Инструкция

Координаты вершины параболы найдены. Запишите их в виде координат одной точки (x0,y0).

Видео по теме

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение. Точка пересечения трех высот носит название "ортоцентр". Понятие и свойства ортоцентра бывают полезны при решении задач на геометрические построения.

Вам понадобится

• треугольник, линейка, ручка, карандаш координаты вершин треугольника

Инструкция

Определитесь с видом имеющегося треугольника . Самый простой случай - прямоугольный треугольник, поскольку его катеты одновременно служат и двумя высотами. Третья такого треугольника располагается на гипотенузе. При этом ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

В случае остроугольного треугольника точка пересечения будет находиться внутри фигуры. Проведите из каждой вершины треугольника линию, перпендикулярную стороне, находящейся напротив данной вершины. Все эти линии пересекутся в одной точке. Это и будет искомый ортоцентр.

Точка пересечения высот тупоугольного треугольника будет находиться вне фигуры. Прежде чем перпендикуляры-высоты из вершин, вам необходимо сначала линии, образующие тупой угол треугольника . Перпендикуляр в данном случае опускается не на сторону треугольника , а на линию, содержащую данную сторону. Далее опускаются высоты и их точка пересечения , как описано выше.

Если известны координаты вершин треугольника или в пространстве, нетрудно найти координаты точки пересечения высот. Если А, B, C - обозначения углов, O - ортоцентра, то отрезок AО перпендикулярен отрезку BС, а BО перпендикулярен AC, таким образом, получаете AО-BC=0, BО-AC=0. Этой системы линейных достаточно для нахождения координат точки О на плоскости. Вычислите координаты векторов BC и AC, вычитая из координат точки соответствующие координаты первой точки. Принимаете, что точка О имеет координаты x и y (О(x,y)), далее решите из двух уравнений с двумя неизвестными. Если задача дана в пространстве, то в систему следует добавить уравнения AО-a=0, где вектор a=AB*AC.

Видео по теме

Обратите внимание

Не перепутайте точку пересечения высот (ортоцентр) с точкой пересечения медиан (центроидом), биссектрис или серединных перпендикуляров (проведенных через середину каждой стороны треугольника).

Полезный совет

Для определения ортоцентра достаточно найти точку пересечения двух высот из трех, поскольку высоты любого треугольника всегда пересекаются в одной точке.

Источники:

• Интерактивный справочник формул.
• пересечение высот

Инструкция

Сначала необходимо обговорить выбор удобной для решения задачи системы координат. Обычно в задачах такого рода одну из треугольника помещают на оси 0Х так, чтобы одна точка совпадала с началом координат. Поэтому не стоит отходить от общепринятых канонов решения и сделать также (см. рис. 1). Способ задание самого треугольника не играет принципиальной роли, так как всегда можно перейти от одного из них к (в чем вы в дальнейшем сможете убедиться).

Пусть искомый треугольник задан двумя векторами его сторон АС и АВ a(x1, y1) и b(x2, y2), соот-ветственно. Более того, по построению y1=0. Третья сторона ВС соответствует c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2), согласно данной иллюстрации. Точка А помещена в начало координат, то есть ее координаты А(0, 0). Легко также заметить, что координаты В (x2, y2), a C (x1, 0). Отсюда можно сделать вывод, что задание треугольника двумя векторами автоматически совпало с его заданием тремя точками.

Далее следует достроить искомый треугольник до соответствующего ему по размерам параллелограмма ABDC. При этом , что в точке пересечения диагоналей параллелограмма они делятся , так, что АQ медиана треугольника АВС, опускается из А на сторону ВС. Вектор диагонали s содержит эту и является, по правилу параллелограмма, геометрической суммой a и b. Тогда s = a + b, а его координаты s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Такие же координаты будут и у точки D(x1+x2, y2).

Теперь можно переходить к составлению уравнение прямой, содержащей s, медиану AQ и, са-мое главное, искомую точку пересечения медиан H. Так как сам вектор s является направляю-щим для данной прямой, а также известна точка А(0, 0), принадлежащая ей, то самое простое – это использовать уравнение плоской прямой в каноническом виде:(x-x0)/m=(y-y0)/n.Здесь (x0, y0) координаты произвольной точки прямой (точка А(0, 0)), а (m, n) – координаты s (вектор (x1+x2, y2). И так, искомая прямая l1 будет иметь вид:x/(x1+x2)=y/ y2.

Самый способ нахождения – ее в пересечении . Поэтому следует найти еще одну прямую, содержащую т. Н. Для этого на рис. 1 построение еще одного параллелограмма АPBC, диагональ которого g=a+c =g(2x1-x2, -y2) содержит вторую медиану CW, опущенную из С на сторону АВ. Это диагональ содержит точку С(x1, 0), координаты которой будут играть роль (x0, y0), а направляющий вектор здесь будет g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Отсюда l2 задается уравнением: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

Решив совместно уравнения для l1 и l2, легко найти координаты точки пересечения медиан Н:Н((x1+x1)/3, y2/3).

Видео по теме

Совет 5: Как построить линию пересечения двух треугольников

Начертательная геометрия является базой для многих теоретических разработок в области технического черчения. Знание этой теории в построении изображений геометрических объектов нужно для того, чтобы достоверно выразить свои идеи с помощью чертежа.

Инструкция

Задачу по построению линии пересечения для 2-х можно назвать базовой в технического черчения. Чтобы образовать линию пересечения для 2-х треугольников , нужно определить точки, принадлежащие обеим плоским фигурам.

Для решения постройте два треугольника ABC и EDK во фронтальной и горизонтальной проекции. Затем проведите через AB ABC вспомогательную плоскость Pн, ее горизонтальную проекцию. Данная горизонтальная плоскость образует линию пересечения 1-2 с плоскостью второго треугольника EDK, где точки 1 и 2 на сторонах ED и EK.

Таким же образом найдите линию пересечения 1′-2′ горизонтально проецирующей Pн, проведенной через сторону A′B′ во фронтальной проекции треугольника ABC. Фронтальные проекции 1′-2′ и A′B′ пересекаются между и дают точку пересечения M′, ее фронтальную проекцию.

Проведите линию связи от фронтальной проекции к горизонтальной проекции и таким образом найдите горизонтальную проекцию точки M.

Определите вторую точку пересечения плоскостей треугольника ABC EDK, для чего проведите через сторону DK в EDK вспомогательную плоскость Qv, ее фронтальную проекцию. Линией пересечения плоскости Qv с плоскостью треугольника ABC становится линия 3-4 и линия 3′-4′ в ее фронтальной проекции. Горизонтальные проекции 3-4 и DK пересекаются между собой и дают точку пересечения N, ее горизонтальную проекцию.

Проведите линию связи от горизонтальной проекции к фронтальной проекции и таким образом найдите точку N′, ее фронтальную проекцию.

Соедините точки проекции линии пересечения MN и линии пересечения M′N′. В результате вы получите две линии пересечения треугольников EDK и ABC в их фронтальной и горизонтальной проекции.

Видео по теме

Источники:

• пересечение плоскостей треугольников

Совет 6: Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек

Высотой называют отрезок прямой линии, соединяющий вершину фигуры с противолежащей стороной. Этот отрезок обязательно должен быть перпендикулярен стороне, поэтому из каждой вершины можно провести лишь одну высоту . Поскольку вершин в этой фигуре три, высот в нем столько же. Если треугольник задан координатами своих вершин, вычисление длины каждой из высот можно произвести, например, воспользовавшись формулой нахождения площади и рассчитав длины сторон.

Инструкция

Начните с вычисления длин сторон треугольника . Обозначьте координаты фигуры так: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃). Тогда длину стороны AB вы сможете рассчитать по формуле AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Для двух других сторон эти

Тема: Окружность

Урок: Точка пересечения высот треугольника

Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, эта точка носит название ортоцентра .

Задан треугольник , скажем для определенности, что он остроугольный (см. Рис. 1). Ничего не изменится, если мы возьмем тупоугольный треугольник.

Доказать, что

Рис. 1

Доказательство:

Мы хотим свести доказательство к предыдущим уже доказанным теоремам, например, теореме о пересечении серединных перпендикуляров.

Для этого проведем через вершины треугольника прямые, параллельные их противоположным сторонам (см. Рис. 2):

через вершину А - прямую ,

через вершину В - прямую ,

через вершину С - прямую .

Рис. 2

Получили новый треугольник , рассмотрим его свойства.

Значит, . Аналогично . Отсюда четырехугольник является параллелограммом.

Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, отсюда , .

Аналогично , по построению. Четырехугольник - параллелограмм. Отсюда , .

Отсюда . Таким образом, точка А - середина отрезка , а значит, высота АА 1 в маленьком треугольнике - это серединный перпендикуляр в большом треугольнике.

Аналогичные действия можно выполнить для вершин В и С. Получим, что В - середина отрезка , ВВ 1 - серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника; С - середина , СС 1 - серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника.

Мы знаем, что серединные перпендикуляры в большом треугольнике АА 1 , ВВ 1 , СС 1 пересекутся в одной точке - в точке Н. Также мы знаем, что эти серединные перпендикуляры являются высотами маленького треугольника, таким образом, высоты треугольника пересекаются в одной точке Н, что и требовалось доказать.

Мы доказали теорему о пересечении высот для остроугольного треугольника, самостоятельно вы можете доказать эту же теорему, если треугольник не является остроугольным. Например, если треугольник прямоугольный, ортоцентр совпадает с вершиной, угол при которой прямой, т.к. две из высот совпадают с катетами, а третья выходит из этой вершины (см. Рис. 3).

Рис. 3

Рассмотрим шуточную задачу, которая позволит вспомнить многие важные факты.

Задача

Задана окружность с центром в точке О и диаметром АВ. Точка С вне окружности. Пользуясь только линейкой, опустить перпендикуляр на прямую АВ из точки С (см. Рис. 4).

Рис. 4

Проведем прямую АС, получаем точку М пересечения проведенной прямой с окружностью.

Проведем прямую ВС, получаем точку N пересечения проведенной прямой с окружностью.

Проведем прямые AN и ВМ, получим их точку пересечения Н (см. Рис. 5).

Доказать, что .

Рис. 5

Доказательство:

Мы изучили теоремы о вписанных углах и следствия из них. Согласно одному из таких следствий, вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, отсюда:

Напомним, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Итак, , отсюда ВМ - высота треугольника . Также, AN - высота треугольника .

Две высоты треугольника пересекаются в точке Н, мы знаем, что все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, значит, и третья высота пройдет через точку Н. отсюда СК - высота треугольника, СК⊥АВ, что и требовалось доказать.

Итак, на данном уроке мы рассмотрели теорему о пересечении высот треугольника и решили шуточную задачу, в которой вспомнили некоторые важные геометрические факты.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

1. Home-edu.ru ().
2. Mat.1september.ru ().

Домашнее задание

1. Задание 1 - доказать теорему о пересечении высот для прямоугольного треугольника.
2. Задание 2 - доказать теорему о пересечении высот для остроугольного треугольника.
3. Задание 3 - задана окружность с центром О и радиусом АВ. Точка С лежит внутри окружности. При помощи только линейки построить перпендикуляр из точки С на прямую АВ.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.