Unang antas

Function derivative. Comprehensive Guide (2019)

Isipin ang isang tuwid na kalsada na dumadaan sa isang maburol na lugar. Ibig sabihin, ito ay pataas at pababa, ngunit hindi lumiliko sa kanan o kaliwa. Kung ang axis ay nakadirekta nang pahalang sa kahabaan ng kalsada, at patayo, ang linya ng kalsada ay magiging halos kapareho sa graph ng ilang tuluy-tuloy na function:

Ang axis ay isang tiyak na antas ng zero na taas, sa buhay ginagamit natin ang antas ng dagat bilang ito.

Pasulong sa kahabaan ng naturang kalsada, tayo rin ay umaakyat o pababa. Masasabi rin natin: kapag nagbago ang argumento (gumagalaw kasama ang abscissa axis), nagbabago ang halaga ng function (gumagalaw kasama ang ordinate axis). Ngayon isipin natin kung paano matukoy ang "steep" ng ating kalsada? Ano kaya ang halagang ito? Napakasimple: gaano kalaki ang magbabago sa taas kapag sumusulong sa isang tiyak na distansya. Sa katunayan, sa iba't ibang mga seksyon ng kalsada, pasulong (sa kahabaan ng abscissa) isang kilometro, tayo ay tataas o bababa ng ibang bilang ng mga metro na may kaugnayan sa antas ng dagat (kasama ang ordinate).

Tinutukoy namin ang pag-unlad pasulong (basahin ang "delta x").

Ang letrang Griyego (delta) ay karaniwang ginagamit sa matematika bilang prefix na nangangahulugang "pagbabago". Iyon ay - ito ay isang pagbabago sa magnitude, - isang pagbabago; Pagkatapos ano? Tama, pagbabago ng laki.

Mahalaga: ang expression ay isang solong entity, isang variable. Hindi mo dapat tanggalin ang "delta" mula sa "x" o anumang iba pang titik! Iyon ay, halimbawa, .

Kaya, kami ay sumulong, pahalang, sa. Kung ihahambing natin ang linya ng kalsada sa graph ng isang function, kung gayon paano natin tinutukoy ang pagtaas? Tiyak, . Iyon ay, kapag sumusulong tayo ay tumataas nang mas mataas.

Madaling kalkulahin ang halaga: kung sa simula tayo ay nasa taas, at pagkatapos lumipat tayo ay nasa taas, kung gayon. Kung ang dulong punto ay naging mas mababa kaysa sa panimulang punto, ito ay magiging negatibo - nangangahulugan ito na hindi tayo pataas, ngunit pababa.

Bumalik sa "steepness": ito ay isang value na nagsasaad kung gaano kalaki (steeply) ang pagtaas ng taas kapag sumusulong sa bawat unit na distansya:

Ipagpalagay na sa ilang seksyon ng landas, kapag sumusulong ng km, ang kalsada ay tumaas ng km. Tapos ang tirik sa lugar na ito ay pantay. At kung ang kalsada, kapag sumusulong ng m, lumubog ng km? Pagkatapos ay pantay ang slope.

Ngayon isaalang-alang ang tuktok ng isang burol. Kung dadalhin mo ang simula ng seksyon kalahating kilometro sa tuktok, at ang dulo - kalahating kilometro pagkatapos nito, makikita mo na ang taas ay halos pareho.

Iyon ay, ayon sa aming lohika, lumalabas na ang slope dito ay halos katumbas ng zero, na malinaw na hindi totoo. Marami ang maaaring magbago ilang milya lamang ang layo. Ang mga maliliit na lugar ay kailangang isaalang-alang para sa isang mas sapat at tumpak na pagtatantya ng steepness. Halimbawa, kung susukatin mo ang pagbabago sa taas kapag gumagalaw ng isang metro, ang resulta ay magiging mas tumpak. Ngunit kahit na ang katumpakan na ito ay maaaring hindi sapat para sa atin - pagkatapos ng lahat, kung mayroong isang poste sa gitna ng kalsada, maaari tayong dumaan dito. Anong distansya ang dapat nating piliin kung gayon? sentimetro? milimetro? Mas kaunti ay mas mabuti!

Sa totoong buhay, ang pagsukat ng distansya sa pinakamalapit na milimetro ay higit pa sa sapat. Ngunit ang mga mathematician ay palaging nagsusumikap para sa pagiging perpekto. Samakatuwid, ang konsepto ay infinitesimal, ibig sabihin, ang halaga ng modulo ay mas mababa sa anumang numero na maaari nating pangalanan. Halimbawa, sasabihin mo: isang trilyon! gaano pa kaunti? At hinati mo ang numerong ito sa - at magiging mas kaunti pa ito. atbp. Kung gusto naming isulat na ang halaga ay walang katapusang maliit, sumusulat kami ng ganito: (nababasa namin ang "x ay may posibilidad na zero"). Napakahalagang maunawaan na ang numerong ito ay hindi katumbas ng zero! Ngunit napakalapit dito. Nangangahulugan ito na maaari itong hatiin sa.

Ang konsepto na kabaligtaran ng walang hanggan maliit ay walang hanggan malaki (). Marahil ay naranasan mo na ito noong ikaw ay gumagawa ng mga hindi pagkakapantay-pantay: ang bilang na ito ay mas malaki sa modulus kaysa sa anumang numerong maiisip mo. Kung makabuo ka ng pinakamalaking posibleng numero, i-multiply lang ito sa dalawa at makakakuha ka ng higit pa. At ang infinity ay higit pa sa nangyayari. Sa katunayan, ang walang hanggan malaki at walang hanggan maliit ay kabaligtaran sa isa't isa, iyon ay, sa, at vice versa: at.

Ngayon bumalik sa aming kalsada. Ang perpektong kinakalkula na slope ay ang slope na kinakalkula para sa isang walang katapusang maliit na bahagi ng landas, iyon ay:

Pansinin ko na sa isang walang katapusang maliit na displacement, ang pagbabago sa taas ay magiging napakaliit din. Ngunit hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang walang katapusang maliit ay hindi nangangahulugang katumbas ng zero. Kung hahatiin mo ang mga infinitesimal na numero sa isa't isa, maaari kang makakuha ng ganap na ordinaryong numero, halimbawa,. Iyon ay, ang isang maliit na halaga ay maaaring eksaktong dalawang beses na mas malaki kaysa sa isa pa.

Bakit lahat ng ito? Ang daan, ang tirik ... Hindi tayo magra-rally, pero nag-aaral tayo ng matematika. At sa matematika ang lahat ay eksaktong pareho, naiiba lamang ang tawag.

Ang konsepto ng isang derivative

Ang derivative ng isang function ay ang ratio ng increment ng function sa increment ng argument sa isang infinitesimal na increment ng argument.

Pagtaas sa matematika ay tinatawag na pagbabago. Kung gaano kalaki ang nabago ng argumento () kapag gumagalaw kasama ang axis ay tinatawag pagtaas ng argumento at tinutukoy ng Gaano kalaki ang nabago ng function (taas) kapag sumusulong kasama ang axis sa pamamagitan ng isang distansya ay tinatawag pagtaas ng function at minarkahan.

Kaya, ang derivative ng isang function ay ang kaugnayan sa kung kailan. Tinutukoy namin ang derivative na may parehong titik bilang ang function, sa pamamagitan lamang ng isang stroke mula sa kanang tuktok: o simple. Kaya, isulat natin ang derivative formula gamit ang mga notasyong ito:

Tulad ng pagkakatulad sa kalsada, dito, kapag tumaas ang function, ang derivative ay positibo, at kapag ito ay bumaba, ito ay negatibo.

Ngunit ang derivative ba ay katumbas ng zero? tiyak. Halimbawa, kung kami ay nagmamaneho sa isang patag na pahalang na kalsada, ang matarik ay zero. Sa katunayan, ang taas ay hindi nagbabago. Kaya sa derivative: ang derivative ng isang constant function (constant) ay katumbas ng zero:

dahil ang pagtaas ng naturang function ay zero para sa alinman.

Kunin natin ang halimbawa sa tuktok ng burol. Ito ay naging posible na ayusin ang mga dulo ng segment sa magkabilang panig ng vertex sa paraang ang taas sa mga dulo ay magiging pareho, iyon ay, ang segment ay kahanay sa axis:

Ngunit ang malalaking segment ay tanda ng hindi tumpak na pagsukat. Itataas namin ang aming segment parallel sa sarili nito, pagkatapos ay bababa ang haba nito.

Sa huli, kapag malapit na tayo sa tuktok, ang haba ng segment ay magiging napakaliit. Ngunit sa parehong oras, ito ay nanatiling parallel sa axis, iyon ay, ang pagkakaiba sa taas sa mga dulo nito ay katumbas ng zero (ay hindi malamang, ngunit katumbas ng). Kaya ang derivative

Ito ay mauunawaan bilang mga sumusunod: kapag tayo ay nakatayo sa pinakatuktok, ang isang maliit na paglipat sa kaliwa o kanan ay nagbabago sa ating taas nang bale-wala.

Mayroon ding purong algebraic na paliwanag: sa kaliwa ng itaas, ang function ay tumataas, at sa kanan, ito ay bumababa. Tulad ng nalaman na natin kanina, kapag ang function ay tumaas, ang derivative ay positibo, at kapag ito ay bumaba, ito ay negatibo. Ngunit ito ay nagbabago nang maayos, nang walang pagtalon (dahil ang kalsada ay hindi nagbabago nang husto sa slope nito kahit saan). Samakatuwid, dapat mayroong pagitan ng negatibo at positibong mga halaga. Ito ay kung saan ang function ay hindi tumataas o bumababa - sa vertex point.

Totoo rin ito para sa lambak (ang lugar kung saan bumababa ang function sa kaliwa at tumataas sa kanan):

Kaunti pa tungkol sa mga increment.

Kaya binago namin ang argumento sa isang halaga. Nagbabago tayo mula sa anong halaga? Ano na siya (argumento) ngayon? Maaari tayong pumili ng anumang punto, at ngayon ay sasayaw tayo mula rito.

Isaalang-alang ang isang punto na may coordinate. Ang halaga ng function sa loob nito ay pantay. Pagkatapos ay ginagawa namin ang parehong pagtaas: taasan ang coordinate ng. Ano ang argumento ngayon? Napakadaling: . Ano ang halaga ng function ngayon? Kung saan napupunta ang argumento, napupunta doon ang function: . Paano ang tungkol sa pagtaas ng function? Walang bago: ito pa rin ang halaga kung saan nagbago ang function:

Magsanay sa paghahanap ng mga increment:

1. Hanapin ang increment ng function sa isang punto na may increment ng argument na katumbas ng.
2. Ang parehong para sa isang function sa isang punto.

Mga solusyon:

Sa iba't ibang mga punto, na may parehong pagtaas ng argumento, ang pagtaas ng function ay magiging iba. Nangangahulugan ito na ang derivative sa bawat punto ay may sariling (tinalakay namin ito sa pinakadulo simula - iba ang matarik na kalsada sa iba't ibang mga punto). Samakatuwid, kapag sumulat tayo ng isang derivative, dapat nating ipahiwatig kung anong punto:

Pag-andar ng kapangyarihan.

Ang isang function ng kapangyarihan ay tinatawag na isang function kung saan ang argumento ay sa ilang lawak (lohikal, tama?).

At - sa anumang lawak: .

Ang pinakasimpleng kaso ay kapag ang exponent ay:

Hanapin natin ang derivative nito sa isang punto. Tandaan ang kahulugan ng derivative:

Kaya ang argumento ay nagbabago mula sa. Ano ang function increment?

Ang pagtaas ay. Ngunit ang pag-andar sa anumang punto ay katumbas ng argumento nito. Kaya:

Ang derivative ay:

Ang derivative ng ay:

b) Ngayon isaalang-alang ang quadratic function (): .

Ngayon tandaan natin iyan. Nangangahulugan ito na ang halaga ng pagtaas ay maaaring mapabayaan, dahil ito ay walang katapusan na maliit, at samakatuwid ay hindi gaanong mahalaga laban sa background ng isa pang termino:

Kaya, mayroon kaming isa pang panuntunan:

c) Ipinagpapatuloy namin ang lohikal na serye: .

Ang expression na ito ay maaaring pasimplehin sa iba't ibang paraan: buksan ang unang bracket gamit ang formula para sa pinaikling multiplikasyon ng cube ng kabuuan, o i-decompose ang buong expression sa mga salik gamit ang formula para sa pagkakaiba ng mga cube. Subukang gawin ito sa iyong sarili sa alinman sa mga iminungkahing paraan.

Kaya, nakuha ko ang sumusunod:

At muli nating tandaan iyon. Nangangahulugan ito na maaari nating pabayaan ang lahat ng mga terminong naglalaman ng:

Nakukuha namin ang: .

d) Maaaring makuha ang mga katulad na tuntunin para sa malalaking kapangyarihan:

e) Lumalabas na ang panuntunang ito ay maaaring gawing pangkalahatan para sa isang power function na may arbitrary exponent, hindi kahit isang integer:

(2)

Maaari mong bumalangkas ng panuntunan sa mga salitang: "ang antas ay dinadala bilang isang koepisyent, at pagkatapos ay bumababa ng".

Papatunayan natin ang panuntunang ito mamaya (halos sa pinakadulo). Ngayon tingnan natin ang ilang halimbawa. Hanapin ang derivative ng mga function:

1. (sa dalawang paraan: sa pamamagitan ng formula at paggamit ng kahulugan ng derivative - sa pamamagitan ng pagbibilang ng pagtaas ng function);

1. . Maniwala ka man o hindi, ito ay isang power function. Kung mayroon kang mga tanong tulad ng "Paano ito? At nasaan ang degree? ”, Tandaan ang paksa“ ”!
   Oo, oo, ang ugat ay isang degree din, isang fractional lamang:.
   Kaya ang aming square root ay isang kapangyarihan lamang na may exponent:
   .
   Hinahanap namin ang derivative gamit ang kamakailang natutunang formula:

   Kung sa puntong ito ay naging hindi malinaw muli, ulitin ang paksang "" !!! (tungkol sa isang degree na may negatibong tagapagpahiwatig)

2. . Ngayon ang exponent:

   At ngayon sa pamamagitan ng kahulugan (nakalimutan mo na ba?):
   ;
   .
   Ngayon, gaya ng dati, pinababayaan namin ang terminong naglalaman ng:
   .

3. . Kumbinasyon ng mga nakaraang kaso: .

trigonometriko function.

Dito gagamitin natin ang isang katotohanan mula sa mas mataas na matematika:

Kapag expression.

Malalaman mo ang patunay sa unang taon ng institute (at para makarating doon, kailangan mong makapasa ng mabuti sa pagsusulit). Ngayon ay ipapakita ko lang ito nang graphical:

Nakikita namin na kapag ang function ay hindi umiiral - ang punto sa graph ay mabutas. Ngunit kung mas malapit sa halaga, mas malapit ang pag-andar. Ito ang mismong "nagsusumikap".

Bilang karagdagan, maaari mong suriin ang panuntunang ito gamit ang isang calculator. Oo, oo, huwag kang mahiya, kumuha ng calculator, wala pa tayo sa pagsusulit.

Subukan Natin: ;

Huwag kalimutang ilipat ang calculator sa Radians mode!

atbp. Nakikita namin na ang mas maliit, mas malapit ang halaga ng ratio sa.

a) Isaalang-alang ang isang function. Gaya ng dati, nakita namin ang pagtaas nito:

Gawin nating produkto ang pagkakaiba ng mga sine. Upang gawin ito, ginagamit namin ang formula (tandaan ang paksang ""):.

Ngayon ang derivative:

Gumawa tayo ng pamalit: . Pagkatapos, para sa walang hanggan maliit, ito rin ay walang hanggan maliit: . Ang expression para sa ay tumatagal sa anyo:

At ngayon naaalala natin iyon sa ekspresyon. At gayundin, paano kung ang isang walang katapusang maliit na halaga ay maaaring mapabayaan sa kabuuan (iyon ay, sa).

Kaya nakuha namin ang sumusunod na panuntunan: ang derivative ng sine ay katumbas ng cosine:

Ito ay mga pangunahing derivatives ("talahanayan"). Narito sila sa isang listahan:

Sa ibang pagkakataon ay magdaragdag kami ng ilan pa sa kanila, ngunit ito ang pinakamahalaga, dahil madalas silang ginagamit.

Pagsasanay:

1. Hanapin ang derivative ng isang function sa isang punto;
2. Hanapin ang derivative ng function.

Mga solusyon:

1. Una, hinahanap namin ang derivative sa isang pangkalahatang anyo, at pagkatapos ay pinapalitan namin ang halaga nito sa halip:
   ;
   .
2. Narito mayroon kaming isang bagay na katulad ng isang power function. Subukan nating dalhin siya sa
   normal na view:
   .
   Ok, ngayon ay maaari mong gamitin ang formula:
   .
   .
3. . Eeeeee.... Ano yun????

Okay, tama ka, hindi pa rin namin alam kung paano makahanap ng mga derivatives. Narito mayroon kaming isang kumbinasyon ng ilang mga uri ng mga pag-andar. Upang makatrabaho sila, kailangan mong matuto ng ilan pang panuntunan:

Exponent at natural logarithm.

Mayroong ganoong function sa matematika, ang derivative nito para sa alinman ay katumbas ng halaga ng mismong function para sa pareho. Ito ay tinatawag na "exponent", at isang exponential function

Ang base ng function na ito - isang pare-pareho - ay isang walang katapusang decimal fraction, iyon ay, isang hindi makatwiran na numero (tulad ng). Ito ay tinatawag na "Euler number", kung kaya't ito ay tinutukoy ng isang titik.

Kaya ang panuntunan ay:

Napakadaling tandaan.

Well, hindi tayo lalayo, agad nating isasaalang-alang ang inverse function. Ano ang kabaligtaran ng exponential function? Logarithm:

Sa aming kaso, ang base ay isang numero:

Ang ganitong logarithm (iyon ay, isang logarithm na may base) ay tinatawag na "natural", at gumagamit kami ng isang espesyal na notasyon para dito: sumulat kami sa halip.

Ano ang katumbas ng? Syempre, .

Ang derivative ng natural logarithm ay napaka-simple din:

Mga halimbawa:

1. Hanapin ang derivative ng function.
2. Ano ang derivative ng function?

Mga sagot: Ang exponent at ang natural na logarithm ay mga function na kakaibang simple sa mga tuntunin ng derivative. Ang mga exponential at logarithmic function sa anumang iba pang base ay magkakaroon ng ibang derivative, na susuriin natin sa ibang pagkakataon, pagkatapos nating dumaan sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan.

Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba

Anong mga patakaran? Panibagong termino na naman?!...

Pagkakaiba-iba ay ang proseso ng paghahanap ng derivative.

Tanging at lahat. Ano ang isa pang salita para sa prosesong ito? Hindi proizvodnovanie... Ang kaugalian ng matematika ay tinatawag na mismong pagtaas ng function sa. Ang terminong ito ay nagmula sa Latin differentia - pagkakaiba. Dito.

Kapag nakuha ang lahat ng mga panuntunang ito, gagamit kami ng dalawang function, halimbawa, at. Kakailanganin din namin ang mga formula para sa kanilang mga increment:

Mayroong 5 panuntunan sa kabuuan.

Ang pare-pareho ay kinuha sa labas ng sign ng derivative.

Kung - ilang pare-parehong numero (constant), kung gayon.

Malinaw, gumagana din ang panuntunang ito para sa pagkakaiba: .

Patunayan natin. Hayaan, o mas madali.

Mga halimbawa.

Maghanap ng mga derivatives ng mga function:

1. sa punto;
2. sa punto;
3. sa punto;
4. sa punto.

Mga solusyon:

1. (ang derivative ay pareho sa lahat ng mga punto, dahil ito ay isang linear function, tandaan?);

Derivative ng isang produkto

Ang lahat ay magkatulad dito: ipinakilala namin ang isang bagong function at hinahanap ang pagtaas nito:

Derivative:

Mga halimbawa:

1. Maghanap ng mga derivatives ng mga function at;
2. Hanapin ang derivative ng isang function sa isang punto.

Mga solusyon:

Derivative ng exponential function

Ngayon ang iyong kaalaman ay sapat na upang matutunan kung paano hanapin ang derivative ng anumang exponential function, at hindi lamang ang exponent (nakalimutan mo na ba kung ano ito?).

Kaya kung saan ang ilang numero.

Alam na natin ang derivative ng function, kaya subukan nating dalhin ang ating function sa isang bagong base:

Upang gawin ito, gumagamit kami ng isang simpleng panuntunan: . Pagkatapos:

Well, ito ay nagtrabaho. Ngayon subukang hanapin ang derivative, at huwag kalimutan na ang function na ito ay kumplikado.

Nangyari?

Dito, suriin ang iyong sarili:

Ang formula ay naging halos kapareho sa derivative ng exponent: tulad ng dati, nananatili ito, isang salik lamang ang lumitaw, na isang numero lamang, ngunit hindi isang variable.

Mga halimbawa:
Maghanap ng mga derivatives ng mga function:

Mga sagot:

Ito ay isang numero lamang na hindi maaaring kalkulahin nang walang calculator, iyon ay, hindi ito maaaring isulat sa isang mas simpleng anyo. Samakatuwid, sa sagot ito ay naiwan sa form na ito.

Derivative ng isang logarithmic function

Narito ito ay katulad: alam mo na ang derivative ng natural logarithm:

Samakatuwid, upang makahanap ng isang arbitrary mula sa logarithm na may ibang base, halimbawa, :

Kailangan nating dalhin ang logarithm na ito sa base. Paano mo babaguhin ang base ng isang logarithm? Sana ay tandaan mo ang formula na ito:

Ngayon lamang sa halip na magsusulat tayo:

Ang denominator ay naging pare-pareho lamang (isang pare-parehong numero, walang variable). Ang derivative ay napaka-simple:

Ang mga derivatives ng exponential at logarithmic function ay halos hindi makikita sa pagsusulit, ngunit hindi magiging kalabisan na malaman ang mga ito.

Derivative ng isang kumplikadong function.

Ano ang isang "kumplikadong function"? Hindi, hindi ito isang logarithm, at hindi isang arc tangent. Ang mga function na ito ay maaaring mahirap maunawaan (bagaman kung ang logarithm ay tila mahirap sa iyo, basahin ang paksang "Logarithm" at lahat ay gagana), ngunit sa mga tuntunin ng matematika, ang salitang "kumplikado" ay hindi nangangahulugang "mahirap".

Isipin ang isang maliit na conveyor: dalawang tao ang nakaupo at gumagawa ng ilang mga aksyon sa ilang mga bagay. Halimbawa, binalot ng una ang isang chocolate bar sa isang wrapper, at ang pangalawa ay tinatali ito ng isang laso. Ito ay lumiliko tulad ng isang pinagsama-samang bagay: isang chocolate bar na nakabalot at nakatali sa isang laso. Upang kumain ng chocolate bar, kailangan mong gawin ang kabaligtaran na mga hakbang sa reverse order.

Gumawa tayo ng katulad na mathematical pipeline: unang makikita natin ang cosine ng isang numero, at pagkatapos ay i-square natin ang resultang numero. Kaya, binibigyan nila kami ng isang numero (tsokolate), nakita ko ang cosine nito (pambalot), at pagkatapos ay i-square mo ang nakuha ko (itali ito ng isang laso). Anong nangyari? Function. Ito ay isang halimbawa ng isang kumplikadong function: kapag, upang mahanap ang halaga nito, ginagawa namin ang unang aksyon nang direkta sa variable, at pagkatapos ay isa pang pangalawang aksyon sa kung ano ang nangyari bilang resulta ng una.

Maaari naming gawin ang parehong mga aksyon sa reverse order: una mong parisukat, at pagkatapos ay hinahanap ko ang cosine ng resultang numero:. Madaling hulaan na ang resulta ay halos palaging naiiba. Isang mahalagang katangian ng mga kumplikadong function: kapag nagbabago ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon, nagbabago ang function.

Sa ibang salita, Ang isang kumplikadong function ay isang function na ang argumento ay isa pang function: .

Para sa unang halimbawa, .

Pangalawang halimbawa: (pareho). .

Ang huling aksyon na gagawin natin ay tatawagin "panlabas" na function, at ang aksyon na unang ginawa - ayon sa pagkakabanggit "panloob" na function(ito ay mga impormal na pangalan, ginagamit ko lamang ang mga ito upang ipaliwanag ang materyal sa simpleng wika).

Subukang tukuyin para sa iyong sarili kung aling function ang panlabas at kung alin ang panloob:

Mga sagot: Ang paghihiwalay ng panloob at panlabas na mga pag-andar ay halos kapareho sa pagbabago ng mga variable: halimbawa, sa pag-andar

1. Anong aksyon ang una nating gagawin? Una naming kalkulahin ang sine, at pagkatapos ay itataas namin ito sa isang kubo. Kaya ito ay isang panloob na pag-andar, hindi isang panlabas.
   At ang orihinal na function ay ang kanilang komposisyon: .
2. Panloob: ; panlabas: .
   Pagsusuri: .
3. Panloob: ; panlabas: .
   Pagsusuri: .
4. Panloob: ; panlabas: .
   Pagsusuri: .
5. Panloob: ; panlabas: .
   Pagsusuri: .

binabago namin ang mga variable at kumuha ng isang function.

Well, ngayon ay kukunin namin ang aming tsokolate - hanapin ang hinango. Ang pamamaraan ay palaging binabaligtad: una ay hinahanap namin ang derivative ng panlabas na function, pagkatapos ay pinarami namin ang resulta sa derivative ng panloob na function. Para sa orihinal na halimbawa, ganito ang hitsura:

Isa pang halimbawa:

Kaya, sa wakas ay bumalangkas tayo ng opisyal na panuntunan:

Algorithm para sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function:

Parang simple lang ang lahat, tama ba?

Suriin natin gamit ang mga halimbawa:

Mga solusyon:

1) Panloob: ;

Panlabas: ;

2) Panloob: ;

(huwag mo lang subukang bawasan sa ngayon! Walang naalis sa ilalim ng cosine, remember?)

3) Panloob: ;

Panlabas: ;

Kaagad na malinaw na mayroong tatlong antas na kumplikadong pag-andar dito: pagkatapos ng lahat, ito ay isang kumplikadong pag-andar sa sarili nito, at kinukuha pa rin namin ang ugat mula dito, iyon ay, ginagawa namin ang pangatlong aksyon (ilagay ang tsokolate sa isang wrapper. at may laso sa isang portpolyo). Ngunit walang dahilan upang matakot: gayon pa man, "i-unpack" namin ang function na ito sa parehong pagkakasunud-sunod tulad ng dati: mula sa dulo.

Iyon ay, una nating pinag-iiba ang ugat, pagkatapos ay ang cosine, at pagkatapos lamang ang expression sa mga bracket. At pagkatapos ay pinarami natin ang lahat.

Sa ganitong mga kaso, ito ay maginhawa upang bilangin ang mga aksyon. Ibig sabihin, isipin natin kung ano ang alam natin. Sa anong pagkakasunud-sunod namin magsasagawa ng mga aksyon upang makalkula ang halaga ng expression na ito? Tingnan natin ang isang halimbawa:

Sa paglaon ang aksyon ay ginanap, mas magiging "panlabas" ang kaukulang function. Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon - tulad ng dati:

Dito ang nesting ay karaniwang 4-level. Tukuyin natin ang takbo ng aksyon.

1. Radikal na pagpapahayag. .

2. Ugat. .

3. Sinus. .

4. Square. .

5. Pinagsasama-sama ang lahat:

DERIVATIVE. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING

Function derivative- ang ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento na may infinitesimal na pagtaas ng argumento:

Mga pangunahing derivatives:

Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba:

Ang pare-pareho ay kinuha sa labas ng tanda ng hinalaw:

Derivative ng sum:

Derivative na produkto:

Derivative ng quotient:

Derivative ng isang kumplikadong function:

Algorithm para sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function:

1. Tinukoy namin ang "panloob" na function, hanapin ang derivative nito.
2. Tinukoy namin ang "panlabas" na function, hanapin ang hinango nito.
3. Pina-multiply namin ang mga resulta ng una at pangalawang puntos.

Pagkalkula ng derivative ay isa sa pinakamahalagang operasyon sa differential calculus. Nasa ibaba ang isang talahanayan para sa paghahanap ng mga derivatives ng mga simpleng function. Para sa mas kumplikadong mga panuntunan sa pagkakaiba-iba, tingnan ang iba pang mga aralin:

• Talaan ng mga derivative ng exponential at logarithmic function

Gamitin ang mga ibinigay na formula bilang mga reference na halaga. Makakatulong sila sa paglutas ng mga differential equation at problema. Sa larawan, sa talahanayan ng mga derivatives ng mga simpleng function, mayroong isang "cheat sheet" ng mga pangunahing kaso ng paghahanap ng derivative sa isang form na naiintindihan para sa paggamit, sa tabi nito ay mga paliwanag para sa bawat kaso.

Mga derivatives ng mga simpleng function

1. Ang derivative ng isang numero ay zero
с´ = 0
Halimbawa:
5' = 0

Paliwanag:
Ipinapakita ng derivative ang rate kung saan nagbabago ang halaga ng function kapag nagbago ang argumento. Dahil ang numero ay hindi nagbabago sa anumang paraan sa ilalim ng anumang mga kundisyon, ang rate ng pagbabago nito ay palaging zero.

2. Derivative ng isang variable katumbas ng isa
x' = 1

Paliwanag:
Sa bawat pagtaas ng argument (x) ng isa, ang halaga ng function (resulta ng pagkalkula) ay tumataas ng parehong halaga. Kaya, ang rate ng pagbabago ng halaga ng function na y = x ay eksaktong katumbas ng rate ng pagbabago ng halaga ng argumento.

3. Ang derivative ng variable at factor ay katumbas ng factor na ito
сx´ = с
Halimbawa:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Paliwanag:
Sa kasong ito, sa bawat oras na ang function argument ( X) ang halaga nito (y) ay lumalaki kasama minsan. Kaya, ang rate ng pagbabago ng halaga ng function na may paggalang sa rate ng pagbabago ng argumento ay eksaktong katumbas ng halaga kasama.

Kung saan sinusundan iyon
(cx + b)" = c
ibig sabihin, ang pagkakaiba ng linear function na y=kx+b ay katumbas ng slope ng tuwid na linya (k).

4. Modulo derivative ng isang variable ay katumbas ng quotient ng variable na ito sa modulus nito
|x|"= x / |x| sa kondisyon na x ≠ 0
Paliwanag:
Dahil ang derivative ng variable (tingnan ang formula 2) ay katumbas ng isa, ang derivative ng module ay nagkakaiba lamang dahil ang halaga ng rate ng pagbabago ng function ay nagbabago sa kabaligtaran kapag tumatawid sa origin point (subukang gumuhit ng graph ng function na y = |x| at tingnan para sa iyong sarili. Ito ay eksaktong halaga at ibinabalik ang expression na x / |x| Kapag x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - isa. Iyon ay, sa mga negatibong halaga ng variable x, sa bawat pagtaas sa pagbabago sa argumento, ang halaga ng function ay bumababa ng eksaktong parehong halaga, at sa mga positibong halaga, sa kabaligtaran, ito ay tumataas, ngunit sa eksaktong ang parehong halaga.

5. Power derivative ng isang variable ay katumbas ng produkto ng bilang ng kapangyarihang ito at ang variable sa kapangyarihan, na nabawasan ng isa
(x c)"= cx c-1, sa kondisyon na ang x c at cx c-1 ay tinukoy at c ≠ 0
Halimbawa:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Upang isaulo ang formula:
Kunin ang exponent ng variable na "pababa" bilang isang multiplier, at pagkatapos ay bawasan ang exponent mismo ng isa. Halimbawa, para sa x 2 - ang dalawa ay nauuna sa x, at pagkatapos ay ang pinababang kapangyarihan (2-1 = 1) ay nagbigay lamang sa amin ng 2x. Ang parehong bagay ay nangyari para sa x 3 - binabaan namin ang triple, bawasan ito ng isa, at sa halip na isang kubo mayroon kaming isang parisukat, iyon ay, 3x 2 . Medyo "unscientific", ngunit napakadaling tandaan.

6.Fraction derivative 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Halimbawa:
Dahil ang isang fraction ay maaaring ilarawan bilang pagtaas sa isang negatibong kapangyarihan
(1/x)" = (x -1)" , pagkatapos ay maaari mong ilapat ang formula mula sa panuntunan 5 ng derivatives table
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Fraction derivative na may variable na di-makatwirang antas sa denominator
(1/x c)" = - c / x c+1
Halimbawa:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. pinagmulang ugat(derivative ng variable sa ilalim ng square root)
(√x)" = 1 / (2√x) o 1/2 x -1/2
Halimbawa:
(√x)" = (x 1/2)" para mailapat mo ang formula mula sa panuntunan 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivative ng isang variable sa ilalim ng root ng isang arbitrary degree
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Kung susundin natin ang kahulugan, kung gayon ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng increment ratio ng function Δ y sa pagtaas ng argumentong Δ x:

Tila malinaw na ang lahat. Ngunit subukang kalkulahin sa pamamagitan ng formula na ito, sabihin nating, ang derivative ng function f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x kasalanan x. Kung gagawin mo ang lahat sa pamamagitan ng kahulugan, pagkatapos pagkatapos ng ilang mga pahina ng mga kalkulasyon ay matutulog ka lang. Samakatuwid, may mga mas simple at mas epektibong paraan.

Upang magsimula, tandaan namin na ang tinatawag na elementarya na mga pag-andar ay maaaring makilala mula sa buong iba't ibang mga pag-andar. Ang mga ito ay medyo simpleng mga expression, ang mga derivatives na kung saan ay matagal nang kinakalkula at ipinasok sa talahanayan. Ang mga naturang function ay sapat na madaling matandaan, kasama ang kanilang mga derivatives.

Derivatives ng elementarya function

Ang mga elementary function ay lahat ng nakalista sa ibaba. Ang mga derivatives ng mga function na ito ay dapat na kilala sa puso. At saka, hindi mahirap kabisaduhin ang mga ito - kaya naman elementary sila.

Kaya, ang mga derivatives ng elementarya na pag-andar:

Pangalan	Function	Derivative
pare-pareho	f(x) = C, C ∈ R	0 (oo, oo, zero!)
Degree na may rational exponent	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = kasalanan x	cos x
Cosine	f(x) = cos x	− kasalanan x(minus sine)
Padaplis	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangent	f(x) = ctg x	− 1/kasalanan2 x
natural na logarithm	f(x) = log x	1/x
Arbitrary logarithm	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Exponential function	f(x) = e x	e x(walang nagbago)

Kung ang isang elementary function ay pinarami ng isang arbitrary na pare-pareho, kung gayon ang derivative ng bagong function ay madaling kalkulahin:

(C · f)’ = C · f ’.

Sa pangkalahatan, ang mga constant ay maaaring alisin sa sign ng derivative. Halimbawa:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Malinaw, ang mga elementary function ay maaaring idagdag sa isa't isa, multiply, hinati, at marami pang iba. Ito ay kung paano lilitaw ang mga bagong function, hindi na masyadong elementarya, ngunit din naiba-iba ayon sa ilang mga patakaran. Ang mga patakarang ito ay tinalakay sa ibaba.

Derivative ng kabuuan at pagkakaiba

Hayaan ang mga function f(x) at g(x), na ang mga derivative ay alam natin. Halimbawa, maaari mong kunin ang mga elementary function na tinalakay sa itaas. Pagkatapos ay mahahanap mo ang derivative ng kabuuan at pagkakaiba ng mga function na ito:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Kaya, ang derivative ng kabuuan (difference) ng dalawang function ay katumbas ng sum (difference) ng mga derivatives. Maaaring may higit pang mga termino. Halimbawa, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Sa mahigpit na pagsasalita, walang konsepto ng "pagbabawas" sa algebra. Mayroong isang konsepto ng "negatibong elemento". Samakatuwid, ang pagkakaiba f − g maaaring isulat muli bilang kabuuan f+ (−1) g, at pagkatapos ay isang formula na lang ang natitira - ang derivative ng kabuuan.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Function f(x) ay ang kabuuan ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya:

f ’(x) = (x 2+ kasalanan x)’ = (x 2)' + (kasalanan x)’ = 2x+ cosx;

Pareho kaming nagtatalo para sa function g(x). Tanging mayroon nang tatlong termino (mula sa punto ng view ng algebra):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Sagot:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivative ng isang produkto

Ang matematika ay isang lohikal na agham, kaya maraming tao ang naniniwala na kung ang derivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives, kung gayon ang derivative ng produkto. strike"\u003e katumbas ng produkto ng mga derivatives. Ngunit figs para sa iyo! Ang derivative ng produkto ay kinakalkula gamit ang isang ganap na naiibang formula. Namely:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Ang formula ay simple, ngunit madalas na nakalimutan. At hindi lamang mga mag-aaral, kundi pati na rin ang mga mag-aaral. Ang resulta ay maling nalutas ang mga problema.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Function f(x) ay isang produkto ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya ang lahat ay simple:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) dahil x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−kasalanan x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x)

Function g(x) ang unang multiplier ay medyo mas kumplikado, ngunit ang pangkalahatang pamamaraan ay hindi nagbabago mula dito. Malinaw, ang unang multiplier ng function g(x) ay isang polynomial, at ang derivative nito ay ang derivative ng kabuuan. Meron kami:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Sagot:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Tandaan na sa huling hakbang, ang derivative ay factorized. Sa pormal, hindi ito kinakailangan, ngunit karamihan sa mga derivative ay hindi kinakalkula sa kanilang sarili, ngunit upang galugarin ang function. Nangangahulugan ito na ang karagdagang derivative ay itutumbas sa zero, ang mga palatandaan nito ay malalaman, at iba pa. Para sa ganitong kaso, mas mainam na magkaroon ng expression na nabulok sa mga kadahilanan.

Kung may dalawang function f(x) at g(x), at g(x) ≠ 0 sa hanay ng interes sa amin, maaari naming tukuyin ang isang bagong function h(x) = f(x)/g(x). Para sa ganoong function, maaari mo ring mahanap ang derivative:

Hindi mahina, tama? Saan nagmula ang minus? Bakit g 2? Pero ganito! Ito ay isa sa mga pinaka-kumplikadong formula - hindi mo maiisip ito nang walang bote. Samakatuwid, mas mahusay na pag-aralan ito na may mga tiyak na halimbawa.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function:

May mga elementarya na function sa numerator at denominator ng bawat fraction, kaya ang kailangan lang natin ay ang formula para sa derivative ng quotient:

Sa pamamagitan ng tradisyon, isinaalang-alang namin ang numerator sa mga kadahilanan - ito ay lubos na magpapasimple sa sagot:

Ang isang kumplikadong function ay hindi kinakailangang isang formula na kalahating kilometro ang haba. Halimbawa, ito ay sapat na upang kunin ang function f(x) = kasalanan x at palitan ang variable x, sabihin, sa x 2+ln x. Iyon pala f(x) = kasalanan ( x 2+ln x) ay isang kumplikadong function. Mayroon din siyang derivative, ngunit hindi ito gagana upang mahanap ito ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas.

Paano maging? Sa ganitong mga kaso, ang pagpapalit ng isang variable at ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function ay makakatulong:

f ’(x) = f ’(t) · t', kung x ay pinalitan ng t(x).

Bilang isang tuntunin, ang sitwasyon na may pag-unawa sa formula na ito ay mas malungkot kaysa sa hinango ng quotient. Samakatuwid, mas mainam din na ipaliwanag ito sa mga partikular na halimbawa, na may detalyadong paglalarawan ng bawat hakbang.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = kasalanan ( x 2+ln x)

Tandaan na kung sa function f(x) sa halip na expression 2 x+ 3 ay magiging madali x, pagkatapos ay nakakakuha tayo ng elementary function f(x) = e x. Samakatuwid, gumawa kami ng isang pagpapalit: hayaan ang 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Hinahanap namin ang derivative ng isang kumplikadong function sa pamamagitan ng formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

At ngayon - pansin! Gumaganap ng reverse substitution: t = 2x+ 3. Nakukuha namin ang:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Ngayon tingnan natin ang function g(x). Malinaw na kailangang palitan. x 2+ln x = t. Meron kami:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (kasalanan t)’ · t' = kasi t · t ’

Baliktad na kapalit: t = x 2+ln x. Pagkatapos:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Iyon lang! Tulad ng makikita mula sa huling expression, ang buong problema ay nabawasan sa pagkalkula ng derivative ng kabuuan.

Sagot:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) dahil( x 2+ln x).

Kadalasan sa aking mga aralin, sa halip na ang terminong "derivative", ginagamit ko ang salitang "stroke". Halimbawa, ang stroke ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga stroke. Mas malinaw ba iyon? Mabuti naman.

Kaya, ang pagkalkula ng derivative ay bumaba sa pag-alis ng mga mismong stroke na ito ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas. Bilang huling halimbawa, bumalik tayo sa derivative power na may rational exponent:

(x n)’ = n · x n − 1

Iilan lang ang nakakaalam niyan sa role n maaaring isang fractional number. Halimbawa, ang ugat ay x 0.5 . Ngunit paano kung mayroong isang bagay na nakakalito sa ilalim ng ugat? Muli, ang isang kumplikadong pag-andar ay lalabas - gusto nilang magbigay ng gayong mga konstruksyon sa mga pagsusulit at pagsusulit.

Gawain. Hanapin ang derivative ng isang function:

Una, muling isulat natin ang ugat bilang isang kapangyarihan na may makatwirang exponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Ngayon gumawa kami ng isang pagpapalit: hayaan x 2 + 8x − 7 = t. Nahanap namin ang derivative sa pamamagitan ng formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−0.5 t ’.

Gumagawa kami ng reverse substitution: t = x 2 + 8x− 7. Mayroon kaming:

f ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0.5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Sa wakas, bumalik sa mga ugat:

1- Derivative, ibig sabihin sa iba't ibang gawain at katangian

1.1. Ang konsepto ng isang derivative

Hayaan ang function sa– f(x) tinukoy sa pagitan D. Kumuha ng ilang halaga X0 D at isaalang-alang ang pagtaas ∆ X: x0 +∆x D. Kung may limitasyon sa ratio ng pagbabago (increment) ng function sa katumbas na pagtaas ng argument, kapag ang huli ay may posibilidad na sa zero, pagkatapos ito ay tinatawag derivative function sa= f(x) sa punto x = x0:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_45.jpg" width="331" height="39 src=">

Ang proseso ng paghahanap ng mga derivatives ay tinatawag pagkakaiba-iba .

Kung ang f"(x) ay may hangganan para sa bawat x D, pagkatapos ay ang function sa= f(x) tinawag naiba-iba sa D. Ang isang tumpak na pormulasyon ng differentiability ng isang function at isang criterion para sa differentiability ng isang function ay ibibigay sa Sec. 1.5.

Gamit ang kahulugan ng derivative, nakakakuha kami ng ilang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at mga derivatives ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya, na pagkatapos ay ibubuod namin sa mga talahanayan.

10. Ang derivative ng isang pare-pareho ay zero:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_35.jpg" width="236" height="27">

Talaga,

Sa partikular,

30 . Para sa function y = x2 derivative y' = 2x.

Upang makuha ang formula na ito, nakita namin ang pagtaas ng function:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_23.jpg" width="72" height="35">.jpg" width="104 height=33" height="33">Gamit ang formula binomial Newton, maaari itong ipakita na para sa isang power function

1.2. Ang konsepto ng one-sided derivative

Sa mga batayan ng calculus para sa isang function sa=f(x) ipinakilala ang mga konsepto ng kaliwa at kanang mga limitasyon sa isang punto a:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_18.jpg" width="358" height="37 src=">

kanang-kamay na hinango -

Alalahanin na para sa pagkakaroon ng isang may hangganang limitasyon ng function sa= f(x) sa punto x = a ito ay kinakailangan at sapat na ang kaliwa at kanang mga limitasyon ng function sa puntong ito ay may hangganan at pantay:

(x - 0) = f’(x + 0).

1.3. Ang konsepto ng higher order derivatives

Hayaan para sa function sa= f(x) tinukoy sa set D, may derivative sa"= f"(x) sa bawat x D,t. e. ang derivative ay isang function, at para dito ang isa ay maaaring magbigay ng tanong sa pagkakaroon ng isang derivative. Derivative ng unang derivative, kung mayroon - pangalawang derivative ng function na ito o pangalawang order derivative

https://pandia.ru/text/78/516/images/image019_12.jpg" width="127" height="46 src=">

nth order derivative

0, y"" = 0,...y(n) = 0. Para sa function y = x2 derivative ikaw= 2x. Pagkatapos sa"= 2, sa""= 0,.., y(n) = 0.

1.4. Mga geometriko at mekanikal na interpretasyon ng derivative

1.4.1. Ang mekanikal na kahulugan ng derivative. Ang problema ng bilis at acceleration ng hindi pare-parehong paggalaw

Hayaan ang pagtitiwala sa landas na nilakbay ng katawan sa oras t, ay inilalarawan ng function s = s(t), at ang bilis ng paggalaw at acceleration, ayon sa pagkakabanggit, ng mga function v = v(t), a = a(t). Kung ang katawan ay gumagalaw nang pantay, kung gayon, gaya ng nalalaman mula sa pisika, s = vּt, i.e. v = s/ t. Kung ang katawan ay gumagalaw na may pare-parehong acceleration at vo= 0, pagkatapos ay acceleration a = v/ t.

Kung ang paggalaw ay hindi pare-pareho at pare-parehong pinabilis, ang average na halaga ng bilis at acceleration sa loob ng isang yugto ng panahon Δ t ay malinaw na pantay, ayon sa pagkakabanggit.

Hayaan v(t)- bilis ng paggalaw, a(t)- acceleration sa oras t.

Pagkatapos, sa gayon,

Sa kondisyon na ang mga huling limitasyon ay umiiral.

Ang mekanikal na kahulugan ng derivative: path derivatives = s(t) hindiorastay ang agarang bilis ng materyal na punto, i.e.v(t)= s"(t). Ang pangalawang derivative ng landas na may paggalang sa oras- acceleration, i.e.s""(t)= v"(t)=a(t).

Sa pagpapakilala ng konsepto ng derivative ng isang function, ayon kay F. Engels, ang paggalaw ay dumating sa matematika, dahil ang derivative ay nangangahulugan ng rate ng pagbabago ng anumang proseso, halimbawa: ang proseso ng pag-init o paglamig ng katawan, ang rate ng isang kemikal o nuclear reaction, atbp.

Halimbawa 1.1. Ang dami ng kuryente (sa coulomb) na dumadaloy sa isang konduktor ay tinutukoy ng batas Q = 2 t2 + 3 t + 4 . Hanapin ang kasalukuyang sa dulo ng ikatlong segundo.

Desisyon. Kasalukuyang lakas ako = Q" = 4 t+3. Sa t = 3 ako=15 k/s=15 A.

1.4.2.3 Padaplis na problema. Ang geometric na kahulugan ng derivative

Hayaan ang function sa= f(x) tinukoy at tuloy-tuloy sa isang punto X= x0 at sa ilang kapitbahayan ng puntong ito. Alamin natin ang geometric na kahulugan ng derivative ng isang function.

Upang malutas ang problemang ito, magpatuloy kami bilang mga sumusunod. Kumuha ng punto sa graph ng function (Fig. 1.1) М(х0 + Δх, y0 + Δу) at gumuhit ng secant M0M. Gumawa tayo ng isang punto M hanggang sa puntong M0, ibig sabihin, Δ x → 0. punto M() ay naayos, kaya ang secant sa limitasyon ay kukuha ng posisyon ng isang padaplis SA.

Tangent sa graph ng function na y= f(x) epuntoM0 ay tinatawag na limiting position ng secant M0M, sa kondisyon na ang point M ay papunta sa point M0 sa kahabaan ng curve Gf- function na graphicsy = f(x).

Pagkatapos ay ang slope ng secant M0M

sa limitasyon ay nagiging katumbas ng slope ng tangent:

{ x0 ) = tga, kung saan ang α ay ang anggulo sa pagitan ng tangent at ang positibong direksyon ng axis ng Ox(tingnan ang fig. 1.1).

Tulad ng nalalaman mula sa analytic geometry, ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto ( x0, y0) at pagkakaroon ng slope k kalooban

y - y0 =k(x-x0).

Pagkatapos, isinasaalang-alang ang geometric na kahulugan ng derivative, tangent equation (TO) sa graph ng function sa= f(x) sa punto (x0, y0) may porma

(K) y =f(x0 ) + f"(x0 )(x- x0 ).

Normal na Equation (N) - patayo sa tangent sa punto ng contact:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image028_9.jpg" width="500" height="41 src=">

(Oh)- tungkol sa-maliit ng Δx).

Teorama. Upang ang pag-andar sa= f(x) ay naiba sa puntong x D), kinakailangan at sapat na sa puntong ito ay mayroon itong may hangganang hinalaw y' =f"(x).

Patunay . Kailangan. Hayaan ang function y= f(x) naiba sa x D, ibig sabihin, ang kaugnayan (1.1) ay may hawak. Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative, isinasaalang-alang ang (1.1)

https://pandia.ru/text/78/516/images/image030_9.jpg" width="130" height="45 src=">

Pagkatapos, sa batayan ng theorem sa koneksyon sa pagitan ng isang function, limitasyon nito, at isang infinitesimal na dami

https://pandia.ru/text/78/516/images/image032_8.jpg" width="221" height="28 src=">

ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng dalawang termino, ang una ay proporsyonal sa pagtaas ng argumento Δх may proportionality factor f'(X), at ang pangalawa ay isang infinitesimal na mas mataas na pagkakasunud-sunod kaysa Δх, ibig sabihin, (1.1) holds, at sa gayon ang function ay naiba-iba sa punto x D.

Tandaan na ang ratio

https://pandia.ru/text/78/516/images/image034_10.jpg" width="170" height="64 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image036_10.jpg" width="232" height="52">(-0 )=-1 , y"(+0)=1, ngunit ang function ay tuloy-tuloy para sa X= 0.

1.6. Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba

isa. Differentiation ng algebraic sum of functions. Ang algebraic sum ng isang finite number of differentiable functions ay isang differentiable function, at ang derivative ng algebraic sum of functions ay katumbas ng algebraic sum of derivatives. Halimbawa: para sa dalawang function

https://pandia.ru/text/78/516/images/image039_8.jpg" width="280" height="91 src=">

Isaalang-alang ang pagbabago ng function at ±v kapag binabago ang argumento Δ X:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image041_9.jpg" width="260" height="55 src=">

Dahil ang limitasyon ng bawat termino ay umiiral at may hangganan ng kundisyon, ang limitasyon ng algebraic sum ay katumbas ng algebraic sum ng mga limitasyon. i.e. function (at ±v) naiba sa isang arbitrary na punto X at (u± v)" = u’ ± v’ . Napatunayan na ang assertion.

2°. Pagkita ng kaibhan ng produkto ng mga function . Ang produkto ng dalawang differentiable function ay isang differentiable function, habang ang derivative ng produkto ay katumbas ng produkto ng derivative ng unang factor ng pangalawang walang pagbabago, kasama ang unang factor na pinarami ng derivative ng pangalawa:

(atv) = at"v + uv".

Ang panuntunan sa itaas ay madaling gawing pangkalahatan sa produkto ng anumang may hangganang bilang ng mga naiba-iba na function, halimbawa.

Patunay. Sa pamamagitan ng kondisyon sa isang arbitrary na punto x D

Kapag binago ang Δ X pagbabago ng function

kumakatawan sa anyo

https://pandia.ru/text/78/516/images/image046_7.jpg" width="501" height="95">

Dahil, dahil sa pagkakaiba-iba, at

lim Δ v = 0 dahil sa pagpapatuloy ng pag-andar, pagkatapos ay sa pamamagitan ng mga katangian ng mga limitasyon

Δх→ O

(uv)" = u"v + uv".

Bilang resulta ng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng produkto ng mga function, inaanyayahan namin ang mga mambabasa na kunin ang derivative ng isang power function. un,n N :

(atn)’ = madre-1 at'

3°. Corollary ng 2°. Ang patuloy na kadahilanan ay maaaring alisin sa pag-sign

derivative:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image048_6.jpg" width="136" height="58 src=">

Patunay. Kapag binago ang Δ X isaalang-alang ang mga pagbabago sa differentiable function u = u(x),v= v(x) ≠ 0:

Δ u = [u(x+ Δх) - sila)],Δ v = [ v(x+ Δх) - v(x)].

Ang mga binagong halaga ng function ay magiging: at + Ay, v + Av,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image050_7.jpg" width="416" height="67 src=">

Mga pag-andar at= w(x),v = v(x) ≠ 0 ay naiba ayon sa kundisyon at, samakatuwid, tuluy-tuloy din, i.e.

Ayon sa mga katangian ng mga limitasyon

https://pandia.ru/text/78/516/images/image054_6.jpg" width="160" height="58 src=">

6 . Complex Function Differentiation . Hayaan ang function sa= f(at) ay naiba-iba patungkol sa X, function at= sila) naiba-iba hinggil sa X. Pagkatapos ay ang kumplikadong pag-andar sa= f(u(x)) naiba-iba hinggil sa X, at

y"=f"(u)∙ u"

Patunay . Dahil sa pagkakaiba-iba ng mga pag-andar f(u), u(x) at limitahan ang mga katangian

F(u)-u"(v)"v"(x).

70. Inverse Function Differentiation . Hayaan ang function y=f(x) naiba-iba hinggil sa X at y "x ≠ 0. Pagkatapos ay ang inverse function x =g(sa) ay naiba-iba patungkol sa sa at x "y \u003d 1 / y" x

Patunay. Talaga,

Para sa kadalian ng paggamit, ipinakita namin ang mga pangunahing tuntunin ng pagkita ng kaibhan sa Talahanayan 1.

Talahanayan 1

Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba

Numero ng formula
	c =const, c" = 0.
	(u± v)" =u"± v", at= sila),v = v(x).
	(u ∙ v)= c ∙ v" + ikaw ∙ v".
	(c ∙ v)" = c ∙ v",kasama = const.
	y = f(u), u = u(x)=>y" = f"(u) ∙ u.
	y= f(x\ x = g(y)=>x"sa =
	(uv)"=vuv-1u"+uv ln u ∙ v"

1.7.

Gamit ang kahulugan ng derivative ng isang function at ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan, makikita natin ang mga derivatives ng mga pangunahing elementary function, na ipinakita sa Talahanayan 2 sa ibaba.

talahanayan 2

Mga derivative ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya

	Mga Simpleng Function	Mga kumplikadong function

Kahulugan. Hayaang tukuyin ang function na \(y = f(x) \) sa ilang pagitan na naglalaman ng puntong \(x_0 \) sa loob. Dagdagan natin ang \(\Delta x \) sa argumento upang hindi umalis sa agwat na ito. Hanapin ang katumbas na pagtaas ng function na \(\Delta y \) (kapag dumadaan mula sa puntong \(x_0 \) patungo sa puntong \(x_0 + \Delta x \)) at buuin ang kaugnayan \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Kung may limitasyon ang kaugnayang ito sa \(\Delta x \rightarrow 0 \), kung gayon ang ipinahiwatig na limitasyon ay tinatawag derivative function\(y=f(x) \) sa puntong \(x_0 \) at tukuyin ang \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Ang simbolo na y ay kadalasang ginagamit upang tukuyin ang derivative. Tandaan na ang y" = f(x) ay isang bagong function, ngunit natural na nauugnay sa function na y = f(x), na tinukoy sa lahat ng puntong x kung saan umiiral ang limitasyon sa itaas . Ang function na ito ay tinatawag na ganito: derivative ng function na y \u003d f (x).

Ang geometric na kahulugan ng derivative binubuo ng mga sumusunod. Kung ang isang tangent na hindi parallel sa y axis ay maaaring iguhit sa graph ng function na y \u003d f (x) sa isang punto na may abscissa x \u003d a, kung gayon ang f (a) ay nagpapahayag ng slope ng tangent:
\(k = f"(a)\)

Dahil \(k = tg(a) \), ang pagkakapantay-pantay \(f"(a) = tg(a) \) ay totoo.

At ngayon binibigyang-kahulugan natin ang kahulugan ng derivative sa mga tuntunin ng tinatayang pagkakapantay-pantay. Hayaang magkaroon ng derivative ang function na \(y = f(x) \) sa isang partikular na punto \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Nangangahulugan ito na malapit sa puntong x, ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), ibig sabihin, \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Ang makabuluhang kahulugan ng nakuhang tinatayang pagkakapantay-pantay ay ang mga sumusunod: ang pagtaas ng function ay "halos proporsyonal" sa pagtaas ng argumento, at ang koepisyent ng proporsyonalidad ay ang halaga ng derivative sa isang naibigay na punto x. Halimbawa, para sa function na \(y = x^2 \) ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) ay totoo. Kung maingat nating susuriin ang kahulugan ng derivative, makikita natin na naglalaman ito ng algorithm para sa paghahanap nito.

Buuin natin ito.

Paano mahahanap ang derivative ng function y \u003d f (x) ?

1. Ayusin ang halaga \(x \), hanapin \(f(x) \)
2. Dagdagan ang \(x \) argument \(\Delta x \), lumipat sa isang bagong punto \(x+ \Delta x \), hanapin \(f(x+ \Delta x) \)
3. Hanapin ang pagtaas ng function: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Buuin ang kaugnayan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Kalkulahin ang $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ang limitasyong ito ay ang derivative ng function sa x.

Kung ang function na y = f(x) ay may derivative sa puntong x, kung gayon ito ay tinatawag na differentiable sa puntong x. Ang pamamaraan para sa paghahanap ng derivative ng function na y \u003d f (x) ay tinatawag pagkakaiba-iba mga function y = f(x).

Talakayin natin ang sumusunod na tanong: paano nauugnay ang continuity at differentiability ng isang function sa isang punto?

Hayaan ang function na y = f(x) na maging differentiable sa puntong x. Pagkatapos ay maaaring iguhit ang isang tangent sa graph ng function sa puntong M (x; f (x)) at, tandaan, ang slope ng tangent ay katumbas ng f "(x). Ang nasabing graph ay hindi maaaring "masira" sa ang punto M, ibig sabihin, ang function ay dapat na tuloy-tuloy sa x.

Ito ay pangangatwiran "sa mga daliri". Magharap tayo ng mas mahigpit na argumento. Kung ang function na y = f(x) ay naiba-iba sa puntong x, ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) ay magkakaroon. zero, pagkatapos ay \(\Delta y \ ) ay magkakaroon din ng zero, at ito ang kundisyon para sa pagpapatuloy ng function sa isang punto.

Kaya, kung ang isang function ay naiba-iba sa isang puntong x, kung gayon ito ay tuloy-tuloy din sa puntong iyon.

Ang kabaligtaran ay hindi totoo. Halimbawa: function y = |x| ay tuloy-tuloy sa lahat ng dako, lalo na sa puntong x = 0, ngunit ang padaplis sa graph ng function sa “joint point” (0; 0) ay hindi umiiral. Kung sa isang punto imposibleng gumuhit ng tangent sa graph ng isang function, kung gayon walang derivative sa puntong ito.

Isa pang halimbawa. Ang function na \(y=\sqrt(x) \) ay tuloy-tuloy sa buong linya ng numero, kabilang ang sa puntong x = 0. At ang tangent sa graph ng function ay umiiral sa anumang punto, kabilang ang sa puntong x = 0 Ngunit sa puntong ito ang tangent ay tumutugma sa y-axis, iyon ay, ito ay patayo sa abscissa axis, ang equation nito ay may anyo x \u003d 0. Walang slope para sa gayong tuwid na linya, na nangangahulugang \ ( f "(0) \) ay wala rin

Kaya, nakilala namin ang isang bagong pag-aari ng isang function - ang pagkakaiba-iba. Paano mo malalaman kung ang isang function ay naiba sa graph ng isang function?

Ang sagot ay talagang ibinigay sa itaas. Kung sa ilang mga punto ang isang tangent ay maaaring iguguhit sa graph ng isang function na hindi patayo sa x-axis, sa puntong ito ang function ay differentiable. Kung sa ilang mga punto ang tangent sa graph ng function ay hindi umiiral o ito ay patayo sa x-axis, pagkatapos ay sa puntong ito ang function ay hindi differentiable.

Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba

Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ay tinatawag pagkakaiba-iba. Kapag nagsasagawa ng operasyong ito, madalas kang kailangang magtrabaho sa mga quotient, sums, mga produkto ng mga function, pati na rin sa "mga function ng mga function", iyon ay, kumplikadong mga function. Batay sa kahulugan ng derivative, maaari tayong makakuha ng mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan na nagpapadali sa gawaing ito. Kung ang C ay isang pare-parehong numero at f=f(x), g=g(x) ay ilang mga function na naiba-iba, kung gayon ang mga sumusunod ay totoo mga panuntunan sa pagkakaiba-iba:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Compound function derivative:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Talaan ng mga derivatives ng ilang function

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \kaliwa(e^x \kanan) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $