Kaya, ang mga serbisyo para sa paglutas ng mga matrice online:

Binibigyang-daan ka ng serbisyo ng matrix na magsagawa ng mga elementarya na pagbabago ng mga matrice.
Kung mayroon kang isang gawain upang magsagawa ng isang mas kumplikadong pagbabago, kung gayon ang serbisyong ito ay dapat gamitin bilang isang tagabuo.

Halimbawa. Data ng matrix A at B, kailangan hanapin C = A -1 * B + B T ,

1. Dapat hanapin mo muna baligtad na matrisA1 = A-1 , gamit ang serbisyo para sa paghahanap ng inverse matrix ;
2. Dagdag pa, pagkatapos mahanap ang matrix A1 gawin mo pagpaparami ng matrisA2 = A1 * B, gamit ang serbisyo para sa matrix multiplication;
3. Gawin natin transposisyon ng matrixA3 = B T (serbisyo para sa paghahanap ng transposed matrix);
4. At ang huli - hanapin ang kabuuan ng mga matrice Sa = A2 + A3(serbisyo para sa pagkalkula ng kabuuan ng mga matrice) - at nakakakuha kami ng sagot na may pinakadetalyadong solusyon!;

Produkto ng mga matrice

Ito ay isang online na serbisyo dalawang hakbang:

• Ipasok ang unang factor matrix A
• Ilagay ang pangalawang factor matrix o column vector B

Pagpaparami ng isang matrix sa isang vector

Ang multiplikasyon ng isang matrix sa isang vector ay matatagpuan gamit ang serbisyo Pagpaparami ng matrix
(Ang unang kadahilanan ay ang ibinigay na matrix, ang pangalawang kadahilanan ay ang haligi na binubuo ng mga elemento ng ibinigay na vector)

Ito ay isang online na serbisyo dalawang hakbang:

• Ipasok ang matrix A, kung saan kailangan mong hanapin ang inverse matrix
• Kumuha ng sagot na may detalyadong solusyon para sa paghahanap ng inverse matrix

Matrix determinant

Ito ay isang online na serbisyo isang hakbang:

• Ipasok ang matrix A, kung saan kailangan mong hanapin ang determinant ng matrix

Transposisyon ng matrix

Dito maaari mong sundin ang matrix transposition algorithm at matutunan kung paano lutasin ang mga naturang problema sa iyong sarili.
Ito ay isang online na serbisyo isang hakbang:

• Ipasok ang matrix A, na kailangang i-transpose

Ranggo ng matrix

Ito ay isang online na serbisyo isang hakbang:

• Ipasok ang matrix A, kung saan kailangan mong hanapin ang ranggo

Mga matrix eigenvalues ​​at matrix eigenvectors

Ito ay isang online na serbisyo isang hakbang:

• Ipasok ang matrix A, kung saan kailangan mong maghanap ng mga eigenvector at eigenvalues ​​​​(eigenvalues)

Pagpapalawak ng matrix

Ito ay isang online na serbisyo dalawang hakbang:

• Ipasok ang matrix A, na itataas sa kapangyarihan
• Maglagay ng integer q- degree

Pagtatalaga ng serbisyo. Ang matrix calculator ay inilaan para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear equation sa isang matrix na paraan (tingnan ang isang halimbawa ng paglutas ng mga katulad na problema).

Pagtuturo. Para sa isang online na solusyon, dapat mong piliin ang uri ng equation at itakda ang dimensyon ng kaukulang matrice.

Uri ng equation: A X = B X A = B A X B = C
Dimensyon ng matrix A
Dimensyon ng matrix B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dimensyon ng matrix C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

kung saan ang A, B, C ay binibigyan ng mga matrice, ang X ay ang nais na matrix. Ang mga equation ng matrix ng form (1), (2) at (3) ay nalulutas sa pamamagitan ng inverse matrix A -1 . Kung ang expression A X - B = C ay ibinigay, pagkatapos ito ay kinakailangan upang unang idagdag ang mga matrice C + B at maghanap ng solusyon para sa expression A X = D , kung saan D = C + B (). Kung ang expression na A*X = B 2 ay ibinigay, ang matrix B ay dapat munang parisukat. Inirerekomenda din na maging pamilyar sa mga pangunahing operasyon sa mga matrice.

Halimbawa #1. Mag-ehersisyo. Maghanap ng solusyon sa isang matrix equation
Desisyon. Ipahiwatig:
Pagkatapos ang matrix equation ay isusulat sa anyo: A·X·B = C.
Ang determinant ng matrix A ay detA=-1
Dahil ang A ay isang nonsingular matrix, mayroong isang inverse matrix A -1 . I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa kaliwa ng A -1: I-multiply ang magkabilang panig ng equation na ito sa kaliwa ng A -1 at sa kanan ng B -1: A -1 A X B B -1 = A -1 C B -1 . Dahil A A -1 = B B -1 = E at E X = X E = X, pagkatapos X = A -1 C B -1

Inverse matrix A -1:
Hanapin ang inverse matrix B -1 .
Transpose matrix B T:
Inverse matrix B -1:
Hinahanap namin ang matrix X sa pamamagitan ng formula: X = A -1 C B -1

Sagot:

Halimbawa #2. Mag-ehersisyo. Lutasin ang matrix equation
Desisyon. Ipahiwatig:
Pagkatapos ang matrix equation ay isusulat sa anyo: A X = B.
Ang determinant ng matrix A ay detA=0
Dahil ang A ay isang degenerate matrix (ang determinant ay 0), samakatuwid, ang equation ay walang solusyon.

Halimbawa #3. Mag-ehersisyo. Maghanap ng solusyon sa isang matrix equation
Desisyon. Ipahiwatig:
Pagkatapos ang matrix equation ay isusulat sa anyo: X·A = B.
Ang determinant ng matrix A ay detA=-60
Dahil ang A ay isang nonsingular matrix, mayroong isang inverse matrix A -1 . Multiply sa kanan magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng A -1: X A A -1 = B A -1 , kung saan makikita natin na X = B A -1
Hanapin ang inverse matrix A -1 .
Transposed matrix AT:
Inverse matrix A -1:
Hinahanap namin ang matrix X sa pamamagitan ng formula: X = B A -1


Sagot: >

Baliktad na matris- ganyan matris A −1 , kapag pinarami kung alin, ang orihinal na matrix A nagbibigay bilang isang resulta matris ng pagkakakilanlan E:

parisukat na matris ay invertible kung at kung ito ay hindi degenerate, iyon ay, nito determinant ay hindi katumbas ng zero. Para sa mga non-square matrice at degenerate matrices inverse matrices ay hindi umiiral. Gayunpaman, posibleng gawing pangkalahatan ang konseptong ito at ipakilala pseudoinverse matrices, katulad ng inverses sa maraming katangian.

Solusyon ng matrix equation

Ang mga equation ng matrix ay maaaring magmukhang:

AX = B, XA = B, AXB = C,

kung saan ang A, B, C ay binibigyan ng mga matrice, ang X ay ang nais na matrix.

Ang mga equation ng matrix ay nalulutas sa pamamagitan ng pagpaparami ng equation sa pamamagitan ng mga inverse matrice.

Halimbawa, upang mahanap ang matrix mula sa isang equation, kailangan mong i-multiply ang equation na ito sa kaliwa.

Samakatuwid, upang makahanap ng solusyon sa equation, kailangan mong hanapin ang inverse matrix at i-multiply ito sa matrix sa kanang bahagi ng equation.

Ang iba pang mga equation ay nalutas nang katulad.

Halimbawa 2

Lutasin ang equation na AX = B kung

Desisyon: Dahil ang kabaligtaran ng matrix ay katumbas (tingnan ang halimbawa 1)

Mga linear na espasyo

Kahulugan ng linear na espasyo

Hayaan V- isang hindi walang laman na hanay (tatawagin natin ang mga elemento nito na mga vector at ipahiwatig ...), kung saan itinatag ang mga patakaran:

1) anumang dalawang elemento ay tumutugma sa ikatlong elemento na tinatawag na kabuuan ng mga elemento (panloob na operasyon);

2) bawat isa ay tumutugma sa isang tiyak na elemento (panlabas na operasyon).

Isang grupo ng V ay tinatawag na isang tunay na linear (vector) na espasyo kung ang mga sumusunod na axiom ay nagtataglay:

ako.

III. (zero element, ganoon ).

IV. (elemento kabaligtaran sa elemento ), tulad na

v.

VIII. Ang isang kumplikadong linear na espasyo ay tinukoy nang katulad (sa halip na R isinasaalang-alang C).

Subspace ng linear space

Ang set ay tinatawag na subspace ng linear space V, kung:

1)

Linear space vector system L mga form batayan sa L kung ang sistemang ito ng mga vector ay nakaayos, linearly independent, at anumang vector mula sa L ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga vectors ng system.

Sa madaling salita, isang linearly independent ordered system ng mga vectors e 1 , ..., e n nagiging batayan ng L kung may vector x mula sa L maaaring ipakita sa form

x= C 1 e 1 +C 2 e 2 + ... + C n · e n .

Ang batayan ay maaaring matukoy nang iba.

Anumang ordered linearly independent system e 1 , ..., e n mga vector n- dimensional na linear na espasyo L n nagiging batayan ng espasyong ito.

Sa abot ng n, sukat ng espasyo L n ay ang maximum na bilang ng mga linearly independent space vectors, pagkatapos ay ang system ng mga vectors x,e 1 , ..., e n linearly dependent at, samakatuwid, ang vector x linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga vectors e 1 , ..., e n :

x = x isa · e 1 + x 2 e 2 + ...+ x n · e n .

Ang nasabing agnas ng isang vector sa mga tuntunin ng batayan lamang.

Theorem 1. (Sa bilang ng mga vector sa linearly independent at generating system ng mga vectors.) Ang bilang ng mga vectors sa anumang linearly independent system ng mga vectors ay hindi lalampas sa bilang ng mga vectors sa alinmang generating system ng mga vectors ng parehong vector space.

Patunay. Hayaang ang isang arbitraryong linearly independent na sistema ng mga vector ay isang arbitraryong sistema ng pagbuo. Ipagpalagay natin na .

kasi pagbuo ng system, pagkatapos ay kumakatawan ito sa anumang vector ng espasyo, kabilang ang vector . Idagdag natin ito sa sistemang ito. Nakakakuha kami ng isang linearly na umaasa at bumubuo ng sistema ng mga vectors: . Pagkatapos ay mayroong isang vector ng system na ito na linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga nakaraang vectors ng system na ito at, sa pamamagitan ng lemma, maaari itong alisin mula sa system, at ang natitirang sistema ng mga vectors ay bubuo pa rin.

Binibilang namin muli ang natitirang sistema ng mga vector: . kasi ang sistemang ito ay bumubuo, pagkatapos ito ay kumakatawan sa isang vector at, sa pamamagitan ng paglakip nito sa sistemang ito, muli tayong nakakakuha ng isang linearly na umaasa at bumubuo ng sistema: .

Pagkatapos ang lahat ay mauulit. Mayroong isang vector sa sistemang ito, na linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga nauna, at hindi ito maaaring maging isang vector, dahil ang orihinal na sistema ay linearly independent at ang vector ay hindi ipinahayag nang linearly sa mga tuntunin ng vector . Kaya maaari lamang itong maging isa sa mga vectors. Inaalis ito mula sa system , makukuha namin, pagkatapos muling pagnumero, ang system , na siyang magiging sistema ng pagbuo. Sa pagpapatuloy ng prosesong ito, pagkatapos ng mga hakbang ay nakakakuha tayo ng isang sistema ng pagbuo ng mga vectors: , where , because ayon sa aming hula. Nangangahulugan ito na ang sistemang ito, bilang generator, ay kumakatawan din sa vector , na sumasalungat sa kondisyon ng linear na kalayaan ng system .

Ang Theorem 1 ay napatunayan.

Theorem 2. (Sa bilang ng mga vector sa isang batayan.) Sa anumang batayan ng isang vector space naglalaman ng parehong bilang ng mga vector.

Patunay. Hayaan at maging dalawang arbitrary na vector space base. Ang anumang batayan ay isang linearly na independyente at pagbuo ng sistema ng mga vectors.

kasi ang unang sistema ay linearly independyente, at ang pangalawa ay bumubuo, pagkatapos, sa pamamagitan ng Theorem 1, .

Katulad nito, ang pangalawang sistema ay linearly independent, at ang una ay bumubuo, pagkatapos ay . Ito ay sumusunod mula dito na , p.t.d.

Ang Theorem 2 ay napatunayan.

Ito teorama nagbibigay-daan sa amin na ipakilala ang sumusunod na kahulugan.

Kahulugan. Ang dimensyon ng isang vector space V sa isang field K ay ang bilang ng mga vector sa batayan nito.

Pagtatalaga: o .

Mga coordinate ng vector ay ang mga coefficient ng tanging posible linear na kumbinasyon basic mga vector sa napili sistema ng coordinate katumbas ng ibinigay na vector.

Ang matrix ay isang matematikal na bagay na isinulat bilang isang hugis-parihaba na talahanayan ng mga numero at nagpapahintulot sa mga algebraic na operasyon (pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, atbp.) sa pagitan nito at ng iba pang katulad na mga bagay. Ang mga patakaran para sa pagsasagawa ng mga operasyon sa mga matrice ay ginawa tulad ng sumusunod,

upang gawing maginhawa ang pagsulat ng mga sistema ng mga linear na equation. Karaniwan, ang matrix ay tinutukoy ng malaking titik ng alpabetong Latin at nakikilala sa pamamagitan ng mga bilog na bracket "(...)" (matatagpuan din ito

pag-highlight na may mga square bracket na “[…]”, dobleng tuwid na linya “||…||”) At ang mga numerong bumubuo sa matrix (mga elemento ng matrix) ay tinutukoy ng parehong titik ng mismong matrix, ngunit maliit. bawat elemento ng matrix ay may 2 subscripts (a ij ) - ang unang "i" ay nangangahulugang

ang row number kung nasaan ang elemento, at ang pangalawang "j" ay ang column number.

Mga operasyon ng matrix

Pagpaparami ng isang matrix A sa isang numero

B , na ang mga elemento ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng bawat elemento ng matrix A sa numerong ito, iyon ay, ang bawat elemento ng matrix B ay

b ij = λ a ij

Pagdaragdag ng matrix A

ang elemento ng matrix C ay

c ij= a ij+ b ij

Pagbabawas ng matrix A

c ij= a ij- b ij

A+Θ=A

Pagpaparami ng matrix(notation: AB , bihirang may multiplication sign) - mayroong isang operasyon upang kalkulahin ang matrix C , na ang mga elemento ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento sa kaukulang hilera ng unang kadahilanan at ang haligi ng pangalawa.

c ij= ∑ a ikb kj

Ang unang multiplier ay dapat magkaroon ng kasing dami ng mga column na may mga row sa pangalawa. Kung ang matrix A ay may dimensyon, B -, kung gayon ang dimensyon ng kanilang produkto AB = C

may . Ang matrix multiplication ay hindi commutative. Ito ay makikita ng hindi bababa sa mula sa katotohanan na kung ang mga matrice ay hindi parisukat, maaari mo lamang i-multiply ang isa sa isa, ngunit hindi kabaligtaran. Para sa

square matrices, ang resulta ng multiplikasyon ay depende sa pagkakasunud-sunod ng mga salik.

Tanging mga square matrice ang maaaring itaas sa isang kapangyarihan.

Matrix ng pagkakakilanlan

Para sa mga square matrice, mayroon matris ng pagkakakilanlan E tulad na ang anumang pagpaparami

matrix dito ay hindi nakakaapekto sa resulta, lalo

EA=AE=A

Ang identity matrix ay may mga unit lamang sa

diagonal, ang iba pang mga elemento ay katumbas ng zero

Para sa ilang mga square matrice mahahanap ng isa ang tinatawag nabaligtad na matris.

Ang inverse matrix A - 1 ay tulad na kung i-multiply mo ang matrix nito, makukuha mo ang identity matrix

AA − 1 = E

Ang inverse matrix ay hindi palaging umiiral. Ang mga matrice kung saan umiiral ang inverse ay tinatawag

non-degenerate, at kung saan ito ay hindi - degenerate. Ang isang matrix ay walang pagkabulok kung ang lahat ng mga hilera (column) nito ay linearly independent bilang mga vector. Pinakamataas na bilang ng mga linearly independent na row

(columns) ay tinatawag na ranggo ng matrix. Ang determinant (determinant) ng isang matrix ay isang normalized na skew-symmetric linear functional sa mga hilera ng isang matrix. Matrix

ay degenerate kung at kung ang determinant nito ay zero.

Mga Katangian ng Matrix

1. A + (B + C ) = (A + B ) + C

2.A+B=B+A

3. A (BC ) = (AB )C

4.A(B+C)=AB+AC

5. (B+ C) A= BA+ CA

9. Symmetric Matrix Ang A ay positibong tiyak (A > 0) kung ang mga halaga ng lahat ng pangunahing anggulong menor de edad A k > 0

10. Symmetric Matrix Ang A ay negatibong tiyak (A< 0), если матрица (−A )

ay positive-definite, ibig sabihin, kung para sa alinmang k ang pangunahing menor de edad ng kth order A k ay may sign (− 1)k

Mga sistema ng linear equation

Isang sistema ng m equation na may n hindi alam

a11 x1 +a12 x2 +…+a1n xn =b1 a21 x1 +a22 x2 +…+a2n xn =b2

am x1 +am x2 +…+am xn =bm

ay maaaring katawanin sa matrix form

at pagkatapos ay ang buong sistema ay maaaring isulat na ganito: AX =B

Mga operasyon ng matrix

Hayaang ang a ij ay mga elemento ng matrix A , at ang b ij ay matrix B .

Pagpaparami ng isang matrix A sa isang numero Ang λ (notation: λA ) ay upang bumuo ng isang matrix

B , na ang mga elemento ay nakuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng bawat elemento ng matrix A sa numerong ito, iyon ay, ang bawat elemento ng matrix B ay b ij = λa ij

Isulat natin ang matrix A

I-multiply ang unang elemento ng matrix A sa 2

Pagdaragdag ng matrix A Ang + B ay ang operasyon ng paghahanap ng isang matrix C , na ang lahat ng mga elemento ay pantay sa pairwise na kabuuan ng lahat ng kaukulang elemento ng matrice A at B , iyon ay, bawat isa

ang elemento ng matrix C ay

c ij= a ij+ b ij

А+В Isulat natin ang matrice А at В

Isagawa ang pagdaragdag ng mga unang elemento ng mga matrice

I-stretch ang mga halaga, una pahalang at pagkatapos ay patayo (maaari mong vice versa)

Pagbabawas ng matrix A− B ay tinukoy na katulad ng karagdagan, ito ay ang operasyon ng paghahanap ng isang matrix C na ang mga elemento

c ij= a ij- b ij

Ang pagdaragdag at pagbabawas ay pinapayagan lamang para sa mga matrice na may parehong laki.

Mayroong zero matrix Θ na ang pagdaragdag nito sa isa pang matrix A ay hindi nagbabago ng A, i.e.

A+Θ=A

Ang lahat ng mga elemento ng zero matrix ay katumbas ng zero.

Ang paksang ito ay isa sa pinakakinasusuklaman ng mga mag-aaral. Ang mas masahol pa, malamang, mga determinasyon lamang.

Ang lansihin ay ang mismong konsepto ng kabaligtaran na elemento (at hindi lang ako nagsasalita tungkol sa mga matrice ngayon) ay tumutukoy sa atin sa pagpapatakbo ng multiplikasyon. Kahit na sa kurikulum ng paaralan, ang pagpaparami ay itinuturing na isang kumplikadong operasyon, at ang pagpaparami ng matrix sa pangkalahatan ay isang hiwalay na paksa, kung saan mayroon akong isang buong talata at isang aralin sa video na nakatuon dito.

Ngayon hindi kami pupunta sa mga detalye ng mga kalkulasyon ng matrix. Tandaan lamang: kung paano tinutukoy ang mga matrice, kung paano sila pinarami at kung ano ang sumusunod mula dito.

Balik-aral: Matrix Multiplication

Una sa lahat, magkasundo tayo sa notasyon. Ang isang matrix na $A$ na may sukat na $\left[ m\times n \right]$ ay simpleng talahanayan ng mga numero na may eksaktong $m$ na mga hilera at $n$ na mga column:

\=\underbrace(\kaliwa[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ ((( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) at ((a)_(m2)) & ... at ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \kanan])_(n)\]

Upang hindi aksidenteng malito ang mga hilera at haligi sa mga lugar (maniwala ka sa akin, sa pagsusulit maaari mong malito ang isa sa isang deuce - ano ang masasabi natin tungkol sa ilang mga linya doon), tingnan lamang ang larawan:

Pagpapasiya ng mga index para sa matrix cells

Anong nangyayari? Kung ilalagay natin ang karaniwang coordinate system na $OXY$ sa kaliwang sulok sa itaas at idirekta ang mga axes upang masakop nila ang buong matrix, kung gayon ang bawat cell ng matrix na ito ay maaaring natatanging nauugnay sa mga coordinate na $\left(x;y \right) $ - ito ang magiging row number at column number.

Bakit eksaktong nakalagay ang coordinate system sa kaliwang sulok sa itaas? Oo, dahil doon tayo magsisimulang magbasa ng anumang mga teksto. Napakadaling tandaan.

Bakit ang $x$ axis ay nakaturo pababa at hindi sa kanan? Muli, ang lahat ay simple: kunin ang karaniwang coordinate system (ang $x$ axis ay papunta sa kanan, ang $y$ axis ay tumataas) at i-rotate ito upang ito ay nakapaloob sa matrix. Ito ay isang 90 degree clockwise rotation - nakikita natin ang resulta nito sa larawan.

Sa pangkalahatan, nalaman namin kung paano matukoy ang mga indeks ng mga elemento ng matrix. Ngayon ay haharapin natin ang multiplikasyon.

Kahulugan. Ang mga matrice na $A=\left[ m\times n \right]$ at $B=\left[ n\times k \right]$, kapag ang bilang ng mga column sa una ay tumutugma sa bilang ng mga row sa pangalawa, ay tinatawag na pare-pareho.

Nasa ganoong ayos. Maaaring malabo ang isa at sabihin na ang mga matrice na $A$ at $B$ ay bumubuo ng isang nakaayos na pares $\left(A;B \right)$: kung pare-pareho ang mga ito sa pagkakasunud-sunod na ito, kung gayon hindi na kailangan na $B $ at $A$, ang mga iyon. pare-pareho din ang pares na $\left(B;A \right)$.

Ang mga pare-parehong matrice lamang ang maaaring i-multiply.

Kahulugan. Ang produkto ng pare-parehong matrice na $A=\left[ m\times n \right]$ at $B=\left[ n\times k \right]$ ay ang bagong matrix $C=\left[ m\times k \right ]$ , na ang mga elementong $((c)_(ij))$ ay kinakalkula ng formula:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Sa madaling salita: para makuha ang elementong $((c)_(ij))$ ng matrix $C=A\cdot B$, kailangan mong kunin ang $i$-row ng unang matrix, ang $j$ -th column ng pangalawang matrix, at pagkatapos ay i-multiply ang mga elemento mula sa row at column na ito. Idagdag ang mga resulta.

Oo, iyon ay isang malupit na kahulugan. Maraming mga katotohanan ang kaagad na sumusunod dito:

1. Ang matrix multiplication ay, sa pangkalahatan, hindi commutative: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Gayunpaman, ang multiplikasyon ay nauugnay: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. At kahit distributive: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. At distributive muli: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Ang distributivity ng multiplication ay kailangang ilarawan nang hiwalay para sa kaliwa at kanang multiplier-sum dahil lang sa non-commutativity ng multiplication operation.

Kung, gayunpaman, ito ay lumabas na $A\cdot B=B\cdot A$, ang mga naturang matrice ay tinatawag na permutable.

Sa lahat ng mga matrice na pinarami ng isang bagay doon, may mga espesyal - yaong, kapag pinarami ng anumang matrix na $A$, muling nagbibigay ng $A$:

Kahulugan. Ang isang matrix na $E$ ay tinatawag na pagkakakilanlan kung $A\cdot E=A$ o $E\cdot A=A$. Sa kaso ng isang square matrix $A$ maaari naming isulat:

Ang identity matrix ay isang madalas na panauhin sa paglutas ng mga equation ng matrix. At sa pangkalahatan, isang madalas na panauhin sa mundo ng mga matrice. :)

At dahil dito sa $E$, may nakaisip ng lahat ng laro na susunod na isusulat.

Ano ang isang inverse matrix

Dahil ang pagpaparami ng matrix ay isang napakatagal na operasyon (kailangan mong i-multiply ang isang bungkos ng mga row at column), ang konsepto ng isang inverse matrix ay hindi rin ang pinakawalang halaga. At nangangailangan ito ng ilang paliwanag.

Pangunahing Kahulugan

Well, oras na para malaman ang totoo.

Kahulugan. Ang matrix na $B$ ay tinatawag na kabaligtaran ng matrix na $A$ kung

Ang inverse matrix ay tinukoy ng $((A)^(-1))$ (hindi dapat malito sa degree!), kaya ang kahulugan ay maaaring muling isulat tulad nito:

Tila ang lahat ay napakasimple at malinaw. Ngunit kapag pinag-aaralan ang gayong kahulugan, maraming mga katanungan ang agad na lumitaw:

1. Lagi bang umiiral ang isang inverse matrix? At kung hindi palaging, kung gayon kung paano matukoy: kailan ito umiiral at kailan ito wala?
2. At sino ang nagsabi na ang gayong matris ay eksaktong isa? Paano kung para sa ilang orihinal na matrix na $A$ mayroong isang buong karamihan ng mga inverses?
3. Ano ang hitsura ng lahat ng "reverse" na ito? At paano mo talaga sila binibilang?

Tulad ng para sa mga algorithm ng pagkalkula - pag-uusapan natin ito sa ibang pagkakataon. Ngunit sasagutin natin ang iba pang mga tanong sa ngayon. Ayusin natin ang mga ito sa anyo ng magkahiwalay na assertions-lemmas.

Mga pangunahing katangian

Magsimula tayo sa kung ano dapat ang hitsura ng matrix na $A$ para magkaroon ito ng $((A)^(-1))$. Ngayon ay titiyakin namin na ang parehong mga matrice na ito ay dapat na parisukat, at may parehong laki: $\left[ n\times n \right]$.

Lemma 1. Dahil sa isang matrix na $A$ at ang kabaligtaran nito ay $((A)^(-1))$. Pagkatapos ang parehong mga matrice na ito ay parisukat at may parehong pagkakasunud-sunod $n$.

Patunay. Simple lang ang lahat. Hayaan ang matrix na $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Dahil ang produktong $A\cdot ((A)^(-1))=E$ ay umiiral ayon sa kahulugan, ang mga matrice na $A$ at $((A)^(-1))$ ay pare-pareho sa ayos na iyon:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( ihanay)\]

Ito ay direktang kinahinatnan ng matrix multiplication algorithm: ang mga coefficient na $n$ at $a$ ay "transit" at dapat na pantay.

Kasabay nito, ang inverse multiplication ay tinukoy din: $((A)^(-1))\cdot A=E$, kaya ang mga matrice na $((A)^(-1))$ at $A$ ay pare-pareho din sa ganitong pagkakasunud-sunod:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( ihanay)\]

Kaya, nang walang pagkawala ng pangkalahatan, maaari nating ipagpalagay na $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Gayunpaman, ayon sa kahulugan ng $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, kaya ang mga sukat ng mga matrice ay eksaktong pareho:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Kaya lumalabas na lahat ng tatlong matrice - $A$, $((A)^(-1))$ at $E$ - ay parisukat sa laki $\left[ n\times n \right]$. Ang lemma ay napatunayan.

Buti na lang. Nakikita natin na ang mga square matrice lamang ang invertible. Ngayon, siguraduhin natin na ang inverse matrix ay palaging pareho.

Lemma 2. Dahil sa isang matrix na $A$ at ang kabaligtaran nito ay $((A)^(-1))$. Kung gayon ang kabaligtaran na matrix na ito ay natatangi.

Patunay. Magsimula tayo sa kabaligtaran: hayaan ang matrix na $A$ na magkaroon ng hindi bababa sa dalawang inverse ng inverses — $B$ at $C$. Pagkatapos, ayon sa kahulugan, ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]

Mula sa Lemma 1, napagpasyahan namin na ang lahat ng apat na matrice na $A$, $B$, $C$ at $E$ ay parisukat ng parehong pagkakasunud-sunod: $\left[ n\times n \right]$. Samakatuwid, ang produkto ay tinukoy:

Dahil ang matrix multiplication ay nag-uugnay (ngunit hindi commutative!), maaari nating isulat ang:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(align)\]

Nakuha namin ang tanging posibleng opsyon: pantay ang dalawang kopya ng inverse matrix. Ang lemma ay napatunayan.

Ang pangangatwiran sa itaas ay halos inuulit ang patunay ng pagiging natatangi ng kabaligtaran na elemento para sa lahat ng tunay na numero $b\ne 0$. Ang tanging makabuluhang karagdagan ay isinasaalang-alang ang sukat ng mga matrice.

Gayunpaman, wala pa rin kaming alam tungkol sa kung ang anumang square matrix ay invertible. Narito ang determinant ay tumulong sa amin - ito ay isang pangunahing katangian para sa lahat ng square matrice.

Lemma 3 . Binigyan ng matrix na $A$. Kung ang matrix na $((A)^(-1))$ inverse dito ay umiiral, kung gayon ang determinant ng orihinal na matrix ay nonzero:

\[\kaliwa| Isang \right|\ne 0\]

Patunay. Alam na natin na ang $A$ at $((A)^(-1))$ ay mga square matrice na may sukat na $\left[ n\times n \right]$. Samakatuwid, para sa bawat isa sa kanila posibleng kalkulahin ang determinant: $\left| Isang \kanan|$ at $\kaliwa| ((A)^(-1)) \right|$. Gayunpaman, ang determinant ng produkto ay katumbas ng produkto ng mga determinant:

\[\kaliwa| A\cdot B \right|=\left| Isang \kanan|\cdot \kaliwa| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| Isang \kanan|\cdot \kaliwa| ((A)^(-1)) \kanan|\]

Ngunit ayon sa kahulugan ng $A\cdot ((A)^(-1))=E$, at ang determinant ng $E$ ay palaging katumbas ng 1, kaya

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \kaliwa| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \kaliwa| Isang \kanan|\cdot \kaliwa| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]

Ang produkto ng dalawang numero ay katumbas ng isa lamang kung ang bawat isa sa mga numerong ito ay iba sa zero:

\[\kaliwa| Isang \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Kaya lumalabas na $\left| Isang \right|\ne 0$. Ang lemma ay napatunayan.

Sa katunayan, ang pangangailangang ito ay lubos na lohikal. Ngayon ay susuriin natin ang algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix - at magiging ganap na malinaw kung bakit, sa prinsipyo, walang inverse matrix ang maaaring umiral na may zero determinant.

Ngunit una, bumalangkas tayo ng isang "pantulong" na kahulugan:

Kahulugan. Ang degenerate matrix ay isang square matrix na may sukat na $\left[ n\times n \right]$ na ang determinant ay zero.

Kaya, maaari nating igiit na ang anumang invertible matrix ay hindi nabubulok.

Paano mahanap ang inverse matrix

Ngayon ay isasaalang-alang namin ang isang unibersal na algorithm para sa paghahanap ng mga kabaligtaran na matrice. Sa pangkalahatan, mayroong dalawang pangkalahatang tinatanggap na algorithm, at isasaalang-alang din namin ang pangalawa ngayon.

Ang isa na isasaalang-alang ngayon ay napakahusay para sa mga matrice na may sukat na $\left[ 2\times 2 \right]$ at - bahagyang - ng laki $\left[ 3\times 3 \right]$. Ngunit simula sa laki na $\left[ 4\times 4 \right]$ mas mabuting huwag na itong gamitin. Bakit - ngayon ay mauunawaan mo ang lahat.

Algebraic na mga karagdagan

Maghanda. Ngayon ay magkakaroon ng sakit. Hindi, huwag mag-alala: isang magandang nars sa isang palda, ang mga medyas na may puntas ay hindi darating sa iyo at hindi ka bibigyan ng iniksyon sa puwit. Ang lahat ay mas simple: ang mga algebraic na karagdagan at Her Majesty ang "Union Matrix" ay darating sa iyo.

Magsimula tayo sa pangunahing isa. Hayaang magkaroon ng square matrix na may sukat na $A=\left[ n\times n \right]$ na ang mga elemento ay pinangalanang $((a)_(ij))$. Pagkatapos, para sa bawat naturang elemento, maaaring tukuyin ng isa ang isang algebraic na pandagdag:

Kahulugan. Algebraic complement $((A)_(ij))$ sa elementong $((a)_(ij))$ sa $i$-th row at $j$-th column ng matrix $A=\left Ang [ n \times n \right]$ ay isang pagbuo ng form

\[((A)_(ij))=((\kaliwa(-1 \kanan))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Kung saan ang $M_(ij)^(*)$ ay ang determinant ng matrix na nakuha mula sa orihinal na $A$ sa pamamagitan ng pagtanggal ng parehong $i$-th row at $j$-th column.

muli. Ang algebraic na pandagdag sa elemento ng matrix na may mga coordinate na $\left(i;j \right)$ ay tinutukoy bilang $((A)_(ij))$ at kinakalkula ayon sa scheme:

1. Una, tatanggalin namin ang $i$-row at ang $j$-th column mula sa orihinal na matrix. Kumuha kami ng bagong square matrix, at tinutukoy namin ang determinant nito bilang $M_(ij)^(*)$.
2. Pagkatapos ay i-multiply natin ang determinant na ito sa $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - sa una ang expression na ito ay maaaring mukhang nakakagulat, ngunit sa katunayan ay nalaman lang natin ang sign sa harap ng $ M_(ij)^(*) $.
3. Nagbibilang kami - nakakakuha kami ng isang tiyak na numero. Yung. ang algebraic na karagdagan ay isang numero lamang, hindi ilang bagong matrix, at iba pa.

Ang matrix na $M_(ij)^(*)$ mismo ay tinatawag na complementary minor sa elementong $((a)_(ij))$. At sa ganitong kahulugan, ang kahulugan sa itaas ng isang algebraic complement ay isang espesyal na kaso ng isang mas kumplikadong kahulugan - ang isa na aming isinasaalang-alang sa aralin tungkol sa determinant.

Mahalagang paalaala. Sa totoo lang, sa "pang-adulto" na matematika, ang mga pagdaragdag ng algebraic ay tinukoy bilang mga sumusunod:

1. Kumuha kami ng $k$ na mga hilera at $k$ na mga hanay sa isang parisukat na matrix. Sa kanilang intersection, nakakakuha tayo ng matrix na may sukat na $\left[ k\times k \right]$ — ang determinant nito ay tinatawag na minor ng order $k$ at tinutukoy ng $((M)_(k))$.
2. Pagkatapos ay i-cross out namin ang mga "napiling" $k$ row at $k$ column na ito. Muli, nakakakuha tayo ng isang parisukat na matrix - ang determinant nito ay tinatawag na komplementaryong minor at tinutukoy ng $M_(k)^(*)$.
3. I-multiply ang $M_(k)^(*)$ sa $((\left(-1 \right))^(t))$, kung saan ang $t$ ay (pansin ngayon!) ang kabuuan ng mga numero ng lahat ng napiling row at mga hanay. Ito ang magiging algebraic na karagdagan.

Tingnan ang pangatlong hakbang: mayroon talagang kabuuang $2k$ na termino! Ang isa pang bagay ay para sa $k=1$ nakakakuha lamang tayo ng 2 termino - ang mga ito ay magiging pareho $i+j$ - ang "coordinate" ng elementong $((a)_(ij))$, kung saan tayo ay naghahanap ng algebraic complement.

Kaya ngayon gumagamit kami ng bahagyang pinasimple na kahulugan. Ngunit tulad ng makikita natin mamaya, ito ay higit pa sa sapat. Higit na mas mahalaga ang sumusunod:

Kahulugan. Ang unyon matrix na $S$ hanggang sa square matrix na $A=\left[ n\times n \right]$ ay isang bagong matrix na may sukat na $\left[ n\times n \right]$, na nakuha mula sa $A$ sa pamamagitan ng pagpapalit ng $(( a)_(ij))$ ng algebraic complements $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \kanan]\]

Ang unang pag-iisip na lumitaw sa sandaling napagtanto ang kahulugan na ito ay "ito ay kung magkano ang kailangan mong bilangin sa kabuuan!" Relax: kailangan mong magbilang, ngunit hindi masyado. :)

Well, ang lahat ng ito ay napakabuti, ngunit bakit kailangan? Pero bakit.

Pangunahing teorama

Bumalik tayo ng kaunti. Tandaan, sinabi ng Lemma 3 na ang isang invertible matrix na $A$ ay palaging hindi isahan (ibig sabihin, ang determinant nito ay hindi zero: $\left| A \right|\ne 0$).

Kaya, totoo rin ang kabaligtaran: kung ang matrix na $A$ ay hindi bumababa, kung gayon ito ay palaging mababaligtad. At mayroong kahit isang scheme ng paghahanap $((A)^(-1))$. Tingnan ito:

Inverse matrix theorem. Hayaang magbigay ng square matrix na $A=\left[ n\times n \right]$, at ang determinant nito ay nonzero: $\left| Isang \right|\ne 0$. Pagkatapos ay umiiral ang inverse matrix na $((A)^(-1))$ at kinakalkula ng formula:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\kaliwa| A \kanan|)\cdot ((S)^(T))\]

At ngayon - pareho, ngunit sa nababasang sulat-kamay. Upang mahanap ang inverse matrix, kailangan mo:

1. Kalkulahin ang determinant na $\left| Isang \right|$ at tiyaking hindi ito zero.
2. I-compile ang union matrix na $S$, i.e. magbilang ng 100500 algebraic na mga karagdagan $((A)_(ij))$ at ilagay ang mga ito sa lugar $((a)_(ij))$.
3. Ilipat ang matrix na ito $S$ at pagkatapos ay i-multiply ito sa ilang numerong $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

At ayun na nga! Ang inverse matrix na $((A)^(-1))$ ay matatagpuan. Tingnan natin ang mga halimbawa:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

Desisyon. Suriin natin ang reversibility. Kalkulahin natin ang determinant:

\[\kaliwa| Isang \kanan|=\kaliwa| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Ang determinant ay iba sa zero. Kaya ang matrix ay invertible. Gumawa tayo ng matrix ng unyon:

Kalkulahin natin ang mga algebraic na karagdagan:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\kanan|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\kanan|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\kanan|=3. \\ \end(align)\]

Bigyang-pansin: mga determinant |2|, |5|, |1| at |3| ay ang mga determinants ng mga matrice na may sukat na $\left[ 1\times 1 \right]$, hindi modules. Yung. kung may mga negatibong numero sa mga determinant, hindi kinakailangang tanggalin ang "minus".

Sa kabuuan, ganito ang hitsura ng aming matrix ng unyon:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]\]

Ayan yun. Nalutas ang problema.

Sagot. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Gawain. Hanapin ang inverse matrix:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Desisyon. Muli, isinasaalang-alang namin ang determinant:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Ang determinant ay iba sa zero — ang matrix ay invertible. Ngunit ngayon, ito na ang magiging pinakamaliit: kailangan mong magbilang ng kasing dami ng 9 (siyam, sumpain ito!) Algebraic na mga karagdagan. At ang bawat isa sa kanila ay maglalaman ng $\left[ 2\times 2 \right]$ qualifier. lumipad:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(matrix)\]

Sa madaling salita, ang matrix ng unyon ay magiging ganito:

Samakatuwid, ang inverse matrix ay magiging:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]

Well, yun lang. Narito ang sagot.

Sagot. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

Tulad ng nakikita mo, sa dulo ng bawat halimbawa, nagsagawa kami ng tseke. Sa bagay na ito, isang mahalagang tala:

Huwag tamad mag-check. I-multiply ang orihinal na matrix sa natagpuang kabaligtaran - dapat kang makakuha ng $E$.

Ito ay mas madali at mas mabilis na gawin ang pagsusuring ito kaysa maghanap ng isang error sa karagdagang mga kalkulasyon, kapag, halimbawa, nalutas mo ang isang matrix equation.

Alternatibong paraan

Tulad ng sinabi ko, ang inverse matrix theorem ay gumagana nang maayos para sa mga sukat na $\left[ 2\times 2 \right]$ at $\left[ 3\times 3 \right]$ (sa huling kaso, hindi ito masyadong "maganda" ngayon). ”), ngunit para sa malalaking matrice, nagsisimula ang kalungkutan.

Ngunit huwag mag-alala: mayroong isang alternatibong algorithm na maaaring magamit upang mahinahong mahanap ang kabaligtaran kahit na para sa $\left[ 10\times 10 \right]$ matrix. Ngunit, tulad ng kadalasang nangyayari, upang isaalang-alang ang algorithm na ito, kailangan namin ng kaunting teoretikal na background.

Mga pagbabago sa elementarya

Kabilang sa iba't ibang mga pagbabagong-anyo ng matrix, mayroong ilang mga espesyal - sila ay tinatawag na elementarya. Mayroong eksaktong tatlong mga pagbabagong ito:

1. Pagpaparami. Maaari mong kunin ang $i$-th row (column) at i-multiply ito sa anumang numerong $k\ne 0$;
2. Dagdag. Idagdag sa $i$-th row (column) ang anumang iba pang $j$-th row (column) na na-multiply sa anumang numero na $k\ne 0$ (siyempre, posible rin ang $k=0$, ngunit ano ang punto ng na??Walang magbabago kahit).
3. Permutasyon. Kunin ang $i$-th at $j$-th na mga row (column) at palitan ang mga ito.

Bakit ang mga pagbabagong ito ay tinatawag na elementarya (para sa malalaking matrice ay hindi sila mukhang elementarya) at kung bakit tatlo lamang ang mga ito - ang mga tanong na ito ay lampas sa saklaw ng aralin ngayon. Samakatuwid, hindi na kami magdetalye.

Ang isa pang bagay ay mahalaga: kailangan nating gawin ang lahat ng mga perversion na ito sa nauugnay na matrix. Oo, oo, tama ang narinig mo. Ngayon ay magkakaroon ng isa pang kahulugan - ang huling isa sa aralin ngayon.

Naka-attach na Matrix

Tiyak na sa paaralan ay nalutas mo ang mga sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag. Well, doon, ibawas ang isa pa mula sa isang linya, i-multiply ang ilang linya sa isang numero - iyon lang.

Kaya: ngayon ang lahat ay magiging pareho, ngunit "sa isang pang-adultong paraan". handa na?

Kahulugan. Hayaang ibigay ang matrix na $A=\left[ n\times n \right]$ at ang identity matrix na $E$ na may parehong laki. Pagkatapos ay ang nauugnay na matrix na $\left[ A\left| Tama. \right]$ ay isang bagong $\left[ n\times 2n \right]$ matrix na ganito ang hitsura:

\[\left[ A\left| Tama. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

Sa madaling salita, kinukuha namin ang matrix na $A$, sa kanan ay itinatalaga namin dito ang identity matrix na $E$ ng kinakailangang laki, pinaghihiwalay namin ang mga ito gamit ang isang vertical bar para sa kagandahan - narito mayroon kang nakalakip. :)

Ano ang catch? At narito kung ano:

Teorama. Hayaang maging baligtad ang matrix na $A$. Isaalang-alang ang magkadugtong na matrix na $\left[ A\left| Tama. \tama]$. Kung gumagamit mga pagbabago sa elementarya na string dalhin ito sa form na $\left[ E\left| Maliwanag. \right]$, ibig sabihin. sa pamamagitan ng pagpaparami, pagbabawas at muling pagsasaayos ng mga hilera upang makuha ang matrix na $E$ sa kanan mula sa $A$, pagkatapos ang matrix na $B$ na nakuha sa kaliwa ay ang kabaligtaran ng $A$:

\[\left[ A\left| Tama. \right]\sa \left[ E\left| Maliwanag. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

Ganun kasimple! Sa madaling salita, ang algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix ay ganito:

1. Isulat ang nauugnay na matrix na $\left[ A\left| Tama. \right]$;
2. Magsagawa ng mga elementary string conversion hanggang sa kanan sa halip na $A$ ay lumabas na $E$;
3. Siyempre, may lalabas din sa kaliwa - isang tiyak na matrix na $B$. Ito ang magiging kabaligtaran;
4. KITA! :)

Siyempre, mas madaling sabihin kaysa gawin. Kaya tingnan natin ang ilang halimbawa: para sa mga sukat na $\left[ 3\times 3 \right]$ at $\left[ 4\times 4 \right]$.

Gawain. Hanapin ang inverse matrix:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Desisyon. Binubuo namin ang nakalakip na matrix:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 at 1 \\\end(array) \right]\]

Dahil ang huling haligi ng orihinal na matrix ay puno ng mga, ibawas ang unang hilera mula sa iba:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Wala nang mga unit, maliban sa unang linya. Ngunit hindi namin ito hinawakan, kung hindi, ang mga bagong tinanggal na yunit ay magsisimulang "mag-multiply" sa ikatlong hanay.

Ngunit maaari naming ibawas ang pangalawang linya ng dalawang beses mula sa huling isa - nakakakuha kami ng isang yunit sa ibabang kaliwang sulok:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Ngayon ay maaari nating ibawas ang huling hilera mula sa una at dalawang beses mula sa pangalawa - sa ganitong paraan ay "zero out" natin ang unang hanay:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \ sa \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

I-multiply ang pangalawang hilera sa −1 at pagkatapos ay ibawas ito ng 6 na beses mula sa una at magdagdag ng 1 beses sa huli:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Ito ay nananatiling lamang upang magpalit ng mga linya 1 at 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]

handa na! Sa kanan ay ang kinakailangang inverse matrix.

Sagot. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Gawain. Hanapin ang inverse matrix:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matrix) \kanan]\]

Desisyon. Muli naming binubuo ang nakalakip:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Humiram tayo ng kaunti, mag-alala kung magkano ang dapat nating bilangin ngayon ... at simulan ang pagbibilang. Upang magsimula, "zero out" namin ang unang column sa pamamagitan ng pagbabawas ng row 1 mula sa row 2 at 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Masyadong maraming "minus" ang naobserbahan namin sa mga linya 2-4. I-multiply ang lahat ng tatlong row sa −1, at pagkatapos ay sunugin ang ikatlong column sa pamamagitan ng pagbabawas ng row 3 mula sa iba pa:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \kaliwa| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \kaliwa| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Ngayon ay oras na upang "iprito" ang huling column ng orihinal na matrix: ibawas ang row 4 mula sa iba pa:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Panghuling roll: "burn out" ang pangalawang column sa pamamagitan ng pagbabawas ng row 2 mula sa row 1 at 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

At muli, ang identity matrix sa kaliwa, kaya ang kabaligtaran sa kanan. :)

Sagot. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrix) \right]$