Ang square root ng isang numero X tinawag ang isang numero A, na sa proseso ng pagpaparami ng sarili nito sa sarili nito ( A*A) ay maaaring magbigay ng numero X.
Yung. A * A = A 2 = X, at √X = A.

Higit sa square roots ( √x), tulad ng iba pang mga numero, maaari kang magsagawa ng mga operasyong aritmetika tulad ng pagbabawas at pagdaragdag. Upang ibawas at magdagdag ng mga ugat, dapat na konektado ang mga ito gamit ang mga palatandaan na tumutugma sa mga pagkilos na ito (halimbawa √x- √y ).
At pagkatapos ay dalhin ang mga ugat sa kanilang pinakasimpleng anyo - kung may mga katulad sa pagitan nila, kailangan mong gumawa ng isang cast. Binubuo ito sa katotohanan na ang mga coefficient ng magkatulad na mga termino na may mga palatandaan ng kaukulang mga termino ay kinuha, pagkatapos ay nakapaloob sa mga bracket, at ang karaniwang ugat ay ipinapakita sa labas ng mga multiplier bracket. Ang coefficient na nakuha namin ay pinasimple ayon sa karaniwang mga patakaran.

Hakbang 1. Pagkuha ng mga square root

Una, upang magdagdag ng mga square root, kailangan mo munang kunin ang mga ugat na ito. Magagawa ito kung ang mga numero sa ilalim ng root sign ay perpektong mga parisukat. Halimbawa, kunin ang ibinigay na expression √4 + √9 . Unang numero 4 ay ang parisukat ng numero 2 . Pangalawang numero 9 ay ang parisukat ng numero 3 . Kaya, ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay maaaring makuha: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Lahat, ang halimbawa ay nalutas. Ngunit hindi laging ganoon ang nangyayari.

Hakbang 2. Pagkuha ng multiplier ng isang numero mula sa ilalim ng ugat

Kung walang mga buong parisukat sa ilalim ng root sign, maaari mong subukang alisin ang multiplier ng numero mula sa ilalim ng root sign. Halimbawa, kunin ang expression √24 + √54 .

I-factorize natin ang mga numero:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Nasa listahan 24 meron tayong multiplier 4 , maaari itong alisin mula sa ilalim ng square root sign. Nasa listahan 54 meron tayong multiplier 9 .

Nakukuha namin ang pagkakapantay-pantay:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Isinasaalang-alang ang halimbawang ito, nakukuha namin ang pag-alis ng factor mula sa ilalim ng root sign, at sa gayon ay pinapasimple ang ibinigay na expression.

Hakbang 3. Pagbawas ng denominator

Isaalang-alang ang sumusunod na sitwasyon: ang kabuuan ng dalawang square root ay ang denominator ng isang fraction, halimbawa, A / (√a + √b).
Ngayon ay nahaharap tayo sa gawain ng "pag-alis ng hindi makatwiran sa denominator."
Gamitin natin ang sumusunod na paraan: i-multiply ang numerator at denominator ng fraction sa expression √a - √b.

Nakukuha na natin ngayon ang pinaikling pormula ng pagpaparami sa denominator:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Katulad nito, kung ang denominator ay naglalaman ng pagkakaiba ng mga ugat: √a - √b, ang numerator at denominator ng fraction ay pinarami ng expression √a + √b.

Kunin natin ang isang fraction bilang isang halimbawa:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Isang halimbawa ng complex denominator reduction

Ngayon ay isasaalang-alang natin ang isang medyo kumplikadong halimbawa ng pag-alis ng hindi makatwiran sa denominator.

Kunin natin ang isang fraction bilang isang halimbawa: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Kailangan mong kunin ang numerator at denominator nito at i-multiply sa expression √2 + √3 - √5 .

Nakukuha namin:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Hakbang 4. Kalkulahin ang tinatayang halaga sa calculator

Kung kailangan mo lamang ng isang tinatayang halaga, maaari itong gawin sa isang calculator sa pamamagitan ng pagkalkula ng halaga ng mga square root. Hiwalay, para sa bawat numero, ang halaga ay kinakalkula at naitala nang may kinakailangang katumpakan, na tinutukoy ng bilang ng mga decimal na lugar. Dagdag pa, ang lahat ng mga kinakailangang operasyon ay ginaganap, tulad ng sa mga ordinaryong numero.

Tinantyang Halimbawa ng Pagkalkula

Kinakailangang kalkulahin ang tinatayang halaga ng expression na ito √7 + √5 .

Bilang resulta, nakukuha namin ang:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Pakitandaan: sa anumang pagkakataon ay dapat idagdag ang mga square root bilang prime number, ito ay ganap na hindi katanggap-tanggap. Ibig sabihin, kung idaragdag mo ang square root ng lima at tatlo, hindi natin makukuha ang square root ng walo.

Kapaki-pakinabang na payo: kung magpasya kang mag-factorize ng isang numero, upang makakuha ng isang parisukat mula sa ilalim ng root sign, kailangan mong gawin ang isang reverse check, iyon ay, i-multiply ang lahat ng mga kadahilanan na nagresulta mula sa mga kalkulasyon, at ang huling resulta nito. Ang pagkalkula ng matematika ay dapat ang numerong orihinal na ibinigay sa amin.

Katotohanan 1.
\(\bullet\) Kumuha ng ilang hindi negatibong numero \(a\) (ibig sabihin \(a\geqslant 0\) ). Pagkatapos (aritmetika) parisukat na ugat mula sa numerong \(a\) ay tinatawag ang gayong hindi negatibong numero na \(b\), kapag ini-square ito ay nakukuha natin ang numerong \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(katulad ng )\quad a=b^2\] Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ang mga paghihigpit na ito ay isang mahalagang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang square root at dapat tandaan!
Alalahanin na ang anumang numero kapag naka-squad ay nagbibigay ng hindi negatibong resulta. Ibig sabihin, \(100^2=10000\geqslant 0\) at \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Ano ang \(\sqrt(25)\) ? Alam namin na \(5^2=25\) at \((-5)^2=25\) . Dahil sa depinisyon kailangan nating maghanap ng hindi negatibong numero, ang \(-5\) ay hindi angkop, kaya \(\sqrt(25)=5\) (dahil \(25=5^2\) ).
Ang paghahanap ng value na \(\sqrt a\) ay tinatawag na pagkuha ng square root ng numero \(a\) , at ang numerong \(a\) ay tinatawag na root expression.
\(\bullet\) Batay sa kahulugan, ang mga expression na \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , atbp. walang saysay.

Katotohanan 2.
Para sa mabilis na pagkalkula, magiging kapaki-pakinabang na matutunan ang talahanayan ng mga parisukat ng mga natural na numero mula \(1\) hanggang \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 at \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 at \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 at \quad17^2=289\\ 8^2=64 at \quad18^2=324\\ 9^2=81 at \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Katotohanan 3.
Ano ang maaaring gawin sa mga square root?
\(\bullet\) Ang kabuuan o pagkakaiba ng mga square root ay HINDI PANTAY sa square root ng kabuuan o pagkakaiba, i.e. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Kaya, kung kailangan mong kalkulahin, halimbawa, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , dapat mo munang hanapin ang mga value \(\sqrt(25)\) at \(\sqrt (49)\ ) at pagkatapos ay idagdag ang mga ito. Kaya naman, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Kung ang mga halaga \(\sqrt a\) o \(\sqrt b\) ay hindi matagpuan kapag idinaragdag ang \(\sqrt a+\sqrt b\), kung gayon ang gayong expression ay hindi na mako-convert pa at mananatiling ganito. Halimbawa, sa kabuuan na \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) mahahanap natin ang \(\sqrt(49)\) - ito ay \(7\) , ngunit ang \(\sqrt 2\) ay hindi maaaring na-convert sa anumang paraan, Kaya naman \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Dagdag pa, ang expression na ito, sa kasamaang-palad, ay hindi maaaring pasimplehin sa anumang paraan.\(\bullet\) Ang produkto/quotient ng square roots ay katumbas ng square root ng product/quotient, i.e. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (sa kondisyon na ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay ay may katuturan)
Halimbawa: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Gamit ang mga katangiang ito, madaling mahanap ang square roots ng malalaking numero sa pamamagitan ng factoring sa kanila.
Isaalang-alang ang isang halimbawa. Hanapin ang \(\sqrt(44100)\) . Dahil \(44100:100=441\) , pagkatapos \(44100=100\cdot 441\) . Ayon sa criterion ng divisibility, ang numerong \(441\) ay nahahati sa \(9\) (dahil ang kabuuan ng mga digit nito ay 9 at nahahati ng 9), samakatuwid, \(441:9=49\) , ibig sabihin, \(441=9\ cdot 49\) .
Kaya, nakuha namin ang: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Tingnan natin ang isa pang halimbawa: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Ipakita natin kung paano maglagay ng mga numero sa ilalim ng square root sign gamit ang halimbawa ng expression na \(5\sqrt2\) (maikli para sa expression na \(5\cdot \sqrt2\) ). Dahil \(5=\sqrt(25)\) , pagkatapos \ Tandaan din na, halimbawa,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Bakit ganon? Ipaliwanag natin sa halimbawa 1). Gaya ng naintindihan mo na, hindi namin mako-convert sa anumang paraan ang numero \(\sqrt2\) . Isipin na ang \(\sqrt2\) ay ilang numero \(a\) . Alinsunod dito, ang expression na \(\sqrt2+3\sqrt2\) ay walang iba kundi \(a+3a\) (isang numero \(a\) kasama ang tatlo pa sa parehong mga numero \(a\) ). At alam namin na ito ay katumbas ng apat na ganoong numero \(a\) , iyon ay, \(4\sqrt2\) .

Katotohanan 4.
\(\bullet\) Madalas na sinasabing "hindi ma-extract ang ugat" kapag hindi posibleng tanggalin ang sign \(\sqrt () \ \) ng ugat (radical) kapag hinahanap ang halaga ng ilang numero. Halimbawa, maaari mong i-root ang numero \(16\) dahil \(16=4^2\) , kaya \(\sqrt(16)=4\) . Ngunit upang kunin ang ugat mula sa numero \(3\) , iyon ay, upang mahanap \(\sqrt3\) , imposible, dahil walang ganoong numero na ibibigay ng squared \(3\) .
Ang mga naturang numero (o mga expression na may ganitong mga numero) ay hindi makatwiran. Halimbawa, mga numero \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) atbp. ay hindi makatwiran.
Hindi rin makatwiran ang mga numerong \(\pi\) (ang numerong "pi", humigit-kumulang katumbas ng \(3,14\) ), \(e\) (ang numerong ito ay tinatawag na numero ng Euler, humigit-kumulang katumbas ng \(2 ,7\) ) atbp.
\(\bullet\) Pakitandaan na ang anumang numero ay magiging makatwiran o hindi makatwiran. At sama-sama ang lahat ng rational at lahat ng hindi makatwiran na mga numero ay bumubuo ng isang set na tinatawag set ng tunay (totoong) mga numero. Ang set na ito ay tinutukoy ng titik \(\mathbb(R)\) .
Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga numero na alam natin sa kasalukuyan ay tinatawag na mga tunay na numero.

Katotohanan 5.
Ang \(\bullet\) Modulus ng isang tunay na numero \(a\) ay isang di-negatibong numero \(|a|\) na katumbas ng distansya mula sa puntong \(a\) hanggang \(0\) sa real linya. Halimbawa, ang \(|3|\) at \(|-3|\) ay katumbas ng 3, dahil ang mga distansya mula sa mga puntong \(3\) at \(-3\) hanggang \(0\) ay ang pareho at katumbas ng \(3 \) .
\(\bullet\) Kung ang \(a\) ay isang hindi negatibong numero, kung gayon \(|a|=a\) .
Halimbawa: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Kung ang \(a\) ay isang negatibong numero, kung gayon \(|a|=-a\) .
Halimbawa: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Sinasabi nila na para sa mga negatibong numero, ang module ay "kumakain" ng minus, at ang mga positibong numero, pati na rin ang numerong \(0\) , ang module ay umalis na hindi nagbabago.
PERO nalalapat lang ang panuntunang ito sa mga numero. Kung mayroon kang hindi kilalang \(x\) (o iba pang hindi alam) sa ilalim ng module sign, halimbawa, \(|x|\) , na hindi natin alam kung ito ay positibo, katumbas ng zero o negatibo, kung gayon tanggalin ang modyul na hindi natin kaya. Sa kasong ito, ang expression na ito ay nananatiling ganito: \(|x|\) . \(\bullet\) Ang mga sumusunod na formula ay mayroong: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\malaki((\sqrt(a))^2=a)), \text( ibinigay ) a\geqslant 0\] Ang sumusunod na pagkakamali ay madalas na ginagawa: sinasabi nila na ang \(\sqrt(a^2)\) at \((\sqrt a)^2\) ay magkaparehong bagay. Ito ay totoo lamang kapag ang \(a\) ay isang positibong numero o zero. Ngunit kung ang \(a\) ay isang negatibong numero, hindi ito totoo. Sapat na isaalang-alang ang gayong halimbawa. Kunin natin ang numerong \(-1\) sa halip na \(a\). Pagkatapos \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ngunit ang expression na \((\sqrt (-1))^2\) ay wala sa lahat (dahil ito ay imposible sa ilalim ng root sign ilagay ang mga negatibong numero!).
Samakatuwid, iginuhit namin ang iyong pansin sa katotohanan na ang \(\sqrt(a^2)\) ay hindi katumbas ng \((\sqrt a)^2\) ! Halimbawa: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), dahil \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Dahil \(\sqrt(a^2)=|a|\) , pagkatapos ay \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (ang expression na \(2n\) ay nagsasaad ng even na numero)
Iyon ay, kapag kinukuha ang ugat mula sa isang numero na nasa ilang antas, ang antas na ito ay hinahati.
Halimbawa:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (tandaan na kung hindi nakatakda ang module, lumalabas na ang ugat ng numero ay katumbas ng \(-25 \); ngunit natatandaan namin , na, sa pamamagitan ng kahulugan ng ugat, hindi ito maaaring: kapag kinukuha ang ugat, dapat lagi tayong makakuha ng positibong numero o zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (dahil ang anumang numero sa pantay na kapangyarihan ay hindi negatibo)

Katotohanan 6.
Paano ihambing ang dalawang square roots?
\(\bullet\) True para sa square roots: kung \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aHalimbawa:
1) ihambing ang \(\sqrt(50)\) at \(6\sqrt2\) . Una, binago namin ang pangalawang expression sa \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Kaya, mula noong \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Sa pagitan ng aling mga integer ay \(\sqrt(50)\) ?
Dahil \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , at \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Ihambing ang \(\sqrt 2-1\) at \(0,5\) . Ipagpalagay na \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((magdagdag ng isa sa magkabilang panig))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((parisukat ang magkabilang bahagi))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Nakikita natin na nakakuha tayo ng hindi tamang hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, mali ang aming palagay at \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Tandaan na ang pagdaragdag ng isang tiyak na numero sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi makakaapekto sa palatandaan nito. Ang pag-multiply/paghahati sa parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang positibong numero ay hindi rin makakaapekto sa sign nito, ngunit ang pag-multiply/paghahati sa isang negatibong numero ay binabaligtad ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay!
Ang magkabilang panig ng isang equation/hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-squad LAMANG KUNG ang magkabilang panig ay hindi negatibo. Halimbawa, sa hindi pagkakapantay-pantay mula sa nakaraang halimbawa, maaari mong parisukat ang magkabilang panig, sa hindi pagkakapantay-pantay \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Tandaan na \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Ang pag-alam sa tinatayang kahulugan ng mga numerong ito ay makakatulong sa iyo kapag naghahambing ng mga numero! \(\bullet\) Upang makuha ang ugat (kung ito ay nakuha) mula sa ilang malaking bilang na wala sa talahanayan ng mga parisukat, kailangan mo munang matukoy kung aling "daan-daan" ito, pagkatapos ay sa pagitan ng kung aling "sampu", at pagkatapos ay tukuyin ang huling digit ng numerong ito. Ipakita natin kung paano ito gumagana sa isang halimbawa.
Kunin ang \(\sqrt(28224)\) . Alam namin na \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) at iba pa. Tandaan na ang \(28224\) ay nasa pagitan ng \(10\,000\) at \(40\,000\) . Samakatuwid, ang \(\sqrt(28224)\) ay nasa pagitan ng \(100\) at \(200\) .
Ngayon, tukuyin natin kung aling “sampu” ang ating numero (iyon ay, halimbawa, sa pagitan ng \(120\) at \(130\) ). Alam din natin mula sa talahanayan ng mga parisukat na \(11^2=121\) , \(12^2=144\) atbp., pagkatapos ay \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Kaya't nakikita natin na ang \(28224\) ay nasa pagitan ng \(160^2\) at \(170^2\) . Samakatuwid, ang numerong \(\sqrt(28224)\) ay nasa pagitan ng \(160\) at \(170\) .
Subukan nating matukoy ang huling digit. Tandaan natin kung anong mga solong-digit na numero ang ibinibigay sa pag-squaring sa dulo \ (4 \) ? Ito ay ang \(2^2\) at \(8^2\) . Samakatuwid, ang \(\sqrt(28224)\) ay magtatapos sa alinman sa 2 o 8. Suriin natin ito. Hanapin ang \(162^2\) at \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Kaya \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Upang sapat na malutas ang pagsusulit sa matematika, una sa lahat, kinakailangan na pag-aralan ang teoretikal na materyal, na nagpapakilala ng maraming theorems, formula, algorithm, atbp. Sa unang sulyap, maaaring mukhang ito ay medyo simple. Gayunpaman, ang paghahanap ng mapagkukunan kung saan ang teorya para sa Unified State Examination sa matematika ay ipinakita nang madali at naiintindihan para sa mga mag-aaral na may anumang antas ng pagsasanay, sa katunayan, isang medyo mahirap na gawain. Ang mga aklat-aralin sa paaralan ay hindi laging nasa kamay. At ang paghahanap ng mga pangunahing formula para sa pagsusulit sa matematika ay maaaring maging mahirap kahit sa Internet.

Bakit napakahalagang mag-aral ng teorya sa matematika, hindi lamang para sa mga kumukuha ng pagsusulit?

1. Dahil pinalalawak nito ang iyong pananaw. Ang pag-aaral ng teoretikal na materyal sa matematika ay kapaki-pakinabang para sa sinumang gustong makakuha ng mga sagot sa malawak na hanay ng mga tanong na may kaugnayan sa kaalaman ng mundo. Lahat ng bagay sa kalikasan ay maayos at may malinaw na lohika. Ito ay tiyak kung ano ang makikita sa agham, kung saan posible na maunawaan ang mundo.
2. Dahil ito ay nagpapaunlad ng talino. Ang pag-aaral ng mga sangguniang materyales para sa pagsusulit sa matematika, pati na rin ang paglutas ng iba't ibang mga problema, ang isang tao ay natututong mag-isip at mangatuwiran nang lohikal, upang bumalangkas ng mga kaisipan nang tama at malinaw. Nabubuo niya ang kakayahang pag-aralan, gawing pangkalahatan, gumawa ng mga konklusyon.

Inaanyayahan ka naming personal na suriin ang lahat ng mga pakinabang ng aming diskarte sa systematization at pagtatanghal ng mga materyal na pang-edukasyon.

Ang paksa ng square roots ay sapilitan sa school curriculum ng kursong matematika. Hindi mo magagawa nang wala ang mga ito kapag nilulutas ang mga quadratic equation. At sa paglaon ay kinakailangan hindi lamang upang kunin ang mga ugat, kundi pati na rin upang magsagawa ng iba pang mga aksyon sa kanila. Kabilang sa mga ito ay medyo kumplikado: exponentiation, multiplication at division. Ngunit mayroon ding mga medyo simple: pagbabawas at pagdaragdag ng mga ugat. Siyanga pala, sa unang tingin pa lang sila. Ang pagsasagawa ng mga ito nang walang mga pagkakamali ay hindi laging madali para sa isang taong nagsisimula pa lamang na makilala sila.

Ano ang mathematical root?

Ang pagkilos na ito ay lumitaw bilang kabaligtaran sa exponentiation. Ipinapalagay ng matematika ang pagkakaroon ng dalawang magkasalungat na operasyon. Mayroong pagbabawas para sa karagdagan. Ang pagpaparami ay laban sa paghahati. Ang reverse action ng degree ay ang pagkuha ng kaukulang ugat.

Kung ang exponent ay 2, kung gayon ang ugat ay magiging parisukat. Ito ang pinakakaraniwan sa matematika ng paaralan. Ni wala itong indikasyon na ito ay parisukat, iyon ay, ang numero 2 ay hindi nakatalaga dito. Ang matematikal na notasyon ng operator na ito (radikal) ay ipinapakita sa figure.

Mula sa inilarawang aksyon, ang kahulugan nito ay sumusunod nang maayos. Upang kunin ang square root ng isang tiyak na numero, kailangan mong malaman kung ano ang ibibigay ng radikal na expression kapag pinarami ng sarili nito. Ang numerong ito ang magiging square root. Kung isusulat natin ito sa matematika, makukuha natin ang sumusunod: x * x \u003d x 2 \u003d y, na nangangahulugang √y \u003d x.

Anong mga aksyon ang maaaring gawin sa kanila?

Sa kaibuturan nito, ang ugat ay isang fractional power na mayroong unit sa numerator. At ang denominator ay maaaring anuman. Halimbawa, ang square root ay may halaga na dalawa. Samakatuwid, ang lahat ng mga aksyon na maaaring isagawa na may mga degree ay magiging wasto din para sa mga ugat.

At mayroon silang parehong mga kinakailangan para sa mga pagkilos na ito. Kung ang pagpaparami, paghahati at pagtaas sa isang kapangyarihan ay hindi nakakatugon sa mga paghihirap para sa mga mag-aaral, kung gayon ang pagdaragdag ng mga ugat, pati na rin ang kanilang pagbabawas, kung minsan ay humahantong sa pagkalito. At lahat dahil gusto mong isagawa ang mga operasyong ito nang hindi tumitingin sa tanda ng ugat. At dito magsisimula ang mga pagkakamali.

Ano ang mga tuntunin sa pagdaragdag at pagbabawas?

Una kailangan mong tandaan ang dalawang kategoryang "hindi":

• imposibleng magsagawa ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga ugat, tulad ng sa mga pangunahing numero, iyon ay, imposibleng isulat ang mga expression ng ugat ng kabuuan sa ilalim ng isang tanda at magsagawa ng mga operasyong matematika sa kanila;
• hindi ka maaaring magdagdag at magbawas ng mga ugat na may iba't ibang exponent, tulad ng square at cubic.

Isang mapaglarawang halimbawa ng unang pagbabawal: √6 + √10 ≠ √16 ngunit √(6 + 10) = √16.

Sa pangalawang kaso, mas mahusay na limitahan ang ating sarili sa pagpapasimple ng mga ugat mismo. At sa sagot iwanan ang kanilang kabuuan.

Ngayon sa mga patakaran

1. Hanapin at pangkatin ang magkatulad na mga ugat. Iyon ay, ang mga hindi lamang may parehong mga numero sa ilalim ng radikal, ngunit sila mismo ay may isang tagapagpahiwatig.
2. Isagawa ang pagdaragdag ng mga ugat na pinagsama sa isang pangkat sa pamamagitan ng unang aksyon. Ito ay madaling ipatupad, dahil kailangan mo lamang idagdag ang mga halaga na nauuna sa mga radical.
3. I-extract ang mga ugat sa mga terminong iyon kung saan ang radikal na expression ay bumubuo ng isang buong parisukat. Sa madaling salita, huwag mag-iwan ng anuman sa ilalim ng tanda ng radikal.
4. Pasimplehin ang root expression. Upang gawin ito, kailangan mong i-factor ang mga ito sa mga pangunahing kadahilanan at tingnan kung ibibigay nila ang parisukat ng anumang numero. Malinaw na totoo ito pagdating sa square root. Kapag ang exponent ay tatlo o apat, kung gayon ang mga pangunahing kadahilanan ay dapat magbigay ng kubo o ang ikaapat na kapangyarihan ng numero.
5. Alisin mula sa ilalim ng sign ng radical ang isang factor na nagbibigay ng integer power.
6. Tingnan kung lalabas muli ang mga katulad na termino. Kung oo, gawin muli ang pangalawang hakbang.

Sa isang sitwasyon kung saan ang problema ay hindi nangangailangan ng eksaktong halaga ng ugat, maaari itong kalkulahin sa isang calculator. I-round off ang infinite decimal fraction na ipapakita sa window nito. Kadalasan ito ay ginagawa hanggang sa isang daan. At pagkatapos ay gawin ang lahat ng mga operasyon para sa mga decimal fraction.

Ito ang lahat ng impormasyon tungkol sa kung paano isinasagawa ang pagdaragdag ng mga ugat. Ang mga halimbawa sa ibaba ay maglalarawan sa itaas.

Unang gawain

Kalkulahin ang halaga ng mga expression:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Kung susundin mo ang algorithm sa itaas, makikita mo na walang anuman para sa unang dalawang aksyon sa halimbawang ito. Ngunit maaari mong pasimplehin ang ilang mga radikal na expression.

Halimbawa, salik 32 sa dalawang salik 2 at 16; Ang 18 ay magiging katumbas ng produkto ng 9 at 2; Ang 128 ay 2 ng 64. Dahil dito, ang expression ay isusulat nang ganito:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Ngayon ay kailangan mong alisin mula sa ilalim ng radical sign ang mga salik na nagbibigay ng parisukat ng numero. Ito ay 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 . Ang expression ay kukuha ng anyo:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Kailangan nating gawing simple ang pagsusulat. Para dito, ang mga coefficient ay pinarami bago ang mga palatandaan ng ugat:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

Sa expression na ito, ang lahat ng mga termino ay naging magkatulad. Samakatuwid, kailangan lamang nilang matiklop. Ang magiging sagot ay: 5√2.

b) Tulad ng naunang halimbawa, ang pagdaragdag ng mga ugat ay nagsisimula sa kanilang pagpapasimple. Ang mga salitang ugat na 75, 147, 48 at 300 ay kakatawanin ng mga sumusunod na pares: 5 at 25, 3 at 49, 3 at 16, 3 at 100. Ang bawat isa sa kanila ay may numero na maaaring kunin mula sa ilalim ng root sign :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Pagkatapos ng simplification, ang sagot ay: 5√5 - 5√3. Maaari itong iwan sa form na ito, ngunit mas mainam na kunin ang karaniwang salik 5 mula sa bracket: 5 (√5 - √3).

c) At muli ang factorization: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Pagkatapos ng factoring out mula sa ilalim ng root sign, mayroon tayo:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Pagkatapos bawasan ang mga katulad na termino, makukuha natin ang resulta: 7√11.

Fractional na halimbawa

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Ang mga sumusunod na numero ay kailangang i-factor: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Katulad ng mga naikonsidera na, kailangan mong alisin ang mga kadahilanan mula sa ilalim ng ugat lagdaan at pasimplehin ang expression:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Ang expression na ito ay nangangailangan ng pag-alis ng irrationality sa denominator. Upang gawin ito, i-multiply ang pangalawang termino sa √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Upang makumpleto ang pagkilos, kailangan mong piliin ang integer na bahagi ng mga salik sa harap ng mga ugat. Ang una ay 1, ang pangalawa ay 2.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Ang square root ng numerong x ay ang numerong a, na, kapag pinarami sa sarili nito, ay nagbibigay ng numerong x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Tulad ng anumang mga numero, pinapayagan na isagawa ang mga operasyon ng aritmetika ng pagdaragdag at pagbabawas sa mga square root.

Pagtuturo

1. Una, kapag nagdaragdag ng mga square root, subukang kunin ang mga ugat na iyon. Magiging wasto ito kung ang mga numero sa ilalim ng root sign ay perpektong mga parisukat. Sabihin nating ang expression?4 +?9 ay ibinigay. Ang unang numero 4 ay parisukat ng numero 2. Ang pangalawang numero 9 ay parisukat ng numero 3. Kaya lumalabas na: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Kung walang mga buong parisukat sa ilalim ng root sign, subukang ilipat ang multiplier ng numero mula sa ilalim ng root sign. Sabihin nating, ibigay ang expression?24 +?54. I-factor ang mga numero: 24 \u003d 2 * 2 * 2 * 3, 54 \u003d 2 * 3 * 3 * 3. Sa numero 24 mayroong isang kadahilanan 4, ang isa na maaaring ilipat mula sa square root sign. Ang bilang na 54 ay may salik na 9. Kaya, lumalabas na: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) +? (9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . Sa halimbawang ito, bilang isang resulta ng pag-alis ng kadahilanan mula sa root sign, naging simple ang ibinigay na expression.

3. Hayaang ang kabuuan ng 2 square root ay ang denominator ng isang fraction, sabihin nating, A / (?a + ?b). At kahit na nahaharap ka sa gawain ng "pag-alis ng hindi makatwiran sa denominator." Pagkatapos ay maaari mong gamitin ang susunod na paraan. I-multiply ang numerator at denominator ng fraction sa expression na ?a - ?b. Kaya, sa denominator, nakukuha mo ang formula para sa pinaikling multiplikasyon: (?a + ?b) * (?a - ?b) \u003d a - b. Sa pamamagitan ng pagkakatulad, kung ang pagkakaiba ng mga ugat ay ibinigay sa denominator: ?a - ?b, kung gayon ang numerator at denominator ng fraction ay dapat na i-multiply sa expression?a + ?b. Halimbawa, sabihin natin 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ? 5) / (-2) = 2 * (?5 - ?3).

4. Isaalang-alang ang isang mas mahirap na halimbawa ng pag-alis ng irrationality sa denominator. Hayaang ibigay ang fraction na 12 / (?2 +?3 +?5). Kailangan mong i-multiply ang numerator at denominator ng fraction sa expression? 2 + ?3 - ?5:12 / (? 2 + ? + ?5) * (?2 + ?3 - ?5)) = 12 * ( ?2 + ?3 - ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 - ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 - ?30.

5. At sa wakas, kung kailangan mo lamang ng isang tinatayang halaga, maaari mong kalkulahin ang mga square root sa calculator. Kalkulahin ang mga halaga nang hiwalay para sa buong numero at isulat ang mga ito nang may kinakailangang katumpakan (sabihin, dalawang decimal na lugar pagkatapos ng decimal point). At pagkatapos ay gawin ang mga kinakailangang operasyon ng aritmetika, tulad ng sa mga ordinaryong numero. Sabihin, sabihin nating kailangan mong malaman ang tinatayang halaga ng expression?7 +?5 ? 2.65 + 2.24 = 4.89.

Mga kaugnay na video

Tandaan!
Sa anumang kaso ay maaaring maidagdag ang mga square root bilang primitive na numero, i.e. ?3 + ?2? ?5!!!

Nakatutulong na payo
Kung isasaalang-alang mo ang numero upang ilipat ang parisukat mula sa ilalim ng root sign, pagkatapos ay gawin ang reverse check - i-multiply ang lahat ng resultang mga kadahilanan at makuha ang orihinal na numero.