Hayaang dumaan ang tuwid na linya sa mga puntos na M 1 (x 1; y 1) at M 2 (x 2; y 2). Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 1 ay may anyo y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)
saan k - hindi pa rin alam na koepisyent.
Dahil ang tuwid na linya ay dumadaan sa puntong M 2 (x 2 y 2), kung gayon ang mga coordinate ng puntong ito ay dapat matugunan ang equation (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).
Mula dito makikita natin ang Pagpapalit sa nahanap na halaga k
sa equation (10.6), nakuha namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na M 1 at M 2: 
Ipinapalagay na sa equation na ito x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Kung x 1 \u003d x 2, kung gayon ang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na M 1 (x 1, y I) at M 2 (x 2, y 2) ay kahanay sa y-axis. Ang equation nito ay x = x 1 .
Kung y 2 \u003d y I, kung gayon ang equation ng tuwid na linya ay maaaring isulat bilang y \u003d y 1, ang tuwid na linya M 1 M 2 ay kahanay sa x-axis.
Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment
Hayaang magsalubong ang tuwid na linya sa axis ng Ox sa puntong M 1 (a; 0), at sa axis ng Oy - sa puntong M 2 (0; b). Ang equation ay kukuha ng anyo: 
mga. 
. Ang equation na ito ay tinatawag ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment, dahil ang mga numerong a at b ay nagpapahiwatig kung aling mga segment ang pinuputol ng tuwid na linya sa mga coordinate axes.
Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa isang naibigay na vector
Hanapin natin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto Mo (x O; y o) patayo sa isang ibinigay na di-zero na vector n = (A; B).
Kumuha ng arbitrary point M(x; y) sa tuwid na linya at isaalang-alang ang vector M 0 M (x - x 0; y - y o) (tingnan ang Fig. 1). Dahil ang mga vectors n at M o M ay patayo, ang kanilang scalar product ay katumbas ng zero: iyon ay,
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Ang equation (10.8) ay tinatawag equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa isang naibigay na vector .
Ang vector n = (A; B) patayo sa linya ay tinatawag na normal normal na vector ng linyang ito .
Ang equation (10.8) ay maaaring muling isulat bilang Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
kung saan ang A at B ay ang mga coordinate ng normal na vector, C \u003d -Ax o - Vu o - libreng miyembro. Equation (10.9) ay ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya(tingnan ang Fig.2).
Fig.1 Fig.2
Canonical equation ng tuwid na linya
,
saan 
ay ang mga coordinate ng punto kung saan dumadaan ang linya, at 
- vector ng direksyon.
Mga kurba ng pangalawang order na Circle
Ang bilog ay ang hanay ng lahat ng mga punto sa isang eroplano na katumbas ng layo mula sa isang partikular na punto, na tinatawag na sentro.
Canonical equation ng isang bilog ng radius
R nakasentro sa isang punto 
:
Sa partikular, kung ang sentro ng stake ay tumutugma sa pinanggalingan, ang equation ay magiging ganito: 
Ellipse
Ang isang ellipse ay isang hanay ng mga punto sa isang eroplano, ang kabuuan ng mga distansya mula sa bawat isa sa kanila hanggang sa dalawang ibinigay na mga punto
at 
, na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong halaga 
, mas malaki kaysa sa distansya sa pagitan ng foci 
.
Ang canonical equation ng isang ellipse na ang foci ay nasa Ox axis at ang pinagmulan ay nasa gitna sa pagitan ng foci ay may anyo. 
G 
de a ang haba ng pangunahing semiaxis; b ay ang haba ng minor semiaxis (Larawan 2).
Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano.
Ang vector ng direksyon ay tuwid. Normal na vector
Ang isang tuwid na linya sa isang eroplano ay isa sa mga pinakasimpleng geometric na hugis, pamilyar sa iyo mula noong elementarya, at ngayon ay matututunan natin kung paano haharapin ito gamit ang mga pamamaraan ng analytical geometry. Upang makabisado ang materyal, kinakailangan upang makabuo ng isang tuwid na linya; alamin kung aling equation ang tumutukoy sa isang tuwid na linya, sa partikular, isang tuwid na linya na dumadaan sa pinanggalingan at mga tuwid na linya na kahanay sa mga coordinate axes. Ang impormasyong ito ay matatagpuan sa manwal. Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar, nilikha ko ito para sa matan, ngunit ang seksyon sa linear function ay naging napaka-matagumpay at detalyado. Samakatuwid, mahal na mga teapot, magpainit muna doon. Bilang karagdagan, kailangan mong magkaroon ng pangunahing kaalaman sa mga vector kung hindi ay hindi kumpleto ang pag-unawa sa materyal.
Sa araling ito, titingnan natin ang mga paraan kung paano mo maisusulat ang equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano. Inirerekumenda ko na huwag pabayaan ang mga praktikal na halimbawa (kahit na ito ay tila napakasimple), dahil bibigyan ko sila ng elementarya at mahahalagang katotohanan, mga teknikal na pamamaraan na kakailanganin sa hinaharap, kasama ang iba pang mga seksyon ng mas mataas na matematika.
- Paano isulat ang equation ng isang tuwid na linya na may slope?
- paano ?
- Paano mahahanap ang vector ng direksyon sa pamamagitan ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya?
- Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang normal na vector?
at magsisimula tayo:
Line Equation na may Slope
Ang kilalang "paaralan" na anyo ng equation ng isang tuwid na linya ay tinatawag equation ng isang tuwid na linya na may slope. Halimbawa, kung ang isang tuwid na linya ay ibinigay ng equation, kung gayon ang slope nito: . Isaalang-alang ang geometric na kahulugan ng koepisyent na ito at kung paano nakakaapekto ang halaga nito sa lokasyon ng linya: 
Sa kurso ng geometry ito ay pinatunayan na ang slope ng tuwid na linya ay padaplis ng isang anggulo sa pagitan ng positibong direksyon ng axisat binigay na linya: , at ang sulok ay “unscrewed” nang pakaliwa.
Upang hindi makalat ang pagguhit, gumuhit ako ng mga anggulo para lamang sa dalawang tuwid na linya. Isaalang-alang ang "pula" na tuwid na linya at ang slope nito. Ayon sa itaas: (anggulo "alpha" ay ipinahiwatig ng isang berdeng arko). Para sa "asul" na linya na may slope, ang pagkakapantay-pantay ay totoo (ang anggulo na "beta" ay ipinahiwatig ng brown arc). At kung ang tangent ng anggulo ay kilala, kung kinakailangan ay madaling mahanap at ang sulok gamit ang inverse function - arc tangent. Tulad ng sinasabi nila, isang trigonometric table o isang calculator sa kamay. kaya, ang slope ay nagpapakilala sa antas ng pagkahilig ng tuwid na linya sa x-axis.
Sa kasong ito, posible ang mga sumusunod na kaso:
1) Kung ang slope ay negatibo: , pagkatapos ay ang linya, sa halos pagsasalita, ay mula sa itaas hanggang sa ibaba. Ang mga halimbawa ay "asul" at "pulang-pula" na mga tuwid na linya sa pagguhit.
2) Kung ang slope ay positibo: , pagkatapos ay ang linya ay mula sa ibaba hanggang sa itaas. Ang mga halimbawa ay "itim" at "pula" na mga tuwid na linya sa pagguhit.
3) Kung ang slope ay katumbas ng zero: , kung gayon ang equation ay kukuha ng anyo , at ang katumbas na tuwid na linya ay kahanay sa axis. Ang isang halimbawa ay ang "dilaw" na linya.
4) Para sa isang pamilya ng mga tuwid na linya na kahanay sa axis (walang halimbawa sa pagguhit, maliban sa axis mismo), ang slope ay wala (hindi tinukoy ang tangent ng 90 degrees).
Kung mas malaki ang slope modulo, mas matarik ang line graph.
Halimbawa, isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya. Dito , kaya ang tuwid na linya ay may mas matarik na dalisdis. Ipinaaalala ko sa iyo na pinapayagan ka ng module na huwag pansinin ang sign, interesado lamang kami ganap na mga halaga angular coefficients.
Sa turn, ang isang tuwid na linya ay mas matarik kaysa sa mga tuwid na linya. 
.
Vice versa: mas maliit ang slope modulo, mas flat ang tuwid na linya.
Para sa mga tuwid na linya 
ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, kaya, ang tuwid na linya ay higit pa sa isang canopy. Pag-slide ng mga bata, upang hindi magtanim ng mga pasa at bukol.
Bakit kailangan ito?
Patagalin ang iyong pagdurusa Ang pag-alam sa mga katotohanan sa itaas ay nagbibigay-daan sa iyo upang agad na makita ang iyong mga pagkakamali, lalo na, ang mga pagkakamali kapag nagpaplano ng mga graph - kung ang pagguhit ay "malinaw na may mali". Ito ay kanais-nais na ikaw kaagad malinaw na, halimbawa, ang isang tuwid na linya ay napakatarik at napupunta mula sa ibaba hanggang sa itaas, at isang tuwid na linya ay napaka-flat, malapit sa axis at mula sa itaas hanggang sa ibaba.
Sa mga problemang geometriko, maraming mga tuwid na linya ang madalas na lumilitaw, kaya't maginhawa upang tukuyin ang mga ito kahit papaano.
Notasyon: Ang mga tuwid na linya ay isinasaad ng maliliit na letrang Latin: . Ang isang popular na opsyon ay ang pagtatalaga ng parehong titik na may natural na mga subscript. Halimbawa, ang limang linya na ating napag-isipan ay maaaring tukuyin ng 
.
Dahil ang anumang tuwid na linya ay natatanging tinutukoy ng dalawang puntos, maaari itong tukuyin ng mga puntong ito: 
atbp. Ang notasyon ay medyo malinaw na nagpapahiwatig na ang mga punto ay kabilang sa linya.
Oras upang lumuwag ng kaunti:
Paano isulat ang equation ng isang tuwid na linya na may slope?
Kung ang isang punto ay kilala na kabilang sa isang tiyak na linya, at ang slope ng linyang ito, kung gayon ang equation ng linyang ito ay ipinahayag ng formula:
Halimbawa 1
Buuin ang equation ng isang tuwid na linya na may slope kung alam na ang punto ay kabilang sa tuwid na linyang ito.
Desisyon: Bubuo tayo ng equation ng isang tuwid na linya ayon sa formula 
. Sa kasong ito: 
Sagot:
Pagsusulit ginanap sa elementarya. Una, tinitingnan namin ang nagresultang equation at siguraduhin na ang aming slope ay nasa lugar nito. Pangalawa, ang mga coordinate ng punto ay dapat matugunan ang ibinigay na equation. Isaksak natin sila sa equation:
Ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha, na nangangahulugan na ang punto ay nakakatugon sa resultang equation.
Konklusyon: Tamang nakita ang equation.
Isang mas nakakalito na halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon:
Halimbawa 2
Isulat ang equation ng isang tuwid na linya kung alam na ang anggulo ng pagkahilig nito sa positibong direksyon ng axis ay , at ang punto ay kabilang sa tuwid na linyang ito.
Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, muling basahin ang teoretikal na materyal. Mas tiyak, mas praktikal, nakakaligtaan ko ang maraming patunay.
Tumunog ang huling kampana, namatay ang bola ng pagtatapos, at sa likod ng mga tarangkahan ng aming katutubong paaralan, sa katunayan, naghihintay sa amin ang analytical geometry. Tapos na ang mga biro... Baka nagsisimula pa lang =)
Nostalgically iwagayway namin ang hawakan sa pamilyar at pamilyar sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Dahil sa analytic geometry ito ay tiyak na ginagamit:
Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: , nasaan ang ilang mga numero. Kasabay nito, ang mga coefficient sabay-sabay ay hindi katumbas ng zero, dahil nawawalan ng kahulugan ang equation.
Magsuot tayo ng suit at itali ang isang equation na may slope. Una, inililipat namin ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi:
Ang terminong may "x" ay dapat ilagay sa unang lugar:
Sa prinsipyo, ang equation ay mayroon nang anyo , ngunit ayon sa mga tuntunin ng mathematical etiquette, ang coefficient ng unang termino (sa kasong ito ) ay dapat na positibo. Pagbabago ng mga palatandaan:
Tandaan ang teknikal na tampok na ito! Ginagawa naming positibo ang unang koepisyent (madalas)!
Sa analytic geometry, ang equation ng isang tuwid na linya ay halos palaging ibibigay sa isang pangkalahatang anyo. Well, kung kinakailangan, madaling dalhin ito sa isang form na "paaralan" na may slope (maliban sa mga tuwid na linya na kahanay sa y-axis).
Tanungin natin ang ating sarili kung ano tama na marunong gumawa ng tuwid na linya? Dalawang puntos. Ngunit tungkol sa kasong ito sa pagkabata mamaya, ngayon ay nananatili sa panuntunan ng mga arrow. Ang bawat tuwid na linya ay may isang mahusay na tinukoy na slope, kung saan ito ay madaling "iangkop" vector.
Ang isang vector na kahanay ng isang linya ay tinatawag na vector ng direksyon ng linyang iyon.. Malinaw, ang anumang tuwid na linya ay may walang katapusang maraming mga vector ng direksyon, at lahat ng mga ito ay magiging collinear (co-directed o hindi - hindi mahalaga).
Ipapahiwatig ko ang vector ng direksyon tulad ng sumusunod: .
Ngunit ang isang vector ay hindi sapat upang bumuo ng isang tuwid na linya, ang vector ay libre at hindi nakakabit sa anumang punto ng eroplano. Samakatuwid, kinakailangan din na malaman ang ilang punto na kabilang sa linya.
Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang vector ng direksyon?
Kung ang ilang punto na kabilang sa linya at ang nagdidirekta na vector ng linyang ito ay kilala, kung gayon ang equation ng linyang ito ay maaaring i-compile ng formula:
Minsan ito ay tinatawag canonical equation ng linya .
Ano ang gagawin kapag isa sa mga coordinate ay zero, titingnan natin ang mga praktikal na halimbawa sa ibaba. Sa pamamagitan ng paraan, tandaan - sabay sabay Ang mga coordinate ay hindi maaaring maging zero, dahil ang zero vector ay hindi tumutukoy ng isang tiyak na direksyon.
Halimbawa 3
Sumulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang vector ng direksyon
Desisyon: Bubuo tayo ng equation ng isang tuwid na linya ayon sa formula. Sa kasong ito:
Gamit ang mga katangian ng proporsyon, inaalis namin ang mga praksyon: 
At dinadala namin ang equation sa isang pangkalahatang anyo:
Sagot:
Ang pagguhit sa gayong mga halimbawa, bilang panuntunan, ay hindi kinakailangan, ngunit para sa kapakanan ng pag-unawa: 
Sa pagguhit, nakikita natin ang panimulang punto, ang orihinal na vector ng direksyon (maaari itong ipagpaliban mula sa anumang punto sa eroplano) at ang itinayong linya. Sa pamamagitan ng paraan, sa maraming mga kaso, ang pagtatayo ng isang tuwid na linya ay pinaka-maginhawang isinasagawa gamit ang slope equation. Ang aming equation ay madaling i-convert sa form at nang walang anumang problema, kumuha ng isa pang punto upang bumuo ng isang tuwid na linya.
Tulad ng nabanggit sa simula ng seksyon, ang isang linya ay may walang katapusan na maraming mga vector ng direksyon, at lahat sila ay collinear. Halimbawa, gumuhit ako ng tatlong tulad ng mga vector: 
. Alinmang direksyon na vector ang pipiliin natin, ang resulta ay palaging magiging parehong straight line equation.
Buuin natin ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang nakadirekta na vector:
Paghiwa-hiwalayin ang proporsyon:
Hatiin ang magkabilang panig sa -2 at makuha ang pamilyar na equation:
Ang mga nagnanais ay maaari ring subukan ang mga vectors 
o anumang iba pang collinear vector.
Ngayon lutasin natin ang kabaligtaran na problema:
Paano mahahanap ang vector ng direksyon sa pamamagitan ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya?
Napakasimple:
Kung ang isang tuwid na linya ay ibinibigay ng isang pangkalahatang equation sa isang hugis-parihaba na coordinate system, kung gayon ang vector ay ang vector ng direksyon ng tuwid na linya na ito.
Mga halimbawa ng paghahanap ng mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya: 
Binibigyang-daan kami ng pahayag na makahanap lamang ng isang vector ng direksyon mula sa isang walang katapusang set, ngunit hindi na namin kailangan ng higit pa. Bagaman sa ilang mga kaso, ipinapayong bawasan ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon:
Kaya, ang equation ay tumutukoy sa isang tuwid na linya na parallel sa axis, at ang mga coordinate ng resultang steering vector ay maginhawang hinati ng -2, pagkuha ng eksakto ang batayang vector bilang ang steering vector. Logically.
Katulad nito, ang equation ay tumutukoy sa isang tuwid na linya na kahanay sa axis, at hinahati ang mga coordinate ng vector sa pamamagitan ng 5, nakuha namin ang ort bilang direksyon ng vector.
Ngayon i-execute natin suriin ang halimbawa 3. Ang halimbawa ay tumaas, kaya ipinaalala ko sa iyo na sa loob nito ginawa namin ang equation ng isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon.
Una sa lahat, ayon sa equation ng isang tuwid na linya, ibinabalik namin ang nagdidirekta na vector nito: 
- lahat ay maayos, nakuha namin ang orihinal na vector (sa ilang mga kaso, maaari itong maging collinear sa orihinal na vector, at ito ay karaniwang madaling makita sa pamamagitan ng proporsyonalidad ng kaukulang mga coordinate).
Pangalawa, ang mga coordinate ng punto ay dapat matugunan ang equation. Pinapalitan namin ang mga ito sa equation:
Nakuha na ang tamang pagkakapantay-pantay, na labis naming ikinatutuwa.
Konklusyon: Nakumpleto nang tama ang trabaho.
Halimbawa 4
Sumulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang vector ng direksyon
Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Ito ay lubos na kanais-nais na gumawa ng isang tseke ayon sa algorithm na isinasaalang-alang lamang. Subukang palaging (kung maaari) suriin ang isang draft. Ito ay hangal na gumawa ng mga pagkakamali kung saan sila ay maaaring 100% iwasan.
Kung ang isa sa mga coordinate ng vector ng direksyon ay zero, napakasimpleng gawin:
Halimbawa 5
Desisyon: Ang formula ay hindi wasto dahil ang denominator sa kanang bahagi ay zero. May labasan! Gamit ang mga katangian ng proporsyon, muling isinulat namin ang formula sa form , at ang natitira ay pinagsama sa isang malalim na rut:
Sagot:
Pagsusulit:
1) Ibalik ang vector ng direksyon ng tuwid na linya:
– ang resultang vector ay collinear sa orihinal na vector ng direksyon.
2) Palitan ang mga coordinate ng punto sa equation: 
Nakukuha ang tamang pagkakapantay-pantay
Konklusyon: natapos nang tama ang trabaho
Ang tanong ay lumitaw, bakit mag-abala sa formula kung mayroong isang unibersal na bersyon na gagana pa rin? May dalawang dahilan. Una, ang fractional formula mas mabuting tandaan. At pangalawa, ang disadvantage ng unibersal na formula ay iyon kapansin-pansing tumaas na panganib ng pagkalito kapag pinapalitan ang mga coordinate.
Halimbawa 6
Bumuo ng equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang vector ng direksyon.
Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself.
Bumalik tayo sa nasa lahat ng dako ng dalawang punto:
Paano isulat ang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng dalawang puntos?
Kung ang dalawang puntos ay kilala, kung gayon ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito ay maaaring i-compile gamit ang formula:
Sa katunayan, ito ay isang uri ng formula, at narito kung bakit: kung ang dalawang puntos ay kilala, kung gayon ang vector ang magiging direksyon ng vector ng linyang ito. Sa aralin Mga vector para sa mga dummies isinasaalang-alang namin ang pinakasimpleng problema - kung paano hanapin ang mga coordinate ng isang vector mula sa dalawang puntos. Ayon sa problemang ito, ang mga coordinate ng vector ng direksyon: 
Tandaan
: ang mga puntos ay maaaring "mapalitan" at gamitin ang formula 
. Magiging pantay ang gayong desisyon.
Halimbawa 7
Isulat ang equation ng isang tuwid na linya mula sa dalawang puntos 
.
Desisyon: Gamitin ang formula: 
Sinusuklay namin ang mga denominador:
At i-shuffle ang deck: 
Maginhawa na ngayon na alisin ang mga fractional na numero. Sa kasong ito, kailangan mong i-multiply ang parehong bahagi ng 6: 
Buksan ang mga bracket at isaisip ang equation: 
Sagot:
Pagsusulit ay halata - ang mga coordinate ng mga paunang punto ay dapat matugunan ang resultang equation:
1) Palitan ang mga coordinate ng punto: 
Tunay na pagkakapantay-pantay.
2) Palitan ang mga coordinate ng punto: 
Tunay na pagkakapantay-pantay.
Konklusyon: tama ang equation ng tuwid na linya.
Kung ang kahit isa ng mga puntos ay hindi nasiyahan ang equation, maghanap ng isang error.
Ito ay nagkakahalaga na tandaan na ang graphical na pag-verify sa kasong ito ay mahirap, dahil upang bumuo ng isang linya at makita kung ang mga puntos ay nabibilang dito 
, hindi ganoon kadali.
Mapapansin ko ang ilang mga teknikal na punto ng solusyon. Marahil sa problemang ito ay mas kapaki-pakinabang na gamitin ang formula ng salamin 
at, para sa parehong mga puntos 
gumawa ng equation: 
Mayroong mas kaunting mga fraction. Kung gusto mo, maaari mong kumpletuhin ang solusyon hanggang sa dulo, ang resulta ay dapat na ang parehong equation.
Ang pangalawang punto ay tingnan ang panghuling sagot at tingnan kung maaari pa itong mas pasimplehin? Halimbawa, kung ang isang equation ay nakuha, pagkatapos ito ay ipinapayong bawasan ito ng dalawa: - ang equation ay magtatakda ng parehong tuwid na linya. Gayunpaman, ito ay isang paksa ng pag-uusap tungkol sa magkaparehong pag-aayos ng mga tuwid na linya.
Pagkatanggap ng sagot 
sa Halimbawa 7, kung sakali, sinuri ko kung ang LAHAT ng mga coefficient ng equation ay nahahati sa 2, 3 o 7. Bagaman, kadalasan ang mga naturang pagbawas ay ginagawa sa panahon ng solusyon.
Halimbawa 8
Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos 
.
Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon, na magbibigay-daan lamang sa iyo upang mas maunawaan at gawin ang pamamaraan ng pagkalkula.
Katulad ng naunang talata: kung nasa formula 
ang isa sa mga denominator (direction vector coordinate) ay naglalaho, pagkatapos ay isusulat namin itong muli bilang . At muli, pansinin kung gaano siya naging awkward at nalilito. Wala akong nakikitang punto sa pagbibigay ng mga praktikal na halimbawa, dahil nalutas na natin ang gayong problema (tingnan ang Blg. 5, 6).
Tuwid na linyang normal na vector (normal na vector)
Ano ang normal? Sa madaling salita, ang normal ay isang patayo. Iyon ay, ang normal na vector ng isang linya ay patayo sa ibinigay na linya. Ito ay malinaw na ang anumang tuwid na linya ay may isang walang katapusang bilang ng mga ito (pati na rin ang pagdidirekta ng mga vectors), at ang lahat ng mga normal na vector ng tuwid na linya ay magiging collinear (codirectional o hindi - hindi mahalaga).
Ang pakikitungo sa kanila ay magiging mas madali kaysa sa mga vector ng direksyon:
Kung ang isang tuwid na linya ay ibinibigay ng isang pangkalahatang equation sa isang hugis-parihaba na coordinate system, kung gayon ang vector ay ang normal na vector ng tuwid na linyang ito.
Kung ang mga coordinate ng vector ng direksyon ay kailangang maingat na "hugot" mula sa equation, kung gayon ang mga coordinate ng normal na vector ay maaaring "matanggal".
Ang normal na vector ay palaging orthogonal sa direksyon ng vector ng linya. Ive-verify namin ang orthogonality ng mga vectors na ito gamit produkto ng tuldok:
Magbibigay ako ng mga halimbawa na may parehong mga equation tulad ng para sa vector ng direksyon: 
Posible bang magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya, alam ang isang punto at isang normal na vector? Parang posible. Kung ang normal na vector ay kilala, kung gayon ang direksyon ng pinakatuwid na linya ay katangi-tanging tinutukoy - ito ay isang "matibay na istraktura" na may anggulo na 90 degrees.
Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang normal na vector?
Kung ang ilang punto na kabilang sa linya at ang normal na vector ng linyang ito ay kilala, kung gayon ang equation ng linyang ito ay ipinahayag ng formula:
Dito napunta ang lahat nang walang mga fraction at iba pang mga sorpresa. Ganyan ang ating normal na vector. Mahal ito. At respeto =)
Halimbawa 9
Bumuo ng equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang normal na vector. Hanapin ang vector ng direksyon ng tuwid na linya.
Desisyon: Gamitin ang formula: 
Ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya ay nakuha, suriin natin:
1) "Alisin" ang mga coordinate ng normal na vector mula sa equation: 
- oo, sa katunayan, ang orihinal na vector ay nakuha mula sa kundisyon (o ang vector ay dapat na collinear sa orihinal na vector).
2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa equation: 
Tunay na pagkakapantay-pantay.
Pagkatapos nating kumbinsihin na tama ang equation, kukumpletuhin natin ang pangalawa, mas madaling bahagi ng gawain. Hinugot namin ang vector ng direksyon ng tuwid na linya: 
Sagot: 
Sa pagguhit, ang sitwasyon ay ang mga sumusunod: 
Para sa mga layunin ng pagsasanay, isang katulad na gawain para sa isang malayang solusyon:
Halimbawa 10
Bumuo ng equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang normal na vector. Hanapin ang vector ng direksyon ng tuwid na linya.
Ang huling seksyon ng aralin ay ilalaan sa hindi gaanong karaniwan, ngunit pati na rin ang mahahalagang uri ng mga equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano
Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.
Equation ng isang tuwid na linya sa parametric form
Ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment ay may anyo , kung saan ang mga nonzero constants. Ang ilang mga uri ng mga equation ay hindi maaaring katawanin sa form na ito, halimbawa, direktang proporsyonalidad (dahil ang libreng termino ay zero at walang paraan upang makuha ang isa sa kanang bahagi).
Ito ay, sa makasagisag na pagsasalita, isang "teknikal" na uri ng equation. Ang karaniwang gawain ay upang kumatawan sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya bilang isang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment. Bakit ito maginhawa? Ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment ay nagbibigay-daan sa mabilis mong mahanap ang mga punto ng intersection ng isang tuwid na linya na may mga coordinate axes, na napakahalaga sa ilang mga problema ng mas mataas na matematika.
Hanapin ang punto ng intersection ng linya na may axis. Ni-reset namin ang "y", at ang equation ay nasa anyo . Ang nais na punto ay awtomatikong nakuha: .
Pareho sa axis 
ay ang punto kung saan ang linya ay nag-intersect sa y-axis.
Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano. Magbigay tayo ng mga halimbawa ng pagbuo ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya kung ang dalawang punto ng tuwid na linya na ito ay kilala o kung ang isang punto at ang normal na vector ng tuwid na linya na ito ay kilala. Ipakita natin ang mga pamamaraan para sa pagbabago ng isang equation sa pangkalahatang anyo sa mga canonical at parametric na anyo.
Hayaang magbigay ng arbitrary na Cartesian rectangular coordinate system Oxy. Isaalang-alang ang isang first degree equation o isang linear equation:
| Ax+By+C=0, | (1) |
saan A, B, C ay ilang mga pare-pareho, at hindi bababa sa isa sa mga elemento A at B iba sa zero.
Ipapakita namin na ang isang linear equation sa eroplano ay tumutukoy sa isang tuwid na linya. Patunayan natin ang sumusunod na teorama.
Theorem 1. Sa isang arbitrary na Cartesian rectangular coordinate system sa isang eroplano, ang bawat tuwid na linya ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng isang linear equation. Sa kabaligtaran, ang bawat linear equation (1) sa isang arbitrary na Cartesian rectangular coordinate system sa eroplano ay tumutukoy sa isang tuwid na linya.
Patunay. Ito ay sapat na upang patunayan na ang linya L ay tinutukoy ng isang linear equation para sa alinmang Cartesian rectangular coordinate system, mula noon ito ay tutukuyin ng isang linear equation at para sa anumang pagpipilian ng Cartesian rectangular coordinate system.
Hayaang magbigay ng tuwid na linya sa eroplano L. Pumili kami ng isang coordinate system upang ang axis baka nakahanay sa linya L, at ang axis Oy ay patayo dito. Pagkatapos ay ang equation ng linya L kukuha ng sumusunod na anyo:
| y=0. | (2) |
Lahat ng mga punto sa isang linya L ay sasapatan ang linear equation (2), at lahat ng puntos sa labas ng tuwid na linyang ito ay hindi makakasagot sa equation (2). Ang unang bahagi ng teorama ay napatunayan.
Hayaang magbigay ng Cartesian rectangular coordinate system at hayaang maibigay ang linear equation (1), kung saan kahit isa sa mga elemento A at B iba sa zero. Hanapin ang locus ng mga puntos na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation (1). Dahil hindi bababa sa isa sa mga coefficient A at B ay iba sa zero, pagkatapos ang equation (1) ay may kahit isang solusyon M(x 0 ,y 0). (Halimbawa, kapag A≠0, tuldok M 0 (−C/A, 0) ay kabilang sa ibinigay na locus ng mga puntos). Ang pagpapalit sa mga coordinate na ito sa (1) makuha namin ang pagkakakilanlan
| Ax 0 +Sa pamamagitan ng 0 +C=0. | (3) |
Ibawas natin ang pagkakakilanlan (3) sa (1):
| A(x−x 0)+B(y−y 0)=0. | (4) |
Malinaw, ang equation (4) ay katumbas ng equation (1). Samakatuwid, sapat na upang patunayan na ang (4) ay tumutukoy sa ilang linya.
Dahil isinasaalang-alang namin ang isang Cartesian rectangular coordinate system, sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay (4) na ang vector na may mga bahagi ( x−x 0 , y−y 0 ) ay orthogonal sa vector n may mga coordinate ( A,B}.
Isaalang-alang ang ilang linya L dumadaan sa punto M 0 (x 0 , y 0) at patayo sa vector n(Larawan 1). Hayaan ang punto M(x,y) ay kabilang sa linya L. Pagkatapos ay ang vector na may mga coordinate x−x 0 , y−y 0 patayo n at ang equation (4) ay nasiyahan (scalar product of vectors n at katumbas ng zero). Sa kabaligtaran, kung ang punto M(x,y) ay hindi nagsisinungaling sa isang linya L, pagkatapos ay ang vector na may mga coordinate x−x 0 , y−y 0 ay hindi orthogonal sa vector n at ang equation (4) ay hindi nasiyahan. Ang teorama ay napatunayan.
Patunay. Dahil ang mga linya (5) at (6) ay tumutukoy sa parehong linya, ang mga normal na vectors n 1 ={A 1 ,B 1) at n 2 ={A 2 ,B 2) ay collinear. Dahil ang mga vectors n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, pagkatapos ay mayroong isang numero λ , Ano n 2 =n 1 λ . Kaya mayroon kaming: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Patunayan natin yan C 2 =C 1 λ . Malinaw na ang magkasabay na mga linya ay may isang karaniwang punto M 0 (x 0 , y 0). Pagpaparami ng equation (5) sa λ at pagbabawas ng equation (6) mula dito ay makukuha natin:
Dahil ang unang dalawang pagkakapantay-pantay mula sa mga expression (7) ay nasiyahan, kung gayon C 1 λ −C 2=0. Yung. C 2 =C 1 λ . Napatunayan na ang pangungusap.
Tandaan na ang equation (4) ay tumutukoy sa equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 0 (x 0 , y 0) at pagkakaroon ng isang normal na vector n={A,B). Samakatuwid, kung ang normal na vector ng linya at ang puntong kabilang sa linyang ito ay kilala, kung gayon ang pangkalahatang equation ng linya ay maaaring mabuo gamit ang equation (4).
Halimbawa 1. Isang linya ang dumadaan sa isang punto M=(4,−1) at may normal na vector n=(3, 5). Buuin ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.
Desisyon. Meron kami: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Upang bumuo ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya, pinapalitan namin ang mga halagang ito sa equation (4):
Sagot:
Vector parallel sa linya L at samakatuwid ay patayo sa normal na vector ng linya L. Bumuo tayo ng isang normal na line vector L, ibinigay na ang scalar product ng mga vectors n at katumbas ng zero. Maaari tayong sumulat, halimbawa, n={1,−3}.
Upang bumuo ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya, ginagamit namin ang formula (4). Ipalit natin sa (4) ang mga coordinate ng punto M 1 (maaari rin nating kunin ang mga coordinate ng punto M 2) at ang normal na vector n:
Pagpapalit ng mga coordinate ng punto M 1 at M 2 sa (9) maaari nating tiyakin na ang tuwid na linya na ibinigay ng equation (9) ay dumadaan sa mga puntong ito.
Sagot:
Ibawas ang (10) sa (1):
Nakuha namin ang canonical equation ng isang tuwid na linya. Vector q={−B, A) ay ang vector ng direksyon ng tuwid na linya (12).
Tingnan ang reverse transformation.
Halimbawa 3. Ang isang tuwid na linya sa isang eroplano ay kinakatawan ng sumusunod na pangkalahatang equation:
Ilipat ang pangalawang termino sa kanan at hatiin ang magkabilang panig ng equation ng 2 5.
Ang linyang dumadaan sa puntong K(x 0; y 0) at kahanay ng linyang y = kx + a ay matatagpuan ng formula:
y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)
Kung saan ang k ay ang slope ng tuwid na linya.
Alternatibong formula:
Ang linyang dumadaan sa puntong M 1 (x 1 ; y 1) at kahanay ng linyang Ax+By+C=0 ay kinakatawan ng equation
A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)
Halimbawa #1. Buuin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 0 (-2.1) at sa parehong oras:a) parallel sa tuwid na linya 2x+3y -7 = 0;
b) patayo sa linya 2x+3y -7 = 0.
Desisyon . Katawanin natin ang slope equation bilang y = kx + a . Upang gawin ito, ililipat namin ang lahat ng mga halaga maliban sa y sa kanang bahagi: 3y = -2x + 7 . Pagkatapos ay hatiin natin ang kanang bahagi sa coefficient 3 . Nakukuha namin ang: y = -2/3x + 7/3
Hanapin ang equation na NK na dumadaan sa puntong K(-2;1) parallel sa tuwid na linya y = -2 / 3 x + 7 / 3
Ang pagpapalit ng x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 ay nakukuha namin:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
o
y = -2 / 3 x - 1 / 3 o 3y + 2x +1 = 0
Halimbawa #2. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na kahanay ng tuwid na linya 2x + 5y = 0 at bumubuo, kasama ng mga coordinate axes, isang tatsulok na ang lugar ay 5.
Desisyon
. Dahil ang mga linya ay parallel, ang equation ng nais na linya ay 2x + 5y + C = 0. Ang lugar ng isang right triangle, kung saan ang a at b ang mga binti nito. Hanapin ang mga punto ng intersection ng nais na linya na may mga coordinate axes: 
;
.
Kaya, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Palitan sa formula para sa lugar: 
. Kumuha kami ng dalawang solusyon: 2x + 5y + 10 = 0 at 2x + 5y - 10 = 0 .
Halimbawa #3. Isulat ang equation ng linyang dumadaan sa punto (-2; 5) at ang parallel na linya 5x-7y-4=0 .
Desisyon. Ang tuwid na linyang ito ay maaaring katawanin ng equation na y = 5/7 x – 4/7 (dito a = 5/7). Ang equation ng gustong linya ay y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), i.e. 7(y-5)=5(x+2) o 5x-7y+45=0 .
Halimbawa #4. Ang paglutas ng halimbawa 3 (A=5, B=-7) gamit ang formula (2), makikita natin ang 5(x+2)-7(y-5)=0.
Halimbawa numero 5. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto (-2;5) at isang parallel na tuwid na linya 7x+10=0.
Desisyon. Dito A=7, B=0. Ang formula (2) ay nagbibigay ng 7(x+2)=0, i.e. x+2=0. Ang pormula (1) ay hindi naaangkop, dahil ang equation na ito ay hindi malulutas nang may kinalaman sa y (ang tuwid na linyang ito ay parallel sa y-axis).
Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya:
Mga partikular na kaso ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya:
at kung C= 0, ang equation (2) ay magkakaroon ng form
Ax + Sa pamamagitan ng = 0,
at ang tuwid na linya na tinukoy ng equation na ito ay dumadaan sa pinagmulan, dahil ang mga coordinate ng pinagmulan x = 0, y= 0 matugunan ang equation na ito.
b) Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya (2) B= 0, pagkatapos ay ang equation ay kinuha ang form
Ax + Sa= 0, o .
Ang equation ay hindi naglalaman ng variable y, at ang tuwid na linya na tinukoy ng equation na ito ay parallel sa axis Oy.
c) Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya (2) A= 0, pagkatapos ang equation na ito ay kunin ang anyo
Sa pamamagitan ng + Sa= 0, o ;
ang equation ay hindi naglalaman ng variable x, at ang tuwid na linya na tinukoy nito ay parallel sa axis baka.
Dapat itong tandaan: kung ang isang tuwid na linya ay parallel sa anumang coordinate axis, ang equation nito ay hindi naglalaman ng isang term na naglalaman ng isang coordinate ng parehong pangalan sa axis na ito.
d) Kailan C= 0 at A= 0 equation (2) ang nasa anyo Sa pamamagitan ng= 0, o y = 0.
Ito ang axis equation baka.
e) Kailan C= 0 at B= 0 equation (2) ay maaaring isulat sa anyo Ax= 0 o x = 0.
Ito ang axis equation Oy.
Mutual na pag-aayos ng mga tuwid na linya sa isang eroplano. Anggulo sa pagitan ng mga linya sa isang eroplano. Kondisyon ng mga parallel na linya. Ang kondisyon ng perpendicularity ng mga linya.
l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
S 2 S 1 Ang mga vector S 1 at S 2 ay tinatawag na mga gabay para sa kanilang mga linya.
Ang anggulo sa pagitan ng mga linya l 1 at l 2 ay tinutukoy ng anggulo sa pagitan ng mga vector ng direksyon.
Teorama 1: cos anggulo sa pagitan ng l 1 at l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d
Teorama 2: Upang maging pantay ang 2 linya, kinakailangan at sapat:
Teorama 3: upang ang 2 linya ay patayo ay kinakailangan at sapat:
L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0
Pangkalahatang equation ng eroplano at ang mga partikular na kaso nito. Equation ng isang eroplano sa mga segment.
Pangkalahatang equation ng eroplano:
Ax + By + Cz + D = 0
Mga espesyal na kaso:
1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - ang eroplano ay dumadaan sa pinanggalingan
2. С=0 Ax+By+D = 0 – eroplano || oz
3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – eroplano || OY
4. A=0 By+Cz+D = 0 – eroplano || OX
5. A=0 at D=0 By+Cz = 0 - dadaan ang eroplano sa OX
6. B=0 at D=0 Ax+Cz = 0 - dadaan ang eroplano sa OY
7. C=0 at D=0 Ax+By = 0 - ang eroplano ay dumadaan sa OZ
Mutual na pag-aayos ng mga eroplano at tuwid na linya sa kalawakan:
1. Ang anggulo sa pagitan ng mga linya sa espasyo ay ang anggulo sa pagitan ng kanilang mga vector ng direksyon.
Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = = 
2. Ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano ay tinutukoy sa pamamagitan ng anggulo sa pagitan ng kanilang mga normal na vector.
Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = = 
3. Ang cosine ng anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano ay matatagpuan sa pamamagitan ng kasalanan ng anggulo sa pagitan ng vector ng direksyon ng linya at ng normal na vector ng eroplano.
4. 2 linya || sa kalawakan nang ang kanilang || mga gabay sa vector
5. 2 eroplano || kapag || normal na mga vector
6. Parehong ipinakilala ang mga konsepto ng perpendicularity ng mga linya at eroplano.
Tanong #14
Iba't ibang uri ng equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano (ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment, na may slope, atbp.)
Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment:
Ipagpalagay na sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya:
1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - ang tuwid na linya ay dumadaan sa pinanggalingan.
2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d
3. sa \u003d 0 Ax + C \u003d 0 x \u003d
4. v \u003d C \u003d 0 Ax \u003d 0 x \u003d 0
5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0
Ang equation ng isang tuwid na linya na may slope:
Anumang tuwid na linya na hindi katumbas ng y-axis (B hindi = 0) ay maaaring isulat sa sumusunod. anyo:
k = tgα α ay ang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya at ang positibong direksyon na linya ОХ
b - punto ng intersection ng tuwid na linya kasama ang axis ng OS
Doc-in:
Ax+By+C = 0
Wu \u003d -Ax-C |: B
Equation ng isang tuwid na linya sa dalawang puntos:
Tanong #16
Ang finite limit ng isang function sa isang point at para sa x→∞
Tapusin ang limitasyon sa punto x 0:
Ang numero A ay tinatawag na limitasyon ng function na y \u003d f (x) para sa x → x 0, kung para sa alinmang E > 0 mayroong b > 0 na para sa x ≠ x 0, na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay |x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е
Ang limitasyon ay tinukoy: = A
Tapusin ang limitasyon sa puntong +∞:
Ang numerong A ay tinatawag na limitasyon ng function na y = f(x) para sa x → + ∞ , kung para sa alinmang E > 0 mayroong C > 0 na para sa x > C ang hindi pagkakapantay-pantay |f(x) - A|< Е
Ang limitasyon ay tinukoy: = A
Tapusin ang limitasyon sa punto -∞:
Ang bilang A ay tinatawag na limitasyon ng function na y = f(x) para sa x→-∞, kung para sa anumang E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е
