Halimbawa

Hanapin ang extremum ng function na ibinigay na X at sa ay nauugnay sa ratio: . Sa geometriko, ang problema ay nangangahulugan ng sumusunod: sa isang tambilugan
eroplano
.

Ang problemang ito ay maaaring malutas tulad ng sumusunod: mula sa equation
hanapin
X:

sa kondisyon na
, nabawasan sa problema ng paghahanap ng extremum ng isang function ng isang variable, sa pagitan
.

Sa geometriko, ang problema ay nangangahulugan ng sumusunod: sa isang tambilugan nakuha sa pamamagitan ng pagtawid sa silindro
eroplano
, ito ay kinakailangan upang mahanap ang maximum o minimum na halaga ng applicate (Larawan 9). Ang problemang ito ay maaaring malutas tulad ng sumusunod: mula sa equation
hanapin
. Ang pagpapalit ng nahanap na halaga ng y sa equation ng eroplano, nakakakuha tayo ng function ng isang variable X:

Kaya, ang problema ng paghahanap ng extremum ng function
sa kondisyon na
, nabawasan sa problema sa paghahanap ng extremum ng isang function ng isang variable, sa isang segment.

Kaya, ang problema sa paghahanap ng conditional extremum ay ang problema ng paghahanap ng extremum ng layunin function
, sa kondisyon na ang mga variable X at sa napapailalim sa paghihigpit
tinawag equation ng koneksyon.

Sasabihin natin yan tuldok
, nagbibigay-kasiyahan sa equation ng hadlang, ay isang punto ng local conditional maximum (minimum) kung may kapitbahayan
tulad na para sa anumang mga puntos
, na ang mga coordinate ay nakakatugon sa constraint equation, nananatili ang hindi pagkakapantay-pantay.

Kung mula sa equation ng komunikasyon ay posibleng makahanap ng expression para sa sa, pagkatapos, pinapalitan ang expression na ito sa orihinal na function, ginagawa namin ang huli sa isang kumplikadong function ng isang variable X.

Ang pangkalahatang paraan para sa paglutas ng conditional extremum na problema ay Paraan ng Lagrange multiplier. Gumawa tayo ng auxiliary function, kung saan ─ ilang numero. Ang function na ito ay tinatawag na Lagrange function, a ─ Lagrange multiplier. Kaya, ang problema sa paghahanap ng conditional extremum ay nabawasan sa paghahanap ng mga lokal na extremum point para sa Lagrange function. Upang mahanap ang mga punto ng isang posibleng extremum, kinakailangan upang malutas ang isang sistema ng 3 mga equation na may tatlong hindi alam. x, y at.

Pagkatapos ay dapat gamitin ng isa ang sumusunod na sapat na extremum na kondisyon.

TEOREM. Hayaang ang punto ay isang punto ng posibleng extremum para sa Lagrange function. Ipinapalagay namin na sa paligid ng punto
may mga tuloy-tuloy na second-order na partial derivatives ng mga function at . Magpakilala

Tapos kung
, pagkatapos
─ conditional extremum point ng function
sa constraint equation
samantala, kung
, pagkatapos
─ kondisyon na pinakamababang punto, kung
, pagkatapos
─ punto ng conditional maximum.

§walo. Gradient at directional derivative

Hayaan ang function
tinukoy sa ilang (bukas) na domain. Isaalang-alang ang anumang punto
ang lugar na ito at anumang direktang tuwid na linya (axis) dumadaan sa puntong ito (Larawan 1). Hayaan
- ibang punto ng axis na ito,
- ang haba ng segment sa pagitan
at
, kinuha na may plus sign, kung ang direksyon
tumutugma sa direksyon ng axis , at may minus sign kung magkasalungat ang kanilang mga direksyon.

Hayaan
lumalapit nang walang katapusan
. limitasyon

tinawag derivative ng function
patungo sa (o kasama ang axis ) at tinukoy bilang sumusunod:

.

Tinutukoy ng derivative na ito ang "rate ng pagbabago" ng function sa punto
patungo sa . Sa partikular, at ordinaryong partial derivatives ,maaari ding isipin bilang mga derivatives "may paggalang sa direksyon".

Ipagpalagay ngayon na ang function
ay may tuluy-tuloy na partial derivatives sa rehiyong isinasaalang-alang. Hayaan ang axis bumubuo ng mga anggulo na may mga coordinate axes
at . Sa ilalim ng mga pagpapalagay na ginawa, ang directional derivative umiiral at ipinapahayag ng pormula

.

Kung ang vector
itinakda ng mga coordinate nito
, pagkatapos ay ang derivative ng function
sa direksyon ng vector
maaaring kalkulahin gamit ang formula:

.

Vector na may mga coordinate
tinawag gradient vector mga function
sa punto
. Ang gradient vector ay nagpapahiwatig ng direksyon ng pinakamabilis na pagtaas ng function sa isang naibigay na punto.

Halimbawa

Dahil sa isang function , isang punto A(1, 1) at isang vector
. Hanapin: 1) grad z sa punto A; 2) ang derivative sa point A sa direksyon ng vector .

Mga partial derivatives ng isang ibinigay na function sa isang punto
:

;
.

Pagkatapos ang gradient vector ng function sa puntong ito ay:
. Ang gradient vector ay maaari ding isulat gamit ang isang vector expansion at :

. Function derivative sa direksyon ng vector :

Kaya,
,
.◄

Isang sapat na kondisyon para sa isang extremum ng isang function ng dalawang variable

1. Hayaang ang function ay patuloy na naiba-iba sa ilang kapitbahayan ng punto at magkaroon ng tuluy-tuloy na second-order na bahagyang derivatives (puro at halo-halong).

2. Ipahiwatig sa pamamagitan ng pangalawang pagkakasunud-sunod na determinant

extremum variable lecture function

Teorama

Kung ang puntong may mga coordinate ay isang nakatigil na punto para sa function, kung gayon:

A) Kapag ito ay isang punto ng local extremum at, sa isang lokal na maximum, - isang lokal na minimum;

C) kapag ang punto ay hindi isang lokal na extremum point;

C) kung, marahil pareho.

Patunay

Sinusulat namin ang Taylor formula para sa function, nililimitahan ang aming sarili sa dalawang miyembro:

Dahil, ayon sa kondisyon ng teorama, ang punto ay nakatigil, ang pangalawang-order na bahagyang derivatives ay katumbas ng zero, i.e. at. Pagkatapos

Magpakilala

Pagkatapos ang pagdaragdag ng function ay kukuha ng form:

Dahil sa pagpapatuloy ng mga partial derivatives ng pangalawang order (dalisay at halo-halong), ayon sa kondisyon ng theorem sa isang punto, maaari nating isulat:

Saan o; ,

1. Hayaan at, ibig sabihin,, o.

2. Pina-multiply namin ang increment ng function at hinahati sa, nakukuha namin ang:

3. Kumpletuhin ang expression sa mga kulot na bracket sa buong parisukat ng kabuuan:

4. Ang expression sa mga kulot na bracket ay hindi negatibo, dahil

5. Samakatuwid, kung at kaya, at, pagkatapos at, samakatuwid, ayon sa kahulugan, ang punto ay isang punto ng lokal na minimum.

6. Kung at nangangahulugan, at, pagkatapos, ayon sa kahulugan, ang isang puntong may mga coordinate ay isang lokal na pinakamataas na punto.

2. Isaalang-alang ang isang parisukat na trinomial, ang discriminant nito, .

3. Kung, at pagkatapos ay may mga punto tulad na ang polynomial

4. Ang kabuuang pagtaas ng function sa isang punto alinsunod sa expression na nakuha sa I, isinusulat namin sa form:

5. Dahil sa pagpapatuloy ng second-order partial derivatives, ayon sa kondisyon ng theorem sa isang punto, maaari nating isulat na

samakatuwid, mayroong isang kapitbahayan ng isang punto na, para sa anumang punto, ang square trinomial ay mas malaki sa zero:

6. Isaalang-alang - ang kapitbahayan ng punto.

Pumili tayo ng anumang halaga, kaya iyon ang punto. Ipagpalagay na sa formula para sa pagtaas ng function

Ano ang nakukuha namin:

7. Mula noon.

8. Nangangatuwiran din para sa ugat, nakuha natin na sa anumang -kapitbahayan ng punto ay may isang punto kung saan, samakatuwid, sa kapitbahayan ng punto ay hindi nito pinapanatili ang tanda, samakatuwid ay walang extremum sa punto.

Conditional extremum ng isang function ng dalawang variable

Kapag naghahanap ng extrema ng isang function ng dalawang variable, madalas na lumitaw ang mga problema na may kaugnayan sa tinatawag na conditional extremum. Ang konseptong ito ay maaaring ipaliwanag sa pamamagitan ng halimbawa ng isang function ng dalawang variable.

Hayaang maibigay ang isang function at isang linya L sa eroplanong 0xy. Ang gawain ay upang mahanap ang isang puntong P (x, y) sa linya L, kung saan ang halaga ng function ay ang pinakamalaki o pinakamaliit kumpara sa mga halaga ng function na ito sa mga punto ng linya L, na matatagpuan malapit sa ang puntong P. Ang nasabing mga puntong P ay tinatawag na conditional extremum point function sa linya L. Sa kaibahan sa karaniwang extremum point, ang halaga ng function sa conditional extremum point ay inihambing sa mga halaga ng function na hindi sa lahat ng mga punto ng ilang kapitbahayan nito, ngunit sa mga nasa linyang L lamang.

Malinaw na ang punto ng karaniwang extremum (sinasabi rin nila ang unconditional extremum) ay ang punto rin ng conditional extremum para sa anumang linyang dumadaan sa puntong ito. Ang kabaligtaran, siyempre, ay hindi totoo: ang conditional extremum point ay maaaring hindi isang conventional extremum point. Ilarawan natin kung ano ang sinabi sa isang halimbawa.

Halimbawa #1. Ang graph ng function ay ang upper hemisphere (Larawan 2).

kanin. 2.

Ang function na ito ay may maximum sa pinanggalingan; ito ay tumutugma sa vertex M ng hemisphere. Kung ang linya L ay isang tuwid na linya na dumadaan sa mga punto A at B (ang equation nito), kung gayon ito ay geometrically malinaw na para sa mga punto ng linyang ito ang pinakamataas na halaga ng function ay naabot sa puntong nakahiga sa gitna sa pagitan ng mga punto A at B. Ito ang conditional extremum (maximum) point function sa linyang ito; tumutugma ito sa puntong M 1 sa hemisphere, at makikita mula sa pigura na maaaring walang tanong sa anumang ordinaryong extremum dito.

Tandaan na sa huling bahagi ng problema sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang saradong rehiyon, kailangang hanapin ng isa ang mga extremal na halaga ng function sa hangganan ng rehiyong ito, i.e. sa ilang linya, at sa gayon ay malulutas ang problema para sa isang conditional extremum.

Kahulugan 1. Sinasabi nila na kung saan mayroong isang kondisyon o kamag-anak na maximum (minimum) sa isang punto na nakakatugon sa equation: kung para sa alinman na nakakatugon sa equation, ang hindi pagkakapantay-pantay

Kahulugan 2. Ang isang equation ng form ay tinatawag na constraint equation.

Teorama

Kung ang mga function at patuloy na naiba-iba sa isang kapitbahayan ng isang punto, at ang partial derivative at ang punto ay ang punto ng conditional extremum ng function na may paggalang sa constraint equation, kung gayon ang second-order determinant ay katumbas ng zero:

Patunay

1. Dahil, ayon sa kondisyon ng theorem, ang partial derivative, at ang halaga ng function, pagkatapos ay sa ilang parihaba

implicit function na tinukoy

Ang isang kumplikadong function ng dalawang variable sa isang punto ay magkakaroon ng lokal na extremum, samakatuwid, o.

2. Sa katunayan, ayon sa invariance property ng first-order differential formula

3. Ang koneksyon equation ay maaaring katawanin sa form na ito, na nangangahulugan

4. I-multiply ang equation (2) sa, at (3) sa at idagdag ang mga ito

Samakatuwid, sa

arbitraryo. h.t.d.

Bunga

Ang paghahanap para sa mga conditional extremum point ng isang function ng dalawang variable sa pagsasanay ay isinasagawa sa pamamagitan ng paglutas ng isang sistema ng mga equation

Kaya, sa halimbawa sa itaas No. 1 mula sa equation ng komunikasyon na mayroon tayo. Mula dito, madaling suriin kung ano ang umaabot sa maximum sa . Ngunit pagkatapos ay mula sa equation ng komunikasyon. Nakukuha namin ang puntong P, na matatagpuan sa geometriko.

Halimbawa #2. Hanapin ang mga conditional extremum point ng function na may paggalang sa constraint equation.

Hanapin natin ang mga partial derivatives ng ibinigay na function at ang connection equation:

Gumawa tayo ng second-order determinant:

Isulat natin ang sistema ng mga equation para sa paghahanap ng mga conditional extremum point:

kaya, mayroong apat na conditional extremum point ng function na may mga coordinate: .

Halimbawa #3. Hanapin ang extremum point ng function.

Equating ang bahagyang derivatives sa zero: , nakita namin ang isang nakatigil na punto - ang pinagmulan. Dito,. Samakatuwid, ang punto (0, 0) ay hindi rin isang extremum point. Ang equation ay ang equation ng isang hyperbolic paraboloid (Fig. 3), ipinapakita ng figure na ang point (0, 0) ay hindi isang extremum point.

kanin. 3.

Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang saradong lugar

1. Hayaang tukuyin at tuloy-tuloy ang function sa isang bounded closed domain D.

2. Hayaang magkaroon ang function na may finite partial derivatives sa rehiyong ito, maliban sa mga indibidwal na punto ng rehiyon.

3. Alinsunod sa Weierstrass theorem, sa lugar na ito mayroong isang punto kung saan ang function ay tumatagal ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.

4. Kung ang mga puntong ito ay panloob na mga punto ng rehiyon D, kung gayon ay malinaw na magkakaroon sila ng maximum o minimum.

5. Sa kasong ito, ang mga punto ng interes sa amin ay kabilang sa mga kahina-hinalang punto sa extremum.

6. Gayunpaman, ang function ay maaari ding tumagal sa maximum o minimum na halaga sa hangganan ng rehiyon D.

7. Upang mahanap ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng function sa lugar D, kailangan mong hanapin ang lahat ng mga panloob na puntos na kahina-hinala para sa isang extremum, kalkulahin ang halaga ng function sa kanila, pagkatapos ay ihambing sa halaga ng function sa ang mga hangganan ng lugar, at ang pinakamalaki sa lahat ng nahanap na halaga ay magiging pinakamalaki sa saradong rehiyon D.

8. Ang paraan ng paghahanap ng lokal na maximum o minimum ay isinasaalang-alang nang mas maaga sa Seksyon 1.2. at 1.3.

9. Nananatili itong isaalang-alang ang paraan ng paghahanap ng maximum at minimum na halaga ng function sa hangganan ng rehiyon.

10. Sa kaso ng isang function ng dalawang variable, ang lugar ay karaniwang lumalabas na bounded ng isang curve o ilang mga curves.

11. Kasama ang naturang curve (o ilang curve), ang mga variable at alinman ay nakasalalay sa isa't isa, o pareho ay nakadepende sa isang parameter.

12. Kaya, sa hangganan, ang function ay lumalabas na umaasa sa isang variable.

13. Ang paraan ng paghahanap ng pinakamalaking halaga ng isang function ng isang variable ay tinalakay kanina.

14. Hayaang ibigay ang hangganan ng rehiyon D ng mga parametric equation:

Pagkatapos sa curve na ito ang function ng dalawang variable ay magiging isang kumplikadong function ng parameter: . Para sa gayong function, ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ay tinutukoy ng paraan ng pagtukoy ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga para sa isang function ng isang variable.

Hayaang tukuyin ang function na z - f(x, y) sa ilang domain D at hayaan ang Mo(xo, y0) na maging interior point ng domain na ito. Kahulugan. Kung mayroong isang bilang na para sa lahat ng nagbibigay-kasiyahan sa mga kundisyon ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, kung gayon ang puntong Mo(xo, yo) ay tinatawag na punto ng lokal na maximum ng function na f(x, y); kung, gayunpaman, para sa lahat ng Dx, Du ay natutugunan ang mga kondisyon | kung gayon ang puntong Mo(x0, y0) ay tinatawag na fine local minimum. Sa madaling salita, ang puntong M0(x0, y0) ay ang punto ng maximum o minimum ng function na f(x, y) kung mayroong 6 na kapitbahayan ng puntong A/o(xo, y0) na sa lahat puntos M(x, y) ng kapitbahayan na ito, ang pagtaas ng function ay nagpapanatili ng tanda. Mga halimbawa. 1. Para sa isang function, ang isang punto ay isang minimum na punto (Larawan 17). 2. Para sa function, ang punto 0(0,0) ay ang pinakamataas na punto (Fig. 18). 3. Para sa function, ang puntong 0(0,0) ay ang lokal na pinakamataas na punto. 4 Sa katunayan, mayroong isang kapitbahayan ng puntong 0(0, 0), halimbawa, isang bilog ng radius j (tingnan ang Fig. 19), sa anumang punto kung saan, naiiba sa puntong 0(0, 0), ang halaga ng function f(x, y) mas mababa sa 1 = Isasaalang-alang lamang namin ang mga punto ng mahigpit na maximum at minimum ng mga function kapag ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay o mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak para sa lahat ng mga puntos M(x) y) mula sa ilang nabutas na 6-kapitbahayan ng ang punto Mq. Ang halaga ng function sa pinakamataas na punto ay tinatawag na maximum, at ang halaga ng function sa pinakamababang punto ay tinatawag na minimum ng function na ito. Ang pinakamataas at pinakamababang punto ng isang function ay tinatawag na extremum point ng function, at ang maxima at minima ng function mismo ay tinatawag na extrema nito. Theorem 11 (kinakailangang kondisyon para sa isang extremum). Kung function Extremum ng isang function ng ilang mga variable Ang konsepto ng isang extremum ng isang function ng ilang mga variable. Kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa isang extremum Conditional extremum Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na mga function ay may isang extremum sa punto at sa puntong ito ang bawat bahagyang derivative at u ay maglalaho o wala. Hayaang ang function na z = f(x) y) ay may extremum sa puntong M0(x0, y0). Bigyan natin ang variable y ang halaga yo. Pagkatapos ang function na z = /(x, y) ay magiging function ng isang variable x\ Dahil sa x = xo ito ay may extremum (maximum o minimum, Fig. 20), kung gayon ang derivative nito na may kinalaman sa x = "o, | (*o,l>)" Ay katumbas ng zero, o wala. Katulad nito, bini-verify namin iyon) o katumbas ng zero, o wala. Ang mga punto kung saan = 0 at u = 0 o wala ay tinatawag kritikal na punto ng function z = Dx, y). Ang mga punto kung saan $£ = u = 0 ay tinatawag ding mga nakatigil na punto ng function. Ang Theorem 11 ay nagpapahayag lamang ng mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum, na hindi sapat. 18 Fig.20 immt derivatives na naglalaho sa. Ngunit ang function na ito ay medyo manipis sa imvat "straumum. Sa katunayan, ang function ay katumbas ng zero sa puntong 0(0, 0) at tumatagal sa mga puntos na M(x, y), kasing lapit sa puntong 0(0, 0) hangga't gusto mo, kkk positibo at negatibong mga halaga. Para dito, kaya sa mga punto sa mga punto (0, y) para sa mga di-makatwirang maliliit na punto, ang puntong 0(0, 0) ng ganitong uri ay tinatawag na mini-max na punto (Fig. 21). Ang mga sapat na kondisyon para sa isang extremum ng isang function ng dalawang variable ay ipinahayag ng sumusunod na theorem. Theorem 12 (sapat na mga kondisyon para sa isang labis na malabo na mga variable). Hayaang ang puntong Mo(xo, y0) ay isang nakatigil na punto ng function na f(x, y), at sa ilang kapitbahayan ng punto / kasama ang mismong puntong Mo, ang function na f(r, y) ay may tuluy-tuloy na partial derivatives pataas sa pangalawang order kasama. Pagkatapos "1) sa puntong Mq(xq, V0) ang function na f(x, y) ay may maximum kung ang determinant ay nasa puntong ito 2) sa puntong Mo(x0, V0) ang function na f(x, y) ay may pinakamababa kung sa puntong Mo(xo, yo) ang function na f(x, y) ay walang extremum kung D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> Wo) ang extremum ng function na f(x, y) ay maaaring o hindi. Sa kasong ito, kinakailangan ang karagdagang pananaliksik. Kinulong namin ang aming sarili sa pagpapatunay ng mga assertion 1) at 2) ng theorem. Isulat natin ang Taylor formula ng pangalawang order para sa function /(i, y): kung saan. Sa pamamagitan ng pagpapalagay, kung saan malinaw na ang tanda ng pagtaas ng D/ ay tinutukoy ng tanda ng trinomial sa kanang bahagi ng (1), ibig sabihin, ang tanda ng pangalawang kaugalian d2f. Ipahiwatig natin para sa kaiklian. Pagkatapos ang pagkakapantay-pantay (l) ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: Hayaan sa puntong MQ(so, y0) mayroon tayong kapitbahayan ng puntong M0(s0,yo). Kung ang kundisyon (sa puntong A/0) ay nasiyahan, at, dahil sa pagpapatuloy, ang derivative /,z(s, y) ay mananatili sa sign nito sa ilang kapitbahayan ng puntong Af0. Sa rehiyon kung saan ang A ∆ 0, mayroon tayong 0 sa ilang kapitbahayan ng puntong M0(x0) y0), pagkatapos ay ang tanda ng trinomial na AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 ay tumutugma sa tanda A sa puntong C ay hindi maaaring magkaroon ng magkakaibang mga palatandaan). Dahil tinutukoy ng tanda ng kabuuan AAs2 + 2BAxAy + CAy2 sa punto (s0 + $ Ax, yo + 0 Du) ang tanda ng pagkakaiba, dumating tayo sa sumusunod na konklusyon: kung ang function na f(s, y) sa ang nakatigil na punto (s0, yo) ay nakakatugon sa kundisyon, pagkatapos ay para sa sapat na maliit || mananatili ang hindi pagkakapantay-pantay. Kaya, sa punto (sq, y0) ang function /(s, y) ay may maximum. Ngunit kung ang kondisyon ay nasiyahan sa nakatigil na punto (s0, yo), pagkatapos ay para sa lahat ng sapat na maliit |Ar| at |Gawin| ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, na nangangahulugan na ang function /(s, y) ay may pinakamababa sa punto (so, yo). Mga halimbawa. 1. Siyasatin ang function 4 para sa isang extremum Gamit ang mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum, hinahanap namin ang mga nakatigil na punto ng function. Upang gawin ito, hinahanap namin ang mga partial derivatives, u at itinutumbas ang mga ito sa zero. Nakukuha namin ang isang sistema ng mga equation mula sa kung saan - isang nakatigil na punto. Gamitin natin ngayon ang Theorem 12. Mayroon tayong Kaya, mayroong isang extremum sa puntong Ml. Dahil ito ang pinakamababa. Kung ibahin natin ang function na g sa anyo, madaling makita na ang kanang bahagi (")" ay magiging minimal kapag ang absolute minimum ng function na ito. 2. Siyasatin ang function para sa isang extremum.Nahanap namin ang mga nakatigil na punto ng function, kung saan binubuo namin ang isang sistema ng mga equation Mula dito upang ang punto ay nakatigil. Dahil, sa bisa ng Theorem 12, walang extremum sa puntong M. * 3. Siyasatin ang function para sa isang extremum Hanapin ang mga nakatigil na punto ng function. Mula sa sistema ng mga equation ay nakuha natin iyon, upang ang punto ay nakatigil. Dagdag pa, mayroon tayo upang ang Theorem 12 ay hindi magbigay ng sagot sa tanong ng pagkakaroon o kawalan ng isang extremum. Gawin natin ito sa ganitong paraan. Para sa isang function tungkol sa lahat ng mga punto maliban sa isang punto upang, sa pamamagitan ng kahulugan, sa puntong A/o(0,0) ang function r ay may ganap na minimum. Sa pamamagitan ng analogous drying, itinatatag namin na ang function ay may maximum sa punto, ngunit ang function ay walang extremum sa punto. Hayaang maging differentiable ang isang function ng η independent variable sa isang punto. Ang puntong Mo ay tinatawag na stationary point ng function kung. Theorem 13 (sapat na kundisyon para sa isang extremum). Hayaang tukuyin ang function at magkaroon ng tuluy-tuloy na partial derivatives ng pangalawang order sa ilang kapitbahayan ng fine line Mc(xi..., na isang nakatigil na fine function, kung ang quadratic form (ang pangalawang differential ng function f sa fine point ay positive-definite (negative-definite), point of minimum (respectively, fine maximum) ng function f ay fine Kung ang quadratic form (4) ay sign-alternating, kung gayon walang extremum sa fine LG0. 15.2 Conditional extremum Sa ngayon, nag-aalala kami sa paghahanap ng lokal na extrema ng isang function sa buong domain ng kahulugan nito, kapag ang mga argumento ng function ay hindi nakatali sa anumang karagdagang kundisyon. Hayaang tukuyin ang function na z \u003d / (x, y) sa rehiyon D. Ipagpalagay natin na ang curve L ay ibinibigay sa rehiyong ito, at kinakailangang hanapin ang extrema ng function na f (x> y) lamang kabilang sa mga halaga nito na tumutugma sa mga punto ng curve L. Ang parehong extrema ay tinatawag na conditional extrema ng function na z = f(x) y) sa curve L. Depinisyon Sinasabi na sa isang punto na nakahiga sa curve L, ang function na f(x, y) ay may conditional maximum (minimum) kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan, ayon sa pagkakabanggit, sa lahat ng mga point M (s, y) curve L na kabilang sa ilang kapitbahayan ng point M0(x0, Yo) at iba sa puntong M0 (Kung ang kurba L ay ibinibigay ng isang equation, ang problema sa paghahanap ng conditional extremum ng function r - f(x, y) sa curve! ay maaaring bumalangkas tulad ng sumusunod: hanapin ang extrema ng function na x = /(z, y) sa rehiyon D, sa kondisyon na Kaya, kapag hinahanap ang conditional extrema ng function z = y), ang mga argumentong zn ay hindi na maisasaalang-alang. bilang mga independiyenteng variable: ang mga ito ay magkakaugnay ng kaugnayan y ) = 0, na tinatawag na constraint equation. Upang linawin ang pagkakaiba sa pagitan ng m «* D y bilang unconditional at conditional extremum, tingnan natin ang isa pang halimbawa, ang unconditional maximum ng function (Fig. 23) ay katumbas ng isa at naabot sa puntong (0,0). Ito ay tumutugma sa eksaktong M - ang vertex ng pvvboloid. Idagdag natin ang constraint equation na y = j. Kung gayon ang maximum na kondisyon ay malinaw na magiging pantay. Naabot ito sa punto (o, |), at tumutugma ito sa vertex Afj ng pvvboloid, na siyang linya ng intersection ng pvvboloid na may eroplanong y = j. Sa kaso ng unconditional minimum s, mayroon kaming pinakamaliit na applicate sa lahat ng explicts ng surface * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv conditional - tanging sa mga vllkvt point pvrboloidv, na tumutugma sa isang punto * ng tuwid na linya y = j hindi ng xOy plane. Ang isa sa mga pamamaraan para sa paghahanap ng conditional extremum ng isang function sa presensya at koneksyon ay ang mga sumusunod. Hayaang tukuyin ng connection equation na y)-0 ang y bilang isang single-valued differentiable function ng argument x: Ang pagpapalit ng function sa halip na y sa function, makakakuha tayo ng function ng isang argument kung saan isinaalang-alang na ang kundisyon ng koneksyon. . Ang (unconditional) extremum ng function ay ang gustong conditional extremum. Halimbawa. Hanapin ang extremum ng isang function sa ilalim ng kundisyon Extremum ng isang function ng ilang mga variable Ang konsepto ng isang extremum ng isang function ng ilang mga variable. Kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa extremum Conditional extremum Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na mga function A \u003d 1 - kritikal na punto;, upang maghatid ng isang kondisyon na minimum ng function r (Larawan 24). Ipahiwatig natin ang isa pang paraan upang malutas ang problema ng conditional extremum, na tinatawag na Lagrange multiplier method. Hayaang magkaroon ng punto ng conditional extremum ng function sa pagkakaroon ng isang koneksyon. Ipagpalagay natin na ang equation ng koneksyon ay tumutukoy sa isang natatanging patuloy na naiba-iba na function sa ilang kapitbahayan ng punto xi. Ipagpalagay na nakuha natin na ang derivative na may kinalaman sa x ng function /(r, ip(x)) sa puntong xq ay dapat na katumbas ng zero o, na katumbas nito, ang differential ng f (x, y ) sa puntong Mo "O) Mula sa equation ng koneksyon mayroon tayong (5) Pagkatapos, dahil sa arbitrariness ng dx, nakakakuha tayo ng Equalities (6) at (7) na nagpapahayag ng mga kinakailangang kondisyon para sa isang unconditional extremum sa isang punto ng isang function na tinatawag na Lagrange function. Kaya, ang punto ng conditional extremum ng function / (x, y), kung, ay kinakailangang isang nakatigil na punto ng Lagrange function kung saan ang A ay ilang numerical coefficient. Mula rito ay nakakuha tayo ng panuntunan para sa paghahanap ng conditional extrema: upang makahanap ng mga puntos na maaaring maging mga punto ng absolute extremum ng isang function sa pagkakaroon ng koneksyon, 1) binubuo natin ang Lagrange function, 2) equating ang derivatives at W ng function na ito. sa zero at pagdaragdag ng equation ng koneksyon sa mga nagresultang equation, nakakakuha kami ng isang sistema ng tatlong mga equation kung saan nahanap namin ang mga halaga ng A at ang mga coordinate x, y ng mga posibleng extremum point. Ang tanong ng pagkakaroon at likas na katangian ng conditional extremum ay nalutas sa batayan ng pag-aaral ng tanda ng pangalawang kaugalian ng Lagrange function para sa itinuturing na sistema ng mga halaga x0, Yo, A, nakuha mula sa (8) sa ilalim ng kondisyon na Kung, pagkatapos ay sa punto (x0, Yo) ang function na f(x, y ) ay may conditional maximum; kung d2F > 0 - kung gayon ang minimum na kondisyon. Sa partikular, kung sa isang nakatigil na punto (xo, J/o) ang determinant D para sa function na F(x, y) ay positibo, pagkatapos ay sa punto (®o, V0) mayroong isang conditional maximum ng function /( x, y) kung, at kondisyon na minimum ng function /(x, y), kung Halimbawa. Balikan natin muli ang mga kundisyon ng nakaraang halimbawa: hanapin ang extremum ng function na ibinigay na x + y = 1. Lutasin natin ang problema gamit ang Lagrange multiplier method. Ang Lagrange function sa kasong ito ay may anyo Upang makahanap ng mga nakatigil na puntos, bumubuo kami ng isang sistema Mula sa unang dalawang equation ng system, nakuha namin na x = y. Pagkatapos mula sa ikatlong equation ng system (coupling equation) nakita namin na x - y = j - ang mga coordinate ng punto ng isang posibleng extremum. Sa kasong ito (ipinapahiwatig na ang A \u003d -1. Kaya, ang Lagrange function. ay isang kondisyon na minimum na punto ng function * \u003d x2 + y2 sa ilalim ng kondisyon na walang unconditional extremum para sa Lagrangian function. P ( x, y) ay hindi pa nangangahulugan ng kawalan ng conditional extremum para sa function /(x, y) sa pagkakaroon ng koneksyon Halimbawa: Hanapin ang extremum ng function sa ilalim ng kundisyong y 4 Binubuo namin ang Lagrange function at isinusulat isang sistema para sa pagtukoy ng A at ang mga coordinate ng posibleng extremum point: Mula sa unang dalawang equation ay nakukuha natin ang x + y = 0 at dumating sa system na y = A = 0. Kaya, ang kaukulang Lagrange function ay may anyo Sa punto (0). , 0), ang function na F(x, y; 0) ay walang unconditional extremum, ngunit ang conditional extremum ng function r = xy. Kapag y = x, mayroong "Sa katunayan, sa kasong ito r = x2. Mula sa dito ay malinaw na sa punto (0,0) mayroong isang kondisyon na minimum. "Ang paraan ng Lagrange multiplier ay inililipat sa kaso ng mga pag-andar ng anumang bilang ng mga argumento / Hayaan ang sukdulan ng pag-andar ay hinahangad sa pagkakaroon ng ang mga koneksyon equation Sostaalyaem ang Lagrange function kung saan A|, Az,..., A„, - hindi ilang pare-parehong mga kadahilanan. Ang equating sa zero ang lahat ng partial derivatives ng unang pagkakasunud-sunod ng function F at idinagdag sa nakuha na mga equation ang mga connection equation (9), nakakakuha tayo ng isang sistema ng n + m equation, kung saan natin tinutukoy ang Ab A3|..., Am at ang mga coordinate x\) x2) . » xn posibleng mga punto ng conditional extremum. Ang tanong kung ang mga puntos na natagpuan ng pamamaraang Lagrange ay talagang mga kondisyon na extremum na mga punto ay kadalasang malulutas sa batayan ng mga pagsasaalang-alang ng pisikal o geometriko na kalikasan. 15.3. Pinakamataas at pinakamababang halaga ng mga tuluy-tuloy na pag-andar Hayaang kailanganin na hanapin ang maximum (pinakamaliit) na halaga ng isang function z = /(x, y) tuloy-tuloy sa ilang pinalawak na bounded na domain D. Sa pamamagitan ng Theorem 3, sa rehiyong ito mayroong isang punto (xo, V0) kung saan ang function ay tumatagal ng pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga. Kung ang punto (xo, y0) ay nasa loob ng domain D, kung gayon ang function / ay mayroong maximum (minimum) dito, upang sa kasong ito ang punto ng interes sa amin ay nakapaloob sa mga kritikal na punto ng function /(x , y). Gayunpaman, ang function na /(x, y) ay maaari ding maabot ang maximum (pinakamaliit) na halaga nito sa hangganan ng rehiyon. Samakatuwid, upang mahanap ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga na kinuha ng function na z = /(x, y) sa isang bounded closed area 2), ito ay kinakailangan upang mahanap ang lahat ng maxima (minimums) ng function na nakamit sa loob ng lugar na ito. , pati na rin ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng function sa hangganan ng lugar na ito. Ang pinakamalaki (pinakamaliit) sa lahat ng mga numerong ito ay ang nais na maximum (pinakamaliit) na halaga ng function na z = /(x, y) sa rehiyon 27. Ipakita natin kung paano ito ginagawa sa kaso ng isang differentiable function. Prmmr. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function ng area 4. Nahanap namin ang mga kritikal na punto ng function sa loob ng area D. Upang gawin ito, bumuo kami ng isang sistema ng mga equation. Mula dito makakakuha kami ng x \u003d y \u003e 0 , upang ang puntong 0 (0,0) ay ang kritikal na punto ng function na x. Dahil Hanapin natin ngayon ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa hangganan Г ng rehiyon D. Sa bahagi ng hangganan na mayroon tayo upang ang y \u003d 0 ay isang kritikal na punto, at dahil \u003d pagkatapos dito ituro ang function na z \u003d 1 + y2 ay may pinakamababang katumbas ng isa. Sa mga dulo ng segment G", sa mga punto (, mayroon kami. Gamit ang mga pagsasaalang-alang sa symmetry, nakuha namin ang parehong mga resulta para sa iba pang mga bahagi ng hangganan. Sa wakas, nakuha namin: ang pinakamaliit na halaga ng function na z \u003d x2 + y2 sa ang rehiyon na "B" ay katumbas ng zero at naabot ito sa panloob na punto 0( 0, 0) na lugar, at ang pinakamataas na halaga ng function na ito, katumbas ng dalawa, ay naabot sa apat na punto ng hangganan (Fig.25) Fig.25 Exercises functions: Hanapin ang partial derivatives ng functions at ang kabuuang differentials nito: Find the derivatives of complex functions: 3 Find J. Extremum of a function of several variables Concept of an extremum of a function of several variables Kailangan at sapat na kondisyon para sa an extremum Conditional extremum Ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng tuluy-tuloy na function 34. Gamit ang formula para sa derivative ng complex function dalawang variables, find at functions: 35. Gamit ang formula para sa derivative ng complex function sa dalawang variable, hanapin |J at mga function: Hanapin ang jj implicit function: 40. Hanapin ang slope ng tangent curve sa punto ng intersection na may tuwid na linya x = 3. 41. Hanapin ang mga punto kung saan ang tangent ng x-curve ay parallel sa x-axis. . Sa mga sumusunod na gawain, hanapin at Z: Isulat ang mga equation ng tangent plane at ang normal ng surface: 49. Isulat ang mga equation ng tangent plane ng surface x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21, parallel sa plane x + 4y + 6z \u003d 0. Hanapin ang unang tatlo hanggang apat na termino ng pagpapalawak gamit ang Taylor formula : 50. y sa isang kapitbahayan ng punto (0, 0). Gamit ang kahulugan ng extremum ng isang function, siyasatin ang mga sumusunod na function para sa isang extremum:). Gamit ang sapat na mga kondisyon para sa extremum ng isang function ng dalawang variable, siyasatin ang extremum ng function: 84. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function z \u003d x2 - y2 sa isang closed circle 85. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit mga halaga ng function * \u003d x2y (4-x-y) sa isang tatsulok na napapalibutan ng mga linya x \u003d 0, y = 0, x + y = b. 88. Tukuyin ang mga sukat ng isang hugis-parihaba na bukas na pool na may pinakamaliit na ibabaw, sa kondisyon na ang volume nito ay katumbas ng V. 87. Hanapin ang mga sukat ng isang parihabang parallelepiped na may ibinigay na kabuuang ibabaw na 5 maximum na volume. Mga sagot 1. at | Isang parisukat na nabuo ng mga segment ng linya x kasama ang mga gilid nito. 3. Pamilya ng concentric rings 2= 0,1,2,... .4. Ang buong eroplano maliban sa mga punto ng mga tuwid na linya y. Ang bahagi ng eroplano na matatagpuan sa itaas ng parabola y \u003d -x?. 8. Bilugan ang mga puntos x. Ang buong eroplano maliban sa mga tuwid na linya x Ang radikal na expression ay hindi negatibo sa dalawang kaso j * ^ o j x ^ ^ na katumbas ng isang walang katapusang serye ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ayon sa pagkakabanggit. Ang domain ng kahulugan ay may kulay na mga parisukat (Fig. 26) ; l na katumbas ng isang walang katapusang serye Ang function ay tinukoy sa mga punto. a) Mga linyang parallel sa linya x b) Mga concentric na bilog na nakasentro sa pinanggalingan. 10. a) parabolas y) parabolas y a) parabolas b) hyperbolas | .Eroplano xc. 13.Prim - isang-cavity hyperboloids ng rebolusyon sa paligid ng Oz axis; para sa at mga dalawang-sheet na hyperboloids ng rebolusyon sa paligid ng Oz axis, ang parehong pamilya ng mga ibabaw ay pinaghihiwalay ng isang kono; Walang limitasyon, b) 0. 18. Hayaan ang y = kxt pagkatapos ay z lim z = -2, upang ang ibinigay na function sa punto (0,0) ay walang limitasyon. 19. a) Punto (0.0); b) punto (0,0). 20. a) Break line - bilog x2 + y2 = 1; b) ang break line ay isang tuwid na linya y \u003d x. 21. a) Break lines - coordinate axes Ox at Oy; b) 0 (empty set). 22. Lahat ng mga puntos (m, n), kung saan at n ay mga integer

KONDISYONAL NA SOBRA

Ang minimum o maximum na halaga na nakamit ng isang naibigay na function (o functional) sa kondisyon na ang ilang iba pang mga function (functional) ay kumukuha ng mga halaga mula sa isang ibinigay na admissible set. Kung walang mga kundisyon na naglilimita sa mga pagbabago sa mga independiyenteng mga variable (function) sa ipinahiwatig na kahulugan, kung gayon ang isa ay nagsasalita ng isang walang kondisyon na extremum.
Klasiko gawain para kay W. e. ay ang problema ng pagtukoy ng minimum ng isang function ng ilang mga variable

Sa kondisyon na ang ilang iba pang mga function ay kumukuha ng mga ibinigay na halaga:

Sa problemang ito G, kung saan ang mga halaga ng function ng vector g=(g 1, ...,g m), kasama sa mga karagdagang kundisyon (2) ay isang nakapirming punto c=(c 1, ..., na may t) sa m-dimensional na Euclidean space
Kung sa (2) kasama ang equal sign, pinapayagan ang inequality sign

Ito ay humahantong sa problema non-linear programming(labing tatlo). Sa problema (1), (3), ang set G ng mga tinatanggap na halaga ng vector function g ay isang tiyak na curvilinear , na kabilang sa (n-m 1)-dimensional na hypersurface na tinukoy ng m 1 , m 1 mga kondisyon ng uri ng pagkakapantay-pantay (3). Ang mga hangganan ng tinukoy na curvilinear polyhedron ay itinayo na isinasaalang-alang p-m 1 hindi pagkakapantay-pantay na kasama sa (3).
Isang espesyal na kaso ng problema (1), (3) sa isang U.v. ay ang gawain linear programming, kung saan ang lahat ng itinuturing na function f at gi ay linear sa x l , ... , x p. Sa isang linear programming problem, ang set G ng mga posibleng halaga ng isang vector function g, kasama sa mga kundisyong naglilimita sa hanay ng mga variable x 1 , .....x n , ay , na kabilang sa (n-t 1)-dimensional na hyperplane na tinukoy ng m 1 equality-type na kondisyon sa (3).
Katulad nito, karamihan sa mga problema sa pag-optimize para sa mga functional na kumakatawan sa praktikal interes, ay nabawasan sa mga gawain sa U. e. (cm. Isoperimetric problem, Ring problem, Lagrange problem, Manner problem). Parang sa math lang. programming, ang mga pangunahing problema ng calculus of variations at theory of optimal control ay mga problema sa convex e.
Kapag nilulutas ang mga problema sa U. e., lalo na kapag isinasaalang-alang ang teoretikal. mga tanong na may kaugnayan sa mga problema sa C. e., lumalabas na lubhang kapaki-pakinabang ang paggamit ng hindi tiyak Mga multiplier ng Lagrangian, na nagpapahintulot na bawasan ang problema sa U. e. sa problema sa unconditional at gawing simple ang mga kinakailangang kondisyon ng optimality. Ang paggamit ng mga multiplier ng Lagrange ay sumasailalim sa karamihan ng mga klasikal pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa U. e.

Lit.: Hadley J., Nonlinear at , trans. mula sa English, M., 1967; Bliss G.A., Lectures on the calculus of variations, trans. mula sa English, M., 1950; Pontryagin L. S. [et al.], Mathematical Optimal Processes, 2nd ed., M., 1969.
I. B. Vapnyarsky.

Mathematical encyclopedia. - M.: Encyclopedia ng Sobyet. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Tingnan kung ano ang "CONDITIONAL EXTREME" sa ibang mga diksyunaryo:

Relative extremum, extremum ng function f (x1,..., xn + m) ng n + m variable, sa pag-aakalang ang mga variable na ito ay napapailalim sa m higit pang coupling equation (kondisyon): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (tingnan ang Extremum).… …

Hayaang mabigyan ng mga function ang isang bukas na set at on. Hayaan. Ang mga equation na ito ay tinatawag na constraint equation (ang terminolohiya ay hiniram mula sa mechanics). Hayaang tukuyin ang isang function sa G ... Wikipedia

- (mula sa Latin na extreme extreme) na halaga ng tuluy-tuloy na function na f (x), na maaaring maximum o minimum. Mas tiyak: ang isang function na f (x) na tuloy-tuloy sa puntong x0 ay may maximum (minimum) sa x0 kung mayroong isang neighborhood (x0 + δ, x0 δ) ng puntong ito, ... ... Great Soviet Encyclopedia

Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Extreme (mga kahulugan). Ang Extremum (Latin extreme extreme) sa matematika ay ang maximum o minimum na halaga ng isang function sa isang naibigay na set. Ang punto kung saan naabot ang extremum ay ... ... Wikipedia

Isang function na ginagamit sa paglutas ng mga problema para sa isang conditional extremum ng mga function ng ilang variable at functional. Sa tulong ni L. f. ang mga kinakailangang kondisyon ng pinakamainam ay isinulat sa mga problema para sa isang conditional extremum. Hindi na kailangang magpahayag lamang ng mga variable... Mathematical Encyclopedia

Isang disiplina sa matematika na nakatuon sa paghahanap ng matinding (maximum at minimum) na mga halaga ng mga pag-andar ng mga variable depende sa pagpili ng isa o higit pang mga function. Sa at. ay isang likas na pag-unlad ng kabanatang iyon…… Great Soviet Encyclopedia

Mga variable, sa tulong ng kung saan ang Lagrange function ay itinayo sa pag-aaral ng mga problema para sa isang conditional extremum. Ang paggamit ng L. m. at ang Lagrange function ay ginagawang posible upang makuha ang mga kinakailangang kondisyon ng optimality sa isang pare-parehong paraan sa mga problema para sa isang conditional extremum ... Mathematical Encyclopedia

Ang calculus of variations ay isang sangay ng functional analysis na nag-aaral sa mga variation ng functionals. Ang pinakakaraniwang gawain ng calculus ng mga pagkakaiba-iba ay ang paghahanap ng isang function kung saan ang isang ibinigay na functional ay umaabot ... ... Wikipedia

Isang seksyon ng matematika na nakatuon sa pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paghahanap ng extrema ng mga functional na nakasalalay sa pagpili ng isa o higit pang mga function sa ilalim ng iba't ibang uri ng mga paghihigpit (phase, differential, integral, atbp.) na ipinataw sa mga ito ... ... Mathematical Encyclopedia

Ang calculus of variations ay isang sangay ng matematika na nag-aaral sa mga variation ng functionals. Ang pinakakaraniwang gawain ng calculus ng mga pagkakaiba-iba ay upang mahanap ang isang function kung saan ang functional ay umabot sa isang matinding halaga. Pamamaraan ... ... Wikipedia

Mga libro

• Mga lektura sa teorya ng kontrol. Volume 2. Optimal Control, V. Boss. Ang mga klasikal na problema ng teorya ng pinakamainam na kontrol ay isinasaalang-alang. Nagsisimula ang pagtatanghal sa mga pangunahing konsepto ng pag-optimize sa mga may hangganang dimensyon na espasyo: conditional at unconditional extremum, ...

Isaalang-alang muna natin ang kaso ng isang function ng dalawang variable. Ang conditional extremum ng function na $z=f(x,y)$ sa puntong $M_0(x_0;y_0)$ ay ang extremum ng function na ito, na naabot sa ilalim ng kondisyon na ang mga variable na $x$ at $y$ sa sa paligid ng puntong ito ay nakakatugon sa constraint equation $\ varphi(x,y)=0$.

Ang pangalang "conditional" extremum ay dahil sa katotohanan na ang karagdagang kundisyon na $\varphi(x,y)=0$ ay ipinapataw sa mga variable. Kung posible na ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa mula sa equation ng koneksyon, kung gayon ang problema sa pagtukoy ng conditional extremum ay nabawasan sa problema ng karaniwang extremum ng isang function ng isang variable. Halimbawa, kung ang $y=\psi(x)$ ay sumusunod mula sa constraint equation, pagkatapos ay papalitan ang $y=\psi(x)$ sa $z=f(x,y)$, makakakuha tayo ng function ng isang variable $ z=f\kaliwa (x,\psi(x)\kanan)$. Sa pangkalahatang kaso, gayunpaman, ang pamamaraang ito ay hindi gaanong ginagamit, kaya kinakailangan ang isang bagong algorithm.

Paraan ng Lagrange multiplier para sa mga function ng dalawang variable.

Ang paraan ng mga multiplier ng Lagrange ay upang mahanap ang conditional extremum, ang Lagrange function ay binubuo: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (ang parameter na $\lambda $ ay tinatawag na Lagrange multiplier ). Ang mga kinakailangang extremum na kondisyon ay ibinibigay ng isang sistema ng mga equation kung saan ang mga nakatigil na puntos ay tinutukoy:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(aligned)\right.$$

Ang sign na $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Kung sa isang nakatigil na punto $d^2F > 0$, ang function na $z=f(x,y)$ ay may conditional na minimum sa puntong ito, ngunit kung $d^2F< 0$, то условный максимум.

May isa pang paraan upang matukoy ang likas na katangian ng extremum. Mula sa constraint equation nakukuha natin: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, kaya sa anumang nakatigil na punto mayroon tayo:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "") dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\kanan)$$

Ang pangalawang kadahilanan (na matatagpuan sa mga bracket) ay maaaring katawanin sa form na ito:

Mga elemento ng $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array) \right|$ na siyang Hessian ng Lagrange function. Kung $H > 0$ pagkatapos ay $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, ibig sabihin. mayroon kaming conditional na minimum ng function na $z=f(x,y)$.

Tandaan sa anyo ng $H$ determinant. Ipakita itago

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

Sa sitwasyong ito, ang panuntunang binalangkas sa itaas ay nagbabago tulad ng sumusunod: kung $H > 0$, ang function ay may kondisyon na minimum, at para sa $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algorithm para sa pag-aaral ng function ng dalawang variable para sa conditional extremum

1. Buuin ang Lagrange function na $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Lutasin ang system $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
3. Tukuyin ang likas na katangian ng extremum sa bawat isa sa mga nakatigil na punto na matatagpuan sa nakaraang talata. Upang gawin ito, gamitin ang alinman sa mga sumusunod na pamamaraan:
   • Buuin ang determinant na $H$ at alamin ang sign nito
   • Isinasaalang-alang ang constraint equation, kalkulahin ang sign ng $d^2F$

Lagrange multiplier method para sa mga function ng n variable

Ipagpalagay na mayroon tayong function ng $n$ variables $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ at $m$ constraint equation ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Tinutukoy ang mga multiplier ng Lagrange bilang $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, binubuo namin ang Lagrange function:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Ang mga kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang conditional extremum ay ibinibigay ng isang sistema ng mga equation kung saan matatagpuan ang mga coordinate ng mga nakatigil na puntos at ang mga halaga ng mga multiplier ng Lagrange:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Posibleng malaman kung ang isang function ay may conditional minimum o conditional maximum sa nahanap na punto, tulad ng dati, gamit ang sign na $d^2F$. Kung sa nahanap na punto $d^2F > 0$, ang function ay may conditional na minimum, ngunit kung $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Matrix determinant $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) at \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ naka-highlight sa pula sa $L$ matrix ay ang Hessian ng Lagrange function. Ginagamit namin ang sumusunod na panuntunan:

• Kung ang mga palatandaan ng mga menor de edad sa sulok ay $H_(2m+1),\; Ang H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrice $L$ ay tumutugma sa sign na $(-1)^m$, kung gayon ang stationary point na pinag-aaralan ay ang conditional na minimum point ng function na $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Kung ang mga palatandaan ng mga menor de edad sa sulok ay $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ alternate, at ang sign ng minor na $H_(2m+1)$ ay kasabay ng sign ng numerong $(-1)^(m+1 )$, pagkatapos ang pinag-aralan na nakatigil ang punto ay ang conditional na pinakamataas na punto ng function na $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Halimbawa #1

Hanapin ang conditional extremum ng function na $z(x,y)=x+3y$ sa ilalim ng condition na $x^2+y^2=10$.

Ang geometric na interpretasyon ng problemang ito ay ang mga sumusunod: kinakailangan upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng applicate ng eroplano $z=x+3y$ para sa mga punto ng intersection nito sa cylinder $x^2+y^2 =10$.

Medyo mahirap ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa mula sa constraint equation at i-substitute ito sa function na $z(x,y)=x+3y$, kaya gagamitin natin ang Lagrange method.

Tinutukoy ang $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, binubuo namin ang Lagrange function:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Isulat natin ang sistema ng mga equation para sa pagtukoy ng mga nakatigil na punto ng Lagrange function:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (nakahanay)\kanan.$$

Kung ipagpalagay natin na $\lambda=0$, ang unang equation ay magiging: $1=0$. Ang resultang kontradiksyon ay nagsasabi na ang $\lambda\neq 0$. Sa ilalim ng kundisyong $\lambda\neq 0$, mula sa una at pangalawang equation na mayroon kami: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Ang pagpapalit ng nakuha na mga halaga sa ikatlong equation, nakukuha namin:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$

Kaya, ang system ay may dalawang solusyon: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ at $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Alamin natin ang katangian ng extremum sa bawat nakatigil na punto: $M_1(1;3)$ at $M_2(-1;-3)$. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang determinant na $H$ sa bawat isa sa mga puntos.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

Sa puntong $M_1(1;3)$ makukuha natin: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, kaya sa punto $M_1(1;3)$ ang function na $z(x,y)=x+3y$ ay may conditional maximum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Katulad nito, sa puntong $M_2(-1;-3)$ makikita natin ang: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Mula noong $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Tandaan ko na sa halip na kalkulahin ang halaga ng determinant na $H$ sa bawat punto, mas maginhawang buksan ito sa pangkalahatang paraan. Upang hindi kalat ang teksto sa mga detalye, itatago ko ang pamamaraang ito sa ilalim ng isang tala.

Determinant $H$ notation sa pangkalahatang anyo. Ipakita itago

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

Sa prinsipyo, malinaw na kung aling sign ang mayroon si $H$. Dahil wala sa mga puntos na $M_1$ o $M_2$ ang tumutugma sa pinanggalingan, kung gayon ang $y^2+x^2>0$. Samakatuwid, ang tanda ng $H$ ay kabaligtaran ng tanda ng $\lambda$. Maaari mo ring kumpletuhin ang mga kalkulasyon:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(nakahanay) $$

Ang tanong tungkol sa likas na katangian ng extremum sa mga nakatigil na puntos na $M_1(1;3)$ at $M_2(-1;-3)$ ay malulutas nang hindi ginagamit ang determinant na $H$. Hanapin ang tanda ng $d^2F$ sa bawat nakatigil na punto:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\kanan) $$

Pansinin ko na ang notasyong $dx^2$ ay nangangahulugang eksaktong $dx$ na itinaas sa pangalawang kapangyarihan, i.e. $\left(dx\right)^2$. Kaya mayroon kaming: $dx^2+dy^2>0$, kaya para sa $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ nakakakuha kami ng $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Sagot: sa puntong $(-1;-3)$ ang function ay may kondisyon na minimum, $z_(\min)=-10$. Sa puntong $(1;3)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=10$

Halimbawa #2

Hanapin ang conditional extremum ng function na $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ sa ilalim ng kundisyon na $x+y=0$.

Ang unang paraan (ang paraan ng mga multiplier ng Lagrange)

Tinutukoy ang $\varphi(x,y)=x+y$ binubuo namin ang Lagrange function: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(aligned)\right.$$

Ang paglutas ng system, makakakuha tayo ng: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ at $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Mayroon kaming dalawang nakatigil na punto: $M_1(0;0)$ at $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Alamin natin ang katangian ng extremum sa bawat nakatigil na punto gamit ang determinant na $H$.

$$ H=\kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Sa puntong $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, kaya sa puntong ito ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Sinisiyasat namin ang likas na katangian ng extremum sa bawat isa sa mga punto sa pamamagitan ng ibang pamamaraan, batay sa tanda ng $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Mula sa constraint equation na $x+y=0$ mayroon kaming: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Dahil ang $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, kung gayon ang $M_1(0;0)$ ang conditional na minimum point ng function na $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Katulad nito, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Pangalawang paraan

Mula sa constraint equation na $x+y=0$ makuha namin ang: $y=-x$. Ang pagpapalit ng $y=-x$ sa function na $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, makakakuha tayo ng ilang function ng variable na $x$. Tukuyin natin ang function na ito bilang $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Kaya, binawasan namin ang problema sa paghahanap ng conditional extremum ng isang function ng dalawang variable sa problema ng pagtukoy ng extremum ng isang function ng isang variable.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Nakakuha ng mga puntos na $M_1(0;0)$ at $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Ang karagdagang pananaliksik ay kilala mula sa kurso ng differential calculus ng mga function ng isang variable. Ang pagsisiyasat sa tanda ng $u_(xx)^("")$ sa bawat nakatigil na punto o pagsuri sa pagbabago ng tanda ng $u_(x)^(")$ sa mga nahanap na punto, nakakakuha tayo ng parehong mga konklusyon tulad ng kapag nilulutas ang una paraan. Halimbawa, check sign $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Dahil $u_(xx)^("")(M_1)>0$, kung gayon ang $M_1$ ang pinakamababang punto ng function na $u(x)$, habang $u_(\min)=u(0)=0 $ . Mula noong $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Ang mga halaga ng function na $u(x)$ sa ilalim ng ibinigay na kundisyon ng koneksyon ay nag-tutugma sa mga halaga ng function na $z(x,y)$, i.e. ang nakitang extrema ng function na $u(x)$ ay ang gustong conditional extrema ng function na $z(x,y)$.

Sagot: sa puntong $(0;0)$ ang function ay may kondisyon na minimum, $z_(\min)=0$. Sa puntong $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa, kung saan malalaman natin ang kalikasan ng extremum sa pamamagitan ng pagtukoy sa tanda ng $d^2F$.

Halimbawa #3

Hanapin ang maximum at minimum na halaga ng function na $z=5xy-4$ kung ang mga variable na $x$ at $y$ ay positibo at matugunan ang constraint equation na $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Buuin ang Lagrange function: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Hanapin ang mga nakatigil na punto ng Lagrange function:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \kaliwa \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(aligned) \right.$$

Ang lahat ng karagdagang pagbabago ay isinasagawa na isinasaalang-alang ang $x > 0; \; y > 0$ (ito ay itinakda sa kondisyon ng problema). Mula sa pangalawang equation, ipinapahayag namin ang $\lambda=-\frac(5x)(y)$ at pinapalitan ang nahanap na halaga sa unang equation: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Ang pagpapalit ng $x=2y$ sa ikatlong equation, makukuha natin ang: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Dahil $y=1$, pagkatapos ay $x=2$, $\lambda=-10$. Ang katangian ng extremum sa puntong $(2;1)$ ay tinutukoy mula sa tanda ng $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Dahil $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, kung gayon:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Sa prinsipyo, dito maaari mong agad na palitan ang mga coordinate ng nakatigil na punto $x=2$, $y=1$ at ang parameter na $\lambda=-10$, upang makuha ang:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Gayunpaman, sa iba pang mga problema para sa isang conditional extremum, maaaring mayroong ilang nakatigil na mga punto. Sa ganitong mga kaso, mas mainam na katawanin ang $d^2F$ sa isang pangkalahatang anyo, at pagkatapos ay palitan ang mga coordinate ng bawat isa sa mga nahanap na nakatigil na punto sa resultang expression:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Ang pagpapalit ng $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, makuha namin ang:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Dahil $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Sagot: sa puntong $(2;1)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=6$.

Sa susunod na bahagi, isasaalang-alang natin ang aplikasyon ng pamamaraang Lagrange para sa mga function ng mas malaking bilang ng mga variable.