Unang derivative Kung ang derivative ng isang function ay positibo (negatibo) sa ilang interval, ang function sa interval na ito ay monotonically tumataas (monotonically decreasing). Kung ang derivative function ay positibo (negatibo) sa ilang interval, ang function sa interval na ito ay monotonically tumataas (monotonically decreasing). Dagdag pa
Kahulugan Ang isang kurba ay tinatawag na matambok sa isang punto kung sa ilang kapitbahayan ng puntong ito ito ay matatagpuan sa ilalim ng tangent nito sa isang punto Ang isang kurba ay tinatawag na matambok sa isang punto kung sa ilang kapitbahayan ng puntong ito ito ay matatagpuan sa ilalim ng tangent nito sa isang puntong punto , ito ay matatagpuan sa itaas ng tangent nito sa isang punto Ang isang kurba ay tinatawag na malukong sa isang punto kung, sa ilang kapitbahayan ng puntong ito, ito ay matatagpuan sa itaas ng tangent nito sa isang punto
Tanda ng concavity at convexity Kung ang pangalawang derivative ng isang function sa isang partikular na pagitan ay positibo, kung gayon ang curve ay malukong sa pagitan na ito, at kung ito ay negatibo, ito ay matambok sa pagitan na ito. Kung ang pangalawang derivative ng isang function sa isang ibinigay na pagitan ay positibo, kung gayon ang kurba ay malukong sa pagitan na ito, at kung ito ay negatibo, ito ay matambok sa pagitan na ito. Kahulugan
Magplano para sa pagsasaliksik sa function at pagbuo ng graph nito 1. Hanapin ang domain ng function at tukuyin ang mga break point, kung mayroon man 1. Hanapin ang domain ng function at tukuyin ang break point, kung mayroon 2. Alamin kung ang function ay even o kakaiba; suriin ang periodicity nito 2. Alamin kung ang function ay even o odd; suriin ang periodicity nito 3. Tukuyin ang mga intersection point ng function graph na may mga coordinate axes 3. Tukuyin ang mga intersection point ng function graph na may coordinate axes 4. Hanapin ang mga kritikal na punto ng 1st kind 4. Hanapin ang mga kritikal na punto ng 1st uri 5. Tukuyin ang mga pagitan ng monotonicity at extrema ng function 5. Tukuyin ang monotonicity interval at extrema ng function 6. Tukuyin ang mga pagitan ng convexity at concavity at hanapin ang mga inflection point 6. Tukuyin ang mga pagitan ng convexity at concavity at hanapin ang mga inflection point 7 . Gamit ang mga resulta ng pag-aaral, ikonekta ang mga nakuhang punto ng isang makinis na kurba 7. Gamit ang mga resulta ng pag-aaral, ikonekta ang mga nakuhang punto ng isang makinis na kurba Lumabas
Ano ang derivative?
Kahulugan at kahulugan ng derivative ng isang function
Marami ang magugulat sa hindi inaasahang lokasyon ng artikulong ito sa kurso ng aking may-akda sa derivative ng isang function ng isang variable at mga aplikasyon nito. Pagkatapos ng lahat, tulad ng mula sa paaralan: isang karaniwang aklat-aralin, una sa lahat, ay nagbibigay ng isang kahulugan ng isang hinalaw, ang geometriko, mekanikal na kahulugan nito. Susunod, ang mga mag-aaral ay nakakahanap ng mga derivatives ng mga function sa pamamagitan ng kahulugan, at, sa katunayan, pagkatapos lamang ang diskarte sa pagkita ng kaibhan ay naperpekto gamit ang mga derivative table.
Ngunit mula sa aking pananaw, ang sumusunod na diskarte ay mas pragmatic: una sa lahat, ipinapayong UNAWAIN NG MABUTI limitasyon ng pag-andar, at lalo na infinitesimals. Sa katotohanan ay ang kahulugan ng derivative ay batay sa konsepto ng limitasyon, na hindi gaanong isinasaalang-alang sa kurso ng paaralan. Iyon ang dahilan kung bakit ang isang makabuluhang bahagi ng mga batang mamimili ng kaalaman sa granite ay hindi mahusay na tumagos sa pinakadiwa ng derivative. Kaya, kung hindi ka sanay sa differential calculus, o matagumpay na naalis ng matalinong utak ang bagahe na ito sa paglipas ng mga taon, mangyaring magsimula sa mga limitasyon sa pag-andar. Sa parehong oras master / tandaan ang kanilang mga desisyon.
Ang parehong praktikal na kahulugan ay nagpapahiwatig na ito ay kumikita muna matutong maghanap ng mga derivatives, kasama ang derivatives ng mga kumplikadong function. Ang teorya ay isang teorya, ngunit, tulad ng sinasabi nila, gusto mong laging magkaiba. Sa pagsasaalang-alang na ito, mas mahusay na gawin ang mga nakalistang pangunahing aralin, at maaaring maging master ng pagkita ng kaibhan nang hindi man lang napagtanto ang kakanyahan ng kanilang mga aksyon.
Inirerekumenda kong simulan ang mga materyales sa pahinang ito pagkatapos basahin ang artikulo. Ang pinakasimpleng problema sa isang derivative, kung saan, sa partikular, ang problema ng tangent sa graph ng isang function ay isinasaalang-alang. Ngunit maaari itong maantala. Ang katotohanan ay maraming mga aplikasyon ng derivative ay hindi nangangailangan ng pag-unawa dito, at hindi nakakagulat na ang teoretikal na aralin ay lumitaw nang huli - kapag kailangan kong ipaliwanag paghahanap ng mga pagitan ng pagtaas/pagbaba at mga extremum mga function. Bukod dito, siya ay nasa paksa sa loob ng mahabang panahon " Mga Function at Graph”, hanggang sa napagdesisyunan kong ilagay ito kanina.
Samakatuwid, mahal na mga teapot, huwag magmadali upang makuha ang kakanyahan ng hinalaw, tulad ng mga gutom na hayop, dahil ang saturation ay magiging walang lasa at hindi kumpleto.
Ang konsepto ng pagtaas, pagbaba, maximum, minimum ng isang function
Maraming mga tutorial ang humahantong sa konsepto ng isang derivative sa tulong ng ilang mga praktikal na problema, at nakagawa din ako ng isang kawili-wiling halimbawa. Isipin na kailangan nating maglakbay sa isang lungsod na maaaring maabot sa iba't ibang paraan. Agad naming itinatapon ang mga curved winding path, at isasaalang-alang lamang namin ang mga tuwid na linya. Gayunpaman, iba rin ang mga direksyon sa tuwid na linya: maaari kang makarating sa lungsod sa kahabaan ng patag na autobahn. O sa isang maburol na highway - pataas at pababa, pataas at pababa. Ang isa pang kalsada ay pataas lamang, at ang isa ay pababa sa lahat ng oras. Ang mga naghahanap ng kilig ay pipili ng ruta sa bangin na may matarik na bangin at matarik na pag-akyat.
Ngunit anuman ang iyong mga kagustuhan, ito ay kanais-nais na malaman ang lugar, o hindi bababa sa magkaroon ng isang topographical na mapa nito. Paano kung walang ganoong impormasyon? Pagkatapos ng lahat, maaari kang pumili, halimbawa, isang patag na landas, ngunit bilang isang resulta, natitisod sa isang ski slope na may nakakatawang Finns. Hindi ang katotohanan na ang navigator at kahit isang satellite image ay magbibigay ng maaasahang data. Samakatuwid, mainam na gawing pormal ang kaluwagan ng landas sa pamamagitan ng matematika.
Isaalang-alang ang ilang kalsada (side view): 
Kung sakali, ipinaaalala ko sa iyo ang isang elementarya na katotohanan: ang paglalakbay ay nagaganap mula kaliwa hanggang kanan. Para sa pagiging simple, ipinapalagay namin na ang function tuloy-tuloy sa lugar na isinasaalang-alang.
Ano ang mga tampok ng tsart na ito?
Sa mga pagitan 
function nadadagdagan, ibig sabihin, bawat isa sa susunod na halaga nito higit pa ang nauna. Sa halos pagsasalita, napupunta ang iskedyul baba taas(umakyat kami sa burol). At sa pagitan ang pag-andar bumababa- bawat susunod na halaga mas maliit ang nakaraan, at ang aming iskedyul ay napupunta itaas pababa(pababa sa dalisdis).
Bigyang-pansin din natin ang mga espesyal na puntos. Sa puntong narating natin maximum, ibig sabihin umiral tulad ng isang seksyon ng landas kung saan ang halaga ang magiging pinakamalaki (pinakamataas). Sa parehong punto, pinakamababa, at umiral tulad nito kapitbahayan, kung saan ang halaga ay ang pinakamaliit (pinakamababa).
Ang mas mahigpit na terminolohiya at mga kahulugan ay isasaalang-alang sa aralin. tungkol sa extrema ng function, ngunit sa ngayon ay pag-aralan natin ang isa pang mahalagang katangian: sa mga pagitan 
ang pag-andar ay tumataas, ngunit ito ay tumataas sa iba't ibang bilis. At ang unang bagay na nakakakuha ng iyong mata ay ang tsart ay tumataas sa pagitan mas cool kaysa sa pagitan. Posible bang sukatin ang tirik ng kalsada gamit ang mga mathematical tools?
Rate ng pagbabago ng function
Ang ideya ay ito: kumuha ng ilang halaga (basahin ang "delta x"), na tatawagin natin pagtaas ng argumento, at simulan natin ang "subukan ito" sa iba't ibang punto ng ating landas: 
1) Tingnan natin ang pinakakaliwang punto: pag-bypass sa distansya , umakyat tayo sa slope sa isang taas (berdeng linya). Ang halaga ay tinatawag pagtaas ng function, at sa kasong ito ang pagtaas na ito ay positibo (ang pagkakaiba ng mga halaga sa kahabaan ng axis ay mas malaki kaysa sa zero). Gawin natin ang ratio , na siyang magiging sukatan ng tirik ng ating kalsada. Malinaw, ay isang napaka-tiyak na numero, at dahil ang parehong mga pagtaas ay positibo, kung gayon .
Pansin! Ang pagtatalaga ay ISA simbolo, iyon ay, hindi mo maaaring "punitin" ang "delta" mula sa "x" at isaalang-alang ang mga titik na ito nang hiwalay. Siyempre, nalalapat din ang komento sa simbolo ng pagtaas ng function.
Tuklasin natin ang katangian ng resultang fraction nang mas makabuluhan. Ipagpalagay na sa simula tayo ay nasa taas na 20 metro (sa kaliwang itim na tuldok). Ang pagkakaroon ng pagtagumpayan ang distansya ng mga metro (kaliwang pulang linya), kami ay nasa taas na 60 metro. Pagkatapos ay ang pagtaas ng function ay magiging 
metro (berdeng linya) at: . kaya, sa bawat metro itong bahagi ng kalsada tumataas ang taas karaniwan sa pamamagitan ng 4 na metro…nakalimutan mo ba ang iyong kagamitan sa pag-akyat? =) Sa madaling salita, ang constructed ratio ay nagpapakilala sa AVERAGE RATE NG PAGBABAGO (sa kasong ito, paglago) ng function.
Tandaan : Ang mga numerong halaga ng halimbawang pinag-uusapan ay tumutugma sa mga proporsyon ng pagguhit lamang ng humigit-kumulang.
2) Ngayon, pumunta tayo sa parehong distansya mula sa pinakakanang itim na tuldok. Dito ang pagtaas ay mas banayad, kaya ang pagtaas (crimson line) ay medyo maliit, at ang ratio kumpara sa nakaraang kaso ay magiging medyo katamtaman. Relatibong magsalita, 
metro at rate ng paglago ng function ay . Ibig sabihin, dito sa bawat metro ng kalsada ay nariyan karaniwan kalahating metro ang taas.
3) Isang maliit na pakikipagsapalaran sa gilid ng bundok. Tingnan natin ang tuktok na itim na tuldok na matatagpuan sa y-axis. Ipagpalagay natin na ito ay isang marka ng 50 metro. Muli nating napagtagumpayan ang distansya, bilang isang resulta kung saan nakita natin ang ating sarili na mas mababa - sa antas na 30 metro. Mula nang magawa ang kilusan itaas pababa(sa "kabaligtaran" na direksyon ng axis), pagkatapos ay ang pangwakas ang pagtaas ng function (taas) ay magiging negatibo: 
metro (kayumanggi na linya sa pagguhit). At sa kasong ito pinag-uusapan natin rate ng pagkabulok mga tampok: 
, iyon ay, para sa bawat metro ng landas ng seksyong ito, ang taas ay bumababa karaniwan sa pamamagitan ng 2 metro. Alagaan ang mga damit sa ikalimang punto.
Ngayon itanong natin ang tanong: ano ang pinakamahusay na halaga ng "pamantayan sa pagsukat" na gagamitin? Ito ay malinaw na ang 10 metro ay napaka-magaspang. Ang isang mahusay na dosenang bumps ay madaling magkasya sa kanila. Bakit may mga bumps, maaaring may malalim na bangin sa ibaba, at pagkatapos ng ilang metro - ang kabilang panig nito na may karagdagang matarik na pag-akyat. Kaya, sa isang sampung metro, hindi kami makakakuha ng isang naiintindihan na katangian ng naturang mga seksyon ng landas sa pamamagitan ng ratio.
Mula sa talakayan sa itaas, ang sumusunod na konklusyon ay sumusunod: mas maliit ang halaga, mas tumpak na ilalarawan natin ang kaginhawahan ng kalsada. Bukod dito, ang mga sumusunod na katotohanan ay totoo:
– Para sa anumang mga nakakataas na puntos 
maaari kang pumili ng isang halaga (kahit isang napakaliit) na akma sa loob ng mga hangganan ng isa o isa pang pagtaas. At nangangahulugan ito na ang katumbas na pagtaas ng taas ay magagarantiyahan na maging positibo, at ang hindi pagkakapantay-pantay ay wastong magsasaad ng paglaki ng function sa bawat punto ng mga agwat na ito.
- Gayundin, para sa anumang slope point, mayroong isang halaga na ganap na magkasya sa slope na ito. Samakatuwid, ang katumbas na pagtaas sa taas ay walang alinlangan na negatibo, at ang hindi pagkakapantay-pantay ay magpapakita ng tama ng pagbaba sa function sa bawat punto ng ibinigay na pagitan.
– Ang partikular na interes ay ang kaso kapag ang rate ng pagbabago ng function ay zero: . Una, ang zero height increment () ay tanda ng pantay na landas. At pangalawa, may iba pang mga kakaibang sitwasyon, mga halimbawa kung saan makikita mo sa figure. Isipin na dinala tayo ng tadhana sa pinakatuktok ng isang burol na may umaalingawngaw na mga agila o sa ilalim ng bangin na may umaalingawngaw na mga palaka. Kung gumawa ka ng isang maliit na hakbang sa anumang direksyon, kung gayon ang pagbabago sa taas ay magiging bale-wala, at maaari nating sabihin na ang rate ng pagbabago ng function ay talagang zero. Ang parehong pattern ay sinusunod sa mga punto.
Kaya, nilapitan namin ang isang kamangha-manghang pagkakataon upang ganap na tumpak na makilala ang rate ng pagbabago ng isang function. Pagkatapos ng lahat, ang mathematical analysis ay nagpapahintulot sa amin na idirekta ang pagtaas ng argumento sa zero: iyon ay, upang gawin itong infinitesimal.
Bilang resulta, lumitaw ang isa pang lohikal na tanong: posible bang makahanap ng kalsada at iskedyul nito ibang function, na sasabihin sa amin tungkol sa lahat ng flat, pataas, pababa, peak, lowlands, pati na rin ang rate ng pagtaas / pagbaba sa bawat punto ng landas?
Ano ang derivative? Kahulugan ng isang derivative.
Ang geometric na kahulugan ng derivative at differential
Mangyaring basahin nang may pag-iisip at hindi masyadong mabilis - ang materyal ay simple at naa-access sa lahat! Okay lang kung sa ilang lugar ay may tila hindi masyadong malinaw, maaari mong palaging bumalik sa artikulo sa ibang pagkakataon. Sasabihin ko pa, kapaki-pakinabang na pag-aralan ang teorya nang maraming beses upang maunawaan nang husay ang lahat ng mga punto (ang payo ay partikular na nauugnay para sa mga "teknikal" na mga mag-aaral, kung kanino ang mas mataas na matematika ay may mahalagang papel sa proseso ng edukasyon).
Naturally, sa mismong kahulugan ng derivative sa isang punto, papalitan namin ito ng:
Ano ang narating natin? At kami ay dumating sa konklusyon na para sa isang function ayon sa batas 
ay nakahanay ibang function, na tinatawag na derivative function(o kaya lang derivative).
Ang derivative ay nagpapakilala rate ng pagbabago mga function. paano? Ang pag-iisip ay parang isang pulang sinulid mula pa sa simula ng artikulo. Isaalang-alang ang ilang punto mga domain mga function. Hayaang maging differentiable ang function sa isang naibigay na punto. Pagkatapos:
1) Kung , pagkatapos ay tumataas ang function sa puntong . At halatang meron pagitan(kahit na napakaliit) na naglalaman ng punto kung saan lumalaki ang function, at ang graph nito ay "mula sa ibaba hanggang sa itaas".
2) Kung , pagkatapos ay bumababa ang function sa puntong . At mayroong isang agwat na naglalaman ng isang punto kung saan bumababa ang function (ang graph ay "mula sa itaas hanggang sa ibaba").
3) Kung , kung gayon malapit nang walang katapusan malapit sa punto, pinapanatili ng function na pare-pareho ang bilis nito. Nangyayari ito, tulad ng nabanggit, para sa isang function-constant at sa mga kritikal na punto ng function, sa partikular sa pinakamababa at pinakamataas na puntos.
Ilang semantika. Ano ang ibig sabihin ng pandiwa na "magkaiba" sa malawak na kahulugan? Ang ibig sabihin ng pagkakaiba-iba ay ang pag-iisa ng isang tampok. Ang pagkakaiba ng function , "pinili" namin ang rate ng pagbabago nito sa anyo ng isang derivative ng function . At ano, nga pala, ang ibig sabihin ng salitang "derivative"? Function nangyari mula sa function.
Matagumpay na binibigyang kahulugan ng mga termino ang mekanikal na kahulugan ng derivative
:
Isaalang-alang natin ang batas ng pagbabago ng mga coordinate ng katawan, na nakasalalay sa oras, at ang pag-andar ng bilis ng paggalaw ng ibinigay na katawan. Ang function ay nagpapakilala sa rate ng pagbabago ng body coordinate, samakatuwid ito ang unang derivative ng function na may paggalang sa oras: . Kung ang konsepto ng "galaw ng katawan" ay hindi umiiral sa kalikasan, kung gayon hindi magkakaroon derivative konsepto ng "bilis".
Ang acceleration ng katawan ay ang rate ng pagbabago ng bilis, samakatuwid: . Kung ang orihinal na mga konsepto ng "kilos ng katawan" at "bilis ng paggalaw ng katawan" ay hindi umiiral sa kalikasan, kung gayon hindi magkakaroon derivative ang konsepto ng acceleration ng isang katawan.
Kung susundin natin ang kahulugan, kung gayon ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng increment ratio ng function Δ y sa pagtaas ng argumentong Δ x:
Tila malinaw na ang lahat. Ngunit subukang kalkulahin sa pamamagitan ng formula na ito, sabihin nating, ang derivative ng function f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x kasalanan x. Kung gagawin mo ang lahat sa pamamagitan ng kahulugan, pagkatapos pagkatapos ng ilang mga pahina ng mga kalkulasyon ay matutulog ka lang. Samakatuwid, may mga mas simple at mas epektibong paraan.
Upang magsimula, tandaan namin na ang tinatawag na elementarya na mga pag-andar ay maaaring makilala mula sa buong iba't ibang mga pag-andar. Ang mga ito ay medyo simpleng mga expression, ang mga derivatives na kung saan ay matagal nang kinakalkula at ipinasok sa talahanayan. Ang mga naturang function ay sapat na madaling matandaan, kasama ang kanilang mga derivatives.
Derivatives ng elementarya function
Ang mga elementary function ay lahat ng nakalista sa ibaba. Ang mga derivatives ng mga function na ito ay dapat na kilala sa puso. At saka, hindi mahirap kabisaduhin ang mga ito - kaya naman elementary sila.
Kaya, ang mga derivatives ng elementarya na pag-andar:
| Pangalan | Function | Derivative |
| pare-pareho | f(x) = C, C ∈ R | 0 (oo, oo, zero!) |
| Degree na may rational exponent | f(x) = x n | n · x n − 1 |
| Sinus | f(x) = kasalanan x | cos x |
| Cosine | f(x) = cos x | − kasalanan x(minus sine) |
| Padaplis | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| Cotangent | f(x) = ctg x | − 1/kasalanan2 x |
| natural na logarithm | f(x) = log x | 1/x |
| Arbitrary logarithm | f(x) = log a x | 1/(x ln a) |
| Exponential function | f(x) = e x | e x(walang nagbago) |
Kung ang isang elementary function ay pinarami ng isang arbitrary na pare-pareho, kung gayon ang derivative ng bagong function ay madali ding kalkulahin:
(C · f)’ = C · f ’.
Sa pangkalahatan, ang mga constant ay maaaring alisin sa sign ng derivative. Halimbawa:
(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Malinaw, ang mga elementary function ay maaaring idagdag sa isa't isa, multiply, hinati, at marami pang iba. Ito ay kung paano lilitaw ang mga bagong function, hindi na masyadong elementarya, ngunit din naiba-iba ayon sa ilang mga patakaran. Ang mga tuntuning ito ay tinalakay sa ibaba.
Derivative ng kabuuan at pagkakaiba
Hayaan ang mga function f(x) at g(x), na ang mga derivative ay alam natin. Halimbawa, maaari mong kunin ang mga elementary function na tinalakay sa itaas. Pagkatapos ay mahahanap mo ang derivative ng kabuuan at pagkakaiba ng mga function na ito:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Kaya, ang derivative ng kabuuan (difference) ng dalawang function ay katumbas ng sum (difference) ng mga derivatives. Maaaring may higit pang mga termino. Halimbawa, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Sa mahigpit na pagsasalita, walang konsepto ng "pagbabawas" sa algebra. Mayroong isang konsepto ng "negatibong elemento". Samakatuwid, ang pagkakaiba f − g maaaring isulat muli bilang kabuuan f+ (−1) g, at pagkatapos ay isang formula na lang ang natitira - ang derivative ng kabuuan.
f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Function f(x) ay ang kabuuan ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya:
f ’(x) = (x 2+ kasalanan x)’ = (x 2)' + (kasalanan x)’ = 2x+ cosx;
Pareho kaming nagtatalo para sa function g(x). Tanging mayroon nang tatlong termino (mula sa punto ng view ng algebra):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Sagot:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Derivative ng isang produkto
Ang matematika ay isang lohikal na agham, kaya maraming tao ang naniniwala na kung ang derivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives, kung gayon ang derivative ng produkto. strike"\u003e katumbas ng produkto ng mga derivatives. Ngunit figs para sa iyo! Ang derivative ng produkto ay kinakalkula gamit ang isang ganap na naiibang formula. Namely:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Ang formula ay simple, ngunit madalas na nakalimutan. At hindi lamang mga mag-aaral, kundi pati na rin ang mga mag-aaral. Ang resulta ay maling nalutas ang mga problema.
Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .
Function f(x) ay isang produkto ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya ang lahat ay simple:
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) dahil x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−kasalanan x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x)
Function g(x) ang unang multiplier ay medyo mas kumplikado, ngunit ang pangkalahatang pamamaraan ay hindi nagbabago mula dito. Malinaw, ang unang multiplier ng function g(x) ay isang polynomial, at ang derivative nito ay ang derivative ng kabuuan. Meron kami:
g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .
Sagot:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e
x
.
Tandaan na ang huling hakbang ay i-factorize ang derivative. Sa pormal, hindi ito kinakailangan, ngunit karamihan sa mga derivative ay hindi kinakalkula sa kanilang sarili, ngunit upang galugarin ang function. Nangangahulugan ito na ang karagdagang derivative ay itutumbas sa zero, ang mga palatandaan nito ay malalaman, at iba pa. Para sa ganitong kaso, mas mainam na magkaroon ng expression na nabulok sa mga kadahilanan.
Kung may dalawang function f(x) at g(x), at g(x) ≠ 0 sa hanay ng interes sa amin, maaari naming tukuyin ang isang bagong function h(x) = f(x)/g(x). Para sa ganoong function, maaari mo ring mahanap ang derivative:
Hindi mahina, tama? Saan nagmula ang minus? Bakit g 2? Pero ganito! Ito ay isa sa mga pinaka-kumplikadong formula - hindi mo maiisip ito nang walang bote. Samakatuwid, mas mahusay na pag-aralan ito na may mga tiyak na halimbawa.
Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function:
May mga elementarya na function sa numerator at denominator ng bawat fraction, kaya ang kailangan lang natin ay ang formula para sa derivative ng quotient:
Sa pamamagitan ng tradisyon, isinaalang-alang namin ang numerator sa mga kadahilanan - ito ay lubos na magpapasimple sa sagot:
Ang isang kumplikadong function ay hindi kinakailangang isang formula na kalahating kilometro ang haba. Halimbawa, ito ay sapat na upang kunin ang function f(x) = kasalanan x at palitan ang variable x, sabihin, sa x 2+ln x. Iyon pala f(x) = kasalanan ( x 2+ln x) ay isang kumplikadong function. Mayroon din siyang derivative, ngunit hindi ito gagana upang mahanap ito ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas.
Paano maging? Sa ganitong mga kaso, ang pagpapalit ng isang variable at ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function ay tumutulong:
f ’(x) = f ’(t) · t', kung x ay pinalitan ng t(x).
Bilang isang tuntunin, ang sitwasyon na may pag-unawa sa formula na ito ay mas malungkot kaysa sa hinango ng quotient. Samakatuwid, mas mainam din na ipaliwanag ito sa mga partikular na halimbawa, na may detalyadong paglalarawan ng bawat hakbang.
Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = kasalanan ( x 2+ln x)
Tandaan na kung sa function f(x) sa halip na expression 2 x+ 3 ay magiging madali x, pagkatapos ay makakakuha tayo ng elementarya na function f(x) = e x. Samakatuwid, gumawa kami ng isang pagpapalit: hayaan ang 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Hinahanap namin ang derivative ng isang kumplikadong function sa pamamagitan ng formula:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
At ngayon - pansin! Gumaganap ng reverse substitution: t = 2x+ 3. Nakukuha namin ang:
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3
Ngayon tingnan natin ang function g(x). Malinaw na kailangang palitan. x 2+ln x = t. Meron kami:
g ’(x) = g ’(t) · t' = (kasalanan t)’ · t' = kasi t · t ’
Baliktad na kapalit: t = x 2+ln x. Pagkatapos:
g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).
Iyon lang! Tulad ng makikita mula sa huling expression, ang buong problema ay nabawasan sa pagkalkula ng derivative ng kabuuan.
Sagot:
f ’(x) = 2 e
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) dahil ( x 2+ln x).
Kadalasan sa aking mga aralin, sa halip na ang terminong "derivative", ginagamit ko ang salitang "stroke". Halimbawa, ang stroke mula sa kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga stroke. Mas malinaw ba iyon? Well, mabuti iyon.
Kaya, ang pagkalkula ng derivative ay bumaba sa pag-alis ng mga mismong stroke na ito ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas. Bilang huling halimbawa, bumalik tayo sa derivative power na may rational exponent:
(x n)’ = n · x n − 1
Iilan lang ang nakakaalam niyan sa role n maaaring isang fractional number. Halimbawa, ang ugat ay x 0.5 . Ngunit paano kung mayroong isang bagay na nakakalito sa ilalim ng ugat? Muli, ang isang kumplikadong pag-andar ay lalabas - gusto nilang magbigay ng gayong mga konstruksyon sa mga pagsusulit at pagsusulit.
Gawain. Hanapin ang derivative ng isang function:
Una, muling isulat natin ang ugat bilang isang kapangyarihan na may makatwirang exponent:
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Ngayon gumawa kami ng isang pagpapalit: hayaan x 2 + 8x − 7 = t. Nahanap namin ang derivative sa pamamagitan ng formula:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−0.5 t ’.
Gumagawa kami ng reverse substitution: t = x 2 + 8x− 7. Mayroon kaming:
f ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0.5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Sa wakas, bumalik sa mga ugat:
Kahulugan. Hayaang tukuyin ang function na \(y = f(x) \) sa ilang pagitan na naglalaman ng puntong \(x_0 \) sa loob. Dagdagan natin ang \(\Delta x \) sa argumento upang hindi umalis sa agwat na ito. Hanapin ang katumbas na pagtaas ng function na \(\Delta y \) (kapag dumadaan mula sa puntong \(x_0 \) patungo sa puntong \(x_0 + \Delta x \)) at buuin ang kaugnayan \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Kung may limitasyon ang kaugnayang ito sa \(\Delta x \rightarrow 0 \), kung gayon ang ipinahiwatig na limitasyon ay tinatawag derivative function\(y=f(x) \) sa puntong \(x_0 \) at tukuyin ang \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Ang simbolo na y ay kadalasang ginagamit upang tukuyin ang derivative. Tandaan na ang y" = f(x) ay isang bagong function, ngunit natural na nauugnay sa function na y = f(x), na tinukoy sa lahat ng puntong x kung saan umiiral ang limitasyon sa itaas . Ang function na ito ay tinatawag na ganito: derivative ng function na y \u003d f (x).
Ang geometric na kahulugan ng derivative binubuo ng mga sumusunod. Kung ang isang tangent na hindi parallel sa y axis ay maaaring iguhit sa graph ng function na y \u003d f (x) sa isang punto na may abscissa x \u003d a, kung gayon ang f (a) ay nagpapahayag ng slope ng tangent:
\(k = f"(a)\)
Dahil \(k = tg(a) \), ang pagkakapantay-pantay \(f"(a) = tg(a) \) ay totoo.
At ngayon binibigyang-kahulugan natin ang kahulugan ng derivative sa mga tuntunin ng tinatayang pagkakapantay-pantay. Hayaang magkaroon ng derivative ang function na \(y = f(x) \) sa isang partikular na punto \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Nangangahulugan ito na malapit sa puntong x, ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), ibig sabihin, \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Ang makabuluhang kahulugan ng nakuhang tinatayang pagkakapantay-pantay ay ang mga sumusunod: ang pagtaas ng function ay "halos proporsyonal" sa pagtaas ng argumento, at ang koepisyent ng proporsyonalidad ay ang halaga ng derivative sa isang naibigay na punto x. Halimbawa, para sa function na \(y = x^2 \) ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) ay totoo. Kung maingat nating susuriin ang kahulugan ng derivative, makikita natin na naglalaman ito ng algorithm para sa paghahanap nito.
Bumalangkas tayo.
Paano mahahanap ang derivative ng function y \u003d f (x) ?
1. Ayusin ang halaga \(x \), hanapin \(f(x) \)
2. Dagdagan ang \(x \) argument \(\Delta x \), lumipat sa isang bagong punto \(x+ \Delta x \), hanapin \(f(x+ \Delta x) \)
3. Hanapin ang pagtaas ng function: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Buuin ang kaugnayan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Kalkulahin ang $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ang limitasyong ito ay ang derivative ng function sa x.
Kung ang function na y = f(x) ay may derivative sa puntong x, kung gayon ito ay tinatawag na differentiable sa puntong x. Ang pamamaraan para sa paghahanap ng derivative ng function y \u003d f (x) ay tinatawag pagkakaiba-iba mga function y = f(x).
Talakayin natin ang sumusunod na tanong: paano nauugnay ang continuity at differentiability ng isang function sa isang punto?
Hayaan ang function na y = f(x) na maging differentiable sa puntong x. Pagkatapos ay maaaring iguhit ang isang tangent sa graph ng function sa puntong M (x; f (x)) at, tandaan, ang slope ng tangent ay katumbas ng f "(x). Ang nasabing graph ay hindi maaaring "masira" sa ang punto M, ibig sabihin, ang function ay dapat na tuloy-tuloy sa x.
Ito ay pangangatwiran "sa mga daliri". Maglahad tayo ng mas mahigpit na argumento. Kung ang function na y = f(x) ay naiba-iba sa puntong x, ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) ay magkakaroon. zero, pagkatapos ay \(\Delta y \ ) ay magkakaroon din ng zero, at ito ang kundisyon para sa pagpapatuloy ng function sa isang punto.
Kaya, kung ang isang function ay naiba-iba sa isang puntong x, kung gayon ito ay tuloy-tuloy din sa puntong iyon.
Ang kabaligtaran ay hindi totoo. Halimbawa: function y = |x| ay tuloy-tuloy sa lahat ng dako, lalo na sa puntong x = 0, ngunit ang padaplis sa graph ng function sa “joint point” (0; 0) ay hindi umiiral. Kung sa isang punto imposibleng gumuhit ng tangent sa function graph, kung gayon walang derivative sa puntong ito.
Isa pang halimbawa. Ang function na \(y=\sqrt(x) \) ay tuloy-tuloy sa buong linya ng numero, kabilang ang sa puntong x = 0. At ang tangent sa graph ng function ay umiiral sa anumang punto, kabilang ang sa puntong x = 0 Ngunit sa puntong ito ang tangent ay tumutugma sa y-axis, iyon ay, ito ay patayo sa abscissa axis, ang equation nito ay may anyo x \u003d 0. Walang slope para sa gayong tuwid na linya, na nangangahulugang \ ( f "(0) \) ay wala rin
Kaya, nakilala namin ang isang bagong pag-aari ng isang function - ang pagkakaiba-iba. Paano mo malalaman kung ang isang function ay naiba sa graph ng isang function?
Ang sagot ay talagang ibinigay sa itaas. Kung sa ilang mga punto ang isang tangent ay maaaring iguguhit sa graph ng isang function na hindi patayo sa x-axis, sa puntong ito ang function ay differentiable. Kung sa ilang mga punto ang tangent sa graph ng function ay hindi umiiral o ito ay patayo sa x-axis, pagkatapos ay sa puntong ito ang function ay hindi naiiba.
Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba
Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ay tinatawag pagkakaiba-iba. Kapag nagsasagawa ng operasyong ito, madalas kang kailangang magtrabaho sa mga quotient, sums, mga produkto ng mga function, pati na rin sa "mga function ng mga function", iyon ay, kumplikadong mga function. Batay sa kahulugan ng derivative, maaari tayong makakuha ng mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan na nagpapadali sa gawaing ito. Kung ang C ay isang pare-parehong numero at f=f(x), g=g(x) ay ilang mga function na naiba-iba, kung gayon ang mga sumusunod ay totoo mga panuntunan sa pagkakaiba-iba:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Talaan ng mga derivatives ng ilang function
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \kaliwa(e^x \kanan) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $
Ang derivative ng isang function ay isa sa pinakamahirap na paksa sa kurikulum ng paaralan. Hindi lahat ng nagtapos ay sasagutin ang tanong kung ano ang derivative.
Ang artikulong ito ay simple at malinaw na nagpapaliwanag kung ano ang isang derivative at kung bakit ito kinakailangan.. Hindi na tayo magsusumikap para sa mathematical rigor of presentation. Ang pinakamahalagang bagay ay upang maunawaan ang kahulugan.
Tandaan natin ang kahulugan:
Ang derivative ay ang rate ng pagbabago ng function.
Ang figure ay nagpapakita ng mga graph ng tatlong function. Alin sa tingin mo ang pinakamabilis na lumaki?
Ang sagot ay halata - ang pangatlo. Ito ang may pinakamataas na rate ng pagbabago, iyon ay, ang pinakamalaking derivative.
Narito ang isa pang halimbawa.
Sina Kostya, Grisha at Matvey ay nakakuha ng mga trabaho sa parehong oras. Tingnan natin kung paano nagbago ang kanilang kita sa taon:
Makikita mo kaagad ang lahat sa chart, di ba? Ang kita ni Kostya ay higit sa doble sa loob ng anim na buwan. At tumaas din ang kita ni Grisha, pero konti lang. At bumaba sa zero ang kita ni Matthew. Ang mga panimulang kondisyon ay pareho, ngunit ang rate ng pagbabago ng function, i.e. derivative, - iba. Tulad ng para kay Matvey, ang derivative ng kanyang kita ay karaniwang negatibo.
Sa madaling salita, madali nating matantya ang rate ng pagbabago ng isang function. Ngunit paano natin ito gagawin?
Ang talagang tinitingnan natin ay kung gaano kataas (o pababa) ang graph ng function. Sa madaling salita, gaano kabilis ang pagbabago ng y sa x. Malinaw, ang parehong function sa iba't ibang mga punto ay maaaring magkaroon ng ibang halaga ng derivative - iyon ay, maaari itong magbago nang mas mabilis o mas mabagal.
Ang derivative ng isang function ay tinutukoy ng .
Ipakita natin kung paano maghanap gamit ang graph.
Ang isang graph ng ilang function ay iginuhit. Kumuha ng isang punto sa ito na may isang abscissa. Gumuhit ng tangent sa graph ng function sa puntong ito. Gusto naming suriin kung gaano kabilis ang pagtaas ng graph ng function. Ang isang madaling gamiting halaga para dito ay padaplis ng slope ng padaplis.
Ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng tangent ng slope ng tangent na iginuhit sa graph ng function sa puntong iyon.
Pakitandaan - bilang anggulo ng inclination ng tangent, kinukuha namin ang anggulo sa pagitan ng tangent at ang positibong direksyon ng axis.
Minsan tinatanong ng mga estudyante kung ano ang tangent sa graph ng isang function. Ito ay isang tuwid na linya na may tanging karaniwang punto na may graph sa seksyong ito, bukod pa rito, tulad ng ipinapakita sa aming figure. Mukhang isang padaplis sa isang bilog.
Hanapin natin . Naaalala namin na ang tangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi. Mula sa tatsulok:
Natagpuan namin ang derivative gamit ang graph nang hindi alam ang formula ng function. Ang ganitong mga gawain ay madalas na matatagpuan sa pagsusulit sa matematika sa ilalim ng numero.
May isa pang mahalagang ugnayan. Alalahanin na ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation
Ang dami sa equation na ito ay tinatawag slope ng isang tuwid na linya. Ito ay katumbas ng tangent ng anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya sa axis.
.
Nakukuha namin iyon
Tandaan natin ang formula na ito. Ito ay nagpapahayag ng geometric na kahulugan ng derivative.
Ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng slope ng tangent na iginuhit sa graph ng function sa puntong iyon.
Sa madaling salita, ang derivative ay katumbas ng tangent ng slope ng tangent.
Nasabi na namin na ang parehong function ay maaaring magkaroon ng iba't ibang mga derivatives sa iba't ibang mga punto. Tingnan natin kung paano nauugnay ang derivative sa pag-uugali ng function.
Gumuhit tayo ng graph ng ilang function. Hayaang tumaas ang function na ito sa ilang lugar, at bumaba sa iba, at sa iba't ibang rate. At hayaan ang function na ito na magkaroon ng maximum at minimum na mga puntos.
Sa isang punto, ang pag-andar ay tumataas. Ang padaplis sa graph, na iginuhit sa punto, ay bumubuo ng isang matinding anggulo; na may positibong direksyon ng axis. Kaya ang derivative ay positibo sa punto.
Sa punto, ang aming function ay bumababa. Ang padaplis sa puntong ito ay bumubuo ng isang obtuse angle; na may positibong direksyon ng axis. Dahil negatibo ang tangent ng isang obtuse angle, negatibo ang derivative sa punto.
Narito kung ano ang mangyayari:
Kung ang isang function ay tumataas, ang derivative nito ay positibo.
Kung ito ay bumaba, ang derivative nito ay negatibo.
At ano ang mangyayari sa maximum at minimum na puntos? Nakikita natin na sa (maximum point) at (minimum point) ang tangent ay pahalang. Samakatuwid, ang tangent ng slope ng tangent sa mga puntong ito ay zero, at ang derivative ay zero din.
Ang punto ay ang pinakamataas na punto. Sa puntong ito, ang pagtaas ng function ay pinapalitan ng pagbaba. Dahil dito, ang tanda ng derivative ay nagbabago sa punto mula sa "plus" hanggang sa "minus".
Sa punto - ang pinakamababang punto - ang derivative ay katumbas din ng zero, ngunit ang tanda nito ay nagbabago mula sa "minus" hanggang sa "plus".
Konklusyon: sa tulong ng derivative, maaari mong malaman ang lahat ng interes sa amin tungkol sa pag-uugali ng function.
Kung positibo ang derivative, tataas ang function.
Kung negatibo ang derivative, bumababa ang function.
Sa pinakamataas na punto, ang derivative ay zero at nagbabago ng sign mula plus hanggang minus.
Sa pinakamababang punto, ang derivative ay zero din at nagbabago ng sign mula minus hanggang plus.
Isinulat namin ang mga natuklasan na ito sa anyo ng isang talahanayan:
| nadadagdagan | pinakamataas na punto | bumababa | pinakamababang punto | nadadagdagan | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Gumawa tayo ng dalawang maliliit na paglilinaw. Kakailanganin mo ang isa sa mga ito kapag nilutas ang problema. Isa pa - sa unang taon, na may mas seryosong pag-aaral ng mga function at derivatives.
Posible ang isang kaso kapag ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng zero, ngunit ang function ay walang maximum o minimum sa puntong ito. Ito ang tinatawag na :
Sa isang punto, ang tangent sa graph ay pahalang at ang derivative ay zero. Gayunpaman, bago ang punto ay tumaas ang function - at pagkatapos ng punto ay patuloy itong tumataas. Ang tanda ng derivative ay hindi nagbabago - ito ay nanatiling positibo tulad ng dati.
Nangyayari din na sa punto ng maximum o minimum, ang derivative ay hindi umiiral. Sa graph, ito ay tumutugma sa isang matalim na break, kapag imposibleng gumuhit ng tangent sa isang naibigay na punto.
Ngunit paano mahahanap ang derivative kung ang function ay hindi ibinigay ng isang graph, ngunit sa pamamagitan ng isang formula? Sa kasong ito, naaangkop ito
