa pagkakabanggit.

Tungkol sa patayo asymptotes nasabi na sa itaas. Ngayon hanapin natin oblique asymptotes.

Sa kabuuan, ang equation ng oblique asymptote ay y = x.

Buuin natin iskedyul Mga Tampok:

Mga pag-andar ng ilang mga variable

Kapag isinasaalang-alang ang mga function ng ilang variable, lilimitahan natin ang ating sarili sa isang detalyadong paglalarawan ng mga function ng dalawang variable, dahil lahat ng resultang nakuha ay magiging wasto para sa mga function ng isang arbitrary na bilang ng mga variable.

Kahulugan: Kung ang bawat pares ng magkaparehong independiyenteng mga numero (x, y) mula sa isang tiyak na hanay, ayon sa ilang panuntunan, ay nauugnay sa isa o higit pang mga halaga ng variable z, kung gayon ang variable na z ay tinatawag na function ng dalawang variable.

Kahulugan: Kung ang isang pares ng mga numero (x, y) ay tumutugma sa isang halagang z, kung gayon ang function ay tinatawag hindi malabo, at kung higit sa isa, kung gayon - polysemantic.

Kahulugan: Domain ng kahulugan Ang function na z ay ang hanay ng mga pares (x, y) kung saan umiiral ang function na z.

Kahulugan: Kapitbahayan ng isang punto Ang M 0 (x 0, y 0) ng radius r ay ang set ng lahat ng puntos (x, y) na nakakatugon sa kundisyon .

Kahulugan: Ang numero A ay tinatawag limitasyon function na f(x, y) bilang ang puntong M(x, y) ay patungo sa puntong M 0 (x 0, y 0), kung para sa bawat numero e > 0 mayroong numero r > 0 na para sa anumang punto M (x, y), kung saan totoo ang kundisyon

totoo din ang kondisyon .

Isulat:

Kahulugan: Hayaang ang puntong M 0 (x 0, y 0) ay kabilang sa domain ng kahulugan ng function na f(x, y). Pagkatapos ay tinawag ang function na z = f(x, y). tuloy-tuloy sa puntong M 0 (x 0, y 0), kung

(1)

bukod pa rito, ang puntong M(x, y) ay may posibilidad sa puntong M 0 (x 0, y 0) sa isang arbitraryong paraan.

Kung ang kondisyon (1) ay hindi nasiyahan sa anumang punto, ang puntong ito ay tinatawag sukdulan mga function na f(x, y). Ito ay maaaring sa mga sumusunod na kaso:

1) Ang function na z \u003d f (x, y) ay hindi tinukoy sa puntong M 0 (x 0, y 0).

2) Walang limitasyon.

3) Umiiral ang limitasyong ito, ngunit hindi ito katumbas ng f(x 0 , y 0).

Ari-arian. Kung ang function na f(x, y, …) ay tinukoy at tuloy-tuloy sa isang closed at

bounded area D, pagkatapos ay sa lugar na ito mayroong kahit isang punto

N(x 0 , y 0 , …) na ang hindi pagkakapantay-pantay

f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)

pati na rin ang punto N 1 (x 01, y 01, ...), na para sa lahat ng iba pang mga punto ay totoo ang hindi pagkakapantay-pantay

f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …)

pagkatapos f(x 0 , y 0 , …) = M – pinakamataas na halaga function, at f(x 01 , y 01 , ...) = m – pinakamaliit na halaga function na f(x, y, …) sa domain D.

Ang tuluy-tuloy na function sa isang closed at bounded na domain D ay umabot sa pinakamalaking value nito kahit isang beses at ang pinakamaliit na value nito nang isang beses.

Ari-arian. Kung ang function na f(x, y, …) ay tinukoy at tuloy-tuloy sa isang closed bounded domain D, at ang M at m ay, ayon sa pagkakabanggit, ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function sa domain na ito, kung gayon para sa anumang punto m О may punto

N 0 (x 0 , y 0 , …) na ang f(x 0 , y 0 , …) = m.

Sa madaling salita, ang tuluy-tuloy na pag-andar ay tumatagal sa domain D ng lahat ng mga intermediate na halaga sa pagitan ng M at m. Ang isang kinahinatnan ng ari-arian na ito ay maaaring ang konklusyon na kung ang mga numero M at m ay may magkakaibang mga palatandaan, pagkatapos ay sa domain D ang function ay naglalaho ng hindi bababa sa isang beses.

Ari-arian. Function f(x, y, …), tuloy-tuloy sa isang closed bounded domain D, limitado sa rehiyong ito, kung mayroong isang bilang na K na para sa lahat ng mga punto sa rehiyon ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo .

Ari-arian. Kung ang isang function na f(x, y, …) ay tinukoy at tuloy-tuloy sa isang closed bounded domain D, kung gayon ito pare-parehong tuloy-tuloy sa lugar na ito, i.e. para sa anumang positibong numero e mayroong numerong D > 0 na para sa alinmang dalawang puntos (x 1, y 1) at (x 2, y 2) ng rehiyon na matatagpuan sa layong mas mababa sa D, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili

Ang mga katangian sa itaas ay katulad ng mga katangian ng mga pag-andar ng isang variable na tuluy-tuloy sa isang pagitan. Tingnan ang Properties ng mga function na tuloy-tuloy sa isang interval.

Derivatives at differentials ng mga function

ilang variable.

Kahulugan. Hayaang maibigay ang function na z = f(x, y) sa ilang domain. Kumuha tayo ng arbitrary point M(x, y) at itakda ang increment Dx sa variable na x. Kung gayon ang dami D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) ay tinatawag bahagyang pagtaas ng function sa x.

Maaari mong isulat

.

Tapos tinawag na partial derivative mga function z = f(x, y) sa x.

pagtatalaga:

Ang partial derivative ng isang function na may kinalaman sa y ay natutukoy nang katulad.

Geometric na kahulugan ang partial derivative (sabihin natin) ay ang padaplis ng anggulo ng inclination ng tangent na iginuhit sa punto N 0 (x 0, y 0, z 0) sa seksyon ng surface sa pamamagitan ng plane y = y 0.

Buong pagtaas at buong pagkakaiba.

padaplis na eroplano

Hayaang ang N at N 0 ay mga punto ng ibabaw na ito. Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya NN 0. Ang eroplano na dumadaan sa puntong N 0 ay tinatawag padaplis na eroplano sa ibabaw kung ang anggulo sa pagitan ng secant NN 0 at ang eroplanong ito ay may posibilidad na zero, kapag ang distansya NN 0 ay may posibilidad na zero.

Kahulugan. Normal sa ibabaw sa punto N 0 ay isang tuwid na linya na dumadaan sa punto N 0 patayo sa tangent plane sa ibabaw na ito.

Sa anumang punto ang ibabaw ay may alinman lamang sa isang tangent na eroplano o wala ito sa lahat.

Kung ang ibabaw ay ibinigay ng equation na z = f(x, y), kung saan ang f(x, y) ay isang function na naiba-iba sa puntong M 0 (x 0, y 0), ang tangent plane sa puntong N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) ay umiiral at may equation:

Ang equation ng normal sa ibabaw sa puntong ito ay:

Geometric na kahulugan ang kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable na f(x, y) sa punto (x 0, y 0) ay ang pagtaas ng applicate (z coordinates) ng tangent plane patungo sa ibabaw kapag gumagalaw mula sa punto (x 0). , y 0) hanggang sa punto (x 0 + Dx, y 0 +Dу).

Tulad ng nakikita mo, ang geometric na kahulugan ng kabuuang kaugalian ng isang function ng dalawang variable ay isang spatial na analogue ng geometric na kahulugan ng kaugalian ng isang function ng isang variable.

Halimbawa. Hanapin ang mga equation ng tangent plane at normal sa ibabaw

sa puntong M(1, 1, 1).

Tangent plane equation:

Normal na equation:

Tinatayang mga kalkulasyon gamit ang kabuuang mga pagkakaiba.

Ang kabuuang pagkakaiba ng function na u ay katumbas ng:

Ang eksaktong halaga ng expression na ito ay 1.049275225687319176.

Mga partial derivatives ng mas matataas na order.

Kung ang isang function na f(x, y) ay tinukoy sa ilang domain D, ang mga partial derivatives nito ay tutukuyin din sa parehong domain o bahagi nito.

Tatawagin natin itong mga derivatives mga partial derivative sa unang order.

Ang mga derivatives ng mga function na ito ay pangalawang order na bahagyang derivatives.

Sa patuloy na pag-iiba ng mga resultang pagkakapantay-pantay, nakakakuha kami ng mga partial derivatives ng mas matataas na order.

Mula sa artikulong ito matututunan ng mambabasa ang tungkol sa kung ano ang isang extremum ng functional na halaga, pati na rin ang tungkol sa mga tampok ng paggamit nito sa mga praktikal na aktibidad. Ang pag-aaral ng gayong konsepto ay lubhang mahalaga para sa pag-unawa sa mga pundasyon ng mas mataas na matematika. Ang paksang ito ay mahalaga para sa mas malalim na pag-aaral ng kurso.

Sa pakikipag-ugnayan sa

Ano ang isang extremum?

Sa kurso sa paaralan, maraming mga kahulugan ng konseptong "extremum" ang ibinigay. Ang artikulong ito ay naglalayong magbigay ng pinakamalalim at pinakamalinaw na pag-unawa sa termino para sa mga walang alam sa isyu. Kaya, ang termino ay nauunawaan kung hanggang saan ang functional interval ay nakakakuha ng isang minimum o maximum na halaga sa isang partikular na hanay.

Ang extremum ay parehong pinakamababang halaga ng isang function at ang maximum sa parehong oras. Mayroong isang minimum na punto at isang maximum na punto, iyon ay, ang matinding halaga ng argumento sa graph. Ang mga pangunahing agham na gumagamit ng konseptong ito ay:

• mga istatistika;
• kontrol ng makina;
• econometrics.

Ang mga extremum point ay may mahalagang papel sa pagtukoy ng pagkakasunud-sunod ng isang naibigay na function. Ang sistema ng coordinate sa graph sa pinakamaganda ay nagpapakita ng pagbabago sa matinding posisyon depende sa pagbabago sa functionality.

Extrema ng derivative function

Mayroon ding ganitong kababalaghan bilang "derivative". Ito ay kinakailangan upang matukoy ang extremum point. Mahalagang huwag malito ang pinakamababa o pinakamataas na puntos sa pinakamataas at pinakamababang halaga. Ang mga ito ay magkakaibang mga konsepto, bagaman maaaring sila ay magkatulad.

Ang halaga ng function ay ang pangunahing kadahilanan sa pagtukoy kung paano hanapin ang pinakamataas na punto. Ang derivative ay hindi nabuo mula sa mga halaga, ngunit eksklusibo mula sa matinding posisyon nito sa isa o ibang pagkakasunud-sunod.

Ang derivative mismo ay tinutukoy batay sa mga extremum point na ito, at hindi sa pinakamalaki o pinakamaliit na halaga. Sa mga paaralang Ruso, ang linya sa pagitan ng dalawang konsepto na ito ay hindi malinaw na iginuhit, na nakakaapekto sa pag-unawa sa paksang ito sa pangkalahatan.

Isaalang-alang natin ngayon ang ganitong konsepto bilang "acute extremum". Ngayon, mayroong isang matinding minimum na halaga at isang matinding maximum na halaga. Ang kahulugan ay ibinigay alinsunod sa pag-uuri ng Russia ng mga kritikal na punto ng isang function. Ang konsepto ng isang extremum point ay ang batayan para sa paghahanap ng mga kritikal na punto sa isang graph.

Upang tukuyin ang gayong konsepto, ginamit nila ang teorama ni Fermat. Ito ang pinakamahalaga sa pag-aaral ng mga matinding punto at nagbibigay ng isang malinaw na ideya ng kanilang pag-iral sa isang anyo o iba pa. Upang matiyak ang sukdulan, mahalagang lumikha ng ilang partikular na kundisyon para sa pagbaba o pagtaas sa graph.

Upang tumpak na masagot ang tanong na "paano mahahanap ang pinakamataas na punto", dapat mong sundin ang mga alituntuning ito:

1. Paghahanap ng eksaktong domain ng kahulugan sa graph.
2. Hanapin ang derivative ng isang function at ang extremum point.
3. Lutasin ang mga karaniwang hindi pagkakapantay-pantay para sa domain kung saan matatagpuan ang argumento.
4. Mapatunayan kung aling mga function ang isang punto sa isang graph ay tinukoy at tuloy-tuloy.

Pansin! Ang paghahanap para sa kritikal na punto ng isang function ay posible lamang kung mayroong isang derivative ng hindi bababa sa pangalawang order, na sinisiguro ng isang mataas na proporsyon ng pagkakaroon ng isang extremum point.

Kinakailangang kundisyon para sa extremum ng isang function

Upang magkaroon ng extremum, mahalaga na mayroong parehong minimum at maximum na mga puntos. Kung ang panuntunang ito ay bahagyang sinusunod lamang, kung gayon ang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum ay nilabag.

Ang bawat pag-andar sa anumang posisyon ay dapat na maiiba upang makilala ang mga bagong kahulugan nito. Mahalagang maunawaan na ang kaso ng isang puntong papunta sa zero ay hindi ang pangunahing prinsipyo para sa paghahanap ng naiba-iba na punto.

Ang isang matinding extremum, pati na rin ang isang minimum ng isang function, ay isang napakahalagang aspeto ng paglutas ng isang problema sa matematika gamit ang matinding mga halaga. Upang mas maunawaan ang bahaging ito, mahalagang sumangguni sa mga halaga ng tabular para sa pagtukoy ng pag-andar.

Pananaliksik ng Buong Kahulugan

Pag-plot ng Value Graph

1. Pagpapasiya ng mga punto ng pagtaas at pagbaba ng mga halaga. 2. Paghahanap ng mga discontinuity point, extremum at intersection na may mga coordinate axes. 3. Ang proseso ng pagtukoy ng mga pagbabago sa posisyon sa isang graph. 4. Pagpapasiya ng tagapagpahiwatig at direksyon ng convexity at convexity, isinasaalang-alang ang pagkakaroon ng mga asymptotes. 5. Paglikha ng isang talahanayan ng buod ng pananaliksik mula sa punto ng view ng pagtukoy ng mga coordinate nito. 6. Paghahanap ng mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng sukdulan at matalim na mga punto. 7. Pagpapasiya ng convexity at concavity ng isang curve. 8. Ang pag-plot ng isang graph na isinasaalang-alang ang pananaliksik ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang minimum o maximum.

Ang pangunahing elemento kapag kinakailangan upang gumana sa matinding mga punto ay ang tumpak na pagbuo ng graph nito. Ang mga guro ng paaralan ay hindi madalas na binibigyang pansin ang gayong mahalagang aspeto, na isang matinding paglabag sa proseso ng edukasyon. Ang pagbuo ng isang graph ay nangyayari lamang batay sa mga resulta ng pag-aaral ng functional data, pagtukoy ng acute extrema, pati na rin ang mga punto sa graph. Ang matalim na extrema ng derivative function ay ipinapakita sa isang plot ng eksaktong mga halaga, gamit ang isang karaniwang pamamaraan para sa pagtukoy ng mga asymptotes. Ang maximum at minimum na mga punto ng function ay sinamahan ng mas kumplikadong mga graph constructions. Ito ay dahil sa isang mas malalim na pangangailangan upang malutas ang problema ng matinding extremum. Kinakailangan din na hanapin ang derivative ng isang kumplikado at simpleng function, dahil ito ay isa sa pinakamahalagang konsepto sa problema ng extremum.

Extremum ng functional

Upang mahanap ang halaga sa itaas, dapat mong sundin ang mga sumusunod na patakaran:

• matukoy ang kinakailangang kondisyon para sa isang matinding kaugnayan;
• isaalang-alang ang sapat na kondisyon ng mga matinding puntos sa graph;
• isagawa ang pagkalkula ng matinding extremum.

Ginagamit din ang mga konsepto tulad ng mahinang minimum at malakas na minimum. Dapat itong isaalang-alang kapag tinutukoy ang extremum at ang tumpak na pagkalkula nito. Kasabay nito, ang talamak na pag-andar ay ang paghahanap at paglikha ng lahat ng kinakailangang kondisyon para sa pagtatrabaho sa graph ng isang function.

Isaalang-alang ang function na y = f(x), na isinasaalang-alang sa pagitan (a, b).

Kung posibleng magpahiwatig ng b-kapitbahayan ng isang puntong x1 na kabilang sa pagitan (a, b) para sa lahat ng x (x1, b), ang hindi pagkakapantay-pantay na f(x1) > f(x) ay humahawak, pagkatapos ay y1 = f1(x1) ay tinatawag maximum ng function y = f(x) tingnan ang fig.

Tinutukoy namin ang maximum ng function na y = f(x) ng max f(x). Kung posible na magpahiwatig ng isang b-kapitbahayan ng isang punto x2 na kabilang sa pagitan (a, b) na para sa lahat ng x ito ay kabilang sa O (x2, 6), ang x ay hindi katumbas ng x2, ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak f(x2)< f(x) , pagkatapos ay ang y2= f(x2) ay tinatawag na minimum ng function na y-f(x) (tingnan ang figure).

Para sa isang halimbawa ng paghahanap ng maximum, tingnan ang sumusunod na video

Minimum na function

Tinutukoy namin ang minimum ng function na y = f(x) ng min f(x). Sa ibang salita, maximum o minimum ng isang function y = f(x) tinawag ang halaga nito na mas malaki (mas mababa) kaysa sa lahat ng iba pang mga halaga na tinatanggap sa mga puntong sapat na malapit sa ibinigay na isa at naiiba mula dito.

Tandaan 1. Pinakamataas na function, na tinukoy ng hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag na isang mahigpit na maximum; ang hindi mahigpit na maximum ay tinutukoy ng hindi pagkakapantay-pantay f(x1) > = f(x2)

Tandaan 2. magkaroon ng isang lokal na karakter (ito ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng pag-andar sa isang sapat na maliit na kapitbahayan ng kaukulang punto); Ang indibidwal na minima ng isang function ay maaaring mas malaki kaysa sa maxima ng parehong function

Bilang resulta, ang maximum (minimum) ng function ay tinatawag lokal na maximum(lokal na minimum) sa kaibahan sa absolute maximum (minimum) - ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga sa domain ng kahulugan ng function.

Ang maximum at minimum ng isang function ay tinatawag na extremum . Ang Extrema sa ay matatagpuan upang bumuo ng mga graph ng mga function

Latin extremum ay nangangahulugang "matinding" ibig sabihin. Ang halaga ng argumentong x kung saan naabot ang extremum ay tinatawag na extremum point. Ang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum ay ipinahayag ng sumusunod na teorama.

Teorama. Sa extremum point ng differentiable function, ang derivative nito ay katumbas ng zero.

Ang theorem ay may simpleng geometric na kahulugan: ang tangent sa graph ng differentiable function sa kaukulang punto ay parallel sa Ox axis