Sa huling video tutorial, nalaman namin na ang antas ng base ay isang expression na produkto ng base at mismo, na kinuha sa halagang katumbas ng exponent. Pag-aralan natin ngayon ang ilan sa mga pinakamahalagang katangian at pagpapatakbo ng mga kapangyarihan.

Halimbawa, paramihin natin ang dalawang magkaibang kapangyarihan na may parehong base:

Tingnan natin ang bahaging ito sa kabuuan nito:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Ang pagkakaroon ng pagkalkula ng halaga ng expression na ito, makakakuha tayo ng numero 32. Sa kabilang banda, tulad ng makikita mula sa parehong halimbawa, 32 ay maaaring kinakatawan bilang isang produkto ng parehong base (dalawa), kinuha ng 5 beses. At sa katunayan, kung bibilangin mo, kung gayon:

Kaya, maaari itong ligtas na mapagpasyahan na:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Matagumpay na gumagana ang panuntunang ito para sa anumang mga indicator at anumang batayan. Ang pag-aari na ito ng pagpaparami ng antas ay sumusunod mula sa panuntunan ng pangangalaga ng kahulugan ng mga expression sa panahon ng mga pagbabago sa produkto. Para sa anumang base a, ang produkto ng dalawang expression (a) x at (a) y ay katumbas ng a (x + y). Sa madaling salita, kapag gumagawa ng anumang mga expression na may parehong base, ang panghuling monomial ay may kabuuang antas na nabuo sa pamamagitan ng pagdaragdag ng antas ng una at pangalawang expression.

Ang ipinakita na panuntunan ay mahusay din kapag nagpaparami ng ilang expression. Ang pangunahing kondisyon ay ang mga batayan para sa lahat ay pareho. Halimbawa:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Imposibleng magdagdag ng mga degree, at sa pangkalahatan ay magsagawa ng anumang mga aksyon na magkasanib na kapangyarihan na may dalawang elemento ng expression, kung ang kanilang mga base ay naiiba.
Tulad ng ipinapakita ng aming video, dahil sa pagkakapareho ng mga proseso ng pagpaparami at paghahati, ang mga patakaran para sa pagdaragdag ng mga kapangyarihan sa panahon ng isang produkto ay perpektong inililipat sa pamamaraan ng paghahati. Isaalang-alang ang halimbawang ito:

Gumawa tayo ng term-by-term na pagbabago ng expression sa isang buong anyo at bawasan ang parehong mga elemento sa dibidendo at divisor:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Ang huling resulta ng halimbawang ito ay hindi masyadong kawili-wili, dahil nasa kurso na ng solusyon nito ay malinaw na ang halaga ng expression ay katumbas ng parisukat ng dalawa. At ito ay ang deuce na nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng antas ng pangalawang expression mula sa antas ng una.

Upang matukoy ang antas ng kusyente, kinakailangang ibawas ang antas ng divisor mula sa antas ng dibidendo. Ang panuntunan ay gumagana nang may parehong batayan para sa lahat ng mga halaga nito at para sa lahat ng natural na kapangyarihan. Sa abstract form, mayroon kaming:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Ang kahulugan para sa zero degree ay sumusunod mula sa panuntunan para sa paghahati ng magkaparehong mga base na may mga kapangyarihan. Malinaw, ang sumusunod na expression ay:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Sa kabilang banda, kung hahatiin natin sa mas visual na paraan, makakakuha tayo ng:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Kapag binabawasan ang lahat ng nakikitang elemento ng isang fraction, palaging nakukuha ang expression na 1/1, iyon ay, isa. Samakatuwid, karaniwang tinatanggap na ang anumang base na itinaas sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa:

Anuman ang halaga ng a.

Gayunpaman, magiging walang katotohanan kung ang 0 (na nagbibigay pa rin ng 0 para sa anumang multiplikasyon) ay kahit papaano ay katumbas ng isa, kaya ang isang expression tulad ng (0) 0 (zero sa zero degree) ay walang kahulugan, at sa formula (a) 0 = 1 magdagdag ng kundisyon: "kung ang a ay hindi katumbas ng 0".

Gawin natin ang ehersisyo. Hanapin natin ang halaga ng expression:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Dahil pareho ang base sa lahat ng dako at katumbas ng 34, ang huling halaga ay magkakaroon ng parehong base na may degree (ayon sa mga panuntunan sa itaas):

Sa ibang salita:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Sagot: Ang ekspresyon ay katumbas ng isa.

Kung ang dalawang kapangyarihan ay pinarami (o hinati) na may magkaibang mga base, ngunit ang parehong mga tagapagpahiwatig, kung gayon ang kanilang mga batayan ay maaaring paramihin (o hatiin), at ang exponent ng resulta ay dapat iwanang kapareho ng sa mga kadahilanan (o dibidendo at divisor).

Sa pangkalahatan, sa wikang matematika, ang mga patakarang ito ay nakasulat bilang mga sumusunod:
a m × b m = (ab) m
a m ÷ b m = (a/b) m

Kapag naghahati, ang b ay hindi maaaring katumbas ng 0, iyon ay, ang pangalawang tuntunin ay dapat dagdagan ng kondisyon b ≠ 0.

Mga halimbawa:
2 3 x 3 3 = (2 x 3) 3 = 63 = 36 x 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32

Ngayon, gamit ang mga partikular na halimbawang ito, papatunayan namin na ang mga tuntunin-properties ng mga degree na may parehong exponent ay totoo. Lutasin natin ang mga halimbawang ito na parang hindi natin alam ang mga katangian ng mga kapangyarihan:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

Gaya ng nakikita natin, tumugma ang mga tugon sa natanggap noong ginamit ang mga panuntunan. Ang pag-alam sa mga panuntunang ito ay nagpapahintulot sa amin na pasimplehin ang mga kalkulasyon.

Tandaan na ang expression na 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 ay maaaring isulat tulad nito:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).

Ang expression na ito, naman, ay iba kaysa sa (2 × 3) 3. ibig sabihin, 6 3 .

Ang mga itinuturing na katangian ng mga degree na may parehong mga exponent ay maaaring gamitin sa kabaligtaran ng direksyon. Halimbawa, ano ang 18 2 ?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

Ginagamit din ang mga katangian ng mga degree kapag nilulutas ang mga halimbawa:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10800 + 864 = 11664

Ang panuntunan ng paghahati ng mga degree. Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay naiwang pareho, at ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo. Mga halimbawa:

Slide 11 mula sa pagtatanghal na "Dibisyon at pagpaparami ng mga kapangyarihan" sa mga aralin sa algebra sa paksang "Degree"

Mga Dimensyon: 960 x 720 pixels, format: jpg. Upang mag-download ng slide nang libre para magamit sa isang aralin sa algebra, i-right-click ang larawan at i-click ang "Save Image As. ". Maaari mong i-download ang buong presentasyon na "Division and multiplication of powers.ppt" sa isang 1313 KB zip archive.

"Dibisyon at pagpaparami ng mga kapangyarihan" - a2 a3 = a2+3 = a5. a3 = a · a · a. Hanapin ang produkto ng a2 at a3. 100.2+3. Limang beses. 64 = 144 = 1 0000 =. Pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan. 3 beses. a2 a3 =.

"Powers of Two" - 1024+. Mga panuntunan para sa paglipat mula sa isang sistema ng numero patungo sa isa pa. Guselnikova E.V. Numero ng paaralan 130. Nilalaman. Talaan ng mga kapangyarihan ng dalawa. I-convert natin ang numerong 1998 mula decimal patungo sa binary. Kislykh V.N. 11E Zinko K.O. 11E. Guro: Nakumpleto: Isaalang-alang natin ang scheme ng pagbabago gamit ang isang halimbawa.

"Degree na may negatibong exponent" - Degree na may negatibong exponent. 5 12?3 (27?3). -2. -isa. Kalkulahin: -3.

"Degree na may rational indicator" - sa paksa: "Degree na may rational indicator". Layunin ng aralin: I. Bahagi ng organisasyon. Pagsusuri ng takdang-aralin 1. Pagdidikta sa matematika 2. Pagsusuri ng kapwa III. Malayang gawain IV. Pangkalahatang aralin. Sa panahon ng mga klase. Paghahanda para sa pagsusulit V. Paglagom ng aralin VI. II.

"Power with an integer exponent" - Ipahayag ang expression bilang isang kapangyarihan. X-12. Ayusin sa pababang pagkakasunod-sunod. Ipahayag ang x-12 bilang produkto ng dalawang kapangyarihan na may batayang x kung alam ang isang salik. Kalkulahin. Pasimplehin.

"Properties of the degree" - Generalization ng kaalaman at kasanayan sa aplikasyon ng mga katangian ng degree na may natural na indicator. Computational pause. Mga katangian ng isang degree na may natural na exponent. Suriin ang iyong sarili! Paglalapat ng kaalaman upang malutas ang mga problema ng iba't ibang kumplikado. Pagsusulit. Fizminutka. Pag-unlad ng tiyaga, aktibidad sa pag-iisip at malikhaing aktibidad.

Panuntunan ng paghahati ng kapangyarihan

1. Ang antas ng produkto ng dalawa o higit pang mga salik ay katumbas ng produkto ng mga antas ng mga salik na ito (na may parehong tagapagpahiwatig):

(abc…) n = a n b n c n …

Halimbawa 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Halimbawa 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x + a)(x - a)] 3 =( x + a) 3 (x - a) 3

Sa pagsasagawa, ang inverse transformation ay mas mahalaga:

a n b n c n … = (abc …) n

mga. ang produkto ng parehong kapangyarihan ng ilang dami ay katumbas ng parehong kapangyarihan ng produkto ng mga dami na ito.

Halimbawa 3 Halimbawa 4. (a + b) 2 (a 2 - ab + b 2) 2 \u003d [(a ​​​​+ b) (a 2 - ab + b 2)] 2 \u003d (a 3 + b 3) 2

2. Ang antas ng quotient (fraction) ay katumbas ng quotient ng paghahati ng parehong antas ng divisible sa parehong antas ng divisor:

Halimbawa 5 Halimbawa 6

Baliktad na pagbabago:. Halimbawa 7 . Halimbawa 8 .

3. Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, idinaragdag ang mga exponent:

Halimbawa 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Halimbawa 10. (a - 4c + x) 2 (a - 4c + x) 3 = (a - 4c + x) 5 .

4. Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo

Halimbawa 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Halimbawa 12. (x-y) 3:(x-y) 2 = x-y.

5. Kapag nagtataas ng isang antas sa isang kapangyarihan, ang mga exponent ay pinarami:

Halimbawa 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Halimbawa 14

Pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, at paghahati ng mga kapangyarihan

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga kapangyarihan

Malinaw, ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring idagdag tulad ng iba pang dami , sa pamamagitan ng pagdaragdag sa kanila ng isa-isa kasama ng kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng a 3 at b 2 ay isang 3 + b 2 .
Ang kabuuan ng isang 3 - b n at h 5 -d 4 ay isang 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds ang parehong mga kapangyarihan ng parehong mga variable maaaring idagdag o ibawas.

Kaya, ang kabuuan ng 2a 2 at 3a 2 ay 5a 2 .

Malinaw din na kung kukuha tayo ng dalawang parisukat a, o tatlong parisukat a, o limang parisukat a.

Ngunit degree iba't ibang variable at iba't ibang grado magkaparehong mga variable, ay dapat idagdag sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito sa kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng isang 2 at isang 3 ay ang kabuuan ng isang 2 + a 3 .

Malinaw na ang parisukat ng a, at ang kubo ng a, ay hindi dalawang beses ang parisukat ng a, ngunit dalawang beses ang kubo ng a.

Ang kabuuan ng a 3 b n at 3a 5 b 6 ay a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Pagbabawas Ang mga kapangyarihan ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng karagdagan, maliban na ang mga palatandaan ng subtrahend ay dapat baguhin nang naaayon.

O kaya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Pagpaparami ng kapangyarihan

Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring i-multiply tulad ng iba pang mga dami sa pamamagitan ng pagsulat ng mga ito nang sunud-sunod, mayroon man o wala ang multiplication sign sa pagitan ng mga ito.

Kaya, ang resulta ng pagpaparami ng 3 sa b 2 ay isang 3 b 2 o aaabb.

O kaya:
x -3 ⋅ a m = isang m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Ang resulta sa huling halimbawa ay maaaring i-order sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong mga variable.
Ang expression ay magkakaroon ng anyong: a 5 b 5 y 3 .

Sa pamamagitan ng paghahambing ng ilang mga numero (mga variable) na may mga kapangyarihan, makikita natin na kung alinman sa dalawa sa mga ito ay pinarami, ang resulta ay isang numero (variable) na may kapangyarihan na katumbas ng sum antas ng mga termino.

Kaya, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Narito ang 5 ay ang kapangyarihan ng resulta ng pagpaparami, katumbas ng 2 + 3, ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng mga termino.

Kaya, a n .a m = a m+n .

Para sa isang n , ang a ay kinuha bilang isang kadahilanan hangga't ang kapangyarihan ng n ay;

At ang a m , ay kinukuha bilang isang kadahilanan nang kasing dami ng antas ng m ay katumbas ng;

Kaya, Ang mga kapangyarihan na may parehong mga base ay maaaring i-multiply sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga exponent.

Kaya, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . At x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

O kaya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiply (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Sagot: x 4 - y 4.
Multiply (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ang panuntunang ito ay totoo rin para sa mga numero na ang mga exponent ay − negatibo.

1. Kaya, a -2 .a -3 = a -5 . Ito ay maaaring isulat bilang (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Kung ang a + b ay pinarami ng a - b, ang resulta ay isang 2 - b 2: ibig sabihin

Ang resulta ng pagpaparami ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng kanilang mga parisukat.

Kung ang kabuuan at pagkakaiba ng dalawang numero ay itinaas sa parisukat, ang resulta ay magiging katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga numerong ito sa pang-apat degree.

Kaya, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Dibisyon ng mga kapangyarihan

Ang mga numero ng kapangyarihan ay maaaring hatiin tulad ng iba pang mga numero sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa divisor, o sa pamamagitan ng paglalagay ng mga ito sa fraction form.

Kaya ang a 3 b 2 na hinati sa b 2 ay isang 3 .

Ang pagsulat ng 5 na hinati ng 3 ay parang $\frac $. Ngunit ito ay katumbas ng isang 2 . Sa isang serye ng mga numero
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
anumang numero ay maaaring hatiin ng isa pa, at ang exponent ay magiging katumbas ng pagkakaiba mga tagapagpahiwatig ng mahahati na mga numero.

Kapag hinahati ang mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas..

Kaya, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Ibig sabihin, $\frac = y$.

At a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ibig sabihin, $\frac = a^n$.

O kaya:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Ang panuntunan ay may bisa din para sa mga numerong may negatibo mga halaga ng degree.
Ang resulta ng paghahati ng isang -5 sa isang -3 ay isang -2 .
Gayundin, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Ito ay kinakailangan upang makabisado ang pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan nang napakahusay, dahil ang mga naturang operasyon ay napakalawak na ginagamit sa algebra.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga halimbawa na may mga fraction na naglalaman ng mga numerong may kapangyarihan

1. Bawasan ang mga exponents sa $\frac $ Sagot: $\frac $.

2. Bawasan ang mga exponent sa $\frac$. Sagot: $\frac $ o 2x.

3. Bawasan ang mga exponent na a 2 / a 3 at a -3 / a -4 at dalhin sa isang common denominator.
a 2 .a -4 ay isang -2 unang numerator.
a 3 .a -3 ay isang 0 = 1, ang pangalawang numerator.
a 3 .a -4 ay a -1 , ang karaniwang numerator.
Pagkatapos ng pagpapasimple: a -2 /a -1 at 1/a -1 .

4. Bawasan ang mga exponents 2a 4 /5a 3 at 2 /a 4 at dalhin sa isang common denominator.
Sagot: 2a 3 / 5a 7 at 5a 5 / 5a 7 o 2a 3 / 5a 2 at 5/5a 2.

5. I-multiply ang (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.

6. I-multiply ang (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).

7. I-multiply ang b 4 /a -2 sa h -3 /x at a n /y -3 .

8. Hatiin ang isang 4 /y 3 sa isang 3 /y 2 . Sagot: a/y.

Algebra - ika-7 baitang. Pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan

Aralin sa paksa: "Mga panuntunan para sa pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may pareho at magkakaibang mga exponent. Mga halimbawa»

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi. Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan

Ang layunin ng aralin: matutunan kung paano magsagawa ng mga operasyon na may mga kapangyarihan ng isang numero.

Una, alalahanin natin ang konsepto ng "kapangyarihan ng isang numero". Ang isang expression tulad ng $\underbrace_$ ay maaaring katawanin bilang $a^n$.

Totoo rin ang kabaligtaran: $a^n= \underbrace_ $.

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag na "pagtatala ng antas bilang isang produkto." Makakatulong ito sa atin na matukoy kung paano paramihin at hatiin ang mga kapangyarihan.
Tandaan:
a- ang batayan ng antas.
n- exponent.
Kung ang n=1, na nangangahulugang ang numero a kinuha nang isang beses at ayon sa pagkakabanggit: $a^n= 1$.
Kung ang n=0, pagkatapos ay $a^0= 1$.

Kung bakit ito nangyayari, malalaman natin kapag nakilala natin ang mga patakaran para sa pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan.

mga tuntunin sa pagpaparami

a) Kung ang mga kapangyarihan na may parehong base ay pinarami.
Para sa $a^n * a^m$, isinusulat namin ang mga degree bilang isang produkto: $\underbrace_ * \underbrace_ $.
Ipinapakita ng figure na ang numero a kinuha n+m beses, pagkatapos ay $a^n * a^m = a^ $.

Halimbawa.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Ang ari-arian na ito ay maginhawang gamitin upang pasimplehin ang trabaho kapag nagtataas ng isang numero sa isang malaking kapangyarihan.
Halimbawa.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Kung ang mga kapangyarihan ay pinarami sa ibang base, ngunit sa parehong exponent.
Para sa $a^n * b^n$, isinusulat namin ang mga kapangyarihan bilang isang produkto: $\underbrace_ * \underbrace_ $.
Kung papalitan natin ang mga salik at bibilangin ang mga resultang pares, makakakuha tayo ng: $\underbrace_ $.

Kaya $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Halimbawa.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

mga panuntunan sa paghahati

a) Ang base ng degree ay pareho, ang mga exponent ay iba.
Pag-isipang hatiin ang isang degree na may mas malaking exponent sa pamamagitan ng paghahati ng degree na may mas maliit na exponent.

Isinulat namin ang mga degree bilang isang fraction:

Para sa kaginhawahan, isinusulat namin ang dibisyon bilang isang simpleng fraction.

Ngayon bawasan natin ang fraction.

Ito ay lumabas: $\underbrace_ = a^ $.
Ibig sabihin, $\frac =a^$ .

Ang pag-aari na ito ay makakatulong na ipaliwanag ang sitwasyon sa pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan ng zero. Ipagpalagay natin na n=m, pagkatapos ay $a^0= a^ =\frac =1$.

b) Ang mga batayan ng antas ay magkakaiba, ang mga tagapagpahiwatig ay pareho.
Sabihin nating kailangan mo ng $\frac $. Isinulat namin ang mga kapangyarihan ng mga numero bilang isang fraction:

Isipin natin para sa kaginhawahan.

Gamit ang pag-aari ng mga fraction, hinahati namin ang isang malaking fraction sa isang produkto ng maliliit, nakukuha namin.
$\underbrace* \frac *\ldots*\frac >_ $.
Alinsunod dito: $\frac =(\frac )^n$.

mathematics-tests.com

Degrees at Roots

Mga operasyong may kapangyarihan at ugat. Degree na may negatibo ,

zero at fractional tagapagpahiwatig. Tungkol sa mga ekspresyong walang katuturan.

Mga operasyon na may mga degree.

1. Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay idinaragdag:

isang m · a n = a m + n .

2. Kapag naghahati ng mga degree na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ibinawas .

3. Ang antas ng produkto ng dalawa o higit pang mga salik ay katumbas ng produkto ng mga antas ng mga salik na ito.

4. Ang antas ng ratio (fraction) ay katumbas ng ratio ng mga antas ng dibidendo (numerator) at divisor (denominator):

(a/b) n = a n / b n .

5. Kapag nagtataas ng isang antas sa isang kapangyarihan, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay pinarami:

Ang lahat ng mga formula sa itaas ay binabasa at isinasagawa sa parehong direksyon mula kaliwa hanggang kanan at vice versa.

HALIMBAWA (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Mga operasyon na may mga ugat. Sa lahat ng mga formula sa ibaba, ang ibig sabihin ng simbolo ugat ng aritmetika(positibo ang radikal na pagpapahayag).

1. Ang ugat ng produkto ng ilang salik ay katumbas ng produkto ng mga ugat ng mga salik na ito:

2. Ang ugat ng ratio ay katumbas ng ratio ng mga ugat ng dibidendo at divisor:

3. Kapag itinaas ang isang ugat sa isang kapangyarihan, sapat na upang itaas sa kapangyarihang ito numero ng ugat:

4. Kung tinaasan mo ang antas ng ugat ng m beses at sabay na itataas ang numero ng ugat sa m -th degree, hindi magbabago ang halaga ng ugat:

5. Kung bawasan mo ang antas ng ugat ng m beses at kasabay nito ay kunin ang ugat ng mth degree mula sa radikal na numero, hindi magbabago ang halaga ng ugat:

Pagpapalawig ng konsepto ng degree. Sa ngayon, isinasaalang-alang lamang namin ang mga degree na may natural na tagapagpahiwatig; ngunit ang mga operasyong may kapangyarihan at ugat ay maaari ding humantong sa negatibo, sero at fractional mga tagapagpahiwatig. Ang lahat ng mga exponent na ito ay nangangailangan ng karagdagang kahulugan.

Degree na may negatibong exponent. Ang antas ng isang tiyak na numero na may negatibong (integer) na exponent ay tinukoy bilang isa na hinati sa antas ng parehong numero na may isang exponent na katumbas ng ganap na halaga ng negatibong exponent:

Ngayon ang formula isang m : isang n = isang m-n maaaring gamitin hindi lamang para sa m, higit sa n, ngunit din sa m, mas mababa sa n .

HALIMBAWA a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Kung gusto natin ang formula isang m : isang n = isang m — n ay patas sa m = n, kailangan natin ng kahulugan ng zero degree.

Degree na may zero exponent. Ang antas ng anumang hindi-zero na numero na may zero exponent ay 1.

MGA HALIMBAWA. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Degree na may fractional exponent. Upang itaas ang isang tunay na numero a sa kapangyarihan m / n, kailangan mong kunin ang ugat ng ika-n degree mula sa mth kapangyarihan ng numerong ito a:

Tungkol sa mga ekspresyong walang katuturan. Mayroong ilang mga ganoong expression.

saan a ≠ 0 , ay wala.

Sa katunayan, kung ipagpalagay natin iyon x ay isang tiyak na numero, kung gayon, alinsunod sa kahulugan ng operasyon ng paghahati, mayroon tayong: a = 0· x, ibig sabihin. a= 0, na sumasalungat sa kundisyon: a ≠ 0

— kahit anong numero.

Sa katunayan, kung ipagpalagay natin na ang expression na ito ay katumbas ng ilang numero x, pagkatapos ay ayon sa kahulugan ng operasyon ng paghahati na mayroon tayo: 0 = 0 x. Ngunit ang pagkakapantay-pantay na ito ay pinanghahawakan anumang numero x, na dapat patunayan.

0 0 — kahit anong numero.

Solusyon. Isaalang-alang ang tatlong pangunahing kaso:

1) x = 0 – hindi natutugunan ng halagang ito ang equation na ito

2) kailan x> 0 makuha natin: x / x= 1, ibig sabihin. 1 = 1, kung saan sumusunod,

Ano x- kahit anong numero; ngunit isinasaalang-alang iyon

ang kaso natin x> 0 , ang sagot ay x > 0 ;

• Mga panuntunan para sa kaligtasan kapag nagtatrabaho sa isang bakal Mga panuntunan sa kaligtasan para sa paggawa sa isang bakal. 1.Bago ikonekta ang bakal sa mga mains, suriin ang pagkakabukod ng kurdon at ang posisyon ng bakal sa stand. 2. I-on at […]
• Mga problema sa buwis sa tubig Estado, pagsusuri at mga problema sa pagpapabuti ng buwis sa tubig Kapag ang tubig ay binawi nang lampas sa itinatag na quarterly (taunang) mga limitasyon sa paggamit ng tubig, mga rate ng buwis sa mga tuntunin ng naturang labis na […]
• paano gumuhit ng isang order upang lumipat mula 223 fz hanggang 44 fz Sergey Antonov 30 Sumagot isang taon na ang nakalipas Propesor 455 Sumagot isang taon na ang nakalipas Halimbawa: isang utos na kanselahin ang aplikasyon ng regulasyon sa pagkuha. Marka ng sagot: 0 Magdagdag ng […]
• Paghahati ng mga Negatibong Numero Madaling maunawaan kung paano hatiin ang mga negatibong numero, tandaan na ang paghahati ay ang kabaligtaran ng multiplikasyon. Kung ang "a" at "b" ay mga positibong numero, pagkatapos ay hatiin ang numerong "a" sa numerong " [...]
• Ang mga Resolution D1, 960H, 720P, 960P, 1080P Surveillance system ay lalong lumalaganap sa buong mundo. Ang mga kagamitan ay patuloy na pinapabuti, at ang lugar na ito ay patuloy na umuunlad. Tulad ng anumang […]
• Batas sa Konstitusyon ng Russian Federation. Baglay M.V. Ika-6 na ed., rev. at karagdagang - M.: Norma, 200 7 . - 7 84 p. Ang aklat-aralin na ito, na siyang ikaanim na nirebisa at dinagdagan na edisyon, ay isinulat ng sikat na […]

Malinaw, ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring idagdag tulad ng iba pang dami , sa pamamagitan ng pagdaragdag sa kanila ng isa-isa kasama ng kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng a 3 at b 2 ay isang 3 + b 2 .
Ang kabuuan ng isang 3 - b n at h 5 -d 4 ay isang 3 - b n + h 5 - d 4 .

Odds ang parehong mga kapangyarihan ng parehong mga variable maaaring idagdag o ibawas.

Kaya, ang kabuuan ng 2a 2 at 3a 2 ay 5a 2 .

Malinaw din na kung kukuha tayo ng dalawang parisukat a, o tatlong parisukat a, o limang parisukat a.

Ngunit degree iba't ibang variable at iba't ibang grado magkaparehong mga variable, ay dapat idagdag sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito sa kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng isang 2 at isang 3 ay ang kabuuan ng isang 2 + a 3 .

Malinaw na ang parisukat ng a, at ang kubo ng a, ay hindi dalawang beses ang parisukat ng a, ngunit dalawang beses ang kubo ng a.

Ang kabuuan ng a 3 b n at 3a 5 b 6 ay a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Pagbabawas Ang mga kapangyarihan ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng karagdagan, maliban na ang mga palatandaan ng subtrahend ay dapat baguhin nang naaayon.

O kaya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Pagpaparami ng kapangyarihan

Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring i-multiply tulad ng iba pang mga dami sa pamamagitan ng pagsulat ng mga ito nang sunud-sunod, mayroon man o wala ang multiplication sign sa pagitan ng mga ito.

Kaya, ang resulta ng pagpaparami ng 3 sa b 2 ay isang 3 b 2 o aaabb.

O kaya:
x -3 ⋅ a m = isang m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Ang resulta sa huling halimbawa ay maaaring i-order sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong mga variable.
Ang expression ay magkakaroon ng anyong: a 5 b 5 y 3 .

Sa pamamagitan ng paghahambing ng ilang mga numero (mga variable) na may mga kapangyarihan, makikita natin na kung alinman sa dalawa sa mga ito ay pinarami, ang resulta ay isang numero (variable) na may kapangyarihan na katumbas ng sum antas ng mga termino.

Kaya, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Narito ang 5 ay ang kapangyarihan ng resulta ng pagpaparami, katumbas ng 2 + 3, ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng mga termino.

Kaya, a n .a m = a m+n .

Para sa isang n , ang a ay kinuha bilang isang kadahilanan hangga't ang kapangyarihan ng n ay;

At ang a m , ay kinukuha bilang isang kadahilanan nang kasing dami ng antas ng m ay katumbas ng;

Kaya, Ang mga kapangyarihan na may parehong mga base ay maaaring i-multiply sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga exponent.

Kaya, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . At x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

O kaya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiply (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Sagot: x 4 - y 4.
Multiply (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ang panuntunang ito ay totoo rin para sa mga numero na ang mga exponent ay - negatibo.

1. Kaya, a -2 .a -3 = a -5 . Ito ay maaaring isulat bilang (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Kung ang a + b ay pinarami ng a - b, ang resulta ay isang 2 - b 2: ibig sabihin

Ang resulta ng pagpaparami ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng kanilang mga parisukat.

Kung ang kabuuan at pagkakaiba ng dalawang numero ay itinaas sa parisukat, ang resulta ay magiging katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga numerong ito sa pang-apat degree.

Kaya, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Dibisyon ng mga kapangyarihan

Ang mga numero ng kapangyarihan ay maaaring hatiin tulad ng iba pang mga numero sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa divisor, o sa pamamagitan ng paglalagay ng mga ito sa fraction form.

Kaya ang a 3 b 2 na hinati sa b 2 ay isang 3 .

O kaya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Ang pagsulat ng 5 na hinati ng 3 ay parang $\frac(a^5)(a^3)$. Ngunit ito ay katumbas ng isang 2 . Sa isang serye ng mga numero
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
anumang numero ay maaaring hatiin ng isa pa, at ang exponent ay magiging katumbas ng pagkakaiba mga tagapagpahiwatig ng mahahati na mga numero.

Kapag hinahati ang mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas..

Kaya, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Ibig sabihin, $\frac(yyy)(yy) = y$.

At a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ibig sabihin, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

O kaya:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Ang panuntunan ay may bisa din para sa mga numerong may negatibo mga halaga ng degree.
Ang resulta ng paghahati ng isang -5 sa isang -3 ay isang -2 .
Gayundin, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Ito ay kinakailangan upang makabisado ang pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan nang napakahusay, dahil ang mga naturang operasyon ay napakalawak na ginagamit sa algebra.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga halimbawa na may mga fraction na naglalaman ng mga numerong may kapangyarihan

1. Bawasan ang mga exponents sa $\frac(5a^4)(3a^2)$ Sagot: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Bawasan ang mga exponent sa $\frac(6x^6)(3x^5)$. Sagot: $\frac(2x)(1)$ o 2x.

3. Bawasan ang mga exponent na a 2 / a 3 at a -3 / a -4 at dalhin sa isang common denominator.
a 2 .a -4 ay isang -2 unang numerator.
a 3 .a -3 ay isang 0 = 1, ang pangalawang numerator.
a 3 .a -4 ay a -1 , ang karaniwang numerator.
Pagkatapos ng pagpapasimple: a -2 /a -1 at 1/a -1 .

4. Bawasan ang mga exponents 2a 4 /5a 3 at 2 /a 4 at dalhin sa isang common denominator.
Sagot: 2a 3 / 5a 7 at 5a 5 / 5a 7 o 2a 3 / 5a 2 at 5/5a 2.

5. I-multiply ang (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.

6. I-multiply ang (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).

7. I-multiply ang b 4 /a -2 sa h -3 /x at a n /y -3 .

8. Hatiin ang isang 4 /y 3 sa isang 3 /y 2 . Sagot: a/y.

9. Hatiin ang (h 3 - 1)/d 4 sa (d n + 1)/h.

Mga formula ng kapangyarihan ginagamit sa proseso ng pagbabawas at pagpapasimple ng mga kumplikadong expression, sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Numero c ay isang n-ika-kapangyarihan ng isang numero a kailan:

Mga operasyon na may mga degree.

1. Ang pagpaparami ng mga degree na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay nagdaragdag:

isang ma n = a m + n .

2. Sa paghahati ng mga degree na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay ibinabawas:

3. Ang antas ng produkto ng 2 o higit pang mga salik ay katumbas ng produkto ng mga antas ng mga salik na ito:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Ang antas ng isang fraction ay katumbas ng ratio ng mga antas ng dibidendo at ang divisor:

(a/b) n = a n / b n .

5. Pagtaas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang mga exponent ay pinarami:

(am) n = a m n .

Ang bawat formula sa itaas ay tama sa mga direksyon mula kaliwa hanggang kanan at vice versa.

Halimbawa. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Mga operasyon na may mga ugat.

1. Ang ugat ng produkto ng ilang salik ay katumbas ng produkto ng mga ugat ng mga salik na ito:

2. Ang ugat ng ratio ay katumbas ng ratio ng dibidendo at ang divisor ng mga ugat:

3. Kapag itinaas ang isang ugat sa isang kapangyarihan, sapat na upang itaas ang numero ng ugat sa kapangyarihang ito:

4. Kung taasan natin ang antas ng ugat sa n sabay taas sa n Ang kapangyarihan ay isang numero ng ugat, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago:

5. Kung babawasan natin ang antas ng ugat sa n sabay na ugat n ika degree mula sa radikal na numero, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago:

Degree na may negatibong exponent. Ang antas ng isang numero na may hindi positibo (integer) na exponent ay tinukoy bilang isa na hinati sa antas ng parehong numero na may isang exponent na katumbas ng ganap na halaga ng hindi positibong exponent:

Formula isang m:a n = a m - n maaaring gamitin hindi lamang para sa m> n, ngunit din sa m< n.

Halimbawa. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Sa formula isang m:a n = a m - n naging patas sa m=n, kailangan mo ang pagkakaroon ng zero degree.

Degree na may zero exponent. Ang kapangyarihan ng anumang non-zero na numero na may zero exponent ay katumbas ng isa.

Halimbawa. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Degree na may fractional exponent. Upang itaas ang isang tunay na numero a sa isang antas m/n, kailangan mong kunin ang ugat n ika na antas ng m ika kapangyarihan ng numerong ito a.