Maaaring katawanin ang \(5x+xy\) bilang \(x(5+y)\). Pareho talaga itong mga expression, mabe-verify natin ito kung palawakin natin ang mga bracket: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Tulad ng nakikita mo, nakuha namin ang orihinal na expression bilang isang resulta. Kaya ang \(5x+xy\) ay talagang katumbas ng \(x(5+y)\). Sa pamamagitan ng paraan, ito ay isang maaasahang paraan upang suriin ang kawastuhan ng pagkuha ng mga karaniwang kadahilanan - buksan ang resultang bracket at ihambing ang resulta sa orihinal na expression.

Ang pangunahing tuntunin ng panaklong:

Halimbawa, sa expression na \(3ab+5bc-abc\) ang \(b\) lang ang maaaring alisin sa bracket, dahil ito lang ang nasa lahat ng tatlong termino. Ang proseso ng pag-bracket ng mga karaniwang salik ay ipinapakita sa diagram sa ibaba:

Mga Panuntunan sa Pag-bracket

Sa matematika, kaugalian na alisin ang lahat ng mga karaniwang kadahilanan nang sabay-sabay.

Halimbawa:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Tandaan na dito maaari tayong lumawak nang ganito: \(3(xy-xz)\) o tulad nito: \(x(3y-3z)\). Gayunpaman, ang mga ito ay magiging mga hindi kumpletong pagpapalawak. Kinakailangang alisin ang tatlo at ang X.


Minsan ang mga karaniwang miyembro ay hindi agad nakikita.


Halimbawa:\(10x-15y=2 5 x-3 5 y=5(2x-3y)\)
Sa kasong ito, ang karaniwang termino (quintuple) ay itinago. Gayunpaman, ang pagkabulok ng \(10\) bilang \(2\) beses \(5\), at \(15\) bilang \(3\) beses \(5\) - "hinatak namin ang lima sa liwanag ng Diyos. ", pagkatapos ay madali na nilang maalis ito sa bracket.


Kung ang monomial ay ganap na tinanggal, ang isa ay nananatili mula dito.

Halimbawa: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Inalis namin ang \(x\) mula sa bracket, at ang pangatlong monomial ay binubuo ng x lamang. Bakit isa na lang ang natitira? Dahil kung ang anumang expression ay pinarami ng isa, hindi ito magbabago. Ibig sabihin, ang parehong \(x\) ay maaaring katawanin bilang \(1\cdot x\). Pagkatapos ay mayroon kaming sumusunod na kadena ng mga pagbabagong-anyo:

\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (isa\) \()\)

Bukod dito, ito lang ang tamang paraan ng pag-render, dahil kung hindi tayo aalis sa unit, kapag binuksan natin ang mga bracket, hindi na tayo babalik sa orihinal na expression. Sa katunayan, kung gagawin natin ang pag-alis tulad nito \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), pagkatapos kapag lumalawak ay makakakuha tayo ng \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Wala na ang pangatlong miyembro. Samakatuwid, ang gayong pahayag ay hindi tama.

Ang minus sign ay maaaring alisin sa bracket, habang ang mga palatandaan ng mga termino na may bracket ay binabaligtad.


Halimbawa:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
Sa katunayan, narito namin ang bracketing "minus one", na maaaring "i-highlight" bago ang anumang monomial, kahit na walang minus bago ito. Dito ginagamit namin ang katotohanan na ang isa ay maaaring isulat bilang \((-1) \cdot (-1)\). Narito ang parehong halimbawa, ipininta nang detalyado:

\(x-y=\)
\(=1 x+(-1) y=\)
\(=(-1)(-1)x+(-1)y=\)
\(=(-1)((-1)x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)

Ang panaklong ay maaari ding maging karaniwang salik.


Halimbawa:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Madalas tayong makatagpo ng ganitong sitwasyon (bracketing out of brackets) kapag nagfa-factor sa pamamagitan ng paraan ng pagpapangkat o

Ipinapaliwanag ng artikulong ito, paano hanapin ang pinakamababang common denominator at kung paano dalhin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator. Una, ibinibigay ang mga kahulugan ng common denominator ng mga fraction at ang least common denominator, at ipinapakita rin kung paano hanapin ang common denominator ng mga fraction. Ang sumusunod ay isang panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator at ang mga halimbawa ng aplikasyon ng panuntunang ito ay isinasaalang-alang. Sa konklusyon, ang mga halimbawa ng pagdadala ng tatlo o higit pang mga fraction sa isang karaniwang denominator ay sinusuri.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang tinatawag na pagbabawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator?

Ngayon ay masasabi natin kung ano ang magdala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator. Ang pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator ay ang pagpaparami ng mga numerator at denominator ng mga ibinigay na fraction sa pamamagitan ng mga karagdagang salik na ang resulta ay mga fraction na may parehong denominator.

Common denominator, kahulugan, mga halimbawa

Ngayon ay oras na upang tukuyin ang karaniwang denominator ng mga fraction.

Sa madaling salita, ang karaniwang denominator ng ilang hanay ng mga ordinaryong fraction ay anumang natural na bilang na nahahati sa lahat ng denominator ng mga fraction na ito.

Ito ay sumusunod mula sa nakasaad na kahulugan na ang hanay ng mga fraction na ito ay may walang katapusan na maraming mga karaniwang denominador, dahil mayroong isang walang katapusang bilang ng mga karaniwang multiple ng lahat ng mga denominador ng orihinal na hanay ng mga fraction.

Ang pagtukoy sa karaniwang denominator ng mga fraction ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang mga karaniwang denominator ng mga ibinigay na fraction. Hayaan, halimbawa, ang ibinigay na mga fraction na 1/4 at 5/6, ang kanilang mga denominator ay 4 at 6, ayon sa pagkakabanggit. Ang positive common multiples ng 4 at 6 ay ang mga numerong 12, 24, 36, 48, ... Anuman sa mga numerong ito ang common denominator ng mga fraction na 1/4 at 5/6.

Upang pagsama-samahin ang materyal, isaalang-alang ang solusyon ng sumusunod na halimbawa.

Halimbawa.

Posible bang bawasan ang mga fraction na 2/3, 23/6 at 7/12 sa isang karaniwang denominator na 150?

Desisyon.

Upang masagot ang tanong na ito, kailangan nating malaman kung ang numerong 150 ay isang karaniwang maramihang ng mga denominador na 3, 6 at 12. Upang gawin ito, suriin kung ang 150 ay pantay na nahahati ng bawat isa sa mga numerong ito (kung kinakailangan, tingnan ang mga panuntunan at halimbawa ng paghahati ng mga natural na numero, pati na rin ang mga panuntunan at halimbawa ng paghahati ng mga natural na numero na may natitira): 150:3 =50 , 150:6=25 , 150: 12=12 (pahinga. 6) .

Kaya, Ang 150 ay hindi nahahati sa 12, kaya ang 150 ay hindi isang karaniwang multiple ng 3, 6, at 12. Samakatuwid, ang bilang na 150 ay hindi maaaring maging isang karaniwang denominador ng mga orihinal na fraction.

Sagot:

Ito ay ipinagbabawal.

Ang pinakamababang common denominator, paano ito mahahanap?

Sa hanay ng mga numero na karaniwang denominador ng mga fraction na ito, mayroong pinakamaliit na natural na numero, na tinatawag na least common denominator. Bumuo tayo ng kahulugan ng hindi bababa sa karaniwang denominator ng mga praksyon na ito.

Kahulugan.

Pinakamababang common denominator ay ang pinakamaliit na bilang ng lahat ng mga karaniwang denominador ng mga fraction na ito.

Ito ay nananatiling harapin ang tanong kung paano mahahanap ang hindi bababa sa karaniwang divisor.

Dahil ang hindi bababa sa positibong karaniwang divisor ng isang naibigay na hanay ng mga numero, ang LCM ng mga denominator ng mga fraction na ito ay ang hindi bababa sa karaniwang denominator ng mga fraction na ito.

Kaya, ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang denominator ng mga praksiyon ay nababawasan sa mga denominador ng mga praksiyon na ito. Tingnan natin ang isang halimbawang solusyon.

Halimbawa.

Hanapin ang least common denominator ng 3/10 at 277/28.

Desisyon.

Ang mga denominador ng mga fraction na ito ay 10 at 28. Ang gustong least common denominator ay makikita bilang LCM ng mga numero 10 at 28. Sa aming kaso, ito ay madali: dahil 10=2 5 at 28=2 2 7 , pagkatapos ay LCM(15, 28)=2 2 5 7=140 .

Sagot:

140 .

Paano dalhin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator? Panuntunan, halimbawa, solusyon

Karaniwang humahantong sa pinakamababang common denominator ang mga karaniwang fraction. Ngayon ay magsusulat tayo ng isang panuntunan na nagpapaliwanag kung paano bawasan ang mga fraction sa pinakamababang karaniwang denominator.

Ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction sa pinakamababang common denominator ay binubuo ng tatlong hakbang:

• Una, hanapin ang hindi bababa sa karaniwang denominator ng mga fraction.
• Pangalawa, para sa bawat fraction, isang karagdagang factor ang kinakalkula, kung saan ang pinakamababang common denominator ay hinahati sa denominator ng bawat fraction.
• Pangatlo, ang numerator at denominator ng bawat fraction ay pinarami ng karagdagang salik nito.

Ilapat natin ang nakasaad na tuntunin sa solusyon ng sumusunod na halimbawa.

Halimbawa.

Bawasan ang mga fraction na 5/14 at 7/18 sa pinakamababang common denominator.

Desisyon.

Gawin natin ang lahat ng mga hakbang ng algorithm para sa pagbabawas ng mga fraction sa pinakamaliit na common denominator.

Una, nakita namin ang hindi bababa sa karaniwang denominator, na katumbas ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero 14 at 18. Dahil 14=2 7 at 18=2 3 3 , pagkatapos ay LCM(14, 18)=2 3 3 7=126 .

Ngayon ay kinakalkula namin ang mga karagdagang kadahilanan sa tulong kung saan ang mga fraction 5/14 at 7/18 ay mababawasan sa denominator 126. Para sa fraction 5/14 ang karagdagang factor ay 126:14=9 , at para sa fraction 7/18 ang karagdagang factor ay 126:18=7 .

Ito ay nananatiling upang i-multiply ang mga numerator at denominator ng mga fraction na 5/14 at 7/18 sa pamamagitan ng karagdagang mga kadahilanan ng 9 at 7, ayon sa pagkakabanggit. Mayroon kaming at .

Kaya, ang pagbabawas ng mga fraction 5/14 at 7/18 sa pinakamaliit na common denominator ay nakumpleto. Ang resulta ay mga fraction 45/126 at 49/126.

Upang dalhin ang mga fraction sa pinakamaliit na common denominator, kailangan mong: 1) hanapin ang least common multiple ng mga denominator ng mga fraction na ito, ito ang magiging least common denominator. 2) maghanap ng karagdagang salik para sa bawat isa sa mga fraction, kung saan hinahati natin ang bagong denominator sa denominator ng bawat fraction. 3) i-multiply ang numerator at denominator ng bawat fraction sa karagdagang salik nito.

Mga halimbawa. Bawasan ang mga sumusunod na fraction sa pinakamababang common denominator.

Nahanap namin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator: LCM(5; 4) = 20, dahil ang 20 ay ang pinakamaliit na bilang na nahahati sa parehong 5 at 4. Nakikita namin para sa 1st fraction ang karagdagang salik 4 (20 : 5=4). Para sa 2nd fraction, ang karagdagang multiplier ay 5 (20 : 4=5). I-multiply namin ang numerator at denominator ng 1st fraction sa 4, at ang numerator at denominator ng 2nd fraction sa 5. Binawasan namin ang mga fraction na ito sa pinakamababang common denominator ( 20 ).

Ang pinakamababang common denominator ng mga fraction na ito ay 8, dahil ang 8 ay nahahati ng 4 at mismo. Walang karagdagang multiplier sa 1st fraction (o masasabi nating katumbas ito ng isa), sa 2nd fraction ang karagdagang multiplier ay 2 (8 : 4=2). I-multiply namin ang numerator at denominator ng 2nd fraction sa 2. Binawasan namin ang mga fraction na ito sa pinakamababang common denominator ( 8 ).

Ang mga fraction na ito ay hindi mababawasan.

Binabawasan namin ng 4 ang 1st fraction, at binabawasan namin ng 2 ang 2nd fraction. ( tingnan ang mga halimbawa sa pagbabawas ng mga ordinaryong fraction: Sitemap → 5.4.2. Mga halimbawa ng pagbabawas ng mga ordinaryong fraction). Hanapin ang LCM(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Ang karagdagang multiplier para sa 1st fraction ay 5 (80 : 16=5). Ang karagdagang multiplier para sa 2nd fraction ay 4 (80 : 20=4). I-multiply namin ang numerator at denominator ng 1st fraction sa 5, at ang numerator at denominator ng 2nd fraction sa 4. Binawasan namin ang mga fraction na ito sa pinakamababang common denominator ( 80 ).

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang denominator ng NOC(5 ; 6 at 15) = LCM(5 ; 6 at 15)=30. Ang karagdagang multiplier sa 1st fraction ay 6 (30 : 5=6), ang karagdagang multiplier sa 2nd fraction ay 5 (30 : 6=5), ang karagdagang multiplier sa 3rd fraction ay 2 (30 : 15=2). I-multiply namin ang numerator at denominator ng 1st fraction sa 6, ang numerator at denominator ng 2nd fraction sa 5, ang numerator at denominator ng 3rd fraction sa 2. Binawasan namin ang mga fraction na ito sa pinakamababang common denominator ( 30 ).

Pahina 1 ng 1 1

Kapag nagdaragdag at nagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator, ang mga fraction ay unang humahantong sa karaniwang denominador. Nangangahulugan ito na nakahanap sila ng isang solong denominator, na hinati sa orihinal na denominator ng bawat algebraic fraction na bahagi ng expression na ito.

Tulad ng alam mo, kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami (o hinati) sa parehong numero maliban sa zero, kung gayon ang halaga ng fraction ay hindi magbabago. Ito ang pangunahing katangian ng isang fraction. Samakatuwid, kapag ang mga fraction ay humantong sa isang karaniwang denominator, sa katunayan, ang orihinal na denominator ng bawat fraction ay pinarami ng nawawalang salik sa isang karaniwang denominator. Sa kasong ito, kinakailangan upang i-multiply sa pamamagitan ng kadahilanang ito at ang numerator ng fraction (ito ay naiiba para sa bawat fraction).

Halimbawa, ibinigay ang sumusunod na kabuuan ng mga algebraic fraction:

Kinakailangang gawing simple ang expression, ibig sabihin, magdagdag ng dalawang algebraic fraction. Upang gawin ito, una sa lahat, ito ay kinakailangan upang bawasan ang mga termino-fractions sa isang karaniwang denominator. Ang unang hakbang ay ang paghahanap ng monomial na nahahati sa parehong 3x at 2y. Sa kasong ito, kanais-nais na ito ang pinakamaliit, ibig sabihin, hanapin ang least common multiple (LCM) para sa 3x at 2y.

Para sa mga numerical coefficient at variable, ang LCM ay hinanap nang hiwalay. LCM(3, 2) = 6 at LCM(x, y) = xy. Dagdag pa, ang mga nahanap na halaga ay pinarami: 6xy.

Ngayon kailangan nating tukuyin kung anong salik ang kailangan nating i-multiply ng 3x upang makakuha ng 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Nangangahulugan ito na kapag binabawasan ang unang algebraic fraction sa isang common denominator, ang numerator nito ay dapat i-multiply sa 2y (na-multiply na ang denominator kapag binawasan sa isang common denominator). Ang kadahilanan para sa numerator ng pangalawang fraction ay katulad na hinahanap. Ito ay magiging katumbas ng 3x.

Kaya, nakukuha namin ang:

Dagdag pa, posible nang kumilos bilang sa mga fraction na may parehong denominator: ang mga numerator ay idinagdag, at ang isang karaniwan ay nakasulat sa denominator:

Pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, ang isang pinasimple na expression ay nakuha, na isang algebraic fraction, na kung saan ay ang kabuuan ng dalawang orihinal na mga:

Ang mga algebraic fraction sa orihinal na expression ay maaaring maglaman ng mga denominator na mga polynomial sa halip na mga monomial (tulad ng sa halimbawa sa itaas). Sa kasong ito, bago humanap ng common denominator, i-factor ang mga denominator (kung maaari). Dagdag pa, ang karaniwang denominator ay kinokolekta mula sa iba't ibang mga kadahilanan. Kung ang kadahilanan ay nasa ilang mga paunang denominator, kung gayon ito ay kinuha nang isang beses. Kung ang kadahilanan ay may iba't ibang antas sa orihinal na mga denominador, kung gayon ito ay kukunin gamit ang isang mas malaki. Halimbawa:

Dito ang polynomial a 2 - b 2 ay maaaring katawanin bilang isang produkto (a - b)(a + b). Ang salik 2a – 2b ay pinalawak bilang 2(a – b). Kaya, ang karaniwang denominator ay magiging katumbas ng 2(a - b)(a + b).

Sa balangkas ng pag-aaral ng magkatulad na mga pagbabagong-anyo, ang paksa ng pagkuha ng karaniwang kadahilanan mula sa mga bracket ay napakahalaga. Sa artikulong ito, ipapaliwanag namin kung ano ang eksaktong pagbabagong ito, kunin ang pangunahing panuntunan at pag-aralan ang mga tipikal na halimbawa ng mga problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ang konsepto ng factoring out ang mga bracket

Upang matagumpay na mailapat ang pagbabagong ito, kailangan mong malaman kung aling mga expression ang ginamit at kung anong resulta ang gusto mong makuha bilang resulta. Ipaliwanag natin ang mga puntong ito.

Maaari mong alisin ang karaniwang salik sa mga bracket sa mga expression na mga kabuuan kung saan ang bawat termino ay isang produkto, at sa bawat produkto ay may isang salik na karaniwan (pareho) para sa lahat. Ito ang tinatawag na common factor. Iyan ang aalisin natin sa mga bracket. Kaya, kung mayroon kaming mga gawa 5 3 at 5 4 , pagkatapos ay maaari nating alisin ang karaniwang kadahilanan 5 sa mga bracket.

Ano ang pagbabagong ito? Sa kurso nito, kinakatawan namin ang orihinal na expression bilang produkto ng isang karaniwang salik at isang expression sa mga bracket na naglalaman ng kabuuan ng lahat ng orihinal na termino, maliban sa karaniwang salik.

Kunin natin ang halimbawa sa itaas. Inalis namin ang karaniwang kadahilanan na 5 in 5 3 at 5 4 at makakuha ng 5 (3 + 4) . Ang huling expression ay ang produkto ng karaniwang salik 5 at ang expression sa mga bracket, na siyang kabuuan ng orihinal na mga termino na walang 5 .

Ang pagbabagong ito ay batay sa distributive property ng multiplication, na napag-aralan na natin noon. Sa literal na anyo, maaari itong isulat bilang a (b + c) = a b + a c. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng kanang bahagi mula sa kaliwa, makikita natin ang pamamaraan ng pagkuha ng karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket.

Ang panuntunan para sa pagkuha ng karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket

Gamit ang lahat ng nasa itaas, nakukuha namin ang pangunahing panuntunan para sa naturang pagbabago:

Kahulugan 1

Upang i-bracket ang karaniwang salik, kailangan mong isulat ang orihinal na expression bilang isang produkto ng karaniwang salik at mga bracket, na kinabibilangan ng orihinal na kabuuan na walang karaniwang salik.

Halimbawa 1

Kumuha tayo ng isang simpleng halimbawa ng pag-render. Mayroon kaming numeric na expression 3 7 + 3 2 − 3 5, na siyang kabuuan ng tatlong termino 3 · 7 , 3 · 2 at isang karaniwang salik 3 . Isinasaalang-alang ang panuntunang nakuha namin, isinusulat namin ang produkto bilang 3 (7 + 2 - 5). Ito ang resulta ng ating pagbabago. Ang entry ng solusyon ay ganito: 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).

Maaari nating alisin ang kadahilanan sa mga bracket hindi lamang sa numerical, kundi pati na rin sa mga literal na expression. Halimbawa, sa 3 x − 7 x + 2 maaari mong alisin ang variable na x at makuha 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2, sa expression (x 2 + y) x y − (x 2 + y) x 3- karaniwang multiplier (x 2 + y) at makarating sa dulo (x 2 + y) (x y − x 3).

Hindi laging posible na matukoy kaagad kung aling multiplier ang karaniwan. Minsan ang isang expression ay kailangang paunang baguhin sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga numero at expression ng mga produkto na kapareho ng mga ito.

Halimbawa 2

Kaya, halimbawa, sa expression 6 x + 4 y maaari mong alisin ang karaniwang kadahilanan 2 , hindi nakasulat nang tahasan. Upang mahanap ito, kailangan nating baguhin ang orihinal na expression, na kumakatawan sa anim bilang 2 3 at apat bilang 2 2 . I.e 6 x + 4 y = 2 3 x + 2 2 y = 2 (3 x + 2 y). O sa ekspresyon x 3 + x 2 + 3 x maaaring i-bracket ng karaniwang salik x , na makikita pagkatapos ng pagpapalit x 3 sa x · x 2 . Ang ganitong pagbabago ay posible dahil sa mga pangunahing katangian ng antas. Bilang isang resulta, nakukuha namin ang expression x (x 2 + x + 3).

Ang isa pang kaso na dapat harapin nang hiwalay ay ang bracketing ng minus. Pagkatapos ay hindi namin kinuha ang sign mismo, ngunit minus one. Halimbawa, baguhin natin ang expression sa ganitong paraan − 5 − 12 x + 4 x y. Isulat muli natin ang expression bilang (− 1) 5 + (− 1) 12 x − (− 1) 4 x y para mas malinaw na makita ang kabuuang multiplier. Alisin natin ito sa mga bracket at kunin ang − (5 + 12 x − 4 x y) . Ipinapakita ng halimbawang ito na sa mga bracket ang parehong halaga ay nakuha, ngunit may kabaligtaran na mga palatandaan.

Sa mga konklusyon, tandaan namin na ang pagbabagong-anyo sa pamamagitan ng pagkuha ng karaniwang kadahilanan mula sa mga bracket ay madalas na ginagamit sa pagsasanay, halimbawa, upang kalkulahin ang halaga ng mga makatwirang expression. Gayundin, ang pamamaraang ito ay kapaki-pakinabang kapag kailangan mong kumatawan sa isang expression bilang isang produkto, halimbawa, upang mabulok ang isang polynomial sa magkahiwalay na mga salik.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter