Sa artikulo, ipapakita namin paano lutasin ang mga fraction na may mga simpleng malinaw na halimbawa. Unawain natin kung ano ang isang fraction at isaalang-alang paglutas ng mga fraction!

konsepto mga fraction ay ipinakilala sa kurso ng matematika simula sa ika-6 na baitang ng sekondaryang paaralan.

Ang mga fraction ay mukhang: ±X / Y, kung saan ang Y ang denominator, ito ay nagsasabi kung ilang bahagi ang kabuuan ay hinati, at X ang numerator, ito ay nagsasabi kung gaano karaming mga bahagi ang kinuha. Para sa kalinawan, kumuha tayo ng isang halimbawa sa isang cake:

Sa unang kaso, ang cake ay pinutol nang pantay at isang kalahati ang kinuha, i.e. 1/2. Sa pangalawang kaso, ang cake ay pinutol sa 7 bahagi, kung saan 4 na bahagi ang kinuha, i.e. 4/7.

Kung ang bahagi ng paghahati ng isang numero sa isa pa ay hindi isang buong numero, ito ay nakasulat bilang isang fraction.

Halimbawa, ang expression na 4:2 \u003d 2 ay nagbibigay ng isang integer, ngunit ang 4:7 ay hindi ganap na mahahati, kaya ang expression na ito ay nakasulat bilang isang fraction 4/7.

Sa ibang salita maliit na bahagi ay isang expression na nagsasaad ng paghahati ng dalawang numero o expression, at kung saan ay nakasulat sa isang slash.

Kung ang numerator ay mas mababa sa denominator, ang fraction ay tama, kung vice versa, ito ay mali. Ang isang fraction ay maaaring maglaman ng isang integer.

Halimbawa, 5 buong 3/4.

Ang entry na ito ay nangangahulugan na upang makuha ang buong 6, isang bahagi ng apat ay hindi sapat.

Kung gusto mong maalala kung paano lutasin ang mga fraction para sa ika-6 na baitang kailangan mong maunawaan iyon paglutas ng mga fraction karaniwang bumababa sa pag-unawa sa ilang simpleng bagay.

• Ang isang fraction ay mahalagang isang expression para sa isang fraction. Iyon ay, isang numerical expression ng kung anong bahagi ang isang ibinigay na halaga mula sa isang kabuuan. Halimbawa, ang fraction na 3/5 ay nagpapahayag na kung hahatiin natin ang isang buo sa 5 bahagi at ang bilang ng mga bahagi o bahagi ng kabuuan na ito ay tatlo.
• Ang isang fraction ay maaaring mas mababa sa 1, halimbawa 1/2 (o mahalagang kalahati), kung gayon ito ay tama. Kung ang fraction ay mas malaki kaysa sa 1, halimbawa 3/2 (tatlong kalahati o isa at kalahati), kung gayon ito ay mali at upang pasimplehin ang solusyon, mas mabuting piliin natin ang buong bahagi 3/2= 1 buong 1 /2.
• Ang mga fraction ay kapareho ng mga numero sa 1, 3, 10, at kahit 100, ang mga numero lamang ay hindi buo, ngunit fractional. Sa kanila, maaari mong gawin ang lahat ng parehong mga operasyon tulad ng sa mga numero. Ang pagbibilang ng mga fraction ay hindi mas mahirap, at higit pa ay ipapakita namin ito sa mga partikular na halimbawa.

Paano lutasin ang mga fraction. Mga halimbawa.

Ang iba't ibang mga pagpapatakbo ng arithmetic ay naaangkop sa mga fraction.

Ang pagdadala ng fraction sa isang common denominator

Halimbawa, kailangan mong ihambing ang mga fraction na 3/4 at 4/5.

Upang malutas ang problema, hahanapin muna natin ang pinakamababang karaniwang denominator, i.e. ang pinakamaliit na bilang na nahahati nang walang natitira sa bawat isa sa mga denominador ng mga fraction

Least common denominator(4.5) = 20

Pagkatapos ang denominator ng parehong mga fraction ay binabawasan sa pinakamababang karaniwang denominator

Sagot: 15/20

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction

Kung kinakailangan upang kalkulahin ang kabuuan ng dalawang fraction, ang mga ito ay unang dinadala sa isang karaniwang denominator, pagkatapos ay idinagdag ang mga numerator, habang ang denominator ay nananatiling hindi nagbabago. Ang pagkakaiba ng mga fraction ay isinasaalang-alang sa isang katulad na paraan, ang pagkakaiba lamang ay ang mga numerator ay ibinabawas.

Halimbawa, kailangan mong hanapin ang kabuuan ng mga fraction na 1/2 at 1/3

Ngayon hanapin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga praksyon 1/2 at 1/4

Pagpaparami at paghahati ng mga fraction

Narito ang solusyon ng mga fraction ay simple, ang lahat ay medyo simple dito:

• Multiplikasyon - ang mga numerator at denominator ng mga fraction ay pinarami sa kanilang mga sarili;
• Dibisyon - una ay nakakakuha tayo ng isang fraction, ang kapalit ng pangalawang fraction, i.e. palitan ang numerator at denominator nito, pagkatapos nito ay i-multiply natin ang mga resultang fraction.

Halimbawa:

Tungkol dito paano lutasin ang mga fraction, lahat. Kung mayroon kang anumang mga katanungan tungkol sa paglutas ng mga fraction, may hindi malinaw, pagkatapos ay sumulat sa mga komento at sasagutin ka namin.

Kung ikaw ay isang guro, posible na mag-download ng isang pagtatanghal para sa isang elementarya (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) na madaling gamitin.

Ang artikulong ito ay isang pangkalahatang pagtingin sa mga operasyong may mga fraction. Dito namin binabalangkas at binibigyang-katwiran ang mga alituntunin ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati at pagtaas sa kapangyarihan ng mga fraction ng pangkalahatang anyo A/B , kung saan ang A at B ay ilang mga numero, mga numerical na expression o mga expression na may mga variable. Gaya ng dati, ibibigay namin ang materyal ng mga halimbawang nagpapaliwanag na may mga detalyadong paglalarawan ng mga solusyon.

Pag-navigate sa pahina.

Mga panuntunan para sa pagsasagawa ng mga operasyon na may mga numerical na fraction ng isang pangkalahatang anyo

Sumang-ayon tayo na ang mga pangkalahatang numerical fraction ay mga fraction kung saan ang numerator at/o denominator ay maaaring katawanin hindi lamang ng mga natural na numero, kundi pati na rin ng iba pang mga numero o numerical expression. Para sa kalinawan, narito ang ilang halimbawa ng mga nasabing fraction: .

Alam namin ang mga patakaran kung saan . Sa parehong mga patakaran, maaari kang magsagawa ng mga operasyon na may mga fraction ng isang pangkalahatang anyo:

Rationale para sa mga patakaran

Upang bigyang-katwiran ang bisa ng mga panuntunan para sa pagsasagawa ng mga aksyon na may pangkalahatang mga numerical fraction, maaaring magsimula ang isa sa mga sumusunod na punto:

• ang fractional bar ay mahalagang tanda ng dibisyon,
• Ang paghahati sa ilang di-zero na numero ay maaaring ituring bilang multiplikasyon ng kapalit ng divisor (ito ay agad na nagpapaliwanag ng panuntunan para sa paghahati ng mga fraction),
• mga katangian ng mga aksyon na may tunay na mga numero,
• at ang pangkalahatang pag-unawa nito,

Pinapayagan ka nitong isagawa ang mga sumusunod na pagbabagong nagbibigay-katwiran sa mga panuntunan para sa pagdaragdag, pagbabawas ng mga fraction na may pareho at magkakaibang denominator, pati na rin ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga fraction:

Mga halimbawa

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng pagsasagawa ng isang aksyon na may mga fraction ng pangkalahatang anyo ayon sa mga tuntuning natutunan sa nakaraang talata. Sabihin natin kaagad na kadalasan, pagkatapos magsagawa ng mga aksyon na may mga fraction, ang resultang fraction ay nangangailangan ng pagpapasimple, at ang proseso ng pagpapasimple ng isang fraction ay kadalasang mas kumplikado kaysa sa pagsasagawa ng mga nakaraang aksyon. Hindi tayo magtatagal sa pagpapasimple ng mga praksyon (ang mga kaukulang pagbabagong-anyo ay tinalakay sa artikulong Pagbabago ng mga praksyon), upang hindi magambala mula sa paksang interesado sa atin.

Magsimula tayo sa mga halimbawa ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator. Magsimula tayo sa pagdaragdag ng mga fraction at . Malinaw na ang mga denominador ay pantay. Ayon sa kaukulang tuntunin, isinulat namin ang isang fraction na ang numerator ay katumbas ng kabuuan ng mga numerator ng orihinal na mga fraction, at iiwan ang denominator na pareho, mayroon kaming . Tapos na ang pagdaragdag, nananatili itong gawing simple ang nagresultang bahagi: . Kaya, .

Posibleng isagawa ang desisyon sa ibang paraan: una, gawin ang paglipat sa mga ordinaryong fraction, at pagkatapos ay isagawa ang pagdaragdag. Sa diskarteng ito, mayroon tayo .

Ngayon ibawas mula sa fraction maliit na bahagi . Ang mga denominator ng mga praksiyon ay pantay-pantay, samakatuwid, kumikilos kami ayon sa panuntunan para sa pagbabawas ng mga praksiyon na may parehong denominador:

Lumipat tayo sa mga halimbawa ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Narito ang pangunahing kahirapan ay namamalagi sa pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator. Para sa mga praksyon ng isang pangkalahatang anyo, ito ay isang medyo malawak na paksa, susuriin namin ito nang detalyado sa isang hiwalay na artikulo. pagbabawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator. Sa ngayon, lilimitahan namin ang aming sarili sa ilang pangkalahatang rekomendasyon, dahil sa ngayon ay mas interesado kami sa pamamaraan ng pagsasagawa ng mga aksyon na may mga fraction.

Sa pangkalahatan, ang proseso ay katulad ng pagbawas sa isang karaniwang denominator ng mga ordinaryong fraction. Iyon ay, ang mga denominator ay ipinakita bilang mga produkto, pagkatapos ay ang lahat ng mga kadahilanan mula sa denominator ng unang fraction ay kukunin at ang nawawalang mga kadahilanan mula sa denominator ng pangalawang bahagi ay idinagdag sa kanila.

Kapag ang mga denominator ng idinagdag o ibinawas na mga praksiyon ay walang mga karaniwang salik, lohikal na kunin ang kanilang produkto bilang isang karaniwang denamineytor. Kumuha tayo ng isang halimbawa.

Sabihin nating kailangan nating magdagdag ng mga fraction at 1/2. Dito, bilang isang karaniwang denominator, lohikal na kunin ang produkto ng mga denominador ng orihinal na mga praksyon, iyon ay, . Sa kasong ito, ang karagdagang salik para sa unang bahagi ay 2 . Pagkatapos i-multiply ang numerator at denominator dito, ang fraction ay kukuha ng anyo . At para sa pangalawang bahagi, ang karagdagang kadahilanan ay ang expression. Sa tulong nito, ang fraction 1/2 ay nabawasan sa anyo. Nananatili itong idagdag ang mga resultang fraction na may parehong denominator. Narito ang isang buod ng buong solusyon:

Sa kaso ng mga fraction ng isang pangkalahatang anyo, hindi na namin pinag-uusapan ang tungkol sa hindi bababa sa karaniwang denominator, kung saan ang mga ordinaryong fraction ay karaniwang nababawasan. Bagaman sa bagay na ito ay kanais-nais pa rin na magsikap para sa ilang minimalism. Sa pamamagitan nito gusto naming sabihin na hindi kinakailangan na agad na kunin ang produkto ng mga denominator ng orihinal na mga fraction bilang isang karaniwang denominator. Halimbawa, hindi kinakailangang kunin ang karaniwang denominador ng mga fraction at produkto . Dito, bilang isang karaniwang denominator, maaari nating kunin ang .

Bumaling tayo sa mga halimbawa ng pagpaparami ng mga fraction ng isang pangkalahatang anyo. I-multiply ang mga fraction at . Ang panuntunan para sa pagsasagawa ng aksyon na ito ay nagsasabi sa amin na isulat ang isang fraction na ang numerator ay ang produkto ng mga numerator ng orihinal na mga fraction, at ang denominator ay ang produkto ng mga denominator. Meron kami . Dito, tulad ng sa maraming iba pang mga kaso kapag nagpaparami ng mga fraction, maaari mong bawasan ang fraction: .

Ang panuntunan para sa paghahati ng mga fraction ay nagpapahintulot sa iyo na lumipat mula sa paghahati hanggang sa multiplikasyon sa pamamagitan ng isang katumbasan. Dito kailangan mong tandaan na upang makakuha ng isang fraction reciprocal ng isang naibigay na isa, kailangan mong palitan ang numerator at denominator ng fraction na ito. Narito ang isang halimbawa ng paglipat mula sa paghahati ng mga pangkalahatang fraction hanggang sa multiplikasyon: . Nananatili itong gawin ang multiplikasyon at gawing simple ang resultang fraction (kung kinakailangan, tingnan ang pagbabago ng mga hindi makatwirang expression):

Sa pagtatapos ng impormasyon ng talatang ito, naaalala namin na ang anumang numero o numerical expression ay maaaring katawanin bilang isang fraction na may denominator 1, samakatuwid, ang pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami at paghahati ng isang numero at isang fraction ay maaaring ituring na gumaganap ng kaukulang aksyon na may mga fraction, ang isa ay may yunit sa denominator . Halimbawa, ang pagpapalit sa expression ugat ng tatlong fraction, magpapatuloy tayo mula sa pagpaparami ng isang fraction sa isang numero hanggang sa pagpaparami ng dalawang fraction: .

Nagsasagawa ng mga operasyon na may mga fraction na naglalaman ng mga variable

Nalalapat din ang mga panuntunan mula sa unang bahagi ng artikulong ito sa pagsasagawa ng mga operasyong may mga fraction na naglalaman ng mga variable. Bigyan natin ng katwiran ang una sa kanila - ang panuntunan ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga praksiyon na may parehong denominador, ang iba ay napatunayan sa eksaktong parehong paraan.

Patunayan natin na para sa anumang mga expression A , C at D (D ay magkaparehong non-zero) mayroon tayong pagkakapantay-pantay sa saklaw nito ng mga katanggap-tanggap na halaga ng mga variable.

Kumuha tayo ng ilang hanay ng mga variable mula sa ODZ. Hayaang kunin ng mga expression na A , C at D ang mga halaga a 0 , c 0 at d 0 para sa mga halagang ito ng mga variable. Pagkatapos, ang pagpapalit ng mga halaga ng mga variable mula sa napiling hanay sa expression ay nagiging isang kabuuan (pagkakaiba) ng mga numerical fraction na may parehong denominator ng form, na, ayon sa panuntunan ng pagdaragdag (pagbabawas) ng mga numerical fraction na may parehong denominator, ay katumbas ng . Ngunit ang pagpapalit ng mga halaga ng mga variable mula sa napiling hanay sa expression ay nagiging parehong fraction. Nangangahulugan ito na para sa napiling hanay ng mga variable na halaga mula sa ODZ, ang mga halaga ng mga expression at ay pantay. Malinaw na ang mga halaga ng mga expression na ito ay magiging pantay-pantay para sa anumang iba pang hanay ng mga halaga ng mga variable mula sa ODZ, na nangangahulugang ang mga expression at magkaparehong pantay, iyon ay, ang pagkakapantay-pantay na pinatunayan ay totoo .

Mga halimbawa ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may mga variable

Kapag ang mga denominator ng mga fraction na idinaragdag o ibinabawas ay pareho, kung gayon ang lahat ay medyo simple - ang mga numerator ay idinagdag o ibinabawas, at ang denominator ay nananatiling pareho. Malinaw na ang fraction na nakuha pagkatapos nito ay pinasimple kung kinakailangan at posible.

Tandaan na kung minsan ang mga denominator ng mga fraction ay naiiba lamang sa unang tingin, ngunit sa katunayan sila ay magkaparehong mga expression, tulad ng, halimbawa, at , o at . At kung minsan ito ay sapat na upang gawing simple ang mga paunang fraction upang ang kanilang magkaparehong mga denominador ay "lumitaw".

Halimbawa.

, b) , sa) .

Desisyon.

a) Kailangan nating ibawas ang mga fraction na may parehong denominator. Ayon sa kaukulang tuntunin, iiwan natin ang denominator nang pareho at ibawas ang mga numerator, mayroon tayo . Nagawa na ang aksyon. Ngunit maaari mo pa ring buksan ang mga bracket sa numerator at magdala ng mga katulad na termino: .

b) Malinaw, ang mga denominador ng mga idinagdag na fraction ay pareho. Samakatuwid, idinaragdag namin ang mga numerator, at iiwan ang denominator na pareho: . Nakumpleto ang pagdaragdag. Ngunit madaling makita na ang resultang fraction ay maaaring mabawasan. Sa katunayan, ang numerator ng resultang fraction ay maaaring bawasan ng parisukat ng kabuuan bilang (lgx + 2) 2 (tingnan ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon), kaya ang mga sumusunod na pagbabago ay nagaganap: .

c) Mga fraction sa kabuuan may iba't ibang denominator. Ngunit, sa pamamagitan ng pag-convert ng isa sa mga fraction, maaari kang magpatuloy sa pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator. Nagpapakita kami ng dalawang solusyon.

Unang paraan. Ang denominator ng unang fraction ay maaaring i-factor gamit ang difference ng squares formula, at pagkatapos ay bawasan ang fraction na ito: . Kaya, . Hindi masakit na alisin ang hindi makatwiran sa denominator ng isang fraction: .

Ang pangalawang paraan. Ang pagpaparami ng numerator at denominator ng pangalawang fraction (ang expression na ito ay hindi nawawala para sa anumang mga halaga ng variable x mula sa DPV para sa orihinal na expression) ay nagbibigay-daan sa iyo upang makamit ang dalawang layunin nang sabay-sabay: alisin ang irrationality at magpatuloy sa pagdaragdag mga fraction na may parehong denominador. Meron kami

Sagot:

a) , b) , sa) .

Ang huling halimbawa ay nagdala sa amin sa tanong ng pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator. Doon, halos hindi sinasadyang dumating kami sa parehong mga denominador, na pinasimple ang isa sa mga idinagdag na fraction. Ngunit sa karamihan ng mga kaso, kapag nagdadagdag at nagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator, kailangang may layuning dalhin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator. Upang gawin ito, ang mga denominator ng mga fraction ay karaniwang ipinakita bilang mga produkto, ang lahat ng mga kadahilanan ay kinuha mula sa denominator ng unang fraction, at ang nawawalang mga kadahilanan mula sa denominator ng pangalawang fraction ay idinagdag sa kanila.

Halimbawa.

Magsagawa ng mga aksyon na may mga fraction: a) , b) , c) .

Desisyon.

a) Walang kailangang gawin sa mga denominador ng mga fraction. Bilang isang karaniwang denominator, kinukuha namin ang produkto . Sa kasong ito, ang karagdagang kadahilanan para sa unang fraction ay ang expression, at para sa pangalawang fraction - ang numero 3. Ang mga karagdagang salik na ito ay nagdadala ng mga praksyon sa isang karaniwang denominator, na higit na nagbibigay-daan sa amin upang maisagawa ang aksyon na kailangan namin, mayroon kaming

b) Sa halimbawang ito, ang mga denominator ay ipinakita na bilang mga produkto, at walang karagdagang pagbabagong kinakailangan. Malinaw, ang mga kadahilanan sa mga denominator ay naiiba lamang sa mga exponent, samakatuwid, bilang isang karaniwang denominator, kinukuha namin ang produkto ng mga kadahilanan na may pinakamalaking exponent, iyon ay, . Kung gayon ang karagdagang salik para sa unang bahagi ay magiging x 4 , at para sa pangalawa - ln(x+1) . Ngayon handa na kaming ibawas ang mga fraction:

c) At sa kasong ito, sa simula, gagana tayo sa mga denominador ng mga fraction. Ang mga formula ng pagkakaiba ng mga parisukat at ang parisukat ng kabuuan ay nagbibigay-daan sa iyo upang pumunta mula sa orihinal na kabuuan patungo sa expression . Ngayon ay malinaw na ang mga fraction na ito ay maaaring bawasan sa isang karaniwang denominator . Sa diskarteng ito, ang solusyon ay magiging ganito:

Sagot:

a)

b)

sa)

Mga halimbawa ng pagpaparami ng mga fraction na may mga variable

Ang multiplying fractions ay nagbibigay ng fraction na ang numerator ay produkto ng mga numerator ng orihinal na fraction, at ang denominator ay produkto ng denominator. Dito, tulad ng nakikita mo, ang lahat ay pamilyar at simple, at maaari lamang nating idagdag na ang fraction na nakuha bilang resulta ng pagkilos na ito ay madalas na nabawasan. Sa mga kasong ito, ito ay nabawasan, maliban kung, siyempre, ito ay kinakailangan at makatwiran.

Ang artikulong ito ay tumatalakay sa mga operasyon sa mga fraction. Ang mga panuntunan para sa pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, paghahati o pagpapalawak ng mga fraction ng anyong A B ay mabubuo at mabibigyang-katwiran, kung saan ang A at B ay maaaring mga numero, numeric na expression o mga expression na may mga variable. Sa konklusyon, isasaalang-alang ang mga halimbawa ng mga solusyon na may detalyadong paglalarawan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mga panuntunan para sa pagsasagawa ng mga operasyon na may mga numerical na fraction ng isang pangkalahatang anyo

Ang mga numerical fraction ng isang pangkalahatang anyo ay may numerator at denominator, kung saan mayroong mga natural na numero o numerical expression. Kung isasaalang-alang natin ang mga praksiyon gaya ng 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5-2) , 3 4 + 7 8 2 , 3-0 , 8 , 1 2 2 , π 1-2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , pagkatapos ay malinaw na ang numerator at denominator ay maaaring magkaroon ng hindi lamang mga numero, kundi pati na rin ang mga expression ng ibang plano.

Kahulugan 1

May mga panuntunan kung saan ang mga aksyon ay ginagampanan gamit ang mga ordinaryong fraction. Ito ay angkop din para sa mga fraction ng isang pangkalahatang anyo:

• Kapag ang pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator, ang mga numerator lamang ang idinagdag, at ang denominator ay nananatiling pareho, ibig sabihin: a d ± c d \u003d a ± c d, ang mga halaga a, c at d ≠ 0 ay ilang mga numero o numerical expression.
• Kapag nagdadagdag o nagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator, kailangang bawasan sa karaniwan, at pagkatapos ay idagdag o ibawas ang mga resultang fraction na may parehong mga indicator. Sa literal, ganito ang hitsura nito a b ± c d = a p ± c r s , kung saan ang mga value a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 ay mga tunay na numero, at b p = d r = s. Kapag p = d at r = b, pagkatapos ay a b ± c d = a d ± c d b d.
• Kapag nagpaparami ng mga fraction, ang isang aksyon ay ginaganap sa mga numerator, pagkatapos nito kasama ang mga denominador, pagkatapos ay makakakuha tayo ng b c d \u003d a c b d, kung saan ang a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 ay kumikilos bilang mga tunay na numero.
• Kapag hinahati ang isang fraction sa isang fraction, pina-multiply namin ang una sa pangalawang reciprocal, iyon ay, pinapalitan namin ang numerator at denominator: a b: c d \u003d a b d c.

Rationale para sa mga patakaran

Kahulugan 2

Mayroong mga sumusunod na mathematical point na dapat mong umasa kapag nagkalkula:

• ang isang fractional bar ay nangangahulugang isang tanda ng paghahati;
• ang paghahati sa isang numero ay itinuturing bilang isang multiplikasyon sa pamamagitan ng katumbas nito;
• aplikasyon ng pag-aari ng mga aksyon na may totoong mga numero;
• aplikasyon ng pangunahing pag-aari ng isang fraction at mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero.

Sa kanilang tulong, maaari kang gumawa ng mga pagbabago sa form:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Mga halimbawa

Sa nakaraang talata, sinabi tungkol sa mga aksyon na may mga fraction. Ito ay pagkatapos nito na ang fraction ay kailangang gawing simple. Ang paksang ito ay tinalakay nang detalyado sa seksyon sa pag-convert ng mga fraction.

Una, isaalang-alang ang halimbawa ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator.

Halimbawa 1

Ibinigay ang mga praksiyon 8 2 , 7 at 1 2 , 7 , pagkatapos ay ayon sa tuntunin ay kinakailangang idagdag ang numerator at muling isulat ang denominator.

Desisyon

Pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang fraction ng form 8 + 1 2 , 7 . Pagkatapos isagawa ang karagdagan, makakakuha tayo ng isang fraction ng form 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Kaya 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Sagot: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

May isa pang paraan upang malutas. Upang magsimula, ang isang paglipat ay ginawa sa anyo ng isang ordinaryong fraction, pagkatapos nito ay nagsasagawa kami ng isang pagpapasimple. Mukhang ganito:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Halimbawa 2

Ibawas natin sa 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 fractions ng anyong 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Dahil ang mga pantay na denominador ay ibinibigay, nangangahulugan ito na tayo ay nagkalkula ng isang fraction na may parehong denominator. Nakukuha namin iyon

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

May mga halimbawa ng pagkalkula ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Ang isang mahalagang punto ay ang pagbawas sa isang karaniwang denominator. Kung wala ito, hindi namin magagawa ang mga karagdagang aksyon na may mga fraction.

Ang proseso ay malayuang nagpapaalala ng pagbawas sa isang karaniwang denominator. Iyon ay, ang isang paghahanap ay ginawa para sa hindi bababa sa karaniwang divisor sa denominator, pagkatapos kung saan ang nawawalang mga kadahilanan ay idinagdag sa mga fraction.

Kung ang mga idinagdag na fraction ay walang karaniwang mga kadahilanan, kung gayon ang kanilang produkto ay maaaring maging isa.

Halimbawa 3

Isaalang-alang ang halimbawa ng pagdaragdag ng mga praksiyon 2 3 5 + 1 at 1 2 .

Desisyon

Sa kasong ito, ang karaniwang denominador ay ang produkto ng mga denominador. Pagkatapos ay makukuha natin iyon 2 · 3 5 + 1 . Pagkatapos, kapag nagtatakda ng mga karagdagang salik, mayroon tayo na sa unang bahagi ito ay katumbas ng 2, at sa pangalawang 3 5 + 1. Pagkatapos ng multiplikasyon, ang mga fraction ay binabawasan sa anyo 4 2 3 5 + 1. Ang pangkalahatang cast 1 2 ay magiging 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Idinaragdag namin ang mga resultang fractional expression at makuha iyon

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Sagot: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Kapag tayo ay nakikitungo sa mga fraction ng isang pangkalahatang anyo, kung gayon ang hindi bababa sa karaniwang denominator ay karaniwang hindi ang kaso. Hindi kapaki-pakinabang na kunin ang produkto ng mga numerator bilang denominator. Una kailangan mong suriin kung mayroong isang numero na mas mababa ang halaga kaysa sa kanilang produkto.

Halimbawa 4

Isaalang-alang ang halimbawa 1 6 2 1 5 at 1 4 2 3 5 kapag ang kanilang produkto ay katumbas ng 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Pagkatapos ay kunin natin ang 12 · 2 3 5 bilang isang karaniwang denominador.

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng pagpaparami ng mga fraction ng isang pangkalahatang anyo.

Halimbawa 5

Upang gawin ito, kinakailangan upang i-multiply ang 2 + 1 6 at 2 · 5 3 · 2 + 1.

Desisyon

Kasunod ng tuntunin, kinakailangang muling isulat at isulat ang produkto ng mga numerator bilang denominator. Nakukuha natin na 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Kapag ang fraction ay pinarami, ang mga pagbawas ay maaaring gawin upang pasimplehin ito. Pagkatapos 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Gamit ang panuntunan ng paglipat mula sa paghahati hanggang sa multiplikasyon sa pamamagitan ng isang katumbasan, nakukuha natin ang kapalit ng ibinigay. Upang gawin ito, ang numerator at denominator ay baligtad. Tingnan natin ang isang halimbawa:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Pagkatapos nito, dapat silang magsagawa ng multiplikasyon at pasimplehin ang resultang fraction. Kung kinakailangan, alisin ang irrationality sa denominator. Nakukuha namin iyon

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Sagot: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Naaangkop ang talatang ito kapag ang isang numero o numerical na expression ay maaaring katawanin bilang isang fraction na may denominator na katumbas ng 1, kung gayon ang operasyon na may ganoong fraction ay itinuturing na isang hiwalay na talata. Halimbawa, ang expression na 1 6 7 4 - 1 3 ay nagpapakita na ang ugat ng 3 ay maaaring palitan ng isa pang 3 1 expression. Kung gayon ang talaang ito ay magmumukhang isang multiplikasyon ng dalawang praksyon ng anyong 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .

Gumagawa ng isang aksyon na may mga fraction na naglalaman ng mga variable

Ang mga tuntuning tinalakay sa unang artikulo ay naaangkop sa mga operasyong may mga fraction na naglalaman ng mga variable. Isaalang-alang ang panuntunan sa pagbabawas kapag ang mga denominador ay pareho.

Kinakailangang patunayan na ang A , C at D (D na hindi katumbas ng zero) ay maaaring maging anumang mga expression, at ang pagkakapantay-pantay A D ± C D = A ± C D ay katumbas ng saklaw ng mga wastong halaga nito.

Kinakailangang kumuha ng isang hanay ng mga variable ng ODZ. Pagkatapos ay dapat kunin ng A, C, D ang kaukulang mga halaga a 0 , c 0 at d0. Ang pagpapalit ng anyo A D ± C D ay nagreresulta sa pagkakaiba ng anyo a 0 d 0 ± c 0 d 0 , kung saan, ayon sa tuntunin sa karagdagan, nakakakuha tayo ng formula ng form na a 0 ± c 0 d 0 . Kung papalitan natin ang expression A ± C D , pagkatapos ay makukuha natin ang parehong fraction ng form na a 0 ± c 0 d 0 . Mula dito napagpasyahan namin na ang napiling halaga na nakakatugon sa ODZ, A ± C D at A D ± C D ay itinuturing na pantay.

Para sa anumang halaga ng mga variable, ang mga expression na ito ay magiging pantay, ibig sabihin, ang mga ito ay tinatawag na magkaparehong pantay. Nangangahulugan ito na ang expression na ito ay itinuturing na isang mapapatunayang pagkakapantay-pantay ng anyong A D ± C D = A ± C D .

Mga halimbawa ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may mga variable

Kapag may parehong denominator, kailangan lamang magdagdag o magbawas ng mga numerator. Ang fraction na ito ay maaaring gawing simple. Minsan kailangan mong magtrabaho sa mga fraction na magkapareho, ngunit sa unang tingin ay hindi ito kapansin-pansin, dahil ang ilang mga pagbabago ay dapat gawin. Halimbawa, x 2 3 x 1 3 + 1 at x 1 3 + 1 2 o 1 2 sin 2 α at sin a cos a. Kadalasan, kinakailangan ang pagpapasimple ng orihinal na expression upang makita ang parehong mga denominator.

Halimbawa 6

Kalkulahin: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Desisyon

1. Upang makagawa ng kalkulasyon, kailangan mong ibawas ang mga fraction na may parehong denominator. Pagkatapos ay makukuha natin na x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Pagkatapos nito, maaari mong buksan ang mga bracket na may pagbabawas ng mga katulad na termino. Nakukuha natin na x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Dahil ang mga denominator ay pareho, nananatili lamang ang pagdaragdag ng mga numerator, na iniiwan ang denominator: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Ang karagdagan ay natapos na. Ito ay makikita na ang fraction ay maaaring mabawasan. Ang numerator nito ay maaaring itiklop gamit ang sum square formula, pagkatapos ay makukuha natin ang (l g x + 2) 2 mula sa mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Pagkatapos makuha namin iyon
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Ibinigay ang mga fraction ng anyong x - 1 x - 1 + x x + 1 na may magkakaibang denominador. Pagkatapos ng pagbabago, maaari kang magpatuloy sa pagdaragdag.

Isaalang-alang natin ang isang dalawang paraan na solusyon.

Ang unang paraan ay ang denominator ng unang fraction ay napapailalim sa factorization gamit ang mga parisukat, at kasama ang kasunod na pagbabawas nito. Nakukuha namin ang isang fraction ng form

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Kaya x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Sa kasong ito, kinakailangan upang mapupuksa ang hindi makatwiran sa denominator.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Ang pangalawang paraan ay paramihin ang numerator at denominator ng pangalawang fraction sa x - 1 . Kaya, inaalis natin ang irrationality at magpatuloy sa pagdaragdag ng fraction na may parehong denominator. Pagkatapos

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Sagot: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

Sa huling halimbawa, nalaman namin na ang pagbabawas sa isang karaniwang denominator ay hindi maiiwasan. Upang gawin ito, kailangan mong gawing simple ang mga fraction. Upang magdagdag o magbawas, kailangan mong laging maghanap ng isang karaniwang denominator, na mukhang produkto ng mga denominador na may pagdaragdag ng mga karagdagang kadahilanan sa mga numerator.

Halimbawa 7

Kalkulahin ang mga halaga ng mga fraction: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Desisyon

1. Ang denominator ay hindi nangangailangan ng anumang kumplikadong mga kalkulasyon, kaya kailangan mong piliin ang kanilang produkto ng form na 3 x 7 + 2 2, pagkatapos ay sa unang fraction x 7 + 2 2 ay pinili bilang isang karagdagang kadahilanan, at 3 sa pangalawa. Kapag nagpaparami, nakakakuha tayo ng fraction ng anyong x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Makikita na ang mga denominator ay ipinakita bilang isang produkto, na nangangahulugan na ang mga karagdagang pagbabago ay hindi kailangan. Ang karaniwang denominator ay magiging produkto ng anyong x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Mula dito x 4 ay isang karagdagang salik sa unang bahagi, at ln (x + 1) sa pangalawa. Pagkatapos ay ibawas namin at makuha:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. Makatuwiran ang halimbawang ito kapag nagtatrabaho sa mga denominador ng mga fraction. Kinakailangang ilapat ang mga pormula para sa pagkakaiba ng mga parisukat at parisukat ng kabuuan, dahil gagawin nilang posible na maipasa sa isang expression ng anyo 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . Ito ay makikita na ang mga fraction ay nabawasan sa isang karaniwang denominator. Nakukuha namin iyon cos x - x cos x + x 2 .

Pagkatapos makuha namin iyon

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Sagot:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Mga halimbawa ng pagpaparami ng mga fraction na may mga variable

Kapag nagpaparami ng mga fraction, ang numerator ay pinarami ng numerator at ang denominator sa denominator. Pagkatapos ay maaari mong ilapat ang reduction property.

Halimbawa 8

Multiply fractions x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 at 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Desisyon

Kailangan mong gawin ang pagpaparami. Nakukuha namin iyon

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Ang numero 3 ay inilipat sa unang lugar para sa kaginhawaan ng mga kalkulasyon, at maaari mong bawasan ang fraction ng x 2, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang pagpapahayag ng form

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Sagot: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x) .

Dibisyon

Ang dibisyon ng mga fraction ay katulad ng multiplication, dahil ang unang fraction ay pinarami ng pangalawang reciprocal. Kung kukunin natin, halimbawa, ang fraction x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 at hatiin sa 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, kung gayon maaari itong isulat bilang

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , pagkatapos ay palitan ng produkto ng anyong x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 kasalanan (2 x - x)

Exponentiation

Magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang aksyon na may mga fraction ng isang pangkalahatang anyo na may exponentiation. Kung mayroong isang degree na may natural na index, kung gayon ang aksyon ay itinuturing bilang isang multiplikasyon ng magkaparehong mga fraction. Ngunit inirerekumenda na gumamit ng isang pangkalahatang diskarte batay sa mga katangian ng mga kapangyarihan. Anumang mga expression na A at C, kung saan ang C ay hindi magkaparehong katumbas ng zero, at anumang real r sa ODZ para sa isang expression ng form A C r, ang pagkakapantay-pantay A C r = A r C r ay totoo. Ang resulta ay isang fraction na itinaas sa isang kapangyarihan. Halimbawa, isaalang-alang:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2-5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon na may mga fraction

Ang mga aksyon sa mga fraction ay isinasagawa ayon sa ilang mga patakaran. Sa pagsasagawa, napansin namin na ang isang expression ay maaaring maglaman ng ilang mga fraction o fractional na mga expression. Pagkatapos ito ay kinakailangan upang isagawa ang lahat ng mga aksyon sa isang mahigpit na pagkakasunud-sunod: itaas sa isang kapangyarihan, multiply, hatiin, pagkatapos ay idagdag at ibawas. Kung mayroong mga bracket, ang unang aksyon ay isinasagawa sa kanila.

Halimbawa 9

Kalkulahin ang 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Desisyon

Dahil mayroon kaming parehong denominator, pagkatapos ay 1 - x cos x at 1 c o s x , ngunit imposibleng ibawas ayon sa panuntunan, una ang mga aksyon sa mga bracket ay ginanap, pagkatapos kung saan ang multiplikasyon, at pagkatapos ay ang karagdagan. Pagkatapos, kapag nagkalkula, nakuha namin iyon

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Kapag pinapalitan ang expression sa orihinal, nakukuha natin na 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Kapag nagpaparami ng mga fraction, mayroon tayong: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Nang magawa ang lahat ng mga pagpapalit, makakakuha tayo ng 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Ngayon ay kailangan mong magtrabaho sa mga fraction na may iba't ibang denominator. Nakukuha namin:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Sagot: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Pagtuturo

Pagbawas sa isang karaniwang denominator.

Hayaang ibigay ang mga praksiyon a/b at c/d.

Ang numerator at denominator ng unang fraction ay pinarami ng LCM / b

Ang numerator at denominator ng pangalawang fraction ay pinarami ng LCM/d

Ang isang halimbawa ay ipinapakita sa figure.

Upang ihambing ang mga fraction, kailangan nilang magkaroon ng isang karaniwang denominator, pagkatapos ay ihambing ang mga numerator. Halimbawa, 3/4< 4/5, см. .

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction.

Upang mahanap ang kabuuan ng dalawang ordinaryong fraction, dapat silang bawasan sa isang common denominator, at pagkatapos ay idagdag ang mga numerator, ang denominator ay hindi nagbabago. Ang isang halimbawa ng pagdaragdag ng mga fraction 1/2 at 1/3 ay ipinapakita sa figure.

Ang pagkakaiba ng mga praksiyon ay matatagpuan sa katulad na paraan, pagkatapos mahanap ang karaniwang denominator, ang mga numerator ng mga praksiyon ay ibinabawas, tingnan ang pigura.

Kapag nagpaparami ng mga ordinaryong fraction, ang mga numerator at denominator ay pinagsama-samang pinarami.

Upang hatiin ang dalawang fraction, kailangan mo ng fraction ng pangalawang fraction, i.e. baguhin ang numerator at denominator nito, at pagkatapos ay i-multiply ang mga resultang fraction.

Mga kaugnay na video

Mga pinagmumulan:

• fractions grade 5 sa pamamagitan ng halimbawa
• Mga pangunahing gawain para sa mga fraction

Module kumakatawan sa ganap na halaga ng expression. Ang mga panaklong ay ginagamit upang magtalaga ng isang module. Ang mga halaga na nakapaloob sa mga ito ay kinuha modulo. Ang solusyon ng module ay binubuo sa pagpapalawak ng mga panaklong ayon sa ilang mga patakaran at paghahanap ng hanay ng mga halaga ng expression. Sa karamihan ng mga kaso, ang module ay pinalawak sa paraang ang submodule expression ay tumatagal sa isang serye ng mga positibo at negatibong halaga, kabilang ang zero. Batay sa mga katangiang ito ng modyul, ang mga karagdagang equation at hindi pagkakapantay-pantay ng orihinal na expression ay pinagsama-sama at nalulutas.

Pagtuturo

Isulat ang orihinal na equation na may . Para dito, buksan ang module. Isaalang-alang ang bawat pagpapahayag ng submodule. Tukuyin kung anong halaga ng hindi kilalang dami ang kasama dito, ang expression sa modular bracket ay naglalaho.

Upang gawin ito, i-equate ang submodule expression sa zero at hanapin ang resultang equation. Isulat ang mga nahanap na halaga. Sa parehong paraan, tukuyin ang mga halaga ng hindi kilalang variable para sa bawat modulus sa ibinigay na equation.

Gumuhit ng isang linya ng numero at i-plot ang mga nagresultang halaga dito. Ang mga halaga ng variable sa zero module ay magsisilbing mga hadlang sa paglutas ng modular equation.

Sa orihinal na equation, kailangan mong buksan ang mga modular, baguhin ang sign upang ang mga halaga ng variable ay tumutugma sa mga ipinapakita sa linya ng numero. Lutasin ang resultang equation. Suriin ang nahanap na halaga ng variable laban sa paghihigpit na itinakda ng module. Kung ang solusyon ay nakakatugon sa kondisyon, ito ay totoo. Ang mga ugat na hindi nakakatugon sa mga paghihigpit ay dapat itapon.

Katulad nito, palawakin ang mga module ng orihinal na expression, isinasaalang-alang ang sign, at kalkulahin ang mga ugat ng resultang equation. Isulat ang lahat ng nakuhang mga ugat na nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng hadlang.

Binibigyang-daan ka ng mga fractional na numero na ipahayag ang eksaktong halaga ng isang dami sa iba't ibang paraan. Sa pamamagitan ng mga fraction, maaari mong gawin ang parehong mga pagpapatakbo ng matematika tulad ng sa mga integer: pagbabawas, pagdaragdag, pagpaparami, at paghahati. Upang matutunan kung paano magdesisyon mga fraction, kinakailangang tandaan ang ilan sa kanilang mga tampok. Depende sila sa uri mga fraction, ang pagkakaroon ng isang integer na bahagi, isang karaniwang denominator. Ang ilang mga operasyon sa aritmetika pagkatapos ng pagpapatupad ay nangangailangan ng pagbawas ng praksyonal na bahagi ng resulta.

Kakailanganin mong

• - calculator

Pagtuturo

Tingnang mabuti ang mga numero. Kung may mga decimal at iregular sa mga fraction, minsan ay mas maginhawang magsagawa muna ng mga aksyon gamit ang mga decimal, at pagkatapos ay i-convert ang mga ito sa maling anyo. Maaari mong isalin ang mga fraction sa form na ito sa simula, isulat ang halaga pagkatapos ng decimal point sa numerator at paglalagay ng 10 sa denominator. Kung kinakailangan, bawasan ang fraction sa pamamagitan ng paghahati ng mga numero sa itaas at ibaba ng isang divisor. Ang mga praksiyon kung saan ang buong bahagi ay namumukod-tangi, humahantong sa maling anyo sa pamamagitan ng pagpaparami nito sa denominator at pagdaragdag ng numerator sa resulta. Ang halagang ito ay magiging bagong numerator mga fraction. Upang kunin ang buong bahagi mula sa una ay hindi tama mga fraction, hatiin ang numerator sa denominator. Isulat ang buong resulta mula sa mga fraction. At ang natitira sa dibisyon ay nagiging bagong numerator, ang denominator mga fraction habang hindi nagbabago. Para sa mga fraction na may bahaging integer, posibleng magsagawa ng mga aksyon nang hiwalay, una para sa integer at pagkatapos ay para sa mga fractional na bahagi. Halimbawa, ang kabuuan ng 1 2/3 at 2 ¾ ay maaaring kalkulahin:
- Pag-convert ng mga fraction sa maling anyo:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Hiwalay na pagbubuo ng integer at fractional na bahagi ng mga termino:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Para sa mga halaga sa ibaba ng linya, hanapin ang karaniwang denominator. Halimbawa, para sa 5/9 at 7/12, ang karaniwang denominador ay magiging 36. Para dito, ang numerator at denominator ng unang mga fraction kailangan mong i-multiply ng 4 (ito ay magiging 28/36), at ang pangalawa - sa pamamagitan ng 3 (ito ay magiging 15/36). Ngayon ay maaari mong gawin ang mga kalkulasyon.

Kung kakalkulahin mo ang kabuuan o pagkakaiba ng mga fraction, isulat muna ang nahanap na common denominator sa ilalim ng linya. Isagawa ang mga kinakailangang aksyon sa pagitan ng mga numerator, at isulat ang resulta sa itaas ng bagong linya mga fraction. Kaya, ang bagong numerator ay ang pagkakaiba o ang kabuuan ng mga numerator ng orihinal na mga fraction.

Upang kalkulahin ang produkto ng mga fraction, i-multiply ang mga numerator ng mga fraction at isulat ang resulta sa lugar ng numerator ng panghuling mga fraction. Gawin ang parehong para sa mga denominador. Kapag hinahati ang isa mga fraction isulat ang isang fraction sa isa, at pagkatapos ay i-multiply ang numerator nito sa denominator ng pangalawa. Kasabay nito, ang denominator ng una mga fraction pinarami nang naaayon sa numerator ng pangalawa. Kasabay nito, isang uri ng pagbaliktad ng pangalawa mga fraction(divider). Ang huling fraction ay magmumula sa mga resulta ng pagpaparami ng mga numerator at denominator ng parehong mga fraction. Madaling matutunan mga fraction, nakasulat sa kondisyon sa anyo ng isang "apat na palapag" mga fraction. Kung maghihiwalay sa dalawa mga fraction, muling isulat ang mga ito gamit ang isang ":" delimiter, at magpatuloy sa normal na paghahati.

Upang makuha ang pangwakas na resulta, bawasan ang resultang fraction sa pamamagitan ng paghahati sa numerator at denominator sa isang buong numero, ang pinakamalaking posible sa kasong ito. Sa kasong ito, dapat mayroong mga integer na numero sa itaas at ibaba ng linya.

tala

Huwag gumawa ng aritmetika sa mga fraction na may iba't ibang denominator. Pumili ng isang numero na kapag ang numerator at denominator ng bawat fraction ay pinarami nito, bilang isang resulta, ang mga denominator ng parehong mga fraction ay pantay.

Nakatutulong na payo

Kapag nagsusulat ng mga fractional na numero, ang dibidendo ay nakasulat sa itaas ng linya. Ang dami na ito ay tinutukoy bilang numerator ng isang fraction. Sa ilalim ng linya, nakasulat ang divisor, o denominator, ng fraction. Halimbawa, isa at kalahating kilo ng bigas sa anyo ng isang fraction ay isusulat ng mga sumusunod: 1 ½ kg ng bigas. Kung ang denominator ng isang fraction ay 10, ito ay tinatawag na decimal fraction. Sa kasong ito, ang numerator (dividend) ay nakasulat sa kanan ng buong bahagi na pinaghihiwalay ng kuwit: 1.5 kg ng bigas. Para sa kaginhawaan ng mga kalkulasyon, ang gayong bahagi ay maaaring palaging isulat sa maling anyo: 1 2/10 kg ng patatas. Upang gawing simple, maaari mong bawasan ang mga halaga ng numerator at denominator sa pamamagitan ng paghahati sa kanila sa isang solong buong numero. Sa halimbawang ito, posible ang paghahati sa 2. Ang resulta ay 1 1/5 kg ng patatas. Siguraduhin na ang mga numerong gagawin mo sa aritmetika ay nasa parehong anyo.

Pagtuturo

Mag-click nang isang beses sa item ng menu na "Ipasok", pagkatapos ay piliin ang item na "Simbolo". Ito ay isa sa mga pinakamadaling paraan upang maisingit mga fraction magtext. Ito ay binubuo ng mga sumusunod. Ang hanay ng mga handa na mga character ay may mga fraction. Karaniwang maliit ang kanilang numero, ngunit kung kailangan mong magsulat ng ½, hindi 1/2 sa teksto, ang pagpipiliang ito ang magiging pinakamainam para sa iyo. Bilang karagdagan, ang bilang ng mga fraction na character ay maaaring depende sa font. Halimbawa, para sa font ng Times New Roman, may kaunting mga fraction kaysa sa parehong Arial. Iba-iba ang mga font para mahanap ang pinakamagandang opsyon pagdating sa mga simpleng expression.

Mag-click sa menu item na "Insert" at piliin ang sub-item na "Object". Makakakita ka ng isang window na may listahan ng mga posibleng bagay na ipasok. Pumili sa kanila ng Microsoft Equation 3.0. Tutulungan ka ng app na ito na mag-type mga fraction. At hindi lang mga fraction, ngunit pati na rin ang mga kumplikadong mathematical expression na naglalaman ng iba't ibang trigonometriko function at iba pang elemento. I-double click ang bagay na ito gamit ang kaliwang pindutan ng mouse. Makakakita ka ng isang window na naglalaman ng maraming mga simbolo.

Upang mag-print ng isang fraction, piliin ang simbolo na kumakatawan sa isang fraction na may walang laman na numerator at denominator. Mag-click dito nang isang beses gamit ang kaliwang pindutan ng mouse. May lalabas na karagdagang menu, na tumutukoy sa scheme ng mga fraction. Maaaring may ilang mga pagpipilian. Piliin ang pinaka-angkop para sa iyo at i-click ito nang isang beses gamit ang kaliwang pindutan ng mouse.

Mga aksyon na may mga fraction. Sa artikulong ito, susuriin namin ang mga halimbawa, ang lahat ay detalyado sa mga paliwanag. Isasaalang-alang namin ang mga ordinaryong fraction. Sa hinaharap, susuriin namin ang mga decimal. Inirerekomenda kong panoorin ang kabuuan at pag-aralan nang sunud-sunod.

1. Kabuuan ng mga praksiyon, pagkakaiba ng mga praksiyon.

Panuntunan: kapag nagdaragdag ng mga fraction na may pantay na denominador, ang resulta ay isang fraction - ang denominator nito ay nananatiling pareho, at ang numerator nito ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga numerator ng mga fraction.

Panuntunan: kapag kinakalkula ang pagkakaiba ng mga fraction na may parehong denominator, nakakakuha tayo ng isang fraction - ang denominator ay nananatiling pareho, at ang numerator ng pangalawa ay ibawas mula sa numerator ng unang fraction.

Pormal na notasyon ng kabuuan at pagkakaiba ng mga fraction na may pantay na denominator:

Mga halimbawa (1):

Ito ay malinaw na kapag ang mga ordinaryong fraction ay ibinigay, kung gayon ang lahat ay simple, ngunit kung sila ay halo-halong? Walang kumplikado...

Pagpipilian 1- maaari mong i-convert ang mga ito sa mga ordinaryong at pagkatapos ay kalkulahin ang mga ito.

Opsyon 2- maaari mong hiwalay na "gumana" sa integer at fractional na mga bahagi.

Mga halimbawa (2):

Higit pa:

At kung ang pagkakaiba ng dalawang pinaghalong fraction ay ibinigay at ang numerator ng unang fraction ay mas mababa kaysa sa numerator ng pangalawa? Maaari rin itong gawin sa dalawang paraan.

Mga Halimbawa (3):

* Na-convert sa mga ordinaryong fraction, kinakalkula ang pagkakaiba, na-convert ang nagresultang hindi wastong fraction sa isang halo-halong isa.

* Hinati sa integer at fractional na mga bahagi, nakakuha ng tatlo, pagkatapos ay ipinakita ang 3 bilang kabuuan ng 2 at 1, kasama ang unit na ipinakita bilang 11/11, pagkatapos ay natagpuan ang pagkakaiba sa pagitan ng 11/11 at 7/11 at kinakalkula ang resulta. Ang kahulugan ng mga pagbabagong nasa itaas ay ang kumuha (pumili) ng isang yunit at ipakita ito bilang isang fraction na may denominator na kailangan natin, pagkatapos mula sa fraction na ito ay maaari na nating ibawas ang isa pa.

Isa pang halimbawa:

Konklusyon: mayroong isang unibersal na diskarte - upang makalkula ang kabuuan (pagkakaiba) ng mga halo-halong mga fraction na may pantay na denominator, maaari silang palaging ma-convert sa mga hindi wasto, pagkatapos ay isagawa ang kinakailangang aksyon. Pagkatapos nito, kung bilang resulta ay nakakakuha tayo ng hindi wastong bahagi, isinasalin natin ito sa isang halo-halong bahagi.

Sa itaas, tiningnan namin ang mga halimbawa na may mga fraction na may pantay na denominator. Paano kung magkaiba ang mga denominador? Sa kasong ito, ang mga fraction ay binabawasan sa parehong denominator at ang tinukoy na aksyon ay ginanap. Upang baguhin (ibahin ang anyo) ng isang fraction, ang pangunahing katangian ng fraction ay ginagamit.

Isaalang-alang ang mga simpleng halimbawa:

Sa mga halimbawang ito, makikita natin kaagad kung paano mako-convert ang isa sa mga fraction upang makakuha ng mga pantay na denominator.

Kung magtatalaga tayo ng mga paraan upang bawasan ang mga fraction sa isang denominator, kung gayon ito ang tatawagin UNANG PARAAN.

Iyon ay, kaagad kapag "pagsusuri" ng bahagi, kailangan mong malaman kung gagana ang gayong diskarte - sinusuri namin kung ang mas malaking denominator ay nahahati sa mas maliit. At kung ito ay nahahati, pagkatapos ay ginagawa namin ang pagbabagong-anyo - pinarami namin ang numerator at denominator upang ang mga denominador ng parehong mga fraction ay maging pantay.

Ngayon tingnan ang mga halimbawang ito:

Ang pamamaraang ito ay hindi naaangkop sa kanila. Mayroong iba pang mga paraan upang bawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, isaalang-alang ang mga ito.

Pamamaraan PANGALAWA.

I-multiply ang numerator at denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa, at ang numerator at denominator ng pangalawang fraction sa denominator ng una:

*Sa katunayan, nagdadala tayo ng mga fraction sa anyo kapag naging pantay ang mga denominador. Susunod, ginagamit namin ang panuntunan ng pagdaragdag ng mahiyain na may pantay na denominator.

Halimbawa:

*Maaaring tawaging unibersal ang paraang ito, at palagi itong gumagana. Ang negatibo lang ay pagkatapos ng mga kalkulasyon, maaaring lumabas ang isang fraction na kailangang bawasan pa.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

Makikita na ang numerator at denominator ay nahahati sa 5:

Pamamaraan PANGATLO.

Hanapin ang least common multiple (LCM) ng mga denominator. Ito ang magiging common denominator. Ano ang numerong ito? Ito ang pinakamaliit na natural na numero na nahahati sa bawat isa sa mga numero.

Tingnan, narito ang dalawang numero: 3 at 4, maraming mga numero na nahahati sa kanila - ito ay 12, 24, 36, ... Ang pinakamaliit sa kanila ay 12. O 6 at 15, 30, 60, 90 ay mahahati sa kanila.... Hindi bababa sa 30. Tanong - paano matukoy ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ito?

Mayroong isang malinaw na algorithm, ngunit kadalasan ito ay maaaring gawin kaagad nang walang mga kalkulasyon. Halimbawa, ayon sa mga halimbawa sa itaas (3 at 4, 6 at 15), walang algorithm na kailangan, kumuha kami ng malalaking numero (4 at 15), dinoble ang mga ito at nakita na sila ay nahahati sa pangalawang numero, ngunit mga pares ng mga numero. maaaring iba, gaya ng 51 at 119.

Algorithm. Upang matukoy ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero, dapat mong:

- I-decompose ang bawat isa sa mga numero sa SIMPLE na mga kadahilanan

- isulat ang pagkabulok ng MAS MALAKI sa kanila

- i-multiply ito sa MISSING factor ng iba pang numero

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

50 at 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

sa pagpapalawak ng mas malaking bilang, nawawala ang isa lima

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 at 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

sa pagpapalawak ng mas malaking bilang, dalawa at tatlo ang nawawala

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang prime number ay katumbas ng kanilang produkto

Tanong! At bakit kapaki-pakinabang upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang, dahil maaari mong gamitin ang pangalawang paraan at bawasan lamang ang resultang fraction? Oo, maaari mo, ngunit hindi ito palaging maginhawa. Tingnan ang denominator para sa mga numerong 48 at 72, kung i-multiply mo lang ang mga ito 48∙72 = 3456. Sumang-ayon na mas kaaya-aya na magtrabaho sa mas maliliit na numero.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

sa pagpapalawak ng mas malaking bilang, isang triple ang nawawala

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

At ngayon inilalapat namin ang unang paraan:

* Tingnan ang pagkakaiba sa mga kalkulasyon, sa unang kaso mayroong isang minimum ng mga ito, at sa pangalawa kailangan mong magtrabaho nang hiwalay sa isang piraso ng papel, at kahit na ang bahagi na nakuha mo ay kailangang bawasan. Ang paghahanap ng LCM ay lubos na nagpapasimple sa gawain.

Higit pang mga halimbawa:

* Sa pangalawang halimbawa, malinaw na ang pinakamaliit na bilang na nahahati sa 40 at 60 ay 120.

KABUUAN! PANGKALAHATANG PAGKUKULANG ALGORITHM!

- nagdadala kami ng mga fraction sa mga ordinaryong, kung mayroong isang integer na bahagi.

- dinadala natin ang mga fraction sa isang common denominator (tinitingnan muna natin kung ang isang denominator ay nahahati sa isa pa, kung ito ay nahahati, pagkatapos ay i-multiply natin ang numerator at denominator ng ibang fraction na ito; kung hindi ito mahahati, kumikilos tayo gamit ang iba pang mga pamamaraan na ipinahiwatig sa itaas).

- pagkakaroon ng natanggap na mga fraction na may pantay na denominator, nagsasagawa kami ng mga aksyon (pagdaragdag, pagbabawas).

- kung kinakailangan, binabawasan namin ang resulta.

- kung kinakailangan, piliin ang buong bahagi.

2. Produkto ng mga fraction.

Simple lang ang panuntunan. Kapag nagpaparami ng mga fraction, ang kanilang mga numerator at denominator ay pinaparami:

Mga halimbawa: