Hyperbola bilang isang seksyon ng ibabaw ng isang kono sa pamamagitan ng frontal plane. Pag-aaral ng teorya ng conic sections

Ang nilalaman ng artikulo

CONIC SECTIONS, mga kurba ng eroplano, na nakuha sa pamamagitan ng pagtawid sa isang kanang pabilog na kono na may isang eroplano na hindi dumaan sa tuktok nito (Larawan 1). Mula sa punto ng view ng analytical geometry, ang isang conic na seksyon ay ang locus ng mga punto na nakakatugon sa isang pangalawang-order na equation. Maliban sa mga degenerate na kaso na tinalakay sa huling seksyon, ang mga conic na seksyon ay mga ellipse, hyperbola, o parabola.

Ang mga conic na seksyon ay madalas na matatagpuan sa kalikasan at teknolohiya. Halimbawa, ang mga orbit ng mga planeta na umiikot sa Araw ay mga ellipse. Ang bilog ay isang espesyal na kaso ng isang ellipse, kung saan ang major axis ay katumbas ng minor. Ang isang parabolic mirror ay may pag-aari na ang lahat ng mga sinag ng insidente na kahanay sa axis nito ay nagtatagpo sa isang punto (focus). Ginagamit ito sa karamihan ng mga sumasalamin na teleskopyo gamit ang mga parabolic mirror, gayundin sa mga radar antenna at mga espesyal na mikropono na may mga parabolic reflector. Ang isang sinag ng parallel ray ay nagmumula sa isang pinagmumulan ng liwanag na nakalagay sa pokus ng isang parabolic reflector. Samakatuwid, ang mga parabolic na salamin ay ginagamit sa makapangyarihang mga spotlight at mga headlight ng kotse. Ang hyperbola ay isang graph ng maraming mahahalagang pisikal na relasyon, tulad ng batas ni Boyle (na nag-uugnay sa presyon at dami ng ideal na gas) at batas ng Ohm, na tumutukoy sa electric current bilang isang function ng resistensya sa pare-parehong boltahe.

MAAGANG KASAYSAYAN

Ang nakatuklas ng mga conic section ay si Menechmus (4th century BC), isang estudyante ni Plato at guro ni Alexander the Great. Gumamit si Menechmus ng parabola at isosceles hyperbola upang malutas ang problema ng pagdodoble ng isang cube.

Mga Treatises sa conic section na isinulat nina Aristaeus at Euclid sa pagtatapos ng ika-4 na siglo. BC, ay nawala, ngunit ang mga materyales mula sa kanila ay kasama sa sikat Mga seksyon ng conic Apollonius ng Perga (c. 260-170 BC), na nakaligtas hanggang sa ating panahon. Inabandona ni Apollonius ang pangangailangan na ang secant plane ng generatrix ng cone ay patayo at, sa pamamagitan ng pag-iiba-iba ng anggulo ng pagkahilig nito, nakuha ang lahat ng conic section mula sa isang circular cone, tuwid o hilig. Utang din namin kay Apollonius ang mga modernong pangalan ng mga kurba - ellipse, parabola at hyperbola.

Sa kanyang mga konstruksyon, gumamit si Apollonius ng dalawang-sheet na pabilog na kono (tulad ng sa Fig. 1), kaya sa unang pagkakataon ay naging malinaw na ang hyperbola ay isang curve na may dalawang sanga. Mula noong panahon ni Apollonius, ang mga conic na seksyon ay nahahati sa tatlong uri, depende sa pagkahilig ng cutting plane sa generatrix ng cone. Ellipse (Larawan 1, a) ay nabuo kapag ang cutting plane ay nagsalubong sa lahat ng mga generatrix ng kono sa mga punto ng isa sa kanyang lukab; parabola (Larawan 1, b) - kapag ang cutting plane ay parallel sa isa sa mga tangent na eroplano ng kono; hyperbole (Larawan 1, sa) - kapag ang cutting plane ay nag-intersect sa parehong cavity ng cone.

KONSTRUKSYON NG CONIC SECTIONS

Habang pinag-aaralan ang mga conic section bilang intersection ng mga eroplano at cone, itinuturing din ng mga sinaunang Greek mathematician ang mga ito bilang mga trajectory ng mga punto sa isang eroplano. Napag-alaman na ang isang ellipse ay maaaring tukuyin bilang ang locus ng mga puntos, ang kabuuan ng mga distansya mula sa kung saan sa dalawang ibinigay na mga punto ay pare-pareho; parabola - bilang isang locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa isang naibigay na punto at isang naibigay na linya; hyperbola - bilang isang locus ng mga puntos, ang pagkakaiba sa mga distansya mula sa kung saan sa dalawang ibinigay na mga punto ay pare-pareho.

Ang mga kahulugang ito ng mga conic na seksyon bilang mga kurba ng eroplano ay nagmumungkahi din ng isang paraan upang gawin ang mga ito gamit ang isang nakaunat na sinulid.

Ellipse.

Kung ang mga dulo ng isang thread ng isang naibigay na haba ay naayos sa mga punto F 1 at F 2 (Larawan 2), pagkatapos ay ang curve na inilarawan sa dulo ng isang lapis na dumudulas sa isang mahigpit na nakaunat na sinulid ay may hugis ng isang ellipse. puntos F 1 at F 2 ay tinatawag na foci ng ellipse, at ang mga segment V 1 V 2 at v 1 v 2 sa pagitan ng mga punto ng intersection ng ellipse na may mga coordinate axes - ang major at minor axes. Kung ang mga puntos F 1 at F 2 nag-tutugma, pagkatapos ay ang ellipse ay nagiging bilog.

Hyperbola.

Kapag gumagawa ng hyperbola, isang punto P, ang dulo ng isang lapis, ay naayos sa isang sinulid na malayang dumudulas kasama ang mga peg na naka-install sa mga punto F 1 at F 2 tulad ng ipinapakita sa fig. 3, a. Ang mga distansya ay pinili upang ang segment PF 2 ay mas mahaba kaysa sa segment PF 1 sa isang nakapirming halaga na mas mababa sa distansya F 1 F 2. Sa kasong ito, ang isang dulo ng thread ay dumadaan sa ilalim ng peg F 1 at ang magkabilang dulo ng thread ay dumaan sa peg F 2. (Ang dulo ng lapis ay hindi dapat dumulas sa sinulid, kaya kailangan mong ayusin ito sa pamamagitan ng paggawa ng isang maliit na loop sa sinulid at paglalagay ng dulo dito.) Isang sangay ng hyperbola ( PV 1 Q) gumuhit kami, tinitiyak na ang sinulid ay nananatiling mahigpit sa lahat ng oras, at hinihila ang magkabilang dulo ng sinulid pababa lampas sa punto F 2 , at kapag ang punto P ay nasa ibaba ng linya F 1 F 2, hinahawakan ang sinulid sa magkabilang dulo at maingat na ibinababa (i.e. binitawan) ito. Ang pangalawang sangay ng hyperbola ( Pў V 2 Qў) gumuhit kami, na binago dati ang mga tungkulin ng mga peg F 1 at F 2 .

Ang mga sanga ng hyperbola ay lumalapit sa dalawang tuwid na linya na nagsalubong sa pagitan ng mga sanga. Ang mga linyang ito, na tinatawag na asymptotes ng hyperbola, ay itinayo tulad ng ipinapakita sa Fig. 3, b. Ang mga slope ng mga linyang ito ay ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), saan v 1 v 2 - isang segment ng bisector ng anggulo sa pagitan ng mga asymptotes, patayo sa segment F 1 F 2; segment ng linya v 1 v 2 ay tinatawag na conjugate axis ng hyperbola, at ang segment V 1 V 2 - ang transverse axis nito. Kaya ang mga asymptotes ay ang mga diagonal ng isang parihaba na may mga gilid na dumadaan sa apat na puntos v 1 , v 2 , V 1 , V 2 parallel sa mga axes. Upang mabuo ang parihaba na ito, kailangan mong tukuyin ang lokasyon ng mga punto v 1 at v 2. Sila ay nasa parehong distansya, katumbas ng

mula sa punto ng intersection ng mga axes O. Ang formula na ito ay nagsasangkot ng pagbuo ng isang tamang tatsulok na may mga binti Ov 1 at V 2 O at hypotenuse F 2 O.

Kung ang mga asymptotes ng hyperbola ay magkaparehong patayo, kung gayon ang hyperbola ay tinatawag na isosceles. Dalawang hyperbola na may mga karaniwang asymptotes, ngunit may muling inayos na transverse at conjugate axes, ay tinatawag na mutually conjugate.

Parabola.

Ang foci ng ellipse at hyperbola ay kilala ni Apollonius, ngunit ang pokus ng parabola, tila, ay unang itinatag ni Pappus (ika-2 kalahati ng ika-3 siglo), na tinukoy ang curve na ito bilang ang locus ng mga puntos na katumbas ng isang punto ( focus) at isang ibinigay na tuwid na linya, na tinatawag na direktor. Ang pagtatayo ng isang parabola gamit ang isang nakaunat na sinulid, batay sa kahulugan ng Pappus, ay iminungkahi ni Isidore ng Miletus (ika-6 na siglo). Iposisyon ang ruler upang ang gilid nito ay tumutugma sa directrix LLў (Larawan 4), at ikabit ang binti sa gilid na ito AC pagguhit ng tatsulok ABC. Inaayos namin ang isang dulo ng thread na may haba AB sa taas B tatsulok at ang isa ay nasa pokus ng parabola F. Hinila ang sinulid gamit ang dulo ng lapis, pindutin ang dulo sa isang variable na punto P sa libreng skate AB pagguhit ng tatsulok. Habang gumagalaw ang tatsulok kasama ang ruler, ang punto P ilalarawan ang arko ng isang parabola na may pokus F at punong guro LLў, dahil ang kabuuang haba ng thread ay katumbas ng AB, ang segment ng thread ay katabi ng libreng binti ng tatsulok, at samakatuwid ang natitirang bahagi ng thread PF dapat na katumbas ng natitirang bahagi ng binti AB, ibig sabihin. PA. Intersection point V Ang parabola na may axis ay tinatawag na vertex ng parabola, isang tuwid na linya na dumadaan F at V, ay ang axis ng parabola. Kung ang isang tuwid na linya na patayo sa axis ay iginuhit sa pamamagitan ng focus, kung gayon ang segment ng tuwid na linyang ito na pinutol ng parabola ay tinatawag na focal parameter. Para sa isang ellipse at isang hyperbola, ang focal parameter ay tinukoy nang katulad.

MGA KATANGIAN NG CONIC SECTIONS

Mga kahulugan ng Pappus.

Ang pagtatatag ng pokus ng parabola ay humantong kay Pappus sa ideya ng pagbibigay ng alternatibong kahulugan ng mga conic na seksyon sa pangkalahatan. Hayaan F ay isang ibinigay na punto (focus), at L ay isang binigay na tuwid na linya (directrix) na hindi dumadaan F, at D F at D L– distansya mula sa gumagalaw na punto P upang ituon F at mga direktor L ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos, tulad ng ipinakita ni Papp, ang mga conic na seksyon ay tinukoy bilang locus ng mga puntos P, kung saan ang ratio D F/D L ay isang di-negatibong pare-pareho. Ang ratio na ito ay tinatawag na eccentricity e korteng kono na seksyon. Sa e e > 1 ay isang hyperbola; sa e= 1 ay isang parabola. Kung ang F namamalagi sa L, pagkatapos ang locus ay may anyo ng mga linya (totoo o haka-haka), na mga degenerate conic na seksyon.

Ang kapansin-pansing simetrya ng ellipse at ang hyperbola ay nagpapahiwatig na ang bawat isa sa mga kurba na ito ay may dalawang directrix at dalawang foci, at ang pangyayaring ito ay humantong kay Kepler noong 1604 sa ideya na ang parabola ay mayroon ding pangalawang pokus at pangalawang directrix - isang punto sa kawalang-hanggan at tuwid. Katulad nito, ang bilog ay maaaring ituring bilang isang ellipse, na ang foci ay nag-tutugma sa gitna, at ang mga directrix ay nasa infinity. Eccentricity e sa kasong ito ay zero.

Ang disenyo ni Dandelin.

Ang mga focus at directrix ng isang conic section ay malinaw na maipapakita gamit ang mga sphere na nakasulat sa isang cone at tinatawag na Dandelin spheres (balls) bilang parangal sa Belgian mathematician at engineer na si J. Dandelin (1794–1847), na nagmungkahi ng sumusunod na konstruksyon. Hayaang mabuo ang conic section sa pamamagitan ng intersection ng ilang eroplano p na may dalawang-cavity right circular cone na may tugatog sa isang punto O. Isulat natin ang dalawang sphere sa kono na ito S 1 at S 2 na humipo sa eroplano p sa mga punto F 1 at F 2 ayon sa pagkakabanggit. Kung ang conic section ay isang ellipse (Fig. 5, a), pagkatapos ang parehong mga globo ay nasa loob ng parehong lukab: isang globo ay matatagpuan sa itaas ng eroplano p at ang iba sa ibaba nito. Ang bawat generatrix ng cone ay humahawak sa parehong mga sphere, at ang locus ng mga punto ng contact ay may anyo ng dalawang bilog C 1 at C 2 na matatagpuan sa parallel planes p 1 at p 2. Hayaan P ay isang arbitrary na punto sa isang conic na seksyon. Magdrawing tayo ng tuwid PF 1 , PF 2 at pahabain ang linya PO. Ang mga linyang ito ay padaplis sa mga sphere sa mga punto F 1 , F 2 at R 1 , R 2. Dahil ang lahat ng mga tangent na iginuhit sa globo mula sa isang punto ay pantay, kung gayon PF 1 = PR 1 at PF 2 = PR 2. Kaya naman, PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2. Mula sa mga eroplano p 1 at p 2 parallel, segment R 1 R 2 ay pare-pareho ang haba. Kaya, ang halaga PR 1 + PR 2 ay pareho para sa lahat ng mga posisyon ng punto P, at punto P nabibilang sa locus ng mga punto kung saan ang kabuuan ng mga distansya mula sa P dati F 1 at F 2 ay pare-pareho. Samakatuwid, ang mga puntos F 1 at F 2 - foci ng elliptical section. Bilang karagdagan, maaari itong ipakita na ang mga linya kung saan ang eroplano p tumatawid sa eroplano p 1 at p 2 , ay mga directrix ng itinayong ellipse. Kung ang p tumatawid sa parehong mga lukab ng kono (Larawan 5, b), pagkatapos ay dalawang Dandelin sphere ang nakahiga sa magkabilang panig ng eroplano p, isang globo sa bawat lukab ng kono. Sa kasong ito, ang pagkakaiba sa pagitan PF 1 at PF 2 ay pare-pareho, at ang locus ng mga puntos P ay may anyo ng hyperbola na may foci F 1 at F 2 at tuwid na linya - mga linya ng intersection p kasama p 1 at p 2 - bilang mga direktor. Kung ang conic section ay isang parabola, tulad ng ipinapakita sa Fig. 5, sa, pagkatapos ay isang Dandelin sphere lamang ang maaaring isulat sa kono.

Iba pang mga ari-arian.

Ang mga katangian ng mga conic na seksyon ay talagang hindi mauubos, at alinman sa mga ito ay maaaring kunin bilang mapagpasyahan. mahalagang lugar sa Pagpupulong sa matematika Pappa (c. 300), geometries Descartes (1637) at Mga simula Ang Newton (1687) ay nag-aalala sa problema ng locus of points na may kinalaman sa apat na linya. Kung apat na tuwid na linya ang ibinigay sa eroplano L 1 , L 2 , L 3 at L 4 (dalawa sa mga ito ay maaaring tumugma) at isang tuldok P ay tulad na ang produkto ng mga distansya mula sa P dati L 1 at L Ang 2 ay proporsyonal sa produkto ng mga distansya mula sa P dati L 3 at L 4 , pagkatapos ay ang locus ng mga puntos P ay isang conic na seksyon. Maling paniniwalang nabigo sina Apollonius at Pappus na lutasin ang problema ng locus of points na may paggalang sa apat na linya, si Descartes, upang makakuha ng solusyon at gawing pangkalahatan ito, ay lumikha ng analytic geometry.

ANALYTICAL APPROACH

Algebraic na pag-uuri.

Sa mga terminong algebraic, ang mga conic na seksyon ay maaaring tukuyin bilang mga kurba ng eroplano na ang mga coordinate ng Cartesian ay nakakatugon sa isang equation ng pangalawang degree. Sa madaling salita, ang equation ng lahat ng conic na seksyon ay maaaring isulat sa pangkalahatang anyo bilang

kung saan hindi lahat ng coefficients A, B at C ay katumbas ng zero. Sa tulong ng parallel na pagsasalin at pag-ikot ng mga palakol, ang equation (1) ay maaaring bawasan sa anyo

palakol 2 + sa pamamagitan ng 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

Ang unang equation ay nakuha mula sa equation (1) na may B 2 № AC, ang pangalawa - sa B 2 = AC. Ang mga conic na seksyon na ang mga equation ay nabawasan sa unang anyo ay tinatawag na sentral. Conic na mga seksyon na ibinigay ng mga equation ng pangalawang uri na may q No. 0, ay tinatawag na non-central. Sa loob ng dalawang kategoryang ito, mayroong siyam na iba't ibang uri ng conic section, depende sa mga palatandaan ng coefficients.

2831) i a, b at c magkaroon ng parehong tanda, pagkatapos ay walang mga tunay na punto na ang mga coordinate ay makakatugon sa equation. Ang nasabing isang conic na seksyon ay tinatawag na isang imaginary ellipse (o isang haka-haka na bilog kung a = b).

2) Kung a at b magkaroon ng isang tanda, at c- kabaligtaran, pagkatapos ay ang conic section ay isang ellipse (Fig. 1, a); sa a = b- bilog (Larawan 6, b).

3) Kung a at b may iba't ibang mga palatandaan, kung gayon ang seksyon ng conic ay isang hyperbola (Larawan 1, sa).

4) Kung a at b may iba't ibang palatandaan at c= 0, pagkatapos ay ang conic section ay binubuo ng dalawang intersecting straight lines (Fig. 6, a).

5) Kung a at b magkaroon ng isang tanda at c= 0, pagkatapos ay mayroon lamang isang tunay na punto sa curve na nakakatugon sa equation, at ang conic na seksyon ay dalawang haka-haka na intersecting na linya. Sa kasong ito, ang isa ay nagsasalita din ng isang ellipse na kinontrata sa isang punto o, kung a = b, kinontrata sa isang punto ng isang bilog (Larawan 6, b).

6) Kung alinman a, o b ay katumbas ng zero, at ang natitirang mga coefficient ay may iba't ibang mga palatandaan, pagkatapos ay ang conic na seksyon ay binubuo ng dalawang parallel na linya.

7) Kung alinman a, o b ay katumbas ng zero, at ang natitirang mga coefficient ay may parehong tanda, pagkatapos ay walang tunay na punto na nakakatugon sa equation. Sa kasong ito, ang conic section ay sinasabing binubuo ng dalawang haka-haka na parallel na linya.

8) Kung c= 0, at alinman a, o b ay katumbas din ng zero, pagkatapos ay ang conic na seksyon ay binubuo ng dalawang tunay na magkatugmang linya. (Hindi tinukoy ng equation ang anumang conic section sa a = b= 0, dahil sa kasong ito ang orihinal na equation (1) ay wala sa pangalawang degree.)

9) Ang mga equation ng pangalawang uri ay tumutukoy sa mga parabola kung p at q ay iba sa zero. Kung ang p Hindi. 0, at q= 0, nakukuha natin ang curve mula sa aytem 8. Kung, sa kabilang banda, p= 0, kung gayon ang equation ay hindi tumutukoy sa anumang conic na seksyon, dahil ang orihinal na equation (1) ay wala sa pangalawang degree.

Derivation ng mga equation ng conic sections.

Ang anumang conic na seksyon ay maaari ding tukuyin bilang isang kurba kung saan ang isang eroplano ay nag-intersect sa isang parisukat na ibabaw, i.e. na may ibabaw na ibinigay ng equation ng ikalawang antas f (x, y, z) = 0. Tila, ang mga conic na seksyon ay unang nakilala sa form na ito, at ang kanilang mga pangalan ( tingnan sa ibaba) ay nauugnay sa katotohanan na nakuha ang mga ito sa pamamagitan ng pagtawid sa eroplano gamit ang kono z 2 = x 2 + y 2. Hayaan A B C D- ang base ng isang kanang pabilog na kono (Larawan 7) na may tamang anggulo sa itaas V. Hayaan ang eroplano FDC bumabagtas sa generatrix VB sa punto F, ang base ay nasa isang tuwid na linya CD at ang ibabaw ng kono - kasama ang kurba DFPC, saan P ay anumang punto sa kurba. Gumuhit sa gitna ng segment CD- punto E- direkta EF at diameter AB. Sa pamamagitan ng tuldok P gumuhit ng isang eroplano na parallel sa base ng kono, intersecting ang kono sa isang bilog RPS at direktang EF sa punto Q. Pagkatapos QF at QP maaaring kunin, ayon sa pagkakabanggit, para sa abscissa x at ordinate y puntos P. Ang resultang curve ay isang parabola.

Ang konstruksiyon na ipinapakita sa fig. 7 ay maaaring gamitin upang kunin ang mga pangkalahatang equation para sa mga conic na seksyon. Ang parisukat ng haba ng isang segment ng isang patayo, na naibalik mula sa anumang punto ng diameter hanggang sa intersection ng bilog, ay palaging katumbas ng produkto ng mga haba ng mga segment ng diameter. Kaya

y 2 = RQ H QS.

Para sa isang parabola, isang segment RQ ay may pare-parehong haba (dahil para sa anumang posisyon ng punto P ito ay katumbas ng segment AE), at ang haba ng segment QS proporsyonal x(mula sa relasyon QS/EB = QF/F.E.). Kaya naman sinusunod iyon

saan a ay isang pare-parehong koepisyent. Numero a nagpapahayag ng haba ng focal parameter ng parabola.

Kung ang anggulo sa tuktok ng kono ay talamak, pagkatapos ay ang segment RQ hindi katumbas ng hiwa AE; ngunit ang ratio y 2 = RQ H QS ay katumbas ng isang equation ng form

saan a at b ay mga constant, o, pagkatapos ilipat ang mga axes, sa equation

na equation ng isang ellipse. Mga intersection point ng ellipse na may axis x (x = a at x = –a) at ang mga punto ng intersection ng ellipse sa axis y (y = b at y = –b) tukuyin ang major at minor axes, ayon sa pagkakabanggit. Kung ang anggulo sa vertex ng kono ay mapurol, kung gayon ang kurba ng intersection ng kono at ang eroplano ay may anyo ng isang hyperbola, at ang equation ay kumukuha ng sumusunod na anyo:

o, pagkatapos ilipat ang mga palakol,

Sa kasong ito, ang mga punto ng intersection sa axis x, na ibinigay ng kaugnayan x 2 = a 2, tukuyin ang transverse axis, at ang mga punto ng intersection sa axis y, na ibinigay ng kaugnayan y 2 = –b 2 tukuyin ang mating axis. Kung pare-pareho a at b sa equation (4a) ay pantay, kung gayon ang hyperbola ay tinatawag na isosceles. Sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga palakol, ang equation nito ay nabawasan sa anyo

xy = k.

Ngayon mula sa mga equation (3), (2) at (4) mauunawaan natin ang kahulugan ng mga pangalan na ibinigay ni Apollonius sa tatlong pangunahing mga conic na seksyon. Ang mga terminong "ellipse", "parabola" at "hyperbola" ay nagmula sa mga salitang Griyego na nangangahulugang "kakulangan", "kapantay" at "superior". Mula sa mga equation (3), (2) at (4) ay malinaw na para sa isang ellipse y 2 b 2 / a) x, para sa parabola y 2 = (a) x at para sa hyperbole y 2 > (2b 2 /a) x. Sa bawat kaso, ang value na nakapaloob sa mga bracket ay katumbas ng focal parameter ng curve.

Itinuring mismo ni Apollonius ang tatlong pangkalahatang uri ng mga conic na seksyon (mga uri 2, 3, at 9 na nakalista sa itaas), ngunit ang kanyang diskarte ay nagbibigay-daan para sa isang generalization na nagpapahintulot sa isa na isaalang-alang ang lahat ng tunay na second-order curves. Kung ang cutting plane ay pinili parallel sa circular base ng kono, pagkatapos ay ang seksyon ay magiging isang bilog. Kung ang cutting plane ay may isang karaniwang punto lamang na may cone, ang vertex nito, kung gayon ang isang seksyon ng uri 5 ay makukuha; kung naglalaman ito ng isang vertex at isang padaplis sa kono, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang seksyon ng uri 8 (Larawan 6, b); kung ang cutting plane ay naglalaman ng dalawang generators ng cone, pagkatapos ay isang uri 4 curve ay nakuha sa seksyon (Larawan 6, a); kapag ang vertex ay inilipat sa infinity, ang kono ay nagiging isang silindro, at kung ang eroplano ay naglalaman ng dalawang generator, pagkatapos ay isang seksyon ng uri 6 ay nakuha.

Kung titingnan mula sa isang pahilig na anggulo, ang isang bilog ay mukhang isang ellipse. Ang ugnayan sa pagitan ng bilog at ng ellipse, na kilala ni Archimedes, ay nagiging halata kung ang bilog X 2 + Y 2 = a 2 gamit ang pagpapalit X = x, Y = (a/b) y i-convert sa isang ellipse na ibinigay ng equation (3a). pagbabago X = x, Y = (ai/b) y, saan i 2 = –1, ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang equation ng bilog sa anyo (4a). Ipinapakita nito na ang isang hyperbola ay maaaring tingnan bilang isang ellipse na may isang haka-haka na menor na axis, o, sa kabaligtaran, ang isang ellipse ay maaaring tingnan bilang isang hyperbola na may isang haka-haka na conjugate axis.

Relasyon sa pagitan ng mga ordinate ng isang bilog x 2 + y 2 = a 2 at ellipse ( x 2 /a 2) + (y 2 /b 2) = 1 ay direktang humahantong sa formula ng Archimedes A = p ab para sa lugar ng ellipse. Alam ni Kepler ang tinatayang formula p(a + b) para sa perimeter ng isang ellipse malapit sa isang bilog, ngunit ang eksaktong expression ay nakuha lamang noong ika-18 siglo. pagkatapos ng pagpapakilala ng mga elliptic integral. Tulad ng ipinakita ni Archimedes, ang lugar ng isang parabolic segment ay apat na katlo ng lugar ng isang inscribed triangle, ngunit ang haba ng arc ng isang parabola ay maaari lamang kalkulahin pagkatapos, noong ika-17 siglo. naimbento ang differential calculus.

PROJECTIVE APPROACH

Ang projective geometry ay malapit na nauugnay sa pagbuo ng pananaw. Kung gumuhit ka ng isang bilog sa isang transparent na sheet ng papel at ilagay ito sa ilalim ng isang light source, pagkatapos ay ang bilog na ito ay ipapakita sa eroplano sa ibaba. Sa kasong ito, kung ang pinagmumulan ng liwanag ay matatagpuan nang direkta sa itaas ng gitna ng bilog, at ang eroplano at ang transparent na sheet ay parallel, kung gayon ang projection ay magiging bilog din (Larawan 8). Ang posisyon ng pinagmumulan ng liwanag ay tinatawag na puntong naglalaho. Ito ay minarkahan ng titik V. Kung ang V matatagpuan hindi sa itaas ng gitna ng bilog, o kung ang eroplano ay hindi parallel sa sheet ng papel, pagkatapos ay ang projection ng bilog ay tumatagal ng anyo ng isang ellipse. Sa isang mas malaking pagkahilig ng eroplano, ang pangunahing axis ng ellipse (ang projection ng bilog) ay humahaba, at ang ellipse ay unti-unting nagiging parabola; sa isang eroplanong parallel sa isang tuwid na linya VP, ang projection ay parang parabola; na may mas malaking hilig, ang projection ay nasa anyo ng isa sa mga sangay ng hyperbola.

Ang bawat punto sa orihinal na bilog ay tumutugma sa ilang punto sa projection. Kung ang projection ay may anyo ng isang parabola o hyperbola, pagkatapos ay sinasabi nila na ang punto ay tumutugma sa punto P, ay nasa infinity o nasa infinity.

Tulad ng nakita natin, na may angkop na pagpipilian ng mga nawawalang punto, ang isang bilog ay maaaring i-project sa mga ellipse ng iba't ibang laki at may iba't ibang mga eccentricities, at ang mga haba ng mga pangunahing axes ay hindi direktang nauugnay sa diameter ng inaasahang bilog. Samakatuwid, ang projective geometry ay hindi nakikitungo sa mga distansya o haba sa bawat isa, ang gawain nito ay pag-aralan ang ratio ng mga haba na napanatili sa ilalim ng projection. Ang kaugnayang ito ay matatagpuan gamit ang sumusunod na konstruksyon. sa anumang punto P eroplano gumuhit kami ng dalawang tangents sa anumang bilog at ikonekta ang mga punto ng contact na may isang tuwid na linya p. Hayaang dumaan ang isa pang linya sa punto P, nag-intersect sa bilog sa mga punto C 1 at C 2 , ngunit ang tuwid na linya p- sa punto Q(Larawan 9). Pinatunayan iyon ng planimetry PC 1 /PC 2 = –QC 1 /QC 2. (Ang minus sign ay nangyayari dahil ang direksyon ng segment QC 1 sa tapat ng mga direksyon ng iba pang mga segment.) Sa madaling salita, ang mga puntos P at Q hatiin ang segment C 1 C 2 panlabas at panloob sa parehong paggalang; sinasabi din nila na ang harmonic ratio ng apat na mga segment ay - 1. Kung ang bilog ay inaasahang maging isang conic na seksyon at ang parehong mga pagtatalaga ay pinananatili para sa kaukulang mga puntos, kung gayon ang harmonic ratio ( PC 1)(QC 2)/(PC 2)(QC 1) ay mananatiling pantay - 1. Punto P tinatawag ang poste ng linya p na may paggalang sa isang conic na seksyon, at isang tuwid na linya p- polar point P may kinalaman sa conic section.

Kapag tuldok P lumalapit sa isang conic na seksyon, ang polar ay may posibilidad na kunin ang posisyon ng isang padaplis; kung punto P namamalagi sa conic section, pagkatapos ang polar nito ay tumutugma sa tangent sa conic section sa punto P. Kung punto P na matatagpuan sa loob ng conic section, kung gayon ang polar nito ay maaaring itayo bilang mga sumusunod. Dumaan tayo sa punto P anumang tuwid na linya na bumabagtas sa isang conic na seksyon sa dalawang punto; gumuhit ng mga tangent sa seksyon ng conic sa mga punto ng intersection; ipagpalagay na ang mga tangent na ito ay nagsalubong sa isang punto P isa. Dumaan tayo sa punto P isa pang tuwid na linya na nagsa-intersect sa conic section sa dalawa pang punto; ipagpalagay na ang mga tangent sa conic na seksyon sa mga bagong puntong ito ay nagsalubong sa punto P 2 (Larawan 10). Linya na dumadaan sa mga punto P 1 at P 2 , at mayroong gustong polar p. Kung punto P papalapit sa gitna O central conic section, pagkatapos ay ang polar p gumagalaw palayo sa O. Kapag tuldok P sumasabay sa O, pagkatapos ang polar nito ay magiging infinity, o ideal, diretso sa eroplano.

MGA ESPESYAL NA GUSALI

Ang partikular na interes ng mga astronomo ay ang sumusunod na simpleng pagbuo ng mga punto ng isang ellipse gamit ang isang compass at straightedge. Hayaang dumaan ang isang arbitrary na linya sa isang punto O(Larawan 11, a), bumalandra sa mga punto Q at R dalawang concentric na bilog na nakasentro sa isang punto O at radii b at a, saan b a. Dumaan tayo sa punto Q pahalang na linya, at R- isang patayong linya, at tukuyin ang kanilang intersection point P P kapag diretsong umiikot OQR sa paligid ng tuldok O ay magiging isang ellipse. Iniksyon f sa pagitan ng linya OQR at ang pangunahing axis ay tinatawag na sira-sira anggulo, at ang itinayong ellipse ay maginhawang tinukoy ng mga parametric na equation x = a cos f, y = b kasalanan f. Hindi kasama ang parameter f, nakukuha namin ang equation (3a).

Para sa isang hyperbola, ang konstruksiyon ay halos magkapareho. Arbitrary na linya na dumadaan sa isang punto O, nag-intersect sa isa sa dalawang bilog sa isang punto R(Larawan 11, b). Sa punto R isang bilog at hanggang sa dulong punto S pahalang na diameter ng isa pang bilog, gumuhit kami ng mga tangent na intersecting OS sa punto T at O- sa punto Q. Hayaang dumaan ang patayong linya sa punto T, at isang pahalang na linya na dumadaan sa punto Q, bumalandra sa isang punto P. Tapos yung locus of points P kapag iniikot ang segment O sa paligid O magkakaroon ng hyperbola na ibibigay ng mga parametric equation x = a sec f, y = b tg f, saan f- sira-sira anggulo. Ang mga equation na ito ay nakuha ng French mathematician na si A. Legendre (1752–1833). Sa pamamagitan ng pagbubukod ng parameter f, nakakakuha tayo ng equation (4a).

Ang isang ellipse, gaya ng binanggit ni N. Copernicus (1473-1543), ay maaaring itayo gamit ang isang epicyclic movement. Kung ang isang bilog ay gumulong nang hindi dumudulas sa loob ng isa pang bilog na dalawang beses ang lapad, pagkatapos ay ang bawat punto P, hindi nakahiga sa isang mas maliit na bilog, ngunit naayos na nauugnay dito, ay maglalarawan ng isang ellipse. Kung punto P ay nasa mas maliit na bilog, pagkatapos ang trajectory ng puntong ito ay isang degenerate case ng isang ellipse - ang diameter ng mas malaking bilog. Ang isang mas simpleng pagtatayo ng isang ellipse ay iminungkahi ni Proclus noong ika-5 siglo. Kung matatapos A at B segment ng tuwid na linya AB ng isang ibinigay na haba ng slide kasama ang dalawang nakapirming intersecting na tuwid na linya (halimbawa, kasama ang mga coordinate axes), pagkatapos ay ang bawat panloob na punto P ang segment ay maglalarawan ng isang ellipse; ang Dutch mathematician na si F. van Schoten (1615–1660) ay nagpakita na ang anumang punto sa eroplano ng mga intersecting na linya, na naayos na may kaugnayan sa sliding segment, ay maglalarawan din ng isang ellipse.

B. Pascal (1623–1662) sa edad na 16 ay bumalangkas ng sikat na ngayon na teorama ni Pascal, na nagsasabing: tatlong punto ng intersection ng magkabilang panig ng isang heksagono na nakasulat sa alinmang conic section ay nasa isang tuwid na linya. Nakakuha si Pascal ng higit sa 400 corollaries mula sa theorem na ito.

segment ng linya l.)

13) Binigyan ng paralelogram ABCD. Gumuhit ng isang linya sa pamamagitan ng isang ibinigay na punto P parallel sa isang ibinigay na linya l. (Pahiwatig: Ilapat ang 10 sa gitna ng paralelogram at gamitin ang 8.)

14) Binigyan ng paralelogram; dagdagan ang ibinigay na segment ng n beses. (Pahiwatig: gamitin ang 13 at 11.)

15) Binigyan ng paralelogram; hatiin ang ibinigay na bahagi sa n pantay na bahagi.

16) Binigyan ng nakapirming bilog na may sentro. Gumuhit ng isang linya parallel sa ibinigay na linya sa pamamagitan ng ibinigay na punto. (Pahiwatig: ilapat 13.)

17) Binigyan ng nakapirming bilog na may sentro. Dagdagan at bawasan ang ibinigay na segment ng n beses. (Pahiwatig: ilapat 13.)

18) Binigyan ng nakapirming bilog na may sentro. Gumuhit ng patayo sa isang ibinigay na linya sa pamamagitan ng isang ibinigay na punto. (Pahiwatig: gumamit ng isang parihaba na nakasulat sa isang partikular na bilog, na may dalawang panig na kahanay sa isang linya, at bawasan sa mga naunang problema.)

19) Ang pagrebisa ng mga gawain 1-18, ilista ang mga pangunahing gawain sa pagtatayo na maaari mong gawin sa isang double-sided ruler (dalawang parallel na gilid).

20) Dalawang ibinigay na linya l Ang 1 at l2 ay nagsalubong sa punto P, na nasa labas ng drawing. Bumuo ng isang linya na nag-uugnay sa ibinigay na puntong Q sa puntong P. (Pahiwatig: kumpletuhin ang mga ibinigay na elemento sa paraang makukuha ang pagsasaayos ng planar Desargues theorem, kung saan ang P at Q ay nagiging mga punto ng intersection ng magkatugmang gilid ng dalawang tatsulok.)

21) Gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng dalawang puntos na pinaghihiwalay ng higit sa haba ng ruler. (Pahiwatig: ilapat ang 20.)

22) Ang mga linya l 1 at l2 ay nagsalubong sa puntong P ; tuwid na linya m1 at m2 - sa puntong Q; parehong puntos P at Q ay nasa labas ng drawing. Buuin ang bahaging iyon ng linyang P Q na nasa loob ng guhit. (Indikasyon: upang makakuha ng isang punto ng linya P Q, buuin ang configuration ng Desargues sa paraang ang dalawang gilid ng isang tatsulok ay namamalagi ayon sa pagkakabanggit sa l1 at m1 , dalawang gilid ng isa - ayon sa pagkakabanggit sa l2 at m2 ).

23) Lutasin ang 20 gamit ang teorem ni Pascal (p. 209). (Pahiwatig: kumpletuhin ang configuration ng Pascal, isinasaalang-alang ang l1 at l2 bilang isang pares ng magkasalungat na gilid ng hexagon, at Q bilang intersection point ng isa pang pares ng magkasalungat na gilid.)

*24) Ang bawat isa sa dalawang tuwid na linya na ganap na nakahiga sa labas ng drawing ay binibigyan ng dalawang pares ng mga tuwid na linya na nagsalubong sa labas ng drawing

sa mga punto ng kaukulang linya. Tukuyin ang kanilang punto ng intersection gamit ang dalawang linya na bumalandra sa labas ng drawing.

§ 8. Conic na mga seksyon at quadrics

1. Elementary metric geometry ng mga conic na seksyon. Sa ngayon, nakipag-usap lang kami sa mga punto, linya, eroplano, at figure na binubuo ng isang may hangganang bilang ng mga elementong ito. Kung ang projective geometry ay limitado sa pagsasaalang-alang ng naturang "li-

CONIC SECTIONS AND QUADRICS

natural" na mga numero, ito ay medyo hindi kawili-wili. Ngunit ang isang katotohanan na pinakamahalaga ay ang katotohanan na ang projective geometry ay hindi limitado dito, ngunit kasama rin ang isang malawak na lugar ng mga conic na seksyon at ang kanilang mga multidimensional na generalization. Ang Apollonian metric treatment ng conic sections - ellipses, hyperbolas at parabolas - ay isa sa mga natitirang tagumpay ng sinaunang matematika. Halos hindi ma-overestimate ng isa ang kahalagahan ng mga conic na seksyon para sa parehong dalisay at inilapat na matematika (halimbawa, ang mga orbit ng mga planeta at ang mga orbit ng mga electron sa isang hydrogen atom ay mga conic na seksyon). Hindi kataka-taka na ang klasikal na teorya ng mga conic na seksyon, na nagmula sa sinaunang Greece, ay isang kinakailangang bahagi ng matematikal na edukasyon ngayon. Ngunit ang geometry ng Griyego sa anumang paraan ay walang huling salita. Pagkalipas ng dalawang libong taon, natuklasan ang mga kahanga-hangang projective na katangian ng mga conic section. Sa kabila ng pagiging simple at kagandahan ng mga katangiang ito, ang akademikong pagkawalang-galaw ay hanggang ngayon ay naging hadlang sa kanilang pagtagos sa pagtuturo sa paaralan.

Magsisimula tayo sa pamamagitan ng pag-recall sa mga metric na kahulugan ng conical flows. Mayroong ilang mga naturang kahulugan, at ang kanilang pagkakapareho ay napatunayan sa elementarya na geometry. Ang pinakakaraniwang mga kahulugan ay nauugnay sa foci ng mga kurba. Ang isang ellipse ay tinukoy bilang ang locus ng naturang mga punto P sa eroplano na ang kabuuan ng kanilang mga distansya r1 at r2 mula sa dalawang ibinigay na mga punto F1 at F2 , na tinatawag na foci, ay may pare-parehong halaga. (Kung ang foci ay nag-tutugma, ang kurba ay nagiging bilog.) Ang hyperbola ay tinukoy bilang ang locus ng mga puntos na P sa eroplano na ang ganap na halaga ng pagkakaiba r1 − r2 ay katumbas ng parehong pare-parehong halaga. Ang isang parabola ay tinukoy bilang ang locus ng mga puntos P na ang distansya r mula sa isang naibigay na punto F ay katumbas ng distansya l mula sa isang ibinigay na linya.

Sa analytic geometry, ang mga curve na ito ay kinakatawan ng mga equation ng pangalawang degree sa rectangular coordinates x, y. Madaling patunayan, sa kabaligtaran, na ang anumang kurba na kinakatawan ng isang pangalawang-order na equation

ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0,

mayroong alinman sa isa sa tatlong conic na seksyon na binanggit sa itaas, o isang tuwid na linya, o isang pares ng mga tuwid na linya, o nabawasan sa isang punto, o ay puro haka-haka. Gaya ng ipinapakita sa anumang kurso sa analytic geometry, sapat na ang gumawa ng maayos na napiling pagbabago ng coordinate system para sa patunay.

Ang mga kahulugan sa itaas ng mga conic na seksyon ay mahalagang sukatan, dahil ginagamit nila ang konsepto ng distansya. Ngunit narito ang isa pang kahulugan na nagtatatag ng lugar ng mga conic na seksyon sa projective

kanin. 94. Conic na mga seksyon

PROJECTIVE GEOMETRY. AXIOMATICS

geometry: ang mga conic na seksyon ay hindi hihigit sa mga projection ng isang bilog papunta sa isang eroplano. Kung sisimulan nating i-project ang bilog C mula sa ilang punto O, kung gayon ang mga projecting lines ay bumubuo ng isang walang katapusang double cone, at ang intersection ng cone na ito sa plane p ay ang projection ng bilog C. Ang intersection curve ay isang ellipse o a hyperbola,

depende sa kung ang eroplano ay nag-intersect sa isang "cavity" lamang ng kono o pareho. Ang isang intermediate case ng isang parabola ay posible rin kung ang plane p ay parallel sa isa sa mga projecting na linya sa pamamagitan ng O (Fig. 94).

Ang projecting cone ay hindi kailangang maging "right circular" na may vertex O patayo sa itaas ng gitna ng bilog C: maaari din itong "oblique". Ngunit sa lahat ng mga kaso (tulad ng tatanggapin natin dito nang hindi nagbibigay ng patunay) sa intersection ng isang kono na may isang eroplano, isang kurba ang nakuha, ang equation na kung saan ay nasa ikalawang antas; at vice versa, anumang second-order curve ay maaaring makuha mula sa isang bilog sa pamamagitan ng projection. Para sa kadahilanang ito, ang mga kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod ay kung hindi man ay tinatawag na mga conic na seksyon.

Napansin na natin na kung ang eroplano ay bumalandra sa isang "cavity" lamang ng isang right circular cone, kung gayon ang intersection E ay isang ellipse. Madaling itatag na ang

Natutugunan ng linyang E ang karaniwang focal definition ng isang ellipse, na nabalangkas sa itaas. Narito ang isang napakasimple at eleganteng patunay na ibinigay noong 1822 ng Belgian mathematician na si Dandelin. Isipin natin ang dalawang sphere na S1 at S2 (Larawan 95), na hawakan ang seksyon ng eroplano p sa mga puntong F1 at F2, ayon sa pagkakabanggit, at, bilang karagdagan, hawakan ang kono sa kahabaan ng parallel na bilog na K1 at K2. Ang pagkuha ng isang di-makatwirang punto P ng curve E, iginuhit namin ang mga segment na P F1 at P F2 . Pagkatapos ay isaalang-alang ang segment na P O na kumukonekta sa puntong P sa vertex ng kono O; ang segment na ito ay ganap na namamalagi sa ibabaw ng kono; tukuyin ng Q1 at Q2 ang mga punto ng intersection nito sa mga bilog na K1 at K2 . Dahil ang P F1 at P Q1 ay dalawa

CONIC SECTIONS AND QUADRICS

tangents iginuhit mula sa punto P sa parehong globo S1, pagkatapos

P F1 = P Q1 .

Katulad

P F2 = P Q2 .

Pagdaragdag ng mga pagkakapantay-pantay na ito, nakukuha natin ang:

P F1 + P F2 = P Q1 + P Q2 .

Ngunit ang P Q1 + P Q2 = Q1 Q2 ay ang distansya sa pagitan ng mga parallel na bilog na K1 at K2 sa ibabaw ng kono: hindi ito nakadepende sa pagpili ng puntong P sa kurba E. Kasunod nito, anuman ang puntong P sa E, ang pagkakapantay-pantay

P F1 + P F2 = const,

at ito ang focal definition ng isang ellipse. Kaya ang E ay isang ellipse, at ang F1 at F2 ang foci nito.

Isang ehersisyo. Kung ang eroplano ay nag-intersect sa parehong "cavities" ng kono, kung gayon ang intersection curve ay isang hyperbola. Patunayan ang pahayag na ito sa pamamagitan ng paglalagay ng isang sphere sa bawat isa sa mga "cavities" ng kono.

2. Projective properties ng conic sections. Batay sa mga probisyon na itinatag sa nakaraang talata, pansamantalang tinatanggap namin ngayon ang sumusunod na kahulugan: ang isang conic na seksyon ay isang projection ng isang bilog papunta sa isang eroplano. Ito ang kahulugan ng sakit-

tumutugma sa diwa ng projective geometry sa mas malaking lawak kaysa sa pangkalahatang tinatanggap na focal kanin. 95. Dandelin spheres

ang mga kahulugan, dahil ang mga huli ay ganap na nakabatay sa sukatan na konsepto ng distansya. Ang bagong kahulugan ay hindi rin ganap na malaya mula sa pagkukulang na ito, dahil ang "bilog" ay isa ring sukatan na konsepto. Ngunit sa isang sandali ay darating tayo sa isang purong projective na kahulugan ng mga conic na seksyon.

Dahil tinanggap namin na ang isang conic section ay walang iba kundi isang projection ng isang bilog (sa madaling salita, sa terminong "conic section" ang ibig naming sabihin ay anumang curve na kabilang sa isang projective

	PROJECTIVE GEOMETRY. AXIOMATICS
bilog na klase; tingnan ang p. 206), ito ay kaagad na sumusunod mula rito na
anumang pag-aari ng isang bilog na invariant sa ilalim ng projective
		mga pagbabago,	dapat kaya-
		upang mapabilang sa sinuman
		nic section. Tandaan natin
		ngayon ang sumusunod ay mabuti sa-
		kilala - sukatan - sarili -
		circumference: "nakasulat sa
		circumference anggulo na sumusuporta-


		sa parehong arko, katumbas ng
		tayo sa isa't isa." Sa fig. 96
		anggulo AOB, batay sa du-
		gu ab, independiyente sa posisyon
		punto O sa bilog. banal


		projective na pag-unawa
kanin. 96. Dobleng ugnayan sa circumferential		tiem double ratio, nagpapakilala
kanin. 96. Dobleng ugnayan sa circumferential		wala nang dalawa sa bilog
		puntos A, B, at apat: A, B, C,
D. Apat na linyang a, b, c, d ang nagdurugtong sa mga puntong ito na may puntong O sa
ang mga bilog ay may dobleng ratio (a, b, c, d) depende lamang sa
ang mga anggulo batay sa mga arko CA, CB, DA, DB. Pagkonekta ng A, B, C, D

na may iba pang puntong O0 sa bilog, nakukuha natin ang mga linyang a0 , b0 , c0 , d0 . Ito ay sumusunod mula sa naunang nabanggit na pag-aari ng bilog na ang dalawang quadruples ng mga linya ay "magkakapareho"1. Samakatuwid, magkakaroon sila ng parehong dobleng ratio: (a0 b0 c0 d0 ) = (abcd). I-project natin ang isang bilog sa ilang conic section K: pagkatapos ay sa K makakakuha tayo ng apat na puntos, na muli nating tinutukoy ng A, B, C, D, dalawang puntos O at O0 at dalawang apat na linya a, b, c, d at a0 , b0 , c0 , d0 . Ang dalawang quadruples ng mga linya na ito ay hindi na magkakatugma, dahil, sa pangkalahatan, ang mga anggulo ay hindi napanatili sa panahon ng projection. Ngunit dahil ang dobleng ratio ay hindi nagbabago sa panahon ng disenyo, ang pagkakapantay-pantay (abcd) = (a0 b0 c0 d0 ) ay nananatili pa rin. Kaya't nakarating kami sa sumusunod na pangunahing teorama: kung ang apat na punto ng isang conic na seksyon K, sabihin nating A, B, C, D, ay konektado.

kasama ikalimang punto O ng parehong seksyon sa pamamagitan ng mga linya a, b, c, d, pagkatapos ay ang double ratio (abcd) ay hindi nakasalalay sa posisyon ng O sa curve K (Fig. 97).

Ito ay isang kahanga-hangang resulta. Tulad ng alam na natin, kung ang apat na puntos A, B, C, D ay kinuha sa isang linya, kung gayon ang dobleng ugnayan na binubuo ng mga linya na nagkokonekta sa mga puntong ito sa ikalimang punto O ay hindi nakasalalay sa

1 Ang quadruple a, b, c, d ay itinuturing na kapareho sa isa pang quadruple a 0 , b0 , c0 , d0 , kung ang mga anggulo sa pagitan ng bawat pares ng mga linya sa unang quadruple ay pareho sa magnitude at sa reference na direksyon sa mga anggulo sa pagitan ng mga katumbas na linya ng pangalawang quadruple.

	CONIC SECTIONS AND QUADRICS
pagpili nitong ikalimang punto. Ito ang panimulang posisyon na pinagbabatayan
projective geometry. Nalaman na natin ngayon ang isang katulad na pahayag
Ang kahulugan ay wasto din na may kinalaman sa apat na puntos na kinuha sa ilan
conic section K, ngunit may makabuluhang limitasyon: ang ikalima
Ang punto O ay hindi na malayang makagalaw sa buong eroplano, ngunit maaari
lipat lang sa conic section K.
	Hindi mahirap patunayan ang converse theorem bilang mga sumusunod.
anyo: kung mayroong dalawang puntos O at O0 sa kurba K na mayroon
sa pamamagitan ng ari-arian na anuman ang quadruple ng mga puntos A, B, C, D sa
curve K, mga dobleng ratio na binubuo ng mga tuwid na linya na nag-uugnay
ang mga puntong ito na may O, at mula sa mga linyang nagkokonekta sa mga puntong ito na may O0 ay pantay
sa pagitan ng kanilang mga sarili, pagkatapos ay ang curve K ay isang conic na seksyon (at kahit na pagkatapos, sa pamamagitan ng
direktang teorama, isang dobleng ugnayan na binubuo ng mga tuwid na linya, konektado
ang pagkuha ng apat na ibinigay na puntos na may di-makatwirang puntong O00 sa K, ay magiging
ay may parehong pare-parehong halaga). Pero ang patunay na nandito tayo
hindi kami magdadala.
	Ang mga nasa itaas na projective na katangian ng mga conic na seksyon ay humahantong sa
ang ideya ng isang pangkalahatang pamamaraan para sa pagbuo ng punto ng mga kurba na ito. Magkasundo tayo
sa ilalim ng isang lapis ng mga linya ay nauunawaan ang kabuuan ng lahat ng mga linya ng eroplano,
dumaan sa puntong ito
ku O. Isaalang-alang ang mga lapis ng mga linya,
dumadaan sa dalawa

	O0 , matatagpuan

seksyon K. Sa pagitan ng tuwid


beam O at straight beam

	Ang O0 ay maaaring itakda sa isa't isa
ngunit isang isa-sa-isang sulat

pagbibigay ng direktang a mula sa una
sheaf line a0 mula sa pangalawang all-
cue how a and a0 meet		kanin. 97. Dobleng ugnayan sa isang ellipse
sa isang punto A ng curve K.
Pagkatapos ng anumang apat na beses ng mga linya a,
b, c, d mula sa bigkis O ay magkakaroon ng parehong double ratio bilang co-
ang katumbas na quadruple a0 , b0 , c0 , d0 mula sa bigkis O0 . Ang lahat ay iisa-
isang one-valued na sulat sa pagitan ng dalawang lapis ng mga linya na may
ang huling ari-arian na ito ay tinatawag na projective correspondence.
(Ang kahulugan na ito ay dalawahan sa paggalang sa kahulugan ng isang projective
pagsusulatan sa pagitan ng mga punto sa dalawang linya, tingnan ang pp. 198–198.)
Gamit ang kahulugang ito, maaari na nating sabihin na ang conical
Ang seksyon K ay ang locus ng mga intersection point
kaukulang mga linya mula sa dalawang lapis sa projective
pagsunod. Ang resultang theorem ay nagbibigay ng pundasyon para sa mga sumusunod
na nagbibigay ng puro projective na kahulugan ng conic sections: conic

PROJECTIVE GEOMETRY. AXIOMATICS

ang isang seksyon ay ang locus ng mga intersection point ng magkatugmang linya mula sa dalawang lapis na nasa projective correspondence1. Bagama't nakatutukso na tumagos sa kailaliman ng teorya ng mga conic na seksyon batay sa gayong kahulugan, gayunpaman, napipilitan tayong ikulong ang ating sarili sa ilang mga pangungusap sa paksang ito.

Ang mga pares ng mga bigkis sa projective correspondence ay maaaring makuha tulad ng sumusunod. Iproyekto natin ang lahat ng mga punto P ng tuwid na linya l mula sa dalawang magkaibang sentro O at O00 at magtatag ng isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng mga projecting na lapis sa pamamagitan ng paghahambing sa isa't isa sa mga linyang iyon na bumabagtas sa linya l. Ito ay sapat na para ang mga resultang beam ay nasa projective correspondence. Pagkatapos ay kinuha namin ang beam O00 at inilipat ito "bilang isang solidong bagay" sa isang di-makatwirang posisyon O0 . Na ang bagong bigkis O0 ay nasa projective na sulat sa bigkis O ay medyo halata. Ngunit ang kapansin-pansin ay ang anumang projective na pagsusulatan sa pagitan ng dalawang bigkis ay maaaring

kanin. 98. Sa pagtatayo ng mga projective na lapis ng mga linya

kunin mo yan. (Ang sitwasyong ito ay dalawahan sa ehersisyo 1 sa p. 199.) Kung ang mga bigkis na O at O0 ay magkatugma, isang bilog ang makukuha. Kung ang mga anggulo sa pagitan ng kaukulang mga sinag sa dalawang sinag ay pantay, ngunit sinusukat sa magkasalungat na direksyon, kung gayon ang isang equilateral hyperbola ay nakuha (Larawan 99).

Dapat ding tandaan na ang ipinahiwatig na kahulugan ng isang conic na seksyon ay maaaring, sa partikular, magbigay ng isang tuwid na linya, tulad ng ipinapakita sa Fig. 98. Sa kasong ito, ang linyang OO00 ay tumutugma sa sarili nito, at ang lahat ng mga punto nito ay dapat ituring na kabilang sa nais na lokus. Kaya ang conic na seksyon ay bumababa sa

1 Ang locus na ito, sa ilalim ng ilang mga pangyayari, ay maaaring bumagsak sa isang tuwid na linya; tingnan ang fig. 98.

CONIC SECTIONS AND QUADRICS

isang pares ng mga tuwid na linya: ang sitwasyong ito ay medyo pare-pareho sa katotohanan na may mga seksyon ng isang kono na binubuo ng dalawang tuwid na linya (kung ang cutting plane ay dumaan sa vertex ng kono).

9 8 O 7

kanin. 99. Pagbubuo ng isang bilog at isang equilateral hyperbola gamit ang projective sheaves

Mga ehersisyo. 1) Gumuhit ng mga ellipse, hyperbola at parabola gamit ang projective pencils. (Lubos na hinihikayat ang mambabasa na mag-eksperimento sa ganitong uri ng konstruksiyon. Ito ay lubos na nakakatulong sa pag-unawa sa kakanyahan ng bagay.)

2) Ibinigay ang limang puntos na O, O0 , A, B, C ng ilang conic section K. Hanapin ang mga punto ng intersection D ng isang arbitrary na linya d ng lapis O na may kurba K. (Indikasyon: gumuhit ng mga linya OA, OB, OC hanggang O at pangalanan ang mga ito a, b , c Gumuhit ng mga linya O0 A, O0 B, O0 C hanggang O0 at tawagan silang a0 , b0 , c0 Gumuhit ng linya d hanggang O at bumuo ng linyang d0 ng O0 na (abcd) = ( a0 b0 c0 d0 ) Pagkatapos ang punto ng intersection ng d at d0 ay nabibilang sa curve K.)

3. Conic na mga seksyon bilang "pinasiyahang mga kurba." Ang konsepto ng isang tangent sa isang conic na seksyon ay nabibilang sa projective geometry, dahil ang tangent sa isang conic na seksyon ay isang tuwid na linya na mayroon lamang isang karaniwang punto sa mismong curve, at ito ay isang property na pinapanatili sa panahon ng projection. Ang projective properties ng tangents sa conic section ay batay sa sumusunod na theorem:

Dobleng ratio ng mga intersection point ng apat na fixed tangent sa isang conic section na may arbitrary fifth tangent

kanin. 100. Bilog bilang koleksyon ng mga tangent

PROJECTIVE GEOMETRY. AXIOMATICS

ay hindi nakasalalay sa pagpili ng ikalimang tangent na ito. Ang patunay ng teorama na ito ay napaka

lamang. Dahil ang anumang conic na seksyon ay isang projection ng isang bilog, at dahil ang theorem ay tumatalakay lamang sa mga naturang katangian na invariant sa ilalim ng projection, kung gayon upang mapatunayan ang theorem sa pangkalahatang kaso, sapat na upang patunayan ito para sa partikular na kaso ng bilog.

Para sa parehong partikular na kaso, ang teorama ay pinatunayan sa pamamagitan ng elementarya na geometry. Hayaang ang P , Q, R, S ay apat na puntos sa bilog na K; a, b, c, d ay mga tangent sa mga puntong ito; T - ilang iba pang punto sa bilog, o - tangent sa loob nito; hayaan, higit pa, A, B, C, D -

mga intersection point ng tangent o na may tangents a, b, c, d. Kung M-

ang gitna ng bilog, pagkatapos, malinaw naman, T MA = 1 2 T MP , at ang huli

Ang expression ay kumakatawan sa anggulo na nakasulat sa K, batay sa arko T P . Sa parehong paraan, ang T MB ay kumakatawan sa isang anggulo na nakasulat sa K at batay sa arko T Q. Samakatuwid,

AMB = 1 2 ^ PQ,

kung saan ang 1 2 ^ P Q ay nagsasaad ng anggulo na nakasulat sa K at batay sa

gu P Q. Mula dito ay malinaw na ang A, B, C, D ay inaasahang mula sa M ng apat na tuwid na linya, ang mga anggulo sa pagitan ng kung saan ay may mga halaga na nakasalalay lamang sa posisyon ng mga puntos na P , Q, R, S Ho kung gayon ang dobleng ratio (ABCD) ay nakasalalay lamang sa apat na tangent a, b, c, d, ngunit hindi mula sa tangent o. Ito mismo ang kailangang mai-install.

kanin. 101. Pag-aari ng isang padaplis sa isang bilog

CONIC SECTIONS AND QUADRICS

Sa nakaraang subsection, nagkaroon kami ng pagkakataon na i-verify na ang isang conic na seksyon ay maaaring itayo "sa pamamagitan ng mga puntos" kung sisimulan naming markahan ang mga punto ng intersection ng magkatugmang linya ng dalawang lapis kung saan itinatag ang isang projective na sulat. Ang theorem na pinatunayan lamang ay nagbibigay-daan sa amin na sabihin ang dalawahang teorama. Dalhin ang dalawang tangent a at a0 sa conic section K. Hayaang magsalubong ang ikatlong tangent t a at a0 sa mga puntong A at A0 ayon sa pagkakabanggit. Kung ang t ay gumagalaw sa kurba, magkakaroon ng sulat

A ←→ A0

sa pagitan ng mga puntos a at mga puntos a0. Ang pagsusulatan na ito ay magiging projective, dahil sa pinatunayan lamang ng teorama, ang isang arbitrary na quadruple ng mga puntos sa isang ay kinakailangang magkaroon ng parehong double ratio bilang katumbas na quadruple ng mga puntos sa a0 . Ito ay sumusunod mula dito na ang conic section K ay di-

kanin. 102. Projective na mga hilera ng mga punto sa dalawang padaplis sa isang ellipse

tinitingnan bilang "ang kabuuan ng mga tangents nito", "binubuo" ng mga linyang nag-uugnay sa magkatugmang mga punto ng dalawang puntong serye1 sa a at sa a0 na nasa projective correspondence. Ang sitwasyong ito ay nagbibigay-daan sa amin na magpakilala ng bagong kahulugan ng mga conic na seksyon, sa pagkakataong ito ay itinuturing na "pinamunuan na mga kurba." Ihambing natin ang kahulugang ito sa nakaraang projective na kahulugan ng isang conic na seksyon.

1 Ang isang koleksyon ng mga puntos sa isang linya ay tinatawag na isang serye ng mga punto. Ang konseptong ito ay dalawahan na may paggalang sa isang lapis ng mga linya.

PROJECTIVE GEOMETRY. AXIOMATICS

niya, na ibinigay sa nakaraang talata:

Ang isang conic na seksyon, na itinuturing bilang isang koleksyon ng mga puntos, ay binubuo ng mga intersection point ng magkatugmang linya sa dalawang projective

Ang isang conic na seksyon, na itinuturing bilang isang "koleksyon ng mga linya", ay binubuo ng mga linyang nag-uugnay sa magkatugmang mga punto sa dalawang projective

Kung isasaalang-alang natin ang tangent sa conic section sa ilan sa mga punto nito bilang dual element na may paggalang sa point mismo at, bilang karagdagan, sumasang-ayon tayo na, sa batayan ng duality, inihahambing natin ang "pinamumunuan na kurba" (nabuo ng isang hanay ng mga tangents) na may "point curve" (nabuo ng isang hanay ng mga puntos), kung gayon ang naunang mga pormulasyon ay magiging hindi nagkakamali mula sa punto ng view ng prinsipyo ng duality. Kapag "nagsasalin" ng isang pagbabalangkas sa isa pa, kasama ang pagpapalit ng lahat ng mga konsepto ng kaukulang dalawahang konsepto, ang "conic section" ay nananatiling hindi nagbabago; ngunit sa isang kaso ito ay naisip bilang isang "may tuldok na kurba" na tinukoy ng mga punto nito, sa isa naman bilang isang "pinasiyahan na kurba" na tinukoy ng mga tangent nito.

Ang isang mahalagang corollary ay sumusunod mula sa nabanggit: ang prinsipyo ng duality, na orihinal na itinatag sa projective geometry ng eroplano para lamang sa mga punto at linya, ay lumalabas na naaangkop din sa mga conic na seksyon. Kung, sa pagbabalangkas ng anumang theorem tungkol sa mga punto, linya, at conic na mga seksyon, papalitan natin ang bawat elemento ng dalawahan nito (nang hindi nawawala ang katotohanan na ang isang punto ng isang conic na seksyon ay dapat na nauugnay sa isang tangent sa conic na seksyon na ito),

kung gayon ang resulta ay isang wastong teorama din. Makikilala natin ang isang halimbawa ng pagpapatakbo ng prinsipyong ito sa talata 4 ng talatang ito.

Ang pagtatayo ng mga conic na seksyon, na nauunawaan bilang "pinasiyahan na mga kurba", ay ipinapakita sa fig. 103–104. Sa partikular, kung sa dalawang projective point series ang mga punto sa infinity ay tumutugma sa isa't isa (ito ay tiyak na mangyayari kung ang point series ay magkatugma o magkatulad 1

PROJECTIVE GEOMETRY. AXIOMATICS

Ang prinsipyo ng duality bilang inilapat sa conic na mga seksyon ay ang relasyon sa pagitan ng mga pangkalahatang theorems ng Pascal at Brianchon. Ang una sa kanila ay natuklasan noong 1640, ang pangalawa - noong 1806. At, gayunpaman, ang bawat isa sa kanila ay isang agarang kahihinatnan ng isa pa, dahil ang anumang teorama, ang pagbabalangkas na kung saan ay nagbabanggit lamang ng mga conic na seksyon, mga linya at mga punto, ay tiyak na nananatiling wasto. kapag binago ang pormulasyon ng prinsipyo ng duality.

Ang mga theorems na pinatunayan sa § 5 sa ilalim ng parehong mga pangalan ay "degenerate cases" ng mga sumusunod na mas pangkalahatang theorems.

Ang teorama ni Pascal. Magsalubong ang magkasalungat na gilid ng hexagon na nakasulat sa isang conic section sa tatlong collinear point.

kanin. 105. Pangkalahatang pagsasaayos ni Pascal. Dalawang kaso ang ipinapakita, isa para sa hexagon 1, 2, 3, 4, 5, 6, ang isa para sa hexagon 1, 3, 5, 2, 6, 4

Ang teorama ni Brianchon. Tatlong diagonal na nag-uugnay sa magkasalungat na mga vertices ng isang hexagon na naka-circumscribe sa isang conic na seksyon ay magkasabay.

Ang parehong theorems ay may malinaw na projective na nilalaman. Ang kanilang duality ay kapansin-pansin kapag binabalangkas tulad ng sumusunod:

Ang teorama ni Pascal. Ibinigay ang anim na puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6 sa isang conic section. Ikonekta ang sunud-sunod na mga punto gamit ang mga tuwid na linya (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). Pansinin ang mga intersection point ng mga linya (1, 2) at (4, 5), (2, 3) at (5, 6), (3, 4) at (6, 1). Ang tatlong puntong ito ay nasa parehong linya.

CONIC SECTIONS AND QUADRICS

Ang teorama ni Brianchon. Ibinigay ang anim na tangents 1, 2, 3, 4, 5, 6 sa conic section. Ang sunud-sunod na tangent ay nagsalubong sa mga punto (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). Gumuhit tayo ng mga tuwid na linya na nag-uugnay sa mga puntos (1, 2) at (4, 5), (2, 3) at (5, 6), (3, 4) at (6, 1). Ang tatlong linyang ito ay dumadaan sa parehong punto.

Ang mga patunay ay isinasagawa sa tulong ng isang espesyalisasyon ng parehong uri tulad ng sa mga kaso ng pagkabulok na isinasaalang-alang nang mas maaga. Patunayan natin ang theorem ni Pascal. Hayaang ang A, B, C, D, E, F ay ang mga vertices ng isang hexagon na nakasulat sa isang conic section K. Sa pamamagitan ng pag-project posible na gawing magkatulad ang mga linyang AB at ED, F A at CD (at pagkatapos ay makuha natin ang configuration na ipinapakita sa Fig. 107, para sa kaginhawahan, ang hexagon sa pagguhit ay kinuha bilang self-intersecting, kahit na hindi na kailangan para dito.) Kailangan na nating patunayan ang isang bagay lamang: na ang linya CB ay parallel sa linya F E; sa madaling salita, na ang magkabilang panig ay nagsalubong sa linya sa kawalang-hanggan. Upang patunayan ito, isaalang-alang ang isang quadruple ng mga puntos F , A, B, D, na, tulad ng alam natin, ay nagpapanatili ng parehong dobleng ratio, sabihin, k, kapag na-proyekto mula sa anumang punto K. Mag-project tayo mula sa punto C hanggang sa linyang AF ; nakakakuha tayo ng apat na beses ng mga puntos F , A, Y , ∞, at

k = (F , A, Y , ∞) = Y Y F A

(Tingnan ang pahina 205).

I-proyekto natin ngayon mula sa punto E papunta sa linyang BA; nakukuha natin

	PROJECTIVE GEOMETRY. AXIOMATICS

kanin. 108. Konstruksyon ng mga linyang nagsasalubong sa tatlong ibinigay na linya sa pangkalahatang posisyon

apat na puntos X, A, B, ∞, at

k = (X, A, B, ∞) = BX BA .

BX BA=Y YF A,

na nangangahulugan lamang na Y B k F X. Ang patunay ng theorem ni Pascal ay kumpleto na.

Ang teorama ni Brianchon, tulad ng itinuro, ay sumusunod mula sa teorama ni Pascal sa pamamagitan ng prinsipyo ng duality. Ngunit maaari din itong patunayan nang direkta, sa pamamagitan ng pangangatwiran na dalawahan na may paggalang sa kakabigay lamang. Ito ay isang mahusay na pagsasanay para sa mambabasa na isakatuparan ang pangangatwiran na ito nang detalyado.

5. Hyperboloid. Sa tatlong-dimensional na espasyo nakatagpo namin ang tinatawag na quadrics (mga ibabaw ng pangalawang pagkakasunud-sunod), na sa kasong ito ay gumaganap ng parehong papel bilang "mga conic na seksyon" (mga kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod) sa eroplano.

Ang pinakasimple sa mga ito ay ang globo at ang ellipsoid. Ang mga quadric ay mas magkakaibang kaysa sa mga conic na seksyon, at ang pag-aaral ng mga ito ay nagsasangkot ng higit pang mga kahirapan. Isasaalang-alang natin nang maikli at walang patunay ang isa sa mga pinaka-kagiliw-giliw na ibabaw ng ganitong uri: ang tinatawag na konektado (o isang sheet) hyperboloid.

Ang ibabaw na ito ay maaaring makuha sa sumusunod na paraan. Kumuha sa espasyo ng tatlong linya l1 , l2 , l3 sa pangkalahatang posisyon. Ang huli ay nangangahulugan na walang dalawa sa kanila ang magkatulad at lahat ng tatlo

kanin. 109. Hyperboloid

§ 8 CONIC SECTIONS AND QUADRICS 239

ay hindi parallel sa parehong eroplano. Maaaring mukhang nakakagulat na mayroong isang walang katapusang bilang ng mga linya sa espasyo, na ang bawat isa ay nagsa-intersect sa lahat ng tatlong ibinigay na linya. Siguraduhin natin ito.

Hayaan ang p ay isang arbitrary na eroplano na naglalaman ng linya l1 ; ang eroplanong ito ay nagsa-intersect sa mga linyang l2 at l3 sa dalawang punto, at ang linyang m sa dalawang puntong ito ay malinaw na bumalandra sa lahat ng mga linya l1 , l2 at l3 . Kapag ang eroplanong p ay umiikot sa linyang l1, babaguhin ng linyang m ang posisyon nito, ngunit sa lahat ng oras ay patuloy na bumalandra sa tatlong ibinigay na linya. Kapag gumagalaw ang m, lumilitaw ang isang ibabaw na walang katapusan na napupunta sa kawalang-hanggan, na tinatawag na isang one-sheet na hyperboloid. Naglalaman ito ng walang katapusang hanay ng mga linya ng uri m. Anumang tatlong ganoong linya, sabihin m1 , m2 at m3 , ay nasa pangkalahatang posisyon din, at ang mga linyang iyon sa espasyo na magsalubong sa tatlong linya m1 , m2 at m3 sa parehong oras,

ay hihiga din sa itinuturing na ibabaw. Ito ay nagpapahiwatig ng pangunahing katangian ng hyperboloid: ito ay binubuo ng dalawang magkaibang pamilya ng mga tuwid na linya; ang bawat tatlong linya ng parehong pamilya ay nasa pangkalahatang posisyon, at bawat linya ng isang pamilya ay nagsasalubong sa lahat ng linya ng isa pa.

Ang isang mahalagang projective property ng isang hyperboloid ay ang dobleng ratio ng apat na puntos kung saan ang isang ibinigay na quadruple ng mga linya ng isang pamilya ay nagsalubong sa ilang linya ng pangalawang pamilya ay hindi nakadepende sa pagpili ng huli na ito. Ang pahayag na ito ay sumusunod sa paraan ng pagbuo ng hyperboloid gamit ang umiikot na eroplano, at ang mambabasa ay maaaring kumbinsido sa bisa nito at sa kalidad ng ehersisyo.

Napansin namin ang isa pang kapansin-pansin na pag-aari ng isang hyperboloid: kahit na naglalaman ito ng dalawang pamilya ng mga tuwid na linya, ang pagkakaroon ng mga linyang ito ay hindi pumipigil sa ibabaw mula sa baluktot - hindi ito ginagawang matibay. Kung gagawa tayo ng isang modelo ng hyperboloid mula sa mga rod na maaaring malayang umiikot sa paligid ng mga punto ng mutual intersection, kung gayon ang ibabaw sa kabuuan

Institusyong Pang-edukasyon sa Munisipyo

Secondary School No. 4

Mga seksyon ng conic

Natupad

Spiridonov Anton

mag-aaral sa ika-11 baitang

sinuri

Korobeynikova A. T.

Tobolsk - 2006

Panimula

Ang konsepto ng mga conic na seksyon

Mga uri ng mga conic na seksyon

Mag-aral

Konstruksyon ng mga conic na seksyon

Analitikal na diskarte

Aplikasyon

Apendise

Bibliograpiya

Panimula.

Layunin: pag-aralan ang mga conic section.

Mga Layunin: upang matutong makilala ang mga uri ng mga conic na seksyon, bumuo ng mga mapang-uyam na seksyon at maglapat ng isang analytical na diskarte.

Ang mga seksyon ng conic ay unang iminungkahi ng sinaunang Greek geometer na si Menechmus, na nabuhay noong ika-4 na siglo BC, kapag nilutas ang problema ng pagdodoble ng isang kubo. Ang gawaing ito ay nauugnay sa sumusunod na alamat.

Isang araw, sumiklab ang salot sa isla ng Delos. Ang mga naninirahan sa isla ay bumaling sa orakulo, na nagsabi na upang matigil ang epidemya, kinakailangan na doblehin ang gintong altar, na may hugis ng isang kubo at matatagpuan sa templo ng Apollo sa Athens. Ang mga taga-isla ay gumawa ng isang bagong altar, na ang mga tadyang nito ay dalawang beses na mas malaki kaysa sa mga tadyang ng una. Gayunpaman, hindi huminto ang salot. Narinig ng mga galit na residente mula sa orakulo na hindi nila naiintindihan ang kanyang reseta - kinakailangan na doblehin hindi ang mga gilid ng kubo, ngunit ang dami nito, iyon ay, upang madagdagan ang mga gilid ng kubo ng

minsan. Sa mga tuntunin ng geometric algebra, na ginamit ng mga Greek mathematician, ang ibig sabihin ng problema ay: para sa isang partikular na segment a, hanapin ang mga segment na x at y na ang a: x = x: y = y: 2a. Kung gayon ang haba ng x ay magiging .

Ang ibinigay na proporsyon ay maaaring ituring bilang isang sistema ng mga equation:

Ngunit ang x 2 =ay at y 2 =2ax ay ang mga equation ng mga parabola. Samakatuwid, upang malutas ang problema, kinakailangan upang mahanap ang mga punto ng kanilang intersection. Kung isasaalang-alang natin na ang equation ng hyperbola xy=2a 2 ay maaari ding makuha mula sa system, kung gayon ang parehong problema ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paghahanap ng mga punto ng intersection ng parabola sa hyperbola.

Upang makakuha ng mga conic section, tumawid si Menechmus sa isang cone - acute-angled, rectangular o obtuse - na may isang eroplanong patayo sa isa sa mga generator. Para sa isang acute-angled cone, ang seksyon sa pamamagitan ng isang plane na patayo sa generatrix nito ay may hugis ng isang ellipse. Ang isang obtuse cone ay nagbibigay ng hyperbola, habang ang isang rectangular cone ay nagbibigay ng parabola.

Dito nagmula ang mga pangalan ng mga kurba, na ipinakilala ni Apollonius ng Perga, na nabuhay noong ika-3 siglo BC: ellipse (έλλείψίς), na nangangahulugang isang kapintasan, isang kakulangan (ng isang anggulo ng kono sa isang tuwid na linya); hyperbole (ύπέρβωλη) - pagmamalabis, preponderance (ang anggulo ng isang kono sa isang tuwid na linya); parabola (παραβολη) - approximation, pagkakapantay-pantay (cone angle to right angle). Nang maglaon, napansin ng mga Greek na ang lahat ng tatlong kurba ay maaaring makuha sa parehong kono sa pamamagitan ng pagbabago ng slope ng cutting plane. Sa kasong ito, ang isa ay dapat kumuha ng isang kono na binubuo ng dalawang cavity at isipin na sila ay umaabot sa infinity (Larawan 1).

Kung gumuhit tayo ng isang seksyon ng isang pabilog na kono na patayo sa axis nito, at pagkatapos ay paikutin ang cutting plane, na iniiwan ang isang punto ng intersection nito sa kono na hindi gumagalaw, makikita natin kung paano unang iunat ang bilog, na magiging isang ellipse. Pagkatapos ang pangalawang vertex ng ellipse ay pupunta sa infinity, at sa halip na isang ellipse isang parabola ang lalabas, at pagkatapos ay puputulin ng eroplano ang pangalawang lukab ng kono at isang hyperbola ang lalabas.

Ang konsepto ng mga conic na seksyon.

Ang mga seksyon ng conic ay mga kurba ng eroplano na nakukuha sa pamamagitan ng pag-intersecting ng isang kanang pabilog na kono sa isang eroplano na hindi dumadaan sa tuktok nito. Mula sa punto ng view ng analytical geometry, ang isang conic na seksyon ay ang locus ng mga punto na nakakatugon sa isang pangalawang-order na equation. Maliban sa mga degenerate na kaso na tinalakay sa huling seksyon, ang mga conic na seksyon ay mga ellipse, hyperbola, o parabola (Fig. 2).

Kapag ang isang right-angled triangle ay umiikot sa isa sa mga binti, ang hypotenuse na may mga extension nito ay naglalarawan ng conical surface, na tinatawag na surface ng right circular cone, na maaaring ituring bilang isang tuluy-tuloy na serye ng mga linya na dumadaan sa vertex at tinatawag na generatrices. at lahat ng generator ay umaasa sa parehong bilog, na tinatawag na producer. Ang bawat isa sa mga generator ay isang hypotenuse ng umiikot na tatsulok (sa kilalang posisyon nito), na nagpatuloy sa magkabilang direksyon hanggang sa infinity. Kaya, ang bawat generatrix ay umaabot sa magkabilang panig ng vertex, bilang isang resulta kung saan ang ibabaw ay mayroon ding dalawang cavity: sila ay nagtatagpo sa isang punto sa isang karaniwang vertex. Kung ang naturang ibabaw ay tinawid ng isang eroplano, kung gayon ang isang curve ay makukuha sa seksyon, na tinatawag na isang conic section. Ito ay maaaring may tatlong uri:

1) kung ang isang eroplano ay bumalandra sa isang conical na ibabaw kasama ang lahat ng mga generator, pagkatapos ay isang lukab lamang ang pinutol at isang saradong kurba ang nakuha sa seksyon, na tinatawag na isang ellipse;

2) kung ang cutting plane ay intersects parehong cavities, pagkatapos ay isang curve ay nakuha na may dalawang sangay at ay tinatawag na isang hyperbola;

3) kung ang cutting plane ay parallel sa isa sa mga generator, pagkatapos ay isang parabola ang nakuha.

Kung ang cutting plane ay kahanay sa pagbuo ng bilog, kung gayon ang isang bilog ay nakuha, na maaaring ituring bilang isang espesyal na kaso ng isang ellipse. Ang cutting plane ay maaaring mag-intersect sa conical surface lamang sa isang vertex, pagkatapos ay isang punto ay nakuha sa seksyon, bilang isang espesyal na kaso ng isang ellipse.

Kung ang parehong mga cavity ay intersected ng isang eroplano na dumadaan sa vertex, pagkatapos ay isang pares ng intersecting na linya ay nakuha sa seksyon, na itinuturing bilang isang espesyal na kaso ng isang hyperbola.

Kung ang vertex ay nasa infinity, kung gayon ang conical na ibabaw ay nagiging isang cylindrical, at ang seksyon nito sa pamamagitan ng isang eroplano na kahanay sa mga generator ay nagbibigay ng isang pares ng parallel na linya bilang isang espesyal na kaso ng isang parabola. Ang mga conic na seksyon ay ipinahayag sa pamamagitan ng 2nd order equation, ang pangkalahatang anyo nito ay

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

at tinatawag na 2nd order curves.

Mga uri ng mga conic na seksyon.

Ang mga conic na seksyon ay maaaring may tatlong uri:

1) ang cutting plane ay intersects lahat ng generatrixes ng kono sa mga punto ng isa sa kanyang cavity; ang linya ng intersection ay isang closed oval curve - isang ellipse; ang isang bilog bilang isang espesyal na kaso ng isang ellipse ay nakuha kapag ang cutting plane ay patayo sa axis ng kono.

2) Ang cutting plane ay parallel sa isa sa mga tangent plane ng kono; sa seksyon, ang isang bukas na curve na papunta sa infinity ay nakuha - isang parabola, na nakahiga nang buo sa isang lukab.

3) Ang cutting plane ay intersects parehong cavities ng kono; ang linya ng intersection - ang hyperbola - ay binubuo ng dalawang magkatulad na hindi saradong bahagi (mga sanga ng hyperbola) na umaabot hanggang sa kawalang-hanggan, na nakahiga sa magkabilang mga lukab ng kono.

Mag-aral.

Sa mga kaso kung saan ang conic section ay may sentro ng simetriya (gitna), ibig sabihin, ay isang ellipse o hyperbola, ang equation nito ay maaaring bawasan (sa pamamagitan ng paglipat ng pinanggalingan sa gitna) sa anyo:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Ang mga karagdagang pag-aaral ng naturang (tinatawag na sentral) na mga conic na seksyon ay nagpapakita na ang kanilang mga equation ay maaaring bawasan sa isang mas simpleng anyo:

Ah 2 + Wu 2 = C,

kung pipiliin mo ang mga pangunahing direksyon para sa mga direksyon ng coordinate axes - ang mga direksyon ng pangunahing axes (axes of symmetry) ng conic sections. Kung ang A at B ay may parehong tanda (nagtutugma sa tanda ng C), kung gayon ang equation ay tumutukoy sa isang ellipse; kung ang A at B ay may magkaibang mga palatandaan, kung gayon ito ay isang hyperbole.

Ang equation ng isang parabola ay hindi maaaring bawasan sa anyo (Ax 2 + Vu 2 \u003d C). Sa isang naaangkop na pagpipilian ng mga coordinate axes (isang coordinate axis ay ang tanging axis ng symmetry ng parabola, ang isa ay isang tuwid na linya na patayo dito, na dumadaan sa vertex ng parabola), ang equation nito ay maaaring mabawasan sa anyo:

KONSTRUKSYON NG CONIC SECTIONS.

Ang mga kahulugang ito ng mga conic na seksyon bilang mga kurba ng eroplano ay nagmumungkahi din ng isang paraan upang gawin ang mga ito gamit ang isang nakaunat na sinulid.

Ellipse. Kung ang mga dulo ng isang thread ng isang naibigay na haba ay naayos sa mga punto F 1 at F 2 (Larawan 3), kung gayon ang curve na inilarawan sa dulo ng isang lapis na dumudulas sa isang mahigpit na nakaunat na sinulid ay may hugis ng isang ellipse. Ang mga puntong F 1 at F 2 ay tinatawag na foci ng ellipse, at ang mga segment na V 1 V 2 at v 1 v 2 sa pagitan ng mga intersection point ng ellipse na may mga coordinate axes ay tinatawag na major at minor axes. Kung ang mga puntos na F 1 at F 2 ay nag-tutugma, kung gayon ang ellipse ay nagiging bilog (Larawan 3).

Hyperbola. Kapag gumagawa ng hyperbola, ang point P, ang dulo ng isang lapis, ay naayos sa isang thread na malayang dumudulas kasama ang mga peg na naka-install sa mga punto F 1 at F 2, tulad ng ipinapakita sa Figure 4, at ang mga distansya ay pinili upang ang segment na PF Ang 2 ay mas mahaba kaysa sa segment na PF 1 sa pamamagitan ng isang nakapirming halaga na mas mababa sa distansya F 1 F 2 . Sa kasong ito, ang isang dulo ng thread ay dumadaan sa ilalim ng peg F 1 at ang magkabilang dulo ng thread ay dumadaan sa peg F 2 . (Ang dulo ng lapis ay hindi dapat dumulas sa sinulid, kaya dapat itong ayusin sa pamamagitan ng paggawa ng isang maliit na loop sa sinulid at paglalagay ng dulo dito.) Gumuhit kami ng isang sangay ng hyperbola (PV 1 Q), tinitiyak na ang sinulid ay nananatiling mahigpit sa lahat ng oras, at, hinihila ang magkabilang dulo ng sinulid pababa sa kabila ng puntong F 2, at kapag ang puntong P ay nasa ibaba ng segment na F 1 F 2, hinahawakan ang sinulid sa magkabilang dulo at maingat na ilalabas ito. Gumuhit kami ng pangalawang sangay ng hyperbola sa pamamagitan ng pagpapalit muna ng mga pin F 1 at F 2 (Larawan 4).

CONIC SECTIONS
mga kurba ng eroplano, na nakuha sa pamamagitan ng pagtawid sa isang kanang pabilog na kono na may isang eroplano na hindi dumaan sa tuktok nito (Larawan 1). Mula sa punto ng view ng analytical geometry, ang isang conic na seksyon ay ang locus ng mga punto na nakakatugon sa isang pangalawang-order na equation. Maliban sa mga degenerate na kaso na tinalakay sa huling seksyon, ang mga conic na seksyon ay mga ellipse, hyperbola, o parabola.

Ang mga conic na seksyon ay madalas na matatagpuan sa kalikasan at teknolohiya. Halimbawa, ang mga orbit ng mga planeta na umiikot sa Araw ay mga ellipse. Ang bilog ay isang espesyal na kaso ng isang ellipse, kung saan ang major axis ay katumbas ng minor. Ang isang parabolic mirror ay may pag-aari na ang lahat ng mga sinag ng insidente na kahanay sa axis nito ay nagtatagpo sa isang punto (focus). Ginagamit ito sa karamihan ng mga sumasalamin na teleskopyo gamit ang mga parabolic mirror, gayundin sa mga radar antenna at mga espesyal na mikropono na may mga parabolic reflector. Ang isang sinag ng parallel ray ay nagmumula sa isang pinagmumulan ng liwanag na nakalagay sa pokus ng isang parabolic reflector. Samakatuwid, ang mga parabolic na salamin ay ginagamit sa makapangyarihang mga spotlight at mga headlight ng kotse. Ang hyperbola ay isang graph ng maraming mahahalagang pisikal na relasyon, tulad ng batas ni Boyle (na nag-uugnay sa presyon at dami ng ideal na gas) at batas ng Ohm, na tumutukoy sa electric current bilang isang function ng resistensya sa pare-parehong boltahe.
Tingnan din MAKALANGIT NA MEKANIKA.
MAAGANG KASAYSAYAN
Ang nakatuklas ng mga conic section ay sinasabing si Menechmus (4th century BC), isang estudyante ni Plato at guro ni Alexander the Great. Gumamit si Menechmus ng parabola at isosceles hyperbola upang malutas ang problema ng pagdodoble ng isang cube. Mga Treatises sa conic section na isinulat nina Aristaeus at Euclid sa pagtatapos ng ika-4 na siglo. BC, ay nawala, ngunit ang mga materyales mula sa kanila ay kasama sa sikat na Conic Sections ng Apollonius ng Perga (c. 260-170 BC), na nakaligtas hanggang sa ating panahon. Inabandona ni Apollonius ang pangangailangan na ang secant plane ng generatrix ng cone ay patayo at, sa pamamagitan ng pag-iiba-iba ng anggulo ng pagkahilig nito, nakuha ang lahat ng conic section mula sa isang circular cone, tuwid o hilig. Utang din namin kay Apollonius ang mga modernong pangalan ng mga kurba - ellipse, parabola at hyperbola. Sa kanyang mga konstruksyon, gumamit si Apollonius ng dalawang-sheet na pabilog na kono (tulad ng sa Fig. 1), kaya sa unang pagkakataon ay naging malinaw na ang hyperbola ay isang curve na may dalawang sanga. Mula noong panahon ni Apollonius, ang mga conic na seksyon ay nahahati sa tatlong uri, depende sa pagkahilig ng cutting plane sa generatrix ng cone. Ang isang ellipse (Larawan 1, a) ay nabuo kapag ang cutting plane ay nagsalubong sa lahat ng mga generator ng kono sa mga punto ng isa sa kanyang lukab; parabola (Larawan 1, b) - kapag ang cutting plane ay parallel sa isa sa mga tangent na eroplano ng kono; hyperbola (Larawan 1, c) - kapag ang cutting plane ay nagsalubong sa parehong mga cavity ng kono.
KONSTRUKSYON NG CONIC SECTIONS
Habang pinag-aaralan ang mga conic section bilang intersection ng mga eroplano at cone, itinuturing din ng mga sinaunang Greek mathematician ang mga ito bilang mga trajectory ng mga punto sa isang eroplano. Napag-alaman na ang isang ellipse ay maaaring tukuyin bilang ang locus ng mga puntos, ang kabuuan ng mga distansya mula sa kung saan sa dalawang ibinigay na mga punto ay pare-pareho; parabola - bilang isang locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa isang naibigay na punto at isang naibigay na linya; hyperbola - bilang isang locus ng mga puntos, ang pagkakaiba sa mga distansya mula sa kung saan sa dalawang ibinigay na mga punto ay pare-pareho. Ang mga kahulugang ito ng mga conic na seksyon bilang mga kurba ng eroplano ay nagmumungkahi din ng isang paraan upang gawin ang mga ito gamit ang isang nakaunat na sinulid.
Ellipse. Kung ang mga dulo ng isang thread ng isang naibigay na haba ay naayos sa mga punto F1 at F2 (Fig. 2), pagkatapos ay ang curve na inilarawan sa pamamagitan ng dulo ng isang lapis na dumudulas kasama ang isang mahigpit na nakaunat na thread ay may hugis ng isang ellipse. Ang mga puntong F1 at F2 ay tinatawag na foci ng ellipse, at ang mga segment na V1V2 at v1v2 sa pagitan ng mga intersection point ng ellipse na may mga coordinate axes ay tinatawag na major at minor axes. Kung ang mga puntos na F1 at F2 ay nag-tutugma, kung gayon ang ellipse ay nagiging bilog.

Hyperbola. Kapag gumagawa ng hyperbola, ang point P, ang punto ng isang lapis, ay naayos sa isang thread na malayang dumudulas kasama ang mga peg na naka-install sa mga puntong F1 at F2, tulad ng ipinapakita sa Fig. 3a. Ang mga distansya ay pinili upang ang segment na PF2 ay mas mahaba kaysa sa segment na PF1 sa pamamagitan ng isang nakapirming halaga, na mas mababa kaysa sa distansya F1F2. Sa kasong ito, ang isang dulo ng thread ay dumadaan sa ilalim ng F1 peg at ang magkabilang dulo ng thread ay pumasa sa F2 peg. (Ang dulo ng lapis ay hindi dapat dumulas sa sinulid, kaya dapat itong i-secure sa pamamagitan ng paggawa ng isang maliit na loop sa thread at paglalagay ng dulo dito.) Gumuhit kami ng isang sangay ng hyperbola (PV1Q), tinitiyak na ang thread nananatiling mahigpit sa lahat ng oras, at hinihila ang magkabilang dulo na sinulid pababa sa puntong F2, at kapag ang puntong P ay nasa ibaba ng segment na F1F2, hinahawakan ang sinulid sa magkabilang dulo at maingat na binabawasan (i.e. ilalabas) ito. Gumuhit kami ng pangalawang sangay ng hyperbola (P "V2Q"), na dati nang binago ang mga tungkulin ng mga peg F1 at F2.

Ang mga sanga ng hyperbola ay lumalapit sa dalawang tuwid na linya na nagsalubong sa pagitan ng mga sanga. Ang mga linyang ito, na tinatawag na asymptotes ng hyperbola, ay itinayo tulad ng ipinapakita sa Fig. 3b. Ang mga slope ng mga linyang ito ay katumbas ng ± (v1v2)/(V1V2), kung saan ang v1v2 ay ang segment ng bisector ng anggulo sa pagitan ng mga asymptotes, patayo sa segment na F1F2; ang segment na v1v2 ay tinatawag na conjugate axis ng hyperbola, at ang segment na V1V2 ay tinatawag nitong transverse axis. Kaya, ang mga asymptotes ay ang mga diagonal ng isang rektanggulo na may mga gilid na dumadaan sa apat na puntos na v1, v2, V1, V2 na kahanay sa mga palakol. Upang mabuo ang parihaba na ito, kailangan mong tukuyin ang lokasyon ng mga puntos na v1 at v2. Sila ay nasa parehong distansya, katumbas ng

Mula sa punto ng intersection ng mga axes O. Ang formula na ito ay nagsasangkot ng pagbuo ng isang tamang tatsulok na may mga binti Ov1 at V2O at hypotenuse F2O. Kung ang mga asymptotes ng hyperbola ay magkaparehong patayo, kung gayon ang hyperbola ay tinatawag na isosceles. Dalawang hyperbola na may mga karaniwang asymptotes, ngunit may muling inayos na transverse at conjugate axes, ay tinatawag na mutually conjugate.
Parabola. Ang foci ng ellipse at hyperbola ay kilala ni Apollonius, ngunit ang pokus ng parabola, tila, ay unang itinatag ni Pappus (ika-2 kalahati ng ika-3 siglo), na tinukoy ang curve na ito bilang ang locus ng mga puntos na katumbas ng isang punto ( focus) at isang ibinigay na tuwid na linya, na tinatawag na direktor. Ang pagtatayo ng isang parabola gamit ang isang nakaunat na sinulid, batay sa kahulugan ng Pappus, ay iminungkahi ni Isidore ng Miletus (ika-6 na siglo). Ayusin natin ang ruler upang ang gilid nito ay tumutugma sa directrix LLў (Fig. 4), at ikabit ang binti AC ng drawing triangle ABC sa gilid na ito. Inaayos namin ang isang dulo ng thread na may haba na AB sa vertex B ng tatsulok, at ang isa sa pokus ng parabola F. Hinila ang thread gamit ang dulo ng lapis, pindutin ang dulo sa variable point P sa libre binti AB ng drawing triangle. Habang gumagalaw ang tatsulok sa kahabaan ng ruler, ilalarawan ng point P ang arc ng isang parabola na may focus F at directrix LLў, dahil ang kabuuang haba ng thread ay AB, ang segment ng thread ay katabi ng libreng leg ng triangle, at samakatuwid ang natitirang bahagi ng thread PF ay dapat na katumbas ng natitirang bahagi ng binti AB, i.e. PA. Ang punto ng intersection ng V parabola na may axis ay tinatawag na vertex ng parabola, ang tuwid na linya na dumadaan sa F at V ay tinatawag na axis ng parabola. Kung ang isang tuwid na linya na patayo sa axis ay iginuhit sa pamamagitan ng focus, kung gayon ang segment ng tuwid na linyang ito na pinutol ng parabola ay tinatawag na focal parameter. Para sa isang ellipse at isang hyperbola, ang focal parameter ay tinukoy nang katulad.

MGA KATANGIAN NG CONIC SECTIONS
Mga kahulugan ng Pappus. Ang pagtatatag ng pokus ng parabola ay humantong kay Pappus sa ideya ng pagbibigay ng alternatibong kahulugan ng mga conic na seksyon sa pangkalahatan. Hayaang ang F ay isang ibinigay na punto (focus), L isang ibinigay na linya (directrix) na hindi dumadaan sa F, at DF at DL ang mga distansya mula sa gumagalaw na punto P hanggang sa focus F at directrix L, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos, tulad ng ipinakita ni Papp, ang mga conic na seksyon ay tinukoy bilang locus ng mga puntos na P kung saan ang ratio na DF/DL ay isang hindi negatibong pare-pareho. Ang ratio na ito ay tinatawag na eccentricity e ng conic section. Kapag e 1 - hyperbole; para sa e = 1 - parabola. Kung ang F ay nasa L, kung gayon ang locus ay may anyo ng mga linya (totoo o haka-haka), na mga degenerate conic na seksyon. Ang kapansin-pansing simetrya ng ellipse at ang hyperbola ay nagpapahiwatig na ang bawat isa sa mga kurba na ito ay may dalawang directrix at dalawang foci, at ang pangyayaring ito ay humantong kay Kepler noong 1604 sa ideya na ang parabola ay mayroon ding pangalawang pokus at pangalawang directrix - isang punto sa kawalang-hanggan at tuwid. Katulad nito, ang bilog ay maaaring ituring bilang isang ellipse, na ang foci ay nag-tutugma sa gitna, at ang mga directrix ay nasa infinity. Ang eccentricity e sa kasong ito ay katumbas ng zero.
Ang disenyo ni Dandelin. Ang mga focus at directrix ng isang conic section ay malinaw na maipapakita gamit ang mga sphere na nakasulat sa isang cone at tinatawag na Dandelin spheres (balls) bilang parangal sa Belgian mathematician at engineer na si J. Dandelin (1794-1847), na nagmungkahi ng sumusunod na konstruksyon. Hayaang mabuo ang conic section sa pamamagitan ng intersection ng ilang plane p na may dalawang-sheet na right circular cone na may vertex sa punto O. Inscribe namin sa cone na ito ang dalawang spheres S1 at S2 na humipo sa plane p sa mga puntong F1 at F2, ayon sa pagkakabanggit. Kung ang seksyon ng conic ay isang ellipse (Larawan 5a), kung gayon ang parehong mga sphere ay nasa loob ng parehong lukab: ang isang globo ay matatagpuan sa itaas ng p-plane, at ang isa ay nasa ibaba nito. Ang bawat generatrix ng cone ay humihipo sa parehong mga sphere, at ang locus ng mga punto ng contact ay may anyo ng dalawang bilog na C1 at C2 na matatagpuan sa parallel planes p1 at p2. Hayaang ang P ay isang arbitrary na punto sa isang conic na seksyon. Gumuhit ng mga linya PF1, PF2 at pahabain ang linya PO. Ang mga linyang ito ay padaplis sa mga sphere sa mga puntong F1, F2 at R1, R2. Dahil ang lahat ng mga tangent na iginuhit sa globo mula sa isang punto ay pantay, kung gayon PF1 = PR1 at PF2 = PR2. Samakatuwid, PF1 + PF2 = PR1 + PR2 = R1R2. Dahil ang mga eroplanong p1 at p2 ay parallel, ang segment na R1R2 ay may pare-parehong haba. Kaya, ang dami ng PR1 + PR2 ay pareho para sa lahat ng mga posisyon ng punto P, at ang punto P ay kabilang sa locus ng mga punto kung saan ang kabuuan ng mga distansya mula P hanggang F1 at F2 ay pare-pareho. Samakatuwid, ang mga puntos na F1 at F2 ay foci ng elliptical section. Bilang karagdagan, maaari itong ipakita na ang mga linya kung saan ang plane p ay nag-intersect sa mga eroplanong p1 at p2 ay mga directrix ng itinayong ellipse. Kung p intersects parehong cavities ng kono (Larawan 5b), pagkatapos ay dalawang Dandelin spheres nakahiga sa parehong gilid ng eroplano p, isang sphere sa bawat lukab ng kono. Sa kasong ito, ang pagkakaiba sa pagitan ng PF1 at PF2 ay pare-pareho, at ang locus ng mga puntos na P ay may anyo ng isang hyperbola na may foci F1 at F2 at mga tuwid na linya - mga intersection na linya ng p na may p1 at p2 - bilang mga directrix. Kung ang conic section ay isang parabola, tulad ng ipinapakita sa Fig. 5c, pagkatapos ay isang Dandelin sphere lamang ang maaaring isulat sa kono.

Iba pang mga ari-arian. Ang mga katangian ng mga conic na seksyon ay talagang hindi mauubos, at alinman sa mga ito ay maaaring kunin bilang mapagpasyahan. Isang mahalagang lugar sa Mathematical Collection of Pappus (c. 300), ang Geometry of Descartes (1637) at ang Principles of Newton (1687) ay inookupahan ng problema ng locus of points na may kinalaman sa apat na linya. Kung ang apat na linya L1, L2, L3 at L4 ay ibinigay sa eroplano (dalawa sa mga ito ay maaaring magkasabay) at ang punto P ay tulad na ang produkto ng mga distansya mula P hanggang L1 at L2 ay proporsyonal sa produkto ng mga distansya mula sa P hanggang L3 at L4, pagkatapos ay ang locus ng mga puntos na P ay conical section. Maling paniniwalang nabigo sina Apollonius at Pappus na lutasin ang problema ng locus of points na may paggalang sa apat na linya, si Descartes, upang makakuha ng solusyon at gawing pangkalahatan ito, ay lumikha ng analytic geometry.
ANALYTICAL APPROACH
Algebraic na pag-uuri. Sa mga terminong algebraic, ang mga conic na seksyon ay maaaring tukuyin bilang mga kurba ng eroplano na ang mga coordinate ng Cartesian ay nakakatugon sa isang equation ng pangalawang degree. Sa madaling salita, ang equation ng lahat ng conic na seksyon ay maaaring isulat sa pangkalahatang anyo bilang

Kung saan hindi lahat ng coefficient A, B at C ay katumbas ng zero. Sa tulong ng parallel na pagsasalin at pag-ikot ng mga axes, ang equation (1) ay maaaring bawasan sa anyo na ax2 + by2 + c = 0
o px2 + qy = 0. Ang unang equation ay nakuha mula sa equation (1) na may B2 № AC, ang pangalawa - na may B2 = AC. Ang mga conic na seksyon na ang mga equation ay nabawasan sa unang anyo ay tinatawag na sentral. Ang mga conic na seksyon na ibinigay ng mga equation ng pangalawang uri na may q no. 0 ay tinatawag na non-central. Sa loob ng dalawang kategoryang ito, mayroong siyam na iba't ibang uri ng conic section, depende sa mga palatandaan ng coefficients. 1) Kung ang mga coefficient a, b at c ay may parehong tanda, kung gayon walang mga tunay na punto na ang mga coordinate ay makakatugon sa equation. Ang nasabing conic section ay tinatawag na imaginary ellipse (o isang haka-haka na bilog kung a = b). 2) Kung ang a at b ay may parehong tanda, at ang c ay kabaligtaran, kung gayon ang conic section ay isang ellipse (Larawan 1, a); para sa a = b - isang bilog (Larawan 6,b).

3) Kung ang a at b ay may magkaibang mga palatandaan, kung gayon ang seksyon ng conic ay isang hyperbola (Larawan 1, c). 4) Kung ang a at b ay may magkaibang mga palatandaan at c = 0, kung gayon ang conic section ay binubuo ng dalawang intersecting straight lines (Fig. 6a). 5) Kung ang a at b ay may parehong tanda at c = 0, pagkatapos ay mayroon lamang isang tunay na punto sa kurba na nakakatugon sa equation, at ang conic na seksyon ay dalawang haka-haka na intersecting na linya. Sa kasong ito, ang isa ay nagsasalita din ng isang ellipse na kinontrata sa isang punto o, kung a = b, isang bilog na kinontrata sa isang punto (Larawan 6b). 6) Kung ang alinman sa a o b ay katumbas ng zero, at ang iba pang mga coefficient ay may iba't ibang mga palatandaan, kung gayon ang conic na seksyon ay binubuo ng dalawang parallel na linya. 7) Kung ang alinman sa a o b ay katumbas ng zero, at ang natitirang mga coefficient ay may parehong tanda, kung gayon walang tunay na punto na nakakatugon sa equation. Sa kasong ito, ang conic section ay sinasabing binubuo ng dalawang haka-haka na parallel na linya. 8) Kung ang c = 0, at alinman sa a o b ay zero din, kung gayon ang conic na seksyon ay binubuo ng dalawang tunay na magkaparehong tuwid na linya. (Hindi tinukoy ng equation ang anumang conic section sa a = b = 0, dahil sa kasong ito ang orihinal na equation (1) ay wala sa pangalawang degree.) 9) Ang mga equation ng pangalawang uri ay tumutukoy sa mga parabola kung ang p at q ay nonzero. Kung p No. 0, at q = 0, nakukuha natin ang curve mula sa aytem 8. Kung p = 0, hindi tinukoy ng equation ang anumang conic section, dahil ang orihinal na equation (1) ay wala sa pangalawang degree. Derivation ng mga equation ng conic sections. Ang anumang conic na seksyon ay maaari ding tukuyin bilang isang kurba kung saan ang isang eroplano ay nag-intersect sa isang parisukat na ibabaw, i.e. na may ibabaw na ibinigay ng equation ng pangalawang degree f (x, y, z) = 0. Tila, ang mga conic na seksyon ay unang nakilala sa form na ito, at ang kanilang mga pangalan (tingnan sa ibaba) ay nauugnay sa katotohanan na sila ay nakuha ng tumatawid na eroplano na may kono z2 = x2 + y2. Hayaan ang ABCD na maging base ng isang tamang pabilog na kono (Larawan 7) na may tamang anggulo sa vertex V. Hayaang magsalubong ang eroplanong FDC sa generatrix VB sa punto F, ang base sa kahabaan ng linya ng CD at ang ibabaw ng kono sa kahabaan ng curve DFPC, kung saan ang P ay anumang punto sa curve. Gumuhit sa gitna ng segment CD - point E - line EF at diameter AB. Sa pamamagitan ng puntong P gumuhit kami ng isang eroplanong parallel sa base ng kono, intersecting ang kono sa kahabaan ng bilog na RPS at ang linyang EF sa puntong Q. Pagkatapos ay maaaring kunin ang QF at QP, ayon sa pagkakabanggit, bilang ang x abscissa at ang y ordinate ng puntong P. Ang resultang kurba ay isang parabola. Ang konstruksiyon na ipinapakita sa fig. 7 ay maaaring gamitin upang kunin ang mga pangkalahatang equation para sa mga conic na seksyon. Ang parisukat ng haba ng isang segment ng isang patayo, na naibalik mula sa anumang punto ng diameter hanggang sa intersection ng bilog, ay palaging katumbas ng produkto ng mga haba ng mga segment ng diameter. Kaya

y2 = RQ*QS.
Para sa isang parabola, ang segment na RQ ay may pare-parehong haba (dahil para sa anumang posisyon ng puntong P ito ay katumbas ng segment na AE), at ang haba ng segment na QS ay proporsyonal sa x (mula sa ugnayang QS/EB = QF/ FE). Kaya naman sinusunod iyon

Kung saan ang a ay isang pare-parehong kadahilanan. Ang numero a ay nagpapahayag ng haba ng focal parameter ng parabola. Kung ang anggulo sa tuktok ng kono ay talamak, kung gayon ang segment RQ ay hindi katumbas ng segment na AE; ngunit ang kaugnayan y2 = RQЧQS ay katumbas ng isang equation ng form

Kung saan ang a at b ay mga constant, o, pagkatapos ilipat ang mga axes, ang equation

Ang pagiging equation ng isang ellipse. Ang mga intersection point ng ellipse na may x-axis (x = a at x = -a) at ang mga punto ng intersection ng ellipse na may y-axis (y = b at y = -b) ay tumutukoy sa major at minor axes , ayon sa pagkakabanggit. Kung ang anggulo sa vertex ng kono ay mapurol, kung gayon ang kurba ng intersection ng kono at ang eroplano ay may anyo ng isang hyperbola, at ang equation ay kumukuha ng sumusunod na anyo:

O, pagkatapos ilipat ang mga palakol,

Sa kasong ito, ang mga x-intercept na ibinigay ng x2 = a2 ay tumutukoy sa transverse axis, at ang y-intercept na ibinigay ng y2 = -b2 ay tumutukoy sa conjugate axis. Kung ang mga constants a at b sa equation (4a) ay pantay, kung gayon ang hyperbola ay tinatawag na isosceles. Sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga palakol, ang equation nito ay nababawasan sa anyo na xy = k.
Ngayon mula sa mga equation (3), (2) at (4) mauunawaan natin ang kahulugan ng mga pangalan na ibinigay ni Apollonius sa tatlong pangunahing mga conic na seksyon. Ang mga terminong "ellipse", "parabola" at "hyperbola" ay nagmula sa mga salitang Griyego na nangangahulugang "kakulangan", "kapantay" at "superior". Mula sa mga equation (3), (2) at (4) ay malinaw na para sa ellipse y2 (2b2/a) x. Sa bawat kaso, ang value na nakapaloob sa mga bracket ay katumbas ng focal parameter ng curve. Itinuring mismo ni Apollonius ang tatlong pangkalahatang uri ng mga conic na seksyon (mga uri 2, 3, at 9 na nakalista sa itaas), ngunit ang kanyang diskarte ay nagbibigay-daan para sa isang generalization na nagpapahintulot sa isa na isaalang-alang ang lahat ng tunay na second-order curves. Kung ang cutting plane ay pinili parallel sa circular base ng kono, pagkatapos ay ang seksyon ay magiging isang bilog. Kung ang cutting plane ay may isang karaniwang punto lamang na may cone, ang vertex nito, kung gayon ang isang seksyon ng uri 5 ay makukuha; kung naglalaman ito ng isang vertex at isang padaplis sa kono, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang seksyon ng uri 8 (Larawan 6b); kung ang cutting plane ay naglalaman ng dalawang generators ng cone, pagkatapos ay isang uri 4 curve ay nakuha sa seksyon (Larawan 6, a); kapag ang vertex ay inilipat sa infinity, ang kono ay nagiging isang silindro, at kung ang eroplano ay naglalaman ng dalawang generator, pagkatapos ay isang seksyon ng uri 6. Kung titingnan mo ang bilog sa isang pahilig na anggulo, kung gayon ito ay mukhang isang ellipse. Ang ugnayan sa pagitan ng bilog at ng ellipse, na kilala na ni Archimedes, ay magiging maliwanag kung ang bilog na X2 + Y2 = a2 ay binago sa ellipse na ibinigay ng equation (3a) gamit ang pagpapalit X = x, Y = (a/b) y . Ang pagbabagong-anyo X = x, Y = (ai/b) y, kung saan ang i2 = -1, ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang equation ng bilog sa anyo (4a). Ipinapakita nito na ang isang hyperbola ay maaaring tingnan bilang isang ellipse na may isang haka-haka na menor na axis, o, sa kabaligtaran, ang isang ellipse ay maaaring tingnan bilang isang hyperbola na may isang haka-haka na conjugate axis. Ang ugnayan sa pagitan ng mga ordinate ng bilog x2 + y2 = a2 at ang ellipse (x2/a2) + (y2/b2) = 1 ay direktang humahantong sa Archimedes formula A = pab para sa lugar ng ellipse. Alam ni Kepler ang tinatayang formula p (a + b) para sa perimeter ng isang ellipse na malapit sa isang bilog, ngunit ang eksaktong expression ay nakuha lamang noong ika-18 siglo. pagkatapos ng pagpapakilala ng mga elliptic integral. Tulad ng ipinakita ni Archimedes, ang lugar ng isang parabolic segment ay apat na katlo ng lugar ng isang inscribed triangle, ngunit ang haba ng arc ng isang parabola ay maaari lamang kalkulahin pagkatapos, noong ika-17 siglo. naimbento ang differential calculus.
PROJECTIVE APPROACH
Ang projective geometry ay malapit na nauugnay sa pagbuo ng pananaw. Kung gumuhit ka ng isang bilog sa isang transparent na sheet ng papel at ilagay ito sa ilalim ng isang light source, pagkatapos ay ang bilog na ito ay ipapakita sa eroplano sa ibaba. Sa kasong ito, kung ang pinagmumulan ng liwanag ay matatagpuan nang direkta sa itaas ng gitna ng bilog, at ang eroplano at ang transparent na sheet ay parallel, kung gayon ang projection ay magiging bilog din (Larawan 8). Ang posisyon ng pinagmumulan ng liwanag ay tinatawag na puntong naglalaho. Ito ay tinutukoy ng letrang V. Kung ang V ay hindi matatagpuan sa itaas ng gitna ng bilog, o kung ang eroplano ay hindi parallel sa sheet ng papel, kung gayon ang projection ng bilog ay tumatagal sa anyo ng isang ellipse. Sa isang mas malaking pagkahilig ng eroplano, ang pangunahing axis ng ellipse (ang projection ng bilog) ay humahaba, at ang ellipse ay unti-unting nagiging parabola; sa isang eroplanong parallel sa linyang VP, ang projection ay parang parabola; na may mas malaking hilig, ang projection ay nasa anyo ng isa sa mga sangay ng hyperbola.

Ang bawat punto sa orihinal na bilog ay tumutugma sa ilang punto sa projection. Kung ang projection ay may anyo ng parabola o hyperbola, ang puntong tumutugma sa puntong P ay sinasabing nasa infinity o infinity. Tulad ng nakita natin, na may angkop na pagpipilian ng mga nawawalang punto, ang isang bilog ay maaaring i-project sa mga ellipse ng iba't ibang laki at may iba't ibang mga eccentricities, at ang mga haba ng mga pangunahing axes ay hindi direktang nauugnay sa diameter ng inaasahang bilog. Samakatuwid, ang projective geometry ay hindi nakikitungo sa mga distansya o haba sa bawat isa, ang gawain nito ay pag-aralan ang ratio ng mga haba na napanatili sa ilalim ng projection. Ang kaugnayang ito ay matatagpuan gamit ang sumusunod na konstruksyon. Sa pamamagitan ng anumang punto P ng eroplano gumuhit kami ng dalawang tangent sa anumang bilog at ikinonekta ang mga punto ng kontak sa linya p. Hayaang ang isa pang linyang dumadaan sa puntong P ay magsalubong sa bilog sa mga puntong C1 at C2, at hayaang ang linyang p ay magsalubong sa bilog sa puntong Q (Larawan 9). Pinatutunayan ng planimetry na ang PC1/PC2 = -QC1/QC2. (Ang minus sign ay nagmumula sa katotohanan na ang direksyon ng segment QC1 ay kabaligtaran sa mga direksyon ng iba pang mga segment.) Sa madaling salita, ang mga puntos na P at Q ay naghahati sa segment na C1C2 sa labas at panloob sa parehong ratio; sinasabi din nila na ang harmonic ratio ng apat na segment ay -1. Kung ang bilog ay na-project sa isang conic na seksyon at ang parehong mga pagtatalaga ay pinananatili para sa mga kaukulang punto, pagkatapos ay ang harmonic ratio (PC1)(QC2)/(PC2)(QC1) ay nananatiling katumbas ng -1. Ang puntong P ay tinatawag na pole ng linyang p na may paggalang sa conic section, at ang linyang p ay tinatawag na polar ng point P na may paggalang sa conic section.

Habang ang punto P ay lumalapit sa alimusod, ang polar ay may posibilidad na kumuha ng isang padaplis na posisyon; kung ang punto P ay namamalagi sa conic section, ang polar nito ay tumutugma sa tangent sa conic section sa puntong P. Kung ang point P ay matatagpuan sa loob ng conic section, ang polar nito ay maaaring itayo bilang mga sumusunod. Gumuhit sa puntong P ng anumang linya na nagsasalubong sa conic section sa dalawang punto; gumuhit ng mga tangent sa seksyon ng conic sa mga punto ng intersection; ipagpalagay na ang mga tangent na ito ay nagsalubong sa puntong P1. Gumuhit tayo ng isa pang linya sa pamamagitan ng puntong P, na nag-intersect sa conic section sa dalawa pang punto; ipagpalagay natin na ang mga tangent sa conic sa mga bagong puntong ito ay nagsalubong sa puntong P2 (Larawan 10). Ang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong P1 at P2 ay ang gustong polar p. Kung ang puntong P ay lumalapit sa gitnang O ng gitnang conic na seksyon, ang polar p ay lumalayo mula sa O. Kapag ang puntong P ay tumutugma sa O, ang polar nito ay nagiging infinity, o ideal, diretso sa eroplano. Tingnan din PROJECTIVE GEOMETRY.

MGA ESPESYAL NA GUSALI
Ang partikular na interes ng mga astronomo ay ang sumusunod na simpleng pagbuo ng mga punto ng isang ellipse gamit ang isang compass at straightedge. Hayaang mag-intersect ang isang di-makatwirang tuwid na linya na dumadaan sa punto O (Larawan 11a) sa mga puntong Q at R dalawang concentric na bilog na nakasentro sa punto O at radii b at a, kung saan b

Para sa isang hyperbola, ang konstruksiyon ay halos magkapareho. Ang isang di-makatwirang tuwid na linya na dumadaan sa puntong O ay nag-intersect sa isa sa dalawang bilog sa puntong R (Larawan 11b). Sa puntong R ng isang bilog at sa dulong punto S ng pahalang na diameter ng kabilang bilog, gumuhit kami ng mga tangent na nagsalubong sa OS sa puntong T at OR sa puntong Q. Hayaang dumaan ang patayong linya sa puntong T at ang pahalang na linyang dumadaan sa puntong Q ay bumalandra sa puntong P. Pagkatapos ang locus ng mga puntong P sa panahon ng pag-ikot ng segment OR sa paligid ng O ay magiging hyperbola na ibinibigay ng mga parametric equation x = a sec f, y = b tg f, kung saan f ay ang sira-sira anggulo. Ang mga equation na ito ay nakuha ng French mathematician na si A. Legendre (1752-1833). Inaalis ang parameter f, nakukuha namin ang equation (4a). Ang isang ellipse, gaya ng binanggit ni N. Copernicus (1473-1543), ay maaaring itayo gamit ang isang epicyclic movement. Kung ang isang bilog ay gumulong nang hindi dumudulas sa loob ng isa pang bilog na dalawang beses ang lapad, kung gayon ang bawat puntong P na hindi nakahiga sa mas maliit na bilog, ngunit nakatigil na nauugnay dito, ay maglalarawan ng isang ellipse. Kung ang punto P ay nasa isang mas maliit na bilog, kung gayon ang trajectory ng puntong ito ay isang degenerate case ng isang ellipse - ang diameter ng mas malaking bilog. Ang isang mas simpleng pagtatayo ng isang ellipse ay iminungkahi ni Proclus noong ika-5 siglo. Kung ang mga dulo ng A at B ng isang tuwid na linya na segment AB ng isang ibinigay na haba ay dumudulas kasama ang dalawang nakapirming intersecting na mga tuwid na linya (halimbawa, kasama ang mga coordinate axes), kung gayon ang bawat panloob na punto P ng segment ay maglalarawan ng isang ellipse; ang Dutch mathematician na si F. van Schoten (1615-1660) ay nagpakita na ang anumang punto sa eroplano ng mga intersecting na linya, na naayos na may kaugnayan sa sliding segment, ay maglalarawan din ng isang ellipse. B. Si Pascal (1623-1662) sa edad na 16 ay bumalangkas ng sikat na ngayon na teorama ni Pascal, na nagsasabing: tatlong punto ng intersection ng magkabilang panig ng isang heksagono na nakasulat sa anumang conic na seksyon ay nasa isang tuwid na linya. Nakakuha si Pascal ng higit sa 400 corollaries mula sa theorem na ito.
PANITIKAN
Van der Waerden B.L. Agham ng Paggising. M., 1959 Aleksandrov P.S. Mga lektura sa analytic geometry. M., 1968

Collier Encyclopedia. - Open Society. 2000 .

Tingnan kung ano ang "CONIC SECTIONS" sa iba pang mga diksyunaryo:

Mga seksyon ng conic: bilog, ellipse, parabola (parallel ang sectional plane sa generatrix ng cone), hyperbola. Ang conic section o conic ay ang intersection ng isang eroplano na may circular cone. May tatlong pangunahing uri ng conic section: ellipse, ... ... Wikipedia

Mga kurba na nagreresulta mula sa intersection ng isang kono ng isang eroplano sa iba't ibang direksyon; kanilang mga uri: ellipse, hyperbola, parabola. Isang kumpletong diksyunaryo ng mga banyagang salita na ginamit sa wikang Ruso. Popov M., 1907. CONIC SECTIONS, tinatawag na. curves...... Diksyunaryo ng mga banyagang salita ng wikang Ruso

Mga linya ng intersection ng isang bilog na kono (tingnan ang Conical surface) na may mga eroplano na hindi dumadaan sa tuktok nito. Depende sa kamag-anak na posisyon ng cone at ang secant plane, tatlong uri ng conic section ang nakuha: ellipse, parabola, hyperbola ... Malaking Encyclopedic Dictionary

Portal para sa mag-aaral. Pagsasanay sa sarili

MAAGANG KASAYSAYAN

KONSTRUKSYON NG CONIC SECTIONS

Ellipse.

Hyperbola.

Parabola.

MGA KATANGIAN NG CONIC SECTIONS

Mga kahulugan ng Pappus.

Ang disenyo ni Dandelin.

Iba pang mga ari-arian.

ANALYTICAL APPROACH

Algebraic na pag-uuri.

Derivation ng mga equation ng conic sections.

PROJECTIVE APPROACH

MGA ESPESYAL NA GUSALI

§ 8. Conic na mga seksyon at quadrics

Mag-aral.

Tingnan kung ano ang "CONIC SECTIONS" sa iba pang mga diksyunaryo:

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO