Обучающая цель:

повторить определения уравнения, тождества;

научиться различать понятия уравнения и тождества;

выявить способы доказательства тождеств;

повторить способы приведения одночлена к стандартному виду, сложения многочленов, умножения одночлена на многочлен при доказательстве тождеств.

Развивающая цель:

развивать грамотную математическую речь учащихся (обогащать и усложнять словарный запас при использовании специальных математических терминов),

развивать мышление: умения сравнивать, анализировать, проводить аналогии, прогнозировать, делать выводы (при выборе способов доказательства тождеств);

развивать учебно-познавательную компетенцию учащихся.

Воспитательная цель:

развивать умение работать в группе, координировать свою деятельность с другими участниками учебного процесса;

воспитывать толерантность.

Тип урока: комплексное применение знаний.

Этапы урока: подготовительный, применение знаний, итог.

Граница знания - незнания:

могут применять операции приведения одночлена к стандартному виду;

сложения многочленов, умножения многочлена на многочлен.

Различать понятия уравнения и тождества;

осуществлять доказательство тождеств;

рационально выбирать и применять способы доказательства тождеств.

Фронтальная работа

Словесный

Наглядный

Применение знаний (обеспечение усвоения новых знаний и способов действий на уровне применения в измененной учебной ситуации)

На основе преобразований левой и правой части данного

математического равенства, выявить способы доказательства тождеств;

Выявить рациональный способ из предложенных и отработать подбор рационального решения по заданному условию тождеств

Групповая работа

Самостоятельная работа

Поисковый

Практический

Итог (анализ и оценка успешности достижения цели)

Подведение итогов работы на уроке путем выполнения индивидуальной работы, где предлагается выбрать из представленных равенств тождество и доказать его любым из предложенных способов (желательно рациональным);

Затем учащиеся производят самооценку своей работы на уроке по заданным (от начала занятия) критериям

Фронтальная

Словесный

Конспект урока (кратко):

1. Этап (подготовительный)

Рассмотрите математическую запись: (фронтальная работа)

Учащиеся 7 класса, как правило, считают, что это уравнение, и, решая его, получают линейное уравнение вида: 0 х = 0, верное при любых х.

Затем, учитель показывает работу другого класса, и дети сталкиваются с противоречием – в работах другого класса, учащиеся доказывают, что это тождество.

Вывод: следует обратить внимание на тот факт, что одно и то же равенство может рассматриваться как тождество и как уравнение. Это зависит от условия к заданной работе: если требуется установить при каком значении переменной имеет место равенство, то это - уравнение. А если требуется доказать, что равенство имеет место при любых значениях переменных - тождество.

2. Этап (применение)

Выявление способов доказательства тождеств: (групповая работа)

Записано выражение:

Практическое задание в группах по выявлению способов доказательства тождеств:

Соблюдайте правила работы в группах (они напечатаны на табличках, выставленных учителем на рабочих местах учащихся)

На ватмане, в совместном труде, выполните некоторые преобразования по определенной технологии, указанной в задании группе и докажите, что заданное выражение не зависит от значений переменных, а значит, является тождеством;

Выступите с разъяснениями проделанной работы и сделайте вывод: каков данный метод доказательства тождеств;

Задание 1 группе:

Перенесите правую часть равенства в левую. Докажите, что данное выражение не зависит от значения переменных.

Задание 2 группе:

Преобразуйте левую часть равенства. Докажите, что она равна правой, а значит данное выражение не зависит от значения переменных.

Задание 3 группе:

Преобразуйте одновременно левую и правую части равенства. Докажите, что данное равенство не зависит от значения переменных.

При рассмотрении выполненной работы ребят по доказательству тождества, удобно результаты примененных способов изображать в виде схем на отдельных листах бумаги, с указателем номера, что бы в последствии, использовать эти схемы не только на данном, но и на других уроках алгебры.

3. Этап (итог)

а) Тождества для выбора рационального решения: (фронтальная работа)

5)

Доказательство тождеств. В математике существует множество понятий. Одно из них тождество.

• Тождеством называют равенство, которое выполняется при всех значениях переменных, которые в него входят.

Некоторые тождества мы уже знаем. Например, все формулы сокращенного умножения являются тождествами.

Доказать тождество – это значит установить, что для любого допустимого значение переменные его левая часть равна правой части.

В алгебре существует несколько различных способов доказательства тождеств.

Способы доказательства тождеств

• левой части тождества. Если в итоге получим правую часть, тогда тождество считается доказанным.
• Выполнить равносильные преобразования правой части тождества. Если в итоге получим левую часть, тогда тождество считается доказанным.
• Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным.
• Из правой части тождества вычитаем левую часть.
• Из левой части тождества вычитают правую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.

Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.

Как видите способов достаточно много. Какой способ выбрать в данном конкретном случае, зависит от тождества, которое вам необходимо доказать. По мере того, как вы будете доказывать различные тождества, придет и опыт в выборе способа доказательства.

Рассмотрим несколько простых примеров

Пример 1.

Докажите тождество x*(a+b) + a*(b-x) = b*(a+x).

Решение.

Так как в правой части небольшое выражение, попытаемся преобразовать левую часть равенства.

• x*(a+b) + a*(b-x) = x*a+x*b+a*b – a*x.

Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель за скобку.

• x*a+x*b+a*b – a*x = x*b+a*b = b*(a+x).

Получили что левая часть после преобразований, стала такой же как и правая часть. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Пример 2.

Докажите тождество a^2 + 7*a + 10 = (a+5)*(a+2).

Решение.

В данном примере можно поступить следующим способом. Раскроем скобки в правой части равенства.

• (a+5)*(a+2) = (a^2) +5*a +2*a +10= a^2+7*a+10.

Видим, что после преобразований, правая часть равенства стала такой же как и левая часть равенства. Следовательно, данное равенство является тождеством.

§ 2. Тождественные выражения, тождество. Тождественное преобразование выражения. Доказательства тождеств

Найдем значения выражений 2(х - 1) 2х - 2 для данных значений переменной х. Результаты запишем в таблицу:

Можно прийти к выводу, что значения выражений 2(х - 1) 2х - 2 для каждого данного значения переменной х равны между собой. По распределительным свойством умножения относительно вычитания 2(х - 1) = 2х - 2. Поэтому и для любого другого значения переменной х значение выражения 2(х - 1) 2х - 2 тоже будут равны между собой. Такие выражения называют тождественно равными.

Например, синонимами являются выражения 2х + 3х и 5х, так как при каждом значении переменной х эти выражения приобретают одинаковых значений (это вытекает из распределительной свойства умножения относительно сложения, поскольку 2х + 3х = 5х).

Рассмотрим теперь выражения 3х + 2у и 5ху. Если х = 1 и в = 1, то соответствующие значения этих выражений равны между собой:

3х + 2у =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5ху = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Однако можно указать такие значения х и у, для которых значения этих выражений не будут между собой равными. Например, если х = 2; у = 0, то

3х + 2у = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5ху = 5 ∙ 20 = 0.

Следовательно, существуют такие значения переменных, при которых соответствующие значения выражений 3х + 2у и 5ху не равны друг другу. Поэтому выражения 3х + 2у и 5ху не являются тождественно равными.

Исходя из вышеизложенного, тождественностями, в частности, являются равенства: 2(х - 1) = 2х - 2 и 2х + 3х = 5х.

Тождеством является каждое равенство, которым записано известные свойства действий над числами. Например,

а + b = b + а; (а + b) + с = а + (b + с); а(b + с) = ab + ас;

ab = bа; (аb)с = a(bc); a(b - с) = ab - ас.

Тождественностями есть и такие равенства:

а + 0 = а; а ∙ 0 = 0; а ∙ (-b) = -ab;

а + (-а) = 0; а ∙ 1 = а; а ∙ (-b) = аb.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Если в выражении-5х + 2х - 9 свести подобные слагаемые, получим, что 5х + 2х - 9 = 7х - 9. В таком случае говорят, что выражение 5х + 2х - 9 заменили тождественным ему выражением 7х - 9.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняют, применяя свойства действий над числами. В частности, тождественными преобразованиями с раскрытие скобок, возведение подобных слагаемых и тому подобное.

Тождественные преобразования приходится выполнять при упрощении выражения, то есть замены некоторого выражения на тождественно равное ему выражение, которое должно короче запись.

Пример 1. Упростить выражение:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3х - 4) + 3(-4х + 7);

3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - а).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3х 4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2х + 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - a) = 2 + 5а - а + 2 b + 3 b - а = 3а + 5b + 2.

Чтобы доказать, что равенство является тождеством (иначе говоря, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений.

Доказать тождество можно одним из следующих способов:

• выполнить тождественные преобразования ее левой части, тем самым сведя к виду правой части;
• выполнить тождественные преобразования ее правой части, тем самым сведя к виду левой части;
• выполнить тождественные преобразования обеих ее частей, тем самым возведя обе части до одинаковых выражений.

Пример 2. Доказать тождество:

1) 2х - (х + 5) - 11 = х - 16;

2) 206 - 4а = 5(2а - 3b) - 7(2а - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5х - 7) = 13(2x - 5) + 21.

Р а з в’ я з а н н я.

1) Преобразуем левую часть данного равенства:

2х - (х + 5) - 11 = 2х - х - 5 - 11 = х - 16.

Тождественными преобразованиями выражение в левой части равенства свели к виду правой части и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.

2) Преобразуем правую часть данного равенства:

5(2а - 3b) - 7(2а - 5b) = 10а - 15 b - 14а + 35 b = 20b - 4а.

Тождественными преобразованиями правую часть равенства свели к виду левой части и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.

3) В этом случае удобно упростить как левую, так и правую части равенства и сравнить результаты:

2(3х - 8) + 4(5х - 7) = 6х - 16 + 20х - 28 = 26х - 44;

13(2х - 5) + 21 = 26х - 65 + 21 = 26х - 44.

Тождественными преобразованиями левую и правую части равенства свели к одному и тому же виду: 26х - 44. Поэтому данное равенство является тождеством.

Какие выражения называют тождественными? Приведите пример тождественных выражений. Какое равенство называют тождеством? Приведите пример тождества. Что называют тождественным преобразованием выражения? Как доказать тождество?

1. (Устно) Или есть выражения тождественно равными:

1) 2а + а и 3а;

2) 7х + 6 и 6 + 7х;

3) x + x + x и x 3 ;

4) 2(х - 2) и 2х - 4;

5) m - n и n - m;

6) 2а ∙ р и 2р ∙ а?

1. Являются ли тождественно равными выражения:

1) 7х - 2х и 5х;

2) 5а - 4 и 4 - 5а;

3) 4m + n и n + 4m;

4) а + а и а 2 ;

5) 3(а - 4) и 3а - 12;

6) 5m ∙ n и 5m + n?

1. (Устно) является Ли тождеством равенство:

1) 2а + 106 = 12аb;

2) 7р - 1 = -1 + 7р;

3) 3(х - у) = 3х - 5у?

1. Раскройте скобки:

1. Раскройте скобки:

1. Сведите подобные слагаемые:

1. Назовите несколько выражений, тождественных выражения 2а + 3а.
2. Упростите выражение, используя переставляющейся и соединительную свойства умножения:

1) -2,5 х ∙ 4;

2) 4р ∙ (-1,5);

3) 0,2 х ∙ (0,3 г);

4)- х ∙ <-7у).

1. Упростите выражение:

1) -2р ∙ 3,5;

2) 7а ∙ (-1,2);

3) 0,2 х ∙ (-3у);

4) - 1 m ∙ (-3n).

1. (Устно) Упростите выражение:

1) 2х - 9 + 5х;

2) 7а - 3b + 2а + 3b;

4) 4а ∙ (-2b).

1. Сведите подобные слагаемые:

1) 56 - 8а + 4b - а;

2) 17 - 2р + 3р + 19;

3) 1,8 а + 1,9 b + 2,8 а - 2,9 b;

4) 5 - 7с + 1,9 г + 6,9 с - 1,7 г.

1) 4(5х - 7) + 3х + 13;

2) 2(7 - 9а) - (4 - 18а);

3) 3(2р - 7) - 2(г - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

1. Раскройте скобки и сведите подобные слагаемые:

1) 3(8а - 4) + 6а;

2) 7р - 2(3р - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6 x + 0,4(x - 20), если x = 2,4;

2) 1,3(2а - 1) - 16,4, если а = 10;

3) 1,2(m - 5) - 1,8(10 - m), если m = -3,7;

4) 2x - 3(x + у) + 4у, если x = -1, у = 1.

1. Упростите выражение и найдите его значение:

1) 0,7 x + 0,3(x - 4), если x = -0,7;

2) 1,7(у - 11) - 16,3, если в = 20;

3) 0,6(2а - 14) - 0,4(5а - 1), если а = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, если m = 1,8; n = -0,9.

1. Докажите тождество:

1) -(2х - у)=у - 2х;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) с - 2 = 5(с + 2) - 4(с + 3).

1. Докажите тождество:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - р) + 7р = 14;

3) 5а = 3(а - 4) + 2(а + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

1. Длина одной из сторон треугольника а см, а длина каждой из двух других сторон на 2 см больше нее. Запишите в виде выражения периметр треугольника и упростите выражение.
2. Ширина прямоугольника равна х см, а длина на 3 см больше ширины. Запишите в виде выражения периметр прямоугольника и упростите выражение.

1) х - (х - (2х - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4р - (3р - (2р - (г + 1)));

4) 5x - (2x - ((у - х) - 2у));

5) (6а - b) - (4 a – 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

1. Раскройте скобки и упростите выражение:

1) а - (а - (3а - 1));

2) 12m - ((а - m) + 12а);

3) 5y - (6у - (7у - (8у - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a – 1b).

1. Докажите тождество:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) -(- 3р) - (-(8 - 5р)) = 2(4 - г);

3) 3(а - b - с) + 5(а - b) + 3с = 8(а - b).

1. Докажите тождество:

1) 12а - ((8а - 16)) = -4(4 - 5а);

2) 4(х + у - <) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. Докажите, что значение выражения

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) не зависит от значения переменной.

1. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения

а - (а - (5а + 2)) - 5(а - 8)

является одним и тем же числом.

1. Докажите, что сумма трех последовательных четных чисел делится на 6.
2. Докажите, что если n - натуральное число, то значение выражения -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) является четным числом.

Упражнения для повторения

1. Сплав массой 1,6 кг содержит 15 % меди. Сколько кг меди содержится в этом сплаве?
2. Сколько процентов составляет число 20 от своего:

1) квадрата;

1. Турист 2 ч шел пешком и 3 ч ехал на велосипеде. Всего турист преодолел 56 км. Найдите, с какой скоростью турист ехал на велосипеде, если она на 12 км/ч больше за скорость, с которой он шел пешком.

Интересные задачи для учеников ленивых

1. В чемпионате города по футболу участвуют 11 команд. Каждая команда играет с другими по одному матчу. Докажите, что в любой момент соревнований найдется команда, которая проведет к этому моменту четное число матчей или не провела еще ни одного.

Учитель: Афонасова Ирина Олеговна

Предмет: алгебра

Класс: 7 класс

Тип урока: изучение нового материала

Тема: Доказательство тождеств

Цели урока:

1. Повторить определения тождества и тождественно равных выражений, тождественного преобразования выражений.
2. Формирование навыка выбора способа доказательства тождеств методом тождественного преобразования выражений.
3. Воспитывать коммуникативную культуру учащихся.

Ход урока

1 . Организационный этап урока

Перед началом урока учащиеся класса разбиваются на шесть учебных групп смешанного состава.

Учитель : Здравствуйте, ребята, я предлагаю учебный кабинет превратить на время в научно-исследовательскую лабораторию , а нам с вами в ученых-магистров математических наук .

Но каждый, уважающий себя ученый, постоянно решает какую-нибудь очень важную проблему, вот и нам, прежде всего, предстоит узнать: над какой проблемой мы будем сегодня работать?

2. Определение темы урока

Для этого рассмотрим выражения 2х+у и 2ху. Найдём значения выражений при х=1 и у=2.

Учител ь предлагает выйти к доске учащемуся и решить данную задачу, а также сформулировать вывод : при х=1 и у=2 выражения принимают равные значения (4).

Учитель: Однако можно указать такие значения переменных х и у, при которых значения этих выражений не равны. Например, х=3, у=4.

Ученик , стоящий у доски, проверяет это.

Учитель: Рассмотрим теперь выражения 3(х+у) и 3х+3у. Найдём значения выражений при х=5 и у=4.

Ученик, стоящий у доски: решает задачу, формулирует вывод.

Учитель: При любых ли значениях переменных значения данных выражений равны? Если да, то почему?

Ученик отвечает. (Ответ: Да, по распределительному свойству умножения).

Учитель предлагает классу вспомнить название таких выражений, название их равенства.

После этого Слайд 1 .

Следом за тем учитель спрашивает: «Какова тема сегодняшнего урока».

Учитель : Работать сегодня мы будем над «Доказательством тождеств».

Записывается тема урока: «Доказательство тождеств» (Слайд2 )

Учитель : Хорошо, а сейчас проверим себя. На экране будут появляться равенства, если это равенство будет являться тождеством, то я предлагаю вам поднять руку. (Слайд 3 )

1. - (а – в) = - а + в (да)
2. а (в + с) = ав – ас (нет)
3. а – (в + с) = а – в + с (нет)
4. (а + в) – с = а – с + в (да)
5. - (а + в) = - а – в (да)

3. Определение цели урока

Учитель : Хорошо, а сейчас пришла пора из теоретиков нам превращаться в ученых- практиков, но для этого нам нужно узнать, что нужно использовать, чтобы доказать тождество , и здесь нам не обойтись без научной литературы, ответ на этот вопрос мы найдем на странице 18 вашего учебника. Учащиеся находят в учебнике ответ: «Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, используют тождественные преобразования выражений» . Согласие или несогласие участники остальных групп показывают специальными сигналами, о которых говорилось выше. (Слайд 4 )

Учитель : Молодцы, но теперь возникает следующий вопрос, а что такое тождественное преобразование выражений ?

«Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения» (учитель предлагает ответить на этот вопрос одного из участников любой группы) (Слайд 5 )

Учитель : Итак, какова цель урока? Учащиеся называют одну из поставленных целей: научиться доказывать тождества, используя тождественные преобразования выражений.

4. Выявление способа доказательства тождеств методом тождественного преобразования выражений

Учитель: Вот сейчас мы уже «созрели» для практической работы, и я попрошу вас обратить свое внимание на карточку . Задание: «Докажите тождество», каждая группа ученых получила пример, который она должна решить самостоятельно, если будут возникать затруднения на помощь придут карточки- консультанты.

Карточки с заданием

Карточка 1

Карточка 2

Карточка 3

Карточка 4

Карточка 5

Карточка 6

Теперь нам необходимо защитить свои работы. (Презентация выполненных работ у доски, выступают желающие участники групп)

Учитель : Замечательно, а теперь уважаемые коллеги пора подводить итоги, что же нам необходимо сделать, чтобы доказать, что равенство является тождеством? Предполагаемые ответы учащихся: (Слайд 6 )

1. Выписать левую часть равенства, ее преобразовать и убедиться, что она равна правой.
   или
2. Выписать правую часть равенства, ее преобразовать и убедиться, что она равна левой.
   или
3. Преобразовать и левую и правую часть равенства и убедиться в том, что они равны одному и тому же выражению.

Учитель : Какой вывод можно сделать в том случае, когда все то, о чем мы только что сказали, не будет выполняться? Предполагаемый ответ учащихся: Равенство не будет являться тождеством.

5. Подведение итогов урока.

Удалось ли нам достичь поставленной цели? ….

Учитель : Чтобы полученные знания были прочными, эту работу мы продолжим дома: Домашнее задание (Слайд 7 ) :

№691(а), 692(а), 715(а), творческое задание (по желанию): * Составить 3 равенства, которые будут являться тождеством (проиллюстрировать каждый способ доказательства).

Учитель : А сейчас настала минутка для творчества: В стихотворении, которое вы видите, вставьте пропущенные слова (Слайд 8 ):

Равенства всякие, братцы, бывают,
И каждый об этом, конечно же, знает.
Есть – с переменными, есть – (числовые),
Сложные очень и очень (простые),
Но есть среди равенств особенный класс,
О нем поведем свой рассказ мы сейчас.
(Тождеством) равенство это зовется.
Но это еще доказать нам придется.
Для этого нужно нам только лишь взять
И равенство это (преобразовать)
Несложно, конечно, нам будет узнать
Какую придется нам часть изменять,
А, может, придется нам обе менять,
По равенства виду нетрудно (понять)
Ура! Удалось применить наши знания,
Окончено равенства преобразование.
И смело уже говорим мы ответ:
Так тождество это, или все-таки нет!

Учитель: Спасибо за урок!

Предварительный просмотр:

Карточки с заданием

Подписи к слайдам:

Определение тождества: Тождество – это равенство верное при любых допустимых значениях, входящих в его состав переменных. Определение тождественно равных выражений: Два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.

Доказательство тождеств

Примеры тождеств: - (а – в) = - а + в а (в + с) = ав - ас а – (в + с) = а – в + с (а + в) – с = а – с + в - (а + в) = - а - в

Что нужно использовать, чтобы доказать тождество? Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений.

Тождественное преобразование выражения Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения.

Чтобы доказать, что равенство является тождеством, нужно: Выписать левую часть равенства, ее преобразовать и убедиться, что она равна правой части. или Выписать правую часть равенства, ее преобразовать и убедиться, что она равна левой. или По очереди преобразовать обе части равенства и убедиться, что они равны одному и тому же выражению.

Домашнее задание: № 691(а), № 692(а), № 694, Составить 3 равенства, которые будут являться тождеством. *

Равенства всякие, братцы, бывают, И каждый об этом, конечно же, знает. Есть – с переменными, есть – … Сложные очень и очень … . Но есть среди равенств особенный класс, О нем поведем свой рассказ мы сейчас. … равенство это зовется, Но это еще доказать нам придется. Для этого нужно нам только лишь взять И равенство это … . Несложно, конечно, нам будет узнать Какую придется нам часть изменять, А, может, придётся нам обе менять, По равенства вида нетрудно … Ура! Удалось применить наши знания Окончено равенства преобразование. И смело уже говорим мы ответ: Так тождество это, иль все-таки нет?

ЛЕКЦИЯ №3 Доказательство тождеств

Цель: 1. Повторить определения тождества и тождественно равных выражений.

2.Ввести понятие тождественного преобразования выражений.

3. Умножение многочлена на многочлен.

4. Разложение многочлена на множители способом группировки.

Пусть каждый день и каждый час

Нам новое добудет,

Пусть добрым будет ум у нас,

А сердце умным будет!

В математике существует множество понятий. Одно из них тождество.

Тождеством называют равенство, которое выполняется при всех значениях переменных, которые в него входят. Некоторые тождества мы уже знаем.

Например, все формулы сокращенного умножения являются тождествами.

Формулы сокращенного умножения

1. (a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2,

2. (a ± b )3 = a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b 3,

3. a 2 - b 2 = (a - b )(a + b ),

4. a 3 ± b 3 = (a ± b )(a 2 ab + b 2).

Доказать тождество – это значит установить, что для любого допустимого значение переменные его левая часть равна правой части.

В алгебре существует несколько различных способов доказательства тождеств.

Способы доказательства тождеств

Выполнить равносильные преобразования левой части тождества. Если в итоге получим правую часть, тогда тождество считается доказанным. Выполнить равносильные преобразования правой части тождества. Если в итоге получим левую часть, тогда тождество считается доказанным. Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным. Из правой части тождества вычитаем левую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным. Из левой части тождества вычитают правую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.

Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.

Как видите способов достаточно много. Какой способ выбрать в данном конкретном случае, зависит от тождества, которое вам необходимо доказать. По мере того, как вы будете доказывать различные тождества, придет и опыт в выборе способа доказательства.

Тождество - это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т. е. справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. Доказать тождество - значит установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая части равны.
Способы доказывания тождества:
1. Выполняют преобразования левой части и получают в итоге правую часть.
2. Выполняют преобразования правой части и в итоге получают левую часть.
3. По отдельности преобразуют правую и левую части и получают и в первом и во втором случае одно и то же выражение.
4. Составляют разность левой и правой части и в результате её преобразований получают нуль.
Рассмотрим несколько простых примеров

Пример 1. Докажите тождество x·(a+b) + a·(b-x) = b·(a+x).

Решение.

Так как в правой части небольшое выражение, попытаемся преобразовать левую часть равенства.

x·(a+b) + a·(b-x) = x·a +x·b + a·b – a·x.

Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель за скобку.

x·a + x·b + a·b – a·x = x·b + a·b = b·(a + x).

Получили что левая часть после преобразований, стала такой же как и правая часть. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Пример 2. Докажите тождество: a ² + 7· a + 10 = (a +5)·(a +2).

Решение:

В данном примере можно поступить следующим способом. Раскроем скобки в правой части равенства.

(a+5)·(a+2) = (a²) + 5·a +2·a +10 = a²+7·a + 10.

Видим, что после преобразований, правая часть равенства стала такой же как и левая часть равенства. Следовательно, данное равенство является тождеством.

« Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения»

Выяснить какое равенство является тождеством:

1. - (а – в) = - а – в;

2. 2 · (х + 4) = 2х – 4;

3. (х – 5) · (-3) = - 3х + 15.

4. рху (- р2 х2 у) = - р3 х3 у3.

«Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений»

Равенство верное при любых значениях переменных, называют тождеством. Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество , используют тождественные преобразования выражений.
Докажем тождество:
xy - 3y - 5x + 16 = (x - 3)(y - 5) + 1 Преобразуем левую часть этого равенства:
xy - 3y - 5x + 16 = (xy - 3y) + (- 5x + 15) +1 = y(x - 3) - 5(x -3) +1 = (y - 5)(x - 3) +1 В результате тождественного преобразования левой части многочлена мы получили его правую часть и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.
Для доказательства тождества преобразуют его левую часть в правую или его правую часть в левую, или показывают, что левая и правая части исходного равенства тождественно равны одному и тому же выражению.

Умножение многочлена на многочлен

Умножим многочлен a + b на многочлен c + d . Составим произведение этих многочленов:
(a+b)(c+d) .
Обозначим двучлен a + b буквой x и преобразуем полученное произведение по правилу умножения одночлена на многочлен:
(a+b)(c+d) = x(c+d) = xc + xd.
В выражение xc + xd. подставим вместо x многочлен a+b и снова воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
xc + xd = (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd.
Итак: (a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd .
Произведение многочленов a + b и c + d мы представили в виде многочлена ac + bc + ad + bd . Этот многочлен является суммой всех одночленов, получающихся при умножении каждого члена многочлена a + b на каждый член многочлена c + d .
Вывод : произведение любых двух многочленов можно представить в виде многочлена .
Правило : чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить .
Заметим, что при умножении многочлена, содержащего m членов на многочлен, содержащий n членов в произведении до приведения подобных членов должно получиться mn членов. Этим можно воспользоваться для контроля.

Разложение многочлена на множители способом группировки:

Ранее мы познакомились с разложением многочлена на множители путем вынесения общего множителя за скобки. Иногда удается разложить многочлен на множители, используя другой способ - группировку его членов .
Разложим на множители многочлен
ab - 2b + 3a - 6 Сгруппируем его так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель и вынесем этот множитель за скобки:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab - 2b) + (3a - 6) = b(a - 2) + 3(a - 2) Каждое слагаемое получившегося выражения имеет общий множитель (a - 2). Вынесем этот общий множитель за скобки:
b(a - 2) + 3(a - 2) = (b +3)(a - 2) В итоге мы разложили исходный многочлен на множители:
ab - 2b + 3a - 6 = (b +3)(a - 2) Способ, который мы применили для разложения многочлена на множители называют способом группировки .
Разложение многочлена ab - 2b + 3a - 6 на множители можно выполнить, группируя его члены иначе:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab + 3a) + (- 2b - 6) = a(b + 3) -2(b + 3) = (a - 2)(b + 3)

Повторить:

1. Способы доказательства тождеств.

2. Что называют тождественным преобразованием выражения.

3. Умножение многочлена на многочлен.

4. Разложение многочлена на множители способом группировки