Mit der Standardform $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, wobei die linke Seite das totale Differential einer Funktion $F ist \left( x,y\right)$ wird als totale Differentialgleichung bezeichnet.

Die Gleichung in totalen Differentialen kann immer als $dF\left(x,y\right)=0$ umgeschrieben werden, wobei $F\left(x,y\right)$ eine Funktion ist, so dass $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Integrieren wir beide Seiten der Gleichung $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; Das Integral der Null auf der rechten Seite ist gleich einer beliebigen Konstante $C$. Somit ist die allgemeine Lösung dieser Gleichung in impliziter Form $F\left(x,y\right)=C$.

Damit eine gegebene Differentialgleichung eine Gleichung in Gesamtdifferentialen ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Bedingung $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ gilt Sei zufrieden. Wenn die angegebene Bedingung erfüllt ist, gibt es eine Funktion $F\left(x,y\right)$, für die wir schreiben können: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, woraus wir zwei Beziehungen erhalten : $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ und $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right )$.

Wir integrieren die erste Beziehung $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ über $x$ und erhalten $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, wobei $U\left(y\right)$ eine beliebige Funktion von $y$ ist.

Wählen wir es so, dass die zweite Beziehung $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ erfüllt ist. Dazu differenzieren wir die resultierende Beziehung für $F\left(x,y\right)$ nach $y$ und setzen das Ergebnis mit $Q\left(x,y\right)$ gleich. Wir erhalten: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\right)$.

Die weitere Lösung lautet:

• aus der letzten Gleichung finden wir $U"\left(y\right)$;
• integriere $U"\left(y\right)$ und finde $U\left(y\right)$;
• setze $U\left(y\right)$ in die Gleichung $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) ein $ und schließlich erhalten wir die Funktion $F\left(x,y\right)$.

\

Wir finden den Unterschied:

Wir integrieren $U"\left(y\right)$ über $y$ und finden $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Finden Sie das Ergebnis: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Wir schreiben die allgemeine Lösung in der Form $F\left(x,y\right)=C$, nämlich:

Finden Sie eine bestimmte Lösung $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, wobei $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Die Teillösung hat die Form: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

einige Funktionen. Wenn wir eine Funktion aus ihrem Gesamtdifferential wiederherstellen, finden wir das allgemeine Integral der Differentialgleichung. Im Folgenden werden wir darüber sprechen Methode zur Wiederherstellung einer Funktion aus ihrem Gesamtdifferential.

Die linke Seite einer Differentialgleichung ist das Gesamtdifferential einer Funktion U(x, y) = 0, wenn die Bedingung erfüllt ist.

Weil volle Differentialfunktion U(x, y) = 0 Das , was bedeutet, dass bei Erfüllung der Bedingung angegeben wird, dass .

Dann, .

Aus der ersten Gleichung des Systems erhalten wir . Wir finden die Funktion mithilfe der zweiten Gleichung des Systems:

Auf diese Weise finden wir die gewünschte Funktion U(x, y) = 0.

Beispiel.

Lassen Sie uns die allgemeine Lösung des DE finden .

Lösung.

In unserem Beispiel. Die Bedingung ist erfüllt, weil:

Dann ist die linke Seite der anfänglichen Differentialgleichung das Gesamtdifferential einer Funktion U(x, y) = 0. Wir müssen diese Funktion finden.

Weil ist das totale Differential der Funktion U(x, y) = 0, Bedeutet:

.

Wir integrieren durch X 1. Gleichung des Systems und differenzieren nach j Ergebnis:

.

Aus der 2. Gleichung des Systems erhalten wir . Bedeutet:

Wo MIT- Willkürliche Konstante.

Somit wird das allgemeine Integral der gegebenen Gleichung sein .

Es gibt noch einen zweiten Methode zur Berechnung einer Funktion aus ihrem Gesamtdifferential. Es besteht darin, das Linienintegral eines festen Punktes zu bilden (x 0 , y 0) zu einem Punkt mit variablen Koordinaten (x, y): . In diesem Fall ist der Wert des Integrals unabhängig vom Integrationsweg. Es ist zweckmäßig, als Integrationspfad eine gestrichelte Linie zu verwenden, deren Verbindungen parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.

Beispiel.

Lassen Sie uns die allgemeine Lösung des DE finden .

Lösung.

Wir prüfen die Erfüllung der Bedingung:

Somit ist die linke Seite der Differentialgleichung das vollständige Differential einer Funktion U(x, y) = 0. Finden wir diese Funktion, indem wir das krummlinige Integral des Punktes berechnen (1; 1) Vor (x, y). Als Integrationsweg nehmen wir eine gestrichelte Linie: Der erste Abschnitt der gestrichelten Linie wird entlang einer Geraden geführt y = 1 vom Punkt (1, 1) Vor (x, 1), der zweite Abschnitt des Pfades nimmt ein gerades Liniensegment vom Punkt (x, 1) Vor (x, y):

Die allgemeine Lösung der Fernbedienung sieht also so aus: .

Beispiel.

Bestimmen wir die allgemeine Lösung des DE.

Lösung.

Weil , was bedeutet, dass die Bedingung nicht erfüllt ist, dann ist die linke Seite der Differentialgleichung kein vollständiges Differential der Funktion und Sie müssen die zweite Lösungsmethode verwenden (diese Gleichung ist eine Differentialgleichung mit trennbaren Variablen).

In diesem Thema betrachten wir die Methode zur Rekonstruktion einer Funktion aus ihrem Gesamtdifferential und geben Beispiele für Probleme mit einer vollständigen Analyse der Lösung.

Es kommt vor, dass Differentialgleichungen (DE) der Form P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 vollständige Differentialgleichungen einiger Funktionen auf den linken Seiten enthalten können. Dann können wir das allgemeine Integral der Differentialgleichung finden, wenn wir zunächst die Funktion aus ihrem Gesamtdifferential rekonstruieren.

Beispiel 1

Betrachten Sie die Gleichung P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Die linke Seite enthält das Differential einer bestimmten Funktion U(x, y) = 0. Dazu muss die Bedingung ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x erfüllt sein.

Das Gesamtdifferential der Funktion U (x, y) = 0 hat die Form d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Unter Berücksichtigung der Bedingung ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x erhalten wir:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Durch Transformation der ersten Gleichung aus dem resultierenden Gleichungssystem erhalten wir:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Wir können die Funktion φ (y) aus der zweiten Gleichung des zuvor erhaltenen Systems finden:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

So haben wir die gesuchte Funktion U (x, y) = 0 gefunden.

Beispiel 2

Finden Sie die allgemeine Lösung für die Differentialgleichung (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

Lösung

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Überprüfen wir, ob die Bedingung ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x erfüllt ist:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Unsere Bedingung ist erfüllt.

Basierend auf Berechnungen können wir schließen, dass die linke Seite der ursprünglichen Differentialgleichung das Gesamtdifferential einer Funktion U (x, y) = 0 ist. Wir müssen diese Funktion finden.

Da (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y das Gesamtdifferential der Funktion U (x, y) = 0 ist, dann

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Integrieren wir die erste Gleichung des Systems bezüglich x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Nun differenzieren wir das resultierende Ergebnis nach y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Wenn wir die zweite Gleichung des Systems umwandeln, erhalten wir: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Das bedeutet es
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

wobei C eine beliebige Konstante ist.

Wir erhalten: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Das allgemeine Integral der ursprünglichen Gleichung ist x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Schauen wir uns eine andere Methode zum Finden einer Funktion mithilfe eines bekannten Gesamtdifferentials an. Dabei wird ein krummliniges Integral von einem festen Punkt (x 0, y 0) zu einem Punkt mit variablen Koordinaten (x, y) verwendet:

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

In solchen Fällen hängt der Wert des Integrals in keiner Weise vom Integrationsweg ab. Als Integrationspfad können wir eine gestrichelte Linie nehmen, deren Verbindungen parallel zu den Koordinatenachsen liegen.

Beispiel 3

Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Lösung

Überprüfen wir, ob die Bedingung ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x erfüllt ist:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Es stellt sich heraus, dass die linke Seite der Differentialgleichung durch das Gesamtdifferential einer Funktion U (x, y) = 0 dargestellt wird. Um diese Funktion zu finden, muss das Linienintegral des Punktes berechnet werden (1 ; 1) Vor (x, y). Nehmen wir als Integrationsweg eine gestrichelte Linie, deren Abschnitte geradlinig verlaufen y = 1 von Punkt (1, 1) nach (x, 1) und dann von Punkt (x, 1) nach (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Wir haben eine allgemeine Lösung einer Differentialgleichung der Form x y - x y 2 + C = 0 erhalten.

Beispiel 4

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Lösung

Überprüfen wir, ob die Bedingung ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x erfüllt ist.

Da ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, ist die Bedingung nicht erfüllt. Das bedeutet, dass die linke Seite der Differentialgleichung nicht das vollständige Differential der Funktion ist. Dabei handelt es sich um eine Differentialgleichung mit separierbaren Variablen, zu deren Lösung andere Lösungen geeignet sind.

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Differential wird als Gleichung der Form bezeichnet

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 ,

wobei die linke Seite das Gesamtdifferential einer beliebigen Funktion zweier Variablen ist.

Bezeichnen wir die unbekannte Funktion zweier Variablen (diese muss beim Lösen von Gleichungen in Totaldifferentialen gefunden werden) mit F und wir werden bald darauf zurückkommen.

Das erste, worauf Sie achten sollten, ist, dass auf der rechten Seite der Gleichung eine Null stehen muss und das Vorzeichen, das die beiden Terme auf der linken Seite verbindet, ein Plus sein muss.

Zweitens muss eine gewisse Gleichheit beachtet werden, die bestätigt, dass es sich bei dieser Differentialgleichung um eine Gleichung für Gesamtdifferentiale handelt. Diese Prüfung ist ein obligatorischer Bestandteil des Algorithmus zum Lösen von Gleichungen in totalen Differentialgleichungen (sie befindet sich im zweiten Absatz dieser Lektion), also des Prozesses zum Finden einer Funktion F ziemlich arbeitsintensiv und es ist wichtig, in der Anfangsphase sicherzustellen, dass wir keine Zeit verschwenden.

Die unbekannte Funktion, die gefunden werden muss, wird also mit bezeichnet F. Die Summe der partiellen Differentiale für alle unabhängigen Variablen ergibt das Gesamtdifferential. Wenn es sich bei der Gleichung also um eine totale Differentialgleichung handelt, ist die linke Seite der Gleichung die Summe der partiellen Differentialgleichungen. Dann per Definition

dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy .

Erinnern wir uns an die Formel zur Berechnung des Gesamtdifferentials einer Funktion zweier Variablen:

Wenn wir die letzten beiden Gleichungen lösen, können wir schreiben

.

Wir unterscheiden die erste Gleichheit in Bezug auf die Variable „y“, die zweite – in Bezug auf die Variable „x“:

.

Dies ist eine Bedingung dafür, dass eine gegebene Differentialgleichung tatsächlich eine totale Differentialgleichung ist.

Algorithmus zur Lösung von Differentialgleichungen in totalen Differentialgleichungen

Schritt 1. Stellen Sie sicher, dass die Gleichung eine totale Differentialgleichung ist. Damit der Ausdruck stimmt war das totale Differential einer Funktion F(x, y) ist notwendig und ausreichend, damit . Mit anderen Worten: Sie müssen die partielle Ableitung nach bilden X und die partielle Ableitung nach j ein anderer Term und wenn diese Ableitungen gleich sind, dann ist die Gleichung eine totale Differentialgleichung.

Schritt 2. Schreiben Sie ein System partieller Differentialgleichungen auf, aus denen die Funktion besteht F:

Schritt 3. Integrieren Sie die erste Gleichung des Systems - durch X (j F:

,
j.

Eine alternative Möglichkeit (wenn es einfacher ist, das Integral auf diese Weise zu finden) besteht darin, die zweite Gleichung des Systems zu integrieren – by j (X bleibt eine Konstante und wird aus dem Integralzeichen herausgenommen). Dadurch wird auch die Funktion wiederhergestellt F:

,
wo ist eine noch unbekannte Funktion von X.

Schritt 4. Das Ergebnis von Schritt 3 (das gefundene allgemeine Integral) wird differenziert durch j(alternativ - gem X) und entsprechen der zweiten Gleichung des Systems:

,

und in einer alternativen Version - zur ersten Gleichung des Systems:

.

Aus der resultierenden Gleichung ermitteln wir (alternativ)

Schritt 5. Das Ergebnis von Schritt 4 ist das Integrieren und Finden (alternativ find ).

Schritt 6. Ersetzen Sie das Ergebnis von Schritt 5 durch das Ergebnis von Schritt 3 – in die durch teilweise Integration wiederhergestellte Funktion F. Willkürliche Konstante C wird oft nach dem Gleichheitszeichen geschrieben – auf der rechten Seite der Gleichung. Somit erhalten wir eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung in totalen Differentialen. Es hat, wie bereits erwähnt, die Form F(x, y) = C.

Beispiele für Lösungen von Differentialgleichungen in totalen Differentialgleichungen

Beispiel 1.

Schritt 1. Gleichung in totalen Differentialen X ein Begriff auf der linken Seite des Ausdrucks

und die partielle Ableitung nach j ein anderer Begriff
Gleichung in totalen Differentialen .

Schritt 2. F:

Schritt 3. Von X (j bleibt eine Konstante und wird aus dem Integralzeichen herausgenommen). Somit stellen wir die Funktion wieder her F:

wo ist eine noch unbekannte Funktion von j.

Schritt 4. j

.

.

Schritt 5.

Schritt 6. F. Willkürliche Konstante C :
.

Welcher Fehler tritt hier am wahrscheinlichsten auf? Die häufigsten Fehler bestehen darin, für das übliche Integral eines Funktionsprodukts ein partielles Integral über eine der Variablen zu nehmen und zu versuchen, nach Teilen oder einer Ersatzvariablen zu integrieren, und auch die partielle Ableitung zweier Faktoren als Ableitung von a zu nehmen Produkt von Funktionen und suchen Sie die Ableitung anhand der entsprechenden Formel.

Dies muss beachtet werden: Bei der Berechnung eines partiellen Integrals nach einer der Variablen ist die andere eine Konstante und wird aus dem Vorzeichen des Integrals herausgenommen, bei der Berechnung der partiellen Ableitung nach einer der Variablen die andere ist ebenfalls eine Konstante und die Ableitung des Ausdrucks ergibt sich als Ableitung der „wirkenden“ Variablen multipliziert mit der Konstante.

Unter Gleichungen in totalen Differentialen Es ist nicht ungewöhnlich, Beispiele mit einer Exponentialfunktion zu finden. Dies ist das nächste Beispiel. Es zeichnet sich auch dadurch aus, dass seine Lösung eine alternative Option verwendet.

Beispiel 2. Differentialgleichung lösen

.

Schritt 1. Stellen wir sicher, dass die Gleichung stimmt Gleichung in totalen Differentialen . Dazu ermitteln wir die partielle Ableitung nach X ein Begriff auf der linken Seite des Ausdrucks

und die partielle Ableitung nach j ein anderer Begriff
. Diese Ableitungen sind gleich, was bedeutet, dass die Gleichung gilt Gleichung in totalen Differentialen .

Schritt 2. Schreiben wir ein System partieller Differentialgleichungen, aus denen die Funktion besteht F:

Schritt 3. Integrieren wir die zweite Gleichung des Systems - by j (X bleibt eine Konstante und wird aus dem Integralzeichen herausgenommen). Somit stellen wir die Funktion wieder her F:

wo ist eine noch unbekannte Funktion von X.

Schritt 4. Wir differenzieren das Ergebnis von Schritt 3 (das gefundene allgemeine Integral) nach X

und entsprechen der ersten Gleichung des Systems:

Aus der resultierenden Gleichung ermitteln wir:
.

Schritt 5. Wir integrieren das Ergebnis von Schritt 4 und finden:
.

Schritt 6. Wir ersetzen das Ergebnis von Schritt 5 durch das Ergebnis von Schritt 3 – in die durch teilweise Integration wiederhergestellte Funktion F. Willkürliche Konstante C schreibe nach dem Gleichheitszeichen. Somit erhalten wir die Summe Lösen einer Differentialgleichung in totalen Differentialen :
.

Im folgenden Beispiel kehren wir von einer alternativen Option zur Hauptoption zurück.

Beispiel 3. Differentialgleichung lösen

Schritt 1. Stellen wir sicher, dass die Gleichung stimmt Gleichung in totalen Differentialen . Dazu ermitteln wir die partielle Ableitung nach j ein Begriff auf der linken Seite des Ausdrucks

und die partielle Ableitung nach X ein anderer Begriff
. Diese Ableitungen sind gleich, was bedeutet, dass die Gleichung gilt Gleichung in totalen Differentialen .

Schritt 2. Schreiben wir ein System partieller Differentialgleichungen, aus denen die Funktion besteht F:

Schritt 3. Integrieren wir die erste Gleichung des Systems - Von X (j bleibt eine Konstante und wird aus dem Integralzeichen herausgenommen). Somit stellen wir die Funktion wieder her F:

wo ist eine noch unbekannte Funktion von j.

Schritt 4. Wir differenzieren das Ergebnis von Schritt 3 (das gefundene allgemeine Integral) nach j

und entsprechen der zweiten Gleichung des Systems:

Aus der resultierenden Gleichung ermitteln wir:
.

Schritt 5. Wir integrieren das Ergebnis von Schritt 4 und finden:

Schritt 6. Wir ersetzen das Ergebnis von Schritt 5 durch das Ergebnis von Schritt 3 – in die durch teilweise Integration wiederhergestellte Funktion F. Willkürliche Konstante C schreibe nach dem Gleichheitszeichen. Somit erhalten wir die Summe Lösen einer Differentialgleichung in totalen Differentialen :
.

Beispiel 4. Differentialgleichung lösen

Schritt 1. Stellen wir sicher, dass die Gleichung stimmt Gleichung in totalen Differentialen . Dazu ermitteln wir die partielle Ableitung nach j ein Begriff auf der linken Seite des Ausdrucks

und die partielle Ableitung nach X ein anderer Begriff
. Diese Ableitungen sind gleich, was bedeutet, dass die Gleichung eine totale Differentialgleichung ist.

Schritt 2. Schreiben wir ein System partieller Differentialgleichungen, aus denen die Funktion besteht F:

Schritt 3. Integrieren wir die erste Gleichung des Systems - Von X (j bleibt eine Konstante und wird aus dem Integralzeichen herausgenommen). Somit stellen wir die Funktion wieder her F:

wo ist eine noch unbekannte Funktion von j.

Schritt 4. Wir differenzieren das Ergebnis von Schritt 3 (das gefundene allgemeine Integral) nach j

und entsprechen der zweiten Gleichung des Systems:

Aus der resultierenden Gleichung ermitteln wir:
.

Schritt 5. Wir integrieren das Ergebnis von Schritt 4 und finden:

Schritt 6. Wir ersetzen das Ergebnis von Schritt 5 durch das Ergebnis von Schritt 3 – in die durch teilweise Integration wiederhergestellte Funktion F. Willkürliche Konstante C schreibe nach dem Gleichheitszeichen. Somit erhalten wir die Summe Lösen einer Differentialgleichung in totalen Differentialen :
.

Beispiel 5. Differentialgleichung lösen

.

Schritt 1. Stellen wir sicher, dass die Gleichung stimmt Gleichung in totalen Differentialen . Dazu ermitteln wir die partielle Ableitung nach j ein Begriff auf der linken Seite des Ausdrucks

und die partielle Ableitung nach X ein anderer Begriff
. Diese Ableitungen sind gleich, was bedeutet, dass die Gleichung gilt Gleichung in totalen Differentialen .

Definition 8.4. Differentialgleichung der Form

Wo
heißt totale Differentialgleichung.

Beachten Sie, dass die linke Seite einer solchen Gleichung das Gesamtdifferential einer Funktion ist
.

Im Allgemeinen kann Gleichung (8.4) dargestellt werden als:

Anstelle der Gleichung (8.5) können wir die Gleichung betrachten

,

deren Lösung das allgemeine Integral der Gleichung (8.4) ist. Um Gleichung (8.4) zu lösen, ist es daher notwendig, die Funktion zu finden
. Gemäß der Definition von Gleichung (8.4) gilt

(8.6)

Funktion
Wir werden nach einer Funktion suchen, die eine dieser Bedingungen (8.6) erfüllt:

Wo - eine beliebige Funktion unabhängig von .

Funktion
ist so definiert, dass die zweite Bedingung des Ausdrucks (8.6) erfüllt ist

(8.7)

Aus Ausdruck (8.7) wird die Funktion bestimmt
. Ersetzen Sie es in den Ausdruck for
und erhalten Sie das allgemeine Integral der ursprünglichen Gleichung.

Aufgabe 8.3. Gleichung integrieren

Hier
.

Daher gehört diese Gleichung zur Art der Differentialgleichungen in totalen Differentialgleichungen. Funktion
Wir werden im Formular danach suchen

.

Andererseits,

.

In einigen Fällen der Zustand
möglicherweise nicht erfüllt.

Anschließend werden solche Gleichungen durch Multiplikation mit dem sogenannten Integrierfaktor, der im allgemeinen Fall nur eine Funktion ist, auf den betrachteten Typ reduziert oder .

Wenn eine Gleichung einen integrierenden Faktor hat, hängt dieser nur davon ab , dann wird es durch die Formel bestimmt

Wo ist der Zusammenhang? sollte nur eine Funktion sein .

Ebenso hängt der Integrationsfaktor nur davon ab , wird durch die Formel bestimmt

Wo ist der Zusammenhang?
sollte nur eine Funktion sein .

Im ersten Fall fehlt in den gegebenen Beziehungen die Variable und im zweiten - die Variable , sind ein Zeichen für die Existenz eines integrierenden Faktors für eine gegebene Gleichung.

Aufgabe 8.4. Reduzieren Sie diese Gleichung auf eine Gleichung in totalen Differentialen.

.

Betrachten Sie die Beziehung:

.

Thema 8.2. Lineare Differentialgleichungen

Definition 8.5. Differentialgleichung
heißt linear, wenn sie bezüglich der gewünschten Funktion linear ist , seine Ableitung und enthält nicht das Produkt der gewünschten Funktion und ihrer Ableitung.

Die allgemeine Form einer linearen Differentialgleichung wird durch die folgende Beziehung dargestellt:

(8.8)

Wenn in Beziehung (8.8) die rechte Seite
, dann heißt eine solche Gleichung linear homogen. Für den Fall, dass die rechte Seite
, dann heißt eine solche Gleichung linear inhomogen.

Zeigen wir, dass Gleichung (8.8) in Quadraturen integriert werden kann.

Im ersten Schritt betrachten wir eine lineare homogene Gleichung.

Eine solche Gleichung ist eine Gleichung mit separierbaren Variablen. Wirklich,

;

/

Die letzte Beziehung bestimmt die allgemeine Lösung einer linearen homogenen Gleichung.

Um eine allgemeine Lösung einer linearen inhomogenen Gleichung zu finden, wird die Methode der Variation der Ableitung einer Konstanten verwendet. Die Idee der Methode besteht darin, dass die allgemeine Lösung einer linearen inhomogenen Gleichung dieselbe Form hat wie die Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung, jedoch eine beliebige Konstante ist durch eine Funktion ersetzt
bestimmt werden. Also haben wir:

(8.9)

Einsetzen der entsprechenden Ausdrücke in die Beziehung (8.8).
Und
, wir bekommen

Wenn wir den letzten Ausdruck in die Beziehung (8.9) einsetzen, erhalten wir das allgemeine Integral der linearen inhomogenen Gleichung.

Somit wird die allgemeine Lösung einer linearen inhomogenen Gleichung durch zwei Quadraturen bestimmt: die allgemeine Lösung einer linearen homogenen Gleichung und eine bestimmte Lösung einer linearen inhomogenen Gleichung.

Aufgabe 8.5. Gleichung integrieren

Somit gehört die ursprüngliche Gleichung zur Art der linearen inhomogenen Differentialgleichungen.

Im ersten Schritt werden wir eine allgemeine Lösung für eine lineare homogene Gleichung finden.

;

Im zweiten Schritt bestimmen wir die allgemeine Lösung der linearen inhomogenen Gleichung, die in der Form gefunden wird

,

Wo
- Zu bestimmende Funktion.

Also haben wir:

Ersetzen der Beziehungen durch Und in die ursprüngliche lineare inhomogene Gleichung erhalten wir:

;

;

.

Die allgemeine Lösung einer linearen inhomogenen Gleichung hat die Form:

.