Unang antas

Geometric na pag-unlad. Komprehensibong gabay na may mga halimbawa (2019)

Numeric na pagkakasunud-sunod

Kaya't umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:

Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring mayroong kasing dami ng gusto mo (sa aming kaso, sila). Gaano man karaming numero ang ating isulat, palagi nating masasabi kung alin sa mga ito ang una, alin ang pangalawa, at iba pa hanggang sa huli, ibig sabihin, maaari nating bilangin ang mga ito. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero:

Numeric na pagkakasunud-sunod ay isang hanay ng mga numero, ang bawat isa ay maaaring magtalaga ng isang natatanging numero.

Halimbawa, para sa aming sequence:

Ang nakatalagang numero ay partikular sa isang sequence number lamang. Sa madaling salita, walang tatlong segundong numero sa sequence. Ang pangalawang numero (tulad ng -th na numero) ay palaging pareho.

Ang numerong may numero ay tinatawag na -th na miyembro ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence ng ilang titik (halimbawa,), at bawat miyembro ng sequence na ito - ang parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito: .

Sa kaso natin:

Ang pinakakaraniwang uri ng progression ay arithmetic at geometric. Sa paksang ito, pag-uusapan natin ang tungkol sa pangalawang uri - geometric na pag-unlad.

Bakit kailangan natin ng geometric progression at ang kasaysayan nito.

Kahit noong sinaunang panahon, ang Italyano na matematiko, ang monghe na si Leonardo ng Pisa (mas kilala bilang Fibonacci), ay humarap sa mga praktikal na pangangailangan ng kalakalan. Ang monghe ay nahaharap sa gawain ng pagtukoy kung ano ang pinakamaliit na bilang ng mga timbang na maaaring magamit upang timbangin ang mga kalakal? Sa kanyang mga sinulat, pinatunayan ni Fibonacci na ang gayong sistema ng mga timbang ay pinakamainam: Ito ang isa sa mga unang sitwasyon kung saan kinailangan ng mga tao na harapin ang isang geometric na pag-unlad, na marahil ay narinig mo na at mayroon man lang pangkalahatang ideya. Kapag naunawaan mo nang lubusan ang paksa, isipin kung bakit pinakamainam ang ganitong sistema?

Sa kasalukuyan, sa pagsasanay sa buhay, ang isang geometric na pag-unlad ay nagpapakita ng sarili kapag namumuhunan ng pera sa isang bangko, kapag ang halaga ng interes ay sinisingil sa halagang naipon sa account para sa nakaraang panahon. Sa madaling salita, kung naglagay ka ng pera sa isang term deposit sa isang savings bank, pagkatapos ay sa isang taon ang deposito ay tataas ng mula sa orihinal na halaga, i.e. ang bagong halaga ay magiging katumbas ng kontribusyon na pinarami ng. Sa ibang taon, ang halagang ito ay tataas ng, i.е. ang halaga na nakuha sa oras na iyon ay muling pinarami at iba pa. Ang isang katulad na sitwasyon ay inilarawan sa mga problema ng pag-compute ng tinatawag na tambalang interes- ang porsyento ay kinuha sa bawat oras mula sa halaga na nasa account, na isinasaalang-alang ang nakaraang interes. Pag-uusapan natin ang mga gawaing ito sa ibang pagkakataon.

Marami pang mga simpleng kaso kung saan inilalapat ang isang geometric na pag-unlad. Halimbawa, ang pagkalat ng trangkaso: ang isang tao ay nahawahan ang isang tao, sila naman, nahawahan ng isa pang tao, at sa gayon ang pangalawang alon ng impeksyon - isang tao, at sila naman, nahawahan ng isa pa ... at iba pa .. .

Sa pamamagitan ng paraan, ang isang financial pyramid, ang parehong MMM, ay isang simple at tuyo na pagkalkula ayon sa mga katangian ng isang geometric na pag-unlad. Interesting? Alamin natin ito.

Geometric na pag-unlad.

Sabihin nating mayroon tayong pagkakasunod-sunod ng numero:

Agad mong sasagutin na madali lang at ang pangalan ng naturang sequence ay arithmetic progression na may pagkakaiba ng mga miyembro nito. Paano ang tungkol sa isang bagay tulad nito:

Kung ibawas mo ang nakaraang numero mula sa susunod na numero, makikita mo na sa bawat oras na makakakuha ka ng isang bagong pagkakaiba (at iba pa), ngunit ang pagkakasunud-sunod ay tiyak na umiiral at madaling mapansin - ang bawat susunod na numero ay beses na mas malaki kaysa sa nauna. !

Ang ganitong uri ng pagkakasunod-sunod ay tinatawag geometric na pag-unlad at minarkahan.

Ang geometric progression ( ) ay isang numerical sequence, ang unang termino ay iba sa zero, at ang bawat termino, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero. Ang numerong ito ay tinatawag na denominator ng isang geometric na pag-unlad.

Ang mga hadlang na ang unang termino ( ) ay hindi pantay at hindi random. Sabihin nating wala, at ang unang termino ay pantay pa rin, at ang q ay, hmm .. hayaan, pagkatapos ito ay lumabas:

Sumang-ayon na hindi ito pag-unlad.

Tulad ng naiintindihan mo, makakakuha kami ng parehong mga resulta kung ito ay anumang numero maliban sa zero, ngunit. Sa mga kasong ito, walang magiging progression, dahil ang buong serye ng numero ay magiging alinman sa lahat ng mga zero, o isang numero, at lahat ng natitirang mga zero.

Ngayon ay pag-usapan natin nang mas detalyado ang tungkol sa denominator ng isang geometric na pag-unlad, iyon ay, tungkol sa.

Ulitin natin: - ito ay isang numero, ilang beses nagbabago ang bawat kasunod na termino geometric na pag-unlad.

Ano sa palagay mo ang maaaring mangyari? Tama iyon, positibo at negatibo, ngunit hindi zero (napag-usapan namin ito nang medyo mas mataas).

Sabihin nating mayroon tayong positibo. Hayaan sa aming kaso, a. Ano ang pangalawang termino at? Madali mong masasagot iyan:

Lahat tama. Alinsunod dito, kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga miyembro ng pag-unlad ay may parehong tanda - sila positibo.

Paano kung negatibo? Halimbawa, a. Ano ang pangalawang termino at?

Ito ay isang ganap na naiibang kuwento

Subukang bilangin ang termino ng pag-unlad na ito. Magkano ang nakuha mo? Meron akong. Kaya, kung, pagkatapos ay ang mga palatandaan ng mga tuntunin ng geometric na pag-unlad ay kahalili. Ibig sabihin, kung makakita ka ng progression na may mga alternating sign sa mga miyembro nito, negatibo ang denominator nito. Makakatulong sa iyo ang kaalamang ito na subukan ang iyong sarili kapag nilulutas ang mga problema sa paksang ito.

Ngayon ay magsanay tayo ng kaunti: subukang tukuyin kung aling mga numerical sequence ang isang geometric na pag-unlad, at kung alin ang isang aritmetika:

Nakuha ko? Ihambing ang aming mga sagot:

• Geometric na pag-unlad - 3, 6.
• Arithmetic progression - 2, 4.
• Ito ay hindi isang aritmetika o isang geometric na pag-unlad - 1, 5, 7.

Bumalik tayo sa ating huling pag-unlad, at subukan nating hanapin ang termino nito sa parehong paraan tulad ng sa aritmetika. Tulad ng maaaring nahulaan mo, mayroong dalawang paraan upang mahanap ito.

Sunud-sunod nating pinarami ang bawat termino sa.

Kaya, ang -ika miyembro ng inilarawang geometric na pag-unlad ay katumbas ng.

Tulad ng nahulaan mo na, ngayon ikaw mismo ay kukuha ng isang formula na makakatulong sa iyong mahanap ang sinumang miyembro ng isang geometric na pag-unlad. O nailabas mo na ba ito para sa iyong sarili, na naglalarawan kung paano mahahanap ang ika-miyembro sa mga yugto? Kung gayon, suriin kung tama ang iyong pangangatwiran.

Ilarawan natin ito sa pamamagitan ng halimbawa ng paghahanap ng -th miyembro ng progression na ito:

Sa ibang salita:

Hanapin ang iyong sarili ang halaga ng isang miyembro ng isang ibinigay na geometric na pag-unlad.

Nangyari? Ihambing ang aming mga sagot:

Bigyang-pansin na nakuha mo ang eksaktong parehong numero tulad ng sa nakaraang pamamaraan, kapag kami ay sunud-sunod na pinarami sa bawat nakaraang miyembro ng geometric progression.
Subukan nating "i-depersonalize" ang formula na ito - dinadala natin ito sa isang pangkalahatang anyo at makuha ang:

Ang nagmula na formula ay totoo para sa lahat ng mga halaga - parehong positibo at negatibo. Suriin ito sa iyong sarili sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad na may mga sumusunod na kundisyon: , a.

Nagbilang ka ba? Ihambing natin ang mga resulta:

Sumang-ayon na posibleng makahanap ng miyembro ng progression sa parehong paraan tulad ng isang miyembro, gayunpaman, may posibilidad ng maling pagkalkula. At kung nahanap na natin ang ika-katawagan ng isang geometric na pag-unlad, a, kung gayon ano ang mas madali kaysa sa paggamit ng "pinutol" na bahagi ng formula.

Isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad.

Kamakailan lamang, napag-usapan namin kung ano ang maaaring maging mas malaki o mas mababa sa zero, gayunpaman, mayroong mga espesyal na halaga kung saan tinatawag ang geometric progression. walang katapusan na bumababa.

Bakit sa tingin mo may ganoong pangalan ito?
Upang magsimula, isulat natin ang ilang geometric progression na binubuo ng mga miyembro.
Sabihin natin, kung gayon:

Nakikita namin na ang bawat kasunod na termino ay mas mababa kaysa sa nauna sa mga oras, ngunit magkakaroon ba ng anumang numero? Sumagot ka kaagad - "hindi". Iyon ang dahilan kung bakit ang walang katapusang pagbaba - bumababa, bumababa, ngunit hindi kailanman nagiging zero.

Upang malinaw na maunawaan kung ano ang hitsura nito nang biswal, subukan nating gumuhit ng graph ng ating pag-unlad. Kaya, para sa aming kaso, ang formula ay tumatagal ng sumusunod na form:

Sa mga chart, nakasanayan na naming bumuo ng pagtitiwala sa, samakatuwid:

Ang kakanyahan ng expression ay hindi nagbago: sa unang entry, ipinakita namin ang pag-asa ng halaga ng isang geometric progression member sa ordinal number nito, at sa pangalawang entry, kinuha lang namin ang halaga ng isang geometric progression member para sa, at ang ordinal na numero ay itinalaga hindi bilang, ngunit bilang. Ang natitira pang gawin ay i-plot ang graph.
Tingnan natin kung ano ang nakuha mo. Narito ang chart na nakuha ko:

Kita mo? Bumababa ang function, nagiging zero, ngunit hindi ito lumalampas, kaya ito ay walang katapusan na bumababa. Markahan natin ang ating mga punto sa graph, at sa parehong oras kung ano ang ibig sabihin ng coordinate at:

Subukang ilarawan nang eskematiko ang isang graph ng isang geometric na pag-unlad kung ang unang termino nito ay pantay din. Suriin kung ano ang pagkakaiba sa aming nakaraang tsart?

Inayos mo ba? Narito ang chart na nakuha ko:

Ngayon na ganap mong naunawaan ang mga pangunahing kaalaman ng paksa ng geometric progression: alam mo kung ano ito, alam mo kung paano hanapin ang termino nito, at alam mo rin kung ano ang walang katapusang pagbaba ng geometric progression, lumipat tayo sa pangunahing pag-aari nito.

pag-aari ng isang geometric na pag-unlad.

Naaalala mo ba ang pag-aari ng mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika? Oo, oo, kung paano hanapin ang halaga ng isang tiyak na bilang ng isang pag-unlad kapag may mga nauna at kasunod na mga halaga ng mga miyembro ng pag-unlad na ito. Naalala? ito:

Ngayon ay nahaharap tayo sa eksaktong parehong tanong para sa mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad. Upang makuha ang gayong pormula, simulan natin ang pagguhit at pangangatwiran. Makikita mo, napakadali nito, at kung nakalimutan mo, maaari mo itong ilabas sa iyong sarili.

Kumuha tayo ng isa pang simpleng geometric progression, kung saan alam natin at. Paano hanapin? Sa isang pag-unlad ng aritmetika, ito ay madali at simple, ngunit paano ito dito? Sa katunayan, wala ring kumplikado sa geometry - kailangan mo lang ipinta ang bawat halaga na ibinigay sa amin ayon sa formula.

Nagtatanong ka, at ngayon ano ang gagawin natin dito? Oo, napakasimple. Upang magsimula, ilarawan natin ang mga formula na ito sa figure, at subukang gumawa ng iba't ibang mga manipulasyon sa kanila upang magkaroon ng isang halaga.

Kami ay abstract mula sa mga numero na ibinigay sa amin, kami ay tumutok lamang sa kanilang mga expression sa pamamagitan ng isang formula. Kailangan nating hanapin ang value na naka-highlight sa orange, alam ang mga terminong katabi nito. Subukan nating magsagawa ng iba't ibang mga aksyon sa kanila, bilang isang resulta kung saan maaari nating makuha.

Dagdag.
Subukan nating magdagdag ng dalawang expression at makuha natin:

Mula sa expression na ito, tulad ng nakikita mo, hindi namin maipahayag sa anumang paraan, samakatuwid, susubukan namin ang isa pang pagpipilian - pagbabawas.

Pagbabawas.

Tulad ng nakikita mo, hindi rin namin maipahayag mula dito, samakatuwid, susubukan naming i-multiply ang mga expression na ito sa bawat isa.

Pagpaparami.

Ngayon tingnang mabuti kung ano ang mayroon tayo, pinarami ang mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad na ibinigay sa atin kumpara sa kung ano ang kailangang matagpuan:

Hulaan mo kung ano ang sinasabi ko? Tama, upang mahanap ito, kailangan nating kunin ang square root ng mga geometric na numero ng pag-unlad na katabi ng nais na numero na pinarami ng bawat isa:

Well. Ikaw mismo ang nagdeduce ng property ng isang geometric progression. Subukang isulat ang formula na ito sa pangkalahatang anyo. Nangyari?

Nakalimutan ang kundisyon kailan? Isipin kung bakit ito mahalaga, halimbawa, subukang kalkulahin ito sa iyong sarili, sa. Ano ang mangyayari sa kasong ito? Tama, ganap na walang kapararakan, dahil ang formula ay ganito:

Alinsunod dito, huwag kalimutan ang limitasyong ito.

Ngayon kalkulahin natin kung ano

Tamang sagot - ! Kung hindi mo nakalimutan ang pangalawang posibleng halaga kapag nagkalkula, kung gayon ikaw ay isang mahusay na kapwa at maaari kang magpatuloy kaagad sa pagsasanay, at kung nakalimutan mo, basahin kung ano ang nasuri sa ibaba at bigyang pansin kung bakit ang parehong mga ugat ay dapat na nakasulat sa sagot .

Iguhit natin ang pareho ng ating mga geometric na pag-unlad - ang isa ay may halaga, at ang isa ay may halaga, at suriin kung pareho silang may karapatang umiral:

Upang masuri kung ang gayong geometric na pag-unlad ay umiiral o wala, ito ay kinakailangan upang makita kung ito ay pareho sa pagitan ng lahat ng ibinigay na mga miyembro nito? Kalkulahin ang q para sa una at pangalawang kaso.

Tingnan kung bakit kailangan nating sumulat ng dalawang sagot? Dahil ang tanda ng kinakailangang termino ay nakasalalay sa kung ito ay positibo o negatibo! At dahil hindi natin alam kung ano ito, kailangan nating isulat ang parehong mga sagot na may plus at minus.

Ngayon na pinagkadalubhasaan mo na ang mga pangunahing punto at nahinuha ang pormula para sa pag-aari ng isang geometric na pag-unlad, hanapin, alamin at

Ihambing ang iyong mga sagot sa mga tama:

Ano sa palagay mo, paano kung hindi binigyan kami ng mga halaga ng mga miyembro ng geometric na pag-unlad na katabi ng nais na numero, ngunit katumbas ng layo mula dito. Halimbawa, kailangan nating hanapin, at bigyan at. Maaari ba nating gamitin ang formula na nakuha natin sa kasong ito? Subukang kumpirmahin o pabulaanan ang posibilidad na ito sa parehong paraan, na naglalarawan kung ano ang binubuo ng bawat halaga, tulad ng ginawa mo noong unang kinuha ang formula.
Ano ang nakuha mo?

Ngayon tingnan mong mabuti.
at naaayon:

Mula dito maaari nating tapusin na gumagana ang formula hindi lang sa kapitbahay na may mga gustong termino ng isang geometric na pag-unlad, ngunit pati na rin sa magkapantay ang layo mula sa hinahanap ng mga miyembro.

Kaya, ang aming orihinal na formula ay nagiging:

Ibig sabihin, kung sa unang kaso sinabi natin iyan, ngayon sasabihin natin na maaari itong maging katumbas ng anumang natural na numero na mas kaunti. Ang pangunahing bagay ay maging pareho para sa parehong ibinigay na mga numero.

Magsanay sa mga partikular na halimbawa, maging maingat lamang!

1. , . Hanapin.
2. , . Hanapin.
3. , . Hanapin.

Nakapag desisyon na ako? Umaasa ako na ikaw ay lubos na matulungin at napansin ang isang maliit na catch.

Inihambing namin ang mga resulta.

Sa unang dalawang kaso, mahinahon naming inilalapat ang formula sa itaas at makuha ang mga sumusunod na halaga:

Sa pangatlong kaso, sa maingat na pagsasaalang-alang sa mga serial number ng mga numerong ibinigay sa amin, naiintindihan namin na ang mga ito ay hindi katumbas ng distansya mula sa numerong hinahanap namin: ito ang naunang numero, ngunit inalis sa posisyon, kaya hindi ito posible. para ilapat ang formula.

Paano ito lutasin? Ito ay talagang hindi kasing mahirap na tila! Isulat natin kung ano ang binubuo ng bawat numero na ibinigay sa amin at ang nais na numero.

Kaya mayroon kaming at. Tingnan natin kung ano ang magagawa natin sa kanila. Iminumungkahi ko ang paghahati. Nakukuha namin:

Pinapalitan namin ang aming data sa formula:

Ang susunod na hakbang na mahahanap natin - para dito kailangan nating kunin ang cube root ng nagresultang numero.

Ngayon tingnan natin muli kung ano ang mayroon tayo. Mayroon tayo, ngunit kailangan nating hanapin, at ito naman, ay katumbas ng:

Natagpuan namin ang lahat ng kinakailangang data para sa pagkalkula. Palitan sa formula:

Ang aming sagot: .

Subukang lutasin ang isa pang parehong problema sa iyong sarili:
Ibinigay: ,
Hanapin:

Magkano ang nakuha mo? Meron akong - .

Tulad ng nakikita mo, sa katunayan, kailangan mo tandaan ang isang formula lamang- . Ang lahat ng natitira ay maaari mong bawiin nang walang anumang kahirapan sa iyong sarili anumang oras. Upang gawin ito, isulat lamang ang pinakasimpleng geometric na pag-unlad sa isang piraso ng papel at isulat kung ano, ayon sa formula sa itaas, ang bawat isa sa mga numero nito ay katumbas ng.

Ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad.

Ngayon isaalang-alang ang mga formula na nagbibigay-daan sa amin upang mabilis na kalkulahin ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad sa isang naibigay na pagitan:

Upang makuha ang formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang may hangganang geometric na pag-unlad, pinaparami namin ang lahat ng bahagi ng equation sa itaas sa pamamagitan ng. Nakukuha namin:

Tingnang mabuti: ano ang pagkakatulad ng huling dalawang formula? Tama, mga karaniwang miyembro, halimbawa at iba pa, maliban sa una at huling miyembro. Subukan nating ibawas ang 1st equation mula sa 2nd equation. Ano ang nakuha mo?

Ngayon ipahayag sa pamamagitan ng formula ng isang miyembro ng isang geometric na pag-unlad at palitan ang nagresultang expression sa aming huling formula:

Pangkatin ang ekspresyon. Dapat kang makakuha ng:

Ang natitira pang gawin ay ipahayag:

Alinsunod dito, sa kasong ito.

Paano kung? Anong formula ang gumagana pagkatapos? Isipin ang isang geometric na pag-unlad sa. Ano siya? Tama ang isang serye ng magkaparehong mga numero, ayon sa pagkakabanggit, ang formula ay magiging ganito:

Tulad ng arithmetic at geometric progression, maraming mga alamat. Isa na rito ang alamat ni Seth, ang lumikha ng chess.

Alam ng maraming tao na ang laro ng chess ay naimbento sa India. Nang makilala siya ng haring Hindu, natuwa siya sa kanyang katalinuhan at sa iba't ibang posisyon na posible sa kanya. Nang malaman ng hari na ito ay naimbento ng isa sa kanyang mga nasasakupan, nagpasya ang hari na personal siyang gantimpalaan. Tinawag niya ang imbentor sa kanya at inutusang hilingin sa kanya ang anumang nais niya, na nangangako na tuparin kahit na ang pinaka mahusay na pagnanais.

Humingi si Seta ng panahon para makapag-isip, at nang kinabukasan ay humarap si Seta sa hari, nagulat siya sa hari sa walang katulad na kahinhinan ng kanyang kahilingan. Humingi siya ng isang butil ng trigo para sa unang parisukat ng chessboard, trigo para sa pangalawa, para sa pangatlo, para sa ikaapat, at iba pa.

Nagalit ang hari at itinaboy si Seth, na sinasabi na ang kahilingan ng alipin ay hindi karapat-dapat sa maharlikang pagkabukas-palad, ngunit nangako na tatanggapin ng alipin ang kanyang mga butil para sa lahat ng mga cell ng board.

At ngayon ang tanong ay: gamit ang formula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad, kalkulahin kung gaano karaming mga butil ang dapat matanggap ni Seth?

Simulan na natin ang pagtalakay. Dahil, ayon sa kondisyon, humingi si Seth ng isang butil ng trigo para sa unang cell ng chessboard, para sa pangalawa, para sa pangatlo, para sa ikaapat, atbp., nakikita natin iyon sa problema. nag-uusap kami tungkol sa geometric progression. Ano ang katumbas sa kasong ito?
Tama.

Kabuuang mga cell ng chessboard. Kaugnay nito, . Mayroon kaming lahat ng data, nananatili lamang itong palitan sa formula at kalkulahin.

Upang kumatawan ng hindi bababa sa humigit-kumulang na "mga kaliskis" ng isang naibigay na numero, binabago namin gamit ang mga katangian ng antas:

Siyempre, kung gusto mo, maaari kang kumuha ng calculator at kalkulahin kung anong uri ng numero ang napupunta sa iyo, at kung hindi, kailangan mong kunin ang aking salita para dito: ang huling halaga ng expression ay magiging.
I.e:

quintillion quadrillion trillion billion million thousand.

Fuh) Kung gusto mong isipin ang kalakihan ng bilang na ito, tantiyahin kung anong laki ng kamalig ang kakailanganin para ma-accommodate ang buong dami ng butil.
Sa taas ng kamalig na m at lapad ng m, ang haba nito ay kailangang pahabain sa km, i.e. dalawang beses na mas malayo kaysa sa Earth hanggang sa Araw.

Kung ang hari ay malakas sa matematika, maaari niyang ialok ang siyentista mismo na magbilang ng mga butil, dahil upang mabilang ang isang milyong butil, kakailanganin niya ng kahit isang araw ng walang kapagurang pagbibilang, at dahil kailangan na bilangin ang mga quintilyon, ang mga butil ay kailangang mabilang sa buong buhay niya.

At ngayon ay malulutas natin ang isang simpleng problema sa kabuuan ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad.
Si Vasya, isang estudyante sa ika-5 baitang, ay nagkasakit ng trangkaso, ngunit patuloy na pumapasok sa paaralan. Araw-araw, nahahawa ni Vasya ang dalawang tao na, sa turn, ay nahawahan ng dalawa pang tao, at iba pa. Isang tao lang sa klase. Sa ilang araw magkakaroon ng trangkaso ang buong klase?

Kaya, ang unang miyembro ng isang geometric na pag-unlad ay si Vasya, iyon ay, isang tao. ika miyembro ng geometric progression, ito ang dalawang tao na nahawahan niya sa unang araw ng kanyang pagdating. Ang kabuuang kabuuan ng mga miyembro ng progression ay katumbas ng bilang ng mga mag-aaral na 5A. Alinsunod dito, pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang pag-unlad kung saan:

Ipalit natin ang ating data sa formula para sa kabuuan ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad:

Magkakasakit ang buong klase sa loob ng ilang araw. Hindi naniniwala sa mga formula at numero? Subukang ilarawan ang "impeksyon" ng mga mag-aaral sa iyong sarili. Nangyari? Tingnan kung ano ang hitsura nito para sa akin:

Kalkulahin para sa iyong sarili kung ilang araw ang mga mag-aaral ay magkakaroon ng trangkaso kung ang lahat ay makakahawa sa isang tao, at mayroong isang tao sa klase.

Anong halaga ang nakuha mo? Ito ay lumabas na ang lahat ay nagsimulang magkasakit pagkatapos ng isang araw.

Tulad ng nakikita mo, ang gayong gawain at ang pagguhit para dito ay kahawig ng isang pyramid, kung saan ang bawat kasunod na "nagdadala" ng mga bagong tao. Gayunpaman, sa lalong madaling panahon darating ang isang sandali na ang huli ay hindi makaakit ng sinuman. Sa aming kaso, kung akala namin na ang klase ay nakahiwalay, ang tao mula sa pagsasara ng chain (). Kaya, kung ang isang tao ay kasangkot sa isang financial pyramid kung saan binigay ang pera kung nagdala ka ng dalawa pang kalahok, kung gayon ang tao (o sa pangkalahatang kaso) ay hindi magdadala ng sinuman, ayon sa pagkakabanggit, ay mawawala ang lahat ng kanilang namuhunan sa pandaraya na ito sa pananalapi. .

Ang lahat ng sinabi sa itaas ay tumutukoy sa isang bumababa o tumataas na geometric na pag-unlad, ngunit, tulad ng naaalala mo, mayroon kaming isang espesyal na uri - isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Paano makalkula ang kabuuan ng mga miyembro nito? At bakit ang ganitong uri ng pag-unlad ay may ilang mga tampok? Sabay-sabay nating alamin ito.

Kaya, para sa mga panimula, tingnan natin muli ang larawang ito ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad mula sa aming halimbawa:

At ngayon tingnan natin ang pormula para sa kabuuan ng isang geometric na pag-unlad, na nagmula nang mas maaga:
o

Ano ang ating pinagsisikapan? Iyan ay tama, ang graph ay nagpapakita na ito ay may posibilidad na maging zero. Iyon ay, kapag, ito ay magiging halos katumbas, ayon sa pagkakabanggit, kapag kinakalkula ang expression, makakakuha tayo ng halos. Kaugnay nito, naniniwala kami na kapag kinakalkula ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, ang bracket na ito ay maaaring mapabayaan, dahil ito ay magiging pantay.

- ang formula ay ang kabuuan ng mga termino ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad.

MAHALAGA! Ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad lamang kung ang kundisyon ay tahasang nagsasaad na kailangan naming hanapin ang kabuuan walang katapusan ang bilang ng mga miyembro.

Kung ang isang tiyak na numero n ay ipinahiwatig, pagkatapos ay ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng n termino, kahit na o.

At ngayon ay magsanay tayo.

1. Hanapin ang kabuuan ng mga unang termino ng isang geometric na pag-unlad na may at.
2. Hanapin ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad na may at.

Sana naging maingat ka. Ihambing ang aming mga sagot:

Ngayon alam mo na ang lahat tungkol sa geometric progression, at oras na para lumipat mula sa teorya patungo sa pagsasanay. Ang pinakakaraniwang exponential na problema na makikita sa pagsusulit ay ang mga problema sa compound na interes. Tungkol sa kanila ang pag-uusapan natin.

Mga problema sa pagkalkula ng tambalang interes.

Siguradong narinig mo na ang tinatawag na compound interest formula. Naiintindihan mo ba ang ibig niyang sabihin? Kung hindi, alamin natin ito, dahil napagtanto mo ang proseso mismo, mauunawaan mo kaagad kung ano ang kinalaman ng geometric progression dito.

Lahat tayo ay pumunta sa bangko at alam na mayroong iba't ibang mga kondisyon para sa mga deposito: ito ang termino, at karagdagang pagpapanatili, at interes na may dalawang magkaibang paraan ng pagkalkula nito - simple at kumplikado.

Sa simpleng interes ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw: ang interes ay sinisingil ng isang beses sa pagtatapos ng termino ng deposito. Iyon ay, kung pinag-uusapan natin ang paglalagay ng 100 rubles sa isang taon, pagkatapos ay mai-kredito lamang sila sa katapusan ng taon. Alinsunod dito, sa pagtatapos ng deposito, makakatanggap kami ng mga rubles.

Pinagsamang interes ay isang opsyon kung saan capitalization ng interes, ibig sabihin. ang kanilang karagdagan sa halaga ng deposito at ang kasunod na pagkalkula ng kita hindi mula sa paunang, ngunit mula sa naipon na halaga ng deposito. Ang capitalization ay hindi nangyayari palagi, ngunit may ilang periodicity. Bilang isang patakaran, ang mga naturang panahon ay pantay at kadalasan ang mga bangko ay gumagamit ng isang buwan, isang quarter o isang taon.

Sabihin nating inilalagay namin ang lahat ng parehong rubles bawat taon, ngunit may buwanang capitalization ng deposito. Ano ang makukuha natin?

Naiintindihan mo ba ang lahat dito? Kung hindi, gawin natin ito nang hakbang-hakbang.

Nagdala kami ng mga rubles sa bangko. Sa pagtatapos ng buwan, dapat ay mayroon tayong halaga sa ating account na binubuo ng ating mga rubles kasama ang interes sa kanila, iyon ay:

Sumasang-ayon ako?

Maaari nating alisin ito sa bracket at pagkatapos ay makukuha natin:

Sumang-ayon, ang pormula na ito ay mas katulad sa isinulat namin sa simula. Ito ay nananatiling humarap sa mga porsyento

Sa kondisyon ng problema, sinabi sa amin ang tungkol sa taunang. Tulad ng alam mo, hindi kami nagpaparami ng - nagko-convert kami ng mga porsyento sa mga decimal, iyon ay:

tama? Ngayon itatanong mo, saan nanggaling ang numero? Napakasimple!
Uulitin ko: ang kalagayan ng problema ay nagsasabi tungkol sa TAON interes na naipon MONTHLY. Tulad ng alam mo, sa isang taon ng mga buwan, ayon sa pagkakabanggit, sisingilin kami ng bangko ng bahagi ng taunang interes bawat buwan:

Napagtanto? Ngayon subukang isulat kung ano ang magiging hitsura ng bahaging ito ng formula kung sinabi kong ang interes ay kinakalkula araw-araw.
Inayos mo ba? Ihambing natin ang mga resulta:

Magaling! Bumalik tayo sa ating gawain: isulat kung magkano ang maikredito sa ating account para sa ikalawang buwan, na isinasaalang-alang na ang interes ay sinisingil sa naipon na halaga ng deposito.
Narito ang nangyari sa akin:

O, sa madaling salita:

Sa tingin ko, napansin mo na ang isang pattern at nakakita ka ng geometric progression sa lahat ng ito. Isulat kung ano ang magiging katumbas ng miyembro nito, o, sa madaling salita, kung gaano karaming pera ang matatanggap natin sa katapusan ng buwan.
Ginawa? Sinusuri!

Tulad ng nakikita mo, kung naglalagay ka ng pera sa isang bangko sa loob ng isang taon sa isang simpleng interes, pagkatapos ay makakatanggap ka ng mga rubles, at kung ilalagay mo ito sa isang compound rate, makakatanggap ka ng mga rubles. Ang benepisyo ay maliit, ngunit ito ay nangyayari lamang sa ika-taon, ngunit para sa higit pa mahabang panahon mas kumikita ang capitalization:

Isaalang-alang ang isa pang uri ng problema sa tambalang interes. Pagkatapos ng iyong naisip, ito ay magiging elementarya para sa iyo. Kaya ang gawain ay:

Nagsimulang mamuhunan si Zvezda sa industriya noong 2000 na may kapital na dolyar. Bawat taon mula noong 2001, kumikita ito na katumbas ng kapital noong nakaraang taon. Magkano ang kita na matatanggap ng kumpanya ng Zvezda sa katapusan ng 2003, kung ang kita ay hindi na-withdraw mula sa sirkulasyon?

Ang kabisera ng kumpanya ng Zvezda noong 2000.
- ang kabisera ng kumpanya ng Zvezda noong 2001.
- ang kabisera ng kumpanya ng Zvezda noong 2002.
- ang kabisera ng kumpanya ng Zvezda noong 2003.

O maaari tayong sumulat nang maikli:

Para sa aming kaso:

2000, 2001, 2002 at 2003.

ayon sa pagkakabanggit:
rubles
Tandaan na sa problemang ito ay wala tayong dibisyon alinman sa pamamagitan o ni, dahil ang porsyento ay ibinibigay TAUN-TAON at ito ay kinakalkula TAUN-TAON. Iyon ay, kapag binabasa ang problema para sa tambalang interes, bigyang-pansin kung anong porsyento ang ibinigay, at sa anong panahon ito sisingilin, at pagkatapos ay magpatuloy lamang sa mga kalkulasyon.
Ngayon alam mo na ang lahat tungkol sa geometric progression.

Pag-eehersisyo.

1. Maghanap ng termino ng isang geometric progression kung ito ay kilala na, at
2. Hanapin ang kabuuan ng mga unang termino ng isang geometric na pag-unlad, kung ito ay kilala na, at
3. Ang MDM Capital ay nagsimulang mamuhunan sa industriya noong 2003 na may dolyar na kapital. Taon-taon mula noong 2004, kumikita siya na katumbas ng kapital noong nakaraang taon. Ang kumpanya na "MSK Cash Flows" ay nagsimulang mamuhunan sa industriya noong 2005 sa halagang $10,000, na nagsisimulang kumita noong 2006 sa halagang. Sa ilang mga dolyar ang kapital ng isang kumpanya ay lumampas sa isa pa sa katapusan ng 2007, kung ang mga kita ay hindi na-withdraw mula sa sirkulasyon?

Mga sagot:

1. Dahil ang kondisyon ng problema ay hindi nagsasabi na ang pag-unlad ay walang hanggan at kinakailangan upang mahanap ang kabuuan ng isang tiyak na bilang ng mga miyembro nito, ang pagkalkula ay isinasagawa ayon sa pormula:
2. 
   Kumpanya "MDM Capital":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - tumataas ng 100%, ibig sabihin, 2 beses.
   ayon sa pagkakabanggit:
   rubles
   MSK Cash Flows:

   2005, 2006, 2007.
   - tumataas ng, iyon ay, mga oras.
   ayon sa pagkakabanggit:
   rubles
   rubles

I-summarize natin.

1) Ang geometric progression ( ) ay isang numerical sequence, ang unang termino ay iba sa zero, at ang bawat termino, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero. Ang numerong ito ay tinatawag na denominator ng isang geometric na pag-unlad.

2) Ang equation ng mga miyembro ng isang geometric progression -.

3) maaaring kumuha ng anumang halaga, maliban sa at.

• kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga miyembro ng pag-unlad ay may parehong tanda - sila positibo;
• kung, pagkatapos ay ang lahat ng kasunod na mga miyembro ng pag-unlad mga kahaliling palatandaan;
• kapag - ang pag-unlad ay tinatawag na walang katapusang pagbaba.

4), sa - ari-arian ng isang geometric na pag-unlad (mga kalapit na miyembro)

o
, sa (magkaparehong mga termino)

Kapag nahanap mo ito, huwag kalimutan iyon dapat dalawa ang sagot..

Halimbawa,

5) Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad ay kinakalkula ng formula:
o

Kung ang pag-unlad ay walang katapusan na bumababa, kung gayon:
o

MAHALAGA! Ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad lamang kung ang kundisyon ay tahasang nagsasaad na kinakailangan upang mahanap ang kabuuan ng isang walang katapusang bilang ng mga termino.

6) Ang mga gawain para sa tambalang interes ay kinakalkula din ayon sa pormula ng ika-miyembro ng isang geometric na pag-unlad, sa kondisyon na ang mga pondo ay hindi na-withdraw mula sa sirkulasyon:

GEOMETRIC PROGRESSION. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING

Geometric na pag-unlad( ) ay isang numerical sequence, ang unang termino na kung saan ay iba sa zero, at ang bawat termino, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero. Ang numerong ito ay tinatawag ang denominator ng isang geometric progression.

Denominator ng isang geometric na pag-unlad maaaring tumagal ng anumang halaga maliban sa at.

• Kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na miyembro ng pag-unlad ay may parehong tanda - sila ay positibo;
• kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na miyembro ng pag-unlad ay kahaliling mga palatandaan;
• kapag - ang pag-unlad ay tinatawag na walang katapusang pagbaba.

Equation ng mga miyembro ng isang geometric progression - .

Ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad kinakalkula ng formula:
o

Ang ilang mga problema ng pisika at matematika ay maaaring malutas gamit ang mga katangian ng serye ng numero. Ang dalawang pinakasimpleng pagkakasunud-sunod ng numero na itinuturo sa mga paaralan ay algebraic at geometric. Sa artikulong ito, isasaalang-alang namin nang mas detalyado ang tanong kung paano mahahanap ang kabuuan ng isang walang katapusang pag-unlad ng isang geometric na bumababa.

geometric na pag-unlad

Ang mga salitang ito ay nangangahulugang isang serye ng mga tunay na numero, ang mga elementong a i na kung saan ay nagbibigay-kasiyahan sa pagpapahayag:

Narito ang i ay ang bilang ng elemento sa serye, ang r ay isang pare-parehong numero, na tinatawag na denominator.

Ang kahulugan na ito ay nagpapakita na, alam ang anumang termino ng pag-unlad at ang denominator nito, posibleng ibalik ang buong serye ng mga numero. Halimbawa, kung ang ika-10 elemento ay kilala, pagkatapos ay hatiin ito sa pamamagitan ng r, makuha natin ang ika-9 na elemento, pagkatapos ay hahatiin itong muli, makuha natin ang ika-8 at iba pa. Ang mga simpleng argumentong ito ay nagpapahintulot sa amin na magsulat ng isang expression na wasto para sa serye ng mga numerong isinasaalang-alang:

Ang isang halimbawa ng progression na may denominator na 2 ay:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Kung ang denominator ay -2, kung gayon ang isang ganap na magkakaibang serye ay nakuha:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Ang isang geometric na pag-unlad ay mas mabilis kaysa sa isang algebraic, iyon ay, ang mga termino nito ay mabilis na tumataas at mabilis na bumababa.

Ang kabuuan ng i miyembro ng progression

Upang malutas ang mga praktikal na problema, madalas na kinakailangan upang kalkulahin ang kabuuan ng ilang mga elemento ng itinuturing na numerical sequence. Para sa kasong ito, wasto ang sumusunod na formula:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

Makikita na upang kalkulahin ang kabuuan ng mga terminong i, kailangan mong malaman lamang ang dalawang numero: a 1 at r, na lohikal, dahil natatanging tinutukoy nila ang buong pagkakasunud-sunod.

Pababang pagkakasunod-sunod at ang kabuuan ng mga termino nito

Ngayon isaalang-alang natin ang isang espesyal na kaso. Ipagpalagay namin na ang ganap na halaga ng denominator r ay hindi lalampas sa isa, ibig sabihin, -1

Ang isang bumababang geometric na pag-unlad ay kawili-wiling isaalang-alang dahil ang walang katapusang kabuuan ng mga termino nito ay may posibilidad sa isang may hangganang tunay na numero.

Kunin natin ang sum formula Madali itong gawin kung isusulat natin ang expression para sa S i na ibinigay sa nakaraang talata. Meron kami:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

Isaalang-alang ang kaso kapag i->∞. Dahil ang modulus ng denominator ay mas mababa sa 1, kung gayon ang pagtaas nito sa isang walang katapusang kapangyarihan ay magbibigay ng zero. Maaari itong ma-verify gamit ang halimbawa r=0.5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

Bilang resulta, ang kabuuan ng mga termino ng isang walang katapusang geometric na pag-unlad ng pagbaba ay magkakaroon ng anyo:

Ang formula na ito ay kadalasang ginagamit sa pagsasanay, halimbawa, upang kalkulahin ang mga lugar ng mga numero. Ginagamit din ito sa paglutas ng kabalintunaan ni Zeno ng Elea na may isang pagong at Achilles.

Malinaw, kung isasaalang-alang ang kabuuan ng isang walang katapusang pag-unlad ng isang geometric na pagtaas (r>1), ay hahantong sa resulta na S ∞ = +∞.

Ang problema sa paghahanap ng unang termino ng pag-unlad

Ipapakita namin kung paano dapat ilapat ang mga formula sa itaas gamit ang halimbawa ng paglutas ng problema. Ito ay kilala na ang kabuuan ng isang walang katapusang geometric na pag-unlad ay 11. Bukod dito, ang ika-7 termino nito ay 6 na beses na mas mababa kaysa sa ikatlong termino. Ano ang unang elemento para sa serye ng numerong ito?

Una, isulat natin ang dalawang expression para sa pagtukoy ng ika-7 at ika-3 elemento. Nakukuha namin:

Ang paghahati ng unang expression sa pangalawa, at pagpapahayag ng denominator, mayroon tayong:

a 7 / a 3 = r 4 => r = 4 √ (a 7 / a 3)

Dahil ang ratio ng ikapito at pangatlong termino ay ibinigay sa kondisyon ng problema, maaari nating palitan ito at hanapin ang r:

r \u003d 4 √ (a 7 / a 3) \u003d 4 √ (1/6) ≈ 0.63894

Kinakalkula namin ang r na may katumpakan ng limang makabuluhang digit pagkatapos ng decimal point. Dahil ang resultang halaga ay mas mababa sa isa, nangangahulugan ito na ang pag-unlad ay bumababa, na nagbibigay-katwiran sa paggamit ng formula para sa walang katapusang kabuuan nito. Isinulat namin ang expression para sa unang termino sa mga tuntunin ng kabuuan S ∞ :

Pinapalitan namin ang mga kilalang halaga sa formula na ito at makuha ang sagot:

isang 1 \u003d 11 * (1-0.63894) \u003d 3.97166.

Ang sikat na kabalintunaan ni Zeno sa mabilis na Achilles at mabagal na pagong

Si Zeno ng Elea ay isang tanyag na pilosopong Griyego na nabuhay noong ika-5 siglo BC. e. Ang isang bilang ng mga apogee o kabalintunaan nito ay umabot na sa kasalukuyang panahon, kung saan ang problema ng walang katapusang malaki at walang katapusan na maliit sa matematika ay nabuo.

Isa sa mga kilalang kabalintunaan ni Zeno ay ang kompetisyon sa pagitan ni Achilles at ng pagong. Naniniwala si Zeno na kung bibigyan ni Achilles ng kalamangan ang pagong sa malayo, hindi niya ito maaabutan. Halimbawa, hayaang tumakbo si Achilles ng 10 beses na mas mabilis kaysa sa gumagapang na hayop, na, halimbawa, ay nasa unahan niya ng 100 metro. Kapag ang mandirigma ay tumakbo ng 100 metro, ang pagong ay gumagapang pabalik ng 10. Tumatakbo muli ng 10 metro, makikita ni Achilles na ang pagong ay gumapang pa ng 1 metro. Maaari kang makipagtalo nang walang katiyakan, ang distansya sa pagitan ng mga kakumpitensya ay talagang bababa, ngunit ang pagong ay palaging nasa harap.

Pinangunahan niya si Zeno sa konklusyon na ang paggalaw ay hindi umiiral, at ang lahat ng nakapaligid na paggalaw ng mga bagay ay isang ilusyon. Siyempre, mali ang sinaunang pilosopong Griyego.

Ang solusyon sa kabalintunaan ay nakasalalay sa katotohanan na ang isang walang katapusang kabuuan ng patuloy na bumababa na mga segment ay may posibilidad sa isang may hangganang bilang. Sa kaso sa itaas, para sa layo na nilakbay ni Achilles, nakukuha natin ang:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan ng isang walang katapusang geometric na pag-unlad, nakukuha natin:

S ∞ \u003d 100 / (1-0.1) ≈ 111.111 metro

Makikita sa resultang ito na aabutan ni Achilles ang pagong kapag gumapang lamang ito ng 11.111 metro.

Ang mga sinaunang Griyego ay hindi alam kung paano gumawa ng walang katapusang dami sa matematika. Gayunpaman, malulutas ang kabalintunaan na ito kung bibigyan natin ng pansin hindi ang walang katapusang bilang ng mga puwang na dapat pagtagumpayan ni Achilles, ngunit sa limitadong bilang ng mga hakbang na kailangan ng mananakbo upang makamit ang layunin.

Ang matematika ay anokinokontrol ng mga tao ang kalikasan at ang kanilang sarili.

Sobyet na matematiko, akademiko na si A.N. Kolmogorov

Geometric na pag-unlad.

Kasama ng mga gawain sa mga pag-unlad ng aritmetika, ang mga gawaing nauugnay sa konsepto ng isang geometric na pag-unlad ay karaniwan din sa mga pagsusulit sa pasukan sa matematika. Upang matagumpay na malutas ang mga naturang problema, kailangan mong malaman ang mga katangian ng isang geometric na pag-unlad at magkaroon ng mahusay na mga kasanayan sa paggamit ng mga ito.

Ang artikulong ito ay nakatuon sa pagtatanghal ng mga pangunahing katangian ng isang geometric na pag-unlad. Nagbibigay din ito ng mga halimbawa ng paglutas ng mga karaniwang problema, hiniram mula sa mga gawain ng mga pagsusulit sa pagpasok sa matematika.

Paunang pansinin natin ang mga pangunahing katangian ng isang geometric na pag-unlad at alalahanin ang pinakamahalagang mga formula at pahayag, nauugnay sa konseptong ito.

Kahulugan. Ang isang numerical sequence ay tinatawag na geometric progression kung ang bawat isa sa mga numero nito, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero. Ang numero ay tinatawag na denominator ng isang geometric na pag-unlad.

Para sa isang geometric na pag-unladang mga formula ay wasto

, (1)

saan . Ang pormula (1) ay tinatawag na pormula ng pangkalahatang termino ng isang geometric na pag-unlad, at ang pormula (2) ay ang pangunahing pag-aari ng isang geometriko na pag-unlad: ang bawat miyembro ng pag-unlad ay tumutugma sa geometric na mean ng mga kalapit na miyembro nito at .

Tandaan, na ito ay tiyak na dahil sa pag-aari na ito na ang pag-unlad na pinag-uusapan ay tinatawag na "geometric".

Ang mga formula (1) at (2) sa itaas ay ibinubuod tulad ng sumusunod:

, (3)

Upang kalkulahin ang kabuuan una mga miyembro ng isang geometric na pag-unladnaaangkop ang formula

Kung italaga natin

saan . Dahil , ang formula (6) ay isang generalization ng formula (5).

Sa kaso kung kailan at geometric na pag-unladay walang katapusan na bumababa. Upang kalkulahin ang kabuuansa lahat ng miyembro ng walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, ginagamit ang formula

. (7)

Halimbawa , gamit ang formula (7), maipapakita ng isa, Ano

saan . Ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay nakuha mula sa formula (7) sa kondisyon na , (ang unang pagkakapantay-pantay) at , (ang pangalawang pagkakapantay-pantay).

Teorama. Kung , kung gayon

Patunay. Kung, kung gayon,

Ang teorama ay napatunayan.

Magpatuloy tayo sa pagsasaalang-alang ng mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Geometric progression".

Halimbawa 1 Ibinigay: , at . Hanapin .

Desisyon. Kung inilapat ang formula (5), kung gayon

Sagot: .

Halimbawa 2 Hayaan at . Hanapin .

Desisyon. Dahil at , gumagamit kami ng mga formula (5), (6) at makuha ang sistema ng mga equation

Kung ang pangalawang equation ng system (9) ay hinati sa una, pagkatapos o . Mula dito ay sumusunod . Isaalang-alang natin ang dalawang kaso.

1. Kung , pagkatapos ay mula sa unang equation ng system (9) mayroon tayo.

2. Kung , kung gayon .

Halimbawa 3 Hayaan , at . Hanapin .

Desisyon. Ito ay sumusunod mula sa formula (2) na o . Mula noon o .

Sa pamamagitan ng kondisyon. Gayunpaman, samakatuwid. Dahil at , pagkatapos dito mayroon kaming isang sistema ng mga equation

Kung ang pangalawang equation ng system ay hinati sa una, kung gayon o .

Dahil , ang equation ay may iisang angkop na ugat . Sa kasong ito, ang unang equation ng system ay nagpapahiwatig .

Isinasaalang-alang ang formula (7), nakukuha namin.

Sagot: .

Halimbawa 4 Ibinigay: at . Hanapin .

Desisyon. Simula noon .

Dahil , pagkatapos o

Ayon sa formula (2), mayroon tayong . Kaugnay nito, mula sa pagkakapantay-pantay (10) nakukuha natin o .

Gayunpaman, sa pamamagitan ng kondisyon, samakatuwid.

Halimbawa 5 Ito ay kilala na . Hanapin .

Desisyon. Ayon sa theorem, mayroon tayong dalawang pagkakapantay-pantay

Mula noon o . Dahil, kung gayon.

Sagot: .

Halimbawa 6 Ibinigay: at . Hanapin .

Desisyon. Isinasaalang-alang ang formula (5), nakukuha namin

Simula noon . Mula noon , at , noon .

Halimbawa 7 Hayaan at . Hanapin .

Desisyon. Ayon sa formula (1), maaari tayong sumulat

Samakatuwid, mayroon tayong o . Ito ay kilala na at , samakatuwid at .

Sagot: .

Halimbawa 8 Hanapin ang denominator ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad kung

at .

Desisyon. Mula sa formula (7) ito ay sumusunod at . Mula dito at mula sa kondisyon ng problema, nakuha namin ang sistema ng mga equation

Kung ang unang equation ng system ay parisukat, at pagkatapos ay hatiin ang resultang equation sa pangalawang equation, pagkatapos makuha namin

O kaya .

Sagot: .

Halimbawa 9 Hanapin ang lahat ng mga halaga kung saan ang sequence , , ay isang geometric na pag-unlad.

Desisyon. Hayaan , at . Ayon sa formula (2), na tumutukoy sa pangunahing katangian ng isang geometric na pag-unlad, maaari nating isulat o .

Mula dito nakukuha natin ang quadratic equation, na ang mga ugat ay at .

Suriin natin: kung, pagkatapos , at ; kung , pagkatapos , at .

Sa unang kaso mayroon kami at , at sa pangalawa - at .

Sagot: , .

Halimbawa 10lutasin ang equation

, (11)

saan at .

Desisyon. Ang kaliwang bahagi ng equation (11) ay ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, kung saan at , ibinigay: at .

Mula sa formula (7) ito ay sumusunod, Ano . Kaugnay nito, ang equation (11) ay nasa anyo o . angkop na ugat quadratic equation ay

Sagot: .

Halimbawa 11. P pagkakasunud-sunod ng mga positibong numerobumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika, a - geometric na pag-unlad, ano ang kinalaman nito sa . Hanapin .

Desisyon. Bilang pagkakasunud-sunod ng aritmetika, pagkatapos (ang pangunahing pag-aari ng isang pag-unlad ng aritmetika). Sa abot ng, pagkatapos o . Ito ay nagpapahiwatig , na ang geometric progression ay. Ayon sa formula (2), tapos sinusulat namin yan .

Simula at , noon . Sa kasong iyon, ang expression kumukuha ng anyo o . Sa kondisyon, kaya mula sa equationnakukuha namin ang natatanging solusyon ng problemang isinasaalang-alang, ibig sabihin. .

Sagot: .

Halimbawa 12. Kalkulahin ang kabuuan

. (12)

Desisyon. I-multiply ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay (12) sa 5 at makuha

Kung ibawas natin ang (12) sa resultang expression, pagkatapos

o kaya .

Upang makalkula, pinapalitan namin ang mga halaga sa formula (7) at makuha ang . Simula noon .

Sagot: .

Ang mga halimbawa ng paglutas ng problema na ibinigay dito ay magiging kapaki-pakinabang sa mga aplikante bilang paghahanda para sa mga pagsusulit sa pasukan. Para sa mas malalim na pag-aaral ng mga paraan ng paglutas ng problema, nauugnay sa isang geometric na pag-unlad, maaari mong gamitin ang mga tutorial mula sa listahan ng mga inirerekomendang literatura.

1. Koleksyon ng mga gawain sa matematika para sa mga aplikante sa mga teknikal na unibersidad / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school: karagdagang mga seksyon ng kurikulum ng paaralan. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Isang kumpletong kurso ng elementarya na matematika sa mga gawain at pagsasanay. Book 2: Number Sequences and Progressions. – M.: Editus, 2015. - 208 p.

May tanong ka ba?

Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Ang geometric progression, kasama ang arithmetic, ay isang mahalagang serye ng numero na pinag-aaralan sa kursong algebra ng paaralan sa grade 9. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang denominator ng isang geometric na pag-unlad, at kung paano nakakaapekto ang halaga nito sa mga katangian nito.

Kahulugan ng geometric progression

Upang magsimula, ibibigay namin ang kahulugan ng serye ng numerong ito. Ang geometric progression ay isang serye ng mga rational na numero na nabuo sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagpaparami ng unang elemento nito sa isang pare-parehong numero na tinatawag na denominator.

Halimbawa, ang mga numero sa serye 3, 6, 12, 24, ... ay isang geometric na pag-unlad, dahil kung i-multiply natin ang 3 (ang unang elemento) sa 2, makakakuha tayo ng 6. Kung i-multiply natin ang 6 sa 2, makakakuha tayo ng 12, at iba pa.

Ang mga miyembro ng sequence na isinasaalang-alang ay karaniwang tinutukoy ng simbolong ai, kung saan ang i ay isang integer na nagsasaad ng bilang ng elemento sa serye.

Ang kahulugan sa itaas ng isang pag-unlad ay maaaring isulat sa wika ng matematika tulad ng sumusunod: an = bn-1 * a1, kung saan ang b ay ang denominator. Madaling suriin ang formula na ito: kung n = 1, kung gayon b1-1 = 1, at makuha natin ang a1 = a1. Kung n = 2, pagkatapos ay an = b * a1, at muli tayong dumating sa kahulugan ng serye ng mga numero na isinasaalang-alang. Ang katulad na pangangatwiran ay maaaring ipagpatuloy para sa malalaking halaga ng n.

Ang denominator ng isang geometric na pag-unlad

Ang numerong b ay ganap na tumutukoy kung anong karakter ang magkakaroon ng buong serye ng numero. Ang denominator b ay maaaring positibo, negatibo, o mas malaki sa o mas mababa sa isa. Ang lahat ng mga opsyon sa itaas ay humahantong sa iba't ibang mga pagkakasunud-sunod:

• b > 1. Mayroong dumaraming serye ng mga rational na numero. Halimbawa, 1, 2, 4, 8, ... Kung negatibo ang elementong a1, kung gayon ang buong sequence ay tataas lamang ang modulo, ngunit bababa ang isinasaalang-alang ang tanda ng mga numero.
• b = 1. Kadalasan ang ganitong kaso ay hindi tinatawag na progression, dahil mayroong isang ordinaryong serye ng magkaparehong rational na mga numero. Halimbawa, -4, -4, -4.

Formula para sa kabuuan

Bago magpatuloy sa pagsasaalang-alang ng mga partikular na problema gamit ang denominator ng uri ng pag-unlad na isinasaalang-alang, isang mahalagang pormula ang dapat ibigay para sa kabuuan ng unang n elemento nito. Ang formula ay: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Makukuha mo mismo ang expression na ito kung isasaalang-alang mo ang isang recursive sequence ng mga miyembro ng progression. Tandaan din na sa formula sa itaas, sapat na malaman lamang ang unang elemento at ang denominator upang mahanap ang kabuuan ng isang arbitraryong bilang ng mga termino.

Walang katapusang pagbaba ng pagkakasunod-sunod

Sa itaas ay isang paliwanag kung ano ito. Ngayon, alam ang formula para sa Sn, ilapat natin ito sa serye ng numerong ito. Dahil ang anumang numero na ang modulus ay hindi lalampas sa 1 ay may posibilidad na maging zero kapag itinaas sa malalaking kapangyarihan, ibig sabihin, b∞ => 0 kung -1

Dahil ang pagkakaiba (1 - b) ay palaging magiging positibo, anuman ang halaga ng denominator, ang tanda ng kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad na S∞ ay katangi-tanging tinutukoy ng tanda ng unang elemento nito na a1.

Ngayon ay isasaalang-alang namin ang ilang mga problema, kung saan ipapakita namin kung paano ilapat ang nakuha na kaalaman sa mga tiyak na numero.

Numero ng gawain 1. Pagkalkula ng mga hindi kilalang elemento ng pag-unlad at ang kabuuan

Dahil sa geometric progression, ang denominator ng progression ay 2, at ang unang elemento nito ay 3. Ano ang magiging ika-7 at ika-10 termino nito, at ano ang kabuuan ng pitong unang elemento nito?

Ang kondisyon ng problema ay medyo simple at nagsasangkot ng direktang paggamit ng mga formula sa itaas. Kaya, upang kalkulahin ang elemento na may numero n, ginagamit namin ang expression na an = bn-1 * a1. Para sa ika-7 elemento mayroon tayo: a7 = b6 * a1, pinapalitan ang kilalang data, nakukuha natin: a7 = 26 * 3 = 192. Ganoon din ang ginagawa namin para sa ika-10 miyembro: a10 = 29 * 3 = 1536.

Ginagamit namin ang kilalang formula para sa kabuuan at tinutukoy ang halagang ito para sa unang 7 elemento ng serye. Mayroon kaming: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Numero ng gawain 2. Pagtukoy sa kabuuan ng mga di-makatwirang elemento ng pag-unlad

Hayaang -2 ang denominator ng exponential progression bn-1 * 4, kung saan ang n ay isang integer. Kinakailangang matukoy ang kabuuan mula sa ika-5 hanggang ika-10 elemento ng seryeng ito, kasama.

Ang problema ay hindi malulutas nang direkta gamit ang mga kilalang formula. Maaari itong malutas sa 2 magkaibang paraan. Para sa kapakanan ng pagkakumpleto, ipinakita namin ang pareho.

Paraan 1. Ang ideya nito ay simple: kailangan mong kalkulahin ang dalawang katumbas na kabuuan ng mga unang termino, at pagkatapos ay ibawas ang isa sa isa. Kalkulahin ang mas maliit na kabuuan: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Ngayon kalkulahin namin ang malaking kabuuan: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Tandaan na sa huling expression, 4 na termino lamang ang na-summed up, dahil ang ika-5 ay kasama na sa kabuuan na kailangang kalkulahin ayon sa kondisyon ng problema. Sa wakas, kinukuha namin ang pagkakaiba: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Paraan 2. Bago palitan ang mga numero at pagbibilang, maaari kang makakuha ng formula para sa kabuuan sa pagitan ng mga terminong m at n ng seryeng pinag-uusapan. Kumilos kami sa eksaktong parehong paraan tulad ng sa paraang 1, tanging kami ay nagtatrabaho muna sa simbolikong representasyon ng kabuuan. Mayroon kaming: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Maaari mong palitan ang mga kilalang numero sa resultang expression at kalkulahin ang huling resulta: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Gawain bilang 3. Ano ang denominator?

Hayaan ang a1 = 2, hanapin ang denominator ng geometric progression, sa kondisyon na ang infinite sum nito ay 3, at alam na ito ay isang bumababang serye ng mga numero.

Ayon sa kondisyon ng problema, hindi mahirap hulaan kung aling formula ang dapat gamitin upang malutas ito. Siyempre, para sa kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng pag-unlad. Mayroon kaming: S∞ = a1 / (1 - b). Mula sa kung saan namin ipinahayag ang denominator: b = 1 - a1 / S∞. Ito ay nananatiling palitan ang mga kilalang halaga​​​at makuha ang kinakailangang numero: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 o -0.333 (3). Masusuri natin ang resultang ito nang husay kung naaalala natin na para sa ganitong uri ng pagkakasunud-sunod, ang modulus b ay hindi dapat lumampas sa 1. Gaya ng makikita mo, |-1 / 3|

Gawain bilang 4. Pagpapanumbalik ng serye ng mga numero

Hayaang ibigay ang 2 elemento ng isang serye ng numero, halimbawa, ang ika-5 ay katumbas ng 30 at ang ika-10 ay katumbas ng 60. Kinakailangang ibalik ang buong serye mula sa mga datos na ito, alam na natutugunan nito ang mga katangian ng isang geometric na pag-unlad.

Upang malutas ang problema, kailangan mo munang isulat ang kaukulang expression para sa bawat kilalang miyembro. Mayroon kaming: a5 = b4 * a1 at a10 = b9 * a1. Ngayon hinati namin ang pangalawang expression sa una, nakukuha namin: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Mula dito matutukoy natin ang denominator sa pamamagitan ng pagkuha ng ikalimang antas ng ugat ng ratio ng mga miyembro na kilala mula sa kondisyon ng problema, b = 1.148698. Pinapalitan namin ang resultang numero sa isa sa mga expression para sa isang kilalang elemento, nakukuha namin ang: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Kaya, nalaman namin kung ano ang denominator ng progression bn, at ang geometric progression bn-1 * 17.2304966 = an, kung saan b = 1.148698.

Saan ginagamit ang mga geometric progression?

Kung walang aplikasyon ng numerical series na ito sa praktika, ang pag-aaral nito ay mababawasan sa isang puro teoretikal na interes. Ngunit mayroong ganoong aplikasyon.

Ang 3 pinakasikat na halimbawa ay nakalista sa ibaba:

• Ang kabalintunaan ni Zeno, kung saan ang maliksi na si Achilles ay hindi makahabol sa mabagal na pagong, ay nalutas gamit ang konsepto ng isang walang katapusang pagbaba ng pagkakasunod-sunod ng mga numero.
• Kung ang mga butil ng trigo ay inilalagay sa bawat cell ng chessboard upang ang 1 butil ay mailagay sa 1st cell, 2 - sa ika-2, 3 - sa ika-3, at iba pa, pagkatapos ay 18446744073709551615 na mga butil ang kakailanganin upang punan ang lahat ng mga cell ng ang lupon!
• Sa larong "Tower of Hanoi", upang muling ayusin ang mga disk mula sa isang baras patungo sa isa pa, kinakailangan na magsagawa ng 2n - 1 na operasyon, iyon ay, ang kanilang bilang ay lumalaki nang malaki mula sa bilang ng mga disk na ginamit.

Kaugnay na aralin "Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad" (algebra, grade 10)

Layunin ng aralin: pagpapakilala sa mga mag-aaral sa isang bagong uri ng pagkakasunud-sunod - isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad.

Kagamitan: projector, screen.

Uri ng aralin: Aralin - mastering isang bagong paksa.

Sa panahon ng mga klase

ako . Org. sandali. Mensahe tungkol sa paksa at layunin ng aralin.

II . Pag-update ng kaalaman ng mga mag-aaral.

Sa ika-9 na baitang, nag-aral ka ng arithmetic at geometric progressions.

Mga tanong

1. Kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika. (Ang pag-unlad ng arithmetic ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat termino, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang termino na idinagdag sa parehong numero.)

2. Pormula n-ika-miyembro ng arithmetic progression (
)

3. Ang formula para sa kabuuan ng una n mga miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic.

(
o
)

4. Kahulugan ng isang geometric na pag-unlad. (Ang geometric progression ay isang pagkakasunud-sunod ng mga di-zero na numero, ang bawat termino kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang termino na pinarami ng parehong numero.)

5. Pormula n-th miyembro ng geometric progression (

)

6. Ang formula para sa kabuuan ng una n mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad. (
)

7. Anong mga formula ang alam mo pa?

(
, saan
;
;
;
,
)

5. Para sa isang geometric na pag-unlad
hanapin ang ikalimang termino.

6. Para sa isang geometric na pag-unlad
hanapin n-ika-miyembro.

7. Exponentially b 3 = 8 at b 5 = 2 . Hanapin b 4 . (4)

8. Exponentially b 3 = 8 at b 5 = 2 . Hanapin b 1 at q .

9. Exponentially b 3 = 8 at b 5 = 2 . Hanapin S 5 . (62)

III . Paggalugad ng bagong paksa(pagpapakita ng pagtatanghal).

Isaalang-alang ang isang parisukat na may gilid na katumbas ng 1. Gumuhit tayo ng isa pang parisukat, ang gilid nito ay kalahati ng unang parisukat, pagkatapos ay isa pa, ang gilid nito ay kalahati ng pangalawa, pagkatapos ay ang susunod, at iba pa. Sa bawat oras na ang gilid ng bagong parisukat ay kalahati ng nauna.

Bilang resulta, nakakuha kami ng pagkakasunod-sunod ng mga gilid ng mga parisukat bumubuo ng isang geometric progression na may denominator .

At, kung ano ang napakahalaga, kapag mas marami tayong bubuo ng gayong mga parisukat, magiging mas maliit ang gilid ng parisukat. Halimbawa,

Yung. habang ang bilang n ay tumataas, ang mga tuntunin ng pag-unlad ay lumalapit sa zero.

Sa tulong ng figure na ito, maaaring isaalang-alang ang isa pang sequence.

Halimbawa, ang pagkakasunud-sunod ng mga lugar ng mga parisukat:

. At, muli, kung n tataas nang walang katiyakan, pagkatapos ang lugar ay lumalapit sa zero nang arbitraryong malapit.

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa. Isang equilateral triangle na may gilid na 1 cm. Buuin natin ang susunod na tatsulok na may mga vertices sa mga midpoint ng mga gilid ng 1st triangle, ayon sa triangle midline theorem - ang gilid ng 2nd ay katumbas ng kalahati ng gilid ng una, ang gilid ng 3rd ay kalahati ng gilid ng ang ika-2, atbp. Muli ay nakakakuha tayo ng pagkakasunod-sunod ng mga haba ng mga gilid ng mga tatsulok.

sa
.

Kung isasaalang-alang natin ang isang geometric na pag-unlad na may negatibong denominator.

Pagkatapos, muli, sa pagtaas ng mga numero n ang mga tuntunin ng pag-unlad ay lumalapit sa zero.

Bigyang-pansin natin ang mga denominador ng mga sequence na ito. Kahit saan ang mga denominator ay mas mababa sa 1 modulo.

Maaari nating tapusin: ang isang geometric na pag-unlad ay walang katapusan na bababa kung ang modulus ng denominator nito ay mas mababa sa 1.

Kahulugan:

Ang isang geometric na pag-unlad ay sinasabing walang katapusan na bumababa kung ang modulus ng denominator nito ay mas mababa sa isa.
.

Sa tulong ng kahulugan, posibleng malutas ang tanong kung ang isang geometric na pag-unlad ay walang katapusan na bumababa o hindi.

Gawain

Ang sequence ba ay isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad kung ito ay ibinigay ng formula:

;
.

Desisyon:

. Hanapin natin q .

;
;
;
.

ang geometric na pag-unlad na ito ay walang katapusan na bumababa.

b) ang sequence na ito ay hindi isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad.

Isaalang-alang ang isang parisukat na may gilid na katumbas ng 1. Hatiin ito sa kalahati, isa sa mga halves sa kalahati muli, at iba pa. ang mga lugar ng lahat ng nagresultang mga parihaba ay bumubuo ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad:

Ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga parihaba na nakuha sa ganitong paraan ay magiging katumbas ng lugar ng 1st square at katumbas ng 1.