МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Предел функции
Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах
Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству
êx n - a ê < e. (1.1)
Записывают это следующим образом: или x n ® a.
Неравенство (1.1) равносильно двойному неравенству
a- e < x n < a + e, (1.2)
которое означает, что точки x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-e, a+e), т.е. попадают в какую угодно малую e-окрестность точки а .
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае - расходящейся .
Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .
Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x®a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.
Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.
Определение 2
. Постоянное число А называется пределом функции
f(x) при
x®a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число e, можно найти такое d >0 (зависящее от e), что для всех x
, лежащих в d-окрестности числа а
, т.е. для x
, удовлетворяющих неравенству
0 < ½x-a½ < d, значения функции f(x) будут лежать в e-окрестности числа А, т.е. êf(x)-A ê < e.
Это определение называют определением предела функции по Коши, или “на языке e - d“.
Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x ® a имеет предел, равный А, это записывается в виде
F(x) = A. (1.3)
В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:
F(x) = ¥ ( f(x) = - ¥).
Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.
Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной .
Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами.
Теорема 1 . Если существуют пределы f(x)=A, g(x)=B, то
(f(x)+(g(x)) = A + B, (1.4)
F(x) g(x) = AB, (1.5)
F(x)/g(x) = A/B (B ¹ 0). (1.6)
Замечание . Выражения вида 0/0, ¥ /¥, 0 × ¥, ¥ - ¥ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.
Теорема 2. (f(x)) a = ( f(x)) a , где a = const, (1.7)
т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;
B f(x) =b A , где b = const, f(x)=A; (1.8)
Log c f(x) = log c f(x), где c = const. (1.9)
Теорема 3. = 1, = 1, a = const, a >0,
(1 + a) 1/ a = e , (1.11)
где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (1.10) и (1.11) носят название первого и второго замечательного пределов.
Используются на практике и следствия формулы (1.11):
Log c e, (1.12)
(a a - 1)/a = ln a, (1.13)
((1 + a) m - 1)/a = m, (1.14)
в частности,
Eсли x® a и при этом x > a, то пишут x® a+0. Если, в частности, a=0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x®a и при этом xпределом справа и пределом слева функции f(x) в точке а . Для существования предела функции f(x) при x®a необходимо и достаточно, чтобы = .
Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если
Условие (1.15) можно переписать в виде:
то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.
Если равенство (1.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множествоR , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.
Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если
и непрерывной слева в точке x o, если
Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.
Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.
1. Если существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .
2. Если равен ¥ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .
Например, функция y = ctg x при x® +0 имеет предел, равный +¥, значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.
Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.
Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.
Рассмотрим пример Я. И. Перельмана , дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел e = . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 »237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. ед.),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. ед.),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. ед.).
При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что
Пример 1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.
Решение.
Нам надо доказать, что, какое бы e>0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство ½ x n -1 ½ Возьмем любое e >0. Так как ½ x n -1 ½=½(n+1)/n - 1½= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n Пример 2
. Найти предел последовательности, заданной общим членом x n = . Решение.
Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n ®¥ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему о пределе частного. Поэтому сначала преобразуем x n
, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2
, а второго на n
. Затем, применяя теорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем: Пример 3
. x n = . Найти x n . Решение.
= . Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания. Пример 4
. Найти (). Решение.
Применять теорему о пределе разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ¥ - ¥. Преобразуем формулу общего члена: Пример 5
. Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что не существует. Решение.
Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. x n =0. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что 1/n =0, тогда = 2 n = +¥. Выберем теперь в качестве x n
последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. = 2 - n = 1/2 n = 0. Поэтому 2 1/x не существует. Пример 6
. Доказать, что sin x
не существует. Решение.
Пусть x 1 , x 2 ,..., x n ,... - последовательность, для которой Если x n = pn, то sin x n = sin pn = 0 при всех n
и sin x n =0. Если же Пример 7.
Найти . Решение.
Имеем: = 5 . Обозначим t = 5x. При x®0 имеем: t®0. Применяя формулу (3.10), получим 5 . Пример 8
. Вычислить . Решение.
Обозначим y=p-x. Тогда при x®p, y®0.Имеем: sin 3x = sin 3(p-y) = sin (3p-3y) = sin 3y. sin 4x = sin 4(p-y) = sin (4p-4y)= - sin 4y. Пример 9
. Найти . Решение.
Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x®0 t®0. = . Пример 10
. Найти 1) ; 2) ; 3) . Решение.
1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя: . Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе частного, получаем: = . 2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ¹ 2 равенство: Так как (x+1) ¹ 0, то, по теореме о пределе частного, найдем 3. Числитель и знаменатель при x®¥ являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x 2
и к полученной функции применим теорему о пределе частного: Пример 11
. Найти . Решение.
Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю: , x-9®0, т.е. имеем неопределенность вида . Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения , получим Пример 12
. Найти . Решение.
= . 6.2. Применение пределов в экономических расчетах
Сложные проценты
В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т. д.). Время - дискретная переменная. В некоторых случаях - в доказательствах и расчетах, связанных с непрерывными процессами, возникает необходимость в применении непрерывных процентов. Рассмотрим формулу сложных процентов: S = P(1 + i) n . (1.16) Здесь P - первоначальная сумма, i - ставка процентов (в виде десятичной дроби), S - сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце n
-го года. Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся по геометрической прогрессии. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.
В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n
, необходимо определить сумму полученной ссуды P. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется
, а проценты в виде разности S - P называются дисконтом.
Величину P, найденную дисконтированием S, называют современной,
или приведенной,
величиной S. Имеем: P = Þ P = = 0. Таким образом, при очень больших сроках платежа современная величина последнего будет крайне незначительна. В практических финансово-кредитных операциях непрерывные процессы наращения денежных сумм, т. е. наращения за бесконечно малые промежутки времени, применяются редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в количественном финансово-экономическом анализе сложных производственных и хозяйственных объектов и явлений, например, при выборе и обосновании инвестиционных решений. Необходимость в применении непрерывных наращений (или непрерывных процентов) определяется прежде всего тем, что многие экономические явления по своей природе непрерывны, поэтому аналитическое описание в виде непрерывных процессов более адекватно, чем на основе дискретных. Обобщим формулу сложных процентов для случая, когда проценты начисляются m
раз в году: S =P (1 + i/m) mn . Наращенная сумма при дискретных процессах находится по этой формуле, здесь m
- число периодов начисления в году, i
- годовая или номинальная ставка. Чем больше m
, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m ®¥ имеем: `S = P (1 + i/m) mn = P ((1 + i/m) m) n . Поскольку (1 + i/m) m = e i , то `S = P e in . При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки - силу роста
, которая характеризует относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени. При непрерывной капитализации процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей от первоначальной суммы, срока наращения и номинальной ставки процентов. Для того, чтобы отличить ставки непрерывных процентов от ставки дискретных процентов, обозначим первую через d, тогда `S = Pe . Сила роста d представляет собой номинальную ставку процентов при m®¥. Множитель наращения рассчитывается с помощью ЭВМ или по таблицам функции. Потоки платежей. Финансовая рента
Контракты, сделки, коммерческие и производственно-хозяйственные операции часто предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений. Отдельные элементы такого ряда, а иногда и сам ряд платежей в целом, называется потоком платежей
. Члены потока платежей могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными (выплаты) величинами. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой
. Ренты делятся на годовые и р
-срочные, где р
характеризует число выплат на протяжении года. Это дискретные ренты. В финансово-экономической практике встречаются и с последовательностями платежей, которые производятся так часто, что практически их можно рассматривать как непрерывные. Такие платежи описываются непрерывными рентами. Пример 13.
Пусть в конце каждого года в течение четырех лет в банк вносится по 1 млн. рублей, проценты начисляются в конце года, ставка - 5% годовых. В этом случае первый взнос обратится к концу срока ренты в величину 10 6 ´ 1,05 3 так как соответствующая сумма была на счете в течение 3 лет, второй взнос увеличится до 10 6 ´ 1,05 2 , так как был на счете 2 года. Последний взнос процентов не приносит. Таким образом, в конце срока ренты взносы с начисленными на них процентами представляют ряд чисел: 10 6 ´ 1,05 3 ; 10 6 ´ 1,05 2 ; 10 6 ´ 1,05; 10 6. Наращенная к концу срока ренты величина будет равна сумме членов этого ряда. Обобщим сказанное, выведем соответствующую формулу для наращенной суммы годовой ренты. Обозначим: S - наращенная сумма ренты, R - размер члена ренты, R (1 + i) n - 1 , R (1 + i) n - 2 ,..., R (1 + i), R. Перепишем этот ряд в обратном порядке. Он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i) и первым членом R. Найдем сумму членов прогрессии. Получим: S = R´((1 + i) n - 1)/((1 + i) - 1) = Величина a n; i = (1 - (1 + i) - n)/ i называется коэффициентом приведения ренты
. Коэффициент приведения ренты при n ®¥ показывает, во сколько раз современная величина ренты больше ее члена: A n; i = (1 - (1 + i) - n)/ i =1/i. Пример 14.
Под вечной рентой
понимается последовательность платежей, число членов которой не ограничено - она выплачивается в течение бесконечного числа лет. Вечная рента не является чистой абстракцией - на практике это некоторые виды облигационных займов, оценка способности пенсионных фондов отвечать по своим обязательствам. Исходя из Коэффициент приведения для вечной ренты a n; i ® 1/i, откуда A = R/i, т. е. современная величина зависит только от величины члена ренты и принятой ставки процентов. Постоянное число а
называется пределом
последовательности
{x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа
ε > 0 существует номер N, что все значения x n
, у которых n>N, удовлетворяют неравенству
|x n - a|
<
ε. (6.1)
Записывают это следующим образом: или x n →
a.
Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству
a-
ε < x n < a +
ε, (6.2)
которое означает, что точки x n
, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-
ε, a+
ε), т.е. попадают в какую угодно малую
ε-окрестность точки а
.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся
, в противном случае - расходящейся
.
Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n
.
Пусть дана функция f(x) и пусть a
- предельная точка
области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a
. Точка a
может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
Определение 1.
Постоянное число А называется предел
функции
f(x) при
x→
a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а
, соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.
Это определение называют определением предел функции по Гейне,
или “на языке последовательностей
”.
Определение 2
. Постоянное число А называется предел
функции
f(x) при
x→
a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число ε
, можно найти такое δ
>0 (зависящее от ε
), что для всех x
, лежащих в
ε-окрестности числа а
, т.е. для x
, удовлетворяющих неравенству Это определение называют определением предел функции по Коши,
или “на языке ε - δ
“.
Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x →
a имеет предел
, равный А, это записывается в виде
. (6.3)
В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x
к своему пределу а
, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел,
и записывать это в виде:
Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.
Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной
.
Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.
Теорема 1
. Если существует каждый предел
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Замечание
. Выражения вида 0/0,
∞/∞, ∞-∞
, 0*∞
,
-
являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.
Теорема 2.
(6.7)
т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;
(6.8)
(6.9)
Теорема 3.
(6.10)
(6.11)
где e
»
2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело
и второй замечательный предел.
Используются на практике и следствия формулы (6.11):
(6.12)
(6.13)
(6.14)
в частности предел,
Eсли x
→ a и при этом x > a, то пишут x
→a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→
a и при этом xa-0. Числа и называются соответственно предел справа
и предел слева
функции
f(x) в точке
а
. Чтобы существовал предел функции f(x) при x→
a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной
в точке
x 0 , если предел
. (6.15)
Условие (6.15) можно переписать в виде:
,
то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.
Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при
x = x o функция
f(x) имеет
разрыв.
Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R
, кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.
Функция f(x) называется непрерывной справа в точке
x o , если предел
,
и непрерывной слева в точке
x o, если предел
.
Непрерывность функции в точке x o
равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.
Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o
, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.
1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция
f(x) в точке
x o имеет разрыв первого рода,
или скачок
.
2. Если предел равен
+∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке
x o функция имеет разрыв
второго рода
.
Например, функция y = ctg x при x
→ +0 имеет предел, равный +∞
, значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x
) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.
Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной
в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.
Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.
Рассмотрим пример Я. И. Перельмана
, дающий интерпретацию числа e
в задаче о сложных процентах. Число e
есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100
×
1,5 = 150, а еще через полгода - в 150
×
1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100
×
(1 +1/3)
3
»
237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:
100
×
(1 +1/10) 10
»
259 (ден. ед.),
100
×
(1+1/100) 100
»
270 (ден. ед.),
100
×
(1+1/1000) 1000
»
271 (ден. ед.).
При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел
Пример 3.1.
Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.
Решение.
Нам надо доказать, что, какое бы
ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n N имеет место неравенство
|x n -1|
< ε.
Возьмем любое
e
> 0. Так как
;
x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n<
e
. Отсюда n>1/
e
и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/
e
, N = E(1/
e
). Мы тем самым доказали, что предел .
Пример 3
.2
. Найти предел последовательности, заданной общим членом .
Решение.
Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n
→ ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n
, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2
, а второго на n
. Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:
.
Пример 3.3
. . Найти .
Решение.
.
Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.
Пример 3
.4
. Найти ().
Решение.
Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида
∞-∞
. Преобразуем формулу общего члена:
.
Пример 3
.5
. Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.
Решение.
Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве x n
последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.
Пример 3
.6
. Доказать, что предел не существует.
Решение.
Пусть x 1 , x 2 ,..., x n ,... - последовательность, для которой Если x n =
p
n, то sin x n = sin
p
n = 0 при всех n
и предел Если же Виджет для вычисления пределов on-line В верхнем окошке вместо sin(x)/x введите функцию, предел которой надо найти. В нижнее окошко введите число, к которому стремится х и нажмите кнопку Calcular, получите искомый предел. А если в окне результата нажмете на Show steps в правом верхнем углу, то получите подробное решение. Правила ввода функций: sqrt(x)- квадратный корень, cbrt(x) - кубический корень, exp(x) - экспонента, ln(x) - натуральный логарифм, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan(x) - тангенс, cot(x) - котангенс, arcsin(x) - арксинус, arccos(x) - арккосинус, arctan(x) - арктангенс. Знаки: * умножения, / деления, ^ возведение в степень, вместо бесконечности
Infinity. Пример: функция вводится так sqrt(tan(x/2)). Теорема 1.
Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е. Доказательство
. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть .Тогда f(x)=b+α(x)
и g(x)=c+β(x)
, где α
и β
– бесконечно малые функции. Следовательно,
f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x))
. Так как b + c
есть постоянная величина, а α(x) + β(x)
– функция бесконечно малая, то Пример. Теорема 2.
Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций: Доказательство
. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x)
и g(x)=c+β(x)
и fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ +cα + αβ). Произведение bc
есть величина постоянная. Функция bβ + c α + αβ
на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому Следствие 1.
Постоянный множитель можно выносить за знак предела: Следствие 2.
Предел степени равен степени предела: Пример.
Теорема 3.
Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е. Доказательство
. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x)
и g(x)=c+β(x)
, где α, β
– бесконечно малые. Рассмотрим частное Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c 2 ≠0.
Примеры.
3. Рассмотрим . При x→1
числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится к 0. Но так как , т.е. есть бесконечно малая функция при x→
1, то Теорема 4.
Пусть даны три функции f(x), u(x)
и v(x)
, удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x)
. Если функции u(x)
и v(x)
имеют один и тот же предел при x→a
(или x→∞
), то и функция f(x)
стремится к тому же пределу, т.е. если Теорема 5.
Если при x→a
(или x→∞
) функция y=f(x)
принимает неотрицательные значения y≥0
и при этом стремится к пределуb
, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0
. Доказательство
. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b<0
, тогда |y – b|≥|b|
и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю при x→a
. Но тогда y
не стремится к пределу b
при x→a
, что противоречит условию теоремы. Теорема 6.
Если две функции f(x)
и g(x)
при всех значениях аргумента x
удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x)
и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥c
. Доказательство.
По условию теоремы f(x)-g(x) ≥0
, следовательно, по теореме 5 , или . 6. Раскрытие неопределенностей (0/0), ∞ -∞
I.
Неопределенность . При разложении числителя на множители воспользовались правилом деления многочлена на многочлен «углом». Так как число x
=1 является корнем многочлена x 3
– 6x 2
+ 11x
– 6, то при делении получим 7. Предел последовательности
. Понятие о натуральном логарифме.
ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1 ∞ и выглядит следующим образом Примеры:
Логарифм по основанию e
(e
- трансцендентное число, приближенно равное 2,718281828...) называется натуральным логарифмом
. Натуральный логарифм числа x
обозначается ln x
. Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах. Широко используются логарифмы по основанию , называемые натуральными. Натуральные логарифмы обозначаются символом Понятие предела функции.
Понятие непрерывности функции непосредственно связано с понятием предела функции. Число A называется пределом функции f в точке a, предельной для множества E, если для любой окрестности V(A) точки A, существует такая проколотая окрестность точки a, что её образ при отображении f является подмножеством заданной окрестности V(A) точки A. Предел функции f в точке a, предельной для множества E, обозначается так: или , если можно опустить упоминание множества E. Поскольку каждой окрестности может быть сопоставлена своя правильная (симметричная) окрестность, то определение предела можно сформулировать на языке -δ в том виде, как это принято в математическом анализе: Предел функции в точке f в точке a, предельной для множества E, непосредственно связан с пределом последовательности. Будем рассматривать всевозможные последовательности точек множества E, имеющих своим пределом точку a, и соответствующие им последовательности значений функции в точках последовательности. Если предел функции функции f в точке a существует, то этот предел будет пределом каждой последовательности . Верно и обратное: если все последовательности сходятся к одному и тому же значению, то функция имеет предел, равный данному значению. Сегодня на уроке мы разберём строгое определение последовательности
и строгое определение предела функции
, а также научимся решать соответствующие задачи теоретического характера. Статья предназначена, прежде всего, для студентов 1-го курса естественнонаучных и инженерно-технических специальностей, которые начали изучать теорию математического анализа, и столкнулись с трудностями в плане понимания этого раздела высшей математики. Кроме того, материал вполне доступен и учащимся старших классов. За годы существования сайта я получил недобрый десяток писем примерно такого содержания: «Плохо понимаю математический анализ, что делать?», «Совсем не понимаю матан, думаю бросить учёбу» и т.п. И действительно, именно матан часто прореживает студенческую группу после первой же сессии. Почему так обстоят дела? Потому что предмет немыслимо сложен? Вовсе нет! Теория математического анализа не столь трудна, сколько своеобразна
. И её нужно принять и полюбить такой, какая она есть =) Начнём с самого тяжёлого случая. Первое и главное – не надо бросать учёбу. Поймите правильно, бросить, оно всегда успеется;-) Безусловно, если через год-два от выбранной специальности будет тошнить, тогда да – следует задуматься (а не пороть горячку!)
о смене деятельности. Но пока стОит продолжить. И, пожалуйста, забудьте фразу «Ничего не понимаю» – так не бывает, чтобы СОВСЕМ ничего не понимать. Что делать, если с теорией плохо? Это, кстати, касается не только математического анализа. Если с теорией плохо, то сначала нужно СЕРЬЁЗНО налечь на практику. При этом решаются сразу две стратегические задачи: – Во-первых, значительная доля теоретических знаний появилась благодаря практике. И поэтому многие люди понимают теорию через… – всё верно! Нет-нет, вы не о том подумали =) – И, во-вторых, практические навыки с большой вероятностью «вытянут» вас на экзамене, даже если…, но не будем так настраиваться! Всё реально и всё реально «поднять» в достаточно короткие сроки. Математический анализ – это мой любимый раздел высшей математики, и поэтому я просто не мог не протянуть вам ноги руку помощи: В начале 1-го семестра обычно проходят пределы последовательностей и пределы функций. Не понимаете, что это такое и не знаете, как их решать? Начните со статьи Пределы функций
, в которой «на пальцах» рассмотрено само понятие и разобраны простейшие примеры. Далее проработайте другие уроки по теме, в том числе урок о пределах последовательностей
, на котором я фактически уже сформулировал строгое определение. Какие значки помимо знаков неравенств и модуля вы знаете? – длинная вертикальная палка читается так: «такое, что», «такая, что», «такой, что» либо «такие, что»
, в нашем случае, очевидно, речь идёт о номере – поэтому «такой, что»; – для всех «эн», бОльших чем ; – знак модуля означает расстояние
, т.е. эта запись сообщает нам о том, что расстояние между значениями меньше эпсилон. Ну как, убийственно сложно? =) После освоения практики жду вас в следующем параграфе: И в самом деле, немного порассуждаем – как сформулировать строгое определение последовательности? …Первое, что приходит на ум в свете практического занятия
: «предел последовательности – это число, к которому бесконечно близко приближаются члены последовательности». Хорошо, распишем последовательность
: Нетрудно уловить, что подпоследовательность
бесконечно близко приближаются к числу –1, а члены с чётными номерами – к «единице». А может быть предела два? Но тогда почему у какой-нибудь последовательности их не может быть десять или двадцать? Так можно далеко зайти. В этой связи логично считать, что если у последовательности существует предел, то он единственный
. Примечание
: у последовательности нет предела, однако из неё можно выделить две подпоследовательности (см. выше), у каждой из которых существует свой предел.
Таким образом, высказанное выше определение оказывается несостоятельным. Да, оно работает для случаев вроде
(чем я не совсем корректно пользовался в упрощённых объяснениях практических примеров)
, но сейчас нам нужно отыскать строгое определение. Попытка вторая: «предел последовательности – это число, к которому приближаются ВСЕ члены последовательности, за исключением, разве что их конечного
количества». Вот это уже ближе к истине, но всё равно не совсем точно. Так, например, у последовательности половина членов вовсе не приближается к нулю – они ему просто-напросто равны =) К слову, «мигалка» вообще принимает два фиксированных значения. Формулировку нетрудно уточнить, но тогда возникает другой вопрос: как записать определение в математических знаках? Научный мир долго бился над этой проблемой, пока ситуацию не разрешил известный маэстро
, который, по существу, и оформил классический матанализ во всей его строгости. Коши предложил оперировать окрестностями
, чем значительно продвинул теорию. Рассмотрим некоторую точку и её произвольную
-окрестность: Определение
: число называется пределом последовательности, если для любой
его окрестности (заранее выбранной)
существует натуральный номер – ТАКОЙ, что ВСЕ
члены последовательности с бОльшими номерами окажутся внутри окрестности: Или короче: , если Иными словами, какое бы малое значение «эпсилон» мы ни взяли, рано или поздно «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ окажется в этой окрестности. Так, например, «бесконечный хвост» последовательности
ПОЛНОСТЬЮ зайдёт в любую сколь угодно малую -окрестность точки . Таким образом, это значение является пределом последовательности по определению. Напоминаю, что последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой
. Следует отметить, что для последовательности уже нельзя сказать «бесконечный хвост зайдёт
» – члены с нечётными номерами по факту равны нулю и «никуда не заходят» =) Именно поэтому в определении использован глагол «окажутся». И, разумеется, члены такой последовательности, как тоже «никуда не идут». Кстати, проверьте, будет ли число её пределом. Теперь покажем, что у последовательности не существует предела. Рассмотрим, например, окрестность точки . Совершенно понятно, что нет такого номера, после которого ВСЕ члены окажутся в данной окрестности – нечётные члены всегда будут «выскакивать» к «минус единице». По аналогичной причине не существует предела и в точке . Закрепим материал практикой: Пример 1
Доказать что предел последовательности равен нулю. Указать номер , после которого, все члены последовательности гарантированно окажутся внутри любой сколь угодно малой -окрестности точки . Примечание
: у многих последовательностей искомый натуральный номер зависит от значения – отсюда и обозначение .
Решение
: рассмотрим произвольную
найдётся ли
номер – такой, что ВСЕ члены с бОльшими номерами окажутся внутри этой окрестности: Чтобы показать существование искомого номера , выразим через . Так как при любом значении «эн» , то знак модуля можно убрать: Используем «школьные» действия с неравенствами, которые я повторял на уроках Линейные неравенства
и Область определения функции
. При этом важным обстоятельством является то, что «эпсилон» и «эн» положительны: Поскольку слева речь идёт о натуральных номерах, а правая часть в общем случае дробна, то её нужно округлить: Примечание
: иногда для перестраховки справа добавляют единицу, но на самом деле это излишество. Условно говоря, если и мы ослабим результат округлением в меньшую сторону , то ближайший подходящий номер («тройка») всё равно будет удовлетворять первоначальному неравенству.
А теперь смотрим на неравенство и вспоминаем, что изначально мы рассматривали произвольную
-окрестность, т.е. «эпсилон» может быть равно любому
положительному числу. Вывод
: для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение . Таким образом, число является пределом последовательности по определению. Что и требовалось доказать
. К слову, из полученного результата хорошо просматривается естественная закономерность: чем меньше -окрестность – тем больше номер , после которого ВСЕ члены последовательности окажутся в данной окрестности. Но каким бы малым ни было «эпсилон» – внутри всегда будет «бесконечный хвост», а снаружи – пусть даже большое, однако конечное
число членов. Как впечатления? =) Согласен, что странновато. Но строго!
Пожалуйста, перечитайте и осмыслите всё ещё раз. Рассмотрим аналогичный пример и познакомимся с другими техническими приёмами: Пример 2
Решение
: по определению последовательности нужно доказать, что (проговариваем вслух!!!)
. Рассмотрим произвольную
-окрестность точки и проверим, существует ли
натуральный номер – такой, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство: Чтобы показать существование такого , нужно выразить «эн» через «эпсилон». Упрощаем выражение под знаком модуля: Модуль уничтожает знак «минус»: Знаменатель положителен при любом «эн», следовательно, палки можно убрать: Перетасовка: Теперь надо бы извлечь квадратный корень, но загвоздка состоит в том, что при некоторых «эпсилон» правая часть будет отрицательной. Чтобы избежать этой неприятности усилим
неравенство модулем: Почему так можно сделать? Если, условно говоря, окажется, что , то подавно будет выполнено и условие . Модуль может только увеличить
разыскиваемый номер , и это нас тоже устроит! Грубо говоря, если подходит сотый, то подойдёт и двухсотый! В соответствии с определением, нужно показать сам факт существования номера
(хоть какого-то), после которого все члены последовательности окажутся в -окрестности. Кстати, именно поэтому нам не страшнО финальное округление правой части в бОльшую сторону. Извлекаем корень: И округляем результат: Вывод
: т.к. значение «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение , такое, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство . Таким образом, по определению. Что и требовалось доказать
. Советую особо
разобраться в усилении и ослаблении неравенств – это типичные и очень распространённые приёмы математического анализа. Единственное, нужно следить за корректностью того или иного действия. Так, например, неравенство ни в коем случае нельзя ослаблять
, вычитая, скажем, единицу: Следующий пример для самостоятельного решения: Пример 3
Используя определение последовательности, доказать, что Краткое решение и ответ в конце урока. Если последовательность бесконечно велика
, то определение предела формулируется похожим образом: точка называется пределом последовательности, если для любого, сколь угодно большого
числа существует номер , такой, что для всех бОльших номеров , будет выполнено неравенство . Число называют окрестностью точки «плюс бесконечность»
: Иными словами, какое бы большое значение мы ни взяли, «бесконечный хвост» последовательности обязательно зайдёт в -окрестность точки , оставив слева лишь конечное число членов. Дежурный пример: И сокращённая запись: , если Для случая запишите определение самостоятельно. Правильная версия в конце урока. После того, как вы «набили» руку на практических примерах и разобрались с определением предела последовательности, можно обратиться к литературе по математическому анализу и/или своей тетрадке с лекциями. Рекомендую закачать 1-й том Бохана
(попроще – для заочников)
и Фихтенгольца (более подробно и обстоятельно)
. Из других авторов советую Пискунова, курс которого ориентирован на технические ВУЗы. Попытайтесь добросовестно изучить теоремы, которые касаются предела последовательности, их доказательства, следствия. Поначалу теория может казаться «мутной», но это нормально – просто нужно привыкнуть. И многие даже войдут во вкус! Начнём с того же самого – как сформулировать данное понятие? Словесное определение предела функции формулируется значительно проще: «число является пределом функции , если при «икс», стремящемся к (и слева, и справа)
, соответствующие значения функции стремятся к » (см. чертёж)
. Всё вроде бы нормально, но слова словами, смысл смыслом, значок значком, а строгих математических обозначений маловато. И во втором параграфе мы познакомимся с двумя подходами к решению данного вопроса. Пусть функция определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки . В учебной литературе общепринято считают, что функция там не
определена: Такой выбор подчёркивает суть предела функции
: «икс» бесконечно близко
приближается к , и соответствующие значения функции – бесконечно близко
к .
Иными словами, понятие предела подразумевает не «точный заход» в точки, а именно бесконечно близкое приближение
, при этом не важно – определена ли функция в точке или нет. Первое определение предела функции, что неудивительно, формулируется с помощью двух последовательностей. Во-первых, понятия родственные, и, во-вторых, пределы функций обычно изучают после пределов последовательностей. Рассмотрим последовательность точек (на чертеже отсутствуют)
, принадлежащих промежутку
и отличных от
, которая сходится
к . Тогда соответствующие значения функции тоже образуют числовую последовательность, члены которой располагаются на оси ординат. Предел функции по Гейне
для любой
последовательности точек (принадлежащих
и отличных от )
, которая сходится к точке , соответствующая последовательность значений функции сходится к . Эдуард Гейне – это немецкий математик. …И не надо тут ничего такого думать, гей в Европе всего лишь один – это Гей-Люссак =) Второе определение предела соорудил… да-да, вы правы. Но сначала разберёмся в его конструкции. Рассмотрим произвольную -окрестность точки («чёрная» окрестность)
. По мотивам предыдущего параграфа, запись означает, что некоторое значение
функции находится внутри «эпсилон»-окрестности. Теперь найдём -окрестность, которая соответствует заданной -окрестности (мысленно проводим чёрные пунктирные линии слева направо и затем сверху вниз)
. Обратите внимание, что значение выбирается
по длине меньшего отрезка, в данном случае – по длине более короткого левого отрезка. Более того, «малиновую» -окрестность точки можно даже уменьшить, поскольку в нижеследующем определении важен сам факт существования
этой окрестности. И, аналогично, запись означает, что некоторое значение находится внутри «дельта»-окрестности. Предел функции по Коши
: число называется пределом функции в точке , если для любой
заранее выбранной
окрестности (сколь угодно малой)
, существует
-окрестность точки , ТАКАЯ
, что: КАК ТОЛЬКО значения (принадлежащие )
входят в данную окрестность: (красные стрелки)
– ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции гарантированно зайдут в -окрестность: (синие стрелки)
. Должен предупредить, что в целях бОльшей доходчивости я немного сымпровизировал, поэтому не злоупотребляйте =) Короткая запись: , если В чём суть определения? Образно говоря, бесконечно уменьшая -окрестность, мы «сопровождаем» значения функции до своего предела, не оставляя им альтернативы приближаться куда-то ещё. Довольно необычно, но опять же строго! Чтобы как следует проникнуться идеей, перечитайте формулировку ещё раз. ! Внимание
: если вам потребуется сформулировать только определение по Гейне
или только определение по Коши
, пожалуйста, не забывайте о существенном
предварительном комментарии: «Рассмотрим функцию , которая определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки »
. Я обозначил это единожды в самом начале и каждый раз не повторял. Согласно соответствующей теореме математического анализа, определения по Гейне и по Коши эквивалентны, однако наиболее известен второй вариант (ещё бы!)
, который также называют «предел на языке »: Пример 4
Используя определение предела, доказать, что Решение
: функция определена на всей числовой прямой кроме точки . Используя определение , докажем существование предела в данной точке. Примечание
: величина «дельта»-окрестности зависит от «эпсилон», отсюда и обозначение
Рассмотрим произвольную
-окрестность. Задача состоит в том, чтобы по этому значению проверить, существует ли
-окрестность, ТАКАЯ
, что из неравенства следует неравенство . Предполагая, что , преобразуем последнее неравенство:
x n = ¥. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n ®¥ ?
x n =2pn+p/2, то sin x n = sin(2pn+p/2) = sin p/2 = 1 для всех n
и следовательно sin x n =1. Таким образом, sin x не существует.
i - ставка процентов (десятичная дробь), n - срок ренты (число лет). Члены ренты будут приносить проценты в течение n - 1, n - 2,..., 2, 1 и 0 лет, а наращенная величина членов ренты составит
= R´((1 + i) n - 1)/ i. Обозначим S n; i = ((1 + i) n - 1)/ i и будем называть его коэффициентом наращения ренты
. Если же проценты начисляются m
раз в году, то S = R´((1 + i/m) mn - 1)/((1 + i/m) m - 1), где i - номинальная ставка процентов.
сущности вечной ренты можно полагать, что ее наращенная сумма
равна бесконечно большой величине, что легко доказать по формуле:
R´((1 + i) n - 1)/ i ® ¥ при n ® ¥.
0 <
x-a
< ε
, значения функции f(x) будут лежать в
ε-окрестности числа А, т.е.
|f(x)-A|
<
ε.
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞
x n =2
p
n+
p
/2, то sin x n = sin(2
p
n+
p
/2) = sin
p
/2 = 1 для всех n
и следовательно предел . Таким образом, не существует.
Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его самостоятельно
. Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все)
некоторой последовательности . Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность? Пусть он находится в правой её части. Тогда расстояние между точками и должно быть меньше «эпсилон»: . Однако если «икс десятое» расположено левее точки «а», то разность будет отрицательна, и поэтому к ней нужно добавить знак модуля
: .
Опять же условно: если номер точно подойдёт, то предыдущий может уже и не подойти.Строгое определение предела функции
(разложили квадратный трёхчлен
)