Auf dieser Seite finden Sie:

1. Eigentlich die Tabelle der Stammfunktionen – sie kann im PDF-Format heruntergeladen und ausgedruckt werden;

2. Video zur Verwendung dieser Tabelle;

3. Eine Reihe von Beispielen zur Berechnung der Stammfunktion aus verschiedenen Lehrbüchern und Tests.

Im Video selbst werden wir viele Probleme analysieren, bei denen Sie Stammfunktionen von Funktionen berechnen müssen, die oft recht komplex sind, aber am wichtigsten ist, dass es sich nicht um Potenzfunktionen handelt. Alle in der oben vorgeschlagenen Tabelle zusammengefassten Funktionen müssen wie Ableitungen auswendig bekannt sein. Ohne sie ist eine weitere Untersuchung der Integrale und ihrer Anwendung zur Lösung praktischer Probleme unmöglich.

Heute beschäftigen wir uns weiterhin mit Primitiven und wenden uns einem etwas komplexeren Thema zu. Während wir uns beim letzten Mal nur mit Stammfunktionen von Potenzfunktionen und etwas komplexeren Konstruktionen befasst haben, werden wir uns heute mit der Trigonometrie und vielem mehr befassen.

Wie ich in der letzten Lektion gesagt habe, werden Stammfunktionen im Gegensatz zu Ableitungen nie „sofort“ mithilfe von Standardregeln gelöst. Darüber hinaus ist die schlechte Nachricht, dass die Stammfunktion im Gegensatz zur Ableitung möglicherweise überhaupt nicht berücksichtigt wird. Wenn wir eine völlig zufällige Funktion schreiben und versuchen, ihre Ableitung zu finden, dann wird uns das mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit gelingen, aber die Stammfunktion wird in diesem Fall fast nie berechnet. Aber es gibt eine gute Nachricht: Es gibt eine ziemlich große Klasse von Funktionen, die Elementarfunktionen genannt werden und deren Stammfunktionen sehr einfach zu berechnen sind. Und alle anderen komplexeren Strukturen, die bei Tests aller Art, unabhängigen Tests und Prüfungen angegeben werden, bestehen tatsächlich aus diesen elementaren Funktionen durch Addition, Subtraktion und andere einfache Aktionen. Die Prototypen solcher Funktionen werden seit langem berechnet und in speziellen Tabellen zusammengestellt. Mit diesen Funktionen und Tabellen werden wir heute arbeiten.

Aber wir beginnen wie immer mit einer Wiederholung: Erinnern wir uns daran, was eine Stammfunktion ist, warum es unendlich viele davon gibt und wie man ihr allgemeines Aussehen bestimmt. Dazu habe ich zwei einfache Probleme aufgegriffen.

Einfache Beispiele lösen

Beispiel 1

Beachten wir sofort, dass $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ und im Allgemeinen die Anwesenheit von $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ weist uns sofort darauf hin, dass die erforderliche Stammfunktion der Funktion mit der Trigonometrie zusammenhängt. Und tatsächlich, wenn wir uns die Tabelle ansehen, werden wir feststellen, dass $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nichts anderes ist als $\text(arctg)x$. Schreiben wir es also auf:

Um es zu finden, müssen Sie Folgendes aufschreiben:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Beispiel Nr. 2

Wir sprechen hier auch von trigonometrischen Funktionen. Wenn wir uns die Tabelle ansehen, dann passiert tatsächlich Folgendes:

Wir müssen unter der gesamten Menge der Stammfunktionen diejenige finden, die durch den angegebenen Punkt geht:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Schreiben wir es endlich auf:

So einfach ist das. Das einzige Problem besteht darin, dass Sie zum Berechnen von Stammfunktionen einfacher Funktionen eine Tabelle mit Stammfunktionen lernen müssen. Nachdem ich die Ableitungstabelle für Sie studiert habe, denke ich jedoch, dass dies kein Problem sein wird.

Lösen von Problemen, die eine Exponentialfunktion enthalten

Schreiben wir zunächst die folgenden Formeln:

\[((e)^(x))\zu ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Mal sehen, wie das alles in der Praxis funktioniert.

Beispiel 1

Wenn wir uns den Inhalt der Klammern ansehen, werden wir feststellen, dass es in der Tabelle der Stammfunktionen keinen solchen Ausdruck dafür gibt, dass $((e)^(x))$ in einem Quadrat steht, daher muss dieses Quadrat erweitert werden. Dazu verwenden wir die abgekürzten Multiplikationsformeln:

Suchen wir die Stammfunktion für jeden der Begriffe:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Fassen wir nun alle Begriffe in einem einzigen Ausdruck zusammen und erhalten die allgemeine Stammfunktion:

Beispiel Nr. 2

Diesmal ist der Grad größer, sodass die abgekürzte Multiplikationsformel recht komplex sein wird. Öffnen wir also die Klammern:

Versuchen wir nun, aus dieser Konstruktion die Stammfunktion unserer Formel zu ziehen:

Wie Sie sehen, gibt es in den Stammfunktionen der Exponentialfunktion nichts Kompliziertes oder Übernatürliches. Alle werden anhand von Tabellen berechnet, aber aufmerksame Schüler werden wahrscheinlich bemerken, dass die Stammfunktion $((e)^(2x))$ viel näher an einfach $((e)^(x))$ als an $((a) liegt )^(x ))$. Vielleicht gibt es also eine speziellere Regel, die es ermöglicht, bei Kenntnis der Stammfunktion $((e)^(x))$ $((e)^(2x))$ zu finden? Ja, eine solche Regel gibt es. Darüber hinaus ist es ein wesentlicher Bestandteil der Arbeit mit der Tabelle der Stammfunktionen. Wir werden es nun anhand derselben Ausdrücke analysieren, mit denen wir gerade als Beispiel gearbeitet haben.

Regeln für die Arbeit mit der Tabelle der Stammfunktionen

Schreiben wir unsere Funktion noch einmal:

Im vorherigen Fall haben wir zur Lösung die folgende Formel verwendet:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Aber jetzt machen wir es etwas anders: Erinnern wir uns, auf welcher Basis $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Wie ich bereits sagte, da die Ableitung $((e)^(x))$ nichts anderes als $((e)^(x))$ ist, wird ihre Stammfunktion gleich dem gleichen $((e) ^ sein (x))$. Aber das Problem ist, dass wir $((e)^(2x))$ und $((e)^(-2x))$ haben. Versuchen wir nun, die Ableitung von $((e)^(2x))$ zu finden:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Schreiben wir unsere Konstruktion noch einmal um:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Das heißt, wenn wir die Stammfunktion $((e)^(2x))$ finden, erhalten wir Folgendes:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Wie Sie sehen, haben wir das gleiche Ergebnis wie zuvor erhalten, aber wir haben die Formel nicht verwendet, um $((a)^(x))$ zu finden. Nun mag das dumm erscheinen: Warum die Berechnungen komplizieren, wenn es eine Standardformel gibt? Bei etwas komplexeren Ausdrücken werden Sie jedoch feststellen, dass diese Technik sehr effektiv ist, d. h. Verwenden von Ableitungen, um Stammfunktionen zu finden.

Zum Aufwärmen ermitteln wir auf ähnliche Weise die Stammfunktion von $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Bei der Berechnung wird unsere Konstruktion wie folgt geschrieben:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Wir kamen genau zum gleichen Ergebnis, gingen aber einen anderen Weg. Es ist dieser Weg, der uns jetzt etwas komplizierter erscheint, der sich in Zukunft für die Berechnung komplexerer Stammfunktionen und die Verwendung von Tabellen als effektiver erweisen wird.

Beachten Sie! Dies ist ein sehr wichtiger Punkt: Stammfunktionen können wie Ableitungen auf viele verschiedene Arten gezählt werden. Wenn jedoch alle Berechnungen und Berechnungen gleich sind, ist die Antwort dieselbe. Wir haben dies gerade am Beispiel von $((e)^(-2x))$ gesehen - einerseits haben wir diese Stammfunktion „durchgehend“ berechnet, indem wir die Definition verwendet und mithilfe von Transformationen berechnet haben, andererseits Wir haben uns daran erinnert, dass $ ((e)^(-2x))$ als $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ dargestellt werden kann und erst dann haben wir verwendet die Stammfunktion für die Funktion $( (a)^(x))$. Nach all den Transformationen war das Ergebnis jedoch wie erwartet das gleiche.

Und jetzt, da wir das alles verstanden haben, ist es an der Zeit, zu etwas Bedeutsamerem überzugehen. Jetzt werden wir zwei einfache Konstruktionen analysieren, aber die Technik, die zu ihrer Lösung verwendet wird, ist ein leistungsfähigeres und nützlicheres Werkzeug, als einfach zwischen benachbarten Stammfunktionen aus der Tabelle zu „laufen“.

Problemlösung: Finden der Stammfunktion einer Funktion

Beispiel 1

Teilen wir den Betrag, der in den Zählern steht, in drei separate Brüche auf:

Dies ist ein ziemlich natürlicher und verständlicher Übergang – die meisten Studierenden haben damit keine Probleme. Schreiben wir unseren Ausdruck wie folgt um:

Erinnern wir uns nun an diese Formel:

In unserem Fall erhalten wir Folgendes:

Um all diese dreistöckigen Brüche loszuwerden, schlage ich Folgendes vor:

Beispiel Nr. 2

Im Gegensatz zum vorherigen Bruch ist der Nenner kein Produkt, sondern eine Summe. In diesem Fall können wir unseren Bruch nicht mehr durch die Summe mehrerer einfacher Brüche dividieren, sondern müssen irgendwie versuchen sicherzustellen, dass der Zähler ungefähr den gleichen Ausdruck enthält wie der Nenner. In diesem Fall ist es ganz einfach:

Diese Notation, die in der mathematischen Sprache „Addieren einer Null“ genannt wird, ermöglicht es uns, den Bruch erneut in zwei Teile zu teilen:

Finden wir nun, wonach wir gesucht haben:

Das sind alle Berechnungen. Trotz der scheinbar größeren Komplexität als bei der vorherigen Aufgabe fiel der Rechenaufwand noch geringer aus.

Nuancen der Lösung

Und hier liegt die Hauptschwierigkeit bei der Arbeit mit tabellarischen Stammfunktionen, dies macht sich besonders bei der zweiten Aufgabe bemerkbar. Tatsache ist, dass wir zur Auswahl einiger Elemente, die sich leicht anhand der Tabelle berechnen lassen, wissen müssen, wonach wir genau suchen, und in der Suche nach diesen Elementen besteht die gesamte Berechnung der Stammfunktionen.

Mit anderen Worten, es reicht nicht aus, sich nur die Tabelle der Stammfunktionen zu merken – Sie müssen in der Lage sein, etwas zu sehen, das noch nicht existiert, sondern was der Autor und Compiler dieser Aufgabe meinte. Deshalb argumentieren viele Mathematiker, Lehrer und Professoren ständig: „Was bedeutet Stammfunktion oder Integration – ist das nur ein Werkzeug oder ist es eine echte Kunst?“ Tatsächlich ist Integration meiner persönlichen Meinung nach überhaupt keine Kunst – es gibt nichts Erhabenes darin, es ist nur Übung und noch mehr Übung. Und zum Üben lösen wir noch drei weitere ernste Beispiele.

Wir schulen Integration in der Praxis

Aufgabe Nr. 1

Schreiben wir die folgenden Formeln:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Schreiben wir Folgendes:

Problem Nr. 2

Schreiben wir es wie folgt um:

Die gesamte Stammfunktion ist gleich:

Problem Nr. 3

Die Schwierigkeit dieser Aufgabe besteht darin, dass es im Gegensatz zu den oben genannten Funktionen überhaupt keine Variable $x$ gibt, d. h. Uns ist nicht klar, was wir addieren oder subtrahieren müssen, um zumindest etwas Ähnliches wie das untenstehende zu erhalten. Tatsächlich gilt dieser Ausdruck jedoch als noch einfacher als alle vorherigen Ausdrücke, da diese Funktion wie folgt umgeschrieben werden kann:

Sie fragen sich jetzt vielleicht: Warum sind diese Funktionen gleich? Lass uns das Prüfen:

Schreiben wir es noch einmal um:

Lassen Sie uns unseren Ausdruck ein wenig verändern:

Und wenn ich das alles meinen Schülern erkläre, entsteht fast immer das gleiche Problem: Bei der ersten Funktion ist alles mehr oder weniger klar, bei der zweiten kann man es mit Glück oder Übung auch herausfinden, aber was für ein alternatives Bewusstsein hast du? müssen, um das dritte Beispiel zu lösen? Hab eigentlich keine Angst. Die Technik, die wir bei der Berechnung der letzten Stammfunktion verwendet haben, heißt „Zerlegung einer Funktion in ihre einfachste Form“. Dies ist eine sehr ernste Technik, der wir eine eigene Videolektion widmen werden.

In der Zwischenzeit schlage ich vor, zu dem zurückzukehren, was wir gerade untersucht haben, nämlich zu den Exponentialfunktionen, und die Probleme durch ihren Inhalt etwas zu komplizieren.

Komplexere Probleme zur Lösung antiderivativer Exponentialfunktionen

Aufgabe Nr. 1

Beachten wir Folgendes:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Um die Stammfunktion dieses Ausdrucks zu finden, verwenden Sie einfach die Standardformel - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

In unserem Fall sieht die Stammfunktion so aus:

Verglichen mit dem Design, das wir gerade gelöst haben, sieht dieses natürlich einfacher aus.

Problem Nr. 2

Auch hier ist leicht zu erkennen, dass diese Funktion leicht in zwei separate Terme unterteilt werden kann – zwei separate Brüche. Lassen Sie uns umschreiben:

Es bleibt noch die Stammfunktion jedes dieser Begriffe mithilfe der oben beschriebenen Formel zu finden:

Trotz der scheinbar größeren Komplexität von Exponentialfunktionen im Vergleich zu Potenzfunktionen erwies sich der Gesamtumfang der Berechnungen und Berechnungen als deutlich einfacher.

Natürlich mag das, was wir gerade besprochen haben, für sachkundige Studierende (insbesondere vor dem Hintergrund dessen, was wir zuvor besprochen haben) wie elementare Ausdrücke erscheinen. Bei der Auswahl dieser beiden Probleme für die heutige Videolektion habe ich mir jedoch nicht das Ziel gesetzt, Ihnen eine weitere komplexe und anspruchsvolle Technik zu erklären – ich wollte Ihnen lediglich zeigen, dass Sie keine Angst davor haben sollten, Standardalgebratechniken zur Transformation ursprünglicher Funktionen zu verwenden .

Mit einer „geheimen“ Technik

Abschließend möchte ich auf eine weitere interessante Technik eingehen, die einerseits über das hinausgeht, was wir heute hauptsächlich besprochen haben, andererseits aber erstens überhaupt nicht kompliziert ist, d.h. Selbst Anfänger können es beherrschen, und zweitens findet man es häufig in Tests und unabhängigen Arbeiten aller Art, d.h. Die Kenntnis davon wird zusätzlich zur Kenntnis der Tabelle der Stammfunktionen sehr nützlich sein.

Aufgabe Nr. 1

Offensichtlich haben wir etwas, das einer Potenzfunktion sehr ähnlich ist. Was sollen wir in diesem Fall tun? Denken wir darüber nach: $x-5$ unterscheidet sich nicht so sehr von $x$ – sie haben nur $-5$ hinzugefügt. Schreiben wir es so:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Versuchen wir, die Ableitung von $((\left(x-5 \right))^(5))$ zu finden:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Dies impliziert:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ rechts))^(\prime ))\]

In der Tabelle gibt es keinen solchen Wert, daher haben wir diese Formel jetzt selbst abgeleitet, indem wir die Standardstammfunktionsformel für eine Potenzfunktion verwendet haben. Schreiben wir die Antwort so:

Problem Nr. 2

Viele Studenten, die sich die erste Lösung ansehen, denken vielleicht, dass alles sehr einfach ist: Ersetzen Sie einfach $x$ in der Potenzfunktion durch einen linearen Ausdruck, und schon passt alles zusammen. Leider ist nicht alles so einfach, und jetzt werden wir das sehen.

Analog zum ersten Ausdruck schreiben wir Folgendes:

\[((x)^(9))\zu \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Zurück zu unserer Ableitung können wir schreiben:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]

Daraus folgt unmittelbar:

Nuancen der Lösung

Bitte beachten Sie: Wenn sich beim letzten Mal nichts Wesentliches geändert hat, dann erschien im zweiten Fall statt $-10$ $-30$. Was ist der Unterschied zwischen -10$ und -30$? Offensichtlich um den Faktor -3$. Frage: Woher kommt es? Wenn Sie genau hinschauen, können Sie erkennen, dass es sich um die Berechnung der Ableitung einer komplexen Funktion handelt – der Koeffizient, der bei $x$ stand, erscheint in der Stammfunktion unten. Dies ist eine sehr wichtige Regel, die ich in der heutigen Videolektion zunächst überhaupt nicht besprechen wollte, aber ohne sie wäre die Darstellung tabellarischer Stammfunktionen unvollständig.

Also lasst es uns noch einmal machen. Es sei unsere Hauptleistungsfunktion:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Ersetzen wir nun anstelle von $x$ den Ausdruck $kx+b$. Was wird dann passieren? Wir müssen Folgendes finden:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]

Auf welcher Grundlage behaupten wir das? Sehr einfach. Finden wir die Ableitung der oben geschriebenen Konstruktion:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Dies ist derselbe Ausdruck, der ursprünglich existierte. Somit ist diese Formel auch richtig und kann zur Ergänzung der Stammfunktionstabelle verwendet werden, oder besser ist es, sich einfach die gesamte Tabelle zu merken.

Schlussfolgerungen aus dem „Geheimnis: Technik:

• Beide Funktionen, die wir gerade betrachtet haben, können zwar durch Erweiterung der Grade auf die in der Tabelle angegebenen Stammfunktionen zurückgeführt werden, aber wenn wir mit dem vierten Grad einigermaßen klarkommen, dann würde ich den neunten Grad nicht machen alle wagten es zu enthüllen.
• Würden wir die Abschlüsse erweitern, kämen wir am Ende auf eine solche Menge an Berechnungen, dass eine einfache Aufgabe unangemessen viel Zeit in Anspruch nehmen würde.
• Deshalb müssen solche Probleme, die lineare Ausdrücke enthalten, nicht „kopfüber“ gelöst werden. Sobald Sie auf eine Stammfunktion stoßen, die sich von der in der Tabelle nur durch das Vorhandensein des Ausdrucks $kx+b$ darin unterscheidet, erinnern Sie sich sofort an die oben geschriebene Formel, setzen Sie sie in Ihre Stammfunktion in der Tabelle ein, und alles wird gut ausgehen schneller und einfacher.

Aufgrund der Komplexität und Ernsthaftigkeit dieser Technik werden wir in zukünftigen Videolektionen natürlich noch oft auf sie zurückkommen, aber das ist alles für heute. Ich hoffe, dass diese Lektion denjenigen Schülern wirklich hilft, die Stammfunktionen und Integration verstehen möchten.

Integration ist eine der Hauptoperationen in der mathematischen Analyse. Tabellen bekannter Stammfunktionen können nützlich sein, aber jetzt, nach dem Aufkommen von Computeralgebrasystemen, verlieren sie ihre Bedeutung. Nachfolgend finden Sie eine Liste der häufigsten Grundelemente.

Tabelle der Grundintegrale

Eine weitere, kompakte Option

Tabelle der Integrale trigonometrischer Funktionen

Aus rationalen Funktionen

Aus irrationalen Funktionen

Integrale transzendentaler Funktionen

„C“ ist eine beliebige Integrationskonstante, die bestimmt wird, wenn der Wert des Integrals an einem beliebigen Punkt bekannt ist. Jede Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen.

Die meisten Schüler und Studenten haben Probleme mit der Berechnung von Integralen. Diese Seite enthält Integrale Tabellen aus trigonometrischen, rationalen, irrationalen und transzendenten Funktionen, die bei der Lösung helfen. Auch eine Tabelle mit Derivaten hilft Ihnen weiter.

Video – So finden Sie Integrale

Wenn Sie dieses Thema nicht ganz verstehen, schauen Sie sich das Video an, in dem alles ausführlich erklärt wird.

Tabelle der Stammfunktionen („Integrale“). Tabelle der Integrale. Tabellarische unbestimmte Integrale. (Die einfachsten Integrale und Integrale mit einem Parameter). Formeln für die partielle Integration. Newton-Leibniz-Formel.

Tabelle der Stammfunktionen („Integrale“). Tabellarische unbestimmte Integrale. (Die einfachsten Integrale und Integrale mit einem Parameter).
Integral einer Potenzfunktion.	Integral einer Potenzfunktion.
Ein Integral, das sich auf das Integral einer Potenzfunktion reduziert, wenn x unter dem Differentialvorzeichen gesteuert wird.
	Integral einer Exponentialfunktion, wobei a eine konstante Zahl ist.
Integral einer komplexen Exponentialfunktion.	Integral einer Exponentialfunktion.
Ein Integral, das dem natürlichen Logarithmus entspricht.	Integral: „Langer Logarithmus“.
	Integral: „Langer Logarithmus“.
Integral: „Hoher Logarithmus“.	Ein Integral, bei dem x im Zähler unter dem Differentialzeichen steht (die Konstante unter dem Vorzeichen kann entweder addiert oder subtrahiert werden), ähnelt letztendlich einem Integral, das dem natürlichen Logarithmus entspricht.
Integral: „Hoher Logarithmus“.
Kosinusintegral.	Sinusintegral.
Integral gleich Tangens.	Integral gleich Kotangens.
Integral gleich Arkussinus und Arkuskosinus
Ein Integral, das sowohl Arkussinus als auch Arkuskosinus entspricht.	Ein Integral, das sowohl dem Arkustangens als auch dem Arkuskotangens entspricht.
Integral gleich Kosekans.	Integral gleich Sekante.
Integral gleich Arcsecant.	Integral gleich Arkuskosekant.
Integral gleich Arcsecant.	Integral gleich Arcsecant.
Integral gleich dem hyperbolischen Sinus.	Integral gleich dem hyperbolischen Kosinus.
Integral gleich dem hyperbolischen Sinus, wobei sinhx in der englischen Version der hyperbolische Sinus ist.	Integral gleich dem hyperbolischen Kosinus, wobei sinhx in der englischen Version der hyperbolische Sinus ist.
Integral gleich dem Tangens hyperbolicus.	Integral gleich dem hyperbolischen Kotangens.
Integral gleich der hyperbolischen Sekante.	Integral gleich dem hyperbolischen Kosekans.

Formeln für die partielle Integration. Integrationsregeln.

Formeln für die partielle Integration. Newton-Leibniz-Formel. Integrationsregeln.
Integrieren eines Produkts (einer Funktion) durch eine Konstante:
Integration der Funktionssumme:
unbestimmte Integrale:
Formel für die partielle Integration bestimmte Integrale:
Newton-Leibniz-Formel bestimmte Integrale:	Wobei F(a),F(b) die Werte der Stammfunktionen an den Punkten b bzw. a sind.

Tabelle der Derivate. Tabellarische Ableitungen. Derivat des Produkts. Ableitung des Quotienten. Ableitung einer komplexen Funktion.

Wenn x eine unabhängige Variable ist, dann:

Tabelle der Derivate. Tabellarische Ableitungen „Tabellenableitung“ – ja leider wird im Internet genau so danach gesucht
	Ableitung einer Potenzfunktion
	Ableitung des Exponenten
Ableitung einer komplexen Exponentialfunktion	Ableitung der Exponentialfunktion
Ableitung einer logarithmischen Funktion	Ableitung des natürlichen Logarithmus
	Ableitung des natürlichen Logarithmus einer Funktion
Ableitung des Sinus	Ableitung des Kosinus
Ableitung des Kosekans	Ableitung einer Sekante
Ableitung des Arkussinus	Ableitung des Arkuskosinus
Ableitung des Arkussinus	Ableitung des Arkuskosinus
Tangentenableitung	Ableitung des Kotangens
Ableitung des Arkustangens	Ableitung des Arcuskotangens
Ableitung des Arkustangens	Ableitung des Arcuskotangens
Ableitung von Arcsecant	Ableitung des Arcuskosekants
Ableitung von Arcsecant	Ableitung des Arcuskosekants
Ableitung des hyperbolischen Sinus Ableitung des hyperbolischen Sinus in der englischen Version	Ableitung des hyperbolischen Kosinus Ableitung des hyperbolischen Kosinus in der englischen Version
Ableitung des hyperbolischen Tangens	Ableitung des hyperbolischen Kotangens
Ableitung der hyperbolischen Sekante	Ableitung des hyperbolischen Kosekans

Differenzierungsregeln. Derivat des Produkts. Ableitung des Quotienten. Ableitung einer komplexen Funktion.
Ableitung eines Produkts (Funktion) durch eine Konstante:
Ableitung der Summe (Funktionen):
Ableitung von Produkt (Funktionen):
Ableitung des Quotienten (von Funktionen):
Ableitung einer komplexen Funktion:

Eigenschaften von Logarithmen. Grundformeln für Logarithmen. Dezimal (lg) und natürlicher Logarithmus (ln).

Grundlegende logarithmische Identität
Lassen Sie uns zeigen, wie jede Funktion der Form a b exponentiell gemacht werden kann. Da eine Funktion der Form e x dann exponentiell heißt
Jede Funktion der Form a b kann als Zehnerpotenz dargestellt werden

Natürlicher Logarithmus ln (Logarithmus zur Basis e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Taylor-Reihe. Taylorreihenentwicklung einer Funktion.

Es stellt sich heraus, dass die Mehrheit praktisch angetroffen Mathematische Funktionen können in der Nähe eines bestimmten Punktes mit beliebiger Genauigkeit in Form von Potenzreihen dargestellt werden, die Potenzen einer Variablen in aufsteigender Reihenfolge enthalten. Zum Beispiel in der Nähe des Punktes x=1:

Bei Verwendung von Serien namens Taylors Reihen Gemischte Funktionen, die beispielsweise algebraische, trigonometrische und exponentielle Funktionen enthalten, können als rein algebraische Funktionen ausgedrückt werden. Mithilfe von Reihen lassen sich Differenzierungen und Integrationen häufig schnell durchführen.

Die Taylor-Reihe in der Umgebung von Punkt a hat die Form:

1) , wobei f(x) eine Funktion ist, die Ableitungen aller Ordnungen bei x = a hat. R n – der Restterm in der Taylor-Reihe wird durch den Ausdruck bestimmt

2)

Der k-te Koeffizient (bei x k) der Reihe wird durch die Formel bestimmt

3) Ein Sonderfall der Taylor-Reihe ist die Maclaurin-Reihe (= McLaren-Reihe). (Die Erweiterung erfolgt um den Punkt a=0)

bei a=0

Mitglieder der Reihe werden durch die Formel bestimmt

Bedingungen für die Verwendung von Taylor-Reihen.

1. Damit die Funktion f(x) zu einer Taylor-Reihe auf dem Intervall (-R;R) entwickelt werden kann, ist es notwendig und ausreichend, dass der Restterm in der Taylor-Formel (Maclaurin (=McLaren)) hierfür verwendet wird Die Funktion tendiert gegen Null, wenn k →∞ im angegebenen Intervall (-R;R) ist.

2. Es ist notwendig, dass es Ableitungen für eine gegebene Funktion an dem Punkt gibt, in dessen Nähe wir die Taylor-Reihe konstruieren werden.

Eigenschaften der Taylor-Reihe.

Wenn f eine analytische Funktion ist, dann konvergiert ihre Taylor-Reihe an jedem Punkt a im Definitionsbereich von f gegen f in einer Umgebung von a.

Es gibt unendlich differenzierbare Funktionen, deren Taylor-Reihe konvergiert, sich aber gleichzeitig von der Funktion in jeder Umgebung von a unterscheidet. Zum Beispiel:

Taylor-Reihen werden zur Approximation einer Funktion durch Polynome verwendet (Approximation ist eine wissenschaftliche Methode, die darin besteht, einige Objekte durch andere zu ersetzen, die auf die eine oder andere Weise den ursprünglichen Objekten nahe kommen, aber einfacher sind). Insbesondere die Linearisierung ((von linearis – linear), eine der Methoden zur Näherungsdarstellung geschlossener nichtlinearer Systeme, bei der die Untersuchung eines nichtlinearen Systems durch die Analyse eines linearen Systems ersetzt wird, das in gewissem Sinne dem ursprünglichen entspricht .) Gleichungen entstehen durch die Erweiterung zu einer Taylor-Reihe und das Abschneiden aller Terme oberhalb der ersten Ordnung.

Somit kann nahezu jede Funktion mit einer bestimmten Genauigkeit als Polynom dargestellt werden.

Beispiele einiger häufiger Entwicklungen von Potenzfunktionen in Maclaurin-Reihen (=McLaren, Taylor in der Nähe von Punkt 0) und Taylor in der Nähe von Punkt 1. Die ersten Terme von Entwicklungen der Hauptfunktionen in Taylor- und McLaren-Reihen.

Beispiele für einige gängige Entwicklungen von Potenzfunktionen in Maclaurin-Reihen (=McLaren, Taylor in der Nähe von Punkt 0)

Beispiele für einige gängige Taylor-Reihenentwicklungen in der Nähe von Punkt 1

Lassen Sie uns die Integrale elementarer Funktionen auflisten, die manchmal als tabellarisch bezeichnet werden:

Jede der oben genannten Formeln kann durch Ableitung der rechten Seite bewiesen werden (das Ergebnis ist der Integrand).

Integrationsmethoden

Schauen wir uns einige grundlegende Integrationsmethoden an. Diese beinhalten:

1. Zerlegungsmethode(direkte Integration).

Diese Methode basiert auf der direkten Verwendung tabellarischer Integrale sowie auf der Verwendung der Eigenschaften 4 und 5 des unbestimmten Integrals (d. h. Entfernen des konstanten Faktors aus Klammern und/oder Darstellung des Integranden als Summe von Funktionen – Zerlegung). des Integranden in Terme).

Beispiel 1. Um beispielsweise(dx/x 4) zu finden, können Sie direkt das Tabellenintegral fürx n dx verwenden. Tatsächlich ist(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Beispiel 2. Um es zu finden, verwenden wir dasselbe Integral:

Beispiel 3. Um es zu finden, müssen Sie es nehmen

Beispiel 4. Um es zu finden, stellen wir die Integrandenfunktion in der Form dar und verwenden Sie das Tabellenintegral für die Exponentialfunktion:

Betrachten wir die Verwendung der Klammerung als konstanten Faktor.

Beispiel 5.Finden wir zum Beispiel . Wenn man das bedenkt, bekommen wir

Beispiel 6. Wir werden es finden. Weil das , verwenden wir das Tabellenintegral Wir bekommen

In den folgenden beiden Beispielen können Sie auch Klammerungen und Tabellenintegrale verwenden:

Beispiel 7.

(wir verwenden und );

Beispiel 8.

(wir gebrauchen Und ).

Schauen wir uns komplexere Beispiele an, die das Summenintegral verwenden.

Beispiel 9. Lassen Sie uns zum Beispiel finden
. Um die Erweiterungsmethode im Zähler anzuwenden, verwenden wir die Summenwürfelformel  und dividieren dann das resultierende Polynom Term für Term durch den Nenner.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Es ist zu beachten, dass am Ende der Lösung eine gemeinsame Konstante C geschrieben wird (und nicht getrennte Konstanten bei der Integration jedes Termes). Zukünftig wird auch vorgeschlagen, die Konstanten aus der Integration einzelner Terme im Lösungsprozess wegzulassen, solange der Ausdruck mindestens ein unbestimmtes Integral enthält (wir werden eine Konstante am Ende der Lösung schreiben).

Beispiel 10. Wir werden finden . Um dieses Problem zu lösen, faktorisieren wir den Zähler (danach können wir den Nenner reduzieren).

Beispiel 11. Wir werden es finden. Hier können trigonometrische Identitäten verwendet werden.

Um einen Ausdruck in Begriffe zu zerlegen, müssen manchmal komplexere Techniken angewendet werden.

Beispiel 12. Wir werden finden . Im Integranden wählen wir den ganzen Teil des Bruchs aus . Dann

Beispiel 13. Wir werden finden

2. Variablenersetzungsmethode (Substitutionsmethode)

Die Methode basiert auf der folgenden Formel: f(x)dx=f((t))`(t)dt, wobei x =(t) eine auf dem betrachteten Intervall differenzierbare Funktion ist.

Nachweisen. Finden wir die Ableitungen nach der Variablen t auf der linken und rechten Seite der Formel.

Beachten Sie, dass es auf der linken Seite eine komplexe Funktion gibt, deren Zwischenargument x = (t) ist. Um es also nach t zu differenzieren, differenzieren wir zunächst das Integral nach x und bilden dann die Ableitung des Zwischenarguments nach t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Ableitung von der rechten Seite:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Da diese Ableitungen gleich sind, unterscheiden sich die linke und rechte Seite der zu beweisenden Formel entsprechend dem Satz von Lagrange um eine bestimmte Konstante. Da die unbestimmten Integrale selbst bis auf einen unbestimmten konstanten Term definiert sind, kann diese Konstante in der endgültigen Notation weggelassen werden. Bewährt.

Eine erfolgreiche Variablenänderung ermöglicht es Ihnen, das ursprüngliche Integral zu vereinfachen und im einfachsten Fall auf ein tabellarisches zu reduzieren. Bei der Anwendung dieser Methode wird zwischen linearen und nichtlinearen Substitutionsverfahren unterschieden.

a) Lineare Substitutionsmethode Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 1.
. Dann sei t= 1 – 2x

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Es ist zu beachten, dass die neue Variable nicht explizit ausgeschrieben werden muss. In solchen Fällen spricht man von der Transformation einer Funktion unter dem Differentialzeichen oder von der Einführung von Konstanten und Variablen unter dem Differentialzeichen, d. h. Ö impliziter Variablenersatz.

Beispiel 2. Lassen Sie uns zum Beispiel cos(3x + 2)dx finden. Aufgrund der Eigenschaften des Differentials dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), danncos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

In beiden betrachteten Beispielen wurde die lineare Substitution t=kx+b(k0) verwendet, um die Integrale zu finden.

Im allgemeinen Fall gilt der folgende Satz.

Linearer Substitutionssatz. Sei F(x) eine Stammfunktion der Funktion f(x). Dannf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, wobei k und b einige Konstanten sind,k0.

Nachweisen.

Nach Definition des Integrals f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Nehmen wir den konstanten Faktor k aus dem Integralzeichen: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Nun können wir die linke und rechte Seite der Gleichheit in zwei Teile teilen und erhalten die zu beweisende Aussage bis zur Bezeichnung des konstanten Termes.

Dieser Satz besagt, dass, wenn wir in der Definition des Integrals f(x)dx= F(x) + C anstelle des Arguments x den Ausdruck (kx+b) ersetzen, dies zum Erscheinen eines Zusatzes führt Faktor 1/k vor der Stammfunktion.

Mit dem bewährten Satz lösen wir die folgenden Beispiele.

Beispiel 3.

Wir werden finden . Hier ist kx+b= 3 –x, also k= -1,b= 3. Dann

Beispiel 4.

Wir werden es finden. Herekx+b= 4x+ 3, d. h. k= 4,b= 3. Dann

Beispiel 5.

Wir werden finden . Hier kx+b= -2x+ 7, d. h. k= -2,b= 7. Dann

.

Beispiel 6. Wir werden finden
. Hier ist kx+b= 2x+ 0, also k= 2,b= 0.

.

Vergleichen wir das erhaltene Ergebnis mit Beispiel 8, das mit der Zerlegungsmethode gelöst wurde. Indem wir dasselbe Problem mit einer anderen Methode lösten, bekamen wir die Antwort
. Vergleichen wir die Ergebnisse: Somit unterscheiden sich diese Ausdrücke durch einen konstanten Term voneinander , d.h. Die eingegangenen Antworten widersprechen sich nicht.

Beispiel 7. Wir werden finden
. Wählen wir im Nenner ein perfektes Quadrat aus.

In manchen Fällen führt die Änderung einer Variablen nicht dazu, dass das Integral direkt auf ein tabellarisches Integral reduziert wird, es kann jedoch die Lösung vereinfachen, sodass die Erweiterungsmethode in einem späteren Schritt verwendet werden kann.

Beispiel 8. Lassen Sie uns zum Beispiel finden . Ersetze t=x+ 2, dann dt=d(x+ 2) =dx. Dann

,

wobei C = C 1 – 6 (wenn wir den Ausdruck (x+ 2) anstelle der ersten beiden Terme ersetzen, erhalten wir ½x 2 -2x– 6).

Beispiel 9. Wir werden finden
. Sei t= 2x+ 1, dann dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Ersetzen wir t durch den Ausdruck (2x+ 1), öffnen wir die Klammern und geben ähnliche Werte an.

Beachten Sie, dass wir im Prozess der Transformationen zu einem anderen konstanten Term übergegangen sind, weil Die Gruppe konstanter Terme könnte während des Transformationsprozesses weggelassen werden.

b) Nichtlineare Substitutionsmethode Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 1.
. Lett= -x 2. Als nächstes könnte man x durch t ausdrücken, dann einen Ausdruck für dx finden und eine Änderung der Variablen im gewünschten Integral implementieren. Aber in diesem Fall ist es einfacher, die Dinge anders zu machen. Finden wir dt=d(-x 2) = -2xdx. Beachten Sie, dass der Ausdruck xdx ein Faktor des Integranden des gewünschten Integrals ist. Drücken wir es aus der resultierenden Gleichheit ausxdx= - ½dt. Dann

=  (- ½)e t dt = (- ½) e t dt = (- ½)e t + C = (- ½)
+C

Schauen wir uns noch ein paar Beispiele an.

Beispiel 2. Wir werden finden . Sei t= 1 -x 2 . Dann

Beispiel 3. Wir werden finden . Lett=. Dann

;

Beispiel 4. Im Fall einer nichtlinearen Substitution ist es auch praktisch, eine implizite Variablensubstitution zu verwenden.

Lassen Sie uns zum Beispiel finden
. Schreiben wir xdx= = (-1/4)d(3 - 2x 2) (implizit ersetzt durch die Variable t= 3 - 2x 2). Dann

Beispiel 5. Wir werden finden . Hier führen wir auch eine Variable unter dem Differentialzeichen ein: (implizite Ersetzung = 3 + 5x 3). Dann

Beispiel 6. Wir werden finden . Weil das ,

Beispiel 7. Wir werden es finden. Seit damals

Schauen wir uns einige Beispiele an, bei denen es notwendig wird, verschiedene Substitutionen zu kombinieren.

Beispiel 8. Wir werden finden
. Lett= 2x+ 1, dannx= (t– 1)/2;dx= ½dt.

Beispiel 9. Wir werden finden
. Lett=x- 2, dannx=t+ 2;dx=dt.

Direkte Integration mit der Tabelle der Stammfunktionen (Tabelle der unbestimmten Integrale)

Tabelle der Stammfunktionen

Wir können die Stammfunktion aus einem bekannten Differential einer Funktion finden, wenn wir die Eigenschaften des unbestimmten Integrals verwenden. Aus der Tabelle der grundlegenden Elementarfunktionen unter Verwendung der Gleichungen ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C und ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) d x können wir eine Tabelle mit Stammfunktionen erstellen.

Schreiben wir die Ableitungstabelle in Form von Differentialen.

Konstante y = C C" = 0 Potenzfunktion y = x p. (x p) " = p x p - 1	Konstante y = C d (C) = 0 d x Potenzfunktion y = x p. d (x p) = p x p - 1 d x
(a x) " = a x ln a	Exponentialfunktion y = a x. d (a x) = a x ln α d x Insbesondere gilt für a = e y = e x d (e x) = e x d x
log a x " = 1 x ln a	Logarithmische Funktionen y = log a x . d (log a x) = d x x ln a Insbesondere gilt für a = e y = ln x d (ln x) = d x x
Trigonometrische Funktionen. sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x	Trigonometrische Funktionen. d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2	Inverse trigonometrische Funktionen. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

Lassen Sie uns das oben Gesagte anhand eines Beispiels veranschaulichen. Finden wir das unbestimmte Integral der Potenzfunktion f (x) = x p.

Nach der Differentialtabelle d (x p) = p · x p - 1 · d x. Aufgrund der Eigenschaften des unbestimmten Integrals gilt ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Daher ist ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0. Die zweite Version des Eintrags lautet wie folgt: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1, p ≠ - 1.

Nehmen wir es gleich - 1 und finden wir die Menge der Stammfunktionen der Potenzfunktion f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .

Jetzt brauchen wir eine Differentialtabelle für den natürlichen Logarithmus d (ln x) = d x x, x > 0, also ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Daher ist ∫ d x x = ln x , x > 0 .

Tabelle der Stammfunktionen (unbestimmte Integrale)

Die linke Spalte der Tabelle enthält Formeln, die als grundlegende Stammfunktionen bezeichnet werden. Die Formeln in der rechten Spalte sind nicht grundlegend, können aber zur Ermittlung unbestimmter Integrale verwendet werden. Sie können durch Differenzierung überprüft werden.

Direkte Integration

Um eine direkte Integration durchzuführen, verwenden wir Stammfunktionstabellen, Integrationsregeln ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C sowie Eigenschaften unbestimmter Integrale ∫ k f (x) d x = k · ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

Die Tabelle der Grundintegrale und Eigenschaften von Integralen kann nur nach einer einfachen Transformation des Integranden verwendet werden.

Beispiel 1

Finden wir das Integral ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Lösung

Wir entfernen Koeffizient 3 unter dem Integralzeichen:

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

Mithilfe trigonometrischer Formeln transformieren wir die Integrandenfunktion:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + Sünde x d x

Da das Integral der Summe gleich der Summe der Integrale ist, dann
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x

Wir verwenden die Daten aus der Tabelle der Stammfunktionen: 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = empty 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos x + C

Antwort:∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .

Beispiel 2

Es ist notwendig, die Menge der Stammfunktionen der Funktion f (x) = 2 3 4 x - 7 zu finden.

Lösung

Wir verwenden die Tabelle der Stammfunktionen für die Exponentialfunktion: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Das bedeutet, dass ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

Wir verwenden die Integrationsregel ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

Wir erhalten ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .

Antwort: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Mithilfe der Tabelle der Stammfunktionen, Eigenschaften und der Integrationsregel können wir viele unbestimmte Integrale finden. Dies ist in Fällen möglich, in denen eine Transformation des Integranden möglich ist.

Um das Integral der Logarithmusfunktion, der Tangens- und Kotangensfunktionen und einer Reihe anderer zu ermitteln, werden spezielle Methoden verwendet, die wir im Abschnitt „Grundlegende Integrationsmethoden“ betrachten.

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