Ang isang ordered system ng dalawa o tatlong intersecting axes na patayo sa isa't isa na may iisang pinanggalingan (origin) at isang common unit of length ay tinatawag na hugis-parihaba Cartesian coordinate system .
General Cartesian coordinate system (affine coordinate system) ay maaari ding magsama ng hindi kinakailangang patayong mga palakol. Bilang parangal sa Pranses na matematiko na si Rene Descartes (1596-1662), pinangalanan ang naturang sistema ng coordinate kung saan ang isang karaniwang yunit ng haba ay binibilang sa lahat ng mga palakol at ang mga palakol ay tuwid.
Rectangular Cartesian coordinate system sa eroplano may dalawang palakol parihabang Cartesian coordinate system sa kalawakan - tatlong palakol. Ang bawat punto sa isang eroplano o sa espasyo ay tinutukoy ng isang nakaayos na hanay ng mga coordinate - mga numero alinsunod sa haba ng yunit ng sistema ng coordinate.
Tandaan na, tulad ng sumusunod mula sa kahulugan, mayroong isang Cartesian coordinate system sa isang tuwid na linya, iyon ay, sa isang dimensyon. Ang pagpapakilala ng mga coordinate ng Cartesian sa isang tuwid na linya ay isa sa mga paraan kung saan ang anumang punto sa isang tuwid na linya ay itinalaga ng isang mahusay na tinukoy na tunay na numero, iyon ay, isang coordinate.
Ang pamamaraan ng mga coordinate, na lumitaw sa mga gawa ni René Descartes, ay minarkahan ang isang rebolusyonaryong muling pagsasaayos ng lahat ng matematika. Naging posible na bigyang-kahulugan ang mga algebraic equation (o inequalities) sa anyo ng mga geometric na imahe (graphs) at, sa kabaligtaran, upang maghanap ng solusyon sa mga geometric na problema gamit ang analytical formula, system ng mga equation. Oo, hindi pagkakapantay-pantay z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy at matatagpuan sa itaas ng eroplanong ito ng 3 unit.
Sa tulong ng Cartesian coordinate system, ang pag-aari ng isang punto sa isang naibigay na kurba ay tumutugma sa katotohanan na ang mga numero x at y matugunan ang ilang equation. Kaya, ang mga coordinate ng isang punto ng isang bilog na nakasentro sa isang naibigay na punto ( a; b) matugunan ang equation (x - a)² + ( y - b)² = R² .
Rectangular Cartesian coordinate system sa eroplano
Dalawang perpendicular axes sa isang eroplano na may isang karaniwang pinanggalingan at ang parehong sukat na anyo ng yunit Cartesian coordinate system sa eroplano . Ang isa sa mga ax na ito ay tinatawag na axis baka, o x-axis , ang isa pa - ang axis Oy, o y-axis . Ang mga ax na ito ay tinatawag ding coordinate axes. Tukuyin ng Mx at My ayon sa pagkakabanggit ang projection ng isang arbitrary point M sa ehe baka at Oy. Paano makakuha ng mga projection? Dumaan sa tuldok M baka. Ang linyang ito ay bumabagtas sa axis baka sa punto Mx. Dumaan sa tuldok M tuwid na linya patayo sa axis Oy. Ang linyang ito ay bumabagtas sa axis Oy sa punto My. Ito ay ipinapakita sa figure sa ibaba.
x at y puntos M tatawagin namin ayon sa pagkakabanggit ang mga magnitude ng mga nakadirekta na mga segment OMx at OMy. Ang mga halaga ng mga direksyong segment na ito ay kinakalkula ayon sa pagkakabanggit bilang x = x0 - 0 at y = y0 - 0 . Mga coordinate ng Cartesian x at y puntos M abscissa at ordinate . Ang katotohanan na ang tuldok M may mga coordinate x at y, ay tinutukoy bilang mga sumusunod: M(x, y) .
Hinahati ng coordinate axes ang eroplano sa apat kuwadrante , na ang pagnunumero ay ipinapakita sa figure sa ibaba. Ipinapahiwatig din nito ang pag-aayos ng mga palatandaan para sa mga coordinate ng mga puntos, depende sa kanilang lokasyon sa isa o ibang kuwadrante.
Bilang karagdagan sa Cartesian rectangular coordinate sa eroplano, ang polar coordinate system ay madalas ding isinasaalang-alang. Tungkol sa paraan ng paglipat mula sa isang coordinate system patungo sa isa pa - sa aralin polar coordinate system .
Rectangular Cartesian coordinate system sa kalawakan
Ang mga coordinate ng Cartesian sa espasyo ay ipinakilala sa kumpletong pagkakatulad sa mga coordinate ng Cartesian sa isang eroplano.
Tatlong magkaparehong patayo na palakol sa kalawakan (coordinate axes) na may iisang pinanggalingan O at ang parehong scale unit form Cartesian rectangular coordinate system sa kalawakan .
Ang isa sa mga ax na ito ay tinatawag na axis baka, o x-axis , ang isa pa - ang axis Oy, o y-axis , ikatlong - axis Oz, o ilapat ang axis . Hayaan Mx, My Mz- mga projection ng isang di-makatwirang punto M mga puwang sa axis baka , Oy at Oz ayon sa pagkakabanggit.
Dumaan sa tuldok M bakabaka sa punto Mx. Dumaan sa tuldok M eroplanong patayo sa axis Oy. Nag-intersect ang eroplanong ito sa axis Oy sa punto My. Dumaan sa tuldok M eroplanong patayo sa axis Oz. Nag-intersect ang eroplanong ito sa axis Oz sa punto Mz.
Cartesian rectangular coordinate x , y at z puntos M tatawagin namin ayon sa pagkakabanggit ang mga magnitude ng mga nakadirekta na mga segment OMx, OMy at OMz. Ang mga halaga ng mga direksyong segment na ito ay kinakalkula ayon sa pagkakabanggit bilang x = x0 - 0 , y = y0 - 0 at z = z0 - 0 .
Mga coordinate ng Cartesian x , y at z puntos M ay pinangalanan nang naaayon abscissa , ordinate at applique .
Kinuha sa mga pares, ang mga coordinate axes ay matatagpuan sa mga coordinate na eroplano xOy , yOz at zOx .
Mga problema tungkol sa mga puntos sa Cartesian coordinate system
Halimbawa 1
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Hanapin ang mga coordinate ng mga projection ng mga puntong ito sa x-axis.
Desisyon. Tulad ng sumusunod mula sa teoretikal na bahagi ng araling ito, ang projection ng isang punto sa x-axis ay matatagpuan sa x-axis mismo, iyon ay, ang axis baka, at samakatuwid ay may isang abscissa na katumbas ng abscissa ng punto mismo, at isang ordinate (coordinate sa axis Oy, kung saan ang x-axis ay bumalandra sa punto 0), katumbas ng zero. Kaya nakuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntong ito sa x-axis:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx(-5;0).
Halimbawa 2 Ang mga puntos ay ibinibigay sa Cartesian coordinate system sa eroplano
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Hanapin ang mga coordinate ng mga projection ng mga puntong ito sa y-axis.
Desisyon. Tulad ng sumusunod mula sa teoretikal na bahagi ng araling ito, ang projection ng isang punto sa y-axis ay matatagpuan sa y-axis mismo, iyon ay, ang axis. Oy, at samakatuwid ay may ordinate na katumbas ng ordinate ng punto mismo, at isang abscissa (ang coordinate sa axis baka, kung saan ang y-axis ay bumalandra sa punto 0), katumbas ng zero. Kaya nakuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntong ito sa y-axis:
Ay(0; 2);
By (0; 1);
Cy(0;-2).
Halimbawa 3 Ang mga puntos ay ibinibigay sa Cartesian coordinate system sa eroplano
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
baka .
baka baka baka, ay magkakaroon ng parehong abscissa bilang ang ibinigay na punto, at ang ordinate ay katumbas ng absolute value sa ordinate ng ibinigay na punto, at kabaligtaran ng sign dito. Kaya nakuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos na simetriko sa mga puntong ito tungkol sa axis baka :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Lutasin ang mga problema sa Cartesian coordinate system sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang mga solusyon
Halimbawa 4 Tukuyin kung aling mga quadrant (quarters, figure na may quadrants - sa dulo ng talata "Rectangular Cartesian coordinate system sa eroplano") ang punto ay matatagpuan M(x; y) , kung
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
Halimbawa 5 Ang mga puntos ay ibinibigay sa Cartesian coordinate system sa eroplano
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Hanapin ang mga coordinate ng mga puntong simetriko sa mga puntong ito tungkol sa axis Oy .
Patuloy nating nilulutas ang mga problema nang magkasama
Halimbawa 6 Ang mga puntos ay ibinibigay sa Cartesian coordinate system sa eroplano
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Hanapin ang mga coordinate ng mga puntong simetriko sa mga puntong ito tungkol sa axis Oy .
Desisyon. I-rotate ang 180 degrees sa paligid ng axis Oy nakadirekta na segment ng linya mula sa isang axis Oy hanggang sa puntong ito. Sa figure, kung saan ang mga quadrant ng eroplano ay ipinahiwatig, nakikita namin na ang punto ay simetriko sa ibinigay na isa na may paggalang sa axis Oy, ay magkakaroon ng parehong ordinate gaya ng ibinigay na punto, at isang abscissa na katumbas ng absolute value sa abscissa ng ibinigay na punto, at kabaligtaran ng sign dito. Kaya nakuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos na simetriko sa mga puntong ito tungkol sa axis Oy :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Halimbawa 7 Ang mga puntos ay ibinibigay sa Cartesian coordinate system sa eroplano
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Hanapin ang mga coordinate ng mga puntos na simetriko sa mga puntong ito na may paggalang sa pinagmulan.
Desisyon. Umiikot kami nang 180 degrees sa paligid ng pinanggalingan ng nakadirekta na segment mula sa pinanggalingan hanggang sa ibinigay na punto. Sa figure, kung saan ipinahiwatig ang mga quadrant ng eroplano, makikita natin na ang isang puntong simetriko sa isang ibinigay na may paggalang sa pinagmulan ng mga coordinate ay magkakaroon ng abscissa at isang ordinate na katumbas ng absolute value sa abscissa at ordinate ng ibinigay na punto , ngunit sa tapat ng sign sa kanila. Kaya nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos na simetriko sa mga puntong ito na may paggalang sa pinagmulan:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Halimbawa 8
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Hanapin ang mga coordinate ng mga projection ng mga puntong ito:
1) sa isang eroplano Oxy ;
2) sa eroplano Oxz ;
3) sa eroplano Oyz ;
4) sa abscissa axis;
5) sa y-axis;
6) sa applique axis.
1) Projection ng isang punto sa isang eroplano Oxy matatagpuan sa mismong eroplanong ito, at samakatuwid ay may abscissa at ordinate na katumbas ng abscissa at ordinate ng ibinigay na punto, at isang applicate na katumbas ng zero. Kaya nakuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga projection ng mga puntong ito sa Oxy :
Axy(4;3;0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Projection ng isang punto papunta sa isang eroplano Oxz matatagpuan sa mismong eroplanong ito, at samakatuwid ay mayroong abscissa at applicate na katumbas ng abscissa at applicate ng ibinigay na punto, at isang ordinate na katumbas ng zero. Kaya nakuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga projection ng mga puntong ito sa Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz(2;0;0).
3) Projection ng isang punto sa isang eroplano Oyz matatagpuan sa mismong eroplanong ito, at samakatuwid ay may ordinate at applicate na katumbas ng ordinate at applicate ng isang naibigay na punto, at isang abscissa na katumbas ng zero. Kaya nakuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga projection ng mga puntong ito sa Oyz :
Ayz (0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz(0;-3;0).
4) Tulad ng sumusunod mula sa teoretikal na bahagi ng araling ito, ang projection ng isang punto sa x-axis ay matatagpuan sa x-axis mismo, iyon ay, ang axis baka, at samakatuwid ay may abscissa na katumbas ng abscissa ng punto mismo, at ang ordinate at applicate ng projection ay katumbas ng zero (dahil ang ordinate at applicate axes ay nagsalubong sa abscissa sa punto 0). Nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga projection ng mga puntong ito sa x-axis:
Ax(4;0;0);
Bx(-3;0;0);
Cx(2;0;0).
5) Ang projection ng isang punto sa y-axis ay matatagpuan sa y-axis mismo, iyon ay, ang axis Oy, at samakatuwid ay may ordinate na katumbas ng ordinate ng punto mismo, at ang abscissa at applicate ng projection ay katumbas ng zero (dahil ang abscissa at applicate axes ay nagsalubong sa ordinate axis sa punto 0). Nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga projection ng mga puntong ito sa y-axis:
Ay(0;3;0);
By(0;2;0);
Cy(0;-3;0).
6) Ang projection ng isang punto sa applicate axis ay matatagpuan sa applicate axis mismo, iyon ay, ang axis Oz, at samakatuwid ay may applicate na katumbas ng applicate ng point mismo, at ang abscissa at ordinate ng projection ay katumbas ng zero (dahil ang abscissa at ordinate axes ay nagsalubong sa applicate axis sa punto 0). Nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga projection ng mga puntong ito sa applicate axis:
Az(0; 0; 5);
Bz(0;0;1);
Cz(0; 0; 0).
Halimbawa 9 Ang mga puntos ay ibinibigay sa Cartesian coordinate system sa kalawakan
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Hanapin ang mga coordinate ng mga punto na simetriko sa mga puntong ito na may kinalaman sa:
1) eroplano Oxy ;
2) eroplano Oxz ;
3) eroplano Oyz ;
4) abscissa axis;
5) y-axis;
6) applique axis;
7) ang pinagmulan ng mga coordinate.
1) "Isulong" ang punto sa kabilang panig ng axis Oxy Oxy, ay magkakaroon ng abscissa at isang ordinate na katumbas ng abscissa at ordinate ng ibinigay na punto, at isang applicate na katumbas ng magnitude sa applicate ng ibinigay na punto, ngunit kabaligtaran ng sign dito. Kaya, nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos na simetriko sa data na may paggalang sa eroplano Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) "Isulong" ang punto sa kabilang panig ng axis Oxz para sa parehong distansya. Ayon sa figure na nagpapakita ng coordinate space, nakikita natin na ang punto ay simetriko sa ibinigay na isa na may paggalang sa axis Oxz, ay magkakaroon ng abscissa at mag-apply na katumbas ng abscissa at applicate ng ibinigay na punto, at isang ordinate na katumbas ng magnitude sa ordinate ng ibinigay na punto, ngunit kabaligtaran sa sign dito. Kaya, nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos na simetriko sa data na may paggalang sa eroplano Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) "Isulong" ang punto sa kabilang panig ng axis Oyz para sa parehong distansya. Ayon sa figure na nagpapakita ng coordinate space, nakikita natin na ang punto ay simetriko sa ibinigay na isa na may paggalang sa axis Oyz, ay magkakaroon ng ordinate at applicate na katumbas ng ordinate at applicate ng ibinigay na punto, at isang abscissa na katumbas ng magnitude sa abscissa ng ibinigay na punto, ngunit kabaligtaran ng sign dito. Kaya, nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos na simetriko sa data na may paggalang sa eroplano Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Sa pamamagitan ng pagkakatulad na may simetriko na mga punto sa eroplano at mga punto sa espasyo na simetriko sa data na may kinalaman sa mga eroplano, napapansin namin na sa kaso ng simetrya tungkol sa ilang axis ng Cartesian coordinate system sa kalawakan, ang coordinate sa axis kung saan nakatakda ang symmetry. ay mananatili ang sign nito, at ang mga coordinate sa iba pang dalawang axes ay magiging pareho sa absolute value bilang mga coordinate ng ibinigay na punto, ngunit kabaligtaran sa sign.
4) Ang abscissa ay mananatili sa kanyang tanda, habang ang ordinate at applicate ay magbabago ng mga palatandaan. Kaya, nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos na simetriko sa data tungkol sa x-axis:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ang ordinate ay mananatili sa kanyang tanda, habang ang abscissa at applicate ay magbabago ng mga palatandaan. Kaya, nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos na simetriko sa data tungkol sa y-axis:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Pananatilihin ng aplikante ang sign nito, at ang abscissa at ordinate ay magbabago ng mga palatandaan. Kaya, nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos na simetriko sa data tungkol sa naaangkop na axis:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa simetrya sa kaso ng mga punto sa isang eroplano, sa kaso ng simetrya tungkol sa pinagmulan ng mga coordinate, lahat ng mga coordinate ng isang puntong simetriko sa isang naibigay ay magiging katumbas ng ganap na halaga sa mga coordinate ng isang naibigay na punto, pero kabaligtaran ng sign sa kanila. Kaya, nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga punto na simetriko sa data na may paggalang sa pinagmulan.
Kahulugan 1 . Numeric axis ( linya ng numero, linya ng coordinate) Ang Ox ay tinatawag na isang tuwid na linya kung saan ang punto O ay pinili reference point (pinagmulan ng mga coordinate)(fig.1), direksyon
O → x
nakalista bilang positibong direksyon at ang isang segment ay minarkahan, ang haba nito ay kinuha bilang yunit ng haba.
Kahulugan 2 . Ang segment, na ang haba ay kinuha bilang isang yunit ng haba, ay tinatawag na sukat.
Ang bawat punto ng numerical axis ay may coordinate , na isang tunay na numero. Ang coordinate ng point O ay katumbas ng zero. Ang coordinate ng isang arbitrary point A na nakahiga sa ray Ox ay katumbas ng haba ng segment na OA . Ang coordinate ng isang arbitrary point A ng numerical axis, hindi nakahiga sa ray Ox , ay negatibo, at sa ganap na halaga ito ay katumbas ng haba ng segment na OA .
Kahulugan 3 . Rectangular Cartesian coordinate system Oxy sa eroplano tawag sa dalawa patayo numerical axes Ox at Oy na may ang parehong sukat at karaniwang pinagmulan sa puntong O, bukod dito, ang pag-ikot mula sa ray Ox sa isang anggulo ng 90 ° hanggang sa ray Oy ay isinasagawa sa direksyon anti-clockwise(Larawan 2).
Puna . Ang rectangular Cartesian coordinate system na Oxy na ipinapakita sa Figure 2 ay tinatawag tamang coordinate system, Hindi tulad ng kaliwang coordinate system, kung saan ang pag-ikot ng beam Ox sa isang anggulo na 90° sa beam Oy ay isinasagawa sa direksyong pakanan. Sa gabay na ito, kami isaalang-alang lamang ang tamang coordinate system nang hindi binanggit ito sa partikular.
Kung ipinakilala namin ang ilang sistema ng hugis-parihaba na mga coordinate ng Cartesian na Oxy sa eroplano, kung gayon ang bawat punto ng eroplano ay makakakuha dalawang coordinate – abscissa at ordinate, na kinakalkula bilang mga sumusunod. Hayaan ang A na maging isang arbitrary na punto ng eroplano. I-drop natin ang mga perpendicular mula sa punto A AA 1 at AA 2 sa mga linyang Ox at Oy, ayon sa pagkakabanggit (Larawan 3).
Kahulugan 4 . Ang abscissa ng punto A ay ang coordinate ng punto A 1 sa numerical axis Ox, ang ordinate ng point A ay ang coordinate ng point A 2 sa numeric axis Oy .
Pagtatalaga . Coordinates (abscissa at ordinate) ng isang punto A sa rectangular Cartesian coordinate system Oxy (Fig. 4) ay karaniwang tinutukoy A(x;y) o A = (x; y).
Puna . Point O, tinatawag pinagmulan, ay may mga coordinate O(0 ; 0) .
Kahulugan 5 . Sa hugis-parihaba na Cartesian coordinate system na Oxy, ang Ox numerical axis ay tinatawag na abscissa axis, at ang Oy numerical axis ay tinatawag na ordinate axis (Fig. 5).
Kahulugan 6 . Ang bawat hugis-parihaba na Cartesian coordinate system ay naghahati sa eroplano sa 4 na quarters ( quadrants), ang pagnunumero nito ay ipinapakita sa Figure 5.
Kahulugan 7 . Ang isang eroplano kung saan ibinigay ang isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system ay tinatawag coordinate na eroplano.
Puna . Ang abscissa axis ay ibinibigay sa coordinate plane ng equation y= 0 , ang y-axis ay ibinibigay sa coordinate plane ng equation x = 0.
Pahayag 1. Distansya sa pagitan ng dalawang puntos coordinate na eroplano
A 1 (x 1 ;y 1) at A 2 (x 2 ;y 2)
kalkulado ayon sa pormula
Patunay . Isaalang-alang ang Larawan 6.
| |A 1 A 2 | 2 = = (x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 . | (1) |
Kaya naman,
Q.E.D.
Equation ng isang bilog sa coordinate plane
Isaalang-alang sa coordinate plane na Oxy (Fig. 7) ang isang bilog na radius R na nakasentro sa punto A 0 (x 0 ;y 0) .
Ang isang rectangular coordinate system sa isang eroplano ay nabuo sa pamamagitan ng dalawang magkaparehong patayo na coordinate axes X'X at Y'Y. Ang coordinate axes ay bumalandra sa punto O, na tinatawag na pinanggalingan ng mga coordinate, isang positibong direksyon ang pinipili sa bawat axis. Ang positibong direksyon ng mga axes (sa kanang kamay na coordinate system) ay pinili upang kapag ang X'X axis ay pinaikot pakaliwa ng 90 °, ang positibong direksyon nito ay tumutugma sa positibong direksyon ng Y'Y axis. Ang apat na anggulo (I, II, III, IV) na nabuo ng X'X at Y'Y coordinate axes ay tinatawag na coordinate angles (tingnan ang Fig. 1).
Ang posisyon ng point A sa eroplano ay tinutukoy ng dalawang coordinate x at y. Ang x-coordinate ay katumbas ng haba ng OB segment, ang y-coordinate ay ang haba ng OC segment sa mga napiling unit. Ang mga segment na OB at OC ay tinutukoy ng mga linyang iginuhit mula sa punto A na kahanay sa Y'Y at X'X axes, ayon sa pagkakabanggit. Ang x coordinate ay tinatawag na abscissa ng point A, ang y coordinate ay tinatawag na ordinate ng point A. Isinulat nila ito tulad nito: A (x, y).
Kung ang point A ay nasa coordinate angle I, ang point A ay may positive abscissa at ordinate. Kung ang punto A ay nasa coordinate angle II, ang point A ay may negatibong abscissa at positibong ordinate. Kung ang punto A ay nasa coordinate angle III, ang point A ay may negatibong abscissa at ordinate. Kung ang point A ay nasa coordinate angle IV, ang point A ay may positive abscissa at negative ordinate.
Parihabang coordinate system sa espasyo ay nabuo sa pamamagitan ng tatlong mutually perpendicular coordinate axes OX, OY at OZ. Ang mga coordinate axes ay bumalandra sa punto O, na tinatawag na pinanggalingan ng mga coordinate, sa bawat axis ang positibong direksyon na ipinahiwatig ng mga arrow ay pinili, at ang yunit ng pagsukat ng mga segment sa mga axes. Ang mga yunit ng sukat ay pareho para sa lahat ng mga palakol. OX - abscissa axis, OY - ordinate axis, OZ - ilapat ang axis. Ang positibong direksyon ng mga axes ay pinili upang kapag ang OX axis ay iniikot nang pakaliwa ng 90°, ang positibong direksyon nito ay tumutugma sa positibong direksyon ng OY axis, kung ang pag-ikot na ito ay sinusunod mula sa positibong direksyon ng OZ axis. Ang ganitong coordinate system ay tinatawag na tama. Kung ang hinlalaki ng kanang kamay ay kinuha bilang X direksyon, ang hintuturo bilang ang Y direksyon, at ang gitnang daliri bilang ang Z direksyon, pagkatapos ay isang tamang coordinate system ay nabuo. Ang magkatulad na mga daliri ng kaliwang kamay ay bumubuo sa kaliwang coordinate system. Ang kanan at kaliwang coordinate system ay hindi maaaring pagsamahin upang ang kaukulang mga axes ay magkasabay (tingnan ang Fig. 2).
Ang posisyon ng point A sa espasyo ay tinutukoy ng tatlong coordinate x, y at z. Ang x coordinate ay katumbas ng haba ng segment OB, ang y coordinate ay katumbas ng haba ng segment OC, ang z coordinate ay ang haba ng segment OD sa mga napiling unit. Ang mga segment na OB, OC at OD ay tinukoy ng mga eroplanong iginuhit mula sa punto A na kahanay sa mga eroplanong YOZ, XOZ at XOY, ayon sa pagkakabanggit. Ang x coordinate ay tinatawag na abscissa ng point A, ang y coordinate ay tinatawag na ordinate ng point A, ang z coordinate ay tinatawag na applicate ng point A. Isinulat nila ito tulad nito: A (a, b, c).
Horts
Ang isang rectangular coordinate system (ng anumang dimensyon) ay inilalarawan din sa pamamagitan ng isang set ng mga orts , na nakadirekta sa mga coordinate axes. Ang bilang ng mga orts ay katumbas ng dimensyon ng coordinate system, at lahat sila ay patayo sa isa't isa.
Sa tatlong-dimensional na kaso, ang mga naturang vector ay karaniwang tinutukoy i j k o e x e y e z . Sa kasong ito, sa kaso ng tamang sistema ng coordinate, ang mga sumusunod na formula na may produkto ng vector ng mga vector ay may bisa:
- [i j]=k ;
- [j k]=i ;
- [k i]=j .
Kwento
Si René Descartes ang unang nagpakilala ng rectangular coordinate system sa kanyang Discourse on the Method noong 1637. Samakatuwid, ang rectangular coordinate system ay tinatawag ding - Cartesian coordinate system. Ang paraan ng coordinate para sa paglalarawan ng mga geometric na bagay ay naglatag ng pundasyon para sa analytical geometry. Nag-ambag din si Pierre Fermat sa pagbuo ng paraan ng coordinate, ngunit ang kanyang trabaho ay unang nai-publish pagkatapos ng kanyang kamatayan. Ginamit nina Descartes at Fermat ang coordinate method sa eroplano lamang.
Ang coordinate method para sa tatlong-dimensional na espasyo ay unang inilapat ni Leonhard Euler noong ika-18 siglo.
Tingnan din
Mga link
Wikimedia Foundation. 2010 .
- Cartesian coordinate system
- Cartesian degree
Tingnan kung ano ang "Cartesian coordinate" sa iba pang mga diksyunaryo:
CARTSTIAN COORDINATES- (Cartesian coordinate system) isang coordinate system sa isang eroplano o sa kalawakan, kadalasang may magkaparehong patayo na mga palakol at parehong sukat sa kahabaan ng mga palakol, hugis-parihaba na mga coordinate ng Cartesian. Pinangalanan kay R. Descartes ... Malaking Encyclopedic Dictionary
Mga coordinate ng Cartesian- Isang coordinate system na binubuo ng dalawang perpendicular axes. Ang posisyon ng isang punto sa naturang sistema ay nabuo gamit ang dalawang numero na tumutukoy sa distansya mula sa gitna ng mga coordinate sa bawat isa sa mga axes. Mga paksa ng impormasyon ... ... Handbook ng Teknikal na Tagasalin
Mga coordinate ng Cartesian- (Cartesian coordinate system), isang coordinate system sa isang eroplano o sa kalawakan, kadalasang may magkaparehong patayo na mga palakol at parehong sukat sa kahabaan ng mga palakol, hugis-parihaba na mga coordinate ng Cartesian. Pinangalanan kay R. Descartes ... encyclopedic Dictionary
Mga coordinate ng Cartesian- Dekarto koordinatės statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tiesinė plokštumos arba erdvės koordinačių sistema. Joje ašių masteliai paprastai būna lygūs. atitikmenys: engl. Cartesian coordinate vok. kartesische Koordinaten, f … Penkiakalbis aiskinamasis metrologijos terminų žodynas
Mga coordinate ng Cartesian- Dekarto koordinatės statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. Mga coordinate ng Cartesian; grid coordinates vok. kartesische Koordinaten, f rus. Cartesian coordinate, f pranc. coordonnées cartésiennes, f … Fizikos terminų žodynas
CARTSTIAN COORDINATES- isang paraan para sa pagtukoy ng posisyon ng mga punto sa isang eroplano sa pamamagitan ng kanilang mga distansya sa dalawang nakapirming patayo na tuwid na mga palakol. Ang konseptong ito ay nakikita na sa Archimedes at sa Appologia ng Perga mahigit dalawang libong taon na ang nakalilipas, at maging sa mga sinaunang Egyptian. Sa unang pagkakataon na ito…… Mathematical Encyclopedia
CARTSTIAN COORDINATES- Cartesian coordinate system [pinangalanan pagkatapos ng French. pilosopo at matematiko na si R. Descartes (R. Descartes; 1596 1650)], isang sistema ng coordinate sa isang eroplano o sa kalawakan, kadalasang may magkaparehong patayo na mga palakol at parehong sukat sa kahabaan ng mga palakol, hugis-parihaba D ... Malaking encyclopedic polytechnic na diksyunaryo
CARTSTIAN COORDINATES- (Cartesian coordinate system), isang coordinate system sa isang eroplano o sa kalawakan, kadalasang may magkaparehong patayo na mga palakol at parehong sukat sa kahabaan ng mga palakol, hugis-parihaba D. hanggang. Pinangalanan pagkatapos ng R. Descartes ... Likas na agham. encyclopedic Dictionary
CARTSTIAN COORDINATES- Ang sistema ng lokasyon ng anumang puntong natagpuang mga buto na may kaugnayan sa dalawang palakol na nagsalubong sa tamang mga anggulo. Binuo ni René Descartes, ang sistemang ito ay naging batayan para sa mga karaniwang pamamaraan para sa graphical na representasyon ng data. Pahalang na linya…… Explanatory Dictionary of Psychology
Mga coordinate- Mga coordinate. Sa eroplano (kaliwa) at sa kalawakan (kanan). COORDINATES (mula sa Latin na co together at ordinatus ordered), mga numerong tumutukoy sa posisyon ng isang punto sa isang linya, eroplano, ibabaw, sa kalawakan. Ang mga coordinate ay mga distansya... Illustrated Encyclopedic Dictionary
Pagtuturo
Isulat ang mga mathematical operations sa text form at ilagay ang mga ito sa search query field sa pangunahing page ng Google site, kung hindi ka makagamit ng calculator, ngunit may Internet access. Ang search engine na ito ay may built-in na multifunctional calculator, na mas madaling gamitin kaysa sa iba. Walang interface na may mga pindutan - lahat ng data ay dapat na maipasok sa form ng teksto sa isang solong field. Halimbawa, kung kilala mga coordinate matinding puntos segment sa three-dimensional coordinate system A(51.34 17.2 13.02) at A(-11.82 7.46 33.5), pagkatapos mga coordinate gitnang punto segment C((51.34-11.82)/2 (17.2+7.46)/2 (13.02+33.5)/2). Ang pagpasok ng (51.34-11.82) / 2 sa field ng query sa paghahanap, pagkatapos ay (17.2 + 7.46) / 2 at (13.02 + 33.5) / 2, maaari mong gamitin ang Google upang makakuha ng mga coordinate C (19.76 12.33 23.26).
Ang karaniwang equation ng bilog ay nagpapahintulot sa iyo na malaman ang ilang mahalagang impormasyon tungkol sa figure na ito, halimbawa, ang mga coordinate ng sentro nito, ang haba ng radius. Sa ilang mga problema, sa kabaligtaran, kinakailangan na gumawa ng isang equation para sa ibinigay na mga parameter.
Pagtuturo
Tukuyin kung mayroon kang impormasyon tungkol sa bilog, batay sa gawaing ibinigay sa iyo. Tandaan na ang pangwakas na layunin ay upang matukoy ang mga coordinate ng sentro pati na rin ang diameter. Ang lahat ng iyong mga aksyon ay dapat na naglalayong makamit ang partikular na resulta.
Gamitin ang data sa pagkakaroon ng mga intersection point na may mga coordinate na linya o iba pang linya. Pakitandaan na kung ang bilog ay dumaan sa abscissa axis, ang pangalawa ay magkakaroon ng coordinate 0, at kung sa pamamagitan ng ordinate axis, pagkatapos ay ang una. Ang mga coordinate na ito ay magbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang mga coordinate ng gitna ng bilog at kalkulahin din ang radius.
Huwag kalimutan ang tungkol sa mga pangunahing katangian ng secants at tangents. Sa partikular, ang pinaka-kapaki-pakinabang na theorem ay na sa punto ng contact, ang radius at ang padaplis ay bumubuo ng isang tamang anggulo. Ngunit tandaan na maaaring hilingin sa iyo na patunayan ang lahat ng theorems na ginamit sa kurso.
Lutasin ang mga pinakakaraniwang uri upang matutunan kung paano agad na makita kung paano gumamit ng ilang partikular na data para sa isang circle equation. Kaya, bilang karagdagan sa mga ipinahiwatig na mga problema sa direktang ibinigay na mga coordinate at ang mga nasa ilalim kung saan ang impormasyon ay ibinigay tungkol sa pagkakaroon ng mga intersection point, upang ipunin ang equation ng isang bilog, maaari mong gamitin ang kaalaman tungkol sa gitna ng bilog, ang haba ng chord at kung saan matatagpuan ang chord na ito.
Upang malutas, bumuo ng isang isosceles triangle, ang base nito ay ang ibinigay na chord, at ang pantay na panig ay ang radii. Make up, kung saan madali mong mahahanap ang kinakailangang data. Upang gawin ito, sapat na gamitin ang formula para sa paghahanap ng haba ng isang segment sa isang eroplano.
Mga kaugnay na video
Ang bilog ay nauunawaan bilang isang pigura na binubuo ng isang hanay ng mga punto sa isang eroplano na katumbas ng layo mula sa gitna nito. Distansya mula sa sentro hanggang sa mga punto mga bilog tinatawag na radius.
Polar coordinate
Tinatawag ang numero polar radius tuldok o unang polar coordinate. Ang distansya ay hindi maaaring negatibo, kaya ang polar radius ng anumang punto ay . Ang unang polar coordinate ay tinutukoy din ng letrang Griyego ("rho"), ngunit sanay na ako sa Latin na bersyon, at sa hinaharap ay gagamitin ko ito.
Tinatawag ang numero polar anggulo ibinigay na punto o pangalawang polar coordinate. Ang polar angle ay karaniwang binago sa loob (ang tinatawag na pangunahing mga halaga ng anggulo). Gayunpaman, medyo katanggap-tanggap na gamitin ang saklaw, at sa ilang mga kaso mayroong direktang pangangailangan na isaalang-alang ang lahat ng mga halaga ng anggulo mula sa zero hanggang "plus infinity". Inirerekomenda ko, sa pamamagitan ng paraan, na masanay sa radian na sukat ng anggulo, dahil hindi ito itinuturing na comme il faut na gumana nang may mga degree sa mas mataas na matematika.
Tinatawag ang mag-asawa polar coordinate puntos. Ng madaling mahanap at ang kanilang mga tiyak na kahulugan. Ang tangent ng isang matinding anggulo ng isang right triangle ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabing binti: samakatuwid, ang anggulo mismo: 
. Ayon sa Pythagorean theorem, ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti:, samakatuwid, ang polar radius:
kaya, 
.
Ang isang penguin ay mabuti, ngunit ang isang kawan ay mas mahusay: 
Negatively oriented na mga sulok 
kaso nga lang, nagmarka ako ng arrow, biglang hindi pa alam ng isa sa mga readers ang orientation na ito. Kung ninanais, maaari mong "i-screw" 1 lumiko sa bawat isa sa kanila (rad. o 360 degrees) at makakuha, sa pamamagitan ng paraan, kumportable mga halaga ng talahanayan:
Ngunit ang kawalan ng mga "tradisyonal" na mga sulok na ito ay ang mga ito ay masyadong malayo (higit sa 180 degrees) "twisted" counterclockwise. Nakikita ko ang tanong: "bakit ang kakulangan at bakit kailangan natin ng anumang negatibong anggulo?" Sa matematika, binibigyang halaga ang pinakamaikli at pinaka makatwirang landas. Buweno, mula sa punto ng view ng pisika, ang direksyon ng pag-ikot ay madalas na pangunahing kahalagahan - sinubukan ng bawat isa sa atin na buksan ang pinto sa pamamagitan ng paghila ng hawakan sa maling direksyon =)
Ang pagkakasunud-sunod at pamamaraan ng pagbuo ng mga punto sa mga polar coordinate
Ang mga magagandang larawan ay maganda, ngunit ang pagbuo sa isang polar coordinate system ay isang medyo maingat na gawain. Ang mga paghihirap ay hindi lumitaw sa mga punto na ang mga polar na anggulo ay 
, sa aming halimbawa ito ang mga punto 
; ang mga value na multiple ng 45 degrees ay hindi rin nagdudulot ng maraming problema: . Ngunit kung paano tama at may kakayahang bumuo, sabihin, isang punto?
Kakailanganin mo ang isang checkered na piraso ng papel, isang lapis at ang mga sumusunod na tool sa pagguhit: ruler, compass, protraktor. Sa matinding mga kaso, maaari kang makayanan gamit ang isang pinuno, o kahit na ... wala ito! Magbasa at makakakuha ka ng isa pang patunay na ang bansang ito ay walang talo =)
Halimbawa 1
Bumuo ng isang punto sa polar coordinate system.
Una sa lahat, kailangan mong malaman ang sukat ng antas ng anggulo. Kung ang anggulo ay hindi pamilyar o mayroon kang mga pagdududa, kung gayon ito ay palaging mas mahusay na gamitin mesa o ang pangkalahatang formula para sa pag-convert ng mga radian sa mga degree. Kaya ang aming anggulo ay (o ).
Gumuhit tayo ng polar coordinate system (tingnan ang simula ng aralin) at kumuha ng protractor. Hindi magiging mahirap para sa mga may-ari ng isang bilog na instrumento na markahan ang 240 degrees, ngunit may mataas na posibilidad na magkakaroon ka ng semi-circular na bersyon ng device sa iyong mga kamay. Ang problema ng kumpletong kawalan ng isang protractor sa pagkakaroon ng isang printer at gunting nalutas sa pamamagitan ng pananahi.
Mayroong dalawang paraan: iikot ang sheet at markahan ang 120 degrees, o "screw" kalahating pagliko at isaalang-alang ang kabaligtaran na anggulo. Piliin natin ang pang-adultong pamamaraan at gumawa ng marka ng 60 degrees: 
Alinman sa isang midget protractor, o isang higanteng hawla =) Gayunpaman, upang masukat ang anggulo, ang sukat ay hindi mahalaga.
Gumuhit kami ng isang lapis ng isang manipis na tuwid na linya na dumadaan sa poste at ginawa ang marka: 
Nalaman namin ang anggulo, ang susunod na hakbang ay ang polar radius. Kumuha kami ng compass at ng pinuno itinakda namin ang solusyon nito sa 3 mga yunit, kadalasan, ito ay, siyempre, sentimetro: 
Ngayon ay maingat naming inilalagay ang karayom sa poste, at sa isang paikot na paggalaw gumawa kami ng isang maliit na bingaw (pula). Ang nais na punto ay binuo: 
Magagawa mo nang walang compass sa pamamagitan ng paglakip ng ruler nang direkta sa itinayong linya at pagsukat ng 3 sentimetro. Ngunit, tulad ng makikita natin mamaya, sa mga gawain para sa pagtatayo sa polar coordinate system isang tipikal na sitwasyon ay kapag kailangan mong markahan ang dalawa o higit pang mga punto na may parehong polar radius, kaya mas mahusay na patigasin ang metal. Sa partikular, sa aming pagguhit, sa pamamagitan ng pag-ikot ng binti ng compass sa pamamagitan ng 180 degrees, madaling gumawa ng pangalawang bingaw at bumuo ng isang puntong simetriko na may paggalang sa poste. Dito, gawin natin ang materyal ng susunod na talata:
Ang ugnayan ng mga rectangular at polar coordinate system
Obvious naman sumali sa polar coordinate system ng "normal" na coordinate grid at gumuhit ng punto sa drawing: 
Ang koneksyon na ito ay palaging kapaki-pakinabang na tandaan kapag gumuhit sa mga polar coordinates. Bagaman, sa ayaw at sapilitan, iminumungkahi nito ang sarili nang walang masyadong pahiwatig.
Itatag natin ang ugnayan sa pagitan ng polar at Cartesian coordinate gamit ang halimbawa ng isang partikular na punto. Isaalang-alang ang isang right-angled triangle, kung saan ang hypotenuse ay katumbas ng polar radius: , at ang mga binti ay ang "x" at "game" na coordinate ng punto sa Cartesian coordinate system: 
.
Ang sine ng isang matinding anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse: 
Ang cosine ng isang matinding anggulo ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse: 
Kasabay nito, inulit nila ang mga kahulugan ng sine, cosine (at medyo naunang tangent) mula sa programa ng ika-9 na baitang ng isang komprehensibong paaralan.
Mangyaring magdagdag ng mga gumaganang formula sa iyong reference na libro na nagpapahayag ng mga Cartesian coordinates ng isang punto sa mga tuntunin ng mga polar coordinates nito - kailangan nating harapin ang mga ito nang higit sa isang beses, at sa susunod na pagkakataon ngayon =)
Hanapin natin ang mga coordinate ng isang punto sa isang rectangular coordinate system: 
kaya:
Ang mga resultang formula ay nagbubukas ng isa pang butas sa problema sa pagtatayo, kapag maaari mong gawin nang walang protractor: una, nakita namin ang mga coordinate ng Cartesian ng punto (siyempre, sa draft), pagkatapos ay nahanap namin ang tamang lugar sa pagguhit. at markahan ang puntong ito. Sa huling yugto, gumuhit kami ng isang manipis na tuwid na linya na dumadaan sa itinayong punto at sa poste. Dahil dito, lumalabas na ang anggulo ay sinukat umano ng isang protractor.
Nakakatawa na ang mga ganap na desperado na mga mag-aaral ay magagawa kahit na walang ruler, gamit sa halip ang makinis na gilid ng isang aklat-aralin, notebook o gradebook - pagkatapos ng lahat, ang mga tagagawa ng mga notebook ay nag-ingat sa sukatan, 1 cell = 5 millimeters.
Ang lahat ng ito ay nagpapaalala sa akin ng isang kilalang anekdota kung saan ang mga mapamaraang piloto ay nagplano ng isang kurso sa kahabaan ng Belomor pack \u003d) Bagaman, ang mga biro ay mga biro, at ang anekdota ay hindi malayo sa katotohanan, naaalala ko na sa isa sa mga domestic flight sa buong sa Russian Federation, ang lahat ng mga aparato sa nabigasyon ay nabigo sa liner, at ang mga tripulante ay matagumpay na nakarating sa board gamit ang isang ordinaryong baso ng tubig, na nagpakita ng anggulo ng pagkahilig ng sasakyang panghimpapawid na may kaugnayan sa lupa. At ang airstrip - narito ito, nakikita mula sa windshield.
Gamit ang Pythagorean theorem na binanggit sa simula ng aralin, madaling makakuha ng mga inverse formula: , samakatuwid:
Ang anggulong "phi" mismo ay karaniwang ipinahayag sa pamamagitan ng arc tangent - eksaktong kapareho ng kumplikadong argumento ng numero kasama ang lahat ng quirks nito.
Maipapayo rin na ilagay ang pangalawang pangkat ng mga formula sa iyong reference na bagahe.
Pagkatapos ng isang detalyadong pagsusuri ng mga flight na may mga indibidwal na puntos, lumipat tayo sa natural na pagpapatuloy ng paksa:
Line equation sa polar coordinates
Mahalaga, ang equation ng isang linya sa isang polar coordinate system ay polar radius function ng polar angle (argument). Sa kasong ito, ang anggulo ng polar ay isinasaalang-alang sa radians(!) at tuloy-tuloy tumatagal ng mga halaga mula sa (minsan dapat itong ituring na ad infinitum, o sa ilang problema para sa kaginhawahan mula hanggang ). Ang bawat halaga ng anggulo na "phi", na kasama sa domain function, ay tumutugma sa isang solong halaga ng polar radius.
Ang polar function ay maihahambing sa isang uri ng radar - kapag ang isang sinag ng liwanag na nagmumula sa poste ay umiikot nang pakaliwa at "nakikita" (gumuhit) ng isang linya.
Ang isang karaniwang halimbawa ng isang polar curve ay Archimedean spiral. Ang sumusunod na pigura ay nagpapakita sa kanya unang pagliko– kapag ang polar radius na sumusunod sa polar angle ay kumukuha ng mga halaga mula 0 hanggang : 
Dagdag pa, ang pagtawid sa polar axis sa punto , ang spiral ay magpapatuloy na mag-unwind, na walang katapusan na malayo sa poste. Ngunit ang mga ganitong kaso ay medyo bihira sa pagsasanay; isang mas tipikal na sitwasyon, kapag sa lahat ng kasunod na mga rebolusyon ay "lumakad tayo sa parehong linya", na nakuha sa hanay .
Sa unang halimbawa, nakatagpo din natin ang konsepto mga domain polar function: dahil ang polar radius ay hindi negatibo, ang mga negatibong anggulo ay hindi maaaring isaalang-alang dito.
! Tandaan : sa ilang mga kaso ay kaugalian na gamitin pangkalahatan polar coordinate, kung saan maaaring negatibo ang radius, at pag-aaralan natin ang diskarteng ito sa ibang pagkakataon
Bilang karagdagan sa spiral ng Archimedes, maraming iba pang mga kilalang kurba, ngunit, tulad ng sinasabi nila, hindi ka mapupuno ng sining, kaya kinuha ko ang mga halimbawa na karaniwan sa mga tunay na praktikal na gawain.
Una, ang pinakasimpleng equation at ang pinakasimpleng linya:
Tinutukoy ng isang equation ng form ang papalabas mula sa poste Ray. Sa katunayan, isipin ang tungkol dito kung ang halaga ng anggulo palagi(kung anuman ang "er") palagi, ano ang linya?
Tandaan : sa pangkalahatang polar coordinate system, ang equation na ito ay tumutukoy sa isang tuwid na linya na dumadaan sa pole
Tinutukoy ng equation ng form ... hulaan ang unang pagkakataon - kung para kahit kanino nananatiling pare-pareho ang radius ng "phi" sa sulok? Sa katunayan, ang kahulugan na ito mga bilog nakasentro sa poste ng radius.
Halimbawa, . Para sa kalinawan, hanapin natin ang equation ng linyang ito sa isang rectangular coordinate system. Gamit ang formula na nakuha sa nakaraang talata, isasagawa namin ang kapalit:
I-square natin ang magkabilang panig:
– equation ng bilog nakasentro sa pinanggalingan ng mga coordinate ng radius 2, na dapat i-verify.
Mula sa paglikha at paglabas ng artikulo sa linear dependence at linear independence ng mga vectors Nakatanggap ako ng ilang liham mula sa mga bisita sa site na nagtanong sa espiritu: "narito ang isang simple at maginhawang rectangular coordinate system, bakit kailangan natin ng iba pang oblique affine case?". Ang sagot ay simple: ang matematika ay naglalayong yakapin ang lahat at lahat! Bilang karagdagan, sa ito o sa sitwasyong iyon, ang kaginhawaan ay mahalaga - tulad ng nakikita mo, mas kumikitang magtrabaho kasama ang isang bilog sa mga polar coordinates dahil sa matinding pagiging simple ng equation.
At kung minsan ang isang modelo ng matematika ay umaasa sa mga natuklasang siyentipiko. Kaya, sa isang pagkakataon, ang rektor ng Kazan University N.I. Lobachevsky mahigpit na napatunayan, sa pamamagitan ng isang di-makatwirang punto ng eroplano posible na gumuhit walang katapusang bilang ng mga linya parallel sa ibinigay. Bilang resulta, siniraan siya ng buong siyentipikong mundo, ngunit ... walang sinuman ang maaaring pabulaanan ang katotohanang ito. Pagkatapos lamang ng isang magandang siglo, nalaman ng mga astronomo na ang liwanag sa kalawakan ay kumakalat sa mga curved trajectory, kung saan nagsimulang gumana ang non-Euclidean geometry ng Lobachevsky, na pormal niyang binuo bago pa man ang pagtuklas na ito. Ipinapalagay na ito ay isang pag-aari ng kalawakan mismo, ang kurbada nito ay hindi nakikita sa amin dahil sa maliit (ayon sa mga pamantayan ng astronomya) na mga distansya.
Isaalang-alang ang mas makabuluhang mga gawain sa pagtatayo:
Halimbawa 2
bumuo ng isang linya
Desisyon: unang hanapin domain. Dahil ang polar radius ay hindi negatibo, ang hindi pagkakapantay-pantay ay dapat manatili. Maaari mong tandaan ang mga patakaran ng paaralan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko, ngunit sa mga simpleng kaso tulad nito, ipinapayo ko ang isang mas mabilis at mas visual na paraan ng paglutas:
Isipin ang isang cosine plot. Kung hindi pa siya nagagawang ma-deposito sa memorya, hanapin siya sa pahina Mga graph ng elementarya function. Ano ang sinasabi sa atin ng hindi pagkakapantay-pantay? Sinasabi nito sa amin na ang cosine graph ay dapat na matatagpuan hindi mas mababa abscissa axis. At nangyayari ito sa isang segment. At, nang naaayon, ang pagitan ay hindi magkasya.
Kaya, ang domain ng aming function ay: , iyon ay, ang graph ay matatagpuan sa kanan ng poste (ayon sa terminolohiya ng Cartesian system, sa kanang kalahating eroplano).
Sa mga polar coordinate, madalas na may hindi malinaw na ideya kung aling linya ang tumutukoy sa ito o sa equation na iyon, kaya upang mabuo ito, kailangan mong hanapin ang mga puntos na kabilang dito - at higit pa, mas mabuti. Karaniwang limitado sa isang dosena o dalawa (o mas kaunti pa). Ang pinakamadaling paraan, siyempre, ay ang kunin mga halaga ng anggulo ng talahanayan. Para sa higit na kalinawan, "i-fasten" ko ang isang turn sa mga negatibong halaga: 
Dahil sa parity ng cosine 
ang kaukulang mga positibong halaga ay maaaring tanggalin muli: 
Ilarawan natin ang polar coordinate system at itabi ang mga nahanap na punto, habang ito ay maginhawa upang isantabi ang parehong mga halaga ng "er" sa isang pagkakataon, na gumagawa ng mga ipinares na serif na may isang compass ayon sa teknolohiyang tinalakay sa itaas: 
Sa prinsipyo, ang linya ay malinaw na iginuhit, ngunit upang ganap na kumpirmahin ang hula, hanapin natin ang equation nito sa Cartesian coordinate system. Maaari kang maglapat ng mga bagong nakuhang formula 
, ngunit sasabihin ko sa iyo ang tungkol sa isang mas mapanlinlang na panlilinlang. Artipisyal naming i-multiply ang parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng "er": at gumamit ng mas compact na mga formula ng transition:
Ang pagpili ng buong parisukat, dinadala namin ang equation ng linya sa isang nakikilalang anyo: 
– equation ng bilog nakasentro sa punto , radius 2.
Dahil, ayon sa kondisyon, kinakailangan lamang upang makumpleto ang konstruksyon at iyon lang, maayos naming ikinonekta ang mga nahanap na punto sa isang linya: 
handa na. Okay lang kung medyo hindi pantay, hindi mo na kailangang malaman na bilog iyon ;-)
Bakit hindi namin isinasaalang-alang ang mga halaga ng anggulo sa labas ng pagitan? Ang sagot ay simple: hindi ito makatuwiran. Sa view ng periodicity ng function, kami ay naghihintay para sa isang walang katapusang pagtakbo kasama ang constructed bilog.
Madaling magsagawa ng isang simpleng pagsusuri at dumating sa konklusyon na ang equation ng form ay tumutukoy sa isang bilog ng diameter na may sentro sa punto. Sa makasagisag na pagsasalita, ang lahat ng gayong mga bilog ay "umupo" sa polar axis at kinakailangang dumaan sa poste. Kung , kung gayon ang masasayang kumpanya ay lilipat sa kaliwa - sa pagpapatuloy ng polar axis (isipin kung bakit).
Ang isang katulad na problema para sa isang independiyenteng solusyon:
Halimbawa 3
Gumuhit ng linya at hanapin ang equation nito sa isang rectangular coordinate system.
Isinasaayos namin ang pamamaraan para sa paglutas ng problema:
Una sa lahat, nakita namin ang domain ng function, para dito ay maginhawang tingnan sinusoid upang agad na maunawaan kung saan ang sine ay hindi negatibo.
Sa pangalawang hakbang, kinakalkula namin ang mga polar coordinate ng mga puntos na ginagamit mga halaga ng talahanayan ng mga anggulo; pag-aralan kung posible bang bawasan ang bilang ng mga kalkulasyon?
Sa ikatlong hakbang, isinantabi namin ang mga punto sa polar coordinate system at maingat na ikinonekta ang mga ito sa isang linya.
At, sa wakas, nakita natin ang equation ng linya sa Cartesian coordinate system.
Halimbawang solusyon sa pagtatapos ng aralin.
Detalye namin ang pangkalahatang algorithm at pamamaraan para sa pagbuo sa mga polar coordinates
at makabuluhang mapabilis sa ikalawang bahagi ng panayam, ngunit bago iyon, kilalanin natin ang isa pang karaniwang linya:
polar rose
Tama, pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang bulaklak na may mga petals:
Halimbawa 4
I-plot ang mga linya na ibinigay ng mga equation sa polar coordinates
Mayroong dalawang mga diskarte sa pagbuo ng isang polar rose. Una, pumunta tayo sa knurled track, sa pag-aakalang hindi maaaring negatibo ang polar radius:
Desisyon:
a) Hanapin ang domain ng function: 
Ang gayong hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko ay madali ring lutasin nang grapiko: mula sa mga materyales ng artikulo Mga Pagbabagong Geometric Plot Ito ay kilala na kung ang argument ng function ay nadoble, ang graph nito ay lumiliit sa y-axis ng 2 beses. Pakihanap ang graph ng function sa unang halimbawa ng tinukoy na aralin. Saan matatagpuan ang sinusoid na ito sa itaas ng x-axis? Sa mga pagitan 
. Samakatuwid, ang kaukulang mga segment ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay, at domain ang aming function: 
.
Sa pangkalahatan, ang solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang ay ang pagsasama-sama ng isang walang katapusang bilang ng mga segment, ngunit, muli, kami ay interesado lamang sa isang panahon.
Marahil, mahahanap ng ilang mga mambabasa ang analytical na paraan ng paghahanap ng domain ng kahulugan na mas madali, tatawagin ko itong kondisyon na "paghiwa ng isang bilog na pie". Puputulin tayo sa pantay na bahagi at, una sa lahat, hanapin ang mga hangganan ng unang piraso. Nagtatalo kami tulad ng sumusunod: ang sine ay hindi negatibo, kailan kanyang argumento mula 0 hanggang rad. kasama. Sa aming halimbawa: . Hinahati ang lahat ng bahagi ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay ng 2, nakukuha namin ang kinakailangang agwat:
Ngayon ay sisimulan namin ang sunud-sunod na "gupitin ang pantay na mga piraso ng 90 degrees" nang pakaliwa:
- ang nakitang segment, siyempre, ay kasama sa lugar ng kahulugan;
– susunod na agwat – hindi kasama;
- ang susunod na segment - pumapasok;
- at, sa wakas, ang pagitan - ay hindi kasama.
Just like a chamomile - "loves, does not love, loves, does not love" =) With the difference na hindi ito manghuhula. Oo, isang uri lang ng pagmamahal sa Chinese ang lumalabas ....
Kaya, 
at ang linya ay kumakatawan sa isang rosas na may dalawang magkaparehong talulot. Ito ay lubos na posible upang gumuhit ng isang pagguhit sa schematically, ngunit ito ay lubos na kanais-nais na tama na mahanap at markahan ang tuktok ng mga petals. Ang mga vertex ay tumutugma mga midpoint ng mga segment ng domain ng kahulugan, na sa halimbawang ito ay may malinaw na angular na mga coordinate 
. Kung saan haba ng talulot ay: 
Narito ang natural na resulta ng isang nagmamalasakit na hardinero: 
Dapat pansinin na ang haba ng talulot ay madaling makita kaagad mula sa equation - dahil ang sine ay limitado: , kung gayon ang pinakamataas na halaga ng "er" ay tiyak na hindi lalampas sa dalawa.
b) Buuin natin ang linyang ibinigay ng equation. Malinaw, ang haba ng talulot ng rosas na ito ay dalawa rin, ngunit, una sa lahat, interesado kami sa domain ng kahulugan. Inilapat namin ang analytical na paraan ng "paghiwa": Ang sine ay hindi negatibo kapag ang argumento nito ay nasa hanay mula sa zero hanggang "pi" kasama, sa kasong ito: . Hinahati namin ang lahat ng bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa 3 at makuha ang unang agwat:
Susunod, sinimulan namin ang "pagputol ng pie sa mga piraso" ayon sa rad. (60 degrees):
– papasok ang segment sa lugar ng kahulugan;
– interval – hindi papasok;
- segment - papasok;
– interval – hindi papasok;
- segment - papasok;
- interval - hindi papasok.
Ang proseso ay matagumpay na nakumpleto sa 360 degree mark.
Kaya ang saklaw ay: 
.
Ang mga aksyon na isinasagawa sa kabuuan o sa bahagi ay madaling isagawa sa pag-iisip.
Konstruksyon. Kung sa nakaraang talata ang lahat ay naging maayos sa mga tamang anggulo at 45-degree na anggulo, narito kailangan mong mag-tinker ng kaunti. Hanapin natin ang tuktok ng mga petals. Ang kanilang haba ay nakikita mula pa sa simula ng gawain, nananatili itong kalkulahin ang mga angular na coordinate, na katumbas ng mga midpoint ng mga segment ng domain ng kahulugan: 
Mangyaring tandaan na sa pagitan ng mga tuktok ng mga petals dapat kang makakuha ng pantay na mga puwang, sa kasong ito 120 degrees.
Ito ay kanais-nais na markahan ang pagguhit sa 60-degree na mga sektor (tinatanggalan ng mga berdeng linya) at iguhit ang mga direksyon ng mga tuktok ng mga petals (mga kulay abong linya). Ito ay maginhawa upang markahan ang mga vertices sa kanilang sarili sa tulong ng isang compass - sa sandaling sukatin ang distansya ng 2 mga yunit at maglapat ng tatlong notches sa mga iginuhit na direksyon sa 30, 150 at 270 degrees: 
handa na. Naiintindihan ko na ang gawain ay mahirap, ngunit kung nais mong ayusin ang lahat sa matalinong paraan, kakailanganin mong gumugol ng oras.
Binubuo namin ang pangkalahatang formula: isang equation ng anyo , ay isang natural na numero), ay tumutukoy sa isang polar -petal na rosas na ang talulot ay haba ay .
Halimbawa, ang equation ay tumutukoy sa isang quatrefoil na may haba ng talulot na 5 mga yunit, ang equation - isang 5-petal na rosas na may haba ng talulot na 3 mga yunit. atbp.
