Im vorherigen Kapitel wurde gezeigt, dass wir durch die Wahl eines bestimmten Koordinatensystems auf der Ebene die geometrischen Eigenschaften, die die Punkte der betrachteten Linie charakterisieren, analytisch durch eine Gleichung zwischen den aktuellen Koordinaten ausdrücken können. Somit erhalten wir die Geradengleichung. In diesem Kapitel werden die Geradengleichungen betrachtet.

Um die Gleichung einer Geraden in kartesischen Koordinaten zu formulieren, müssen Sie irgendwie die Bedingungen festlegen, die ihre Position relativ zu den Koordinatenachsen bestimmen.

Zunächst führen wir das Konzept der Steigung einer Geraden ein, eine der Größen, die die Position einer Geraden auf einer Ebene charakterisieren.

Nennen wir den Neigungswinkel der Linie zur Ox-Achse den Winkel, um den die Ox-Achse gedreht werden muss, damit sie mit der gegebenen Linie übereinstimmt (oder sich als parallel dazu herausstellt). Wie üblich berücksichtigen wir den Winkel unter Berücksichtigung des Vorzeichens (das Vorzeichen wird durch die Drehrichtung bestimmt: gegen den Uhrzeigersinn oder im Uhrzeigersinn). Da eine zusätzliche Drehung der Ox-Achse um einen Winkel von 180° diese wieder mit der Geraden verbindet, kann der Neigungswinkel der Geraden zur Achse mehrdeutig gewählt werden (bis zu einem Vielfachen von ).

Der Tangens dieses Winkels ist eindeutig bestimmt (da eine Änderung des Winkels nicht seinen Tangens ändert).

Die Tangente des Neigungswinkels einer Geraden an die x-Achse wird Steigung der Geraden genannt.

Die Steigung charakterisiert die Richtung der Geraden (hier wird nicht zwischen zwei einander entgegengesetzten Richtungen der Geraden unterschieden). Wenn die Steigung der Geraden Null ist, dann verläuft die Gerade parallel zur x-Achse. Bei einer positiven Steigung ist der Neigungswinkel der Geraden zur Ox-Achse steil (wir betrachten hier den kleinsten positiven Wert des Neigungswinkels) (Abb. 39); In diesem Fall ist der Neigungswinkel zur Ox-Achse umso größer, je größer die Steigung ist. Wenn die Steigung negativ ist, ist der Neigungswinkel der Geraden zur x-Achse stumpf (Abb. 40). Beachten Sie, dass eine Gerade senkrecht zur x-Achse keine Steigung hat (die Tangente eines Winkels existiert nicht).

Numerisch gleich dem Tangens des Winkels (der die kleinste Drehung von der Ox-Achse zur Oy-Achse darstellt) zwischen der positiven Richtung der x-Achse und der gegebenen geraden Linie.

Der Tangens eines Winkels kann als Verhältnis des gegenüberliegenden zum benachbarten Schenkel berechnet werden. k ist immer gleich , also die Ableitung der Geradengleichung nach X.

Mit positiven Werten des Winkelkoeffizienten k und Nullwert des Verschiebungskoeffizienten B Die Linie liegt im ersten und dritten Quadranten (in dem). X Und j sowohl positiv als auch negativ). Gleichzeitig große Werte des Winkelkoeffizienten k eine steilere Gerade entspricht dem, eine kleinere eine flachere.

Linien und sind senkrecht, wenn und parallel, wenn.

Anmerkungen

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

Sehen Sie, was „Liniensteigung“ in anderen Wörterbüchern ist:

Steigung (gerade)- — Themen Öl- und Gasindustrie EN Steigung … Handbuch für technische Übersetzer

- (mathematische) Zahl k in der Gleichung einer Geraden auf der Ebene y \u003d kx + b (siehe Analytische Geometrie), die die Steigung der Geraden relativ zur Abszissenachse charakterisiert. In einem rechteckigen Koordinatensystem U. zu. k \u003d tg φ, wobei φ der Winkel zwischen ... ... ist Große sowjetische Enzyklopädie

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Nicht zu verwechseln mit dem Begriff „Ellipse“. Ellipse und ihre Brennpunkte Ellipse (anderes griechisches ἔλλειψις Nachteil, im Sinne fehlender Exzentrizität bis 1) der Ort der Punkte M der euklidischen Ebene, für den die Summe der Abstände von zwei gegebenen Punkten F1 ... ... Wikipedia

Lernen Sie, Ableitungen von Funktionen zu bilden. Die Ableitung charakterisiert die Änderungsrate einer Funktion an einem bestimmten Punkt auf dem Graphen dieser Funktion. In diesem Fall kann der Graph entweder eine gerade Linie oder eine gekrümmte Linie sein. Das heißt, die Ableitung charakterisiert die Änderungsrate der Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt. Denken Sie an die allgemeinen Regeln für die Bildung von Ableitungen und fahren Sie erst dann mit dem nächsten Schritt fort.

• Lesen Sie den Artikel.
• Es wird beschrieben, wie man die einfachsten Ableitungen bildet, beispielsweise die Ableitung einer Exponentialgleichung. Die in den folgenden Schritten dargestellten Berechnungen basieren auf den dort beschriebenen Methoden.

Lernen Sie, zwischen Problemen zu unterscheiden, bei denen die Steigung anhand der Ableitung einer Funktion berechnet werden muss. Bei Aufgaben wird nicht immer empfohlen, die Steigung oder Ableitung einer Funktion zu ermitteln. Beispielsweise werden Sie möglicherweise gebeten, die Änderungsrate einer Funktion am Punkt A(x, y) zu ermitteln. Möglicherweise werden Sie auch gebeten, die Steigung der Tangente am Punkt A(x, y) zu ermitteln. In beiden Fällen ist es notwendig, die Ableitung der Funktion zu bilden.

Bilden Sie die Ableitung der gegebenen Funktion. Sie müssen hier keinen Graphen erstellen, sondern nur die Gleichung der Funktion. Nehmen Sie in unserem Beispiel die Ableitung der Funktion f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). Nehmen Sie die Ableitung gemäß den im oben genannten Artikel beschriebenen Methoden:

Setzen Sie die Koordinaten des Ihnen angegebenen Punktes in die gefundene Ableitung ein, um die Steigung zu berechnen. Die Ableitung der Funktion ist gleich der Steigung an einem bestimmten Punkt. Mit anderen Worten, f "(x) ist die Steigung der Funktion an jedem Punkt (x, f (x)). In unserem Beispiel:

Auf einer Ebene, in der es ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem gibt, sei eine Gerade l geht durch den Punkt M 0 parallel zum Richtungsvektor A (Abb. 96).

Wenn gerade l kreuzt die O-Achse X(am Punkt N), dann im Winkel einer Geraden l mit O-Achse X Wir werden den Winkel α verstehen, um den die Achse O gedreht werden muss X um den Punkt N in entgegengesetzter Richtung zur Drehung des Uhrzeigers, so dass die Achse O X fiel mit der Linie zusammen l. (Dies bezieht sich auf einen Winkel von weniger als 180°.)

Diese Ecke heißt Neigungswinkel gerade. Wenn gerade l parallel zur O-Achse X, dann wird der Neigungswinkel mit Null angenommen (Abb. 97).

Der Tangens der Steigung einer Geraden heißt Steigung einer Geraden und wird normalerweise mit dem Buchstaben bezeichnet k:

tgα = k. (1)

Wenn α = 0, dann k= 0; das bedeutet, dass die Linie parallel zur o-Achse verläuft X und seine Steigung ist Null.

Wenn α = 90°, dann k= tg α macht keinen Sinn: Dies bedeutet, dass die Linie senkrecht zur O-Achse ist X(d. h. parallel zur O-Achse bei), hat keine Steigung.

Die Steigung einer Geraden kann berechnet werden, wenn die Koordinaten zweier beliebiger Punkte dieser Geraden bekannt sind. Gegeben seien zwei Punkte einer Geraden: M 1 ( X 1 ; bei 1) und M 2 ( X 2 ; bei 2) und sei zum Beispiel 0< α < 90°, а X 2 > X 1 , bei 2 > bei 1 (Abb. 98).

Dann finden wir aus einem rechtwinkligen Dreieck M 1 PM 2

$$ k=tga = \frac(|M_2 P|)(|M_1 P|) = \frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) $$

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) \;\; (2)$$

Ebenso beweisen wir, dass Formel (2) auch im Fall von 90° gilt< α < 180°.

Formel (2) verliert ihre Bedeutung, wenn X 2 - X 1 = 0, d. h. wenn die Zeile l parallel zur O-Achse bei. Für solche Linien existiert die Steigung nicht.

Aufgabe 1. Bestimmen Sie die Steigung des Primas, der durch die Punkte verläuft

M 1 (3; -5) und M 2 (5; -7).

Wenn wir die Koordinaten der Punkte M 1 und M 2 in Formel (2) einsetzen, erhalten wir

\(k=\frac(-7-(-5))(5-3) \) oder k = -1

Aufgabe 2. Bestimmen Sie die Steigung der Geraden, die durch die Punkte M 1 (3; 5) und M 2 (3; -2) verläuft.

Als X 2 - X 1 = 0, dann verliert Gleichheit (2) ihre Bedeutung. Denn diese direkte Steigung existiert nicht. Die Gerade M 1 M 2 verläuft parallel zur O-Achse bei.

Aufgabe 3. Bestimmen Sie die Steigung der Geraden, die durch den Ursprung und Punkt M 1 (3; -5) verläuft.

In diesem Fall fällt der Punkt M 2 mit dem Ursprung zusammen. Wenn wir Formel (2) anwenden, erhalten wir

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1)=\frac(0-(-5))(0-3)= -\frac(5)(3); \;\; k= -\frac(5)(3) $$

Stellen Sie die Gleichung einer Geraden mit Steigung auf k durch den Punkt gehen

M 1 ( X 1 ; bei 1). Nach Formel (2) ergibt sich die Steigung einer Geraden aus den Koordinaten ihrer beiden Punkte. In unserem Fall ist der Punkt M 1 gegeben, und als zweiten Punkt können Sie einen beliebigen Punkt M( X; bei) der gewünschten Zeile.

Wenn der Punkt M auf einer Geraden liegt, die durch den Punkt M 1 geht und eine Steigung hat k, dann gilt nach Formel (2).

$$ \frac(y-y_1)(x-x_1)=k \;\; (3) $$

Liegt der Punkt M nicht auf der Geraden, gilt Gleichheit (3) nicht. Daher ist Gleichheit (3) die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt M 1 verläuft ( X 1 ; bei 1) mit Steigung k; Diese Gleichung wird normalerweise geschrieben als

j- j 1 = k(X - X 1). (4)

Wenn die Linie die O-Achse schneidet bei irgendwann (0; B), dann nimmt Gleichung (4) die Form an

bei - B = k (X- 0),

j = kx + b. (5)

Diese Gleichung heißt Gleichung einer Geraden mit Steigung k und Anfangskoordinate b.

Aufgabe 4. Finden Sie den Neigungswinkel einer Geraden √3 x + 3bei - 7 = 0.

Wir bringen diese Gleichung in die Form

$$ y= =\frac(1)(\sqrt3)x + \frac(7)(3) $$

Somit, k= tg α = - 1 / √ 3 , woraus α = 150°

Aufgabe 5. Stellen Sie die Gleichung einer Geraden auf, die mit einer Steigung durch den Punkt P (3; -4) verläuft k = 2 / 5

Ersetzen k = 2 / 5 , X 1 = 3, j 1 = - 4 in Gleichung (4) erhalten wir

bei - (- 4) = 2 / 5 (X- 3) oder 2 X - 5bei - 26 = 0.

Aufgabe 6. Stellen Sie die Gleichung einer Geraden auf, die durch den Punkt Q (-3; 4) verläuft, und einer Komponente mit positiver Richtung der O-Achse X Winkel 30°.

Wenn α = 30°, dann k= tan 30° = √ 3 / 3 . Einsetzen der Werte in Gleichung (4). X 1 , j 1 und k, wir bekommen

bei -4 = √ 3 / 3 (X+ 3) oder √3 X-3j + 12 + 3√3 = 0.

Das Thema „Der Winkelkoeffizient der Tangente als Tangente des Neigungswinkels“ in der Zertifizierungsprüfung wird mit mehreren Aufgaben gleichzeitig gestellt. Je nach Zustand muss der Absolvent möglicherweise sowohl eine vollständige als auch eine kurze Antwort geben. Bei der Prüfungsvorbereitung in Mathematik sollte der Studierende unbedingt die Aufgaben wiederholen, bei denen es um die Berechnung der Tangentensteigung geht.

Das Bildungsportal Shkolkovo hilft Ihnen dabei. Unsere Experten haben theoretisches und praktisches Material so zugänglich wie möglich aufbereitet und präsentiert. Nach dem Kennenlernen können Absolventen jeden Ausbildungsniveaus Probleme im Zusammenhang mit Ableitungen erfolgreich lösen, bei denen es darum geht, die Steigung des Tangens zu ermitteln.

Grundlegende Momente

Um die richtige und rationale Lösung für solche Aufgaben im USE zu finden, muss man sich an die grundlegende Definition erinnern: Die Ableitung ist die Änderungsrate der Funktion; Sie ist gleich dem Tangens der Steigung der Tangente, die an einem bestimmten Punkt an den Funktionsgraphen gezogen wird. Ebenso wichtig ist es, die Zeichnung fertigzustellen. Es ermöglicht Ihnen, die richtige Lösung für die USE-Probleme der Ableitung zu finden, bei denen es erforderlich ist, die Steigung der Tangente zu berechnen. Aus Gründen der Übersichtlichkeit ist es am besten, einen Graphen auf der OXY-Ebene zu zeichnen.

Wenn Sie sich bereits mit dem Grundmaterial zum Thema Ableitung vertraut gemacht haben und bereit sind, ähnlich wie bei den USE-Aufgaben mit der Lösung von Problemen zur Berechnung des Tangens der Tangentensteigung zu beginnen, können Sie dies online erledigen. Für jede Aufgabe, zum Beispiel Aufgaben zum Thema „Zusammenhang der Ableitung mit der Geschwindigkeit und Beschleunigung des Körpers“, haben wir die richtige Antwort und den Lösungsalgorithmus aufgeschrieben. Dabei können die Studierenden die Durchführung von Aufgaben unterschiedlicher Komplexität üben. Bei Bedarf kann die Übung im Bereich „Favoriten“ gespeichert werden, um die Entscheidung später mit dem Lehrer besprechen zu können.