Random variable tinatawag ang isang variable na, bilang resulta ng bawat pagsubok, ay tumatagal sa isang dating hindi kilalang halaga, depende sa mga random na dahilan. Ang mga random na variable ay tinutukoy ng malalaking letrang Latin: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Ayon sa kanilang uri, ang mga random na variable ay maaaring discrete at tuloy-tuloy.

Discrete random variable- ito ay tulad ng isang random na variable, ang mga halaga ay maaaring hindi hihigit sa mabibilang, iyon ay, maaaring may hangganan o mabibilang. Ang pagbibilang ay nangangahulugan na ang mga halaga ng isang random na variable ay maaaring mabilang.

Halimbawa 1 . Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga discrete random variable:

a) ang bilang ng mga hit sa target na may $n$ shot, dito ang mga posibleng value ay $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) ang bilang ng mga coats of arm na nahulog kapag naghagis ng barya, narito ang mga posibleng halaga ay $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) ang bilang ng mga barkong dumating sakay (isang mabibilang na hanay ng mga halaga).

d) ang bilang ng mga tawag na dumarating sa exchange (isang mabibilang na hanay ng mga halaga).

1. Batas ng probability distribution ng isang discrete random variable.

Maaaring kunin ng discrete random variable na $X$ ang mga value na $x_1,\dots ,\ x_n$ na may probabilities na $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Ang pagsusulatan sa pagitan ng mga halagang ito at ang kanilang mga probabilidad ay tinatawag batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable. Bilang isang patakaran, ang sulat na ito ay tinukoy gamit ang isang talahanayan, sa unang linya kung saan ang mga halaga ng $x_1,\dots ,\ x_n$ ay ipinahiwatig, at sa pangalawang linya ang mga probabilidad na nauugnay sa mga halagang ito ay $ p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$

Halimbawa 2 . Hayaang ang random variable na $X$ ay ang bilang ng mga puntos na pinagsama kapag ang isang dice ay pinagsama. Ang ganitong random na variable na $X$ ay maaaring tumagal ng mga sumusunod na halaga $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Ang mga probabilidad ng lahat ng mga halagang ito ay katumbas ng $1/6$. Pagkatapos ay ang probability distribution law para sa random variable na $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Magkomento. Dahil ang mga kaganapang $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan sa batas ng pamamahagi ng discrete random variable na $X$, ang kabuuan ng mga probabilidad ay dapat na katumbas ng isa, ibig sabihin, $\sum( p_i)=1$.

2. Mathematical expectation ng isang discrete random variable.

Pag-asa sa matematika ng isang random na variable tumutukoy sa "gitnang" halaga nito. Para sa isang discrete random variable, ang mathematical expectation ay kinakalkula bilang ang kabuuan ng mga produkto ng mga value na $x_1,\dots ,\ x_n$ at ang probabilities $p_1,\dots ,\ p_n$ na naaayon sa mga value na ito, i.e.: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Sa panitikang Ingles, isa pang notasyong $E\left(X\right)$ ang ginagamit.

Mga Katangian ng Inaasahan$M\kaliwa(X\kanan)$:

1. Ang $M\left(X\right)$ ay nasa pagitan ng pinakamaliit at pinakamalaking value ng random variable na $X$.
2. Ang pag-asa sa matematika ng isang pare-pareho ay katumbas ng pare-pareho mismo, i.e. $M\left(C\right)=C$.
3. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa pag-asa sign: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Ang inaasahan sa matematika ng kabuuan ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga inaasahan sa matematika: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Ang mathematical expectation ng produkto ng independent random variables ay katumbas ng product ng kanilang mathematical expectations: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Halimbawa 3 . Hanapin natin ang mathematical na inaasahan ng random variable na $X$ mula sa halimbawang $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\over (6))=3.5.$$

Mapapansin natin na ang $M\left(X\right)$ ay nasa pagitan ng pinakamaliit ($1$) at pinakamalaking ($6$) na halaga ng random variable na $X$.

Halimbawa 4 . Alam na ang mathematical expectation ng random variable na $X$ ay katumbas ng $M\left(X\right)=2$. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng random variable na $3X+5$.

Gamit ang mga katangian sa itaas, nakukuha namin ang $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Halimbawa 5 . Alam na ang mathematical expectation ng random variable na $X$ ay katumbas ng $M\left(X\right)=4$. Hanapin ang mathematical expectation ng random variable na $2X-9$.

Gamit ang mga katangian sa itaas, nakukuha namin ang $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Pagpapakalat ng isang discrete random variable.

Ang mga posibleng halaga ng mga random na variable na may pantay na mga inaasahan sa matematika ay maaaring magkalat nang iba sa kanilang mga average na halaga. Halimbawa, sa dalawang grupo ng mag-aaral, ang average na marka para sa pagsusulit sa teorya ng probabilidad ay naging 4, ngunit sa isang grupo ang lahat ay naging mahusay na mga mag-aaral, at sa kabilang grupo - mga mag-aaral lamang ng C at mahusay na mga mag-aaral. Samakatuwid, mayroong isang pangangailangan para sa isang numerong katangian ng isang random na variable, na magpapakita ng pagkalat ng mga halaga ng isang random na variable sa paligid ng kanyang inaasahan sa matematika. Ang katangiang ito ay pagpapakalat.

Pagpapakalat ng isang discrete random variable Ang $X$ ay:

$$D\kaliwa(X\kanan)=\sum^n_(i=1)(p_i(\kaliwa(x_i-M\kaliwa(X\kanan)\kanan))^2).\ $$

Sa panitikang Ingles, ginagamit ang notasyong $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Kadalasan ang variance $D\left(X\right)$ ay kinakalkula ng formula na $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ kaliwa(X \kanan)\kanan))^2$.

Mga Katangian ng Dispersion$D\left(X\right)$:

1. Ang dispersion ay palaging mas malaki kaysa sa o katumbas ng zero, i.e. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Ang pagpapakalat mula sa isang pare-pareho ay katumbas ng zero, i.e. $D\left(C\right)=0$.
3. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa dispersion sign, sa kondisyon na ito ay parisukat, i.e. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Ang pagkakaiba ng kabuuan ng mga independiyenteng random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba, i.e. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Ang pagkakaiba ng pagkakaiba ng mga independiyenteng random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba, i.e. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Halimbawa 6 . Kalkulahin natin ang pagkakaiba ng random variable na $X$ mula sa halimbawang $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\approx 2.92.$$

Halimbawa 7 . Alam na ang pagkakaiba ng random variable na $X$ ay katumbas ng $D\left(X\right)=2$. Hanapin ang pagkakaiba ng random variable na $4X+1$.

Gamit ang mga katangian sa itaas, makikita natin ang $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ kaliwa(X\kanan)=16\cdot 2=32$.

Halimbawa 8 . Alam na ang pagkakaiba ng $X$ ay katumbas ng $D\left(X\right)=3$. Hanapin ang pagkakaiba ng random variable na $3-2X$.

Gamit ang mga katangian sa itaas, makikita natin ang $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ left(X\right)=4\cdot 3=12$.

4. Distribution function ng isang discrete random variable.

Ang paraan ng kumakatawan sa isang discrete random variable sa anyo ng isang serye ng pamamahagi ay hindi lamang isa, at higit sa lahat, ito ay hindi pangkalahatan, dahil ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay hindi maaaring tukuyin gamit ang isang serye ng pamamahagi. May isa pang paraan upang kumatawan sa isang random na variable - ang distribution function.

function ng pamamahagi Ang random variable na $X$ ay isang function na $F\left(x\right)$, na tumutukoy sa posibilidad na ang random variable na $X$ ay kukuha ng value na mas mababa sa ilang fixed value na $x$, ibig sabihin, $F\left(x\ kanan)$ )=P\kaliwa(X< x\right)$

Mga katangian ng pagpapaandar ng pamamahagi:

1. $0\le F\kaliwa(x\kanan)\le 1$.
2. Ang posibilidad na ang random variable na $X$ ay kumukuha ng mga halaga mula sa pagitan na $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga value ng distribution function sa mga dulo ng interval na ito : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - hindi bumababa.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \kanan)=1\ )$.

Halimbawa 9 . Hanapin natin ang distribution function na $F\left(x\right)$ para sa distribution law ng discrete random variable na $X$ mula sa halimbawang $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Kung $x\le 1$, maliwanag na $F\left(x\right)=0$ (kabilang ang $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Kung $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Kung $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Kung $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Kung $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Kung $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Kung $x > 6$ pagkatapos ay $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\kaliwa(X=4\kanan)+P\kaliwa(X=5\kanan)+P\kaliwa(X=6\kanan)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Kaya $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, sa \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, sa \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ sa\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ sa \ 4< x\le 5,\\
1,\ para sa \ x > 6.
\end(matrix)\right.$

Kahulugan 1

Ang isang random na variable na $X$ ay tinatawag na discrete (discontinuous) kung ang set ng mga value nito ay infinite o may hangganan ngunit mabibilang.

Sa madaling salita, ang isang dami ay tinatawag na discrete kung ang mga halaga nito ay maaaring mabilang.

Maaari mong ilarawan ang isang random na variable gamit ang batas ng pamamahagi.

Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable $X$ ay maaaring ibigay sa anyo ng isang talahanayan, sa unang hilera kung saan ang lahat ng posibleng mga halaga ng random variable ay ipinahiwatig sa pataas na pagkakasunud-sunod, at sa pangalawang hilera ang kaukulang mga probabilidad. ng mga halagang ito:

Larawan 1.

kung saan $p1+ p2+ ... + pn = 1$.

Ang table na ito ay malapit sa distribusyon ng isang discrete random variable.

Kung ang hanay ng mga posibleng halaga ng isang random na variable ay walang katapusan, ang seryeng $p1+ p2+ ... + pn+ ...$ ay nagtatagpo at ang kabuuan nito ay katumbas ng $1$.

Ang batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable na $X$ ay maaaring ilarawan nang grapiko, kung saan ang isang putol na linya ay itinayo sa sistema ng coordinate (parihaba), na sunud-sunod na nag-uugnay sa mga puntos na may mga coordinate $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Ang linyang tinawag polygon ng pamamahagi.

Figure 2.

Ang batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable na $X$ ay maaari ding ilarawan sa analytical (gamit ang formula):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Mga aksyon sa discrete probabilities

Kapag nilulutas ang maraming mga problema ng teorya ng posibilidad, kinakailangan na magsagawa ng mga operasyon ng pagpaparami ng isang discrete random variable sa isang pare-pareho, pagdaragdag ng dalawang random na variable, pagpaparami sa kanila, at pagdadala sa kanila sa isang kapangyarihan. Sa mga kasong ito, kinakailangan na sumunod sa mga sumusunod na patakaran para sa mga random na discrete variable:

Kahulugan 3

Sa pamamagitan ng pagpaparami isang discrete random variable $X$ hanggang sa constant $K$ ay isang discrete random variable $Y=KX,$ na dahil sa mga pagkakapantay-pantay: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left (x_i\right)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Kahulugan 4

Dalawang random na variable na $x$ at $y$ ang tinatawag malaya, kung ang batas sa pamamahagi ng isa sa mga ito ay hindi nakasalalay sa kung anong posibleng mga halaga ang nakuha ng pangalawang halaga.

Kahulugan 5

sum dalawang independiyenteng discrete random variable $X$ at $Y$ ay tinatawag na random variable $Z=X+Y, $ ay dahil sa mga pagkakapantay-pantay: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\kanan)= P\kaliwa(x_i\kanan)P\kaliwa(y_j\kanan)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Kahulugan 6

Sa pamamagitan ng pagpaparami dalawang independiyenteng discrete random variable $X$ at $Y$ ay tinatawag na random variable $Z=XY, $ ay dahil sa mga pagkakapantay-pantay: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ kaliwa(x_i\kanan )=p_i$, $P\kaliwa(y_j\kanan)=p"_j$.

Isaalang-alang natin na ang ilang mga produkto na $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ ay maaaring pantay-pantay sa isa't isa. Sa kasong ito, ang posibilidad ng pagdaragdag ng produkto ay katumbas ng kabuuan ng mga katumbas na probabilidad.

Halimbawa, kung $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $ang probabilidad ng $x_2y_3$ (o kaparehong $x_5y_7$) ay magiging katumbas ng $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

Nalalapat din ang nasa itaas sa halaga. Kung $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ kung gayon ang probabilidad ng $x_1+\ y_2$ (o kaparehong $x_4+\ y_6$) ay magiging $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$

Hayaang ang mga random na variable na $X$ at $Y$ ay ibinigay ng mga batas sa pamamahagi:

Larawan 3

Kung saan $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Kung gayon ang batas sa pamamahagi para sa kabuuan na $X+Y$ ay magmumukhang

Larawan 4

At ang batas sa pamamahagi ng produkto na $XY$ ay magkakaroon ng form

Larawan 5

function ng pamamahagi

Ang kumpletong paglalarawan ng isang random na variable ay ibinibigay din ng distribution function.

Sa geometrically, ang distribution function ay ipinaliwanag bilang ang posibilidad na ang random variable na $X$ ay kumukuha ng value na kinakatawan sa totoong linya ng puntong nasa kaliwa ng point na $x$.

X; ibig sabihin F(5); ang posibilidad na ang random variable X kukuha ng mga halaga mula sa pagitan. Bumuo ng distribution polygon.

1. Ang distribution function na F(x) ng isang discrete random variable ay kilala X:

Tukuyin ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable X sa anyo ng isang mesa.

1. Ibinigay ang batas ng pamamahagi ng isang random variable X:

X	–28	–20	–12	–4
p	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. Ang posibilidad na ang tindahan ay may mga sertipiko ng kalidad para sa buong hanay ng mga produkto ay 0.7. Sinuri ng komisyon ang pagkakaroon ng mga sertipiko sa apat na tindahan sa distrito. Gumawa ng batas sa pamamahagi, kalkulahin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba-iba ng bilang ng mga tindahan kung saan ang mga sertipiko ng kalidad ay hindi natagpuan sa panahon ng tseke.

1. Upang matukoy ang average na oras ng pagkasunog ng mga electric lamp sa isang batch ng 350 magkaparehong mga kahon, isang electric lamp mula sa bawat kahon ay kinuha para sa pagsubok. Tantyahin mula sa ibaba ang posibilidad na ang average na oras ng pagsunog ng mga napiling electric lamp ay naiiba mula sa average na oras ng pagkasunog ng buong batch sa pamamagitan ng isang ganap na halaga na mas mababa sa 7 oras, kung ito ay kilala na ang standard deviation ng burning time ng mga electric lamp sa bawat kahon ay wala pang 9 na oras.

1. Sa palitan ng telepono, ang isang hindi tamang koneksyon ay nangyayari na may posibilidad na 0.002. Hanapin ang posibilidad na sa 500 mga koneksyon ay magkakaroon ng:

Hanapin ang distribution function ng isang random variable X. I-plot ang mga function at . Kalkulahin ang mean, variance, mode, at median ng isang random variable X.

1. Ang awtomatikong makina ay gumagawa ng mga roller. Ito ay pinaniniwalaan na ang kanilang diameter ay isang normal na ibinahagi na random variable na may average na halaga na 10 mm. Ano ang karaniwang paglihis kung, na may posibilidad na 0.99, ang diameter ay nasa saklaw mula 9.7 mm hanggang 10.3 mm.

Halimbawa A: 6 9 7 6 4 4

Sample B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opsyon 17.

1. Sa 35 na bahagi, 7 ay hindi pamantayan. Hanapin ang posibilidad na ang dalawang bahagi na pinili nang random ay pamantayan.

1. Maghagis ng tatlong dice. Hanapin ang posibilidad na ang kabuuan ng mga puntos sa mga nalaglag na mukha ay isang multiple ng 9.

1. Ang salitang "ADVENTURE" ay binubuo ng mga card, bawat isa ay may nakasulat na isang letra. Ang mga card ay binabalasa at inilabas nang paisa-isa nang hindi bumabalik. Hanapin ang posibilidad na ang mga titik na kinuha sa pagkakasunud-sunod ng hitsura ay bumubuo ng isang salita: a) ADVENTURE; b) BIBIHIN.

1. Ang isang urn ay naglalaman ng 6 na itim at 5 puting bola. 5 bola ay random na iginuhit. Hanapin ang posibilidad na sa kanila ay mayroong:
1. 2 puting bola;
2. mas mababa sa 2 puting bola;
3. kahit isang itim na bola.

1. PERO sa isang pagsubok ay 0.4. Hanapin ang mga probabilidad ng mga sumusunod na kaganapan:
1. kaganapan PERO lalabas ng 3 beses sa isang serye ng 7 independiyenteng pagsubok;
2. kaganapan PERO ay lilitaw ng hindi bababa sa 220 at hindi hihigit sa 235 beses sa isang serye ng 400 mga hamon.

1. Nagpadala ang planta ng 5,000 de-kalidad na produkto sa base. Ang posibilidad na masira ang bawat produkto sa pagpapadala ay 0.002. Hanapin ang posibilidad na hindi hihigit sa 3 produkto ang masisira sa daan.

1. Ang unang urn ay naglalaman ng 4 na puti at 9 na itim na bola, at ang pangalawang urn ay naglalaman ng 7 puti at 3 itim na bola. 3 bola ay random na iginuhit mula sa unang urn, at 4 mula sa pangalawang urn. Hanapin ang posibilidad na ang lahat ng iginuhit na bola ay may parehong kulay.

1. Ibinigay ang batas ng pamamahagi ng isang random variable X:

Kalkulahin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba nito.

1. Mayroong 10 lapis sa kahon. 4 na lapis ang iginuhit nang random. Random na halaga X ay ang bilang ng mga asul na lapis sa mga napili. Hanapin ang batas ng distribusyon nito, ang inisyal at gitnang mga sandali ng ika-2 at ika-3 order.

1. Sinusuri ng departamento ng teknikal na kontrol ang 475 na mga produkto para sa mga depekto. Ang posibilidad na ang isang produkto ay may depekto ay 0.05. Hanapin na may posibilidad na 0.95 ang mga hangganan na maglalaman ng bilang ng mga may sira na produkto sa mga nasubok.

1. Sa palitan ng telepono, ang isang hindi tamang koneksyon ay nangyayari na may posibilidad na 0.003. Hanapin ang posibilidad na sa 1000 na koneksyon ay magkakaroon ng:
1. hindi bababa sa 4 na maling koneksyon;
2. higit sa dalawang maling koneksyon.

1. Ang random na variable ay ibinibigay ng distribution density function:

Hanapin ang distribution function ng isang random variable X. I-plot ang mga function at . Kalkulahin ang mathematical expectation, variance, mode at median ng isang random variable X.

1. Ang random variable ay ibinibigay ng distribution function:

1. Sa pamamagitan ng sample PERO lutasin ang mga sumusunod na gawain:
1. gumawa ng serye ng pagkakaiba-iba;

ang ibig sabihin ng sample;

Ang sample na pagkakaiba-iba

Mode at median;

Sample A: 0 0 2 2 1 4

1. kalkulahin ang mga numerical na katangian ng variational series:

ang ibig sabihin ng sample;

Ang sample na pagkakaiba-iba

· karaniwang lihis;

mode at median;

Sample B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opsyon 18.

1. Sa 10 lottery ticket, 2 ang nanalo. Hanapin ang posibilidad na isa sa limang tiket na iginuhit nang random ang magiging panalo.

1. Maghagis ng tatlong dice. Hanapin ang posibilidad na ang kabuuan ng mga pinagsamang puntos ay mas malaki sa 15.

1. Ang salitang "PERIMETER" ay binubuo ng mga card, bawat isa ay may nakasulat na isang titik. Ang mga card ay binabalasa at inilabas nang paisa-isa nang hindi bumabalik. Hanapin ang posibilidad na ang mga titik na kinuha ay bumubuo ng isang salita: a) PERIMETER; b) METER.

1. Ang isang urn ay naglalaman ng 5 itim at 7 puting bola. 5 bola ay random na iginuhit. Hanapin ang posibilidad na sa kanila ay mayroong:
1. 4 puting bola;
2. mas mababa sa 2 puting bola;
3. kahit isang itim na bola.

1. Probability ng isang kaganapan PERO sa isang pagsubok ay 0.55. Hanapin ang mga probabilidad ng mga sumusunod na kaganapan:
1. kaganapan PERO ay lilitaw ng 3 beses sa isang serye ng 5 hamon;
2. kaganapan PERO lalabas nang hindi bababa sa 130 at hindi hihigit sa 200 beses sa isang serye ng 300 hamon.

1. Ang posibilidad ng pagtagas sa isang lata ng de-latang pagkain ay 0.0005. Hanapin ang posibilidad na ang dalawa sa 2000 garapon ay tumutulo.

1. Ang unang urn ay naglalaman ng 4 na puti at 8 itim na bola, at ang pangalawang urn ay naglalaman ng 7 puti at 4 na itim na bola. 2 bola ang random na kinukuha mula sa unang urn at 3 bola ang random na nakuha mula sa pangalawang urn. Hanapin ang posibilidad na ang lahat ng mga bola na iginuhit ay may parehong kulay.

1. Kabilang sa mga bahagi na dumarating para sa pagpupulong, mula sa unang makina 0.1% ay may depekto, mula sa pangalawa - 0.2%, mula sa pangatlo - 0.25%, mula sa ikaapat - 0.5%. Ang pagiging produktibo ng mga makina ay nauugnay nang naaayon bilang 4:3:2:1. Ang isang bahagi na kinuha nang random ay naging pamantayan. Hanapin ang posibilidad na ang bagay ay ginawa sa unang makina.

1. Ibinigay ang batas ng pamamahagi ng isang random variable X:

Kalkulahin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba nito.

1. Ang isang electrician ay may tatlong bombilya, na ang bawat isa ay may depekto na may posibilidad na 0.1 .. Ang mga bombilya ay naka-screw sa socket at ang kasalukuyang ay nakabukas. Kapag naka-on ang kasalukuyang, ang sira na bombilya ay agad na nasusunog at napapalitan ng isa pa. Hanapin ang batas sa pamamahagi, mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng bilang ng mga bombilya na nasubok.

1. Ang posibilidad na matamaan ang target ay 0.3 para sa bawat isa sa 900 independent shot. Gamit ang hindi pagkakapantay-pantay ng Chebyshev, tantyahin ang posibilidad na matamaan ang target ng hindi bababa sa 240 beses at hindi hihigit sa 300 beses.

1. Sa palitan ng telepono, ang isang hindi tamang koneksyon ay nangyayari na may posibilidad na 0.002. Hanapin ang posibilidad na sa 800 na koneksyon ay magkakaroon ng:
1. hindi bababa sa tatlong maling koneksyon;
2. higit sa apat na maling koneksyon.

1. Ang random na variable ay ibinibigay ng distribution density function:

Hanapin ang distribution function ng random variable X. Bumuo ng mga graph ng mga function at . Kalkulahin ang mean, variance, mode, at median ng isang random variable X.

1. Ang random variable ay ibinibigay ng distribution function:

1. Sa pamamagitan ng sample PERO lutasin ang mga sumusunod na gawain:
1. gumawa ng serye ng pagkakaiba-iba;
2. kalkulahin ang mga kamag-anak at naipon na mga frequency;
3. bumuo ng isang empirical distribution function at bumuo ng graph nito;
4. kalkulahin ang mga numerical na katangian ng variational series:

ang ibig sabihin ng sample;

Ang sample na pagkakaiba-iba

· karaniwang lihis;

mode at median;

Halimbawa A: 4 7 6 3 3 4

1. Para sa sample B, lutasin ang mga sumusunod na problema:
1. gumawa ng pinagsama-samang serye ng variation;
2. bumuo ng isang histogram at isang polygon ng mga frequency;
3. kalkulahin ang mga numerical na katangian ng variational series:

ang ibig sabihin ng sample;

Ang sample na pagkakaiba-iba

· karaniwang lihis;

mode at median;

Sample B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opsyon 19.

1. 16 na babae at 5 lalaki ang nagtatrabaho sa site. 3 tao ang random na pinili ayon sa mga numero ng tauhan. Hanapin ang posibilidad na ang lahat ng napiling tao ay lalaki.

2. Apat na barya ang inihagis. Hanapin ang posibilidad na dalawang barya lamang ang magkakaroon ng coat of arms.

3. Ang salitang "SIKOLOHIYA" ay binubuo ng mga kard, na bawat isa ay may nakasulat na isang letra. Ang mga card ay binabalasa at inilabas nang paisa-isa nang hindi bumabalik. Hanapin ang posibilidad na ang mga titik na kinuha ay bumubuo ng isang salita: a) PSYCHOLOGY; b) KAWANI.

4. Ang isang urn ay naglalaman ng 6 na itim at 7 puting bola. 5 bola ay random na iginuhit. Hanapin ang posibilidad na sa kanila ay mayroong:

a. 3 puting bola;

b. mas mababa sa 3 puting bola;

c. kahit isang puting bola.

5. Probability ng pangyayari PERO sa isang pagsubok ay 0.5. Hanapin ang mga probabilidad ng mga sumusunod na kaganapan:

a. kaganapan PERO lalabas ng 3 beses sa isang serye ng 5 independiyenteng pagsubok;

b. kaganapan PERO lalabas nang hindi bababa sa 30 at hindi hihigit sa 40 beses sa isang serye ng 50 hamon.

6. Mayroong 100 mga makina ng parehong kapangyarihan, na gumagana nang nakapag-iisa sa bawat isa sa parehong mode, kung saan ang kanilang drive ay naka-on para sa 0.8 na oras ng pagtatrabaho. Ano ang posibilidad na, sa anumang oras, sa pagitan ng 70 at 86 na makina ay naka-on?

7. Ang unang urn ay naglalaman ng 4 na puti at 7 itim na bola, at ang pangalawang urn ay naglalaman ng 8 puti at 3 itim na bola. 4 na bola ang random na kinukuha mula sa unang urn at 1 bola mula sa pangalawang urn. Hanapin ang posibilidad na mayroon lamang 4 na itim na bola sa mga iginuhit na bola.

8. Araw-araw, tatlong tatak ng mga kotse ang inihahatid sa dealership ng kotse sa dami: Moskvich - 40%; "Oka" - 20%; "Volga" - 40% ng lahat ng mga na-import na kotse. Sa mga kotse ng tatak ng Moskvich, 0.5% ay may isang anti-theft device, Oka - 0.01%, Volga - 0.1%. Hanapin ang posibilidad na ang kotse na kinuha para sa pagsubok ay may isang anti-theft device.

9. Mga numero at pinili nang random sa segment. Hanapin ang posibilidad na ang mga numerong ito ay nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay.

10. Ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable ay ibinigay X:

X
p	0,1	0,2	0,3	0,4

Hanapin ang distribution function ng isang random variable X; ibig sabihin F(2); ang posibilidad na ang random variable X kukuha ng mga halaga mula sa pagitan. Bumuo ng distribution polygon.

Sa pahinang ito nakolekta namin ang mga halimbawa ng paglutas ng pang-edukasyon mga problema sa discrete random variable. Ito ay isang medyo malawak na seksyon: iba't ibang mga batas sa pamamahagi (binomial, geometric, hypergeometric, Poisson at iba pa), ang mga katangian at numerical na katangian ay pinag-aaralan, ang mga graphical na representasyon ay maaaring itayo para sa bawat serye ng pamamahagi: isang polygon (polygon) ng mga probabilidad, isang function ng pamamahagi .

Sa ibaba ay makakahanap ka ng mga halimbawa ng mga desisyon tungkol sa mga discrete random variable, kung saan kinakailangan na mag-apply ng kaalaman mula sa mga nakaraang seksyon ng probability theory upang makagawa ng batas sa pamamahagi, at pagkatapos ay kalkulahin ang mathematical expectation, variance, standard deviation, bumuo ng distribution function. , sagutin ang mga tanong tungkol sa DSV, atbp. P.

Mga halimbawa para sa mga sikat na batas sa pamamahagi ng posibilidad:

Mga Calculator para sa mga katangian ng DSV

• Pagkalkula ng mathematical expectation, variance at standard deviation ng DSV.

Nalutas ang mga problema tungkol sa DSV

Mga distribusyon na malapit sa geometric

Gawain 1. Mayroong 4 na ilaw ng trapiko sa daan ng kotse, bawat isa ay nagbabawal sa karagdagang paggalaw ng kotse na may posibilidad na 0.5. Hanapin ang bilang ng pamamahagi ng bilang ng mga traffic light na dumaan sa sasakyan bago ang unang hintuan. Ano ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng random variable na ito?

Gawain 2. Ang hunter ay bumaril sa laro bago ang unang hit, ngunit nakakagawa ng hindi hihigit sa apat na shot. Isulat ang batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga miss kung ang posibilidad na matamaan ang target sa isang shot ay 0.7. Hanapin ang pagkakaiba ng random variable na ito.

Gawain 3. Ang tagabaril, na mayroong 3 cartridge, ay bumaril sa target hanggang sa unang tama. Ang mga posibilidad na matamaan ang una, pangalawa at pangatlong shot ay 0.6, 0.5, 0.4, ayon sa pagkakabanggit. S.V. $\xi$ - bilang ng mga natitirang cartridge. Bumuo ng isang serye ng pamamahagi ng isang random na variable, hanapin ang mathematical na inaasahan, pagkakaiba-iba, standard deviation ng r.v., bumuo ng distribution function ng r.v., hanapin ang $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Gawain 4. Ang kahon ay naglalaman ng 7 standard at 3 may sira na bahagi. Ang mga bahagi ay kinuha nang sunud-sunod hanggang sa lumitaw ang karaniwang isa, nang hindi ibinabalik ang mga ito pabalik. $\xi$ - bilang ng mga may sira na bahagi na nakuha.
Bumuo ng batas sa pamamahagi para sa isang discrete random variable na $\xi$, kalkulahin ang mathematical expectation nito, variance, standard deviation, gumuhit ng distribution polygon at isang graph ng distribution function.

Mga Gawain na may mga Independent Events

Gawain 5. 3 mag-aaral ang dumating sa muling pagsusuri sa teorya ng posibilidad. Ang posibilidad na ang una ay makapasa sa pagsusulit ay 0.8, ang pangalawa - 0.7, ang pangatlo - 0.9. Hanapin ang serye ng pamamahagi ng random variable na $\xi$ ng bilang ng mga estudyanteng nakapasa sa pagsusulit, bumuo ng graph ng distribution function, hanapin ang $M(\xi), D(\xi)$.

Gawain 6. Ang posibilidad na matamaan ang target sa isang shot ay 0.8 at bumababa sa bawat shot ng 0.1. Bumuo ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga hit sa target kung tatlong putok ang nagpaputok. Hanapin ang mathematical expectation, variance at S.K.O. ang random variable na ito. I-plot ang function ng pamamahagi.

Gawain 7. 4 na putok ang nagpaputok sa target. Sa kasong ito, ang posibilidad ng pagpindot ay tumataas tulad ng sumusunod: 0.2, 0.4, 0.6, 0.7. Hanapin ang batas sa pamamahagi ng random variable na $X$ - ang bilang ng mga hit. Hanapin ang posibilidad na ang $X \ge 1$.

Gawain 8. Dalawang simetriko na barya ang inihagis, binibilang ang bilang ng mga sandata sa magkabilang itaas na bahagi ng mga barya. Isinasaalang-alang namin ang isang discrete random variable $X$ - ang bilang ng mga coat of arm sa parehong mga barya. Isulat ang batas ng pamamahagi ng random variable na $X$, hanapin ang mathematical expectation nito.

Iba pang mga gawain at batas ng pamamahagi ng DSV

Gawain 9. Dalawang manlalaro ng basketball ang gumawa ng tatlong shot sa basket. Ang posibilidad na matamaan ang unang manlalaro ng basketball ay 0.6, para sa pangalawa - 0.7. Hayaan ang $X$ ang pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng matagumpay na paghagis ng una at pangalawang manlalaro ng basketball. Hanapin ang distribution series, mode at distribution function ng random variable na $X$. Bumuo ng distribution polygon at i-plot ang distribution function. Kalkulahin ang mathematical expectation, variance at standard deviation. Hanapin ang posibilidad ng kaganapan $(-2 \lt X \le 1)$.

Gawain 10. Ang bilang ng mga hindi residenteng barko na dumarating araw-araw para sa pagkarga sa isang partikular na daungan ay isang random na halaga na $X$, na ibinigay bilang sumusunod:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) tiyaking nakatakda ang serye ng pamamahagi,
B) hanapin ang distribution function ng random variable na $X$,
C) kung higit sa tatlong barko ang dumating sa isang partikular na araw, ang daungan ay mananagot para sa mga gastos dahil sa pangangailangan na kumuha ng karagdagang mga driver at loader. Ano ang posibilidad na ang port ay magkakaroon ng karagdagang gastos?
D) hanapin ang mathematical expectation, variance at standard deviation ng random variable na $X$.

Gawain 11. Maghagis ng 4 na dice. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng kabuuan ng bilang ng mga puntos na babagsak sa lahat ng mukha.

Gawain 12. Dalawang manlalaro ang humalili sa paghagis ng barya hanggang sa unang hitsura ng coat of arms. Ang manlalaro na nahulog ang coat of arms ay tumatanggap ng 1 ruble mula sa isa pang manlalaro. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng kabayaran ng bawat manlalaro.

Sa pagkakaalam, random variable ay tinatawag na variable na maaaring tumagal sa ilang mga halaga depende sa kaso. Ang mga random na variable ay tinutukoy ng malalaking titik ng alpabetong Latin (X, Y, Z), at ang kanilang mga halaga - ng kaukulang mga maliliit na titik (x, y, z). Ang mga random na variable ay nahahati sa discontinuous (discrete) at tuluy-tuloy.

Discrete random variable ay tinatawag na random variable na kumukuha lamang ng finite o infinite (countable) set of values ​​na may ilang non-zero probabilities.

Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay isang function na nag-uugnay sa mga halaga ng isang random na variable sa kanilang mga katumbas na probabilities. Maaaring tukuyin ang batas sa pamamahagi sa isa sa mga sumusunod na paraan.

1 . Ang batas sa pamamahagi ay maaaring ibigay ng talahanayan:

kung saan λ>0, k = 0, 1, 2, … .

sa) sa pamamagitan ng function ng pamamahagi F(x) , na tumutukoy para sa bawat value x ang posibilidad na ang random variable X ay kukuha ng value na mas mababa sa x, i.e. F(x) = P(X< x).

Mga katangian ng function F(x)

3 . Ang batas sa pamamahagi ay maaaring itakda nang graphical – distribution polygon (polygon) (tingnan ang problema 3).

Tandaan na upang malutas ang ilang mga problema, hindi kinakailangang malaman ang batas sa pamamahagi. Sa ilang mga kaso, sapat na upang malaman ang isa o higit pang mga numero na nagpapakita ng pinakamahalagang katangian ng batas sa pamamahagi. Ito ay maaaring isang numero na may kahulugan ng "average na halaga" ng isang random na variable, o isang numero na nagpapakita ng average na laki ng deviation ng isang random na variable mula sa average na halaga nito. Ang mga numero ng ganitong uri ay tinatawag na mga numerical na katangian ng isang random na variable.

Mga pangunahing katangian ng numero ng isang discrete random variable :

• Pag-asa sa matematika (mean value) ng isang discrete random variable M(X)=Σ x i p i.
  Para sa binomial distribution M(X)=np, para sa Poisson distribution M(X)=λ
• Pagpapakalat discrete random variable D(X)=M2 o D(X) = M(X 2) − 2. Ang pagkakaiba ng X–M(X) ay tinatawag na paglihis ng isang random na variable mula sa inaasahan ng matematika nito.
  Para sa binomial distribution D(X)=npq, para sa Poisson distribution D(X)=λ
• Karaniwang lihis (karaniwang lihis) σ(X)=√D(X).

Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable"

Gawain 1.

1000 lottery ticket ang naibigay: 5 sa kanila ang nanalo ng 500 rubles, 10 - 100 rubles, 20 - 50 rubles, 50 - 10 rubles. Tukuyin ang batas ng probability distribution ng random variable X - mga panalo sa bawat tiket.

Desisyon. Ayon sa kondisyon ng problema, ang mga sumusunod na halaga ng random variable X ay posible: 0, 10, 50, 100 at 500.

Ang bilang ng mga tiket na hindi nanalo ay 1000 - (5+10+20+50) = 915, pagkatapos ay P(X=0) = 915/1000 = 0.915.

Sa katulad na paraan, makikita natin ang lahat ng iba pang probabilities: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005. Ipinakita namin ang nagresultang batas sa anyo ng isang talahanayan:

Hanapin ang mathematical na inaasahan ng X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

Gawain 3.

Ang aparato ay binubuo ng tatlong independiyenteng mga elemento ng pagpapatakbo. Ang posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento sa isang eksperimento ay 0.1. Gumuhit ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga nabigong elemento sa isang eksperimento, bumuo ng polygon ng pamamahagi. Hanapin ang distribution function na F(x) at i-plot ito. Hanapin ang mathematical expectation, variance at standard deviation ng isang discrete random variable.

Desisyon. 1. Ang discrete random variable X=(bilang ng mga nabigong elemento sa isang eksperimento) ay may mga sumusunod na posibleng halaga: x 1 =0 (wala sa mga elemento ng device ang nabigo), x 2 =1 (isang elemento ang nabigo), x 3 =2 ( dalawang elemento ang nabigo ) at x 4 \u003d 3 (tatlong elemento ang nabigo).

Ang mga pagkabigo ng mga elemento ay independiyente sa bawat isa, ang mga posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento ay katumbas ng bawat isa, samakatuwid, ito ay naaangkop Formula ni Bernoulli . Dahil, sa pamamagitan ng kundisyon, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, tinutukoy namin ang mga probabilidad ng mga halaga:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
Suriin: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.

Kaya, ang gustong binomial distribution law X ay may anyo:

Sa abscissa axis, inilalagay namin ang mga posibleng halaga x i, at sa ordinate axis, ang kaukulang probabilities р i . Bumuo tayo ng mga puntos na M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Ikinonekta ang mga puntong ito sa mga segment ng linya, makuha namin ang nais na polygon ng pamamahagi.

3. Hanapin ang distribution function F(x) = P(X

Para sa x ≤ 0 mayroon tayong F(x) = P(X<0) = 0;
para sa 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
para sa 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
para sa 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
para sa x > 3 ito ay magiging F(x) = 1, dahil tiyak ang kaganapan.

Graph ng function na F(x)

4. Para sa binomial distribution X:
- inaasahan sa matematika М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- dispersion D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- karaniwang paglihis σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.