Grad
Nummer c (\displaystyle c) angerufen N-te Potenz der Zahl ein (\displaystyle a), Wenn
c = ein ⋅ ein ⋅ . . . ⋅ a ⏟ n (\displaystyle c=\underbrace (a\cdot a\cdot ...\cdot a) _(n)).Eigenschaften:
- (a b) n = a n b n (\displaystyle \left(ab\right)^(n)=a^(n)b^(n))
- (a b) n = a n b n (\displaystyle \left((a \over b)\right)^(n)=((a^(n)) \over (b^(n))))
- a n a m = a n + m (\displaystyle a^(n)a^(m)=a^(n+m))
- a n a m = a n − m (\displaystyle \left.(a^(n) \over (a^(m)))\right.=a^(n-m))
- (a n) m = a n m (\displaystyle \left(a^(n)\right)^(m)=a^(nm))
- Der Datensatz verfügt nicht über die Eigenschaft der Assoziativität (Kombinierbarkeit), d. h. im allgemeinen Fall ist die linke Assoziativität nicht gleich der rechten Assoziativität (a n) m ≠ a (n m) (\displaystyle (a^(n))^(m)\neq a^(\left((n^(m))\right))), das Ergebnis hängt von der Reihenfolge der Aktionen ab, zum Beispiel (2 2) 3 = 4 3 = 64 (\displaystyle (2^(2))^(3)=4^(3)=64), A 2 (2 3) = 2 8 = 256 (\displaystyle 2^(\left((2^(3))\right))=2^(8)=256). Es ist allgemein anerkannt, dass die Aufzeichnung a n m (\displaystyle a^(n^(m)))Äquivalent a (n m) (\displaystyle a^(\left((n^(m))\right))), und stattdessen (a n) m (\displaystyle (a^(n))^(m)) du kannst einfach schreiben ein n m (\displaystyle a^(nm)), unter Verwendung der vorherigen Eigenschaft. Einige Programmiersprachen halten sich jedoch nicht an diese Konvention (siehe);
- Potenzierung hat nicht die Eigenschaft der Kommutativität: Im Allgemeinen gilt: a b ≠ b a (\displaystyle a^(b)\neq b^(a)), Zum Beispiel, 2 5 = 32 (\displaystyle 2^(5)=32), Aber 5 2 = 25 (\displaystyle 5^(2)=25).
Echter Abschluss
Lassen a ⩾ 0 , r (\displaystyle a\geqslant 0,r)- reelle Zahlen und r (\displaystyle r)- irrationale Zahl. Definieren wir den Wert wie folgt.
Bekanntlich kann jede reelle Zahl von oben und unten durch zwei rationale Zahlen angenähert, also ausgewählt werden r (\displaystyle r) rationales Intervall [ p , q ] (\displaystyle ) mit beliebiger Genauigkeit. Dann der gemeinsame Teil aller entsprechenden Intervalle [ a p , a q ] (\displaystyle ) besteht aus einem Punkt, der angenommen wird als ein r (\displaystyle a^(r)).
Ein anderer Ansatz basiert auf der Theorie der Reihen und Logarithmen (siehe).
Potenzierung
Integriertes Studium
Zuerst zeigen wir, wie der Exponent berechnet wird e z (\displaystyle e^(z)), Wo e- Euler-Zahl, z- beliebige komplexe Zahl, z = x + y i (\displaystyle z=x+yi).
e z = e x e y i = e x (cos y + i sin y) = e x cos y + i e x sin y. (\displaystyle e^(z)=e^(x)e^(yi)=e^(x)(\cos y+i\sin y)=e^(x)\cos y+ie^(x) \sin y.)Betrachten Sie nun den allgemeinen Fall, wo a , b (\displaystyle a,b) beides sind komplexe Zahlen. Der einfachste Weg, dies zu tun, besteht darin, sich etwas vorzustellen ein (\displaystyle a) in Exponentialform und unter Verwendung der Identität a b = e b Ln (a) (\displaystyle a^(b)=e^(b\ \operatorname (Ln) (a))), Wo Ln (\displaystyle \operatorname (Ln) )- komplexer Logarithmus:
a b = (re θ i) b = (e Ln (r) + θ i) b = e (Ln (r) + θ i) b . (\displaystyle a^(b)=(re^((\theta )i))^(b)=(e^(\operatorname (Ln) (r)+(\theta )i))^(b)= e^((\operatorname (Ln) (r)+(\theta )i)b).)Es ist zu beachten, dass der komplexe Logarithmus eine mehrwertige Funktion ist, sodass die komplexe Potenz im Allgemeinen nicht eindeutig definiert ist.
Abschluss als Funktion
Da der Ausdruck zwei Zeichen verwendet ( x (\displaystyle x) Und y (\displaystyle y)), dann kann es als eine von drei Funktionen betrachtet werden:
Nützliche Formeln
X y = a y log a x (\displaystyle x^(y)=a^(y\log _(a)x)) x y = e y ln x (\displaystyle x^(y)=e^(y\ln x)) x y = 10 y lg x (\displaystyle x^(y)=10^(y\lg x))
Die letzten beiden Formeln werden verwendet, um positive Zahlen auf elektronischen Taschenrechnern (einschließlich Computerprogrammen), die nicht über eine integrierte Funktion verfügen, auf eine beliebige Potenz zu erhöhen x y (\displaystyle x^(y)).
Verwendung in der mündlichen Rede
Aufzeichnen ein n (\displaystyle a^(n)) normalerweise gelesen als „ A V n (\displaystyle n) Abschluss“ oder „ A bis zu einem Grad N" Zum Beispiel, 10 4 (\displaystyle 10^(4)) gelesen als „zehn hoch vier“ 10 3 / 2 (\displaystyle 10^(3/2)) liest sich als „zehn hoch drei Sekunden (oder: eineinhalb).“
Es gibt spezielle Namen für die zweite und dritte Potenz: Quadratur bzw. Kubik. Zum Beispiel, 10 2 (\displaystyle 10^(2)) gelesen als „zehn im Quadrat“ 10 3 (\displaystyle 10^(3)) gelesen als „zehn gewürfelt“. Diese Terminologie stammt aus der antiken griechischen Mathematik. Die alten Griechen formulierten algebraische Konstruktionen in der Sprache der geometrischen Algebra (Englisch) Russisch. Anstatt das Wort „Multiplikation“ zu verwenden, sprachen sie insbesondere von der Fläche a 3 (\displaystyle a^(3)) – das ist „ A mit sich selbst multipliziert drei Zeiten“, d. h. es werden drei Faktoren berücksichtigt ein (\displaystyle a). Dies ist nicht ganz korrekt und kann zu Mehrdeutigkeiten führen, da die Anzahl der Multiplikationsoperationen um eins geringer ist: a 3 = a ⋅ a ⋅ a (\displaystyle a^(3)=a\cdot a\cdot a)(drei Multiplikatoren, aber zwei Multiplikationsoperationen). Wenn sie oft sagen: „dargestellt als und.“ x I V (\displaystyle x^(IV)) jeweils . Beginnend mit Descartes wurde der Grad durch eine „zweistöckige“ Notation der Form bezeichnet ein b (\displaystyle a^(b)).
Mit dem Aufkommen von Computern und Computerprogrammen entstand das Problem, dass es unmöglich ist, im Text von Computerprogrammen einen Abschluss in „zweistöckiger“ Form zu schreiben. In diesem Zusammenhang wurden spezielle Symbole erfunden, um den Vorgang der Potenzierung anzuzeigen. Das erste derartige Symbol war zwei Sterne.
Einige Potenzierungszeichen in Programmiersprachen und Computersystemen.
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Erinnern wir uns zunächst an die Grundformeln der Kräfte und ihre Eigenschaften.
Produkt einer Zahl A n-mal auf sich selbst vorkommt, können wir diesen Ausdruck als a a … a=a n schreiben
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Potenz- oder Exponentialgleichungen– Dies sind Gleichungen, in denen die Variablen Potenzen (oder Exponenten) sind und die Basis eine Zahl ist.
Beispiele für Exponentialgleichungen:
In diesem Beispiel ist die Zahl 6 die Basis; sie steht immer unten und ist die Variable X Grad oder Indikator.
Lassen Sie uns weitere Beispiele für Exponentialgleichungen geben.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
Schauen wir uns nun an, wie Exponentialgleichungen gelöst werden.
Nehmen wir eine einfache Gleichung:
2 x = 2 3
Dieses Beispiel kann sogar im Kopf gelöst werden. Es ist ersichtlich, dass x=3. Damit die linke und rechte Seite gleich sind, müssen Sie schließlich die Zahl 3 anstelle von x eingeben.
Sehen wir uns nun an, wie diese Entscheidung formalisiert wird:
2 x = 2 3
x = 3
Um eine solche Gleichung zu lösen, haben wir entfernt identische Gründe(also Zweier) und aufgeschrieben, was noch übrig war, das sind Grade. Wir haben die Antwort bekommen, nach der wir gesucht haben.
Fassen wir nun unsere Entscheidung zusammen.
Algorithmus zur Lösung der Exponentialgleichung:
1. Muss überprüft werden das gleiche ob die Gleichung rechts und links Basen hat. Sollten die Gründe nicht die gleichen sein, suchen wir nach Lösungsmöglichkeiten für dieses Beispiel.
2. Nachdem die Basen gleich geworden sind, gleichsetzen Grad und lösen Sie die resultierende neue Gleichung.
Schauen wir uns nun ein paar Beispiele an:
Beginnen wir mit etwas Einfachem.
Die Basen auf der linken und rechten Seite entsprechen der Zahl 2, was bedeutet, dass wir die Basis verwerfen und ihre Grade gleichsetzen können.
x+2=4 Man erhält die einfachste Gleichung.
x=4 – 2
x=2
Antwort: x=2
Im folgenden Beispiel können Sie sehen, dass die Basen unterschiedlich sind: 3 und 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Verschieben wir zunächst die Neun auf die rechte Seite, erhalten wir:
Jetzt müssen Sie die gleichen Grundlagen erstellen. Wir wissen, dass 9=3 2. Verwenden wir die Potenzformel (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Wir erhalten 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Nun ist klar, dass auf der linken und rechten Seite die Basen gleich und gleich drei sind, was bedeutet, dass wir sie verwerfen und die Grade gleichsetzen können.
3x=2x+16 erhalten wir die einfachste Gleichung
3x - 2x=16
x=16
Antwort: x=16.
Schauen wir uns das folgende Beispiel an:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
Zunächst schauen wir uns die Basen an, die Basen zwei und vier. Und wir brauchen, dass sie gleich sind. Wir transformieren die vier mit der Formel (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Und wir verwenden auch eine Formel a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Zur Gleichung hinzufügen:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Aus den gleichen Gründen haben wir ein Beispiel gegeben. Aber die anderen Zahlen 10 und 24 stören uns. Was tun mit ihnen? Wenn Sie genau hinsehen, können Sie sehen, dass wir auf der linken Seite 2 2x wiederholt haben. Hier ist die Antwort: Wir können 2 2x aus Klammern setzen:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Berechnen wir den Ausdruck in Klammern:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Wir teilen die gesamte Gleichung durch 6:
Stellen wir uns 4=2 2 vor:
2 2x = 2 2 Basen sind gleich, wir verwerfen sie und setzen die Grade gleich.
2x = 2 ist die einfachste Gleichung. Teilen Sie es durch 2 und wir erhalten
x = 1
Antwort: x = 1.
Lösen wir die Gleichung:
9 x – 12*3 x +27= 0
Lassen Sie uns transformieren:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Wir erhalten die Gleichung:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Unsere Basen sind die gleichen, gleich drei. In diesem Beispiel können Sie sehen, dass die ersten drei einen doppelten Grad haben (2x) als der zweite (nur x). In diesem Fall können Sie es lösen Ersatzmethode. Wir ersetzen die Zahl durch den kleinsten Grad:
Dann ist 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Wir ersetzen alle x Potenzen in der Gleichung durch t:
t 2 - 12t+27 = 0
Wir erhalten eine quadratische Gleichung. Wenn wir die Diskriminante auflösen, erhalten wir:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Zurück zur Variablen X.
Nimm t 1:
t 1 = 9 = 3 x
Das ist,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Eine Wurzel wurde gefunden. Wir suchen den zweiten von t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Antwort: x 1 = 2; x 2 = 1.
Auf der Website können Sie im Bereich HELP DECIDE Ihre Fragen stellen, wir werden Ihnen auf jeden Fall antworten.
Tritt der Gruppe bei
Geben Sie die Zahl und den Grad ein und drücken Sie dann =.
^Gradtabelle
Beispiel: 2 3 =8
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Eigenschaften des Grades - 2 Teile
Eine Tabelle der wichtigsten Grade der Algebra in kompakter Form (Bild, praktisch zum Ausdrucken), oben auf der Zahl, auf der Seite des Grades.
j (x) = e x, deren Ableitung gleich der Funktion selbst ist.Der Exponent wird als , oder bezeichnet.
Nummer e
Die Basis des Exponentengrades ist Nummer e. Dies ist eine irrationale Zahl. Es ist ungefähr gleich
e ≈ 2,718281828459045...
Die Zahl e wird durch den Grenzwert der Folge bestimmt. Dies ist das sogenannte zweite wunderbare Grenze:
.
Die Zahl e kann auch als Reihe dargestellt werden:
.
Exponentialdiagramm
Exponentialgraph, y = e x .Die Grafik zeigt die Exponentialfunktion e bis zu einem Grad X.
j (x) = e x
Die Grafik zeigt, dass der Exponent monoton ansteigt.
Formeln
Die Grundformeln sind dieselben wie für die Exponentialfunktion mit einer Basis vom Grad e.
;
;
;
Ausdruck einer Exponentialfunktion mit beliebiger Basis vom Grad a durch eine Exponentialfunktion:
.
Private Werte
Lass dich (x) = e x. Dann
.
Exponenteneigenschaften
Der Exponent hat die Eigenschaften einer Exponentialfunktion mit Potenzbasis e > 1 .
Domäne, Wertemenge
Exponent y (x) = e x für alle x definiert.
Sein Definitionsbereich:
- ∞ < x + ∞
.
Seine vielen Bedeutungen:
0
< y < + ∞
.
Extreme, zunehmend, abnehmend
Die Exponentialfunktion ist eine monoton steigende Funktion und weist daher keine Extrema auf. Seine Haupteigenschaften sind in der Tabelle aufgeführt.
Umkehrfunktion
Der Kehrwert des Exponenten ist der natürliche Logarithmus.
;
.
Ableitung des Exponenten
Derivat e bis zu einem Grad X gleich e bis zu einem Grad X
:
.
Ableitung n-ter Ordnung:
.
Formeln ableiten > > >
Integral
Komplexe Zahlen
Operationen mit komplexen Zahlen werden mit ausgeführt Eulers Formeln:
,
Wo ist die imaginäre Einheit:
.
Ausdrücke durch hyperbolische Funktionen
;
;
.
Ausdrücke mit trigonometrischen Funktionen
;
;
;
.
Erweiterung der Potenzreihen
Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.
Abschlussformeln Wird beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke sowie beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.
Nummer C Ist N-te Potenz einer Zahl A Wann:
Operationen mit Abschlüssen.
1. Durch Multiplikation der Grade mit derselben Basis werden ihre Indikatoren addiert:
Bin·a n = a m + n .
2. Bei der Division von Graden mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert:
3. Der Grad des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Der Grad eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden und des Divisors:
(a/b) n = a n /b n .
5. Bei der Potenzierung werden die Exponenten multipliziert:
(am) n = am n .
Jede obige Formel gilt in der Richtung von links nach rechts und umgekehrt.
Zum Beispiel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operationen mit Wurzeln.
1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:
2. Die Wurzel eines Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Teilers der Wurzeln:
3. Bei der Potenzierung einer Wurzel reicht es aus, die Wurzelzahl auf diese Potenz zu erhöhen:
4. Wenn Sie den Wurzelgrad erhöhen N einmal und gleichzeitig einbauen N Die Potenz ist eine Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:
5. Wenn Sie den Wurzelgrad reduzieren N Extrahieren Sie gleichzeitig die Wurzel N-te Potenz einer Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:
Ein Abschluss mit einem negativen Exponenten. Die Potenz einer bestimmten Zahl mit einem nicht positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins geteilt durch die Potenz derselben Zahl mit einem Exponenten, der dem Absolutwert des nicht positiven Exponenten entspricht:
Formel Bin:a n =a m - n kann nicht nur für verwendet werden M> N, aber auch mit M< N.
Zum Beispiel. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Zur Formel Bin:a n =a m - n wurde fair, wann m=n, das Vorhandensein von Nullgrad ist erforderlich.
Ein Abschluss mit einem Nullindex. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich eins.
Zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Grad mit gebrochenem Exponenten. Eine reelle Zahl erhöhen A bis zum Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren N Grad der M-te Potenz dieser Zahl A.
