Pag-navigate sa pahina.

Ang paraan ng parabolas (Simpson) - ang kakanyahan ng pamamaraan, formula, pagtatantya ng error, paglalarawan.

Hayaang ang function na y = f(x) ay tuloy-tuloy sa pagitan at kailangan nating kalkulahin ang tiyak na integral .

Hatiin natin ang segment sa n elementarya na mga segment ng haba ayon sa mga puntos . Hayaang ang mga punto ay ang mga midpoint ng mga segment, ayon sa pagkakabanggit. Sa kasong ito, ang lahat ng "node" ay tinutukoy mula sa pagkakapantay-pantay .

Ang kakanyahan ng parabola na pamamaraan.

Sa bawat pagitan, ang integrand ay tinatantya ng isang quadratic parabola pagpasa sa mga puntos. Samakatuwid ang pangalan ng pamamaraan - ang paraan ng parabolas.

Ginagawa ito upang kunin bilang isang tinatayang halaga ng isang tiyak na integral , na maaari nating kalkulahin gamit ang formula ng Newton-Leibniz. Ito ang ano kakanyahan ng parabola na pamamaraan.

Sa geometriko, ganito ang hitsura:

Graphic na paglalarawan ng parabola na paraan (Simpson).

Ang pulang linya ay nagpapakita ng graph ng function na y=f(x) , ang asul na linya ay nagpapakita ng approximation ng graph ng function na y=f(x) sa pamamagitan ng quadratic parabolas sa bawat elementary segment ng partition.

Derivation ng Simpson method formula (parabolas).

Sa bisa ng ikalimang pag-aari ng tiyak na integral, mayroon tayong .

Upang makuha ang formula para sa parabola na pamamaraan (Simpson), kailangan nating kalkulahin .

Hayaan (maaari tayong palaging makarating dito sa pamamagitan ng pagsasagawa ng naaangkop na pagbabagong geometric shift para sa anumang i = 1, 2, ..., n ).

Gumawa tayo ng drawing.

Ipakita natin na isang parisukat na parabola lamang ang dumadaan sa mga puntos . Sa madaling salita, pinatutunayan namin na ang mga coefficient ay natatanging tinukoy.

Dahil ang mga punto ng parabola, ang bawat isa sa mga equation ng system ay wasto

Ang nakasulat na sistema ng mga equation ay isang sistema ng linear algebraic equation sa hindi kilalang mga variable. Ang determinant ng pangunahing matrix ng sistemang ito ng mga equation ay ang Vandermonde determinant , at ito ay nonzero para sa mga hindi magkakatulad na puntos . Ipinapahiwatig nito na ang sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon (ito ay tinalakay sa artikulo), iyon ay, ang mga koepisyent ay natatanging tinutukoy, at isang solong parisukat na parabola ang dumadaan sa mga puntos.

Magpatuloy tayo sa paghahanap ng integral .

Malinaw:

Ginagamit namin ang mga pagkakapantay-pantay na ito upang gawin ang huling paglipat sa sumusunod na hanay ng mga pagkakapantay-pantay:

Kaya, maaari mong makuha ang formula ng parabola na paraan:

Formula ng Simpson method (parabolas) may porma
.

Pagtatantya ng ganap na pagkakamali ng pamamaraang Simpson.

Ganap na pagkakamali ng pamamaraan ni Simpson na-rate bilang .

Mga halimbawa ng tinatayang pagkalkula ng mga tiyak na integral sa pamamagitan ng Simpson method (parabolas).

Suriin natin ang aplikasyon ng pamamaraang Simpson (parabolas) sa tinatayang pagkalkula ng mga tiyak na integral.

Kadalasan mayroong dalawang uri ng mga gawain:

Ang isang lohikal na tanong ay lumitaw: "Sa anong antas ng katumpakan upang magsagawa ng mga intermediate na kalkulasyon"?

Ang sagot ay simple - ang katumpakan ng mga intermediate na kalkulasyon ay dapat sapat. Ang mga intermediate na kalkulasyon ay dapat isagawa nang may katumpakan ng 3-4 na mga order ng magnitude na mas mataas kaysa sa pagkakasunud-sunod ng . Gayundin, ang katumpakan ng mga intermediate na kalkulasyon ay nakasalalay sa bilang n - ang mas malaking n, ang mas tumpak na mga intermediate na kalkulasyon ay dapat isagawa.

Halimbawa.

Kalkulahin ang tiyak na integral gamit ang Simpson method, na hinahati ang integration segment sa 5 bahagi.

Desisyon.

Mula sa kondisyon alam natin na a = 0; b = 5; n = 5 .

Ang formula ng Simpson method (parabolas) ay may anyo . Upang mailapat ito, kailangan nating kalkulahin ang hakbang, tukuyin ang mga node at kalkulahin ang kaukulang mga halaga ng integrand .

Ang mga intermediate na kalkulasyon ay isasagawa nang may katumpakan ng apat na decimal na lugar (na bilugan hanggang sa ikalimang decimal na lugar).

Kaya kalkulahin natin ang hakbang .

Lumipat tayo sa mga node at ang mga halaga ng pag-andar sa kanila:

Para sa kalinawan at kaginhawahan, ibubuod namin ang mga resulta sa isang talahanayan:

Pinapalitan namin ang mga resultang nakuha sa formula ng parabola na paraan:

Kami ay partikular na kumuha ng isang tiyak na integral, na maaaring kalkulahin gamit ang Newton-Leibniz formula, upang maihambing ang mga resulta.

Ang mga resulta ay tumutugma sa loob ng daan-daang.

Halimbawa.

Kalkulahin ang Definite Integral sa pamamagitan ng pamamaraang Simpson na may katumpakan na 0.001 .

Desisyon.

Sa aming halimbawa, a = 0 , .

Una sa lahat, kailangan nating tukuyin ang n . Upang gawin ito, bumaling tayo sa hindi pagkakapantay-pantay para sa pagtatantya ng ganap na pagkakamali ng pamamaraang Simpson. Masasabi natin na kung masusumpungan natin ang n para sa kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay ay gaganapin , at kapag ginagamit ang parabola para kalkulahin ang orihinal na tiyak na integral, ang ganap na error ay hindi lalampas sa 0.001. Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat bilang .

Alamin natin kung ano ang pinakamataas na halaga ng modulus ng ikaapat na derivative ng integrand sa integration interval.

ay isang interval , at ang integration segment ay naglalaman ng extremum point, kaya .

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa hindi pagkakapantay-pantay at lutasin ito:

Bilang n ay isang natural na numero (ito ang parehong bilang ng mga segment kung saan nahahati ang segment ng integration), pagkatapos ay maaari naming kunin ang n = 5, 6, 7, ... Upang hindi makagawa ng hindi kinakailangang mga kalkulasyon, kumuha kami ng n = 5 .

Ngayon kumilos kami tulad ng sa nakaraang halimbawa. Sa mga intermediate na kalkulasyon, iikot tayo sa ikaanim na pagkakasunud-sunod.

Kalkulahin ang hakbang .

Natagpuan namin ang mga node at ang mga halaga ng integrand sa kanila:

Pinagsasama namin ang mga resulta ng mga kalkulasyon sa isang talahanayan:

Pinapalitan namin ang mga halaga sa formula ng parabola na paraan:

Kaya, gamit ang paraan ng Simpson, ang isang tinatayang halaga ng isang tiyak na integral ay nakuha tumpak sa 0.001 .

Sa katunayan, sa pagkalkula ng orihinal na integral gamit ang Newton-Leibniz formula, nakuha namin

Magkomento.

Ang paghahanap ay mahirap sa maraming pagkakataon. Malalampasan mo ito sa pamamagitan ng pagkuha ng alternatibong diskarte sa paggamit ng parabola na paraan. Ang prinsipyo nito ay inilarawan sa seksyon ng paraan ng trapezoid, kaya hindi namin ito uulitin.

Anong paraan ang dapat gamitin para sa numerical integration?

Ang katumpakan ng paraan ng Simpson (parabolas) ay mas mataas kaysa sa katumpakan ng paraan ng mga parihaba at trapezoid para sa isang naibigay na n (makikita ito mula sa ganap na pagtatantya ng error), kaya mas mainam ang paggamit nito.

Dapat tandaan na ang computational error ay nakakaapekto sa resulta para sa malaking n, na maaaring ilipat ang tinatayang halaga mula sa eksaktong isa.

(1710-1761).

Isaalang-alang natin ang isang segment. Hayaang malaman ang mga halaga ng tunay na function f(x) sa mga puntong a, (a+b)/2, b. Mayroong isang solong 2nd degree polynomial p 2 (x) na ang graph ay dumadaan sa mga puntos (a, f(a)), ((a+b)/2,f((a+b)/2), (b, f(b)). Formula ng Simpson ay tinatawag na integral ng polynomial na ito sa pagitan :

Ang pamamaraan ni Simpson ay may pagkakasunud-sunod ng error na 4 at isang algebraic na pagkakasunud-sunod ng katumpakan ng 3.

Error kapag nagsasama sa segment [ a,b] na may hakbang h ay tinutukoy ng formula:

,

saan ay ang maximum ng ikaapat na derivative ng function.

Gayundin, kung imposibleng tantyahin ang error gamit ang maximum ng pang-apat na derivative (halimbawa, hindi ito umiiral sa isang partikular na agwat, o malamang na infinity), maaaring gumamit ng mas magaspang na pagtatantya:

,

saan ay ang maximum ng ikatlong derivative ng function.

Mga link

• Kostomarov D. P., Favorsky A. P. "Mga Panimulang Lektura sa Numerical na Paraan"

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Paraan ng Runge-Kutta
• Fibonacci na paraan ng paghahanap ng extremum

Tingnan kung ano ang "Simpson Method" sa iba pang mga diksyunaryo:

Formula ng Simpson- Ang kakanyahan ng pamamaraan ay ang approximation ng function na f (x) (asul na graph) ng isang quadratic polynomial P (x) (pula) formula ni Simpson (din ... Wikipedia

PARAAN NG ROMBERG- Ang tuntunin ni Romberg, isang paraan para sa pagkalkula ng isang tiyak na integral batay sa Richardson extrapolation. Hayaang kalkulahin ang value I ng isang partikular na functional, habang ang kinakalkula na tinatayang halaga T(h) ay depende sa parameter h, upang sa ... ... Mathematical Encyclopedia

Numerical Integration- (pangkasaysayang pangalan: (numerical) quadrature) pagkalkula ng halaga ng isang tiyak na integral (karaniwan ay tinatayang). Ang numerical integration ay nauunawaan bilang isang set ng mga numerical na pamamaraan para sa paghahanap ng halaga ng isang partikular na integral. Numerical ... ... Wikipedia

Mga formula ng quadrature

Quadrature formula- Isang tiyak na integral bilang lugar ng isang figure Pagsasama-sama ng numero (pangkasaysayang pangalan: quadrature) pagkalkula ng halaga ng isang tiyak na integral (karaniwang tinatayang), batay sa katotohanan na ang halaga ng integral ay katumbas ng numero sa ang lugar ... ... Wikipedia

Parihaba na formula- Isang tiyak na integral bilang lugar ng isang figure Pagsasama-sama ng numero (pangkasaysayang pangalan: quadrature) pagkalkula ng halaga ng isang tiyak na integral (karaniwang tinatayang), batay sa katotohanan na ang halaga ng integral ay katumbas ng numero sa ang lugar ... ... Wikipedia

Parihaba na Formula- Isang tiyak na integral bilang lugar ng isang figure Pagsasama-sama ng numero (pangkasaysayang pangalan: quadrature) pagkalkula ng halaga ng isang tiyak na integral (karaniwang tinatayang), batay sa katotohanan na ang halaga ng integral ay katumbas ng numero sa ang lugar ... ... Wikipedia

Trapezoidal formula- Isang tiyak na integral bilang lugar ng isang figure Pagsasama-sama ng numero (pangkasaysayang pangalan: quadrature) pagkalkula ng halaga ng isang tiyak na integral (karaniwang tinatayang), batay sa katotohanan na ang halaga ng integral ay katumbas ng numero sa ang lugar ... ... Wikipedia

KAPANGANAK- KAPANGANAK. Nilalaman: I. Kahulugan ng konsepto. Mga pagbabago sa katawan sa panahon ng R. Mga sanhi ng pagsisimula ng R ............................ 109 II. Klinikal na kasalukuyang ng physiological R. . 132 Sh. Mechanics R. ................. 152 IV. Nangunguna P .............. 169 V ... Malaking Medical Encyclopedia

Integral na calculus- isang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga katangian at pamamaraan ng pagkalkula ng mga integral at ang kanilang mga aplikasyon. Ako at. ay malapit na nauugnay sa differential calculus (Tingnan. Differential calculus) at kasama nito ay bumubuo ng isa sa mga pangunahing bahagi ... ... Great Soviet Encyclopedia

Hatiin natin ang integration interval [ a, b] sa isang even na numero n pantay na bahagi sa mga palugit h. Sa bawat segment [ X 0, X 2], [X 2, X 4],..., [x i-1, x i+1],...,[ x n-2, x n] integrand f(X) ay pinalitan ng isang interpolation polynomial ng pangalawang degree:

Ang mga coefficient ng mga square trinomial na ito ay matatagpuan mula sa mga kondisyon para sa pagkakapantay-pantay ng polynomial sa mga punto ng kaukulang data ng tabular. Maaari itong kunin bilang Lagrange interpolation polynomial ng pangalawang degree na dumadaan sa mga puntos :

Ang kabuuan ng mga elementarya at (Larawan 3.3) ay maaaring kalkulahin gamit ang isang tiyak na integral. Isinasaalang-alang ang mga pagkakapantay-pantay, nakukuha natin

-

kanin. 3.3. Ilustrasyon para sa Paraan ng Simpson

Matapos maisagawa ang gayong mga kalkulasyon para sa bawat elementarya na segment , isasama namin ang mga resultang expression:

Ang ekspresyong ito para sa S ay kinuha bilang ang halaga ng isang tiyak na integral:

(3.35)

Ang resultang ratio ay tinatawag Ang formula ni Simpson o formula ng parabola.

Ang formula na ito ay maaari ding makuha sa iba pang mga paraan, halimbawa, sa pamamagitan ng paglalapat ng trapezoid method nang dalawang beses kapag hinahati ang segment [ a, b] sa mga bahaging may mga hakbang h at 2 h o sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga formula ng mga parihaba at trapezoid (tingnan ang Seksyon 3.2.6).

Minsan ang formula ni Simpson ay isinulat gamit ang mga half-integer na indeks. Sa kasong ito, ang bilang ng mga segment ng pagkahati P di-makatwirang (hindi kinakailangan kahit), at ang formula ni Simpson ay

(3.36)

Madaling makita na ang formula (3.36) ay tumutugma sa (3.35) kung ang formula (3.35) ay inilapat sa bilang ng mga bahagi ng partisyon 2 n at hakbang h/2.

Halimbawa. Kalkulahin ang integral gamit ang Simpson method

Mga halaga ng function sa n = 10, h = 0.1 ay ibinigay sa talahanayan. 3.3. Ang paglalapat ng formula (3.35), nakita namin

Ang resulta ng numerical integration gamit ang Simpson method ay naging pareho sa eksaktong halaga (anim na makabuluhang figure).

Ang isa sa mga posibleng algorithm para sa pagkalkula ng isang tiyak na integral gamit ang pamamaraang Simpson ay ipinapakita sa Fig. 3.4. Ang mga hangganan ng agwat ng pagsasama [ a, b], pagkakamali ε, pati na rin ang formula para sa pagkalkula ng mga halaga ng integrand y=f(x) .

kanin. 3.4. Algoritmo ng pamamaraan ng Simpson

Sa una, ang segment ay nahahati sa dalawang bahagi na may isang hakbang h =(b- a)/2. Kinakalkula ang halaga ng integral ako 1. Pagkatapos ang bilang ng mga hakbang ay nadoble, ang halaga ay kinakalkula ako 2 sa mga dagdag h/2. Ang end-of-count na kondisyon ay kinukuha bilang . Kung ang kundisyong ito ay hindi natutugunan, ang isang bagong dibisyon ng hakbang sa kalahati ay nangyayari, at iba pa.

Tandaan na ipinapakita sa Fig. 3.4 ang algorithm ay hindi optimal: kapag kinakalkula ang bawat approximation ako 2 mga halaga ng function ay hindi ginagamit f(x), natagpuan na sa nakaraang hakbang. Higit pang mga matipid na algorithm ang tatalakayin sa Sec. 3.2.7.

Upang mabuo ang formula ng Simpson, isaalang-alang muna namin ang sumusunod na problema: kalkulahin ang lugar S ng isang curvilinear trapezoid na nakatali mula sa itaas ng graph ng parabola y \u003d Ax 2 + Bx + C, mula sa kaliwa ng tuwid na linya x \u003d - h, mula sa kanan sa pamamagitan ng tuwid na linya x \u003d h at mula sa ibaba ng segment [-h; h]. Hayaang dumaan ang parabola sa tatlong punto (Larawan 8): D (-h; y 0) E (0; y 1) at F (h; y 2), at x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = h . Kaya naman,

x 1 \u003d x 0 + h \u003d 0; x 2 = x 0 + 2h.

Kung gayon ang lugar S ay katumbas ng integral:

Ipinapahayag namin ang lugar na ito sa mga tuntunin ng h, y 0 , y 1 at y 2 . Upang gawin ito, kinakalkula namin ang mga coefficient ng parabola A, B, C. Mula sa kondisyon na ang parabola ay dumaan sa mga punto D, E at F, mayroon kaming:

Paglutas ng sistemang ito, nakukuha natin ang: C = y 1 ; A=

Ang pagpapalit ng mga halagang ito A at C sa (3), makuha namin ang nais na lugar

Bumaling tayo ngayon sa derivation ng formula ni Simpson para sa pagkalkula ng integral

Upang gawin ito, hinati namin ang segment ng pagsasama sa 2n pantay na bahagi ng haba

Sa mga punto ng paghahati (Larawan 4). a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b,

Kinakalkula namin ang mga halaga ng integrand f: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , de y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).

Sa segment, pinapalitan namin ang integrand ng isang parabola na dumadaan sa mga puntos (x 0; y 0), (x 1; y 1) at (x 2; y 2), at upang kalkulahin ang tinatayang halaga ng integral mula sa x 0 hanggang x 2, ginagamit namin ang formula (4 ). Pagkatapos (ang may kulay na lugar sa Fig. 4):

Katulad nito, nakita namin:

................................................

Ang pagdaragdag ng mga nagresultang pagkakapantay-pantay, mayroon kaming:

Formula (5) ang tawag pangkalahatang formula ng Simpson o formula ng parabola, dahil kapag hinango ito, ang graph ng integrand sa isang bahagyang segment na may haba na 2h ay pinapalitan ng isang parabola arc.

Pagtatalaga ng trabaho:

1. Ayon sa direksyon ng guro o alinsunod sa opsyon mula sa mga mesa 4 na gawain (tingnan ang Appendix) upang kunin ang mga kondisyon - ang integrand, ang mga limitasyon ng integration.

2. Gumuhit ng isang flowchart ng programa at isang programa na dapat:

Humiling ng katumpakan ng pagkalkula ng isang tiyak na integral, ang mas mababa at itaas na mga limitasyon ng pagsasama;

Kalkulahin ang ibinigay na integral sa pamamagitan ng mga pamamaraan: para sa mga opsyon 1,4,7, 10… - kanan, para sa mga opsyon 2,5,8,… - average; para sa mga opsyon 2,5,8,… - kaliwang mga parihaba. I-output ang bilang ng mga partisyon ng saklaw ng pagsasama kung saan nakamit ang tinukoy na katumpakan ng pagkalkula;

Kalkulahin ang ibinigay na integral gamit ang trapezoid method (para sa even options) at Simpson's method (para sa kakaibang opsyon).

I-output ang bilang ng mga partisyon ng saklaw ng pagsasama kung saan nakamit ang tinukoy na katumpakan ng pagkalkula;

I-output ang mga halaga ng control function para sa ibinigay na halaga ng argumento at ihambing sa mga kinakalkula na halaga ng integral. Gumawa ng mga konklusyon.

mga tanong sa pagsusulit

1. Ano ang isang tiyak na integral?

2. Bakit, kasama ng mga analytical na pamamaraan, ang mga numerical na pamamaraan para sa pagkalkula ng mga tiyak na integral ay ginagamit.

3. Ano ang kakanyahan ng mga pangunahing paraan ng numero para sa pagkalkula ng mga tiyak na integral.

4. Impluwensya ng bilang ng mga partisyon sa katumpakan ng pagkalkula ng isang tiyak na integral sa pamamagitan ng mga numerical na pamamaraan.

5. Paano makalkula ang integral sa pamamagitan ng anumang pamamaraan na may ibinigay na katumpakan?

Sa pamamaraang ito, iminungkahi na tantiyahin ang integrand sa isang bahagyang pagitan ng isang parabola na dumadaan sa mga puntos.
(x j , f(x j)), saan j = i-1; i-0.5; i, ibig sabihin, tinatantya namin ang integrand ng Lagrange interpolation polynomial ng pangalawang degree:

(10.14)

Pagkatapos ng pagsasama, nakukuha namin:

(10.15)

Iyon na iyon formula ni simpson o ang pormula ng mga parabola. Sa segment
[a, b] Ang formula ni Simpson ay nasa anyo

(10.16)

Ang isang graphical na representasyon ng pamamaraan ni Simpson ay ipinapakita sa fig. 2.4.

kanin. 10.4. Paraan ng Simpson

Tanggalin natin ang mga fractional na indeks sa expression (2.16) sa pamamagitan ng pagpapalit ng pangalan sa mga variable:

(10.17)

Pagkatapos ang formula ni Simpson ay kumukuha ng form

(10.18)

Ang error ng formula (2.18) ay tinatantya ng sumusunod na expression:

, (10.19)

saan h n = b-a, . Kaya, ang error ng formula ni Simpson ay proporsyonal sa O(h 4).

Magkomento. Dapat tandaan na sa formula ng Simpson, ang segment ng pagsasama ay kinakailangang nahahati sa kahit bilang ng mga pagitan.

10.5. Pagkalkula ng mga tiyak na integral sa pamamagitan ng mga pamamaraan
Monte Carlo

Ang mga naunang tinalakay na pamamaraan ay tinatawag deterministiko , ibig sabihin, walang elemento ng pagkakataon.

Mga Paraan ng Monte Carlo(MMK) ay mga numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa matematika sa pamamagitan ng pagmomodelo ng mga random na variable. Pinapayagan ng MCM na matagumpay na malutas ang mga problema sa matematika na dulot ng mga probabilistikong proseso. Bukod dito, kapag nilulutas ang mga problema na hindi nauugnay sa anumang mga probabilidad, ang isa ay maaaring artipisyal na makabuo ng isang probabilistikong modelo (at higit pa sa isa) na nagpapahintulot sa paglutas ng mga problemang ito. Isaalang-alang ang pagkalkula ng tiyak na integral

(10.20)

Kapag kinakalkula ang integral na ito gamit ang formula ng mga parihaba, ang pagitan [ a, b] hatiin sa N magkaparehong mga pagitan, sa gitna kung saan kinakalkula ang mga halaga ng integrand. Sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga halaga ng pag-andar sa mga random na node, maaari kang makakuha ng mas tumpak na resulta:

(10.21)

(10.22)

Narito ang γ i ay isang random na numero na pantay na ipinamamahagi sa pagitan
. Ang error sa pagkalkula ng MMK integral ~ , na mas malaki kaysa sa naunang pinag-aralan na mga pamamaraang deterministiko.

Sa fig. Ang 2.5 ay nagpapakita ng graphical na pagpapatupad ng Monte Carlo method para sa pagkalkula ng isang integral na may mga random na node (2.21) at (2.22).

(2.23)

kanin. 10.6. Pagsasama ng Monte Carlo (ika-2 kaso)

Gaya ng nakikita sa fig. 2.6, ang integral curve ay nasa unit square, at kung makakakuha tayo ng mga pares ng mga random na numero na pantay na ipinamamahagi sa pagitan, kung gayon ang nakuha na mga halaga (γ 1, γ 2) ay maaaring bigyang-kahulugan bilang mga coordinate ng isang punto sa parisukat ng yunit. Pagkatapos, kung sapat ang mga pares ng mga numerong ito, maaari nating ipagpalagay iyon
. Dito S ay ang bilang ng mga pares ng mga puntos na nasa ilalim ng kurba, at N ay ang kabuuang bilang ng mga pares ng mga numero.

Halimbawa 2.1. Kalkulahin ang sumusunod na integral:

Ang problema ay nalutas sa pamamagitan ng iba't ibang mga pamamaraan. Ang mga resulta na nakuha ay buod sa talahanayan. 2.1.

Talahanayan 2.1

Magkomento. Ang pagpili ng table integral ay nagpapahintulot sa amin na ihambing ang error ng bawat pamamaraan at malaman ang impluwensya ng bilang ng mga partisyon sa katumpakan ng mga kalkulasyon.

11 TANONG SOLUSYON NG NONLINEAR
AT MGA TRANSCENDENT EQUATIONS