Sa ilalim ng isang malinaw na hanay o simpleng hanay, karaniwang nauunawaan nila ang isang tiyak na hanay ng mga tiyak at nakikilalang mga bagay ng ating intuwisyon at talino, na maiisip bilang isang solong kabuuan. Sa pahayag na ito, tandaan namin ang sumusunod na punto: ang set A ay isang koleksyon ng ilang mga bagay. Nangangahulugan ito na para sa alinmang x ay masasabi ng isa kung ito ay kabilang sa set A o hindi.
Ang kundisyon na ang isang elementong x ay kabilang sa set A ay maaaring isulat gamit ang konsepto ng membership function na m(x), lalo na
Samakatuwid, ang set ay maaaring tukuyin bilang isang set ng mga pares: isang elemento at ang halaga ng function ng pagiging miyembro nito
A = ((x|m(x)) (1)
Halimbawa 1. Ang departamento ay nag-aalok ng limang elektibong kurso x 1 , x 2 , x 3 , x 4 at x 5 . Alinsunod sa programa, tatlong kurso ang kinakailangan. Pinili ng mag-aaral na pag-aralan ang mga kursong x 2 , x 3 at x 5 . Isinulat namin ang katotohanang ito gamit ang function ng pagiging miyembro
kung saan ang unang elemento ng bawat pares ay nangangahulugang ang pangalan ng kurso, at ang pangalawa ay naglalarawan sa katotohanang kabilang ito sa subset na pinili ng mag-aaral na ito ("oo" o "hindi").
Napakaraming halimbawa ng malinaw na hanay: isang listahan ng mga mag-aaral sa isang grupo ng pag-aaral, isang hanay ng mga bahay sa isang partikular na kalye ng lungsod, isang hanay ng mga molekula sa isang patak ng tubig, at iba pa.
Samantala, ang isang malaking halaga ng kaalaman at koneksyon ng tao sa labas ng mundo ay kinabibilangan ng mga konsepto na hindi matatawag na set sa kahulugan ng (1). Dapat silang ituring na mga klase na may malabo na mga hangganan, kapag ang paglipat mula sa pag-aari sa isang klase patungo sa pag-aari sa isa pa ay nangyayari nang unti-unti, hindi biglaan. Kaya, ipinapalagay na ang lohika ng pangangatwiran ng tao ay hindi nakabatay sa klasikal na lohika na may dalawang halaga, ngunit sa lohika na may malabo na mga halaga ng katotohanan - mga malabo na pang-uugnay at malabo na mga panuntunan sa hinuha. Narito ang ilang mga halimbawa: ang haba ng artikulo ay humigit-kumulang 12 na pahina, karamihan sa teritoryo, ang napakaraming kahusayan ng laro, isang grupo ng ilang tao.
Tingnan natin ang huling halimbawa. Malinaw na ang isang grupo ng mga tao ng 3, 5, o 9 na tao ay kabilang sa konsepto: "isang grupo ng mga tao na binubuo ng ilang tao." Gayunpaman, para sa kanila ay magkakaroon ng hindi pantay na antas ng kumpiyansa sa pag-aari sa konseptong ito, na nakasalalay sa iba't ibang, kabilang ang subjective, mga pangyayari. Maaaring gawing pormal ang mga pangyayaring ito kung ipagpalagay natin na ang function ng membership ay maaaring kumuha ng anumang halaga sa pagitan. Bukod dito, ang mga matinding halaga ay inireseta sa kaganapan na ang elemento ay tiyak na hindi kabilang o hindi malabo na kabilang sa konseptong ito. Sa partikular, ang isang hanay ng mga tao A ng ilang tao ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng pagpapahayag ng anyo:
A = ((1½0), 2½0.1), 3½0.4), (4½1), (5½1), (6½1), (7½0.8), (8½0.3), (9½0.1), (a½0)
Ibigay natin ang kahulugan ng fuzzy set, na ibinigay ng founder ng theory of fuzzy sets, si L.A. Zade. Hayaang ang x ay isang elemento ng isang partikular na unibersal (tinatawag na basic) set E. Pagkatapos malabo(malabo) set A tinukoy sa base set E ay ang set ng ordered pairs
A= (xum A((x)), "x О E,
kung saan m A(X) - function ng pagiging miyembro, na nagmamapa ng set E sa unit interval , i.e. m A (x): E ® .
Malinaw, kung ang saklaw ng m A (x) ay limitado sa dalawang numero 0 at 1, pagkatapos ang kahulugang ito ay magkakasabay sa konsepto ng isang ordinaryong (malinaw) na hanay.
Ang pag-andar ng pagiging miyembro ng isang fuzzy set ay maaaring tukuyin hindi lamang sa pamamagitan ng paglilista ng lahat ng mga halaga nito para sa bawat elemento ng base set, kundi pati na rin sa anyo ng isang analytical expression. Halimbawa, ang hanay ng mga tunay na numero Z na napakalapit sa numero 2 ay maaaring ibigay tulad ng sumusunod:
Z= (xum Z(x)), "x О R,
kung saan m Z(x) = .
Ang hanay ng mga tunay na numero Y na sapat na malapit sa bilang 2 ay
Y= (xum Y(x)), "x О R,
M Y Z(x) = .
Ang isang graphic na representasyon ng dalawang function ng membership na ito ay ibinibigay sa Figure 3.9.
Kahulugan. fuzzy set A ay tinatawag na fuzzy subset B, kung A at B ay tinukoy sa parehong base set E at "x н E: m A(x) £ m B(x), na tinutukoy bilang AÌ B.
Mga kundisyon para sa pagkakapantay-pantay ng dalawang fuzzy set A at B, na tinukoy sa parehong pangunahing set E, ay may sumusunod na anyo
A = B o "х н E: m A(x) = m B(x).
Magkomento. Mayroong ilang pagkakatulad sa pagitan ng mga konsepto ng "pagkalabu" at "probability", na naiiba sa kanilang kakanyahan. Una, ang mga konseptong ito ay ginagamit sa mga problema kung saan mayroong kawalan ng katiyakan o kamalian ng ating kaalaman o ang pangunahing imposibilidad ng tumpak na mga hula ng mga resulta ng mga desisyon. Pangalawa, ang mga pagitan ng pagbabago at ang mga probabilidad at mga function ng pagiging miyembro ay pareho:
at P О at m A(x) О .
Kasabay nito, ang posibilidad ay isang layunin na katangian, at ang mga konklusyon na nakuha sa batayan ng aplikasyon ng probability theory ay maaaring, sa prinsipyo, ay masuri sa eksperimentong paraan.
Ang pagpapaandar ng pagiging miyembro ay tinutukoy nang suhetibo, bagama't kadalasang sumasalamin ito sa mga tunay na ugnayan sa pagitan ng mga bagay na isinasaalang-alang. Ang pagiging epektibo ng paglalapat ng mga pamamaraan batay sa teorya ng fuzzy set ay karaniwang hinuhusgahan pagkatapos makakuha ng mga tiyak na resulta.
Kung sa teorya ng posibilidad ay ipinapalagay na ang posibilidad ng isang tiyak na kaganapan ay katumbas ng isa, i.e.
pagkatapos ang katumbas na kabuuan ng lahat ng mga halaga ng pagpapaandar ng pagiging miyembro ay maaaring tumagal ng anumang mga halaga mula 0 hanggang ¥.
Kaya, upang tukuyin ang isang fuzzy set A ito ay kinakailangan upang matukoy ang base set ng mga elemento E, at bumuo ng membership function m A(x), na isang pansariling sukatan ng kumpiyansa kung saan ang bawat elementong x mula sa E ay kabilang sa ibinigay na fuzzy set A.
Paglalahat ng konsepto ng pagiging kasapi. Sa mga isinasaalang-alang na halimbawa, kinuha ng characteristic function ang mga value na 0 o 1. Ipagpalagay na ang katangiang function ay kumukuha ng anumang halaga mula sa . Kung gayon ang elemento ay maaaring hindi kabilang sa set , nabibilang sa ilang lawak, o maging isang elemento ng set .
fuzzy set . malabo na subset(fuzzy set) ng isang set ay isang set ng mga nakaayos na pares , kung saan ang membership function ng isang elemento sa isang set , na nagpapakilala sa antas ng membership ng isang elemento sa set na ito, o, sa madaling salita, ang sukatan ng correspondence ng isang elemento ng isang unibersal na set sa mga katangian ng isang fuzzy set . Sa kaso ng tuluy-tuloy na set, ang sumusunod na notation ay ginagamit upang tukuyin ang fuzzy set: .
Maraming accessories. Ang hanay ng mga halaga ng function ng pagiging miyembro ay tinatawag Maraming accessories. Kung , kung gayon ay isang ordinaryong hanay, ibig sabihin, ang isang malutong na hanay ay maaaring ituring bilang isang limitadong kaso ng isang malabo na hanay. Maraming mga accessory mamaya sa tutorial na ito.
Ang lakas ng fuzzy set. Hayaang magbigay ng fuzzy set sa unibersal na set . kapangyarihan fuzzy set o nito Cardinal number ay tinukoy bilang mga sumusunod: .
Halimbawa 28. Sa unibersal na hanay, tinukoy namin ang sumusunod na fuzzy set:
Tukuyin natin ang cardinal number ng fuzzy set:
Ang pag-aari ng isang elemento sa isang fuzzy set ay maaari ding tukuyin bilang mga sumusunod: .
Upang matukoy ang antas ng pag-aari ng isang elemento sa isang fuzzy set, mayroong isang espesyal na terminolohiya. Kaya, ibinigay ang fuzzy set Halimbawa 28, bahagyang naglalaman ng elemento , hindi naglalaman , naglalaman sa isang maliit na lawak , sa isang malaking lawak - at , at naglalaman ng elemento .
Halimbawa 29. Ang isang malabo na hanay ng maliliit na natural na numero ay maaaring tukuyin, halimbawa, tulad ng sumusunod:
Magkomento. Ang mga halaga ay subjective.
Ang carrier ng fuzzy set. carrier(suporta) ng fuzzy set (supp) ay isang set ng mga elemento kung saan . walang laman kung ang suporta nito ay ang walang laman na hanay.
Ang kernel ng fuzzy set. core Ang fuzzy set () ay isang set ng mga elemento kung saan .
Malabo ang taas ng set . Ang dami ( para sa discrete universal sets) ay tinatawag taas fuzzy set ().
Normal at subnormal fuzzy set . fuzzy set ayos lang kung ang taas nito ay 1. Kung ang taas nito ay mas mababa sa 1, kung gayon ang fuzzy set ay tinatawag Subnormal. Anumang hindi walang laman na subnormal fuzzy set ay maaaring ma-convert sa isang normal na set sa pamamagitan ng pag-normalize ng membership function nito:
Unimodal fuzzy set. Ang fuzzy set ay tinatawag Unimodal, kung isa lang .
Mga transition point ng fuzzy set. Mga elemento kung saan tinatawag mga punto ng paglipat fuzzy set.
Mga convex fuzzy set . Ang fuzzy set ay tinatawag matambok, kung:
Halimbawa 30. Hayaang ang unibersal na hanay ay ang hanay ng mga tunay na numero, ibig sabihin. Tukuyin natin ang fuzzy set bilang set ng mga numerong malapit sa isang numero (Larawan 4).
Larawan 4
Maaaring tukuyin ang function ng membership bilang mga sumusunod: , kung saan . Ang exponent ay pinili depende sa antas ng kalapitan sa . Halimbawa, upang ilarawan ang isang hanay ng mga numero na napakalapit sa , maaari mong kunin ang ; para sa isang hanay ng mga numero na hindi masyadong malayo sa , .
Halimbawa 31. Sa unibersal na hanay ng Halimbawa 28 Isang fuzzy set ang ibinigay. Para sa malabo na set: 1) tukuyin ang cardinality nito; 2) matukoy ang carrier, core at taas; 3) alamin kung ito ay normal o subnormal. Kung subnormal, i-convert ito sa normal; 4) suriin kung unimodal ang resultang set; 5) matukoy ang mga punto ng paglipat.
1. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang kapangyarihan (cardinal number) ng isang fuzzy set , na ibinigay sa isang finite universal set , ay tinutukoy ng formula: .
2. Gamitin natin ang mga kahulugan ng suporta, core at taas ng fuzzy set. Obvious naman, , , .
3. Ang ibinigay na fuzzy set ay subnormal. Buuin natin ang kaukulang fuzzy normal set . Upang gawin ito, kinakalkula namin ang mga halaga ng function ng pagiging miyembro ng mga elemento ayon sa formula:
Mayroon kaming: , katulad: , , , , . Kaya, isang malabo na normalized na set .
4. Ang set ay unimodal dahil naglalaman lamang ito ng isang elemento , kung saan .
5. Ang set ay may isang solong transition point - , dahil lamang .
Multiplikasyon ng mga fuzzy set sa isang numero. Kung ito ay isang positibong numero na , kung gayon para sa isang fuzzy set ang membership function ay tinukoy bilang mga sumusunod: .
Paghahambing ng mga fuzzy set. Isaalang - alang ang dalawang fuzzy set at , tinukoy sa unibersal na set .
Sabi nila Nakapaloob sa , ibig sabihin, kung para sa alinmang . Sa graphically, nangangahulugan ito na ang curve na tumutukoy sa fuzzy set ay matatagpuan sa itaas ng katulad na curve ng fuzzy set . Kung ang kondisyon ng pagsasama ay hindi nasiyahan para sa lahat , kung gayon ang isa ay nagsasalita ng Mga antas ng pagsasama sa , na kung saan ay tinukoy bilang , kung saan ay ang set kung saan ang kondisyon ng pagsasama ay nasiyahan.
Dalawang fuzzy set at Ay pantay-pantay, kung ang mga ito ay nakapaloob sa isa't isa, ibig sabihin, kung para sa alinmang .
Subset -level. A -level subset ng fuzzy set , , ay isang malulutong na subset ng mga elemento kung saan . Tinatawag din ang set -seksyon ng fuzzy set. Sa kasong ito, kung , kung gayon ang isa ay nagsasalita ng isang malakas na seksyon, at kung , kung gayon ang isa ay nagsasalita ng isang mahinang seksyon. Nagaganap Mahalagang ari-arian : kung , kung gayon .
Para sa pagsusuri at synthesis ng fuzzy set, Ang decomposition theorem: ang fuzzy set ay maaaring mabulok sa kanyang -level sets tulad ng sumusunod: , kung saan ang produkto ng isang numero at ang set .
Halimbawa 32. Sa unibersal na hanay, tinukoy namin ang isang fuzzy set . Hanapin ang lahat ng subset ng fuzzy set :
Ayon sa fuzzy set decomposition theorem, ang ibinigay na fuzzy set ay maaaring katawanin bilang mga sumusunod.
Gamit ang mga fuzzy set, maaaring pormal na tukuyin ng isa ang hindi eksakto at hindi maliwanag na mga konsepto, tulad ng "mataas na temperatura", "binata", "katamtamang taas" o "malaking lungsod". Bago bumalangkas ng depinisyon ng fuzzy set, kailangang tukuyin ang tinatawag na uniberso ng diskurso. Sa kaso ng hindi maliwanag na konsepto ng "maraming pera", ang isang halaga ay makikilala bilang malaki kung higpitan natin ang ating sarili sa hanay at ganap na naiiba - sa hanay. Ang lugar ng pangangatwiran, pagkatapos nito ay tinatawag na espasyo o set, ay kadalasang ilalarawan ng simbolo . Dapat tandaan na ito ay isang malinaw na hanay.
Kahulugan 3.1
Ang malabo na set sa ilang (hindi walang laman) na espasyo , na tinutukoy bilang , ay isang hanay ng mga pares
Fuzzy Set Membership Function . Itinalaga ng function na ito sa bawat elemento ang antas ng pag-aari nito sa isang fuzzy set, habang ang tatlong kaso ay maaaring makilala:
1) ay nangangahulugan na ang elemento ay kabilang sa fuzzy set, i.e. ;
2) ay nangangahulugan ng kawalan ng elementong kabilang sa isang malabo na hanay, ibig sabihin;
3) ay nangangahulugan ng bahagyang pag-aari ng isang elemento sa isang malabo na hanay.
Sa panitikan, ginagamit ang simbolikong paglalarawan ng mga fuzzy set. Kung ay isang puwang na may hangganan na bilang ng mga elemento, i.e. , pagkatapos ay ang fuzzy set ay nakasulat bilang
Simboliko ang entry sa itaas. Ang tandang “–” ay hindi nangangahulugan ng paghahati, ngunit nangangahulugan ng pagtatalaga ng mga antas ng pagiging miyembro sa mga partikular na elemento. Sa madaling salita, ang entry
ibig sabihin mag-asawa
Katulad nito, ang "+" sign in expression (3.3) ay hindi nangangahulugan ng operasyon ng karagdagan, ngunit binibigyang-kahulugan bilang maramihang pagsusuma ng mga elemento (3.5). Dapat tandaan na ang mga malulutong na hanay ay maaari ding isulat sa katulad na paraan. Halimbawa, ang isang hanay ng mga marka ng paaralan ay maaaring ilarawan bilang simbolikong
na kapareho ng pagsulat
Kung isang puwang na may walang katapusang bilang ng mga elemento, kung gayon ang fuzzy set ay simbolikong isinulat bilang
Halimbawa 3.1
Ipagpalagay na iyon ang hanay ng mga natural na numero. Tukuyin natin ang konsepto ng set ng mga natural na numero na "malapit sa numero 7". Magagawa ito sa pamamagitan ng pagtukoy sa sumusunod na fuzzy set:
Halimbawa 3.2
Kung , nasaan ang hanay ng mga tunay na numero, kung gayon ang hanay ng mga tunay na numero na "malapit sa numero 7" ay maaaring matukoy ng function ng pagiging miyembro ng form
Samakatuwid, ang malabo na hanay ng mga totoong numero na "malapit sa numero 7" ay inilalarawan ng expression
Puna 3.1
Ang mga malabo na hanay ng natural o totoong mga numero na "malapit sa numero 7" ay maaaring isulat sa iba't ibang paraan. Halimbawa, ang function ng membership (3.10) ay maaaring mapalitan ng expression
Sa fig. Ang mga figure 3.1a at 3.1b ay nagpapakita ng dalawang function ng membership para sa isang malabo na hanay ng mga totoong numero na "malapit sa 7".
kanin. 3.1. Ilustrasyon halimbawa 3.2: mga function ng membership ng isang malabo na hanay ng mga tunay na numero "malapit sa numero 7".
Halimbawa 3.3
I-formalize natin ang hindi tumpak na kahulugan ng "angkop na temperatura para sa paglangoy sa Baltic Sea". Itakda natin ang lugar ng pangangatwiran sa anyo ng isang set. Ang pagpapahinga ko, ang pakiramdam na pinakamahusay sa temperatura na 21°C, ay tutukuyin para sa kanyang sarili ang malabo na hanay
Ang Resting II, na mas gusto ang temperaturang 20°, ay mag-aalok ng isa pang kahulugan ng set na ito:
Sa tulong ng fuzzy set at ginawa namin ang isang hindi tumpak na kahulugan ng konsepto ng "angkop na temperatura para sa paglangoy sa Baltic Sea". Ang ilang mga application ay gumagamit ng mga karaniwang anyo ng mga function ng membership. I-concretize natin ang mga function na ito at isaalang-alang ang kanilang mga graphical na interpretasyon.
1. Ang function ng pagiging miyembro ng klase (Larawan 3.2) ay tinukoy bilang
saan . Ang function ng membership na kabilang sa klase na ito ay may graphical na representasyon (Larawan 3.2), na kahawig ng titik "", at ang anyo nito ay depende sa pagpili ng mga parameter , at . Sa puntong ito, ang function ng pagiging miyembro ng klase ay tumatagal ng isang halaga na katumbas ng 0.5.
2. Ang function ng pagiging miyembro ng klase (Larawan 3.3) ay tinukoy sa pamamagitan ng function ng pagiging miyembro ng klase:
kanin. 3.2. Pag-andar ng pagiging miyembro ng klase.
kanin. 3.3. Pag-andar ng pagiging miyembro ng klase.
Ang pagpapaandar ng pagiging miyembro ng klase ay tumatagal ng mga zero na halaga para sa at . Sa mga puntos, ang halaga nito ay 0.5.
3. Ang function ng pagiging miyembro ng klase (Fig. 3.4) ay ibinibigay ng expression
Madaling mapapansin ng mambabasa ang pagkakatulad sa pagitan ng mga anyo ng mga function ng membership ng mga klase at .
4. Ang function ng pagiging miyembro ng klase (Larawan 3.5) ay tinukoy bilang
kanin. 3.4. Pag-andar ng pagiging miyembro ng klase.
kanin. 3.5. Pag-andar ng pagiging miyembro ng klase.
Sa ilang mga aplikasyon, ang function ng pagiging miyembro ng isang klase ay maaaring isang alternatibo sa function ng pagiging miyembro ng klase.
5. Ang function ng pagiging miyembro ng klase (Fig. 3.6) ay tinukoy ng expression
Halimbawa 3.4
Isaalang-alang ang tatlong hindi tumpak na mga formulation:
1) "mababang bilis ng sasakyan";
2) "average na bilis ng sasakyan";
3) "mataas na bilis ng kotse."
Bilang isang lugar ng pangangatwiran, kinukuha namin ang saklaw , kung saan ang pinakamataas na bilis. Sa fig. Ang 3.7 ay nagpapakita ng mga fuzzy set , at , na tumutugma sa mga ibinigay na formulation. Tandaan na ang membership function ng isang set ay may uri , sets ay may uri , at sets ay may uri . Sa isang nakapirming punto km/h, ang membership function ng fuzzy set na "low vehicle speed" ay tumatagal ng halaga na 0.5, i.e. . Ang parehong halaga ay kinukuha ng membership function ng fuzzy set na "average na bilis ng sasakyan", i.e. , samantalang .
Halimbawa 3.5
Sa fig. Ipinapakita ng 3.8 ang function ng pagiging miyembro ng fuzzy set na "malaking pera". Ito ay isang function ng klase, at , , .
kanin. 3.6. Pag-andar ng pagiging miyembro ng klase.
kanin. 3.7. Ilustrasyon halimbawa 3.4: membership function ng fuzzy set "maliit", "medium", "malaki" na bilis ng kotse.
kanin. 3.8. Ilustrasyon halimbawa 3.5: Ang pagiging miyembro ng function ng fuzzy set na "malaking pera".
Samakatuwid, ang mga halagang lumampas sa 10,000 rubles ay tiyak na maituturing na "malaki", dahil ang mga halaga ng function ng pagiging miyembro ay magiging katumbas ng 1. Ang mga halagang mas mababa sa 1,000 rubles ay hindi nabibilang sa "malaki", dahil ang mga katumbas na halaga ng function ng pagiging miyembro ay 0. Siyempre, ang gayong kahulugan ng malabo na hanay na "malaking pera" ay subjective. Ang mambabasa ay maaaring magkaroon ng kanilang sariling ideya ng hindi maliwanag na konsepto ng "malaking pera". Ang representasyong ito ay makikita ng iba pang mga halaga ng mga parameter at pag-andar ng klase.
Kahulugan 3.2
Ang hanay ng mga elemento ng espasyo , kung saan , ay tinatawag na carrier ng fuzzy set at tinutukoy ng (suporta). Ang pormal na notasyon nito ay may anyo
Kahulugan 3.3
Ang taas ng isang fuzzy set ay tinutukoy at tinukoy bilang
Halimbawa 3.6
Kahulugan 3.4
Ang fuzzy set ay tinatawag na normal kung at kung lamang . Kung ang fuzzy set ay hindi normal, maaari itong gawing normal gamit ang pagbabagong-anyo
saan ang taas ng set na ito.
Halimbawa 3.7
fuzzy set
pagkatapos ng normalisasyon ay kumuha ng form
Kahulugan 3.5
Ang fuzzy set ay tinatawag na walang laman at ipinapahiwatig kung at kung para lamang sa bawat isa.
Kahulugan 3.6
Ang fuzzy set ay nakapaloob sa fuzzy set , na isinusulat bilang , kung at kung lamang
para sa lahat .
Ang isang halimbawa ng pagsasama (nilalaman) ng isang fuzzy set sa isang fuzzy set ay inilalarawan sa fig. 3.9. Sa panitikan, mayroon ding konsepto ng antas ng pagsasama ng mga fuzzy set. Ang antas ng pagsasama ng isang fuzzy set sa isang fuzzy set sa Fig. Ang 3.9 ay katumbas ng 1 (buong pagsasama). Ang malabo set na ipinakita sa fig. 3.10 ay hindi nakakatugon sa pag-asa (3.27), kaya walang pagsasama sa kahulugan ng kahulugan (3.6). Gayunpaman, ang fuzzy set ay nakapaloob sa fuzzy set sa antas
Ang kundisyon ay natutugunan
kanin. 3.12. Malabo na convex set.
kanin. 3.13. Fuzzy concave set.
kanin. Ang 3.13 ay naglalarawan ng malabo na concave set. Madaling suriin kung ang fuzzy set ay convex (maluko) kung at kung ang lahat ng mga -cut nito ay matambok (concave).
fuzzy set- ang pangunahing konsepto ng fuzzy logic. Hayaan E- unibersal na hanay, X- elemento E, a R ay ilang ari-arian. Regular (malinaw) na subset PERO unibersal na hanay E, na ang mga elemento ay nakakatugon sa ari-arian R ay tinukoy bilang ang hanay ng mga nakaayos na pares
A = (μA(x) / x},
saan μ A (x) ay ang katangiang pag-andar, pagkuha ng halaga 1 kung X natutugunan ang ari-arian R, at 0 kung hindi.
Ang malabo na subset ay naiiba mula sa karaniwan sa para sa mga elemento X mula sa E walang malinaw na "oo-hindi" na sagot tungkol sa ari-arian R. Sa bagay na ito, ang malabong subset PERO unibersal na hanay E tinukoy bilang isang set ng mga nakaayos na pares
A = (μA(x) / x},
saan μ A (x) — katangian ng pagiging miyembro ng function(o kaya lang function ng pagiging miyembro), pagkuha ng mga halaga sa ilang maayos na hanay M(Halimbawa, M = ).
Ang function ng membership ay nagpapahiwatig ng antas (o antas) ng pagiging miyembro ng isang elemento X subset PERO. Isang grupo ng M tinatawag na isang set ng mga accessories. Kung ang M= (0, 1), pagkatapos ay ang fuzzy subset PERO maaaring ituring bilang isang ordinaryong o malutong na set.
Mga halimbawa ng pagsulat ng fuzzy set
Hayaan E = {x 1 , x 2 , x s,x 4 , x 5 ), M = ; PERO ay isang malabo na hanay kung saan ang μ A ( x 1 )= 0.3; μ A ( x 2)= 0; μ A ( X 3) = 1; μ A (x 4) \u003d 0.5; μ A ( x 5)= 0,9.
Pagkatapos PERO maaaring katawanin bilang
A ={0,3/x 1 ; 0/X 2 ; 1/X 3 ; 0,5/X 4 ; 0,9/X 5 } ,
o
PERO={0,3/x 1 +0/X 2 +1/X 3 +0,5/X 4 +0,9/X 5 },
o
Magkomento. Dito, ang tanda na "+" ay hindi ang pagtatalaga ng operasyon ng karagdagan, ngunit may kahulugan ng unyon.
Mga pangunahing katangian ng fuzzy set
Hayaan M= at PERO- fuzzy set na may mga elemento mula sa unibersal na set E at maraming accessories M.
Ang halaga ay tinatawag taas fuzzy set PERO. fuzzy set At ok lang kung ang taas nito ay katumbas ng 1, i.e. ang upper bound ng membership function nito ay 1 (= 1). Sa< 1нечеткое множество называется subnormal.
fuzzy set walang laman, kung ∀ xϵ E μ A( x) = 0. Maaaring gawing normal ng formula ang isang non-empty subnormal set
fuzzy set unimodal kung μ A( x) = 1 lamang sa isa X mula sa E.
. carrier fuzzy set PERO ay isang ordinaryong subset sa property μ A( x)>0, ibig sabihin. carrier A = {x/x ϵ E, μ A( x)>0}.
Mga elemento xϵ E, para sa μ A( x) = 0,5 , ay tinatawag mga punto ng paglipat set PERO.
Mga halimbawa ng fuzzy set
1. Hayaan E = {0, 1, 2, . . ., 10}, M =. fuzzy setAng "Ilan" ay maaaring tukuyin tulad ng sumusunod:
"Marami" = 0.5/3 + 0.8/4 + 1/5 + 1/6 + 0.8/7 + 0.5/8; mga katangian nito:taas = 1, carrier = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, mga punto ng paglipat — {3, 8}.
2. Hayaan E = {0, 1, 2, 3,…, n,… ). Ang fuzzy set na "Maliit" ay maaaring tukuyin:
3. Hayaan E= (1, 2, 3, . . ., 100) at tumutugma sa konsepto ng "Edad", kung gayon ang fuzzy set na "Young" ay maaaring tukuyin gamit ang
Fuzzy set na "Young" sa universal set E"= (IVANOV, PETROV, SIDOROV,...) ay ibinibigay ng function ng membership μ bata ( x) sa E =(1, 2, 3, . . ., 100) (edad), na tinatawag na may kaugnayan sa E" compatibility function, habang:
saan X- Edad ni SIDOROV.
4. Hayaan E\u003d (ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES, ...) - isang hanay ng mga tatak ng kotse, at E"= - unibersal na hanay na "Gastos", pagkatapos ay sa E" maaari nating tukuyin ang mga fuzzy set tulad ng:
kanin. 1.1. Mga halimbawa ng function ng membership
"Para sa mahihirap", "Para sa gitnang uri", "Prestigious", na may mga tungkulin ng pag-aari tulad ng fig. 1.1.
Ang pagkakaroon ng mga function na ito at pag-alam sa halaga ng mga sasakyan mula sa E sa isang naibigay na punto sa oras, sa gayon ay natutukoy namin sa E" fuzzy set na may parehong mga pangalan.
Kaya, halimbawa, ang fuzzy set na "Para sa mahihirap", na ibinigay sa unibersal na hanay E =(ZAPORIZHETZ, ZHIGULI, MERCEDES,...), mukhang ipinapakita sa fig. 1.2.
kanin. 1.2. Isang halimbawa ng pagtukoy ng fuzzy set
Katulad nito, maaari mong tukuyin ang malabo na set na "High-speed", "Medium", "Low-speed", atbp.
5. Hayaan E- isang hanay ng mga integer:
E= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.
Pagkatapos ay maaaring tukuyin ang isang malabo na subset ng mga numero na malapit sa zero sa ganap na halaga, halimbawa, tulad ng sumusunod:
A ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.
Sa mga pamamaraan para sa pagbuo ng membership function ng fuzzy set
Ginagamit ng mga halimbawa sa itaas tuwid pamamaraan, kapag ang dalubhasa ay nagtakda lamang para sa bawat isa X ϵ E ibig sabihin μ A (x), o tumutukoy sa isang function ng compatibility. Bilang isang patakaran, ang mga direktang pamamaraan ng function ng pagiging miyembro ay ginagamit para sa mga nasusukat na konsepto tulad ng bilis, oras, distansya, presyon, temperatura, atbp., o kapag ang mga polar value ay naka-highlight.
Sa maraming mga gawain, kapag naglalarawan ng isang bagay, posible na mag-isa ng isang hanay ng mga tampok at para sa bawat isa sa kanila upang matukoy ang mga polar na halaga na tumutugma sa mga halaga ng function ng pagiging miyembro, 0 o 1.
Halimbawa, sa gawain ng pagkilala sa mukha, maaaring piliin ng isa ang mga kaliskis na ipinapakita sa Talahanayan. 1.1.
Talahanayan 1.1. Mga kaliskis sa problema ng pagkilala sa mukha
|
x 1 |
taas ng noo |
||
|
x 2 |
profile ng ilong |
snub |
humpbacked |
|
haba ng ilong |
maikli |
||
|
x 4 |
hugis ng mata |
||
|
Kulay ng mata |
|||
|
hugis baba |
itinuro |
parisukat |
|
|
x 7 |
kapal ng labi |
||
|
kulay ng mukha |
|||
|
balangkas ng mukha |
hugis-itlog |
parisukat |
Para sa isang partikular na taoPEROang eksperto, batay sa ibinigay na sukat, ay nagtatakdaμ A(x) ϵ, na bumubuo ng isang vector membership function (μ A(x 1) , μ A(x 2),…, μ A(x 9)}.
Sa mga direktang pamamaraan, ginagamit din ang mga direktang pamamaraan ng grupo, kapag, halimbawa, ang isang pangkat ng mga eksperto ay ipinakita sa isang tiyak na tao at ang bawat isa ay dapat magbigay ng isa sa dalawang sagot: "ang taong ito ay kalbo" o "ang taong ito ay hindi kalbo", pagkatapos ay ang bilang ng mga sumasang-ayon na sagot na hinati sa kabuuang bilang ng mga eksperto, ay nagbibigay ng halaga μ kalbo (ng ibinigay na tao). (Sa halimbawang ito, maaari kang kumilos sa pamamagitan ng pagpapaandar ng compatibility, ngunit pagkatapos ay kailangan mong bilangin ang bilang ng mga buhok sa ulo ng bawat isa sa mga mukha na ipinakita sa eksperto.)
Hindi direkta Ang mga pamamaraan para sa pagtukoy ng mga halaga ng function ng pagiging miyembro ay ginagamit sa mga kaso kung saan walang elementarya na masusukat na mga katangian kung saan natutukoy ang malabo na hanay ng interes sa amin. Bilang isang tuntunin, ang mga ito ay mga paraan ng pares na paghahambing. Kung ang mga halaga ng mga function ng pagiging miyembro ay kilala sa amin, halimbawa, μ A(X-i) = ω i , i= 1, 2, ..., n, kung gayon ang mga pares na paghahambing ay maaaring katawanin ng isang relationship matrix PERO= ( a ij ), saan aij= ω i/ ω j(pagpapatakbo ng dibisyon).
Sa pagsasagawa, ang dalubhasa mismo ang bumubuo ng matris PERO, habang ipinapalagay na ang mga elemento ng dayagonal ay katumbas ng 1, at para sa mga elemento na simetriko na may paggalang sa dayagonal a ij = 1/a ij , i.e. kung ang isang elemento ay nagsusuri sa α beses na mas malakas kaysa sa isa, pagkatapos ay ang huli ay dapat na 1/α beses na mas malakas kaysa sa una. Sa pangkalahatang kaso, ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng isang vector ω na nakakatugon sa isang equation ng form Aw= λmax w, kung saan ang λ max ay ang pinakamalaking eigenvalue ng matrix PERO. Mula noong matrix PERO ay positibo sa pamamagitan ng konstruksiyon, ang solusyon sa problemang ito ay umiiral at positibo.
Dalawang higit pang mga diskarte ang mapapansin:
- paggamit ng mga karaniwang anyo mga curve para sa pagtatalaga ng mga function ng membership (sa form (L-R)-Type - tingnan sa ibaba) na may mga detalye ng kanilang mga parameter alinsunod sa pang-eksperimentong data;
- paggamit ng mga relatibong frequencyayon sa eksperimento bilang mga halaga ng membership.
Hayaang ang X ay isang unibersal (base) set, x isang elemento ng X , at R ilang property. Isang ordinaryong (malinaw) na subset A ng isang unibersal na set X na ang mga elemento ay nakakatugon sa ari-arian R ay tinukoy bilang ang hanay ng mga nakaayos na pares
A = μ A x / x , kung saan ang μ A x ay isang katangiang function na kumukuha ng value na 1 kung ang x ay nakakatugon sa property R , at 0 kung hindi.
Ang malabo na subset ay naiiba sa karaniwan dahil para sa mga elementong x ng X ay walang malinaw na sagot na "oo-hindi" patungkol sa ari-arian R . Sa pagsasaalang-alang na ito, ang isang malabo na subset A ng unibersal na set X ay tinukoy bilang isang set ng mga nakaayos na pares A = μ A x / x , kung saan ang μ A x ay katangian ng pagiging miyembro ng function(o kaya lang function ng pagiging miyembro) pagkuha ng mga halaga sa ilang maayos na set M = 0 ; isa. Ang function ng membership ay nagpapahiwatig ng antas (o antas) ng pagiging miyembro ng isang elemento x sa isang subset ng A . Ang set M ay tinatawag na set of belongings. Kung M = 0 ; 1 , kung gayon ang malabo na subset A ay maaaring ituring bilang isang ordinaryong o malutong na hanay. Ang antas ng pagiging miyembro μ A x ay isang pansariling sukatan kung gaano katugon ang isang elemento x ∈ X sa konsepto, ang kahulugan nito ay pinapormal ng fuzzy set A .
carrier Ang fuzzy set A ay isang malutong na subset na S A ng unibersal na set X na may property na μ A x > 0 , i.e. S A = x ∣ x ∈ X ∧ μ A x > 0 . Sa madaling salita, ang carrier ng fuzzy set A ay ang subset S A ng unibersal na set X , para sa kung saan ang mga elemento ang membership function μ A x > 0 ay mas malaki kaysa sa zero. Minsan ang carrier ng fuzzy set ay tinatawag na support A .
Kung ang carrier ng fuzzy set A ay isang discrete subset S A , kung gayon ang fuzzy subset A ng unibersal na set X na binubuo ng n elemento ay maaaring katawanin bilang unyon ng isang finite number ng one-point sets μ A x / x gamit ang simbolo ∑ : A = ∑ i = 1 n μ A x i / x i . Ito ay nagpapahiwatig na ang mga elemento x i ay pinagsunod-sunod sa pataas na pagkakasunud-sunod ayon sa kanilang mga indeks, i.e. x 1< x 2 < x 3 < … < x n .
Kung ang carrier ng fuzzy set A ay isang tuluy-tuloy na subset S A, kung gayon ang fuzzy subset A ng unibersal na set X, na isinasaalang-alang ang simbolo ∫ bilang isang tuluy-tuloy na analogue ng simbolo ng unyon na ipinakilala sa itaas para sa mga discrete fuzzy set ∑, ay maaaring katawanin bilang ang unyon ng isang walang katapusang bilang ng isang-puntong set μ A x / x:
A = ∫ X μ A x / x .
Halimbawa. Hayaang tumutugma ang unibersal na set X sa hanay ng mga posibleng halaga ng kapal ng produkto mula 10 mm hanggang 40 mm na may discrete na hakbang na 1 mm. Ang fuzzy set A na tumutugma sa malabo na konsepto ng "maliit na kapal ng produkto" ay maaaring katawanin bilang mga sumusunod:
A = 1 / 10 ; 0.9 / 11; 0.8 / 12; 0.7 / 13; 0.5 / 14; 0.3 / 15; 0.1 / 16; 0 / 17 ; … ; 0 / 40
A = 1 / 10 + 0.9 / 11 + 0.8 / 12 + 0.7 / 13 + 0.5 / 14 + 0.3 / 15 + 0.1 / 16 + 0 / 17 + ... + 0 / 40,
kung saan ang summation sign ay hindi nagpapahiwatig ng operasyon ng aritmetika na karagdagan, ngunit ang unyon ng mga elemento sa isang set. Ang carrier ng fuzzy set A ay magiging isang may hangganang subset (discrete carrier):
S A = 10; labing-isa; 12 ; labintatlo ; labing-apat; labinlimang ; labing-anim.
Kung ang unibersal na set X ay ang hanay ng mga tunay na numero mula 10 hanggang 40, i.e. ang kapal ng produkto ay maaaring tumagal ng lahat ng posibleng halaga sa loob ng mga limitasyong ito, kung gayon ang carrier ng fuzzy set A ay ang segment S A = 10 ; labing-anim .
Ang fuzzy set na may discrete na suporta ay maaaring katawanin bilang hiwalay na mga punto sa isang eroplano, ang fuzzy set na may tuloy-tuloy na suporta ay maaaring katawanin bilang isang curve, na tumutugma sa discrete at tuluy-tuloy na membership function μ A x na ibinigay sa unibersal na set X ( Larawan 2.1).
Fig.2.1. Mga function ng membership ng fuzzy set na may (a)-discrete at (b)-continuous na suporta
Halimbawa. Hayaan ang X = 0; isa ; 2; … ay ang hanay ng mga hindi negatibong integer. Ang fuzzy set na ital small ay maaaring tukuyin bilang μ ital small x = x 1 + 0.1 x 2 − 1 .
Fig.2.2. Graphical na representasyon ng isang fuzzy set na maliit
Ang malabo na set A ay tinatawag pangwakas kung ang suporta nito sa S A ay isang finite crisp set. Kasabay nito, sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mga ordinaryong hanay, maaari nating sabihin na ang naturang malabo na hanay ay may isang may hangganan na cardinality card A = card S A . Ang malabo na set A ay tinatawag walang katapusan, kung ang suporta nito sa S A ay hindi isang finite crisp set. Kung saan mabibilang Ang fuzzy set ay isang fuzzy set na may mabibilang na suporta na mayroon mabibilang na kapangyarihan sa karaniwang kahulugan sa mga tuntunin ng malulutong na set theory, i.e. kung ang S A ay naglalaman ng isang walang katapusang bilang ng mga elemento, na, gayunpaman, ay maaaring bilangin ng mga natural na numero 1,2,3 . . . , at sa panimula imposibleng maabot ang huling elemento sa panahon ng pagnunumero. Hindi mabilang Ang fuzzy set ay isang fuzzy set na may hindi mabilang na suporta na mayroon hindi mabilang na kapangyarihan ng continuum, ibig sabihin. kung ang S A ay naglalaman ng isang walang katapusang bilang ng mga elemento na hindi maaaring bilangin ng mga natural na numero 1,2,3. . .
Halimbawa. Ang malabo na konsepto na "napakaliit na bilang ng mga bahagi" ay maaaring katawanin bilang isang may hangganang fuzzy set A = 1 / 0 + 0.9 / 1 + 0.8 / 2 + 0.7 / 3 + 0.5 / 4 + 0.1 / 5 + 0/6 + … na may card (A) = 6 at carrier S A = 0 ; isa ; 2; 3; 4 ; 5 , na isang may hangganang malulutong na hanay. Ang malabo na konsepto ng "napakalaking bilang ng mga detalye" ay maaaring katawanin bilang A = 0 / 0 + ... + 0.1 / 1 0 + 0.4 / 11 + 0.7 / 12 + 0.9 / 13 + 1 / 14 + 1/15 + … + 1 / n + … , n ∈ N – isang malabo na hanay na may walang katapusang mabibilang na suporta S A ≡ N (ang hanay ng mga natural na numero), na may mabibilang na cardinality sa karaniwang kahulugan.
Halimbawa. Ang hindi mabilang na fuzzy set A , na tumutugma sa malabo na konsepto ng "napakainit", ay ibinibigay sa unibersal na hanay ng mga halaga ng temperatura (sa Kelvins) ng temperatura x ∈ [ 0 ; ∞) at membership function μ A = 1 − e − x , na may suporta sa S A ≡ R + (ang hanay ng mga di-negatibong totoong numero), na mayroong hindi mabilang na continuum cardinality.
Tinatawag ang quantity sup x ∈ X μ A x taas fuzzy set.
Fuzzy set A ayos lang kung ang taas nito ay 1 , i.e. ang upper bound ng membership function sup x ∈ X μ A x = 1 . Para sa sup x ∈ X μ A x< 1 subnormal.
Ang fuzzy set ay tinatawag walang laman, kung ∀ x ∈ X μ A x = 0 .
Ang isang non-empty subnormal set ay palaging ma-normalize sa pamamagitan ng paghahati sa lahat ng value ng membership function sa maximum na value nito μ A x sup x ∈ X μ A x .
Ang fuzzy set ay tinatawag unimodal, kung μ A x = 1 para lamang sa isang punto x ( fashion) ng unibersal na set X .
Ang fuzzy set ay tinatawag ituro, kung μ A x > 0 para lamang sa isang punto x ng unibersal na set X .
marami α -level fuzzy set A , na tinukoy sa unibersal na set X , ay tinatawag na malinaw na subset A α ng unibersal na set X , na tinukoy bilang:
A α = x ∈ X ∣ μ A x ≥ α , kung saan α ∈ 0 ; isa.
Halimbawa. A \u003d 0.8 / 1 + 0.6 / 2 + 0.2 / 3 + 1 / 4, A 0.5 \u003d 1; 2; 4 , kung saan ang A 0.5 ay isang malinaw na hanay, kabilang ang mga elementong x ng mga nakaayos na pares μ A x / x , na bumubuo ng isang malabo na hanay A , kung saan ang halaga ng function ng pagiging miyembro ay nakakatugon sa kundisyon μ A x ≥ α .
Para sa α-level set, ang sumusunod na property ay mayroong: kung α 1 ≥ α 2 , kung gayon ang cardinality ng subset A α 1 ay hindi mas malaki kaysa sa cardinality ng subset A α 2 .
Mga Elemento x ∈ X kung saan ang μ A x = 0.5 ay tinatawag mga punto ng paglipat fuzzy set A .
core ng fuzzy set A na tinukoy sa unibersal na set X ay isang crisp set core A na ang mga elemento ay nakakatugon sa kondisyon core A = x ∈ X ∣ μ A x = 1 .
hangganan ng fuzzy set A na tinukoy sa unibersal na set X ay tinatawag na crisp set front A na ang mga elemento ay nakakatugon sa condition front A = x ∈ X ∣ 0< μ A x < 1 .
Halimbawa. Hayaan ang X = 0; isa ; 2; … ; 10 , M = 0 ; isa. Ang fuzzy set ng ilan ay maaaring tukuyin sa unibersal na hanay ng mga natural na numero tulad ng sumusunod: ilang = 0.5 / 3 + 0.8 / 4 + 1 / 5 + 1 / 6 + 0.8 / 7 + 0.5 / 8 ; mga katangian nito: taas = 1 , carrier = 3 ; 4 ; 5 ; 6; 7; 8 , transition point = 3 ; 8 , kernel = 5 ; 6 , hangganan = 3 ; 4 ; 7; walo .
Ang fuzzy set A na tinukoy sa isang unibersal na set X ay tinatawag matambok, kung μ A x ≥ min μ A a ; μ A b ; a< x < b ; x , a , b ∈ X (рис.2.3).
Fig.2.3. Mga function ng membership ng convex at non-convex fuzzy set
