Введение

В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется стереометрией (от греческого «стереос»- объемный, пространственный).

1.1. Основные аксиомы стереометрии

В стереометрии к понятиям планиметрии добавляется еще одно – плоскость, а вместе с ним – аксиомы, регулирующие «взаимоотношения» плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.

1) Аксиома 1 – через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость . (рис.1)

Рисунок 1.

2) Аксиома 2 – через любые две точки пространства проходит единственная прямая . (рис.2)

Рисунок 2.

3) Аксиома 3 – если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей . (рис.3)

Рисунок 3. 1

Третья аксиома играет очень существенную роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной точке. К трем указанным так же присоединяются планиметрические аксиомы, переосмысленные, с учетом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например, аксиому прямой – через две различные точки можно провести одну и только одну прямую – переносят в стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки пространства.

В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие: прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости .

Данные аксиомы широко применяются в построении фигур в стереометрии.

1.2. Координатная плоскость в стереометрии.

В отличие от планиметрии, в которой плоскость определяется только 2-мя осями – осью x (абсцисс) и y (ординат), в стереометрии добавляется 3-я ось – ось z (аппликат). Данная ось уходит вперёд, как показано на рис.4. Но для удобства построения координатные оси стали изображать так, как показано на рис.5.

Рисунок 4. Рисунок 5.

В стереометрии координат точки в пространстве 3: абсцисса точки, ордината точки, аппликата точки.

Рассмотрим это на конкретном примере. Отрезки ОВ, ОС, ОD на рис.6 равны 1. Тогда абсцисса точки А равна 1, ордината точки А – 1 и аппликата точки А – 1. Символически это записывают так:

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

Рисунок 6.

Каждая ось рассматривается как числовая прямая, т. е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче приписываются отрицательные значения координаты расстояние (расстояние берётся со знаком минус). То есть, еслибы, например, точка В лежала не как на рисунке – на луче ОХ, а на его продолжении в обратную сторону от точки О (на отрицательной части оси ОХ), то абсцисса х точки А была бы отрицательной (минус расстоянию ОВ). Аналогично и для двух других осей.

Все прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве делятся на два класса - правые (также используются термины положительные, стандартные) и левые. Обычно по умолчанию стараются использовать правые координатные системы, а при их графическом изображении еще и располагают их, если можно, в одном из нескольких обычных (традиционных) положений. (На рис.6 изображена правая координатная система). Правую и левую системы координат невозможно поворотами совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Определить, к какому классу относится какая-либо конкретно взятая система координат, можно, используя правило правой руки, правило винта и т. п. (положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ).

Чтобы изобразить, например куб в трёхмерной системе координат необходимо знать длины сторон данного квадрата. К примеру, построим куб со стороной 1 и вершинами О,С,Т,В,D,R,A,S (рис.7). Тогда координаты вершин этого куба:

Рисунок 7.

Заключение

Благодаря существованию трёхмерной системы координат можно построить любую объемную фигуру, такую как параллелепипед, пирамида, призма и др. Данной системой координат пользуются и в физике, и в астрономии и в других науках, в которых необходима точность построения.

Список используемой литературы:

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений .

А.Л. Вернер Стереометрия. 7-9 класс, Учебник для учителей геометрии.

Атанасян Л. Геометрия10-11 класс,

Е.В.Потоскуев, Л.И. Звавич Геометрия 11 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений.

Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 45. Основные аксиомы стереометрии

Простейшие пространственные фигуры (тела): куб, призма, пирамида, шар, конус, цилиндр и др., и их свойства изучались еще в курсе геометрии восьмилетней школы. Заметим, что некоторые свойства пространственных фигур использовались при изучении векторов в главе I настоящего учебника.

В этой главе более подробно, чем это делалось раньше, изучается раздел геометрии, относящийся к расположению прямых и плоскостей в пространстве. Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры, расположенные в пространстве, называется стереометрией .

Основными понятиями стереометрии язляются точка, прямая и плоскость. Пространство состоит из бесконечного множества точек. Прямые и плоскости состоят из бесконечного множества точек пространства и не совпадают со всем пространством.

Сформулируем основные аксиомы стереометрии . Напомним, аксиомы - это предложения, принимаемые без доказательства. Аксиомы геометрии являются абстракцией соответствующих свойств окружающего нас реального мира.

Будем предполагать, что для любой плоскости пространства выполняются все аксиомы, определения и теоремы планиметрии. Кроме того, будем предполагать справедливыми следующие аксиомы стереометрии:

1. Через любые две различные точки проходит единственная прямая.

2. Если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то все точки прямой принадлежат этой плоскости.

3. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

4. Если две различные плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой.

Используя эти аксиомы, докажем следующие утверждения:

1. Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость.

2. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

1. На данной прямой l возьмем какие-нибудь две точки А и В (рис. 128). Тогда по аксиоме 3 через данную точку М и точки А и В проходит единственная плоскость р и все точки прямой l принадлежат плоскости р .

Следовательно, плоскость р проходит через прямую l и не принадлежащую ей точку М. Другой такой плоскости нет, так как она должна проходить через три точки А, В, М, не лежащие на одной прямой, и, следовательно, должна совпасть с плоскостью р .

2. Действительно, пусть прямые 1 1 и 1 2 пересекаются в точке М (рис. 129). На прямых 1 1 и 1 2 возьмем какие-нибудь точки A и В, отличные от точки М. Тогда через три точки А, В, М проходит единственная плоскость р . В силу аксиомы 2 плоскость р проходит через данные прямые 1 1 и 1 2 .

В этой статье мы разберемся с понятием прямой линии в трехмерном пространстве, рассмотрим варианты взаимного расположения прямых и остановимся на основных способах задания прямой в пространстве. Для лучшего представления приведем графические иллюстрации.

Навигация по странице.

Прямая в пространстве – понятие.

После того как мы дали определение параллельных прямых в пространстве, следует сказать о направляющих векторах прямой линии в силу их важности. Любой ненулевой вектор, лежащий на этой прямой или на прямой, которая параллельна данной, будем называть направляющим вектором прямой. Направляющий вектор прямой очень часто используется при решении задач, связанных с прямой линией в пространстве.

Наконец, две прямые в трехмерном пространстве могут быть скрещивающимися. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Такое взаимное расположение двух прямых в пространстве приводит нас к понятию угла между скрещивающимися прямыми .

Способы задания прямой в пространстве.

Существует несколько способов, позволяющих однозначно определить прямую линию в пространстве. Перечислим основные из них.

Мы знаем из аксиомы, что через две точки проходит прямая, причем только одна. Таким образом, если мы отметим две точки в пространстве, то это позволит однозначно определить прямую линию, проходящую через них.

Если в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат и задана прямая с помощью указания координат двух ее точек, то мы имеем возможность составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки .

Второй способ задания прямой в пространстве основан на теореме: через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и причем только одна.

Таким образом, если задать прямую (или отрезок этой прямой) и не лежащую на ней точку, то мы однозначно определим прямую, параллельную заданной и проходящей через данную точку.

Можно указать точку, через которую проходит прямая и ее направляющий вектор. Это также позволит однозначно определить прямую.

Если прямая задана таким способом относительно зафиксированной прямоугольной системы координат, то мы можем сразу записать ее канонические уравнения прямой в пространстве и параметрические уравнения прямой в пространстве .

Следующий способ задания прямой в пространстве основан на аксиоме стереометрии: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Таким образом, задав две пересекающиеся плоскости, мы однозначно определим прямую в пространстве.

Еще один способ задания прямой в пространстве следует из теоремы (ее доказательство Вы можете найти в книгах, указанных в конце этой статьи): если задана плоскость и не лежащая в ней точка, то существует единственная прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к заданной плоскости.

Таким образом, чтобы определить прямую, можно задать плоскость, которой искомая прямая перпендикулярна, и точку, через которую эта прямая проходит.

Если прямая задана таким способом относительно введенной прямоугольной системы координат, то будет полезно владеть материалом статьи уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости .

Список литературы.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
• Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Презентация на тему "Аксиомы стереометрии" по геометрии в формате powerpoint. В презентации для школьников перечислены 7 аксиом стереометрии, приводятся задачи с использованием данных аксиом. Автор презентации: Сухорукова Е.В.

Фрагменты из презентации

• Через любые две точки пространства проходит единственная прямая
• Через любые три точки пространства, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость
• Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой
• Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости
• Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то она лежит в этой плоскости
• Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость
• Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость

ВОПРОС 1

Найдите ошибку на рисунках, если:

варианты ответа здесь.

Ответ: а) Точки A, B, C должны принадлежать одной прямой; б) точки K, L, M должны принадлежать одной прямой.

ВОПРОС 2

Определите по рисунку плоскостям каких фигур принадлежит точка M плоскости.

Вопрос 3

Найдите ошибку на чертеже. Дайте объяснение

Ответ: точка М не принадлежит АС

Вопрос 4

Как расположены относительно друг друга плоскости α и β на рисунке? Ответ объясните. При необходимости дополните рисунок

Ответ: т.к. плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой

Вопрос 5

Сколько плоскостей можно провести через прямую а?

Ответ: бесконечно много

Параллельные прямые в пространстве

• Прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются
• Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися

• В параллелепипеде A…D1 укажите параллельные и скрещивающиеся прямые
• В пирамиде ABCD укажите все пары скрещивающихся прямых