Работа содержит 29 слайдов к уроку на тему "Построение треугольников по трем элементам"

n1) Познакомиться с задачами на построение треугольников;

n2) Вывести алгоритм решения задач на построение треугольников.

n3) Попытаться самостоятельно построить треугольники по трем элементам.

Алгоритм построения

1. Проведем прямую а .

2. Отложим на ней с помощью

циркуля отрезок АВ , равный

отрезку M1 N1 .

3. Построим угол ВАМ , равный

данному углу hk .

4. На луче АМ отложим отрезок

АС , равный отрезку M2 N 2 .

5. Проведём отрезок BC .

6. Построенный треугольник

АВС - искомый.

Алгоритм построения

1. Проведем луч АК с началом

в точке А .

2 От начала луча отложим

отрезок АВ , равный отрезку M1N1 .

3. Отложим от начала луча с

помощью циркуля угол С1АВ ,

равный углу hk .

4. Построим угол АВС2 , равный

углу mn .

5. Точку пересечения лучей

АС1 и ВС2 обозначим точкой С .

6. Построенный треугольник

АВС - искомый.

Алгоритм построения

1. Проведем прямую а .

АВ , равный отрезку M1N1 .

3. Построим окружность с

центром А и радиусом M2 N 2 .

4. Построим окружность с

центром В радиусом M3 N 3 .

точкой С .

6. Проведём отрезки АС и ВС .

7. Построенный треугольник АВС - искомый.

Просмотр содержимого документа
«презентация к уроку геометрии "Построение треугольников" 7 класс»

Задачи на построение

Построение угла равного данному

Задача

Дано:

Построение:

Построить:

6. окр(Е,ВC)

2. окр(А,г) ; г-любой

 KOM =  А

3 . окр(А; г)  А=  В; С 

7. окр(Е,BС)  окр(О,г)=  К;К 1 

4. окр(О,г)

5. окр(О,г)  ОМ=  Е 

Задача

Построить биссектрису данного угла

Дано :

Построить :

Луч AE - биссектрису  А

Построение :

5. окр(В; г 1)  окр(С; г 1)=  Е;E 1 

1. окр(А; г) ; г-любой

6. Е-внутри  A

2. окр(А; г)  А=  В; С 

3. окр(В;г 1)

4. окр(С;г 1)

8 . AE- искомый

Построение треугольника по трем элементам

• 1 группа - построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
• 2 группа - построение треугольника по двум углам и стороне между ними.
• 3 группа - построение треугольника по трем сторонам.

1. отрезки M 1 N 1 и M 2 N 2.

1. отрезок MN .

Надо: с помощью циркуля и линейки без масштабных делений построить треугольник.

Отрезки: M 1 N 1 , M 2 N 2 , M 3 N 3

Надо: с помощью циркуля и линейки без масштабных делений построить треугольник.

Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними

Игорь Жаборовский © 2011

UROKI MATEMATIKI .RU

Построение

Алгоритм построения

1. Проведем прямую а .

2. Отложим на ней с помощью

циркуля отрезок АВ , равный

отрезку M 1 N1 .

3. Построим угол ВАМ , равный

данному углу hk .

4. На луче АМ отложим отрезок

АС , равный отрезку M 2 N 2 .

5. Проведём отрезок BC .

6. Построенный треугольник

АВС – искомый.

Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам

Игорь Жаборовский © 2011

UROKI MATEMATIKI .RU

Алгоритм построения

1 . Проведем луч АК с началом

в точке А .

2 От начала луча отложим

отрезок АВ , равный отрезку M 1N1 .

3. Отложим от начала луча с

помощью циркуля угол С1АВ ,

равный углу hk .

4. Построим угол АВС2 , равный

углу mn .

5. Точку пересечения лучей

АС1 и ВС2 обозначим точкой С .

6. Построенный треугольник

АВС – искомый.

Построение

Из-за парт мы быстро встали

И на месте зашагали

• А теперь мы улыбнулись,
• Выше, выше потянулись.

Плечи ваши распрямите,

поднимите, опустите,

Впаво, влево повернитесь.

И за парту вновь садитесь.

Построить треугольник по трем его сторонам

Игорь Жаборовский © 2011

UROKI MATEMATIKI .RU

Построить треугольник по трем его сторонам

Алгоритм построения

1. Проведем прямую а .

2. Отложим на ней с помощью циркуля отрезок АВ , равный отрезку M 1N1 .

3. Построим окружность с

центром А и радиусом M 2 N 2 .

4. Построим окружность с

центром В радиусом M 3 N 3 .

5.Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим

точкой С .

6. Проведём отрезки АС и ВС .

7. Построенный треугольник АВС – искомый.

Игорь Жаборовский © 2011

UROKI MATEMATIKI .RU

Задача (самостоятельно)

Построить треугольник по трем его сторонам

Алгоритм построения

1. Проведем прямую а .

2. Отложим на ней с помощью циркуля отрезок ОД = 4 см

3. Построим окружность с

центром О и радиусом ОЕ = 2 см.

4. Построим окружность с

центром Д и радиусом ДЕ = 3см.

5. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим

точкой Е .

6. Проведём отрезки ОЕ и ДЕ .

7. Построенный треугольник

ОЕД – искомый.

Дано: ОД = 4 см,

ДЕ = 3 см,

ЕО = 2 см.

Игорь Жаборовский © 2011

UROKI MATEMATIKI .RU

• П. 38 стр.84 (памятку выучить)
• № 291 (а,б)

• Задача 1 : на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.
• Решение.
• Изобразим фигуры, данные в условии задачи: луч ОС и отрезок АВ.
• Затем циркулем построим окружность радиуса АВ с центром О. Эта окружность пересечет луч ОС в некоторой точке D.
• Отрезок OD – искомый.

• Задача 2: отложить от данного луча угол, равный данному.
• Решение.
• Изобразим фигуры, данные в условии: угол с вершиной А и луч ОМ.
• Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С.

• Затем проведем окружность того же радиуса с центром в начале данного луча ОМ. Она пересекает луч в точке D. После этого построим окружность с центром D, радиус, которой равен ВС. Окружности пересекаются в
• двух точках. Одну обозначим
• буквой Е. Получим угол МОЕ

Решение:

• Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. Решение:
• Прежде всего уточним, как нужно понимать эту задачу, т. е. что здесь дано и что нужно построить.
• Даны отрезки Р1Q1, Р2Q2 угол hк.
• Р1 Q1
• Р2 Q2 h

• Требуется с помощью циркуля и линейки (без масштабных делений) построить такой треугольник АВС, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны данным отрезкам Р1Q1
• и Р2Q2, а угол А между этими сторонами равен данному углу hк.

• Проведем прямую а и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку Р1Q1
• Затем построим угол ВАМ, равный данному углу hк. (как это сделать, мы знаем).
• На луче АМ отложим отрезок АС, равный отрезку Р2Q2, и проведем отрезок ВС.
• В самом деле, по построению АВ= Р1Q1, АС= Р2Q2, А=hк.

• Построенный треугольник АВС - искомый.
• В самом деле, по построению АВ= Р1Q1, АС= Р2Q2,
• А=hк.

• Описанный ход построения показывает, что при любых данных отрезках Р1Q1, Р2Q2 и данном неразвернутом угле hк искомый треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу (по первому признаку равенства треугольников), поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение.

Задача 2

• Построить треугольник по стороне и двум
• прилежащим к ней углам.
• Р1 Q1

• как выполнялось построение?
• всегда ли задача имеет решение?

Задача 3

• Построить треугольник по трем его сторонам.
• Решение.
• Пусть даны отрезки Р1Q1, Р2Q2 и Р3Q3. Требуется построить треугольник АВС, в котором
• Проведем прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку Р1Q1 . Затем построим две окружности: одну - с центром А и радиусом Р2Q2.,

• а другую - с центром В и радиусом Р3Q3 .
• Пусть точка С - одна из точек пересечения этих окружностей. Проведя отрезки АС и ВС, получим искомый треугольник АВС.
• Р1 Q1
• Р2 Q2
• Р3 Q3

• A B а
• Построение треугольника по трем сторонам.

• Построенный треугольник АВС, в котором
• АВ = Р1Q1, AC= Р2Q2, BC= Р3Q3 .

• В самом деле, по построению АВ = Р1Q1,
• AC= Р2Q2, BC= Р3Q3 , т.е. стороны треугольника АВС равны данным отрезкам.
• Задача 3 не всегда имеет решение.
• Действительно, во всяком треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны, поэтому если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.

Итог урока.

• Рассмотрим схему, по которой обычно решают задачи на построение с помощью циркуля и линейки.
• Она состоит из частей:
• 1. Отыскание способа решения задачи путём установления связей между искомыми элементами и данными задачи. Анализ дает возможность составить план решения задачи на построение.
• 2. Выполнение построения по намеченному плану.
• 3. Доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.
• 4. Исследование задачи, т.е. выяснение вопроса о том, при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько решений .

№286

• Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.
• Решение .
• Требуется построить треугольник АВС, у которого одна из сторон, например АС, равна данному отрезку P1Q1, угол А равен данному
• углу hк, а биссектриса АD этого треугольника равна данному
• отрезку P2Q2.
• Даны отрезки P1 Q1 и P2Q2 и угол hк (рисунок а).
• P1 Q1 P2 Q2
• рисунок а

Построение (рисунок б).

• Построение (рисунок б).
• 1) Построим угол ХАУ, равный данному углу hк.
• 2)На луче АУ отложим отрезок АС, равный данному отрезку P1Q1.
• 3)Построим биссектрису АF угла ХАУ.
• 4) На луче АF отложим отрезок АD, равный данному отрезку Р2Q2
• 5) Искомая вершина В - точка пересечения луча АХ с прямой СD. Построенный треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи: АС=Р1Q1,
• А = hк, АD = Р2Q2 , где АD - биссектриса треугольника АВС.

• рисунок б

• Вывод : построенный треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи:
• AC= P1 Q1 ; A=hk, AD= P2Q2 ,
• где AD - биссектриса треугольника АВС

Дано: 1. отрезки P 1 Q 1 и P 2 Q угол hk Надо: с помощью циркуля и линейки без масштабных делений построить треугольник. P1P1 P2P2 Q1Q1 Q2Q2 h k

Алгоритм построения 1. Проведем прямую а. 2. Отложим на ней с помощью циркуля отрезок АВ, равный отрезку P 1 Q Построим угол ВАМ,равный данному углу hk. 4. На луче АМ отложим отрезок АС, равный отрезку P 2 Q Проведём отрезок BC. 6. Построенный треугольник АВС – искомый. Построение АВ С М а

Дано: 1. отрезки P 1 Q угол hk и mn Надо: с помощью циркуля и линейки без масштабных делений построить треугольник. P1P1 Q1Q1 h k m n

Алгоритм построения 1. Проведем луч АК с началом в точке А. 2. Отложим от начала луча с помощью циркуля угол С 1 АВ, равный углу hk. 3. От начала луча отложим отрезок АВ, равный отрезку P 1 Q Построим угол АВС 2, равный углу mn. 5. Точку пересечения лучей АС 1 и ВС 2 обозначим точкой С. 6. Построенный треугольник АВС – искомый. Построение С1С1 С2С2 С АВК

Алгоритм построения 1. Проведем прямую а. 2. Отложим на ней с помощью циркуля отрезок АВ, равный отрезку Р 1 Q Построим окружность с центром А и радиусом Р 3 Q Построим окружность с центром В и радиусом Р 2 Q Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим точкой С. 6. Проведём отрезки АС и ВС. 7. Построенный треугольник АВС – искомый. Построение а АВ С

1. Доказать, что перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из этой же точки к этой прямой. 2. Доказать, что все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. 3. Решить задачу № 274.

3.Укажите наклонные, проведенные из точки А к прямой BD . 4. Что называется расстоянием от точки до прямой? 5. Что называется расстоянием между двумя параллельными прямыми? 1. Укажите отрезок, который является перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой BD . 2. Объясните, какой отрезок называется наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой.

Найти расстояние от точки А до прямой а. Дано: КА = 7 см. Найти: расстояние от точки А до прямой а. Рис. 4.192.

1. Объяснить, как отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному. 2. Объяснить, как отложить от данного луча угол, равный данному. 3. Объяснить, как построить биссектрису данного угла. 4. Объяснить, как построить прямую, проходящую через данную точку, лежащую на данной прямой, и перпендикулярную к этой прямой. 5. Объяснить, как построить середину данного отрезка. Построение треугольника по трём элементам.

1 ряд. Дано: Рис. 4.193. Построить: АВС такой, что АВ = PQ, A= М, В = N, с помощью циркуля и линейки без делений. 2 ряд. Дано: Рис. 4.194. Построить: АВС такой, что АВ = MN, AC= RS, A= Q, с помощью циркуля и линейки без делений. 3 ряд. Дано: Рис. 4.195. Построить: АВС такой, что АВ = MN, ВС = PQ, AC= RS, с помощью циркуля и линейки без делений.

D С Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. hk h Построим луч а. Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q 1 . Построим угол, равный данному. Отложим отрезок АС, равный P 2 Q 2 . В А Δ АВС искомый. Дано: Отрезки Р 1 Q 1 и Р 2 Q 2 , Q 1 P 1 P 2 Q 2 а k Док-во: По построению AB=P 1 Q 1 , AC=P 2 Q 2 , A= hk . Построить. Построение.

При любых данных отрезках AB=P 1 Q 1 , AC=P 2 Q 2 и данном неразвернутом hk искомый треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу (по первому признаку равенства треугольников), поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение.

D С Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам. h 1 k 1 , h 2 k 2 h 2 Построим луч а. Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q 1 . Построим угол, равный данному h 1 k 1 . Построим угол, равный h 2 k 2 . В А Δ АВС искомый. Дано: Отрезок Р 1 Q 1 Q 1 P 1 а k 2 h 1 k 1 N Док-во: По построению AB=P 1 Q 1 , В = h 1 k 1 , А= h 2 k 2 . Построить Δ . Построение.

С Построим луч а. Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q 1 . Построим дугу с центром в т. А и радиусом Р 2 Q 2 . Построим дугу с центром в т.В и радиусом P 3 Q 3 . В А Δ АВС искомый. Дано: Отрезки Р 1 Q 1 , Р 2 Q 2 , P 3 Q 3 . Q 1 P 1 P 3 Q 2 а P 2 Q 3 Построение треугольника по трем сторонам. Док-во: По построению AB=P 1 Q 1 , AC=P 2 Q 2 CA= P 3 Q 3 , т. е. стороны Δ ABC равны данным отрезкам. Построить Δ . Построение.

Задача не всегда имеет решение. Во всяком треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны, поэтому если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.

Задача № 286, 288.

Домашнее задание: § 23, 37 - повторить, § 38!!! Вопросы 19, 20 с. 90. Решить задачи № 273, 276, 287, Разобрать задачу № 284.