Definition.
Ein umschriebenes Viereck ist ein Viereck, dessen Seiten alle den Kreis berühren. In diesem Fall spricht man von einem einbeschriebenen Kreis in einem Viereck.
Welche Eigenschaften hat ein in ein Viereck eingeschriebener Kreis? Wann kann ein Kreis in ein Viereck eingeschrieben werden? Wo ist der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises?
Satz 1.
Ein Kreis kann genau dann in ein Viereck eingeschrieben werden, wenn die Summen seiner gegenüberliegenden Seiten gleich sind.
Ein Kreis kann in ein Viereck ABCD eingeschrieben werden, wenn
Und umgekehrt, wenn die Summen der gegenüberliegenden Seiten des Vierecks gleich sind:
dann kann ein Kreis in das Viereck ABCD eingeschrieben werden.
Satz 2.
Der Mittelpunkt eines in ein Viereck eingeschriebenen Kreises ist der Schnittpunkt seiner Winkelhalbierenden.
O ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Vierecks ABCD.
AO, BO, CO, DO sind die Winkelhalbierenden des Vierecks ABCD,
das heißt, ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO usw.
3. Die Tangentenpunkte des eingeschriebenen Kreises, die auf den von einem Scheitelpunkt ausgehenden Seiten liegen, sind von diesem Scheitelpunkt gleich weit entfernt.
AM=AN,
5. Die Fläche eines Vierecks hängt mit dem Radius des darin eingeschriebenen Kreises durch die Formel zusammen
wobei p der Halbumfang des Vierecks ist.
Da die Summen der gegenüberliegenden Seiten eines umschriebenen Vierecks gleich sind, ist der Halbumfang gleich jedem Summenpaar der gegenüberliegenden Seiten.
Zum Beispiel für ein Viereck ABCD p=AD+BC oder p=AB+CD und
Abschnitte: Mathematik, Wettbewerb „Präsentation für den Unterricht“
Präsentation für den Unterricht
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Aufmerksamkeit! Folienvorschauen dienen nur zu Informationszwecken und stellen möglicherweise nicht alle Funktionen der Präsentation dar. Wenn Sie an dieser Arbeit interessiert sind, laden Sie bitte die Vollversion herunter.
Ziele.
Lehrreich. Schaffung von Voraussetzungen für die erfolgreiche Beherrschung des Konzepts des beschriebenen Vierecks, seiner Eigenschaften, Merkmale und die Beherrschung der Fähigkeiten, diese in der Praxis anzuwenden.
Entwicklung. Entwicklung mathematischer Fähigkeiten, Schaffung von Voraussetzungen für die Fähigkeit, Vorwärts- und Rückwärtsgedanken zu verallgemeinern und anzuwenden.
Lehrreich. Den Sinn für Schönheit durch die Ästhetik der Zeichnungen kultivieren und das Ungewöhnliche überraschen
Entscheidung, Organisationsbildung, Verantwortung für die Ergebnisse der eigenen Arbeit.
1. Studieren Sie die Definition eines umschriebenen Vierecks.
2. Beweisen Sie die Eigenschaft der Seiten des umschriebenen Vierecks.
3. Führen Sie die Dualität der Eigenschaften der Summen gegenüberliegender Seiten und entgegengesetzter Winkel eingeschriebener und umschriebener Vierecke ein.
4. Vermittlung von Erfahrungen in der praktischen Anwendung der betrachteten Theoreme bei der Lösung von Problemen.
5. Führen Sie eine erste Überwachung des Assimilationsniveaus des neuen Materials durch.
Ausrüstung:
- Computer, Projektor;
- Lehrbuch „Geometrie. 10-11 Klassen“ für die Allgemeinbildung. Institutionen: Basis und Profil. automatische Ebenen EIN V. Pogorelow.
Software: Microsoft Word, Microsoft Power Point.
Verwendung eines Computers bei der Vorbereitung eines Lehrers auf eine Unterrichtsstunde.
Mit einem Standard-Windows-Betriebssystemprogramm wurde für den Unterricht Folgendes erstellt:
- Präsentation.
- Tische.
- Blaupausen.
- Handzettel.
Unterrichtsplan
Während des Unterrichts
1. Organisatorischer Moment. Grüße. Geben Sie das Thema und den Zweck der Lektion an. Notieren Sie Datum und Thema der Lektion in Ihrem Notizbuch.
2. Hausaufgaben überprüfen.
3. Neues Material studieren.
Arbeiten Sie am Konzept eines umschriebenen Polygons.
Definition. Das Polygon heißt beschriebenüber einen Kreis, wenn Alle seine Seiten Sorge irgendein Kreis.
Frage. Welche der vorgeschlagenen Polygone werden beschrieben und welche nicht und warum?
<Презентация. Слайд №2>
Beweis der Eigenschaften des umschriebenen Vierecks.
<Презентация. Слайд №3>
Satz. In einem umschriebenen Viereck sind die Summen der gegenüberliegenden Seiten gleich.
Die Studierenden arbeiten mit dem Lehrbuch und schreiben die Formulierung des Satzes in ein Notizbuch.
1. Präsentieren Sie die Formulierung des Theorems in Form eines Bedingungssatzes.
2. Was ist die Bedingung des Satzes?
3. Was ist die Schlussfolgerung des Theorems?
Antwort. Wenn ein Viereck wird um einen Kreis herum beschrieben, Das die Summen der gegenüberliegenden Seiten sind gleich.
Der Nachweis wird geführt, die Studierenden machen sich Notizen in ihren Heften.
<Презентация. Слайд №4>
Lehrer. Notiz Dualität Situationen für Seiten und Winkel von umschriebenen und eingeschriebenen Vierecken.
Festigung des erworbenen Wissens.
Aufgaben.
Antwort. 1. 10 m. 2. 20 m. 3. 21 m
Beweis der Charakteristik eines umschriebenen Vierecks.
Geben Sie den umgekehrten Satz an.
Antwort. Wenn in einem Viereck die Summen der gegenüberliegenden Seiten gleich sind, kann darin ein Kreis eingeschrieben werden. (Zurück zu Folie 2, Abb. 7) <Презентация. Слайд №2>
Lehrer. Klären Sie die Formulierung des Satzes.
Satz. Wenn die Summen der gegenüberliegenden Seiten konvex Wenn ein Viereck gleich ist, kann darin ein Kreis eingeschrieben werden.
Arbeiten mit dem Lehrbuch. Machen Sie sich mit dem Beweis des Tests für ein umschriebenes Viereck anhand des Lehrbuchs vertraut.
Anwendung des erworbenen Wissens.
3. Aufgaben basierend auf fertigen Zeichnungen.
1. Ist es möglich, einen Kreis in ein Viereck mit gegenüberliegenden Seiten von 9 m und 4 m, 10 m und 3 m einzuschreiben?
2. Ist es möglich, einem gleichschenkligen Trapez mit einer Grundfläche von 1 m und 9 m und einer Höhe von 3 m einen Kreis einzuschreiben?
<Презентация. Слайд №6>
Schriftliche Arbeit in Notizbüchern
.Aufgabe. Finden Sie den Radius eines Kreises, der in eine Raute mit Diagonalen von 6 m und 8 m eingeschrieben ist.
<Презентация. Слайд № 7>
4. Selbstständiges Arbeiten.
1 Option
1. Ist es möglich, einen Kreis einzuschreiben?
1) in ein Rechteck mit den Seiten 7 m und 10 m,
2. Die gegenüberliegenden Seiten eines um einen Kreis umschriebenen Vierecks betragen 7 m und 10 m.
Finden Sie den Umfang des Vierecks.
3. Ein gleichseitiges Trapez mit den Grundflächen 4 m und 16 m wird um einen Kreis beschrieben.
1) Radius des eingeschriebenen Kreises,
Option 2
1. Ist es möglich, einen Kreis einzuschreiben:
1) in einem Parallelogramm mit den Seiten 6 m und 13 m,
2) im Quadrat?
2. Die gegenüberliegenden Seiten eines um einen Kreis umschriebenen Vierecks betragen 9 m und 11 m. Ermitteln Sie den Umfang des Vierecks.
3. Ein gleichseitiges Trapez mit einer Seitenlänge von 5 m wird um einen Kreis mit einem Radius von 2 m umschrieben.
1) die Basis des Trapezes,
2) Radius des umschriebenen Kreises.
5. Hausaufgaben. S.86, Nr. 28, 29, 30.
6. Zusammenfassung der Lektion. Die selbstständige Arbeit wird überprüft und benotet.
<Презентация. Слайд № 8>
1 . Die Summe der Diagonalen eines konvexen Vierecks ist größer als die Summe seiner beiden gegenüberliegenden Seiten.
2 . Wenn die Segmente die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten verbinden Viereck
a) gleich sind, dann stehen die Diagonalen des Vierecks senkrecht;
b) senkrecht stehen, dann sind die Diagonalen des Vierecks gleich.
3 . Die Winkelhalbierenden auf der lateralen Seite des Trapezes schneiden sich in seiner Mittellinie.
4 . Die Seiten des Parallelogramms sind gleich und . Dann ist das durch die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden des Parallelogramms gebildete Viereck ein Rechteck, dessen Diagonalen gleich sind.
5 . Wenn die Summe der Winkel an einer der Basen des Trapezes 90° beträgt, dann ist die Strecke, die die Mittelpunkte der Basen des Trapezes verbindet, gleich ihrer halben Differenz.
6 . Auf den Seiten AB Und ANZEIGE Parallelogramm A B C D Punkte genommen M Und N also gerade MS Und NC Teilen Sie das Parallelogramm in drei gleiche Teile. Finden MN, Wenn BD=d.
7 . Ein gerades Liniensegment parallel zu den Basen eines Trapezes, das im Inneren des Trapezes eingeschlossen ist, wird durch seine Diagonalen in drei Teile geteilt. Dann sind die an den Seiten angrenzenden Segmente einander gleich.
8 . Durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes mit den Basen wird eine Gerade parallel zu den Basen gezogen. Das zwischen den Seiten des Trapezes eingeschlossene Segment dieser Linie ist gleich.
9 . Ein Trapez wird durch eine gerade Linie parallel zu seinen Grundflächen geteilt, die gleich und ist , in zwei gleiche Trapeze. Dann ist das zwischen den Seiten eingeschlossene Segment dieser Linie gleich.
10 . Wenn eine der folgenden Bedingungen zutrifft, dann gelten die vier Punkte A, B, C Und D liegen auf demselben Kreis.
A) CAD=CBD= 90°.
b) Punkte A Und IN auf einer Seite einer geraden Linie liegen CD und Winkel CAD gleich Winkel CBD.
c) gerade Wechselstrom Und BD sich in einem Punkt schneiden UM Und O A OS=OV OD.
11 . Gerade Linie, die einen Punkt verbindet R Schnittpunkt der Diagonalen eines Vierecks ABCD mit Punkt Q Linienkreuzungen AB Und CD, teilt die Seite ANZEIGE entzwei. Dann teilt sie sich in zwei Hälften und seitlich Sonne.
12 . Jede Seite eines konvexen Vierecks ist in drei gleiche Teile geteilt. Die entsprechenden Teilungspunkte auf gegenüberliegenden Seiten werden durch Segmente verbunden. Dann teilen sich diese Segmente in drei gleiche Teile.
13 . Zwei Geraden teilen jede der beiden gegenüberliegenden Seiten eines konvexen Vierecks in drei gleiche Teile. Dann liegt zwischen diesen Linien ein Drittel der Fläche des Vierecks.
14 . Wenn ein Kreis in ein Viereck eingeschrieben werden kann, dann verläuft das Segment, das die Punkte verbindet, an denen der eingeschriebene Kreis die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks berührt, durch den Schnittpunkt der Diagonalen.
15 . Wenn die Summen der gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks gleich sind, kann in ein solches Viereck ein Kreis eingeschrieben werden.
16. Eigenschaften eines beschrifteten Vierecks mit zueinander senkrechten Diagonalen. Viereck A B C D in einen Kreis mit Radius eingeschrieben R. Seine Diagonalen Wechselstrom Und BD zueinander senkrecht stehen und sich in einem Punkt schneiden R. Dann
a) Median eines Dreiecks ARV senkrecht zur Seite CD;
b) gestrichelte Linie AOC teilt ein Viereck A B C D in zwei gleich große Figuren;
V) AB 2 +CD 2=4R 2 ;
G) AR 2 +BP 2 +CP 2 +DP 2 = 4R 2 und AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 =8R 2;
e) der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Seite des Vierecks beträgt die Hälfte der gegenüberliegenden Seite.
e) wenn die Senkrechten zur Seite fallen ANZEIGE von oben IN Und MIT, Kreuzen Sie die Diagonalen Wechselstrom Und BD an Punkten E Und F, Das BCFE- Raute;
g) ein Viereck, dessen Eckpunkte Projektionen eines Punktes sind R auf den Seiten des Vierecks A B C D,- sowohl beschriftet als auch beschrieben;
h) ein Viereck, das durch Tangenten an den Umkreis des Vierecks gebildet wird A B C D, an seinen Eckpunkten gezeichnet, kann in einen Kreis eingeschrieben werden.
17 . Wenn A, b, c, d- aufeinanderfolgende Seiten eines Vierecks, S ist dann seine Fläche, und Gleichheit gilt nur für ein eingeschriebenes Viereck, dessen Diagonalen senkrecht zueinander stehen.
18
. Brahmaguptas Formel. Wenn die Seiten eines zyklischen Vierecks gleich sind a, b, c Und D, dann seine Fläche S kann mit der Formel berechnet werden,
Wo - Halbumfang eines Vierecks.
19 . Wenn ein Viereck mit Seiten A, b, c, d eingeschrieben werden kann und um ihn herum ein Kreis beschrieben werden kann, dann ist seine Fläche gleich .
20 . Punkt P liegt innerhalb des Quadrats A B C D, und der Winkel PAB gleich Winkel RVA und ist gleich 15°. Dann das Dreieck DPC- gleichseitig.
21 . Wenn für ein zyklisches Viereck A B C D Gleichheit ist erfüllt CD=AD+BC, dann die Winkelhalbierenden A Und IN kreuzen sich auf der Seite CD.
22 . Fortsetzungen entgegengesetzter Seiten AB Und CD zyklisches Viereck A B C D sich in einem Punkt schneiden M, und die Parteien ANZEIGE Und Sonne- am Punkt N. Dann
a) Winkelhalbierende AMD Und D.N.C. zueinander senkrecht;
b) gerade MQ Und NQ die Seiten des Vierecks an den Eckpunkten der Raute schneiden;
c) Schnittpunkt Q dieser Winkelhalbierenden liegt auf dem Segment, das die Mittelpunkte der Diagonalen des Vierecks verbindet A B C D.
23 . Satz des Ptolemäus. Die Summe der Produkte zweier Paare gegenüberliegender Seiten eines zyklischen Vierecks ist gleich dem Produkt seiner Diagonalen.
24 . Newtons Theorem. In jedem umschriebenen Viereck liegen die Mittelpunkte der Diagonalen und der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises auf derselben Geraden.
25 . Satz von Monge. Linien, die durch die Mittelpunkte der Seiten eines beschrifteten Vierecks senkrecht zu den gegenüberliegenden Seiten gezogen werden, schneiden sich in einem Punkt.
27 . Vier Kreise, die als Durchmesser auf den Seiten eines konvexen Vierecks aufgebaut sind, bedecken das gesamte Viereck.
29 . Zwei gegenüberliegende Winkel eines konvexen Vierecks sind stumpf. Dann ist die Diagonale, die die Eckpunkte dieser Winkel verbindet, kleiner als die andere Diagonale.
30. Die Mittelpunkte der Quadrate, die auf den Seiten eines Parallelogramms außerhalb des Parallelogramms liegen, bilden selbst ein Quadrat.
Material aus Wikipedia – der freien Enzyklopädie
- In der euklidischen Geometrie gilt beschriftetes Viereck ist ein Viereck, dessen Eckpunkte alle auf demselben Kreis liegen. Dieser Kreis heißt umschriebener Kreis Viereck, und die Eckpunkte sollen auf demselben Kreis liegen. Der Mittelpunkt dieses Kreises und sein Radius werden jeweils genannt Center Und Radius umschriebener Kreis. Andere Bezeichnungen für dieses Viereck: Ein Viereck liegt auf einem Kreis, die Seiten des letzten Vierecks sind Sehnen des Kreises. Ein konvexes Viereck wird üblicherweise als konvexes Viereck angenommen. Die unten angegebenen Formeln und Eigenschaften gelten im konvexen Fall.
- Sie sagen das, wenn Um ein Viereck kann ein Kreis gezeichnet werden, Das In diesen Kreis ist das Viereck eingeschrieben, umgekehrt.
Allgemeine Kriterien für die Beschriftung eines Vierecks
- Um ein konvexes Viereck Bogenmaß), das heißt:
oder in der Figurenschreibweise:
- Es ist möglich, einen Kreis um jedes Viereck zu beschreiben, bei dem sich die vier Mittelsenkrechten seiner Seiten in einem Punkt schneiden (oder die Mittellinien seiner Seiten, d. h. die Senkrechten zu den Seiten, die durch ihre Mittelpunkte verlaufen).
- Sie können einen Kreis um jedes Viereck beschreiben, an das ein Außenwinkel angrenzt gegebener Innenwinkel, ist genau gleich dem anderen gegenüberliegenden Innenwinkel gegebene Innenecke. Im Wesentlichen handelt es sich bei dieser Bedingung um die Bedingung der Antiparallelität zweier gegenüberliegender Seiten des Vierecks. In Abb. Unten sind die äußeren und angrenzenden inneren Ecken eines grünen Fünfecks dargestellt.
- Überschneidung X kann innerhalb oder außerhalb des Kreises liegen. Im ersten Fall erhalten wir das zyklische Viereck is A B C D, und im letzteren Fall erhalten wir ein eingeschriebenes Viereck ABDC. Beim Schnitt innerhalb eines Kreises besagt die Gleichheit, dass das Produkt der Längen der Segmente, in denen sich der Punkt befindet X teilt eine Diagonale, ist gleich dem Produkt der Längen der Segmente, in denen der Punkt liegt X teilt eine andere Diagonale. Diese Bedingung ist als „Schnittakkordsatz“ bekannt. In unserem Fall sind die Diagonalen des eingeschriebenen Vierecks die Sehnen des Kreises.
- Ein weiteres Aufnahmekriterium. Konvexes Viereck A B C D Ein Kreis ist genau dann eingeschrieben, wenn
Besondere Kriterien für die Beschriftung eines Vierecks
Ein einfaches eingeschriebenes (ohne sich selbst schneidendes) Viereck ist konvex. Ein Kreis kann genau dann um ein konvexes Viereck beschrieben werden, wenn die Summe seiner entgegengesetzten Winkel gleich 180° ist ( Bogenmaß). Sie können einen Kreis beschreiben um:
- irgendein Antiparallelogramm
- jedes Rechteck (ein Sonderfall ist ein Quadrat)
- jedes gleichschenklige Trapez
- jedes Viereck, das zwei gegenüberliegende rechte Winkel hat.
Eigenschaften
Formeln mit Diagonalen
;In der letzten Formel des Paares benachbarter Seiten des Zählers A Und D, B Und C Legen Sie ihre Enden auf eine diagonale Länge e. Eine ähnliche Aussage gilt für den Nenner.
- Formeln für Diagonallängen(Folgen ):
Formeln mit Winkeln
Für ein zyklisches Viereck mit einer Folge von Seiten A , B , C , D, mit Halbumfang P und Winkel A zwischen den Parteien A Und D, trigonometrische Winkelfunktionen A werden durch Formeln angegeben
Ecke θ zwischen den Diagonalen steht:S.26
- Wenn gegenüberliegende Seiten A Und C sich in einem Winkel schneiden φ , dann ist es gleich
Wo P Es gibt einen Halbumfang. :S.31
Radius eines um ein Viereck umschriebenen Kreises
Parameshvara-Formel
Wenn es sich um ein Viereck mit aufeinanderfolgenden Seiten handelt A , B , C , D und Halbumfang P in einen Kreis eingeschrieben, dann ist sein Radius gleich Parameshwars Formel:P. 84
Es wurde im 15. Jahrhundert (ca. 1380–1460) vom indischen Mathematiker Parameshwar abgeleitet.
- Konvexes Viereck (siehe Abbildung rechts), gebildet aus vier Daten Mikels gerade Linien, ist genau dann in einen Kreis eingeschrieben, wenn der Mikel-Punkt M eines Vierecks liegt auf einer Linie, die zwei der sechs Schnittpunkte der Linien verbindet (diejenigen, die keine Eckpunkte des Vierecks sind). Das ist wenn M liegt auf E.F..
Ein Kriterium dafür, dass ein aus zwei Dreiecken bestehendes Viereck in einen bestimmten Kreis eingeschrieben ist
- Die letzte Bedingung gibt den Ausdruck für die Diagonale an F ein Viereck, das durch die Länge seiner vier Seiten in einen Kreis eingeschrieben ist ( A, B, C, D). Diese Formel folgt unmittelbar beim Multiplizieren und Gleichsetzen des linken und rechten Teils von Formeln, die das Wesentliche ausdrücken Der erste und zweite Satz des Ptolemäus(siehe oben).
Ein Kriterium dafür, dass ein durch eine gerade Linie aus einem Dreieck geschnittenes Viereck in einen bestimmten Kreis eingeschrieben ist
- Eine gerade Linie, die antiparallel zur Seite des Dreiecks verläuft und diese schneidet, schneidet daraus ein Viereck ab, um das sich immer ein Kreis beschreiben lässt.
- Folge. Um ein Antiparallelogramm herum, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten antiparallel sind, ist es immer möglich, einen Kreis zu beschreiben.
Fläche eines in einen Kreis eingeschriebenen Vierecks
Variationen der Brahmagupta-Formel
wobei p der Halbumfang des Vierecks ist.Andere Flächenformeln
Wo θ jeder Winkel zwischen den Diagonalen. Vorausgesetzt, der Winkel A Da es sich nicht um eine gerade Linie handelt, kann die Fläche auch wie folgt ausgedrückt werden: S. 26
Wo R ist der Radius des Umkreises. Als direkte Konsequenz haben wir die Ungleichung
wobei Gleichheit genau dann möglich ist, wenn dieses Viereck ein Quadrat ist.
Brahmagupta-Vierecke
Brahmagupta-Viereck ist ein in einen Kreis eingeschriebenes Viereck mit ganzzahligen Seitenlängen, ganzzahligen Diagonalen und ganzzahliger Fläche. Alle möglichen Brahmagupta-Vierecke mit Seiten A , B , C , D, mit Diagonalen e , F, mit Fläche S und der Radius des umschriebenen Kreises R kann durch Entfernen der Nenner der folgenden Ausdrücke mit rationalen Parametern erhalten werden T , u, Und v :
Beispiele
- Besondere in einen Kreis eingeschriebene Vierecke sind: Rechteck, Quadrat, gleichschenkliges oder gleichschenkliges Trapez, Antiparallelogramm.
In einen Kreis eingeschriebene Vierecke mit senkrechten Diagonalen (eingeschriebene orthodiagonale Vierecke)
Eigenschaften von Vierecken, die in einen Kreis mit senkrechten Diagonalen eingeschrieben sind
Umkreisradius und Fläche
Nehmen Sie für ein Viereck, das in einen Kreis mit senkrechten Diagonalen eingeschrieben ist, an, dass der Schnittpunkt der Diagonalen eine Diagonale in Längensegmente unterteilt P 1 und P 2 und teilt die andere Diagonale in Längensegmente Q 1 und Q 2. Dann (Die erste Gleichheit ist Satz 11 von Archimedes) Buch der Lemmas)
Wo D- Durchmesser des Kreises. Dies ist wahr, weil die Diagonalen senkrecht zur Kreissehne verlaufen. Aus diesen Gleichungen folgt der Radius des umschriebenen Kreises R kann geschrieben werden als
oder in Bezug auf die Seiten eines Vierecks in der Form
Daraus folgt auch
- Für eingeschriebene ordiagonale Vierecke gilt der Satz von Brahmagupta:
Wenn ein zyklisches Viereck senkrechte Diagonalen hat, die sich in einem Punkt schneiden , dann zwei Paare davon antimediatris durch einen Punkt gehen .
Kommentar. In diesem Satz unter Anti-Mediatrix das Segment verstehen Viereck in der Abbildung rechts (analog zur Mittelsenkrechten (Mediatrix) zur Seite des Dreiecks). Es steht senkrecht auf einer Seite und verläuft gleichzeitig durch die Mitte der gegenüberliegenden Seite des Vierecks.
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Anmerkungen
- Bradley, Christopher J. (2007), Die Algebra der Geometrie: Kartesische, flächenhafte und projektive Koordinaten,Highperception, p. 179, ISBN 1906338000, OCLC
- . Beschriftete Vierecke.
- Siddons, A. W. & Hughes, R. T. (1929) Trigonometrie, Cambridge University Press, S. 202, O.C.L.C.
- Durell, C. V. & Robson, A. (2003),
, Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 ,
- Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), „“, Forum Geometricorum T. 7: 147–9 ,
- Johnson, Roger A., Erweiterte euklidische Geometrie, Dover Publ., 2007 (ursprünglich 1929).
- Hoehn, Larry (März 2000), „Zirkumradius eines zyklischen Vierecks“, Mathematische Zeitung T. 84 (499): 69–70
- .
- Altshiller-Court, Nathan (2007), Hochschulgeometrie: Eine Einführung in die moderne Geometrie des Dreiecks und des Kreises(2. Aufl.), Courier Dover, S. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC
- Honsberger, Ross (1995), , Episoden der euklidischen Geometrie des 19. und 20. Jahrhunderts, Bd. 37, New Mathematical Library, Cambridge University Press, S. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
- Weisstein, Eric W.(Englisch) auf der Wolfram MathWorld-Website.
- Bradley, Christopher (2011),
,
- .
- Coxeter, Harold Scott MacDonald & Greitzer, Samuel L. (1967), , Geometrie überarbeitet, Mathematical Association of America, S. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
- .
- Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), , Schätze der Mathematikolympiade, Springer, S. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
- .
- Buchholz, R. H. & MacDougall, J. A. (1999), „“, Bulletin der Australian Mathematical Society T. 59 (2): 263–9 , DOI 10.1017/S0004972700032883
- .
- Johnson, Roger A., Erweiterte euklidische Geometrie, Dover Publ. Co., 2007
- , Mit. 74.
- .
- .
- .
- Peter, Thomas (September 2003), „Maximierung der Fläche eines Vierecks“, Das College Mathematics Journal T. 34 (4): 315–6
- Prasolov, Viktor,
,
- Alsina, Claudi & Nelsen, Roger (2009), ,
, Mathematical Association of America, p. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
- Sastry, K.R.S. (2002). "" (PDF). Forum Geometricorum 2 : 167–173.
- Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), , Anspruchsvolle Probleme in der Geometrie(2. Aufl.), Courier Dover, S. 104–5, ISBN 978-0-486-69154-1
- .
- .
- .
siehe auch
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Der Artikel enthält kurze („Harvard“) Verweise auf Veröffentlichungen, die im bibliografischen Teil nicht aufgeführt oder falsch beschrieben sind. Liste defekter Links: , , , , , , , , , – Nun, was, mein Kosak? (Marya Dmitrievna nannte Natascha eine Kosakin) - sagte sie und streichelte Natascha mit ihrer Hand, die sich ihrer Hand ohne Angst und fröhlich näherte. – Ich weiß, dass der Zaubertrank ein Mädchen ist, aber ich liebe sie. Sie holte birnenförmige Yakhon-Ohrringe aus ihrem riesigen Retikül und gab sie Natasha, die zu ihrem Geburtstag strahlte und errötete, wandte sich sofort von ihr ab und wandte sich an Pierre. - Äh, äh! Art! „Komm her“, sagte sie mit gespielt leiser und dünner Stimme. - Komm schon, mein Lieber... Und sie krempelte bedrohlich ihre Ärmel noch höher. Pierre kam näher und sah sie naiv durch seine Brille an. - Komm, komm, mein Lieber! Ich war der Einzige, der deinem Vater die Wahrheit gesagt hat, als er die Gelegenheit dazu hatte, aber Gott befiehlt es dir. Sie hielt inne. Alle schwiegen, warteten darauf, was passieren würde, und hatten das Gefühl, dass es sich nur um ein Vorwort handelte. - Gut, nichts zu sagen! Guter Junge!... Der Vater liegt auf seinem Bett und vergnügt sich damit, den Polizisten auf einen Bären zu setzen. Es ist eine Schande, Vater, es ist eine Schande! Es wäre besser, in den Krieg zu ziehen. Sie wandte sich ab und reichte dem Grafen die Hand, der sich ein Lachen kaum verkneifen konnte. - Nun, komm an den Tisch, ich trinke Tee, ist es Zeit? - sagte Marya Dmitrievna. Der Graf ging mit Marya Dmitrievna voran; dann die Gräfin, die von einem Husarenoberst angeführt wurde, der richtigen Person, mit der Nikolai das Regiment einholen sollte. Anna Michailowna – mit Shinshin. Berg schüttelte Vera die Hand. Eine lächelnde Julie Karagina ging mit Nikolai an den Tisch. Hinter ihnen kamen weitere Paare, die sich über den gesamten Saal erstreckten, und hinter ihnen standen nacheinander Kinder, Erzieher und Gouvernanten. Die Kellner begannen sich zu rühren, die Stühle klapperten, im Chor begann Musik zu spielen und die Gäste nahmen ihre Plätze ein. Die Klänge der Hausmusik des Grafen wurden durch die Geräusche von Messern und Gabeln, das Geplapper der Gäste und die leisen Schritte der Kellner ersetzt. An einem Ende des Tisches saß die Gräfin am Kopfende. Rechts ist Marya Dmitrievna, links Anna Michailowna und andere Gäste. Am anderen Ende saßen der Graf, links der Husarenoberst, rechts Shinshin und weitere männliche Gäste. Auf der einen Seite des langen Tisches stehen ältere junge Leute: Vera neben Berg, Pierre neben Boris; auf der anderen Seite - Kinder, Erzieher und Gouvernanten. Hinter dem Kristall, den Flaschen und Vasen mit Obst blickte der Graf auf seine Frau und ihre hohe Mütze mit blauen Bändern und schenkte seinen Nachbarn fleißig Wein ein, ohne dabei sich selbst zu vergessen. Auch die Gräfin warf hinter den Ananas hervor, ohne ihre Pflichten als Hausfrau zu vergessen, bedeutungsvolle Blicke auf ihren Mann, dessen Glatze und Gesicht sich, wie es ihr schien, durch die Rötung deutlicher von seinen grauen Haaren unterschieden. Bei den Damen gab es ein ständiges Geplapper; In der Herrentoilette wurden die Stimmen immer lauter, besonders die des Husarenobersten, der so viel aß und trank und dabei immer erröteter wurde, dass der Graf ihn den anderen Gästen bereits als Vorbild aufstellte. Mit einem sanften Lächeln sagte Berg zu Vera, dass Liebe kein irdisches, sondern ein himmlisches Gefühl sei. Boris nannte seinen neuen Freund Pierre die Gäste am Tisch und tauschte Blicke mit Natascha, die ihm gegenüber saß. Pierre sprach wenig, schaute neue Gesichter an und aß viel. Ausgehend von zwei Suppen, aus denen er a la Tortue, [Schildkröte] und Kulebyaki bis hin zu Haselhuhn wählte, ließ er kein einziges Gericht und keinen einzigen Wein aus, den ihm der Butler auf geheimnisvolle Weise in einer in eine Serviette gewickelten Flasche hinhielt hinter der Schulter seines Nachbarn hervorrufen und „drey Madeira“, „Ungarisch“ oder „Rheinwein“ sagen. Er stellte das erste der vier Kristallgläser mit dem gräflichen Monogramm vor jedes Gerät und trank genüsslich, wobei er die Gäste mit zunehmend freundlichem Gesichtsausdruck ansah. Natascha, die ihm gegenüber saß, sah Boris an, wie dreizehnjährige Mädchen einen Jungen ansehen, den sie gerade zum ersten Mal geküsst hatten und in den sie verliebt sind. Derselbe Blick von ihr wandte sich manchmal Pierre zu, und unter dem Blick dieses lustigen, lebhaften Mädchens wollte er selbst lachen, ohne zu wissen warum. Nikolai saß weit entfernt von Sonya neben Julie Karagina und sprach wieder mit demselben unwillkürlichen Lächeln zu ihr. Sonya lächelte großartig, wurde aber offenbar von Eifersucht gequält: Sie wurde blass, dann errötete sie und hörte mit aller Kraft zu, was Nikolai und Julie einander sagten. Die Gouvernante blickte sich ruhelos um, als wollte sie sich wehren, falls jemand beschloss, die Kinder zu beleidigen. Der Deutschlehrer versuchte, sich alle möglichen Gerichte, Desserts und Weine einzuprägen, um in einem Brief an seine Familie in Deutschland alles ausführlich zu beschreiben, und war sehr beleidigt darüber, dass der Butler eine in eine Serviette gewickelte Flasche trug ihn herum. Der Deutsche runzelte die Stirn, versuchte zu zeigen, dass er diesen Wein nicht erhalten wollte, war aber beleidigt, weil niemand verstehen wollte, dass er den Wein nicht brauchte, um seinen Durst zu löschen, nicht aus Gier, sondern aus gewissenhafter Neugier. Am männlichen Ende des Tisches wurde das Gespräch immer lebhafter. Der Oberst sagte, dass das Kriegserklärungsmanifest bereits in St. Petersburg veröffentlicht worden sei und dass die Kopie, die er selbst gesehen habe, nun per Kurier dem Oberbefehlshaber zugestellt worden sei. Die Bostoner Tische wurden auseinandergeschoben, die Gesellschaften aufgestellt und die Gäste des Grafen ließen sich in zwei Wohnzimmern, einem Sofazimmer und einer Bibliothek nieder. Pierre saß im Wohnzimmer, wo Shinshin, wie mit einem Besucher aus dem Ausland, mit ihm ein für Pierre langweiliges politisches Gespräch begann, dem sich andere anschlossen. Als die Musik zu spielen begann, betrat Natasha das Wohnzimmer und ging lachend und errötend direkt zu Pierre und sagte: Mitten in der dritten Öko-Sitzung begannen sich die Stühle im Wohnzimmer, in dem der Graf und Marya Dmitrievna spielten, zu bewegen, und die meisten Ehrengäste und alten Leute streckten sich nach langem Sitzen und steckten Brieftaschen und Geldbörsen hinein In ihren Taschen gingen sie aus der Halle. Marya Dmitrievna ging mit dem Grafen voraus – beide mit fröhlichen Gesichtern. Der Graf reichte Marya Dmitrievna mit spielerischer Höflichkeit wie in einem Ballett seine runde Hand. Er richtete sich auf, und sein Gesicht erstrahlte in einem besonders mutigen, verschlagenen Lächeln, und sobald die letzte Figur der Ecosaise getanzt war, klatschte er den Musikern in die Hände und rief dem Chor zu, wobei er sich an die erste Geige wandte: Während die Rostows im Saal zu den Klängen müder, verstimmter Musiker die sechste Anglaise tanzten und müde Kellner und Köche das Abendessen zubereiteten, traf Graf Bezukhy der sechste Schlag. Die Ärzte erklärten, dass es keine Hoffnung auf Genesung gebe; dem Patienten wurde eine stille Beichte und die Kommunion abgelegt; Sie bereiteten sich auf die Salbung vor, und im Haus herrschte die Hektik und Erwartungsangst, die in solchen Momenten üblich sind. Vor dem Haus, hinter den Toren, drängten sich Bestatter, versteckten sich vor den herannahenden Kutschen und warteten auf einen reichen Auftrag für die Beerdigung des Grafen. Der Oberbefehlshaber von Moskau, der ständig Adjutanten schickte, um sich nach der Position des Grafen zu erkundigen, kam an diesem Abend selbst, um sich von dem berühmten Adligen Katharinas, Graf Bezukhim, zu verabschieden. |
Der umschriebene Kreis eines Vierecks. ? ? Ein Kreis kann um ein Viereck beschrieben werden, wenn die Summe der entgegengesetzten Winkel 180° beträgt: ? + ? =? + ? Wenn ein Viereck in einen Kreis eingeschrieben ist, beträgt die Summe der entgegengesetzten Winkel 180°. ? ? A. D. d1. PTOLOMÄUS-SATZ Die Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten ist gleich dem Produkt der Diagonalen: ac + bd = d1 d2. d2. B. C. B. Fläche eines Vierecks. A. C. D. Wobei p der Halbumfang des Vierecks ist.
Folie 9 aus der Präsentation „Radius des eingeschriebenen und umschriebenen Kreises“. Die Größe des Archivs mit der Präsentation beträgt 716 KB.Geometrie 9. Klasse
Zusammenfassung anderer Vorträge„Der Goldene Schnitt im Leben“ – Die Goldene Spirale in der Kunst. Eine Reise in die Geschichte der Mathematik. Valuyki. Leinwand. Malerei und der Goldene Schnitt. Goldene Spirale in der Natur. Der Goldene Schnitt ist in den Proportionen des menschlichen Körpers verankert. Architekt M.F. Kasakow. Das Konzept des Goldenen Schnitts. Aufteilung eines Segments. Goldener Schnitt in der Natur. Goldene Spirale. Wissenschaftlicher Apparat. Goldener Schnitt in Architektur und Kunst. Goldenes Rechteck. Was ist der Goldene Schnitt?
„So finden Sie das Skalarprodukt von Vektoren“ – Finden Sie das Skalarprodukt von Vektoren. Quadrat. ABCD ist ein Quadrat. Setze das fehlende Wort ein. Av = Sonne = Wechselstrom. Skalarprodukt. Wähle die richtige Antwort. Finden Sie die Seiten und Winkel des Dreiecks. Seiten eines Dreiecks. Machen Sie den Schülern den Satz über die Bestimmung des Skalarprodukts von Vektoren bekannt. Av = sun = ac = 2. Skalarprodukt von Vektoren. Winkel zwischen Vektoren. Füllen Sie die Tabelle aus.
„Arten und Eigenschaften von Dreiecken“ – Fläche eines Dreiecks. Koordinatenprobleme. Letzte Wiederholung der Geometrie. Eigenschaften. Regelmäßiges Dreieck. Dreieck. Überprüfe dich selbst. Mittelpunkt des Umkreises. Die relative Position des Dreiecks und der Segmente. Gleichschenkligen Dreiecks. Rechtwinkliges Dreieck. Halbierende.
„„Dreiecke“ 9. Klasse“ – Gleichschenklige. Dreiecke. Winkelsumme eines Dreiecks. Rechteckig. Halbierende. Gleichseitig. Mittellinie. Senkrechte Winkelhalbierende. Median. Dreiecke. Ein stumpfes Dreieck ist ein Dreieck, bei dem einer der Winkel stumpf ist. Die Beziehung zwischen den Seiten und Winkeln eines Dreiecks. Dreiecksungleichung. Außenecke. Höhe.
„Umfang und Kreis“ – Ermitteln Sie den Umfang eines Kreises. Fläche eines Kreises. Berechnung. Finden Sie den Radius des Kreises. Vervollständigen Sie die Aussage. Kreis. Kreissektor. Berechnen Sie die Länge des Äquators. Umfang. Unabhängige Arbeit. Kreis. Ein Spiel. Finden Sie die Fläche der schattierten Figur. Zeichnen Sie einen Kreis mit Mittelpunkt K und Radius 2 cm.
„Fragen zu Polyedern“ – Welche geometrische Figur erhält man beim Schnitt des Zylinders? Rechteck. Gewinnung einiger Feststoffe von Archimedes. V = abc. Zylinderhöhe. Würfel, Parallelepiped, Pyramide. Einige geometrische Körper. Finden Sie das Volumen des in der Abbildung gezeigten Aquariums. Welche Objekte haben eine zylindrische Form? Kegel. Warum haben Sie Würfel, Parallelepiped und Pyramide als Polyeder klassifiziert? Eine Kugel und ein Globus sind Kugeln. Kugel, Zylinder, Kegel, Kegelstumpf.