\(5x+xy\) kann als \(x(5+y)\) dargestellt werden. Dies sind tatsächlich die gleichen Ausdrücke, wir können dies überprüfen, wenn wir die Klammern erweitern: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Wie Sie sehen können, erhalten wir als Ergebnis den ursprünglichen Ausdruck. Also ist \(5x+xy\) wirklich gleich \(x(5+y)\). Übrigens ist dies eine zuverlässige Methode, um die Korrektheit des Herausnehmens gemeinsamer Faktoren zu überprüfen - öffnen Sie die resultierende Klammer und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem ursprünglichen Ausdruck.

Die wichtigste Klammerregel:

Beispielsweise kann im Ausdruck \(3ab+5bc-abc\) nur \(b\) aus der Klammer genommen werden, weil nur es in allen drei Termen vorkommt. Der Vorgang des Einklammerns gemeinsamer Faktoren ist im folgenden Diagramm dargestellt:

Klammerregeln

In der Mathematik ist es üblich, alle gemeinsamen Faktoren auf einmal herauszunehmen.

Beispiel:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Beachten Sie, dass wir hier so expandieren könnten: \(3(xy-xz)\) oder so: \(x(3y-3z)\). Dies wären jedoch unvollständige Erweiterungen. Es ist notwendig, sowohl die Drei als auch das X auszuschalten.


Manchmal sind gemeinsame Mitglieder nicht sofort sichtbar.


Beispiel:\(10x-15y=2 5 x-3 5 y=5(2x-3y)\)
In diesem Fall wurde der gemeinsame Begriff (Fünffach) ausgeblendet. Zerlegten wir jedoch \(10\) als \(2\) mal \(5\) und \(15\) als \(3\) mal \(5\) - wir "zogen die fünf in das Licht Gottes “, danach konnten sie es problemlos aus der Halterung nehmen.


Wird das Monom ganz herausgenommen, bleibt man davon übrig.

Beispiel: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Wir nehmen \(x\) aus der Klammer, und das dritte Monom besteht nur aus x. Warum ist nur noch einer übrig? Denn wenn irgendein Ausdruck mit eins multipliziert wird, ändert er sich nicht. Das heißt, dasselbe \(x\) kann als \(1\cdot x\) dargestellt werden. Dann haben wir folgende Transformationskette:

\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\) \()\)

Darüber hinaus ist dies die einzig richtige Art der Wiedergabe, denn wenn wir die Einheit nicht verlassen, kehren wir beim Öffnen der Klammern nicht zum ursprünglichen Ausdruck zurück. In der Tat, wenn wir die Entfernung so machen \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), dann erhalten wir beim Erweitern \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Das dritte Mitglied ist weg. Daher ist eine solche Aussage falsch.

Das Minuszeichen kann aus der Klammer genommen werden, während die Vorzeichen der Begriffe mit der Klammer vertauscht werden.


Beispiel:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
Tatsächlich klammern wir hier „minus eins“ ein, das vor jedem Monom „hervorgehoben“ werden kann, auch wenn davor kein Minus steht. Hier verwenden wir die Tatsache, dass man als \((-1) \cdot (-1)\) schreiben kann. Hier ist das gleiche Beispiel, im Detail gemalt:

\(x-y=\)
\(=1x+(-1)y=\)
\(=(-1)(-1)x+(-1)y=\)
\(=(-1)((-1)x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)

Die Klammer kann auch ein gemeinsamer Faktor sein.


Beispiel:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Am häufigsten begegnen wir einer solchen Situation (Ausklammerung von Klammern) bei der Faktorisierung nach der Gruppierungsmethode oder

Dieser Artikel erklärt, wie man den kleinsten gemeinsamen nenner findet und wie man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt. Zuerst werden die Definitionen des gemeinsamen Nenners von Brüchen und des kleinsten gemeinsamen Nenners gegeben, und es wird auch gezeigt, wie man den gemeinsamen Nenner von Brüchen findet. Das Folgende ist eine Regel zum Kürzen von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner und Beispiele für die Anwendung dieser Regel werden betrachtet. Abschließend werden Beispiele analysiert, wie man drei oder mehr Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt.

Seitennavigation.

Was heißt Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen?

Jetzt können wir sagen, was es heißt, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen ist die Multiplikation der Zähler und Nenner gegebener Brüche mit solchen zusätzlichen Faktoren, dass Brüche mit gleichem Nenner entstehen.

Gemeinsamer Nenner, Definition, Beispiele

Jetzt ist es an der Zeit, den gemeinsamen Nenner von Brüchen zu definieren.

Mit anderen Worten, der gemeinsame Nenner einiger gewöhnlicher Brüche ist jede natürliche Zahl, die durch alle Nenner dieser Brüche teilbar ist.

Aus der angegebenen Definition folgt, dass diese Menge von Brüchen unendlich viele gemeinsame Nenner hat, da es unendlich viele gemeinsame Vielfache aller Nenner der ursprünglichen Menge von Brüchen gibt.

Das Bestimmen des gemeinsamen Nenners von Brüchen ermöglicht es dir, die gemeinsamen Nenner von gegebenen Brüchen zu finden. Nehmen wir beispielsweise an, dass bei gegebenen Brüchen 1/4 und 5/6 ihre Nenner 4 bzw. 6 sind. Die positiven gemeinsamen Vielfachen von 4 und 6 sind die Zahlen 12, 24, 36, 48, ... Jede dieser Zahlen ist der gemeinsame Nenner der Brüche 1/4 und 5/6.

Um das Material zu konsolidieren, betrachten Sie die Lösung des folgenden Beispiels.

Beispiel.

Ist es möglich, die Brüche 2/3, 23/6 und 7/12 auf einen gemeinsamen Nenner von 150 zu bringen?

Entscheidung.

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir herausfinden, ob die Zahl 150 ein gemeinsames Vielfaches der Nenner 3, 6 und 12 ist. Überprüfen Sie dazu, ob 150 durch jede dieser Zahlen ohne Rest teilbar ist (siehe ggf. die Regeln und Beispiele zur Division natürlicher Zahlen sowie die Regeln und Beispiele zur Division natürlicher Zahlen mit Rest): 150:3 =50 , 150:6=25 , 150: 12=12 (rest. 6) .

So, 150 ist nicht durch 12 teilbar, also ist 150 kein gemeinsames Vielfaches von 3, 6 und 12. Daher kann die Zahl 150 kein gemeinsamer Nenner der ursprünglichen Brüche sein.

Antworten:

Es ist verboten.

Der kleinste gemeinsame Nenner, wie finde ich ihn?

In der Menge der Zahlen, die gemeinsame Nenner dieser Brüche sind, gibt es die kleinste natürliche Zahl, die als kleinster gemeinsamer Nenner bezeichnet wird. Lassen Sie uns die Definition des kleinsten gemeinsamen Nenners dieser Brüche formulieren.

Definition.

Kleinster gemeinsamer Nenner ist die kleinste Zahl aller gemeinsamen Nenner dieser Brüche.

Bleibt noch die Frage, wie man den kleinsten gemeinsamen Teiler findet.

Da der kleinste positive gemeinsame Teiler einer bestimmten Menge von Zahlen ist, ist das LCM der Nenner dieser Brüche der kleinste gemeinsame Nenner dieser Brüche.

Somit wird das Finden des kleinsten gemeinsamen Nenners von Brüchen auf die Nenner dieser Brüche reduziert. Schauen wir uns eine Beispiellösung an.

Beispiel.

Finde den kleinsten gemeinsamen Nenner von 3/10 und 277/28.

Entscheidung.

Die Nenner dieser Brüche sind 10 und 28. Der gesuchte kleinste gemeinsame Nenner findet sich als LCM der Zahlen 10 und 28. In unserem Fall ist es einfach: da 10=2 5 und 28=2 2 7 , dann LCM(15, 28)=2 2 5 7=140 .

Antworten:

140 .

Wie bringt man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner? Regel, Beispiele, Lösungen

Gemeinsame Brüche führen in der Regel zum kleinsten gemeinsamen Nenner. Jetzt schreiben wir eine Regel auf, die erklärt, wie man Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringt.

Die Regel zum Kürzen von Brüchen auf den kleinsten gemeinsamen Nenner besteht aus drei Schritten:

• Finde zuerst den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche.
• Zweitens wird für jeden Bruch ein zusätzlicher Faktor berechnet, für den der kleinste gemeinsame Nenner durch den Nenner jedes Bruchs dividiert wird.
• Drittens werden Zähler und Nenner jedes Bruchs mit seinem zusätzlichen Faktor multipliziert.

Wenden wir die angegebene Regel auf die Lösung des folgenden Beispiels an.

Beispiel.

Kürze die Brüche 5/14 und 7/18 auf den kleinsten gemeinsamen Nenner.

Entscheidung.

Lassen Sie uns alle Schritte des Algorithmus zum Kürzen von Brüchen auf den kleinsten gemeinsamen Nenner ausführen.

Zuerst finden wir den kleinsten gemeinsamen Nenner, der gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen 14 und 18 ist. Da 14=2 7 und 18=2 3 3 , dann LCM(14, 18)=2 3 3 7=126 .

Nun berechnen wir weitere Faktoren, mit deren Hilfe die Brüche 5/14 und 7/18 auf den Nenner 126 gebracht werden. Für den Bruch 5/14 beträgt der zusätzliche Faktor 126:14=9 und für den Bruch 7/18 beträgt der zusätzliche Faktor 126:18=7 .

Es bleibt, die Zähler und Nenner der Brüche 5/14 und 7/18 mit zusätzlichen Faktoren von 9 bzw. 7 zu multiplizieren. Wir haben und .

Damit ist die Kürzung der Brüche 5/14 und 7/18 auf den kleinsten gemeinsamen Nenner abgeschlossen. Das Ergebnis waren die Fraktionen 45/126 und 49/126.

Um Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner zu bringen, müssen Sie: 1) das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner dieser Brüche finden, es wird der kleinste gemeinsame Nenner sein. 2) Finden Sie einen zusätzlichen Faktor für jeden der Brüche, für den wir den neuen Nenner durch den Nenner jedes Bruchs dividieren. 3) Multipliziere Zähler und Nenner jedes Bruchs mit seinem zusätzlichen Faktor.

Beispiele. Kürze die folgenden Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner.

Wir finden das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner: LCM(5; 4) = 20, da 20 die kleinste Zahl ist, die sowohl durch 5 als auch durch 4 teilbar ist. Wir finden für den 1. Bruch einen zusätzlichen Faktor 4 (20 : 5=4). Für den 2. Bruch beträgt der zusätzliche Multiplikator 5 (20 : 4=5). Wir multiplizieren Zähler und Nenner des 1. Bruchs mit 4 und Zähler und Nenner des 2. Bruchs mit 5. Wir haben diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner ( 20 ).

Der kleinste gemeinsame Nenner dieser Brüche ist 8, da 8 durch 4 und sich selbst teilbar ist. Es gibt keinen zusätzlichen Multiplikator für den 1. Bruch (oder wir können sagen, dass er gleich eins ist), für den 2. Bruch ist der zusätzliche Multiplikator 2 (8 : 4=2). Wir multiplizieren Zähler und Nenner des 2. Bruchs mit 2. Wir haben diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner ( 8 ).

Diese Brüche sind nicht irreduzibel.

Wir kürzen den 1. Bruch um 4 und den 2. Bruch um 2. ( siehe Beispiele zur Kürzung gewöhnlicher Brüche: Sitemap → 5.4.2. Beispiele für die Kürzung gewöhnlicher Brüche). Finden Sie LCM (16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Der zusätzliche Multiplikator für den 1. Bruch ist 5 (80 : 16=5). Der zusätzliche Multiplikator für den 2. Bruch ist 4 (80 : 20=4). Wir multiplizieren Zähler und Nenner des 1. Bruchs mit 5 und Zähler und Nenner des 2. Bruchs mit 4. Wir haben diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner ( 80 ).

Finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner des NOC(5 ; 6 und 15) = LCM(5 ; 6 und 15)=30. Der zusätzliche Multiplikator zum 1. Bruch ist 6 (30 : 5=6), ist der zusätzliche Multiplikator zum 2. Bruch 5 (30 : 6=5), ist der zusätzliche Multiplikator zum 3. Bruch 2 (30 : 15=2). Wir multiplizieren Zähler und Nenner des 1. Bruchs mit 6, Zähler und Nenner des 2. Bruchs mit 5, Zähler und Nenner des 3. Bruchs mit 2. Wir haben diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner ( 30 ).

Seite 1 von 1 1

Beim Addieren und Subtrahieren von algebraischen Brüchen mit unterschiedlichen Nennern führen die Brüche zunächst zu gemeinsamer Nenner. Das bedeutet, dass sie einen solchen einzigen Nenner finden, der durch den ursprünglichen Nenner jedes algebraischen Bruchs geteilt wird, der Teil dieses Ausdrucks ist.

Wie Sie wissen, ändert sich der Wert des Bruchs nicht, wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl außer Null multipliziert (oder dividiert) werden. Dies ist die Haupteigenschaft eines Bruchs. Wenn also Brüche zu einem gemeinsamen Nenner führen, wird der ursprüngliche Nenner jedes Bruchs mit dem fehlenden Faktor zu einem gemeinsamen Nenner multipliziert. In diesem Fall muss mit diesem Faktor und dem Zähler des Bruchs multipliziert werden (er ist für jeden Bruch unterschiedlich).

Gegeben ist zum Beispiel die folgende Summe algebraischer Brüche:

Es ist erforderlich, den Ausdruck zu vereinfachen, dh zwei algebraische Brüche zu addieren. Dazu müssen zunächst die Term-Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Der erste Schritt besteht darin, ein Monom zu finden, das sowohl durch 3x als auch durch 2y teilbar ist. In diesem Fall ist es wünschenswert, dass es das kleinste ist, d. h. das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) für 3x und 2y findet.

Für numerische Koeffizienten und Variablen wird das LCM separat durchsucht. LCM(3, 2) = 6 und LCM(x, y) = xy. Außerdem werden die gefundenen Werte multipliziert: 6xy.

Jetzt müssen wir bestimmen, mit welchem ​​Faktor wir 3x multiplizieren müssen, um 6xy zu erhalten:
6xy ÷ 3x = 2y

Das bedeutet, dass beim Reduzieren des ersten algebraischen Bruchs auf einen gemeinsamen Nenner dessen Zähler mit 2y multipliziert werden muss (der Nenner wurde bereits multipliziert, wenn er auf einen gemeinsamen Nenner reduziert wird). Der Faktor für den Zähler des zweiten Bruchs wird ähnlich gesucht. Es wird gleich 3x sein.

Somit erhalten wir:

Außerdem kann man bereits wie bei Brüchen mit gleichem Nenner vorgehen: Die Zähler werden addiert und ein gemeinsamer Teil in den Nenner geschrieben:

Nach Transformationen wird ein vereinfachter Ausdruck erhalten, der ein algebraischer Bruch ist, der die Summe zweier ursprünglicher ist:

Algebraische Brüche im ursprünglichen Ausdruck können Nenner enthalten, die Polynome und keine Monome sind (wie im obigen Beispiel). In diesem Fall, bevor Sie einen gemeinsamen Nenner finden, faktorisieren Sie die Nenner (wenn möglich). Ferner wird der gemeinsame Nenner aus verschiedenen Faktoren gesammelt. Steht der Faktor in mehreren Anfangsnennern, so wird er einmal genommen. Wenn der Faktor in den ursprünglichen Nennern unterschiedliche Grade hat, wird er mit einem größeren genommen. Zum Beispiel:

Hier kann das Polynom a 2 - b 2 als Produkt (a - b)(a + b) dargestellt werden. Der Faktor 2a – 2b wird zu 2(a – b) erweitert. Somit ist der gemeinsame Nenner gleich 2(a - b)(a + b).

Im Rahmen des Studiums identischer Transformationen ist das Thema des Entfernens des gemeinsamen Faktors aus Klammern sehr wichtig. In diesem Artikel erklären wir, was genau diese Transformation ist, leiten die Grundregel ab und analysieren typische Problemfälle.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Das Konzept des Ausklammerns der Klammern

Um diese Transformation erfolgreich anzuwenden, müssen Sie wissen, für welche Ausdrücke sie verwendet wird und welches Ergebnis Sie als Ergebnis erhalten möchten. Lassen Sie uns diese Punkte erklären.

Sie können den gemeinsamen Faktor aus Klammern in Ausdrücken nehmen, bei denen es sich um Summen handelt, in denen jeder Term ein Produkt ist, und in jedem Produkt gibt es einen gemeinsamen (gleichen) Faktor für alle. Dies wird als gemeinsamer Faktor bezeichnet. Das nehmen wir aus den Klammern heraus. Also, wenn wir Werke haben 5 3 und 5 4 , dann können wir den gemeinsamen Faktor 5 aus Klammern nehmen.

Was ist diese Verwandlung? Dabei stellen wir den ursprünglichen Ausdruck als Produkt eines gemeinsamen Faktors und eines Ausdrucks in Klammern dar, der die Summe aller ursprünglichen Terme außer dem gemeinsamen Faktor enthält.

Nehmen wir das obige Beispiel. Wir nehmen den gemeinsamen Faktor 5 in heraus 5 3 und 5 4 und erhalte 5 (3 + 4) . Der endgültige Ausdruck ist das Produkt aus dem gemeinsamen Faktor 5 und dem Ausdruck in Klammern, der die Summe der ursprünglichen Terme ohne 5 ist.

Diese Transformation basiert auf dem Distributivgesetz der Multiplikation, das wir bereits vorher untersucht haben. In wörtlicher Form kann es geschrieben werden als a (b + c) = ein b + ein c. Indem wir die rechte Seite von der linken Seite ändern, sehen wir das Schema, bei dem der gemeinsame Teiler aus Klammern genommen wird.

Die Regel zum Entfernen des gemeinsamen Faktors aus Klammern

Aus all dem Obigen leiten wir die Grundregel für eine solche Transformation ab:

Bestimmung 1

Um den gemeinsamen Faktor einzuklammern, müssen Sie den ursprünglichen Ausdruck als Produkt des gemeinsamen Faktors und der Klammern schreiben, die die ursprüngliche Summe ohne den gemeinsamen Faktor enthalten.

Beispiel 1

Nehmen wir ein einfaches Rendering-Beispiel. Wir haben einen numerischen Ausdruck 3 7 + 3 2 − 3 5, die die Summe dreier Terme 3 · 7, 3 · 2 und eines gemeinsamen Faktors 3 ist. Ausgehend von der von uns abgeleiteten Regel schreiben wir das Produkt als 3 (7 + 2 - 5). Das ist das Ergebnis unserer Transformation. Der Lösungseintrag sieht so aus: 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).

Wir können den Faktor aus Klammern nicht nur in numerischen, sondern auch in wörtlichen Ausdrücken herausnehmen. Zum Beispiel im 3 x − 7 x + 2 Sie können die Variable x herausnehmen und erhalten 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2, im Ausdruck (x 2 + y) x y − (x 2 + y) x 3- gemeinsamer Multiplikator (x2 + y) und am Ende bekommen (x 2 + y) (x y − x 3).

Welcher Multiplikator üblich ist, lässt sich nicht immer sofort bestimmen. Manchmal muss ein Ausdruck vorläufig transformiert werden, indem Zahlen und Ausdrücke durch Produkte ersetzt werden, die ihnen identisch sind.

Beispiel 2

So zum Beispiel im Ausdruck 6x + 4j Sie können den nicht explizit geschriebenen gemeinsamen Faktor 2 herausnehmen. Um es zu finden, müssen wir den ursprünglichen Ausdruck umwandeln und sechs als 2 3 und vier als 2 2 darstellen. Also 6x + 4y = 2 3x + 2 2y = 2 (3x + 2y). Oder im Ausdruck x 3 + x 2 + 3 x kann durch den gemeinsamen Faktor x eingeklammert werden, der nach der Ersetzung gefunden wird x 3 an x · x2 . Eine solche Transformation ist aufgrund der grundlegenden Eigenschaften des Grades möglich. Als Ergebnis erhalten wir den Ausdruck x (x 2 + x + 3).

Ein weiterer gesondert zu behandelnder Fall ist die Einklammerung des Minus. Dann nehmen wir nicht das Zeichen selbst heraus, sondern minus eins. Lassen Sie uns beispielsweise den Ausdruck auf diese Weise umwandeln − 5 − 12 x + 4 x y. Schreiben wir den Ausdruck um als (− 1) 5 + (− 1) 12 x − (− 1) 4 x y damit der Gesamtmultiplikator deutlicher zu sehen ist. Nehmen wir es aus den Klammern und erhalten − (5 + 12 x − 4 x y) . Dieses Beispiel zeigt, dass in Klammern derselbe Betrag erhalten wird, jedoch mit entgegengesetzten Vorzeichen.

In den Schlussfolgerungen stellen wir fest, dass die Transformation durch Entfernen des gemeinsamen Faktors aus Klammern in der Praxis sehr häufig verwendet wird, beispielsweise um den Wert rationaler Ausdrücke zu berechnen. Diese Methode ist auch nützlich, wenn Sie einen Ausdruck als Produkt darstellen müssen, um beispielsweise ein Polynom in einzelne Faktoren zu zerlegen.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Enter