Ang konsepto ng isang function Mga paraan ng pagtukoy ng isang function Mga halimbawa ng mga function Analytical na kahulugan ng isang function Graphical na paraan ng pagtukoy ng isang function Limitasyon ng isang function sa isang punto Tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function Limit theorems Pagkakakaiba ng isang limitasyon Boundedness ng isang function na may isang limit Pagpasa sa isang limitasyon sa hindi pagkakapantay-pantay Limitasyon ng isang function sa infinity Infinitesimal functions Mga katangian ng infinitesimal function

Ang konsepto ng isang function ay basic at orihinal, tulad ng konsepto ng isang set. Hayaang ang X ay ilang hanay ng mga tunay na numerong x. Kung ang isang tiyak na tunay na numero y ay itinalaga sa bawat x ∈ X ayon sa ilang batas, pagkatapos ay sinasabi nila na ang isang function ay ibinibigay sa set X at isulat. Ang function na ipinakilala sa ganitong paraan ay tinatawag na numerical one. Sa kasong ito, ang set X ay tinatawag na domain ng kahulugan ng function, at ang independent variable na x ay tinatawag na argument. Upang ipahiwatig ang isang function, kung minsan ang simbolo lamang ang ginagamit, na nagsasaad ng batas ng pagsusulatan, ibig sabihin, sa halip na f (x) n at jester, lang /. Kaya, ang function ay ibinibigay kung 1) ang domain ng kahulugan ay tinukoy 2) ang panuntunan /, na nagtatalaga sa bawat halaga a: € X isang tiyak na numero y \u003d / (x) - ang halaga ng function na naaayon sa halagang ito ng argumento x. Ang mga function / at g ay tinatawag na pantay-pantay kung ang kanilang mga domain ng kahulugan ay nag-tutugma at ang pagkakapantay-pantay na f(x) = g(x) ay totoo para sa anumang halaga ng argumentong x mula sa kanilang karaniwang domain. Kaya, ang mga function y ay hindi pantay; sila ay pantay lamang sa pagitan [O, I]. Mga halimbawa ng function. 1. Ang sequence (o„) ay isang function ng isang integer argument, na tinukoy sa set ng mga natural na numero, na ang f(n) = an (n = 1,2,...). 2. Function y = n? (basahin ang "en-factorial"). Ibinigay sa hanay ng mga natural na numero: ang bawat natural na numero n ay nauugnay sa produkto ng lahat ng natural na numero mula 1 hanggang n kasama: bukod dito, 0! = 1. Ang tanda ng pagtatalaga ay nagmula sa salitang Latin na signum - isang tanda. Ang function na ito ay tinukoy sa buong linya ng numero; ang hanay ng mga halaga nito ay binubuo ng tatlong numero -1.0, I (Larawan 1). y = |x), kung saan ang (x) ay tumutukoy sa integer na bahagi ng isang tunay na numerong x, ibig sabihin. [x| - ang pinakamalaking integer na hindi lalampas Ito ay nabasa: - ang laro ay katumbas ng antie x ”(fr. entier). Ang function na ito ay nakatakda sa buong axis ng numero, at ang hanay ng lahat ng mga halaga nito ay binubuo ng mga integer (Larawan 2). Mga Paraan ng Pagtukoy sa isang Function Analytical Pagtukoy ng isang Function Ang isang function na y = f(x) ay sinasabing tinukoy nang analytical kung ito ay tinukoy gamit ang isang formula na nagpapahiwatig kung anong mga operasyon ang dapat gawin sa bawat halaga ng x upang makuha ang katumbas na halaga ng y. Halimbawa, ang pag-andar ay ibinigay nang analitikal. Sa kasong ito, ang domain ng function (kung hindi ito tinukoy nang maaga) ay nauunawaan bilang ang hanay ng lahat ng tunay na halaga ng argumento x, kung saan ang analytical expression na tumutukoy sa function ay tumatagal lamang ng tunay at pangwakas na mga halaga. Sa ganitong kahulugan, ang domain ng isang function ay tinatawag ding domain of existence nito. Para sa function, ang domain ng definition ay ang segment. Para sa function na y - sin x, ang domain ng definition ay ang buong numerical axis. Tandaan na hindi lahat ng formula ay tumutukoy sa isang function. Halimbawa, hindi tinukoy ng formula ang anumang function, dahil walang isang tunay na halaga ng x kung saan ang parehong mga ugat na nakasulat sa itaas ay magkakaroon ng mga tunay na halaga. Maaaring magmukhang kumplikado ang analytical assignment ng isang function. Sa partikular, ang isang function ay maaaring tukuyin ng iba't ibang mga formula sa iba't ibang bahagi ng domain ng kahulugan nito. Halimbawa, maaaring tukuyin ang isang function tulad nito: 1.2. Graphical na paraan ng pagtukoy ng isang function Ang function na y = f(x) ay tinatawag na specified graphically kung ang schedule nito ay tinukoy, i.e. isang hanay ng mga puntos (xy/(x)) sa xOy plane, ang abscissas kung saan nabibilang sa domain ng kahulugan ng function, at ang mga ordinates ay katumbas ng kaukulang mga halaga ng function (Fig. 4). Hindi para sa bawat function, ang graph nito ay maaaring ilarawan sa figure. Halimbawa, ang function na Dirichlet kung ang x ay makatwiran, kung ang x ay hindi makatwiran, ZX \o, ay hindi pinapayagan ang gayong representasyon. Ang function na R(x) ay ibinibigay sa buong numerical axis, at ang hanay ng mga halaga nito ay binubuo ng dalawang numero 0 at 1. 1.3. Tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function Ang isang function ay sinasabing tinukoy na tabular kung ang isang talahanayan ay ibinigay na naglalaman ng mga numerical na halaga ng function para sa ilang mga halaga ng argumento. Kapag ang isang function ay tinukoy sa isang talahanayan, ang domain ng kahulugan nito ay binubuo lamang ng mga halaga x\t x2i..., xn na nakalista sa talahanayan. §2. Limitasyon ng isang function sa isang punto Ang konsepto ng limitasyon ng isang function ay sentro sa mathematical analysis. Hayaang tukuyin ang function na f(x) sa ilang kapitbahayan Q ng puntong xq, maliban, marahil, para sa mismong extension (Cauchy) na punto. Ang numerong A ay tinatawag na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x0 kung para sa alinmang numero e > 0, na maaaring maliit lamang, mayroong isang numero.<5 > 0, na para sa lahat ng iGH.i^ x0 na nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo Konsepto ng isang function Mga paraan ng pagtukoy sa isang function Mga halimbawa ng mga function Analytical na kahulugan ng isang function Graphical na paraan ng pagtukoy ng isang function Limitasyon ng isang function sa isang punto Tabular na paraan ng pagtukoy sa isang function limit theorem uniqueness ng isang limitasyon boundedness ng isang function na may limitasyon sa transition sa limitasyon sa hindi pagkakapantay-pantay Limitasyon ng isang function sa infinity Infinitesimal functions Properties ng infinitesimal functions Notation: Gamit ang mga lohikal na simbolo, ang kahulugan na ito ay ipinahayag bilang mga sumusunod. Mga halimbawa. 1. Gamit ang kahulugan ng limitasyon ng isang function sa isang punto, ipakita na ang Function ay tinukoy sa lahat ng dako, kasama ang puntong zo = 1: /(1) = 5. Kunin ang alinman. Upang ang hindi pagkakapantay-pantay |(2x + 3) - 5| naganap, ito ay kinakailangan upang matupad ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay Samakatuwid, kung kukuha tayo ay magkakaroon tayo. Nangangahulugan ito na ang numero 5 ay ang limitasyon ng function: sa punto 2. Gamit ang kahulugan ng limitasyon ng isang function, ipakita na ang function ay hindi tinukoy sa puntong xo = 2. Isaalang-alang ang /(x) sa ilang lugar ng ang point-Xq = 2, halimbawa, sa interval ( 1, 5) na hindi naglalaman ng point x = 0, kung saan hindi rin tinukoy ang function /(x). Kumuha ng arbitrary na numero c > 0 at ibahin ang anyo ng expression |/(x) - 2| para sa x f 2 bilang mga sumusunod Para sa x b (1, 5) nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay Mula dito ay malinaw na kung kukuha tayo ng 6 \u003d c, kung gayon para sa lahat ng x € (1.5) na napapailalim sa kondisyon ang hindi pagkakapantay-pantay ay magiging totoo Nangangahulugan ito na ang numero A - 2 ay ang limitasyon ng isang ibinigay na function sa isang punto Magbigay tayo ng geometric na paliwanag ng konsepto ng limitasyon ng isang function sa isang punto, na tumutukoy sa graph nito (Larawan 5). Para sa x, ang mga halaga ng function /(x) ay tinutukoy ng mga ordinate ng mga punto ng curve M \ M, para sa x > ho - ng mga ordinate ng mga punto ng curve MM2. Ang halaga /(x0) ay tinutukoy ng ordinate ng point N. Ang graph ng function na ito ay makukuha kung kukunin natin ang "good" curve M\MMg at papalitan ang point M(x0, A) sa curve ng point jV. Ipakita natin na sa puntong x0 ang function /(x) ay may limitasyon na katumbas ng bilang A (ang ordinate ng punto M). Kunin ang alinmang (arbitraryong maliit) na numero e > 0. Markahan sa mga Oy axis point na may mga ordinate A, A - e, A + e. Tukuyin sa pamamagitan ng P at Q ang mga punto ng intersection ng graph ng function na y \u003d / (x ) na may mga linyang y \u003d A - enu = A + e. Hayaang ang abscissas ng mga puntong ito ay x0 - hx0 + hi, ayon sa pagkakabanggit (ht > 0, /12 > 0). Makikita mula sa figure na para sa anumang x Φ x0 mula sa pagitan (x0 - h\, x0 + hi) ang halaga ng function na f(x) ay nasa pagitan. para sa lahat ng x ⩽ x0 na nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon, ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo Itinakda namin Pagkatapos ang pagitan ay mapapaloob sa pagitan at, samakatuwid, ang hindi pagkakapantay-pantay o, na kung saan ay masisiyahan din para sa lahat ng x na nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon Ito ay nagpapatunay na Kaya, ang function y \u003d f (x) ay may limitasyon A sa puntong x0 kung, gaano man kaliit ang e-strip sa pagitan ng mga linyang y = A-eny = A + e, mayroong "5 > 0, na para sa lahat x mula sa punctured neighborhood ng point x0 ng point ng graph ng function ay nasa loob ng ipinahiwatig na e-band. Puna 1. Ang dami b ay depende sa e: 6 = 6(e). Puna 2. Sa kahulugan ng limitasyon ng isang function sa puntong Xq, ang puntong x0 mismo ay hindi kasama sa pagsasaalang-alang. Kaya, ang halaga ng function sa Ho ns point ay hindi nakakaapekto sa limitasyon ng function sa puntong iyon. Bukod dito, ang pag-andar ay maaaring hindi matukoy sa puntong Xq. Samakatuwid, ang dalawang pag-andar na pantay-pantay sa isang kapitbahayan ng puntong Xq, hindi kasama, marahil, ang puntong x0 mismo (maaaring magkaiba sila ng mga halaga dito, maaaring hindi matukoy ang isa sa kanila o pareho nang magkasama), ay may parehong limitasyon. para sa x - Xq, o pareho ay walang limitasyon. Mula dito, sa partikular, sumusunod na upang mahanap ang limitasyon ng isang fraction sa puntong xo, ito ay lehitimong bawasan ang fraction na ito sa pamamagitan ng pantay na mga expression na nawawala sa x = Xq. Halimbawa 1. Hanapin Ang function /(x) = j para sa lahat ng x Ф 0 ay katumbas ng isa, at sa puntong x = 0 ito ay hindi tinukoy. Ang pagpapalit ng f(x) ng function na g(x) = 1 na katumbas nito sa x 0, nakuha natin ang konsepto ng isang function Mga paraan ng pagtukoy ng function Mga halimbawa ng function Analytical na kahulugan ng isang function Graphical na paraan ng pagtukoy ng function Limit ng isang function sa isang punto Tabular na paraan ng pagtukoy sa isang function Limit theorems Pagkakakaiba ng isang limitasyon Boundedness ng isang function na may limitasyon na paglipat sa limitasyon sa hindi pagkakapantay-pantay Limit ng isang function sa infinity Walang katapusan na maliliit na function Mga katangian ng walang katapusan na maliliit na function x = 0 limit katumbas ng zero: lim q(x) = 0 (ipakita ito!). Samakatuwid, lim /(x) = 0. Problema. Bumalangkas sa tulong ng mga hindi pagkakapantay-pantay (sa wika ng e -6), na nangangahulugang Hayaang tukuyin ang function /(n) sa ilang kapitbahayan Π ng puntong x0, maliban, marahil, ang puntong x0 mismo. Kahulugan (Heine). Ang numero A ay tinatawag na limitasyon ng function /(x) sa puntong x0, kung para sa anumang pagkakasunud-sunod (xn) ng mga halaga ng argumento x 6 P, zn / x0) na nagtatagpo sa puntong x0, ang kaukulang pagkakasunud-sunod ng mga halaga ng function (/(xn)) ay nagtatagpo sa numero A. Maginhawang gamitin ang kahulugan sa itaas kapag kinakailangan upang maitatag na ang function /(x) ay walang limitasyon sa puntong x0. Upang gawin ito, sapat na upang makahanap ng ilang sequence (/(xn)) na walang limitasyon, o upang magpahiwatig ng dalawang sequence (/(xn)) at (/(x "n)) na may magkaibang limitasyon. Let us ipakita, halimbawa, na ang function na iiya / (x) = sin j (Fig. 7), na tinukoy sa lahat ng dako, maliban sa POINT X = O, Fig. 7 ay walang limitasyon sa puntong x = 0. Isaalang-alang ang dalawa mga sequence (nagku-converge sa puntong x = 0. Ang mga katumbas na sequence na value ng function /(x) ay nagtatagpo sa iba't ibang limitasyon: ang sequence (sinnTr) ay nagtatagpo sa zero, at ang sequence (sin(5 +) ay nagtatagpo sa isa. Nangangahulugan ito na ang function na f(x) = sin j sa puntong x = 0 ay walang limitasyon. Magkomento. Ang parehong kahulugan ng limitasyon ng isang function sa isang punto (kahulugan ni Cauchy at kahulugan ni Heine) ay katumbas. §3. Theorems on limits Theorem 1 (natatangi ng limitasyon). Kung ang function na f(x) ay may limitasyon sa xo, ang limitasyon na ito ay natatangi. A Let lim f(x) = A. Ipakita natin na walang numero B φ A ang maaaring maging limit x-x0 ng function na f(x) sa puntong x0. Ang katotohanan na ang lim /(x) φ Sa tulong ng mga lohikal na simbolo XO ay nabalangkas tulad ng sumusunod: Gamit ang hindi pagkakapantay-pantay na nakuha natin, Kunin ang e = > 0. Dahil ang lim /(x) = A, para sa napiling e > 0 mayroong 6 > 0 tulad na Mula sa kaugnayan (1) para sa mga ipinahiwatig na halaga ng x mayroon tayo Kaya, ito ay natagpuan na, gaano man kaliit, mayroong x Φ xQ, tulad na at sa parehong oras ^ e Kaya ang Depinisyon. Ang isang function /(x) ay sinasabing bounded sa isang neighborhood ng point x0 kung may mga numerong M > 0 at 6 > 0 na ang Theorem 2 (boundedness ng isang function na may limitasyon). Kung ang function na f(x) ay tinukoy sa isang kapitbahayan ng puntong x0 at may hangganan na limitasyon sa puntong x0, kung gayon ito ay nakatali sa ilang kapitbahayan ng puntong ito. m Let Then para sa anumang halimbawa, para sa e = 1, mayroong 6 > 0 na para sa lahat ng x φ x0 na nakakatugon sa kundisyon, ang hindi pagkakapantay-pantay ay magiging totoo. Pansinin na lagi nating nakukuha ang Let. Pagkatapos sa bawat punto x ng pagitan na mayroon tayo Nangangahulugan ito, ayon sa kahulugan, na ang function na f(x) ay nakatali sa isang kapitbahayan. Halimbawa, ang function na /(x) = sin ay nakatali sa isang kapitbahayan ng punto ngunit walang limitasyon sa puntong x = 0. Bumuo tayo ng dalawa pang theorems, ang geometric na kahulugan nito ay medyo malinaw. Theorem 3 (pagpasa sa limitasyon sa hindi pagkakapantay-pantay). Kung /(x) ⩽ ip(x) para sa lahat ng x sa ilang kapitbahayan ng puntong x0, maliban marahil sa mismong puntong x0, at bawat isa sa mga function /(x) at ip(x) sa puntong x0 ay may limitasyon , pagkatapos ay Tandaan na ang isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay para sa mga function ay hindi nangangahulugang nagpapahiwatig ng isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay para sa kanilang mga limitasyon. Kung umiiral ang mga limitasyong ito, maaari lamang nating igiit na Kaya, halimbawa, ang hindi pagkakapantay-pantay habang ay totoo para sa mga function.Theorem 4 (limit ng intermediate function). Kung para sa lahat ng x sa ilang kapitbahayan ng puntong Xq, maliban, marahil, ang mismong puntong x0 (Larawan 9), at ang mga function na f(x) at ip(x) sa puntong xo ay may parehong limitasyon A, kung gayon ang function na f (x) sa puntong x0 ay may limitasyon na katumbas ng parehong halaga ng A. § ​​4. Limitasyon ng isang function sa infinity Hayaang tukuyin ang function /(x) alinman sa buong real axis o hindi bababa sa para sa lahat x ay nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon jx| > K para sa ilang K > 0. Kahulugan. Ang numerong A ay tinatawag na limitasyon ng function na f(x) dahil ang x ay may posibilidad na infinity, at isinusulat nila kung para sa alinmang e > 0 mayroong isang numero na jV > 0 na para sa lahat ng x ay nakakatugon sa kondisyon |x| > X, ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo Ang pagpapalit ng kundisyon sa kahulugang ito nang naaayon, nakakakuha tayo ng mga kahulugan Mula sa mga kahulugang ito ay sumusunod na kung at kung magkasabay Ang katotohanang iyon, geometrically ay nangangahulugan ng sumusunod: gaano man kaliit ang e-strip sa pagitan ng mga linya y \ u003d A- euy \u003d A + e, mayroong isang tuwid na linya x = N > 0 na sa kanan ay dinala ang graph ng function na y = /(x) ay ganap na nakapaloob sa ipinahiwatig na e-strip (Fig. 10 ). Sa kasong ito, sinasabi nila na para sa x + oo ang graph ng function na y \u003d / (x) asymptotically ay lumalapit sa tuwid na linya y \u003d A. Halimbawa, Ang function / (x) \u003d jtjj- ay tinukoy sa kabuuan totoong axis at isang fraction na ang numerator ay pare-pareho , at ang denominator ay tumataas nang walang katiyakan bilang |x| +oo. Natural na asahan na ang lim /(x)=0. Ipakita natin. М Kunin ang alinmang e > 0, napapailalim sa kondisyon Para maganap ang kaugnayan, ang hindi pagkakapantay-pantay c o dapat masiyahan, na kapareho ng kung saan Kaya. kung kukuha tayo magkakaroon tayo. Nangangahulugan ito na ang numero ay ang limitasyon ng function na ito sa Tandaan na ang radical expression ay para lamang sa t ^ 1. Sa kaso kung kailan, ang hindi pagkakapantay-pantay c ay awtomatikong nasiyahan para sa lahat. Ang graph ng isang even function na y = - asymptotically ay lumalapit sa tuwid na linya Bumuo gamit ang mga hindi pagkakapantay-pantay, na nangangahulugang §5. Walang Hanggan na Maliit na Function Hayaang ang function na a(x) ay tukuyin sa ilang kapitbahayan ng point x0, maliban sa posibleng mismong point x0. Kahulugan. Ang function na a(x) ay tinatawag na isang infinitesimal function (pinaikling b.m.f.) dahil ang x ay may posibilidad na xo kung sa loob ng uniqueness ng limitasyon ang boundedness ng isang function na may limitasyon na paglipat sa limitasyon sa hindi pagkakapantay-pantay Ang limitasyon ng isang function sa infinity Infinitesimal functions Mga katangian ng infinitesimal functions Halimbawa, ang function na a(x) = x - 1 ay b. m. f. sa x 1, dahil lim (x-l) \u003d 0. Ang graph ng function na y \u003d x-1 1-1 ay ipinapakita sa fig. II. Sa pangkalahatan, ang function na a(x)=x-x0 ay ang pinakasimpleng halimbawa ng b. m. f. sa x-»ho. Isinasaalang-alang ang kahulugan ng limitasyon ng isang function sa isang punto, ang kahulugan ng b. m. f. mabubuo ng ganito. Kahulugan. Ang isang function na a(x) ay sinasabing napakaliit para sa x - * xo kung para sa alinmang t > 0 ay mayroong ganoong "5 > 0 na para sa lahat ng x na nakakatugon sa kundisyon ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoong mga pag-andar sa Definition. Ang function na a(x) ay tinatawag na infinitesimal na maliit para sa x -» oo, kung ang function na a(x) ay tinatawag na infinitesimal, ayon sa pagkakabanggit, para sa o para Halimbawa, ang function ay infinitesimal para sa x -» oo, dahil lim j = 0. Ang function na a(x ) = e~x ay isang walang katapusang maliit na function bilang x -* + oo, dahil sa mga sumusunod ay, bilang panuntunan, isasaalang-alang natin ang lahat ng mga konsepto at theorems na may kaugnayan sa mga limitasyon ng mga function na may kaugnayan lamang sa kaso ng limitasyon ng isang function sa isang punto, na iniiwan ang mambabasa na bumalangkas ng kaukulang mga konsepto para sa kanyang sarili at patunayan ang mga katulad na theorems ng mga araw na kaso kapag Properties of infinitesimal functions Theorem 5. Kung a(x) at P(x) - b. m. f. para sa x - * xo, kung gayon ang kanilang kabuuan na a(x) + P(x) ay b.m din. f. sa x -» ho. 4 Kunin ang alinmang e > 0. Dahil ang a(x) ay isang b.m.f. para sa x -* xo, pagkatapos ay mayroong "51 > 0 na para sa lahat ng x Φ xo na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo. Sa pamamagitan ng kundisyon P(x) din b.m.f. para sa x ho, kaya mayroong tulad na para sa lahat ng χ φ ho na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon, ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo. Itakda natin ang 6 = min(«5j, 62). Pagkatapos para sa lahat ng x Ф ho na nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon, ang mga hindi pagkakapantay-pantay (1) at (2) ay magiging magkasabay na totoo. Samakatuwid Nangangahulugan ito na ang kabuuan ng a(x) +/3(x) ay isang b.m.f. para sa xxq. Magkomento. Ang theorem ay nananatiling wasto para sa kabuuan ng anumang may hangganang bilang ng mga function, b. m. at x zo. Theorem 6 (produkto ng isang b.m.f. ng isang bounded function). Kung ang function na a(x) ay b. m. f. para sa x -* x0, at ang function na f(x) ay nakatali sa isang kapitbahayan ng puntong Xo, kung gayon ang produkto na a(x)/(x) ay 6. m. f. para sa x -» x0. Sa pamamagitan ng pagpapalagay, ang function na f(x) ay nakatali sa isang kapitbahayan ng puntong x0. Nangangahulugan ito na mayroong mga numerong 0 at M > 0 na kunin natin ang alinmang e > 0. Dahil, ayon sa kundisyon, mayroong 62 > 0 na para sa lahat ng x φ x0 na natutugunan ang kondisyon |x - xol, ang hindi pagkakapantay-pantay ay maging totoo Itakda natin ang i ng lahat ng x f x0 na nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon |x - x0|, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay magkakasabay na totoo Samakatuwid Nangangahulugan ito na ang produktong a(x)/(x) ay b. m.f. may Halimbawa. Ang function na y \u003d xsin - (Fig. 12) ay maaaring ituring bilang produkto ng mga function a (ar) \u003d x at f (x) \u003d sin j. Ang function na a(a) ay b. m. f. para sa x - 0, at ang function na f ay tumutukoy sa pinakamalaki sa mga integer na hindi lalampas sa x. Sa madaling salita, kung x = r + q, kung saan ang r ay isang integer (maaaring negatibo) at ang q ay kabilang sa pagitan = r. Ang function na E(x) = [x] ay pare-pareho sa pagitan = r.

Halimbawa 2: function y = (x) - fractional na bahagi ng isang numero. Mas tiyak, y =(x) = x - [x], kung saan ang [x] ay ang integer na bahagi ng numerong x. Ang function na ito ay tinukoy para sa lahat ng x. Kung ang x ay isang arbitrary na numero, pagkatapos ay kinakatawan ito bilang x = r + q (r = [x]), kung saan ang r ay isang integer at ang q ay nasa pagitan.

Ngayon ang lahat ay tulad ng nararapat. Ang triple ay hindi kasama sa sagot, dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. At ang anim ay lumiliko, dahil at ang function sa anim ay umiiral, at ang hindi pagkakapantay-pantay na kondisyon ay nasiyahan. Matagumpay nating nalutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay na (sa karaniwang anyo nito) ay hindi umiiral...

Ganito ang ilang kaalaman at elementarya na lohika na nagtitipid sa hindi karaniwang mga kaso.)

Analytical na kahulugan ng isang function

Function na %%y = f(x), x \in X%% na ibinigay sa isang tahasang analitikal na paraan, kung may ibinigay na formula na nagsasaad ng pagkakasunud-sunod ng mga pagpapatakbong matematika na dapat gawin gamit ang argumentong %%x%% upang makuha ang value na %%f(x)%% ng function na ito.

Halimbawa

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

Kaya, halimbawa, sa physics, na may pantay na pinabilis na rectilinear motion, ang bilis ng isang katawan ay tinutukoy ng formula t%% ay nakasulat bilang: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%.

Piecewise Defined Function

Minsan ang function na isinasaalang-alang ay maaaring tukuyin ng ilang mga formula na gumagana sa iba't ibang bahagi ng domain ng kahulugan nito, kung saan nagbabago ang argument ng function. Halimbawa: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

Ang mga function ng ganitong uri ay tinatawag minsan bumubuo o pira-piraso. Ang isang halimbawa ng naturang function ay %%y = |x|%%

Saklaw ng pag-andar

Kung ang function ay tinukoy sa isang tahasang analytical na paraan gamit ang isang formula, ngunit ang saklaw ng function sa anyo ng isang set na %%D%% ay hindi tinukoy, pagkatapos ay sa pamamagitan ng %%D%% palagi nating ibig sabihin ang set ng mga halaga ng argumentong %%x%% kung saan may katuturan ang formula na ito . Kaya para sa function na %%y = x^2%%, ang domain ng kahulugan ay ang set %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, dahil ang argumento %%x% % ay maaaring tumagal ng anumang mga halaga sa linya ng numero. At para sa function na %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%%, ang domain ng definition ay ang set ng mga values ​​​​%%x%% na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay %%1 - x^2 > 0%%, m .e. %%D = (-1, 1)%%.

Mga Benepisyo ng Explicit Analytic Function Definition

Tandaan na ang tahasang analytical na paraan ng pagtukoy ng isang function ay medyo compact (ang formula, bilang panuntunan, ay tumatagal ng maliit na espasyo), madaling kopyahin (ang formula ay madaling isulat), at pinaka-angkop sa pagsasagawa ng mga mathematical na operasyon at pagbabago sa mga function.

Ang ilan sa mga operasyong ito - algebraic (addition, multiplication, atbp.) - ay kilala sa kursong matematika ng paaralan, ang iba (differentiation, integration) ay pag-aaralan sa hinaharap. Gayunpaman, ang pamamaraang ito ay hindi palaging malinaw, dahil ang likas na katangian ng pag-asa ng pag-andar sa argumento ay hindi palaging malinaw, at kung minsan ang mga masalimuot na kalkulasyon ay kinakailangan upang mahanap ang mga halaga ng pag-andar (kung kinakailangan).

Implicit na detalye ng function

Ang function na %%y = f(x)%% ay tinukoy sa isang implicit analytical na paraan, kung ang ugnayang $$F(x,y) = 0 ay ibinigay, ~~~~~~~~~~(1)$$ inuugnay ang mga halaga ng function na %%y%% at ang argumento %% x%%. Kung binigyan ng mga halaga ng argumento, pagkatapos ay upang mahanap ang halaga ng %%y%% na tumutugma sa isang partikular na halaga ng %%x%%, ito ay kinakailangan upang malutas ang equation na %%(1)%% na may paggalang sa %%y%% sa partikular na halagang iyon ng %%x%%.

Dahil sa halagang %%x%%, ang equation na %%(1)%% ay maaaring walang solusyon o higit sa isang solusyon. Sa unang kaso, ang tinukoy na halaga na %%x%% ay wala sa saklaw ng implicit na function, at sa pangalawang kaso ito ay tumutukoy multivalued function, na mayroong higit sa isang halaga para sa isang ibinigay na halaga ng argumento.

Tandaan na kung ang equation na %%(1)%% ay maaaring tahasang malulutas nang may kinalaman sa %%y = f(x)%%, pagkatapos ay makukuha natin ang parehong function, ngunit natukoy na sa isang tahasang analytical na paraan. Kaya, ang equation na %%x + y^5 - 1 = 0%%

at ang pagkakapantay-pantay na %%y = \sqrt(1 - x)%% ay tumutukoy sa parehong function.

Kahulugan ng parametric function

Kapag hindi direktang ibinibigay ang dependence ng %%y%% sa %%x%%, ngunit sa halip ay ibinibigay ang dependences ng parehong variable %%x%% at %%y%% sa ilang ikatlong auxiliary variable %%t%% sa anyo

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$nag-uusap sila parametric ang paraan ng pagtatakda ng function;

pagkatapos ay ang auxiliary variable na %%t%% ay tinatawag na isang parameter.

Kung posibleng ibukod ang parameter na %%t%% mula sa mga equation na %%(2)%%, pagkatapos ay mapupunta sila sa isang function na ibinigay ng tahasan o implicit na analytical dependence na %%y%% sa %%x%% . Halimbawa, mula sa mga ugnayang $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ maliban para sa parameter na % %t%% nakukuha natin ang dependence %%y = 2 x + 2%%, na nagtatakda ng tuwid na linya sa %%xOy%% plane.

Grapikong paraan

Isang halimbawa ng isang graphical na kahulugan ng isang function

Ang mga halimbawa sa itaas ay nagpapakita na ang analytical na paraan ng pagtukoy ng isang function ay tumutugma sa nito graphic na larawan, na maaaring ituring bilang isang maginhawa at visual na anyo ng paglalarawan ng isang function. Minsan ginagamit graphic na paraan pagtukoy ng function kapag ang dependence ng %%y%% sa %%x%% ay ibinibigay ng isang linya sa %%xOy%% plane. Gayunpaman, para sa lahat ng kalinawan nito, nawawala ito sa katumpakan, dahil ang mga halaga ng argumento at ang kaukulang mga halaga ng function ay maaaring makuha mula sa graph lamang ng humigit-kumulang. Ang resultang error ay depende sa sukat at katumpakan ng pagsukat ng abscissa at ordinate ng mga indibidwal na punto ng graph. Sa hinaharap, itatalaga namin ang function graph lamang ang papel ng paglalarawan ng pag-uugali ng function at samakatuwid ay paghigpitan namin ang aming sarili sa pagbuo ng "mga sketch" ng mga graph na nagpapakita ng mga pangunahing tampok ng mga function.

Tabular na paraan

Tandaan tabular na paraan mga pagtatalaga ng function, kapag ang ilang mga halaga ng argumento at ang kanilang mga katumbas na halaga ng pag-andar ay inilagay sa isang talahanayan sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Ito ay kung paano ang mga kilalang talahanayan ng trigonometric function, mga talahanayan ng logarithms, atbp. Sa anyo ng isang talahanayan, ang ugnayan sa pagitan ng mga dami na sinusukat sa mga eksperimentong pag-aaral, mga obserbasyon, at mga pagsusulit ay karaniwang ipinakita.

Ang kawalan ng pamamaraang ito ay ang imposibilidad ng direktang pagtukoy ng mga halaga ng pag-andar para sa mga halaga ng argumento na hindi kasama sa talahanayan. Kung may kumpiyansa na ang mga halaga ng argumento na hindi ipinakita sa talahanayan ay nabibilang sa domain ng itinuturing na pag-andar, kung gayon ang kaukulang mga halaga ng pag-andar ay maaaring kalkulahin nang humigit-kumulang gamit ang interpolation at extrapolation.

Halimbawa

Algorithmic at verbal na paraan ng pagtukoy ng mga function

Maaaring itakda ang function algorithmic(o programmatic) sa paraang malawakang ginagamit sa mga kalkulasyon ng computer.

Sa wakas, maaari itong mapansin naglalarawan(o pasalita) isang paraan ng pagtukoy ng isang function, kapag ang panuntunan para sa pagtutugma ng mga halaga ng function sa mga halaga ng argumento ay ipinahayag sa mga salita.

Halimbawa, ang function na %%[x] = m~\forall (x \in )