B8. VERWENDEN

1. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x) und eine Tangente an diesen Graphen, gezeichnet an einem Punkt mit der Abszisse x0. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0. Antwort: 2

2.

Antwort: -5

3.

Auf dem Intervall (–9; 4).

Antwort: 2

4.

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0 Antwort: 0,5

5. Finden Sie den Kontaktpunkt zwischen der Linie y = 3x + 8 und dem Graphen der Funktion y = x3+x2-5x-4. Geben Sie in Ihrer Antwort die Abszisse dieses Punktes an. Antwort: -2

6.

Bestimmen Sie die Anzahl der ganzzahligen Werte des Arguments, für die die Ableitung der Funktion f(x) negativ ist. Antwort: 4

7.

Antwort: 2

8.

Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) parallel oder mit der Linie y=5–x zusammenfällt. Antwort: 3

9.

Intervall (-8; 3).

Direkt y = -20. Antwort: 2

10.

Antwort: -0,5

11

Antwort 1

12. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y=f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x0.

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0. Antwort: 0,5

13. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y=f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x0.

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0. Antwort: -0,25

14.

Finden Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) parallel zur Linie y = x+7 ist oder mit ihr zusammenfällt. Antwort: 4

15

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0. Antwort: -2

16.

Intervall (-14;9).

Finden Sie die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion f(x) im Intervall [-12;7]. Antwort: 3

17

im Intervall (-10; 8).

Ermitteln Sie die Anzahl der Extrempunkte der Funktion f(x) im Intervall [-9;7]. Antworten: 4

18. Die Linie y = 5x-7 berührt den Graphen der Funktion y = 6x2 + bx-1 an einem Punkt mit einer Abszisse kleiner als 0. Finden Sie b. Antworten: 17

19

Antworten:-0,25

20

Antworten: 6

21. Finden Sie die Tangente an den Graphen der Funktion y=x2+6x-7, parallel zur Linie y=5x+11. Geben Sie in Ihrer Antwort die Abszisse des Ansprechpartners an. Antworten: -0,5

22.

Antworten: 4

23. f "(x) im Intervall (-16; 4).

Finden Sie auf dem Segment [-11; 0] die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion. Antworten: 1

B8 Graphen von Funktionen, Ableitungen von Funktionen. Funktionsforschung . VERWENDEN

1. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x) und eine Tangente an diesen Graphen, gezeichnet an einem Punkt mit der Abszisse x0. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0.

2. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Intervall (-6; 5) definiert ist.

An welcher Stelle des Segments [-5; -1] f(x) nimmt den kleinsten Wert an?

3. Die Figur zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion y = f(x), definiert

Auf dem Intervall (–9; 4).

Finden Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) parallel zur Linie ist

y = 2x-17 oder gleich.

4. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y = f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x0.

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0

5. Finden Sie den Kontaktpunkt zwischen der Linie y = 3x + 8 und dem Graphen der Funktion y = x3+x2-5x-4. Geben Sie in Ihrer Antwort die Abszisse dieses Punktes an.

6. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = f(x), definiert auf dem Intervall (-7; 5).

Bestimmen Sie die Anzahl der ganzzahligen Werte des Arguments, für die die Ableitung der Funktion f(x) negativ ist.

7. Die Abbildung zeigt ein Diagramm der Funktion y \u003d f "(x), definiert im Intervall (-8; 8).

Ermitteln Sie die Anzahl der Extrempunkte der Funktion f(x), die zum Intervall [-4; 6].

8. Die Abbildung zeigt ein Diagramm der Funktion y \u003d f "(x), definiert im Intervall (-8; 4).

Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) parallel oder mit der Linie y=5–x zusammenfällt.

9. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der auf definierten Funktion y = f(x).

Intervall (-8; 3).

Finden Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente zum Graphen einer Funktion parallel ist

Direkt y = -20.

10. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y=f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x0.

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0.

11 . Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f (x), definiert auf dem Intervall (-9; 9).

Finden Sie die Anzahl der minimalen Punkte der Funktion $f(x)$ auf dem Segment [-6;8]. 1

12. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y=f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x0.

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0.

13. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y=f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x0.

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0.

14. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f (x), definiert auf dem Intervall (-6; 8).

Finden Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) parallel zur Linie y = x+7 ist oder mit ihr zusammenfällt.

15 . Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y = f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x0.

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0.

16. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der auf definierten Funktion f(x).

Intervall (-14;9).

Finden Sie die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion f(x) im Intervall [-12;7].

17 . Die Figur zeigt einen Graphen der Ableitung der definierten Funktion f(x).

im Intervall (-10; 8).

Ermitteln Sie die Anzahl der Extrempunkte der Funktion f(x) im Intervall [-9;7].

18. Die Linie y = 5x-7 berührt den Graphen der Funktion y = 6x2 + bx-1 an einem Punkt mit einer Abszisse kleiner als 0. Finden Sie b.

19 . Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitung der Funktion f(x) und deren Tangente am Punkt mit der Abszisse x0.

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0.

20 . Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte im Intervall (-1;12), an denen die Ableitung der Funktion y = f(x) in der Grafik gleich 0 ist.

21. Finden Sie die Tangente an den Graphen der Funktion y=x2+6x-7, parallel zur Linie y=5x+11. Geben Sie in Ihrer Antwort die Abszisse des Ansprechpartners an.

22. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y=f(x). Finden Sie die Anzahl der ganzzahligen Punkte im Intervall (-2;11), wo die Ableitung der Funktion f(x) positiv ist.

23. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y= f "(x) im Intervall (-16; 4).

Finden Sie auf dem Segment [-11; 0] die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Intervall [–5; 6]. Finden Sie die Anzahl der Punkte des Graphen f (x), in denen die an den Graphen der Funktion gezogene Tangente mit der x-Achse zusammenfällt oder parallel zur x-Achse verläuft

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer differenzierbaren Funktion y = f(x).

Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte im Graphen der Funktion, die zum Segment [–7; 7], in der die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zu der durch die Gleichung y = –3x gegebenen Geraden verläuft.

Materialpunkt M beginnt sich von Punkt A zu bewegen und bewegt sich 12 Sekunden lang in einer geraden Linie. Die Grafik zeigt, wie sich die Entfernung von Punkt A zu Punkt M im Laufe der Zeit verändert hat. Die Abszisse zeigt die Zeit t in Sekunden, die Ordinate zeigt die Distanz s in Metern. Bestimmen Sie, wie oft während der Bewegung die Geschwindigkeit von Punkt M auf Null ging (ignorieren Sie den Beginn und das Ende der Bewegung).

Die Abbildung zeigt Abschnitte des Graphen der Funktion y \u003d f (x) und deren Tangente am Punkt mit der Abszisse x \u003d 0. Es ist bekannt, dass diese Tangente parallel zu der geraden Linie verläuft, die durch die Punkte von verläuft das Diagramm mit den Abszissen x \u003d -2 und x \u003d 3. Finden Sie damit den Wert der Ableitung f "(o).

Die Abbildung zeigt einen Graphen y = f'(x) - die Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Segment (−11; 2). Finde die Abszisse des Punktes, an dem die Tangente an den Graphen der Funktion y = f(x) parallel zur x-Achse ist oder mit ihr zusammenfällt.

Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, wobei x der Abstand vom Bezugspunkt in Metern, t die gemessene Zeit in Sekunden ist ab Beginn der Bewegung. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) war ihre Geschwindigkeit gleich 2 m/s?

Der Materialpunkt bewegt sich entlang einer geraden Linie von der Anfangs- zur Endposition. Die Abbildung zeigt ein Diagramm seiner Bewegung. Auf der Abszissenachse ist die Zeit in Sekunden aufgetragen, auf der Ordinatenachse ist die Entfernung von der Anfangsposition des Punktes (in Metern) aufgetragen. Finden Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Punktes. Geben Sie Ihre Antwort in Metern pro Sekunde an.

Die Funktion y \u003d f (x) ist im Intervall [-4; 4]. Die Abbildung zeigt einen Graphen seiner Ableitung. Finden Sie die Anzahl der Punkte im Diagramm der Funktion y \u003d f (x), deren Tangente mit der positiven Richtung der Ox-Achse einen Winkel von 45 ° bildet.

Die Funktion y \u003d f (x) ist im Segment [-2; 4]. Die Abbildung zeigt einen Graphen seiner Ableitung. Finden Sie die Abszisse des Punkts des Diagramms der Funktion y \u003d f (x), in der sie den kleinsten Wert auf dem Segment annimmt [-2; -0,001].

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y \u003d f (x) und die Tangente an diesen Graphen, gezeichnet am Punkt x0. Der Tangens ist gegeben durch die Gleichung y = -2x + 15. Finde den Wert der Ableitung der Funktion y = -(1/4)f(x) + 5 am Punkt x0.

Auf dem Graphen der differenzierbaren Funktion y = f(x): x1,..,x7 sind sieben Punkte markiert. Finden Sie alle markierten Punkte, an denen die Ableitung der Funktion f(x) größer als Null ist. Tragen Sie die Anzahl dieser Punkte in Ihre Antwort ein.

Die Abbildung zeigt den Graphen y \u003d f "(x) der Ableitung der Funktion f (x), definiert im Intervall (-10; 2). Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion anliegt f (x) ist parallel zur Linie y \u003d -2x-11 oder stimmt mit ihr überein.

Die Abbildung zeigt ein Diagramm von y \u003d f "(x) - die Ableitung der Funktion f (x). Auf der x-Achse sind neun Punkte markiert: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7 , x8, x9.
Wie viele dieser Punkte gehören zu den Intervallen der fallenden Funktion f(x) ?

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y \u003d f (x) und die Tangente an diesen Graphen, gezeichnet am Punkt x0. Die Tangente ist durch die Gleichung y = 1,5x + 3,5 gegeben. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion y \u003d 2f (x) - 1 am Punkt x0.

Die Abbildung zeigt einen Graphen y=F(x) einer der Stammfunktionen der Funktion f(x). In der Grafik sind sechs Punkte mit den Abszissen x1, x2, ..., x6 markiert. An wie vielen dieser Punkte nimmt die Funktion y=f(x) negative Werte an?

Die Abbildung zeigt den Zeitplan des Autos entlang der Route. Auf der Abszissenachse ist die Zeit (in Stunden) aufgetragen, auf der Ordinatenachse die zurückgelegte Strecke (in Kilometern). Ermitteln Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos auf dieser Strecke. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an

Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, wobei x die Entfernung vom Bezugspunkt (in Metern) und t die Zeit ist der Bewegung (in Sekunden). Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 6 s

Die Abbildung zeigt ein Diagramm der Stammfunktion y \u003d F (x) einer Funktion y \u003d f (x), definiert im Intervall (-6; 7). Bestimmen Sie anhand der Abbildung die Anzahl der Nullstellen der Funktion f(x) in einem bestimmten Intervall.

Die Abbildung zeigt einen Graphen y = F(x) einer der Stammfunktionen einer Funktion f(x), die auf dem Intervall (-7; 5) definiert ist. Bestimmen Sie anhand der Abbildung die Anzahl der Lösungen der Gleichung f(x) = 0 auf der Strecke [- 5; 2].

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer differenzierbaren Funktion y=f(x). Auf der x-Achse sind neun Punkte markiert: x1, x2, ... x9. Finden Sie alle markierten Punkte, an denen die Ableitung von f(x) negativ ist. Tragen Sie die Anzahl dieser Punkte in Ihre Antwort ein.

Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x(t)=12t^3−3t^2+2t, wobei x die Entfernung vom Bezugspunkt in Metern ist, t die Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 6 s.

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y=f(x) und die am Punkt x0 gezeichnete Tangente an diesen Graphen. Die Tangentengleichung ist in der Abbildung dargestellt. Finde den Wert der Ableitung der Funktion y=4*f(x)-3 am Punkt x0.

In Aufgabe B9 ist ein Graph einer Funktion oder Ableitung gegeben, aus dem eine der folgenden Größen bestimmt werden muss:

1. Der Wert der Ableitung an einem Punkt x 0,
2. Hoch- oder Tiefpunkte (Extrempunkte),
3. Intervalle steigender und fallender Funktionen (Intervalle der Monotonie).

Die in diesem Problem vorgestellten Funktionen und Ableitungen sind immer stetig, was die Lösung stark vereinfacht. Obwohl die Aufgabe in den Bereich der mathematischen Analysis gehört, ist sie auch für schwächste Schüler durchaus machbar, da hier keine tiefen theoretischen Kenntnisse erforderlich sind.

Um den Wert der Ableitung, der Extrempunkte und der Monotonieintervalle zu finden, gibt es einfache und universelle Algorithmen - alle werden unten besprochen.

Lies dir die Bedingung von Aufgabe B9 genau durch, um keine dummen Fehler zu machen: Manchmal kommen recht umfangreiche Texte rüber, aber es gibt wenige wichtige Bedingungen, die den Verlauf der Lösung beeinflussen.

Berechnung des Wertes des Derivats. Zwei-Punkte-Methode

Wenn dem Problem ein Graph der Funktion f(x) gegeben wird, der diesen Graphen an einem Punkt x 0 tangiert, und es erforderlich ist, den Wert der Ableitung an diesem Punkt zu finden, wird der folgende Algorithmus angewendet:

1. Finden Sie zwei "geeignete" Punkte auf dem Tangentendiagramm: Ihre Koordinaten müssen ganzzahlig sein. Lassen Sie uns diese Punkte als A (x 1 ; y 1) und B (x 2 ; y 2) bezeichnen. Schreiben Sie die Koordinaten richtig auf - das ist der Schlüsselpunkt der Lösung, und jeder Fehler hier führt zu einer falschen Antwort.
2. Mit Kenntnis der Koordinaten ist es einfach, das Inkrement des Arguments Δx = x 2 − x 1 und das Inkrement der Funktion Δy = y 2 − y 1 zu berechnen.
3. Schließlich finden wir den Wert der Ableitung D = Δy/Δx. Mit anderen Worten, Sie müssen das Funktionsinkrement durch das Argumentinkrement dividieren - und dies wird die Antwort sein.

Wir halten noch einmal fest: Die Punkte A und B müssen genau auf der Tangente gesucht werden und nicht auf dem Graphen der Funktion f(x), wie es oft der Fall ist. Die Tangente wird zwangsläufig mindestens zwei solcher Punkte enthalten, sonst ist die Aufgabe falsch formuliert.

Betrachten Sie die Punkte A (−3; 2) und B (−1; 6) und finden Sie die Inkremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Lassen Sie uns den Wert der Ableitung finden: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y \u003d f (x) und die Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x 0. Finde den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x 0 .

Betrachten Sie die Punkte A (0; 3) und B (3; 0), finden Sie Inkremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Jetzt finden wir den Wert der Ableitung: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y \u003d f (x) und die Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x 0. Finde den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x 0 .

Betrachten Sie die Punkte A (0; 2) und B (5; 2) und finden Sie Inkremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Es bleibt der Wert der Ableitung zu finden: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Aus dem letzten Beispiel können wir die Regel formulieren: Wenn die Tangente parallel zur OX-Achse ist, ist die Ableitung der Funktion am Berührungspunkt gleich Null. In diesem Fall müssen Sie nicht einmal etwas berechnen - schauen Sie sich einfach die Grafik an.

Berechnung von Hochs und Tiefs

Manchmal wird in Aufgabe B9 anstelle eines Graphen einer Funktion ein Ableitungsgraph angegeben, und es ist erforderlich, den maximalen oder minimalen Punkt der Funktion zu finden. In diesem Szenario ist die Zweipunktmethode nutzlos, aber es gibt einen anderen, noch einfacheren Algorithmus. Lassen Sie uns zunächst die Terminologie definieren:

1. Der Punkt x 0 heißt Maximumpunkt der Funktion f(x), wenn in irgendeiner Umgebung dieses Punktes die folgende Ungleichung gilt: f(x 0) ≥ f(x).
2. Der Punkt x 0 heißt Minimalpunkt der Funktion f(x), wenn in irgendeiner Umgebung dieses Punktes die folgende Ungleichung gilt: f(x 0) ≤ f(x).

Um die maximalen und minimalen Punkte im Graphen der Ableitung zu finden, genügt es, die folgenden Schritte auszuführen:

1. Zeichnen Sie den Graphen der Ableitung neu und entfernen Sie alle unnötigen Informationen. Wie die Praxis zeigt, stören zusätzliche Daten nur die Entscheidung. Deshalb markieren wir die Nullstellen der Ableitung auf der Koordinatenachse - und das war's.
2. Finden Sie die Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen zwischen Nullen heraus. Wenn für einen Punkt x 0 bekannt ist, dass f'(x 0) ≠ 0, dann sind nur zwei Möglichkeiten möglich: f'(x 0) ≥ 0 oder f'(x 0) ≤ 0. Das Vorzeichen der Ableitung ist leicht aus der Originalzeichnung zu bestimmen: liegt der Ableitungsgraph oberhalb der OX-Achse, dann ist f'(x) ≥ 0. Umgekehrt, liegt der Ableitungsgraph unterhalb der OX-Achse, dann ist f'(x) ≤ 0.
3. Wir überprüfen noch einmal die Nullstellen und Vorzeichen der Ableitung. Wo das Vorzeichen von Minus zu Plus wechselt, gibt es einen Minimalpunkt. Ändert sich umgekehrt das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus, ist dies der Maximalpunkt. Es wird immer von links nach rechts gezählt.

Dieses Schema funktioniert nur für stetige Funktionen - es gibt keine anderen in Problem B9.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Intervall [−5; fünf]. Finde den Minimalpunkt der Funktion f(x) auf diesem Segment.

Lassen Sie uns unnötige Informationen loswerden - wir werden nur die Grenzen verlassen [−5; 5] und die Nullstellen der Ableitung x = −3 und x = 2,5. Beachten Sie auch die Schilder:

Offensichtlich ändert sich an der Stelle x = −3 das Vorzeichen der Ableitung von minus nach plus. Dies ist der Mindestpunkt.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Intervall [−3; 7]. Finden Sie den maximalen Punkt der Funktion f(x) auf diesem Segment.

Lassen Sie uns den Graphen neu zeichnen und nur die Grenzen [−3; 7] und die Nullstellen der Ableitung x = −1,7 und x = 5. Beachten Sie die Vorzeichen der Ableitung im resultierenden Diagramm. Wir haben:

Offensichtlich ändert sich am Punkt x = 5 das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus - dies ist der Maximalpunkt.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Intervall [−6; 4]. Finden Sie die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion f(x), die zum Intervall [−4; 3].

Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass es ausreicht, nur den Teil des Graphen zu betrachten, der durch die Strecke [−4; 3]. Deshalb bauen wir einen neuen Graphen, auf dem wir nur die Grenzen markieren [−4; 3] und die darin enthaltenen Nullstellen der Ableitung. Nämlich die Punkte x = −3,5 und x = 2. Wir erhalten:

In diesem Diagramm gibt es nur einen maximalen Punkt x = 2. Darin ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus.

Eine kleine Anmerkung zu Punkten mit nicht ganzzahligen Koordinaten. Zum Beispiel wurde in der letzten Aufgabe der Punkt x = −3,5 betrachtet, aber mit dem gleichen Erfolg können wir x = −3,4 nehmen. Bei richtiger Problemformulierung sollten solche Änderungen die Antwort nicht beeinflussen, da die Punkte „ohne festen Wohnsitz“ nicht direkt an der Lösung des Problems beteiligt sind. Bei ganzzahligen Punkten funktioniert ein solcher Trick natürlich nicht.

Intervalle der Zunahme und Abnahme einer Funktion finden

Bei einem solchen Problem wird vorgeschlagen, wie bei den Punkten des Maximums und des Minimums, Bereiche zu finden, in denen die Funktion selbst aus dem Graphen der Ableitung zunimmt oder abnimmt. Lassen Sie uns zunächst definieren, was aufsteigend und absteigend ist:

1. Eine Funktion f(x) heißt auf einer Strecke wachsend, wenn für zwei beliebige Punkte x 1 und x 2 dieser Strecke die Aussage gilt: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Mit anderen Worten, je größer der Wert des Arguments, desto größer der Wert der Funktion.
2. Eine Funktion f(x) heißt fallend auf einer Strecke, wenn für je zwei Punkte x 1 und x 2 dieser Strecke die Aussage gilt: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Jene. ein größerer Wert des Arguments entspricht einem kleineren Wert der Funktion.

Wir formulieren hinreichende Bedingungen für Zunahme und Abnahme:

1. Damit eine stetige Funktion f(x) auf dem Segment zunimmt, genügt es, dass ihre Ableitung innerhalb des Segments positiv ist, d.h. f'(x) ≥ 0.
2. Damit eine stetige Funktion f(x) auf dem Segment abnimmt, genügt es, dass ihre Ableitung innerhalb des Segments negativ ist, d.h. f'(x) ≤ 0.

Wir akzeptieren diese Behauptungen ohne Beweis. So erhalten wir ein Schema zum Auffinden von Zunahme- und Abnahmeintervallen, das in vielerlei Hinsicht dem Algorithmus zur Berechnung von Extrempunkten ähnelt:

1. Entfernen Sie alle redundanten Informationen. Auf dem ursprünglichen Graphen der Ableitung interessieren uns hauptsächlich die Nullstellen der Funktion, also lassen wir nur sie.
2. Markieren Sie die Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen zwischen den Nullen. Bei f'(x) ≥ 0 nimmt die Funktion zu und bei f'(x) ≤ 0 ab. Wenn das Problem Einschränkungen für die Variable x hat, markieren wir diese zusätzlich auf dem neuen Diagramm.
3. Nachdem wir nun das Verhalten der Funktion und der Einschränkung kennen, bleibt es, den erforderlichen Wert im Problem zu berechnen.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Segment [−3; 7.5]. Finden Sie die Intervalle der fallenden Funktion f(x). Schreiben Sie in Ihre Antwort die Summe der ganzen Zahlen, die in diesen Intervallen enthalten sind.

Wie üblich zeichnen wir den Graphen neu und markieren die Grenzen [−3; 7.5], sowie die Nullstellen der Ableitung x = −1.5 und x = 5.3. Dann markieren wir die Vorzeichen der Ableitung. Wir haben:

Da die Ableitung im Intervall (− 1,5) negativ ist, ist dies das Intervall der abnehmenden Funktion. Es bleibt, alle ganzen Zahlen zu summieren, die sich innerhalb dieses Intervalls befinden:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Segment [−10; 4]. Finden Sie die Intervalle der ansteigenden Funktion f(x). Schreiben Sie in Ihre Antwort die Länge des größten von ihnen.

Lassen Sie uns redundante Informationen loswerden. Wir lassen nur die Grenzen [−10; 4] und Nullstellen der Ableitung, die sich diesmal als vier herausstellte: x = −8, x = −6, x = −3 und x = 2. Beachten Sie die Vorzeichen der Ableitung und erhalten Sie das folgende Bild:

Uns interessieren die Intervalle zunehmender Funktion, d.h. wobei f'(x) ≥ 0. Es gibt zwei solche Intervalle in der Grafik: (−8; −6) und (−3; 2). Lassen Sie uns ihre Länge berechnen:
l 1 = – 6 – (–8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Da es erforderlich ist, die Länge des größten Intervalls zu finden, schreiben wir als Antwort den Wert l 2 = 5.

Die Linie y=3x+2 tangiert den Graphen der Funktion y=-12x^2+bx-10. Finden Sie b unter der Voraussetzung, dass die Abszisse des Berührungspunkts kleiner als Null ist.

Lösung anzeigen

Entscheidung

Sei x_0 die Abszisse des Punktes auf dem Graphen der Funktion y=-12x^2+bx-10, durch den die Tangente an diesen Graphen verläuft.

Der Wert der Ableitung am Punkt x_0 ist gleich der Steigung der Tangente, d. h. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Andererseits gehört der Tangentenpunkt sowohl zum Graphen der Funktion als auch zum Tangens, also -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Wir erhalten ein Gleichungssystem \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(Fälle)

Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet. Je nach Zustand der Abszisse sind die Berührungspunkte kleiner Null, also x_0=-1, dann b=3+24x_0=-21.

Antworten

Bedingung

Die Figur zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x) (was eine unterbrochene Linie ist, die aus drei geraden Liniensegmenten besteht). Berechnen Sie anhand der Abbildung F(9)-F(5), wobei F(x) eine der Stammfunktionen von f(x) ist.

Lösung anzeigen

Entscheidung

Nach der Newton-Leibniz-Formel ist die Differenz F(9)-F(5), wobei F(x) eine der Stammfunktionen der Funktion f(x) ist, gleich der Fläche des begrenzten krummlinigen Trapezes durch den Graphen der Funktion y=f(x), Geraden y=0 , x=9 und x=5. Gemäß dem Diagramm stellen wir fest, dass das angegebene krummlinige Trapez ein Trapez mit den Basen 4 und 3 und einer Höhe von 3 ist.

Seine Fläche ist gleich \frac(4+3)(2)\cdot 3=10{,}5.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Bedingung

Die Abbildung zeigt ein Diagramm von y \u003d f "(x) - die Ableitung der Funktion f (x), definiert im Intervall (-4; 10). Finden Sie die Intervalle der abnehmenden Funktion f (x). In Ihrer Antwort , geben Sie die Länge des größten von ihnen an.

Lösung anzeigen

Entscheidung

Wie Sie wissen, nimmt die Funktion f (x) in den Intervallen ab, an denen die Ableitung f "(x) an jedem Punkt kleiner als Null ist. Wenn man bedenkt, dass es notwendig ist, die Länge des größten von ihnen zu finden, drei solcher Intervalle unterscheiden sich natürlich von der Figur: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).

Die Länge des größten von ihnen - (5; 9) ist gleich 4.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Bedingung

Die Abbildung zeigt ein Diagramm von y \u003d f "(x) - die Ableitung der Funktion f (x), definiert im Intervall (-8; 7). Finden Sie die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion f (x), die dazugehören zum Intervall [-6; -2].

Lösung anzeigen

Entscheidung

Der Graph zeigt, dass die Ableitung f "(x) der Funktion f (x) an genau einem Punkt (zwischen -5 und -4) vom Intervall [ -6;-2 Daher gibt es genau einen maximalen Punkt auf dem Intervall [-6;-2].

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Bedingung

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x), die auf dem Intervall (-2; 8) definiert ist. Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Ableitung der Funktion f(x) gleich 0 ist.

Lösung anzeigen

Entscheidung

Wenn die Ableitung an einem Punkt gleich Null ist, dann ist die Tangente an den Graphen der an diesem Punkt gezeichneten Funktion parallel zur Ox-Achse. Daher finden wir solche Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Ox-Achse ist. In diesem Diagramm sind solche Punkte Extrempunkte (Maximal- oder Minimalpunkte). Wie Sie sehen können, gibt es 5 Extrempunkte.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Bedingung

Die Linie y=-3x+4 ist parallel zur Tangente an den Graphen der Funktion y=-x^2+5x-7. Finde die Abszisse des Kontaktpunktes.

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Entscheidung

Die Steigung der Geraden zum Graphen der Funktion y=-x^2+5x-7 an einem beliebigen Punkt x_0 ist y"(x_0). Aber y"=-2x+5, also y"(x_0)=- 2x_0 + 5. Der in der Bedingung angegebene Winkelkoeffizient der Linie y=-3x+4 ist -3.Parallele Linien haben die gleichen Steigungen.Daher finden wir einen solchen Wert x_0, dass =-2x_0 +5=-3.

Wir erhalten: x_0 = 4.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Bedingung

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x) und markierte Punkte -6, -1, 1, 4 auf der x-Achse. An welchem ​​dieser Punkte ist der Wert der Ableitung am kleinsten? Bitte geben Sie diesen Punkt in Ihrer Antwort an.