На данном уроке мы опишем виды симметрии в пространстве, познакомимся с понятием правильного многогранника.

Как и в планиметрии, в пространстве мы будем рассматривать симметрию относительно точки и относительно прямой, но дополнительно появится симметрия относительно плоскости.

Определение.

Точки А и называются симметричными относительно точки О (центра симметрии), если О - середина отрезка . Точка О симметрична сама себе.

Чтобы для заданной точки А получить симметричную ей точку относительно точки О, нужно провести прямую через точки А и О, отложить от точки О отрезок, равный ОА, и получить искомую точку (рисунок 1).

Рис. 1. Симметрия относительно точки

Аналогично точки В и симметричны относительно точки О, т. к. О - середина отрезка .

Так, задан закон, согласно которому каждая точка плоскости переходит в другую точку плоскости, и мы говорили, что при этом сохраняются любые расстояния, то есть .

Рассмотрим симметрию относительно прямой в пространстве.

Чтобы получить для заданной точки А симметричную точку относительно некоторой прямой а, нужно из точки А на прямую опустить перпендикуляр и отложить на нем равный отрезок (рисунок 2).

Рис. 2. Симметрия относительно прямой в пространстве

Определение.

Точки А и называются симметричными относительно прямой а (ось симметрии) если прямая а проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему. Каждая точка прямой симметрична сама себе.

Определение.

Точки А и называются симметричными относительно плоскости (плоскость симметрии) если плоскость проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему. Каждая точка плоскости симметрична сама себе (рисунок 3).

Рис. 3. Симметрия относительно плоскости

Некоторые геометрические фигуры могут иметь центр симметрии, ось симметрии, плоскость симметрии.

Определение.

Точка О называется центром симметрии фигуры если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Например, в параллелограмме и параллелепипеде точка пересечения всех диагоналей является центром симметрии. Проиллюстрируем для параллелепипеда.

Рис. 4. Центр симметрии параллелепипеда

Так, при симметрии относительно точки О в параллелепипеде точка А переходит в точку , точка В - в точку и т. д., таким образом, параллелепипед переходит сам в себя.

Определение.

Прямая называется осью симметрии фигуры если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Например, каждая диагональ ромба является для него осью симметрии, ромб переходит сам в себя при симметрии относительно любой из диагоналей.

Рассмотрим пример в пространстве - прямоугольный параллелепипед (боковые ребра перпендикулярны основаниям, в основаниях - равные прямоугольники). Такой параллелепипед имеет оси симметрии. Одна из них проходит через центр симметрии параллелепипеда (точку пересечения диагоналей) и центры верхнего и нижнего оснований.

Определение.

Плоскость называется плоскостью симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Например, прямоугольный параллелепипед имеет плоскости симметрии. Одна из них проходит через середины противоположных ребер верхнего и нижнего оснований (рисунок 5).

Рис. 5. Плоскость симметрии прямоугольного параллелепипеда

Элементы симметрии присущи правильным многогранникам.

Определение.

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники, а в каждой вершине сходится одинаковое число ребер.

Теорема.

Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при .

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда - правильный шестиугольник. Все его внутренние углы равны :

Тогда при внутренние углы будут и больше.

В каждой вершине многогранника сходятся не менее трех ребер, значит, в каждой вершине содержится не менее трех плоских углов. Их общая сумма (при условии, что каждый больше либо равен ) больше либо равна . Это противоречит утверждению: в выпуклом многограннике сумма плоских всех углов при каждой вершине меньше .

Теорема доказана.

Куб (рисунок 6):

Рис. 6. Куб

Куб составлен из шести квадратов; квадрат - это правильный многоугольник;

Каждая вершина - это вершина трех квадратов, например вершина А - общая для граней-квадратов ABCD, ;

Сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет , т. к. состоит из трех прямых углов. Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника;

Куб имеет центр симметрии - точка пересечения диагоналей;

Куб имеет оси симметрии, например прямые а и b (рисунок 6), где прямая а проходит через середины противоположных граней, а b - через середины противоположных ребер;

Куб имеет плоскости симметрии, например плоскость, которая проходит через прямые а и b.

2. Правильный тетраэдр (правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны между собой):

Рис. 7. Правильный тетраэдр

Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников;

Сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет , т. к. правильный тетраэдр состоит из трех плоских углов по . Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника;

Правильный тетраэдр имеет оси симметрии, они проходят через середины противоположных ребер, например прямая MN. Кроме того, MN - расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD, MN перпендикулярно ребрам АВ и CD;

Правильный тетраэдр имеет плоскости симметрии, каждая проходит через ребро и середину противоположного ребра (рисунок 7);

Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.

3. Правильный октаэдр:

Состоит из восьми равносторонних треугольников;

В каждой вершине сходятся по четыре ребра;

Сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет , т. к. правильный октаэдр состоит из четырех плоских углов по . Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника.

4. Правильный икосаэдр:

Состоит из двадцати равносторонних треугольников;

В каждой вершине сходятся по пять ребер;

Сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет , т. к. правильный икосаэдр состоит из пяти плоских углов по . Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника.

5. Правильный додекаэдр:

Состоит из двенадцати правильных пятиугольников;

В каждой вершине сходятся по три ребра;

Сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет . Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника.

Итак, мы рассмотрели виды симметрии в пространстве и дали строгие определения. Также определили понятие правильного многогранника, рассмотрели примеры таких многогранников и их свойства.

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е изд., испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2008. - 233 с.: ил.

1. Matemonline.com ().
2. Fmclass.ru ().
3. 5klass.net ().

Домашнее задание

1. Укажите количество осей симметрии прямоугольного параллелепипеда;
2. укажите количество осей симметрии правильной пятиугольной призмы;
3. укажите количество плоскостей симметрии октаэдра;
4. постройте пирамиду, у которой есть все элементы симметрии.

- (определение ) геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками - гранями .

Примеры многогранников:

Стороны граней называются ребрами, а концы ребер - вершинами. По числу граней различают 4-гранники, 5-гранники и т.д. Многогранник называется выпуклым , если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Многогранник называется правильным , если его грани правильные многоугольники (т.е. такие, у которых все стороны и углы равны) и все многогранные углы при вершинах равны. Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр , икосаэдр .

Многогранник в трехмерном пространстве (понятие многогранника) - совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что

1) каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);

2) от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого в свою очередь - к смежному с ним, и т.д.

Эти многоугольники называются гранями , их стороны ребрами , а их вершины - вершинами многогранника.

Вершины многогранника

Ребра многогранника

Грани многогранника

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.

Из этого определения следует, что все грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Поверхность выпуклого многогранника состоит из граней, которые лежат в разных плоскостях. При этом ребрами многогранника являются стороны многоугольников, вершинами многогранника – вершины граней, плоскими углами многогранника – углы многоугольников – граней.

Выпуклый многогранник, все вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях, называется призматоидом . Призма, пирамида и усеченная пирамида – частные случаи призматоида. Все боковые грани призматоида являются треугольниками или четырехугольниками, причем четырехугольные грани – это трапеции или параллелограммы.

Многогранники не только занимают видное место в геометрии, но и встречаются в повседневной жизни каждого человека. Не говоря уже об искусственно созданных предметах обихода в виде различных многоугольников, начиная со спичечного коробка и заканчивая архитектурными элементами, в природе также встречаются кристаллы в форме куба (соль), призмы (хрусталь), пирамиды (шеелит), октаэдра (алмаз) и т. д.

Понятие многогранника, виды многогранников в геометрии

Геометрия как наука содержит раздел стереометрию, изучающую характеристики и свойства объёмных тела, стороны которых в трёхмерном пространстве образованы ограниченными плоскостями (гранями), носят название "многогранники". Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей, отличающихся количеством и формой граней.

Тем не менее у всех многогранников есть общие свойства:

1. Все они имеют 3 неотъемлемых компонента: грань (поверхность многоугольника), вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней), ребро (сторона фигуры или отрезок, образованный в месте стыка двух граней).
2. Каждое ребро многоугольника соединяет две, и только две грани, которые по отношению друг к другу являются смежными.
3. Выпуклость означает, что тело полностью расположено только по одну сторону плоскости, на которой лежит одна из граней. Правило применимо ко всем граням многогранника. Такие геометрические фигуры в стереометрии называют термином выпуклые многогранники. Исключение составляют звёздчатые многогранники, которые являются производными правильных многогранных геометрических тел.

Многогранники можно условно разделить на:

1. Виды выпуклых многогранников, состоящих из следующих классов: обычные или классические (призма, пирамида, параллелепипед), правильные (также называемые Платоновыми телами), полуправильные (второе название - Архимедовы тела).
2. Невыпуклые многогранники (звёздчатые).

Призма и её свойства

Стереометрия как раздел геометрии изучает свойства трёхмерных фигур, виды многогранников (призма в их числе). Призмой называют геометрическое тело, которое имеет обязательно две совершенно одинаковые грани (их также называют основаниями), лежащие в параллельных плоскостях, и n-ое число боковых граней в виде параллелограммов. В свою очередь, призма имеет также несколько разновидностей, в числе которых такие виды многогранников, как:

1. Параллелепипед - образуется, если в основании лежит параллелограмм - многоугольник с 2 парами равных противоположных углов и двумя парами конгруэнтных противоположных сторон.
2. имеет перпендикулярные к основанию рёбра.
3. характеризуется наличием непрямых углов (отличных от 90) между гранями и основанием.
4. Правильная призма характеризуется основаниями в виде с равными боковыми гранями.

Основные свойства призмы:

• Конгруэнтные основания.
• Все рёбра призмы равны и параллельны по отношению друг к другу.
• Все боковые грани имеют форму параллелограмма.

Пирамида

Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из одного основания и из n-го числа треугольных граней, соединяющихся в одной точке - вершине. Следует отметить, что если боковые грани пирамиды представлены обязательно треугольниками, то в основании может быть как треугольный многоугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в основании пирамиды лежит треугольник - это , четырёхугольник - четырёхугольная, и т. д.

Пирамиды - это конусоподобные многогранники. Виды многогранников этой группы, кроме вышеперечисленных, включают также следующих представителей:

1. имеет в основании правильный многоугольник, и высота ее проектируется в центр окружности, вписанной в основание или описанной вокруг него.
2. Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из боковых рёбер пересекается с основанием под прямым углом. В таком случае это ребро справедливо также назвать высотой пирамиды.

Свойства пирамиды:

• В случае если все боковые рёбра пирамиды конгруэнтны (одинаковой высоты), то все они пересекаются с основанием под одним углом, а вокруг основания можно прочертить окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины пирамиды.
• Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то все боковые рёбра конгруэнтны, а грани являются равнобедренными треугольниками.

Правильный многогранник: виды и свойства многогранников

В стереометрии особое место занимают геометрические тела с абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники. Виды многогранников с такими свойствами насчитывают всего пять фигур:

1. Тетраэдр.
2. Гексаэдр.
3. Октаэдр.
4. Додекаэдр.
5. Икосаэдр.

Своим названием правильные многогранники обязаны древнегреческому философу Платону, описавшему эти геометрические тела в своих трудах и связавшему их с природными стихиями: земли, воды, огня, воздуха. Пятой фигуре присуждали сходство со строением Вселенной. По его мнению, атомы природных стихий по форме напоминают виды правильных многогранников. Благодаря своему самому захватывающему свойству - симметричности, эти геометрические тела представляли большой интерес не только для древних математиков и философов, но и для архитекторов, художников и скульпторов всех времён. Наличие всего лишь 5 видов многогранников с абсолютной симметрией считалось фундаментальной находкой, им даже присуждали связь с божественным началом.

Гексаэдр и его свойства

В форме шестигранника преемники Платона предполагали сходство со строением атомов земли. Конечно же, в настоящее время эта гипотеза полностью опровергнута, что, однако, не мешает фигурам и в современности привлекать умы известных деятелей своей эстетичностью.

В геометрии гексаэдр, он же куб, считается частным случаем параллелепипеда, который, в свою очередь, является разновидностью призмы. Соответственно и свойства куба связаны со с той лишь разницей, что все грани и углы куба равны между собой. Из этого вытекают следующие свойства:

1. Все рёбра куба конгруэнтны и лежат в параллельных плоскостях по отношению друг к другу.
2. Все грани - конгруэнтные квадраты (всего в кубе их 6), любой из которых может быть принят за основание.
3. Все межгранные углы равны 90.
4. Из каждой вершины исходит равное количество рёбер, а именно 3.
5. Куб имеет 9 которые все пересекаются в точке пересечения диагоналей гексаэдра, именуемой центром симметрии.

Тетраэдр

Тетраэдр - это четырёхгранник с равными гранями в форме треугольников, каждая из вершин которых является точкой соединения трёх граней.

Свойства правильного тетраэдра:

1. Все грани тетраэда - это из чего следует, что все грани четырёхгранника конгруэнтны.
2. Так как основание представлено правильной геометрической фигурой, то есть имеет равные стороны, то и грани тетраэдра сходятся под одинаковым углом, то есть все углы равны.
3. Сумма плоских углов при каждой из вершин равняется 180, так как все углы равны, то любой угол правильного четырёхгранника составляет 60.
4. Каждая из вершин проецируется в точку пересечения высот противоположной (ортоцентр) грани.

Октаэдр и его свойства

Описывая виды правильных многогранников, нельзя не отметить такой объект, как октаэдр, который визуально можно представить в виде двух склеенных основаниями четырёхугольных правильных пирамид.

Свойства октаэдра:

1. Само название геометрического тела подсказывает количество его граней. Восьмигранник состоит из 8 конгруэнтных равносторонних треугольников, в каждой из вершин которого сходится равное количество граней, а именно 4.
2. Так как все грани октаэдра равны, равны и его межгранные углы, каждый из которых равняется 60, а сумма плоских углов любой из вершин составляет, таким образом, 240.

Додекаэдр

Если представить, что все грани геометрического тела представляют собой правильный пятиугольник, то получится додекаэдр - фигура из 12 многоугольников.

Свойства додекаэдра:

1. В каждой вершине пересекаются по три грани.
2. Все грани равны и имеют одинаковую длину рёбер, а также равную площадь.
3. У додекаэдра 15 осей и плоскостей симметрии, причём любая из них проходит через вершину грани и середину противоположного ей ребра.

Икосаэдр

Не менее интересная, чем додекаэдр, фигура икосаэдр представляет собой объёмное геометрическое тело с 20 равными гранями. Среди свойств правильного двадцатигранника можно отметить следующие:

1. Все грани икосаэдра - равнобедренные треугольники.
2. В каждой вершине многогранника сходится пять граней, и сумма смежных углов вершины составляет 300.
3. Икосаэдр имеет так же, как и додекаэдр, 15 осей и плоскостей симметрии, проходящих через середины противоположных граней.

Полуправильные многоугольники

Кроме Платоновых тел, в группу выпуклых многогранников входят также Архимедовы тела, которые представляют собой усечённые правильные многогранники. Виды многогранников данной группы обладают следующими свойствами:

1. Геометрические тела имеют попарно равные грани нескольких типов, например, усечённый тетраэдр имеет так же, как и правильный тетраэдр, 8 граней, но в случае Архимедова тела 4 грани будут треугольной формы и 4 - шестиугольной.
2. Все углы одной вершины конгруэнтны.

Звёздчатые многогранники

Представители необъёмных видов геометрических тел - звёздчатые многогранники, грани которых пересекаются друг с другом. Они могут быть образованы путём слияния двух правильных трёхмерных тел либо в результате продолжения их граней.

Таким образом, известны такие звёздчатые многогранники, как: звёздчатые формы октаэдра, додекаэдра, икосаэдра, кубооктаэдра, икосододекаэдра.

Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести "Правильные многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета.

Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. "Правильных многогранников вызывающе мало, - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".

Каково же это вызывающе малое количество и почему их именно столько. А сколько? Оказывается, ровно пять - ни больше ни меньше. Подтвердить это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла. В самом деле, для того чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник согласно его определению, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником. Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360 о, иначе никакой многогранной поверхности не получится. Перебирая возможные целые решения неравенств: 60к < 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника), рис.1.

Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.

Гармоничные отношения древние греки считали основой мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией: земля/вода=воздух/огонь . Атомы "стихий" настраивались Платоном в совершенных консонансах, как четыре струны лиры. Напомню, что консонансом называется приятное созвучие. Надо сказать, что своеобразные музыкальные отношения в платоновых телах являются чисто умозрительными и не имеют под собой никакой геометрической основы. Этими отношениями не связаны ни число вершин платоновых тел, ни обьемы правильных многогранников, ни число ребер или граней.

В связи с этими телами уместно будет сказать, что первая система элементов, включавшая четыре элемента - землю, воду, воздух и огонь, - была канонизирована Аристотелем. Эти элементы оставались четырьмя краеугольными камнями мироздания в течение многих веков. Вполне возможно отождествить их с известными нам четырьмя состояниями вещества - твердым, жидким, газообразным и плазменным.

Важное место занимали правильные многогранники в системе гармоничного устройства мира И. Кеплера. Все та же вера в гармонию, красоту и математически закономерное устройство мироздания привела И. Кеплера к мысли о том, что поскольку существует пять правильных многогранников, то им соответствуют только шесть планет. По его мнению, сферы планет связаны между собой вписанными в них платоновыми телами. Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце.

Проделав огромную вычислительную работу, в 1596 г. И. Кеплер в книге "Тайна мироздания" опубликовал результаты своего открытия. В сферу орбиты Сатурна он вписывает куб, в куб - сферу Юпитера, в сферу Юпитера - тетраэдр, и так далее последовательно вписываются друг в друга сфера Марса - додекаэдр, сфера Земли - икосаэдр, сфера Венеры - октаэдр, сфера Меркурия. Тайна мироздания кажется открытой.

Сегодня можно с уверенностью сказать, что расстояния между планетами не связаны ни с какими многогранниками. Впрочем, возможно, что без "Тайны мироздания", "Гармонии мира" И. Кеплера, правильных многогранников не было бы трех знаменитых законов И. Кеплера, которые играют важную роль в описании движения планет.

Где еще можно увидеть эти удивительные тела? В очень красивой книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля "Красота форм в природе" можно прочитать такие строки: "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы". Создания природы, приведенные в этой книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Но здесь видно и одноклеточные организмы - феодарии, форма которых точно передает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший обьем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.

Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так, куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl, монокристалл алюминиево-калиевых квасцов (KAlSO4)2 12Н2О имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, сурьменистый сернокислый натрий - тетраэдра, бор - икосаэдра. Правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ. Проиллюстрирую эту мысль следующей задачей.

Задача. Модель молекулы метана CH4 имеет форму правильного тетраэдра, в четырех вершинах которого находятся атомы водорода, а в центре - атом углерода. Определить угол связи между двумя СН связями.

Решение. Так как правильный тетраэдр имеет шесть равных ребер, то можно подобрать такой куб, чтобы диагонали его граней были ребрами правильного тетраэдра (рис.2). Центр куба является и центром тетраэдра, ведь четыре вершины тетраэдра являются и вершинами куба, а описываемая около них сфера однозначно определяется четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости. Искомый угол j между двумя СН связями равен углу АОС. Треугольник АОС-равнобедренный. Отсюда, где а - сторона куба, d- длина диагонали боковой грани или ребро тетраэдра. Итак, откуда =54,73561 О и j= 109,47 О

Идеи Пифагора, Платона, И. Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира уже в наше время нашли свое продолжение в интересной научной гипотезе, авторами которой (в начале 80-х годов) явились московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли (рис.3), проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Их 62 вершины и середины ребер, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления.

Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Итак, было выяснено, что правильных многогранников ровно пять. А как определить в них количество ребер, граней, вершин? Это нетрудно сделать для многогранников с небольшим числом ребер, а как, например, получить такие сведения для икосаэдра? Знаменитый математик Л. Эйлер получил формулу В+Г-Р=2, которая связывает число вершин /В/, граней /Г/ и ребер /Р/ любого многогранника. Простота этой формулы заключается в том, что она не связана ни с расстоянием, ни с углами. Для того чтобы определить число ребер, вершин и граней правильного многогранника, найдем сначала число к=2у - ху+2х, где х - число ребер, принадлежащих одной грани, у - число граней, сходящихся в одной вершине. Для нахождения количества граней, вершин и ребер правильного многогранника используем формулы. После этого нетрудно заполнить таблицу, в которой приведены сведения об элементах правильных многогранников:

многогранник Г В Р

тетраэдр 4-4-6

гексаэдр 6-8-12

октаэдр 8-6-12

додекаэдр 12-20-30

икосаэдр 20-12-30

И еще один вопрос возникает в связи с правильными многогранниками: можно ли ими заполнить пространство так, чтобы между ними не было просветов? Он возникает по аналогии с правильными многоугольниками, некоторыми из которых можно заполнить плоскость. Оказывается, заполнить пространство можно только с помощью одного правильного многогранника-куба. Пространство можно заполнить и ромбическими додекаэдрами. Чтобы это понять, надо решить задачу.

Задача. С помощью семи кубов, образующих пространственный "крест", постройте ромбододекаэдр и покажите, что ими можно заполнить пространство.

Решение. Кубами можно заполнить пространство. Рассмотрим часть кубической решетки, изображенной на рис.4. Средний куб оставим нетронутым, а в каждом из "окаймляющих" кубов проведем плоскости через все шесть пар противолежащих ребер. При этом "окаймляющие" кубы разобьются на шесть равных пирамид с квадратными основаниями и боковыми ребрами, равными половине диагонали куба. Пирамиды, примыкающие к нетронутому кубу, и образуют вместе с последним ромбический додекаэдр. Отсюда ясно, что ромбическими додекаэдрами можно заполнить все пространство. Как следствие получаем, что объем ромбического додекаэдра равен удвоенному объему куба, ребро которого совпадает с меньшей диагональю грани додекаэдра.

Решая последнюю задачу, мы пришли к ромбическим додекаэдрам. Интересно, что пчелиные ячейки, которые также заполняют пространство без просветов, также являются в идеале геометрическими фигурами. Верхняя часть пчелиной ячейки представляет собой часть ромбододекаэдра.

Итак, правильные многогранники открыли нам попытки ученых приблизиться к тайне мировой гармонии и показали неотразимую привлекательность геометрии.

Главная > Реферат

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №3

РЕФЕРАТ

по геометрии

Тема:

«Многогранники».

Выполнила: ученица 11-«б» классаМОУ СОШ №3Алябьева Юлия.Проверила: преподаватель математикиСергеева Любовь Алексеевна.

г. Железноводск

План

I. Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II. Теоретическая часть

Двугранный угол. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Трехгранный и многогранный углы. . . . . . . . . . . . . . . . 4 Многогранник. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Призма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Изображение призмы и построение ее сечений. . . . . 7 Прямая призма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Параллелепипед. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Центральная симметрия параллелепипеда. . . . . . . . 10 Прямоугольный параллелепипед. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

10. Симметрия прямоугольного параллелепипеда. . . . 12 11. Пирамида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 12. Построение пирамиды и ее плоских сечений. . . . . . 13 13. Усеченная пирамида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 14. Правильная пирамида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15. Правильные многогранники. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 III. Практическая часть. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IV. Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 V. Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

I. Введение

Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести "Многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как многогранники. "Многогранников вызывающе мало, - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".

II. Теоретическая часть.

1. Двугранный угол Двугранным углом называется фигура, образованная двумя "полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой (рис. 1). Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая - ребром двугранного угла. Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным. углом двугранного угла. За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла. Все линейные углы двугранного угла совмещаются параллельным переносом, а значит, равны. Поэтому мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла. 2. Трехгранный и многогранный углы Рассмотрим три луча а, Ь, с, исходящие из одной точки и не лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная "из трех плоских углов (аЬ), (Ьс) и (ас) (рис. 2). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны - ребрами, общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла. Аналогично определяется понятие многогранного угла (рис. 3).

3. Многогранник

В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно (геометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью. Многогранник - это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 4). Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины - вершинами многогранника. Поясним сказанное на примере знакомого вам куба (рис. 5). Куб есть выпуклый многогранник. Его поверхность состоит из шести квадратов: ABCD, BEFC, .... Они являются его гранями. Ребрами куба являются стороны этих квадратов: АВ, ВС, BE,... . Вершинами куба являются вершины квадратов: А, В, С, D, Е, .... У куба шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин.Простейшим многогранникам - призмам и пирамидам, которые будут основным объектом нашего изучения,- мы дадим такие определения, которые, по существу, не используют понятие тела. Они будут определены как геометрические фигуры с указанием всех принадлежащих им точек пространства. Понятие геометрического тела и его поверхности в общем случае будет дано позже.

4. Призма

Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников (рис. 6). Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие вершины,- боковыми ребрами призмы. Так как параллельный перенос есть движение, то основания призмы равны. Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у призмы основания лежат в параллельных плоскостях.Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у призмы боковые ребра параллельны и равны. Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из параллелограммов. У каждого из этих параллелограммов две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие - соседними боковыми ребрами. Высотой призмы называется расстояние между плоскостями её оснований. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы. Призма называется n-угольной, если ее основания - n-угольники. В дальнейшем мы будем рассматривать только призмы, у которых основания - выпуклые многоугольники. Такие призмы являются выпуклыми многогранниками. На рисунке 6 изображена пятиугольная призма. У нее основаниями являются пятиугольники А 1 А 2 ...А 5 , А 1 ’ А" 2 ...А" 5 . XX" - отрезок, соединяющий соответствующие точки оснований. Боковые ребра призмы-отрезки А 1 А" 2 , А 1 А" 2 , ..., А 5 А" 5 . Боковые грани призмы - параллелограммы А 1 А 2 А" 2 А 1 , А 2 А 3 А ’ 3 А" 2 , ... .

5. Изображение призмы и построение ее сечений

В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение призмы строится следующим образом. Сначала строится одно из оснований Р (рис. 7). Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем из вершин многоугольника Р проводятся боковые ребра призмы в виде параллельных отрезков равной длины. Концы этих отрезков соединяются, и получается другое основание призмы. Невидимые ребра проводятся штриховыми линиями. Сечения призмы плоскостями, параллельными боковым ребрам, являются параллелограммами. В частности, параллелограммами являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани (рис. 8). На практике, в частности, при решении задач часто приходится строить сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную прямую g на плоскости одного из оснований призмы. Такая прямая называется следом секущей плоскости на плоскости основания. Для построения сечения призмы достаточно построить отрезки пересечения секущей плоскости с гранями призмы. Покажем, как строится такое сечение, если известна какая-нибудь точка А на поверхности призмы, принадлежащая сечению (рис. 9). Если данная точка А принадлежит другому основанию призмы, то его пересечение с секущей плоскостью представляет собой отрезок ВС, параллельный следу g и содержащий данную точку А (рис. 9, а). Если данная точка А принадлежит боковой грани, то пересечение этой грани с секущей плоскостью строится, как показано на рисунке 9,б. Именно: сначала строится точка D, в которой плоскость грани пересекает заданный след g. Затем проводится прямая через точки А и D. Отрезок ВС прямой AD на рассматриваемой грани и есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если грань, содержащая точку А, параллельна следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку ВС, проходящему через точку А и параллельному прямой g.

Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с нашей секущей плоскостью. И т. д. На рисунке 10 показано построение сечения четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через прямую а в плоскости нижнего основания призмы и точку А на одном из боковых ребер. 6. Прямая призма Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной. У прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками. При изображении прямой призмы на рисунке боковые ребра обычно проводят вертикально (рис. 11). Прямая призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками. Боковой поверхностью призмы (точнее, площадью боковой поверхности) называется сумма площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований. Теорема 19.1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. .на длину бокового ребра. Доказательство. Боковые грани прямой призмы - прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основании призмы, а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна

S=a 1 l+a 1 l+...+a n l=pl,

где a 1 ,..., a n - длины ребер основания, р - периметр основания призмы, а 1 - длина боковых ребер. Теорема доказана. 7. Параллелепипед Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани - параллелограммы. На рисунке 12, а изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 12, б - прямой параллелепипед. Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. Т е о р е м а 19.2. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны, и равны. Доказательство. Рассмотрим какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда, например А1А2А"2А"1 и A3A4A"4A"3. (рис. 13). Так как все грани параллелепипеда - параллелограммы, то прямая A1A2 параллельна прямой А4А3, а прямая А1А"1 параллельна прямой А4А4". Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны. Из того, что грани параллелепипеда - параллелограммы, следует, что отрезки А1А4, А1"А4", A"2A"3 и A2A3 - параллельны и равны. Отсюда заключаем, что грань А1А2А"2А"1 совмещается параллельным переносом вдоль ребра А1А4. с гранью А3А4А"4А"3. Значит, эти грани равны. Аналогично доказывается параллельность и равенство любых других противолежащих граней параллелепипеда. Теорема доказана.
8. Центральная симметрия параллелепипеда Теорема 19.3. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Доказательство. Рассмотрим какие-нибудь две диагонали параллелепипеда, например А 1 А" 3 и A 4 A" 2 (рис. 14). Так как четырехугольники А 1 А 2 А 3 А 4 и A 2 A" 2 A" 3 A 3 - параллелограммы с общей стороной A 2 A 3 , то их стороны А 1 А 4 и A" 2 A" 3 параллельны друг другу, а значит, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскости противолежащих граней параллелепипеда по параллельным прямым A 1 A" 2 и A 4 A" 3 . Следовательно, четырехугольник A 4 A 1 A" 2 A" 3 - параллелограмм. Диагонали параллелепипеда A 1 A" 3 и A 4 A" 2 являются диагоналями этого параллелограмма. Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам. Аналогично доказывается, что диагонали A1A"3 и A2A"4, а также диагонали A1A"3 и A3A"1 пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана. Из теоремы 19.3 следует, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрий. 9. Прямоугольный параллелепипед Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани - прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом. Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). У прямоугольного параллелепипеда три измерения. Теорема 19.4. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений. Доказательство. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA"B"C"D" (рис. 15). Из прямоугольного треугольника AC"C по теореме Пифагора получаем:

AC" 2 = AC 2 + CC" 2 .

Из прямоугольного треугольника АСВ по теореме Пифагора получаем

АС 2 = АВ 2 + ВС 2 .

Отсюда AC" 2 =CC" 2 +AB 2 + BC 2 .

Ребра АВ, ВС и СС" не параллельны, а, следовательно, их длины являются линейными размерами параллелепипеда. Теорема доказана. 10. Симметрия прямоугольного параллелепипеда У прямоугольного параллелепипеда, как у всякого параллелепипеда, есть центр симметрии - точка пересечения его диагоналей. У него есть также три плоскости симметрий, проходящие через центр симметрии параллельно граням. На рисунке 16 показана одна из таких плоскостей. Она проходит через середины четырех параллельных ребер параллелепипеда. Концы ребер являются симметричными точками. Если у параллелепипеда все линейные размеры разные, то у него нет других плоскостей симметрии, кроме названных. Если же у параллелепипеда два линейных размера равны, то у него есть еще две плоскости симметрии. Это плоскости диагональных сечений, показанные на рисунке 17. Если у параллелепипеда все линейные размеры равны, т. е. он является кубом, то у него плоскость любого диагонального сечения является плоскостью симметрии. Таким образом, у куба девять плоскостей симметрии. 11. Пирамида Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника - основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,- вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания (рис. 18). Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами. Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань - треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды. Высотой пирамиды, называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром. У пирамиды, изображенной на рисунке 18, основание - многоугольник А 1 А 2 …A n , вершина пирамиды – S, боковые ребра - SА 1 , S А 2 , …, S А n , боковые грани – SА 1 А 2 , SА 2 А 3 , ... . В дальнейшем мы будем рассматривать только пирамиды с выпуклым многоугольником в основании. Такие пирамиды являются выпуклыми многогранниками. 12. Построение пирамиды и ее плоских сечений В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение пирамиды строится следующим образом. Сначала строится основание. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем отмечается вершина пирамиды, которая соединяется боковыми ребрами с вершинами основания. На рисунке 18 показано изображение пятиугольной пирамиды. Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис. 19). В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды (рис. 20). Сечение пирамиды плоскостью с заданным следом g на плоскости основания строится так же, как и сечение призмы. Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью. Если на грани, не параллельной следу g, известна какая-нибудь точка А, принадлежащая сечению, то сначала строится пересечение следа g секущей плоскости с плоскостью этой грани - точка D на рисунке 21. Точка D соединяется с точкой А прямой. Тогда отрезок этой прямой, принадлежащий грани, есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если точка А лежит на грани, параллельной следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному прямой g. Переходя к соседней боковой грани, строят ее пересечение с секущей плоскостью и т. д. В итоге получается требуемое сечение пирамиды.
На рисунке 22 построено сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку А на одном из ее боковых ребер.

13. Усеченная пирамида T е о р е м а 19.5. Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду. Доказательство. Пусть S - вершина пирамиды, А - вершина основания и А"- точка пересечения секущей плоскости с боковым ребром SA (рис. 23). Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии относительно вершины S с коэффициентом гомотетии

При этой гомотетии плоскость основания переходит в параллельную плоскость, проходящую через точку А", т. е. в секущую плоскость, а следовательно, вся пирамида - в отсекаемую этой плоскостью часть. Так как гомотетия есть преобразование подобия, то отсекаемая часть пирамиды является пирамидой, подобной данной. Теорема доказана.

По теореме 19.5 плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой (рис. 24). Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями; остальные грани называются боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные (более того, гомотетичные) многоугольники, боковые грани - трапеции. 14. Правильная пирамида Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту. Очевидно, у правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины, называется апофемой. Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. Т е о р е м а 19.6. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему. Доказательство. Если сторона основания а, число сторон п, то боковая поверхность пирамиды равна:

(а1/2)ап=а1п/2= р1/2"

Где I - апофема, a p - периметр основания пирамиды. Теорема доказана. Усеченная пирамида, которая получается из правильной пирамиды, также называется правильной. Боковые грани правильной усеченной пирамиды - равные равнобокие трапеции; их высоты называются апофемами. 15. Правильные многогранники Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.) Существует пять типов правильных выпуклых многогранников (рис.25): правильный тетраэдр (1), куб (2), октаэдр (3), додекаэдр (4); икосаэдр (5). У правильного тетраэдра грани - правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны. У куба все грани - квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. У октаэдра грани - правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра. У додекаэдра грани - правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра. У икосаэдра грани - правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер.

III. Практическая часть.

Задача 1. Из точек А и В, лежащих в гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры АА\ и ВВ\ на ребро угла. Найдите длину отрезка АВ, если АА 1 =а, ВВ 1 =b, А 1 В 1 =с и двугранный угол равен а (рис. 26). Решение. Проведем прямые A 1 C||BB 1 и ВС||А 1 В 1 . Четырехугольник А 1 В 1 ВС - параллелограмм, значит АА 1 ==ВВ 1 =b. Прямая А 1 В 1 перпендикулярна плоскости треугольника АA 1 C, так как она перпендикулярна двум прямым в этой плоскости АА 1 и СА 1 . Следовательно, параллельная ей прямая ВС тоже перпендикулярна этой плоскости. Значит, треугольник АВС - прямоугольный с прямым углом С. По теореме косинусов AC 2 =AA 1 2 +A 1 C 2 -2AA 1 A 1 C cos =a 2 +b 2 -2abcos . По теореме Пифагора АВ =AC 2 + ВС 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos  + с 2 . Задача 2. У трехгранного угла (abc) двугранный угол при ребре с прямой, двугранный угол при ребре b равен , а плоский угол (bс) равен  (,  </2). Найдите два других плоских угла: =  (ab), = (ac). Решение. Опустим из произвольной точки А ребра а перпендикуляр АВ на ребро b и перпендикуляр АС на ребро с (рис. 27). По теореме о трех перпендикулярах СВ - перпендикуляр к ребру b. Из прямоугольных треугольников ОАВ, ОСВ, АОС и АВС получаем: tg  =AB/OB=(BC/ cos )/(BC/tg )= tg / cos  tg  =AC/OC=BC tg  / (BC/sin )= tg  sin  Задача 3 . В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны l. Решение. Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части (рис. 28). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а боковые ребра равны l. Эта призма имеет ту же боковую поверхность, что и исходная. Таким образом, боковая поверхность исходной призмы равна рl.Задача 4. Боковое ребро пирамиды разделено на четыре равные части и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Площадь основания равна 400 см2. Найдите площади сечений. Решение. Сечения подобны основанию пирамиды с коэффициентами подобия ¼, 2/4, и ¾. Площади подобных фигур относятся как квадраты линейных размеров. Поэтому отношения площадей сечений к площади основания пирамиды есть (¼) 2 , (2/4) 2 , и (¾) 2 . Следовательно, площади сечений равны 400 (¼) 2 =25 (см 2), 400 (2/4) 2 =100 (см 2), 400 (¾) 2 =225 (см 2). Задача 5. Докажите, что боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему. Решение. Боковые грани усеченной пирамиды - трапеции с одним и тем же верхним основанием а, нижним b и высотой (апофемой) l. Поэтому площадь одной грани равна ½ (а + b)l. Площадь всех граней, т. е. боковая поверхность, равна ½ (аn + bn)l, где n - число вершин у основания пирамиды, an и bn - периметры оснований пирамиды.

IV. Заключение

Благодаря этой работе я обобщила и систематизировала знания, полученные за курс обучения в 11 классе, ознакомилась с правилами выполнения творческой работы, получила новые знания и применила их на практике. Хочу отметить 3 наиболее понравившиеся мне книги:. А.В. Погорелов «Геометрия», Г. Якушева «Математика - справочник школьника», Л.Ф. Пичурин «За страницами учебника геометрии». Эти книги помогли мне больше, чем другие. Мне бы хотелось чаще использовать свои новые полученные знания на практике.

V. Литература

1. А.В. Погорелов «Геометрия». – М.: Просвещение, 1992 2. Г. Якушева «Математика - справочник школьника». М.: Слово, 1995 3. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981 4. Л.Ф. Пичурин «За страницами учебника геометрии». – М.: Просвещение, 1990 5. И.Н. Башмаков «Геометрия».