Bounded x-axis, graph ng isang integrable function at mga line segment x=a\,\! at x=b\,\!, saan isang\,\! at b\,\!- mga limitasyon sa pagsasama (tingnan ang figure).

Ang pangangailangang maglapat ng numerical integration ay kadalasang sanhi ng kawalan ng representasyon sa at, samakatuwid, ang imposibilidad ng analytically na pagkalkula ng halaga ng isang partikular na integral sa . Posible rin na ang anyo ng antiderivative ay napakasalimuot na mas mabilis na kalkulahin ang halaga ng integral ayon sa numero.

Isang-dimensional na kaso

Ang pangunahing ideya ng karamihan sa mga pamamaraan ng pagsasama ng numero ay upang palitan ang integrat ng isang mas simple, ang integral na kung saan ay madaling kalkulahin nang analytical. Sa kasong ito, upang tantyahin ang halaga ng integral, mga formula ng form

I \approx \sum_(i=1)^(n) w_i\, f(x_i),

saan n\,\! ay ang bilang ng mga punto kung saan kinakalkula ang halaga ng integrand. puntos x_i\,\! ay tinatawag na mga node ng pamamaraan, mga numero w_i\,\!- mga timbang ng node. Kapag ang integrand ay pinalitan ng isang polynomial ng zero, una at pangalawang degree, ang mga pamamaraan , at (Simpson) ay nakuha, ayon sa pagkakabanggit. Kadalasan ang mga formula para sa pagtatantya ng halaga ng integral ay tinatawag na quadrature formula.

Paraan ng Parihaba

Paraan ng Parihaba ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng integrand ng isang pare-pareho. Bilang isang pare-pareho, maaari mong kunin ang halaga ng function sa anumang punto sa segment \kaliwa\,\!. Ang pinakakaraniwang ginagamit na mga value ng function ay nasa gitna ng isang segment at sa mga dulo nito. Ang mga kaukulang pagbabago ay tinatawag na mga pamamaraan katamtamang mga parihaba, kaliwang mga parihaba at kanang mga parihaba. Ang formula para sa tinatayang pagkalkula ng halaga ng isang tiyak na integral sa pamamagitan ng paraan ng mga parihaba ay

I \approx f(x) (b-a),

saan x=\frac(\kaliwa(a+b\kanan))(2), isang\,\! o b\,\!, ayon sa pagkakabanggit.

Trapezoidal na pamamaraan

Kung gumuhit kami ng isang tuwid na linya sa mga dulo ng segment ng pagsasama, nakukuha namin trapezoidal na pamamaraan. Mula sa mga geometric na pagsasaalang-alang, ito ay madaling makuha

I \approx \frac(f(a)+f(b))(2) (b-a).

Paraan ng parabola

Gamit ang tatlong punto ng integration segment, maaari naming palitan ang integrand ng isang parabola. Karaniwan, ang mga dulo ng segment at ang midpoint nito ay ginagamit bilang mga naturang punto. Sa kasong ito, ang formula ay may napakasimpleng anyo

I \approx \frac(b-a)(6)\left(f(a)+4f\left(\frac(a+b)(2)\right)+f(b)\right).

Pagtaas ng Katumpakan

Ang pagtatantya ng isang function sa pamamagitan ng isang polynomial sa buong agwat ng pagsasama, bilang panuntunan, ay humahantong sa isang malaking error sa pagtantya ng halaga ng integral.

Upang mabawasan ang error, ang segment ng integration ay nahahati sa mga bahagi at isang numerical na paraan ang ginagamit upang suriin ang integral sa bawat isa sa kanila.

Dahil ang bilang ng mga partisyon ay may posibilidad na infinity, ang pagtatantya ng integral ay humahantong sa tunay na halaga nito para sa anumang numerical na paraan.

Ang mga pamamaraan sa itaas ay nagbibigay-daan para sa isang simpleng pamamaraan ng paghahati ng hakbang, habang sa bawat hakbang ay kinakailangan upang kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar lamang sa mga bagong idinagdag na node. Upang matantya ang error sa pagkalkula, ay ginagamit.

Pamamaraan ng Gauss

Ang mga pamamaraan na inilarawan sa itaas ay gumagamit ng mga fixed line segment point (mga dulo at midpoint) at mababa (1, 1 at 3, ayon sa pagkakabanggit). Kung maaari nating piliin ang mga punto kung saan kinakalkula natin ang mga halaga ng function f(x)\,\!, kung gayon posible, na may parehong bilang ng mga kalkulasyon ng integrand, upang makakuha ng mga pamamaraan ng mas mataas na pagkakasunud-sunod ng katumpakan. Kaya para sa dalawa (tulad ng sa trapezoid na pamamaraan) na mga kalkulasyon ng mga halaga ng integrand, maaari kang makakuha ng isang pamamaraan na hindi na sa 1st, ngunit sa ika-3 na pagkakasunud-sunod ng katumpakan:

I \approx \frac(b-a)(2)\left(f\left(\frac(a+b)(2) - \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right)+f\left( \frac(a+b)(2) + \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right) \right).

Sa pangkalahatan, gamit n\,\! puntos, maaari kang makakuha ng isang pamamaraan na may pagkakasunud-sunod ng katumpakan 2n-1\,\!. Ang mga halaga ng mga node ng pamamaraang Gaussian sa pamamagitan ng n\,\! Ang mga puntos ay ang mga ugat ng Legendre polynomial of degree n\,\!.

Ang mga halaga ng mga node ng pamamaraang Gaussian at ang kanilang mga timbang ay ibinibigay sa mga sangguniang libro ng mga espesyal na pag-andar. Ang pinakakilala ay ang Gaussian five-point method.

Gauss-Kronrod na pamamaraan

Ang kawalan ng pamamaraang Gauss ay wala itong madaling (mula sa isang computational point of view) na paraan upang tantiyahin ang error ng nakuhang halaga ng integral. Ang paggamit ng panuntunan ng Runge ay nangangailangan ng pagkalkula ng integrand sa humigit-kumulang sa parehong bilang ng mga puntos, nang hindi nagbibigay ng halos anumang pakinabang sa katumpakan, sa kaibahan sa mga simpleng pamamaraan, kung saan ang katumpakan ay tumataas nang maraming beses sa bawat bagong partition. Iminungkahi ni Kronrod ang sumusunod na pamamaraan para sa pagtatantya ng halaga ng integral

I \approx \sum_(i=1)^(n) a_i\, f(x_i) + \sum_(i=1)^(n+1) b_i\, f(y_i),

saan x_i\,\!- Gauss method nodes sa pamamagitan ng n\,\! puntos, at 3n+2\,\! mga parameter a_i\,\!, b_i\,\!, y_i\,\! ay pinili sa paraang ang pagkakasunud-sunod ng katumpakan ng pamamaraan ay katumbas ng 3n+1\,\!.

Pagkatapos, upang matantya ang error, maaaring gamitin ng isa ang empirical formula

\Delta = \kaliwa(200 |I - I_G|\kanan)^(1.5),

saan I_G\,\!- ang halaga ng integral, na tinatantya ng pamamaraang Gauss ayon sa n\,\! puntos. Mga Aklatan [

numerical integration formula programming

Panimula

1. Mga paraan ng pagsasama-sama ng numero

2. Quadrature formula

3. Awtomatikong pagpili ng hakbang sa pagsasama

Konklusyon

Listahan ng bibliograpiya

Panimula

Ang layunin ng abstract ay pag-aralan at paghahambing na pagsusuri ng mga pamamaraan para sa numerical integration ng mga function; pagpapatupad ng mga pamamaraang ito sa anyo ng mga programa ng makina sa isang mataas na antas ng wika at praktikal na solusyon ng mga problema sa pagsasama ng numero sa isang computer.

Kapag nilulutas ang mga problema sa engineering, madalas na kinakailangan upang kalkulahin ang mga halaga ng isang tiyak na integral ng form

. (1)

Kung ang function ay tuloy-tuloy sa pagitan [ a , b] at ang antiderivative nito ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng isang kilalang function, pagkatapos ay ang pagkalkula ng naturang integral ay isinasagawa ayon sa Newton-Leibniz formula:

.

Sa mga problema sa engineering, bihirang posible na makuha ang halaga ng integral sa isang analytical form. Bilang karagdagan, ang pag-andar f (x) ay maaaring ibigay, halimbawa, sa pamamagitan ng isang talahanayan ng pang-eksperimentong data. Samakatuwid, sa pagsasagawa, upang makalkula ang isang tiyak na integral, ang mga espesyal na pamamaraan ay ginagamit, na batay sa interpolation apparatus.

Ang ideya sa likod ng mga pamamaraang ito ay ang mga sumusunod. Sa halip na kalkulahin ang integral gamit ang formula (1), ang mga halaga ng function ay unang kinakalkula f (x i) = y i sa ilang mga node x i Î[ a , b]. Pagkatapos ay pinili ang interpolation polynomial P (x) na dumadaan sa mga nakuhang puntos ( x i , y i), na ginagamit sa pagkalkula ng tinatayang halaga ng integral (1):

.

Kapag ipinapatupad ang diskarteng ito, ang mga numerical integration formula ay kumukuha ng sumusunod na pangkalahatang anyo:

, (2) - mga interpolation node, A i ay ilang mga coefficient, R– natitirang termino na nagpapakilala sa error ng formula. Tandaan na ang mga formula ng form (2) ay tinatawag na quadrature formula.

Ang geometric na kahulugan ng numerical integration ay upang kalkulahin ang lugar ng isang curvilinear trapezoid na may hangganan ng graph ng function. f (X), isang abscissa axis at dalawang tuwid na linya x = a at x = b. Ang tinatayang pagkalkula ng lugar ay humahantong sa pagtanggi sa natitirang termino sa mga formula ng kuwadratura R characterizing ang error ng pamamaraan, na kung saan ay karagdagang superimposed sa pamamagitan ng computational error.

1. Mga pamamaraan ng pagsasama ng numero

Sa inilapat na pananaliksik, madalas na kinakailangan upang kalkulahin ang halaga ng isang tiyak na integral

Tulad ng nalalaman mula sa kurso ng matematika, ang analytical na pagkalkula ng integral ay hindi maaaring isagawa sa lahat ng kaso. At kahit na sa kaso kung posible na mahanap ang analytical form ng integral na ito, ang pamamaraan ng pagkalkula ay nagbibigay ng isang tinatayang resulta, kaya ang problema ng tinatayang halaga ng integral na ito ay lumitaw.

Ang kakanyahan ng tinatayang pagkalkula ay binubuo sa dalawang operasyon: 1. sa pagpili ng isang may hangganang numero sa halip na n; 2. sa pagpili ng punto

sa kaukulang segment.

Depende sa pagpili

nakakakuha tayo ng iba't ibang mga formula para sa pagkalkula ng integral: Mga formula para sa kaliwa at kanang mga parihaba (5), (6) (5) (6)

Trapezium formula:

Formula ng Simpson

b, a - mga dulo ng isinasaalang-alang na segment.

Upang ihambing ang mga resulta ng pagkalkula sa pamamagitan ng mga numerical integration formula sa itaas, kinakalkula namin ang sumusunod na integral sa 3 paraan, na hinahati ang segment sa 6 na pantay na segment: h=

Ayon sa formula ng kaliwang mga parihaba:

Ayon sa pormula ng trapezoid:

Ayon sa formula ni Simpson:

At ang resulta na nakuha sa analytical ay katumbas ng

=1

Samakatuwid, maaari nating tapusin na ang numerical na paraan ng pagsasama ayon sa formula ng Simpson ay mas tumpak, ngunit ginagamit sa pangkalahatang kaso kapag hinahati ang segment na pinaghihiwalay sa isang pantay na bilang ng mga pagitan.

2. Quadrature formula

Mga formula ng parihaba ay ang pinakasimpleng quadrature formula. Hatiin natin ang bahagi ng pagsasama [ a, b] sa P pantay na haba ng mga bahagi

. Tandaan na ang halaga h ay tinatawag na integration step. Sa split points X 0 = a ,X 1 = a + h , ..., x n = b tandaan ang mga ordinate y 0 ,y 1 ,…,y n baluktot f (x), ibig sabihin. magcompute ako = f (x i), x i = a+ ih = x i -1 +h (ako =). Sa bawat bahagi ng haba h bumuo ng isang parihaba na may mga gilid h at y i, saan ako =, ibig sabihin. sa pamamagitan ng mga halaga ng mga ordinate na kinakalkula sa kaliwang dulo ng mga segment. Pagkatapos ang lugar ng curvilinear trapezoid, na tumutukoy sa halaga ng integral (1), ay maaaring humigit-kumulang na kinakatawan bilang ang kabuuan ng mga lugar ng mga parihaba (Fig. 1). Mula dito nakuha namin ang formula ng mga parihaba:
. (3)

Kung, kapag kinakalkula ang integral sum, kinukuha namin ang mga halaga ng function f (x) hindi sa kaliwa, ngunit sa kanang dulo ng mga segment ng haba h, na ipinapakita sa fig. 1 na may tuldok na linya, pagkatapos ay makuha namin ang pangalawang bersyon ng formula ng rektanggulo:

. (4)

Ang ikatlong variant ng formula ng mga parihaba ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paggamit ng mga halaga ng function f (x) na kinakalkula sa gitnang punto ng bawat segment ng haba h(Larawan 2):

. (5)

Ang mga formula (3), (4) at (4) ay tinatawag na mga formula ng kaliwa, kanan at gitnang mga parihaba, ayon sa pagkakabanggit.

Formula ng Simpson. Hinahati namin ang integration interval sa 2 n pantay na haba ng mga bahagi

. Sa bawat segment [ x i , x i+2] ang integrand f (X) ay pinalitan ng isang parabola na dumadaan sa mga punto ( x i , y i), (x i +1 , y i +1), (x i +2 , y i+2). Pagkatapos ang tinatayang halaga ng integral ay tinutukoy ng Simpson formula: . (7)

Kapag nagkalkula sa isang computer, ang sumusunod na formula ay mas maginhawa:

Ang pamamaraan ni Simpson ay isa sa pinakakilala at ginagamit na mga pamamaraan ng pagsasama ng numero, nagbibigay ito ng eksaktong mga halaga ng integral kapag pinagsama ang mga polynomial hanggang sa ikatlong pagkakasunud-sunod na kasama.

Formula ni Newton. Ang tinatayang halaga ng integral ayon sa formula ni Newton ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

kung saan ang bilang ng mga segment ng partition ay multiple ng tatlo, ibig sabihin, ay 3 n. Kapag bumubuo ng mga programa sa computer, mas maginhawang gamitin ang katumbas na formula:

Ang pamamaraan ni Newton ay nagbibigay ng eksaktong mga halaga ng integral kapag isinasama ang mga polynomial hanggang sa ikaapat na pagkakasunod-sunod kasama.

3. Awtomatikong pagpili ng hakbang sa pagsasama

Bilang resulta ng pagkalkula ng mga formula (3) - (8), ang isang tinatayang halaga ng integral ay nakuha, na maaaring mag-iba mula sa eksaktong isa sa pamamagitan ng isang tiyak na halaga, na tinatawag na error sa pagsasama. Ang error ay tinutukoy ng natitirang formula R, naiiba para sa bawat isa sa mga paraan ng pagsasama. Kung kinakailangan upang kalkulahin ang halaga ng integral na may error na hindi hihigit sa e, kung gayon kinakailangan na pumili ng naturang hakbang sa pagsasama h upang masiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay R (h) £e. Sa pagsasagawa, ginagamit ang awtomatikong pagpili ng halaga h, na nagsisiguro sa pagkamit ng tinukoy na error. Una kalkulahin ang halaga ng integral ako (n), hinahati ang integration interval sa P mga seksyon, pagkatapos ay ang bilang ng mga seksyon ay dinoble at ang integral ay kinakalkula ako (2n). Ipinagpapatuloy ang proseso ng pagkalkula hanggang sa maging totoo ang kundisyon.

Pagsasama ng numero

Ang mga pangunahing tanong na tinalakay sa panayam:

2. Newton-Cotes quadrature formula

3. Mga pormula ng mga parihaba

4. Trapezoidal formula

5. Simpson formula

6. Quadrature formula ng Gauss

7. Paraan ng Monte Carlo

1. Paglalahad ng suliranin ng numerical integration

Kinakailangang kalkulahin ang isang tiyak na integral ng form , at ang function ay maaaring ibigay pareho sa anyo ng isang formula at sa anyo ng isang talahanayan.

Mga formula ng quadrature ng Newton-Cotes

,
saan - Cotes coefficients.
Ang mga formula na ito ay nagbibigay ng iba't ibang representasyon para sa ibang bilang n ng mga partition segment sa parehong integration segment.

Mga formula ng parihaba

Hayaang kailanganin upang kalkulahin ang integral .
Kung ang segment ng pagsasama ay sapat na malaki, pagkatapos ay kailangan mong hatiin ito sa mas maliliit na mga segment ng pantay na haba, kung saan ang n ay ang bilang ng mga segment, at palitan ang curvilinear trapezoid na may isang parihaba sa bawat isa sa mga segment, kalkulahin ang mga lugar ng mga parihaba na ito. Pagkatapos ang mga resultang lugar ay dapat idagdag, at ang halagang ito ay kukunin bilang tinatayang halaga ng nais na integral.
Tulad ng para sa pagtatayo ng mga parihaba, maaari silang itayo sa iba't ibang paraan: maaari kang gumuhit ng patayo sa intersection na may curve f (x) mula sa kanang dulo ng bawat segment (Larawan 1), maaari mong - mula sa kaliwang dulo (Larawan 2)

kanin. isa

kanin. 2

Depende dito, ang mga formula para sa pagkalkula ay medyo naiiba at tinatawag na mga formula ng mga parihaba na may kanan o kaliwang ordinates, ayon sa pagkakabanggit:

(formula ng "kanan" na mga parihaba)

(formula ng "kaliwa" na mga parihaba)
Mayroon ding formula para sa "gitnang" mga parihaba: , kung saan ang pagtatayo ng mga parihaba ay isinasagawa sa pamamagitan ng mga midpoint ng bawat isa sa mga segment ng partisyon:

· Trapezoidal formula

· Formula ng Simpson

Pagpapalit sa bawat segment ng partition ng bahagi ng curve y = f(x) papunta sa isang parabolic curve, kinakalkula ang mga lugar ng mga resultang figure at pagbubuod ng mga ito, nakuha namin ang formula ng Simpson:

·

· Quadrature formula ng Gauss

Ayon sa kaugalian, kapag kumukuha ng quadrature Gaussian formula sa orihinal na integral, isang pagbabago ng variable ang ginagawa, na isinasalin ang integral sa segment tungo sa integral sa segment [-1; isa]:

.
Tapos .
Gagamitin namin ang linear na interpolation ng integrand.
Kung sa halip na ang segment [-1; 1] upang kunin ang mga gumagalaw na node t1, t2 bilang mga interpolation node, pagkatapos ay kailangan mong piliin ang mga halagang ito upang ang lugar ng trapezoid ay nakatali mula sa itaas ng tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na A1 (t1, φ(t1) ) at A2 (t2, φ(t2)) ay katumbas ng integral ng anumang polynomial ng ilang pinakamataas na antas.
Ipagpalagay na ito ay isang polynomial ng ikatlong antas, kinakalkula namin ang t1, t2, na lumalabas na katumbas ng at , naiiba lamang sa pagbilang ng mga halaga.
Dagdag pa, ang paghahati sa bahagi ng pagsasama sa n mga bahagi, na inilalapat ang ideya na inilarawan sa itaas sa bawat isa sa kanila, maaari nating makuha ang formula ng Gauss:

Pagsasama ng numero

Pagsasama ng numero(makasaysayang pangalan: (numero) kuwadrante ) - pagkalkula ng halaga ng isang tiyak na integral (karaniwan ay tinatayang). Ang numerical integration ay nauunawaan bilang isang set ng mga numerical na pamamaraan para sa paghahanap ng halaga ng isang partikular na integral.

Inilapat ang numerical integration kapag:

Sa dalawang kasong ito, imposibleng kalkulahin ang integral gamit ang formula ng Newton-Leibniz. Posible rin na ang anyo ng antiderivative ay napakasalimuot na mas mabilis na kalkulahin ang halaga ng integral ayon sa numero.

Isang-dimensional na kaso

Ang pangunahing ideya ng karamihan sa mga pamamaraan ng pagsasama ng numero ay upang palitan ang integrat ng isang mas simple, ang integral na kung saan ay madaling kalkulahin nang analytical. Sa kasong ito, upang tantyahin ang halaga ng integral, mga formula ng form

kung saan ang bilang ng mga punto kung saan kinakalkula ang halaga ng integrand. Ang mga puntos ay tinatawag na mga node ng pamamaraan, ang mga numero ay ang mga bigat ng mga node. Kapag ang integrand ay pinalitan ng isang polynomial ng zero, una at pangalawang antas, ang mga pamamaraan ng mga parihaba, trapezoid at parabolas (Simpson) ay nakuha, ayon sa pagkakabanggit. Kadalasan ang mga formula para sa pagtatantya ng halaga ng integral ay tinatawag na quadrature formula.

Ang isang espesyal na kaso ay ang paraan para sa pagbuo ng integral quadrature formula para sa pare-parehong grids, na kilala bilang Mga formula ng Cotes. Ang pamamaraan ay pinangalanan pagkatapos ng Roger Coates. Ang pangunahing ideya ng pamamaraan ay upang palitan ang integrand na may ilang uri ng interpolation polynomial. Pagkatapos kunin ang integral, maaari na tayong magsulat

kung saan tinatawag ang mga numero Mga coefficient ng Cotes at kinakalkula bilang integral ng mga kaukulang polynomial sa orihinal na interpolation polynomial para sa integrand na may halaga ng function sa node ( ay ang grid step; ay ang bilang ng mga grid node, at ang node index ay ). Ang termino ay ang error ng pamamaraan, na maaaring matagpuan sa iba't ibang paraan. Para sa kakaiba, ang error ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagsasama ng error ng interpolation polynomial ng integrand.

Ang mga espesyal na kaso ng mga formula ng Cotes ay: mga rectangle formula (n=0), trapezoid formula (n=1), Simpson formula (n=2), Newton formula (n=3), atbp.

Paraan ng Parihaba

Hayaang kailanganin upang matukoy ang halaga ng integral ng function sa pagitan. Ang segment na ito ay hinati ng mga puntos sa pantay na mga segment ng haba Tukuyin sa pamamagitan ng halaga ng function sa mga punto Susunod, binubuo namin ang mga kabuuan Ang bawat isa sa mga kabuuan ay ang integral na kabuuan para sa on at samakatuwid ay tinatayang nagpapahayag ng integral

Kung ang ibinigay na function ay positibo at tumataas, kung gayon ang formula na ito ay nagpapahayag ng lugar ng isang stepped figure na binubuo ng "papasok" na mga parihaba, na tinatawag ding formula ng mga kaliwang parihaba, at ang formula

nagpapahayag ng lugar ng isang stepped figure na binubuo ng "outgoing" na mga parihaba, na tinatawag ding formula ng mga tamang parihaba. Kung mas maikli ang haba ng mga segment kung saan nahahati ang segment, mas tumpak ang halaga na kinakalkula ng formula na ito ng gustong integral.

Malinaw, ito ay nagkakahalaga ng pagbibilang sa higit na katumpakan kung gagawin natin ang punto sa gitna ng puwang bilang isang reference point para sa paghahanap ng taas. Bilang resulta, nakukuha namin ang formula para sa mga gitnang parihaba:

Dahil sa isang priori na higit na katumpakan ng huling formula na may parehong dami at likas na katangian ng mga kalkulasyon, ito ay tinatawag na formula ng mga parihaba

Trapezoidal na pamamaraan

Kung ang pag-andar sa bawat isa sa mga bahagyang segment ay tinatantya ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga huling halaga, pagkatapos ay makuha namin ang paraan ng trapezoid.

Ang lugar ng trapezoid sa bawat segment:

Error sa pagtatantya sa bawat segment:

saan

Ang buong formula para sa mga trapezoid sa kaso ng paghahati ng buong agwat ng pagsasama sa mga segment ng parehong haba:

saan

Error sa formula ng trapezoidal:

saan

Paraan ng parabola (paraan ni Simpson)

Gamit ang tatlong punto ng integration segment, maaari naming palitan ang integrand ng isang parabola. Karaniwan, ang mga dulo ng segment at ang midpoint nito ay ginagamit bilang mga naturang punto. Sa kasong ito, ang formula ay napaka-simple

.

Kung hahatiin natin ang agwat ng pagsasama sa pantay na bahagi, mayroon tayo

Pagtaas ng Katumpakan

Ang pagtatantya ng isang function sa pamamagitan ng isang polynomial sa buong agwat ng pagsasama, bilang panuntunan, ay humahantong sa isang malaking error sa pagtantya ng halaga ng integral.

Upang mabawasan ang error, ang segment ng integration ay nahahati sa mga bahagi at isang numerical na paraan ang ginagamit upang suriin ang integral sa bawat isa sa kanila.

Dahil ang bilang ng mga partisyon ay may posibilidad na infinity, ang pagtatantya ng integral ay may posibilidad na ang tunay na halaga nito para sa analytic function para sa anumang numerical na paraan.

Ang mga pamamaraan sa itaas ay nagbibigay-daan para sa isang simpleng pamamaraan ng paghahati ng hakbang, habang sa bawat hakbang ay kinakailangan upang kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar lamang sa mga bagong idinagdag na node. Upang matantya ang error sa pagkalkula, ginagamit ang panuntunan ng Runge.

Pamamaraan ng Gauss

Ang mga pamamaraan na inilarawan sa itaas ay gumagamit ng mga nakapirming mga punto ng segment (mga dulo at gitna) at may mababang pagkakasunud-sunod ng katumpakan (1 - kanan at kaliwang rektanggulo na pamamaraan, 2 - gitnang rektanggulo at trapezoid na pamamaraan, 3 - parabola (Simpson) na pamamaraan). Kung maaari nating piliin ang mga punto kung saan kinakalkula natin ang mga halaga ng function , pagkatapos ay makakakuha tayo ng mga pamamaraan ng mas mataas na pagkakasunud-sunod ng katumpakan na may parehong bilang ng mga kalkulasyon ng integrand. Kaya para sa dalawa (tulad ng sa trapezoid method) na mga kalkulasyon ng mga halaga ng integrand, maaari kang makakuha ng isang paraan hindi na sa ika-2, ngunit sa ika-3 na pagkakasunud-sunod ng katumpakan:

.

Sa pangkalahatan, gamit ang mga puntos, maaari kang makakuha ng isang pamamaraan na may pagkakasunud-sunod ng katumpakan. Ang mga halaga ng node ng pamamaraang Gauss sa pamamagitan ng mga puntos ay ang mga ugat ng Legendre polynomial of degree.

Ang mga halaga ng mga node ng pamamaraang Gaussian at ang kanilang mga timbang ay ibinibigay sa mga sangguniang libro ng mga espesyal na pag-andar. Ang pinakakilala ay ang Gaussian five-point method.

Gauss-Kronrod na pamamaraan

Ang kawalan ng pamamaraang Gauss ay wala itong madaling (mula sa isang computational point of view) na paraan upang tantiyahin ang error ng nakuhang halaga ng integral. Ang paggamit ng panuntunan ng Runge ay nangangailangan ng pagkalkula ng integrand sa halos parehong bilang ng mga puntos, nang hindi nagbibigay ng halos anumang pakinabang sa katumpakan, sa kaibahan sa mga simpleng pamamaraan, kung saan ang katumpakan ay tumataas nang maraming beses sa bawat bagong partition. Iminungkahi ni Kronrod ang sumusunod na pamamaraan para sa pagtatantya ng halaga ng integral

,

nasaan ang mga node ng pamamaraang Gauss ayon sa mga puntos, at ang mga parameter , , ay pinili sa paraang ang pagkakasunud-sunod ng katumpakan ng pamamaraan ay katumbas ng .

Pagkatapos, upang matantya ang error, maaari mong gamitin ang empirical formula:

,

kung saan ang tinatayang halaga ng integral na nakuha ng pamamaraang Gauss sa mga puntos. Ang mga library ng gsl at SLATEC para sa pagkalkula ng mga tiyak na integral ay naglalaman ng mga gawain gamit ang Gauss-Kronrod method para sa 15, 21, 31, 41, 51 at 61 na puntos. Ginagamit ng library ang Gauss-Kronrod method para sa 15 puntos.

Pamamaraan ng Chebyshev

Pagsasama sa ilalim ng walang katapusang limitasyon

Upang pagsamahin ang higit sa walang katapusang mga limitasyon, kailangan mong magpakilala ng hindi pare-parehong grid, ang mga hakbang na tumataas habang papunta ka sa infinity, o maaari kang gumawa ng ganoong pagbabago ng mga variable sa integral, pagkatapos nito ay magiging may hangganan ang mga limitasyon. Ang isa ay maaaring magpatuloy sa katulad na paraan kung ang function ay isahan sa mga dulo ng integration interval

Mga Paraan ng Monte Carlo

Larawan 3 Numerical integration ng isang function sa pamamagitan ng Monte Carlo method

Upang matukoy ang lugar sa ilalim ng function graph, maaari mong gamitin ang sumusunod na stochastic algorithm:

Para sa isang maliit na bilang ng mga sukat ng integrable function, ang pagganap ng Monte Carlo integration ay mas mababa kaysa sa pagganap ng mga deterministic na pamamaraan. Gayunpaman, sa ilang mga kaso, kapag ang function ay implicitly na tinukoy, ngunit ito ay kinakailangan upang matukoy ang lugar na tinukoy sa anyo ng mga kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay, ang stochastic na paraan ay maaaring maging mas kanais-nais.

Mga Paraan ng Runge-Kutta

pamamaraan ng spline

Multivariate na kaso

Sa maliliit na dimensyon, maaari ding ilapat ang mga formula ng kuwadratura batay sa mga interpolation polynomial. Gayunpaman, sa mas matataas na dimensyon, nagiging hindi katanggap-tanggap ang mga pamamaraang ito dahil sa mabilis na pagtaas ng bilang ng mga grid point at/o ang kumplikadong hangganan ng rehiyon. Sa kasong ito, ginagamit ang pamamaraang Monte Carlo. Ang mga random na puntos ay nabuo sa aming lugar at ang mga halaga ng pag-andar sa kanila ay na-average. Maaari ka ring gumamit ng isang halo-halong diskarte - hatiin ang lugar sa ilang mga bahagi, sa bawat isa (o sa mga kung saan ang integral ay hindi maaaring kalkulahin dahil sa isang kumplikadong hangganan) ilapat ang pamamaraan ng Monte Carlo.

Panitikan

1. Kahaner D., Moler K., Nash S. Mga numerical na pamamaraan at software (isinalin mula sa Ingles). M.: Mir, 2001, 575 p.