Кривые второго порядка. Гипербола и ее каноническое уравнение

Определение . Гиперболой называется геометрическое место точек, разность от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная

Возьмем систему координат, так чтобы фокусы лежали на оси абсцисс, а начало координат делило отрезок F 1 F 2 пополам (рис. 30). Обозначим F 1 F 2 = 2c. Тогда F 1 (с; 0); F 2 (-c; 0)

MF 2 = r 2 , MF 1 = r 1 – фокальные радиусы гиперболы.

Согласно определения гиперболы r 1 – r 2 = const.

Обозначим ее через 2а

Тогда r 2 - r 1 = ±2a итак:

=> каноническое уравнение гиперболы

Так как уравнение гиперболы х и у в четных степенях, то если точка М 0 (х 0 ; у 0) лежит на гиперболе, то на ней лежат также точки М 1 (х 0 ; -у 0) М 2 (-х 0 ; -у 0) М 3 (-х 0 ; -у 0).

Следовательно, гипербола симметрична относительно обеих координатных осей.

При у = 0 х 2 = а 2 х = ± а. Вершинами гиперболы будут точки А 1 (а; 0); А 2 (-а; 0).

. В силу симметрии исследование ведем в I четверти

1) при
у имеет мнимое значение, следовательно, точек гиперболы с абсциссами
не существует

2) при х = а; у = 0 А 1 (а; 0) принадлежит гиперболе

3) при x > a; y > 0. Причем при неограниченном возрастании х ветвь гиперболы уходит в бесконечность.

Отсюда следует, что гипербола представляет собой кривую, состоящую из двух бесконечных ветвей.

П 6. Асимптоты гиперболы

Рассмотрим вместе с уравнением
уравнение прямой

Кривая будет лежать ниже прямой (рис. 31). Рассмотрим точкиN (x, Y) и М (х, у) у которой абсциссы одинаковы, а У - у = MN. Рассмотрим длину отрезка MN

Найдем

Итак, если точка М, двигаясь по гиперболе в первой четверти удаляется в бесконечность, то ее расстояние от прямой
уменьшается и стремится к нулю.

В силу симметрии таким же свойством обладает прямая
.

Определение. Прямые к которым при
кривая неограниченно приближается называются асимптотами.

И
так, уравнение асимптот гиперболы
.

Асимптоты гиперболы располагаются по диагоналям прямоугольника, одна сторона которого параллельна оси ох и равна 2а, а другая параллельна оси оу и равна 2в, а центр лежит в начале координат (рис. 32).

П 7. Эксцентриситет и директрисы гиперболы

r 2 – r 1 = ± 2a знак + относится к правой ветви гиперболы

знак – относится к левой ветви гиперболы

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами.

. Так как c > a, ε > 1

Выразим фокальные радиусы гиперболы через эксцентриситет:

Определение . Назовем прямые
, перпендикулярные фокальной оси гиперболы и расположенными на расстоянии от ее центра директрисами гиперболы, соответствующие правому и левому фокусам.

Т
ак как для гиперболы
следовательно, директрисы гиперболы, располагаются между ее вершинами (рис. 33). Покажем, что отношение расстояний любой точки гиперболы до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная и равная ε.

П. 8 Парабола и ее уравнение

О
пределение.
Парабола есть геометрическое место точек равностоящих от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой называемой директрисой.

Чтобы составить уравнение параболы примем за ось х прямую, проходящую через фокус F 1 перпендикулярную к директрисе и будем считать ось х направленной от директрисы к фокусу. За начало координат возьмем середину О отрезка от точки F до данной прямой, длину которого обозначим через р (рис. 34). Величину р назовем параметром параболы. Точка координат фокуса
.

Пусть М (х, у) – произвольная точка параболы.

Согласно определению

у 2 = 2рх – каноническое уравнение параболы

Для определения вида параболы преобразуем ее уравнение
отсюда следует . Следовательно, вершина параболы находится в начале координат и осью симметрии параболы является ох. Уравнение у 2 = -2рх при положительном р сводится к уравнению у 2 = 2рх путем замены х на –х и ее график имеет вид (рис. 35).

У
равнение х 2 = 2ру является уравнением параболы с вершиной в точке О (0; 0) ветви которой направлены вверх.

х
2 = -2ру – уравнение параболы с центром в начале координат симметричная относительно оси у, ветви которой направлены вниз (рис. 36).

У параболы одна ось симметрии .

Если х в первой степени, а у во второй, то ось симметрии есть х.

Если х во второй степени, а у в первой, то ось симметрии есть ось оу.

Замечание 1. Уравнение директрисы параболы имеет вид
.

Замечание 2. Так как для параболы , то ε параболы равен 1. ε = 1 .

1. Общее уравнение кривых второго порядка.

Всякое уравнение второй степени относительно х и у, то есть уравнение вида

где - заданные постоянные коэффициенты, причем
, определяет на плоскости линию, которую принято называть кривой второго порядка. Верно и обратное. Существует четыре вида кривых второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола. Все они могут быть получены путем сечения конуса плоскостью и потому их еще называют кониками.

Уравнения кривых можно получить исходя из их геометрических свойств как некоторого геометрического места точек, удовлетворяющего определенным условиям.

2. Окружность. Окружностью называют геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Если r – радиус окружности, а точка С() – ее центр, то уравнение окружности имеет вид:

. (12.2)

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности имеет простейший – канонический вид: .

Пример14. Составить уравнение окружности, проходящей через точки
А(5; 0) и В(1; 4), если центр ее лежит на прямой х – у – 3 = 0.

Найдем координаты точки М – середины хорды АВ:

, то есть М(3; 2).

Центр окружности находится на перпендикуляре, восстановленном из середины отрезка АВ. Составим уравнение прямой АВ:

, или х + у – 5 = 0.

Угловой коэффициент прямой АВ равен -1, следовательно угловой коэффициент перпендикуляра . Уравнение перпендикуляра

у – 2 = 1(х – 3), или х – у – 1 = 0.

Центр окружности С лежит на прямой х + у – 3 = 0 по условию задачи, а также на перпендикуляре х – у – 1 = 0, то есть координаты центра удовлетворяют системе уравнений:

х – у – 3 = 0

х – у – 1 = 0.

Отсюда х = 2, у = 1, и точка С(2; 1).

Радиус окружности равен длине отрезка СА:

Уравнение окружности: (х – 2) 2 +(у-1) 2 = 10.

3. Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная , большая чем расстояние между фокусами. Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

. (12.3)

Здесь - большая полуось эллипса, - малая полуось, причем если расстояние между фокусами равно 2с, то . Величина называется эксцентриситетом эллипса и характеризует меру сжатия. Так как с < , то < 1. Расстояния от некоторой точки М, расположенной на эллипсе, до фокусов называются фокальными радиус-векторами этой точки. Фокальные радиус-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса по формулам: .

Прямые и называются директрисами эллипса. Директрисы эллипса обладают следующим свойством: если r – фокальный радиус-вектор точки М, d – расстояние от этой точки до односторонней с фокусом директрисы, то .


Пример15. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16.

По условию задачи Уравнение директрис ; расстояние между директрисами , отсюда ; так как , то , то есть с = 2.

Так как , то .

Уравнение эллипса: .

Замечание: если в каноническом уравнении эллипса , то фокусы эллипса лежат на оси ординат и ; уравнения директрис: ; фокальные радиус-векторы определяются по формулам: .

Пример 16. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между фокусами 2с = 24, эксцентриситет .

Каноническое уравнение эллипса имеет вид: .

По условию задачи с = 12. так как , то , то есть .

Так как , то .

Уравнение эллипса: .

4. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная , меньшая, чем расстояние между фокусами ().

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

, (12.4)

где .

Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки и называют вершинами гиперболы. Отрезок называют вещественной осью гиперболы, а отрезок , соединяющий точки и , - мнимой осью. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых . Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые, заданные уравнениями называют директрисами гиперболы. Фокальные радиус-векторы правой ветви гиперболы: .

Фокальные радиус-векторы левой ветви гиперболы: .

Уравнение так же является уравнением гиперболы, но вещественной осью этой гиперболы служит отрезок оси OY длины . Точки и служат вершинами гиперболы. Ветви гиперболы расположены в верхней и нижней части координатной плоскости. Две гиперболы и называют сопряженными гиперболами.

Пример17. Эксцентриситет гиперболы равен . Составить простейшее уравнение гиперболы, проходящей через точку М().

По определению эксцентриситета, имеем , или .

Но , следовательно . Так как точка М() находится на гиперболе, то . Отсюда .

Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид: .

Пример 18. Угол между асимптотами гиперболы равен 60 о. Вычислить эксцентриситет гиперболы.

Угловой коэффициент асимптоты гиперболы
. Эксцентриситет гиперболы
.

Подставляя значение углового коэффициента, получим

.

Пример 19. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку
М(9; 8), если асимптоты гиперболы заданы уравнениями .

Из уравнения асимптоты имеем . Так как точка М(9; 8) принадлежит гиперболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, то есть .

Для отыскания полуосей гиперболы, имеем систему:

Решив систему, получим Искомое уравнение гиперболы имеет вид: .

5. Парабола. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой. Если директриса задана уравнением , а фокус находится в точке F(), то уравнение параболы имеет вид:

. (12.5)

Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс.

Уравнение является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат.

Длина фокального радиус-вектора параболы определяется по формуле .

Пример 20. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси OY и отсекающей на биссектрисе первого и третьего координатных углов хорду длиной 8 .

Искомое уравнение параболы имеет вид .

Уравнение биссектрисы у = х. Определим точки пересечения параболы и биссектрисы:

Решив систему, получим О(0; 0) и М(2р; 2р).

Длина хорды ОМ = .

По условию имеем: ОМ = 8 , откуда 2р = 8.

Искомое уравнение параболы .

Уравнение плоскости

В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени относительно неизвестных х, у и z и каждое уравнение первой степени с тремя неизвестными определяет плоскость.

Возьмем произвольный вектор с началом в точке . Выведем уравнение геометрического места точек М(x,y,z), для каждой из которых вектор перпендикулярен вектору . Запишем условие перпендикулярности векторов:

Полученное уравнение линейное относительно x, y, z, следовательно, оно определяет плоскость, проходящую через точку перпендикулярно вектору . Вектор называют нормальным вектором плоскости. Раскрывая скобки в полученном уравнении плоскости и обозначая число
буквой D, представим его в виде:

Ax + By + Cz + D = 0. (13.2)

Это уравнение называют общим уравнением плоскости . А, В, С и D – коэффициенты уравнения, А 2 + В 2 + С 2 0.

1. Неполные уравнения плоскости.

Если в общем уравнении плоскости один, два или три коэффициента равны нулю, то уравнение плоскости называют неполным. Могут представиться следующие случаи:

1) D = 0 – плоскость проходит через начало координат;

2) А = 0 – плоскость параллельна оси Ох;

3) В = 0 – плоскость параллельна оси Оу;

4) С = 0 – плоскость параллельна оси Оz;

5) А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости ХОY;

6) А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости ХОZ;

7) В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости YOZ;

8) А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох;

9) В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу;

10) С = D = 0 – плоскость проходит через ось Оz;

11) А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью XOY;

12) А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью XOZ;

13) С = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью YOZ.

2. Уравнение плоскости в отрезках.

Если в общем уравнении плоскости D 0, то его можно преобразовать к виду

, (13.3)

которое называют уравнением плоскости в отрезках. - определяют длины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

3. Нормальное уравнение плоскости.

Уравнение

где - направляющие косинусы нормального вектора плоскости , называют нормальным уравнением плоскости. Для приведения общего уравнение плоскости к нормальному виду его надо умножить на нормирующий множитель :
,

при этом знак перед корнем выбирают из условия .

Расстояние d от точки до плоскости определяют по формуле: .

4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Возьмем произвольную точку плоскости М(x,y,z) и соединим точку М 1 с каждой из трех оставшихся. Получим три вектора . Для того, чтобы три вектора принадлежали одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Условием компланарности трех векторов служит равенство нулю их смешанного произведения, то есть .

Записывая это равенство через координаты точек, получим искомое уравнение:

. (13.5)

5. Угол между плоскостями.

Плоскости могут быть параллельны, совпадать или пересекаться, образуя двугранный угол . Пусть две плоскости заданы общими уравнениями и . Чтобы плоскости совпадали, нужно, чтобы координаты любой точки, удовлетворяющей первому уравнению, удовлетворяли бы и второму уравнению.

Это будет иметь место, если
.

Если , то плоскости параллельны.

Угол , образованный двумя пересекающимися плоскостями, равен углу, образованному их нормальными векторами. Косинус угла между векторами определяется по формуле:

Если , то плоскости перпендикулярны.

Пример 21 . Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки и перпендикулярно к плоскости .

Запишем искомое уравнение в общем виде: . Так как плоскость должна проходить через точки и , то координаты точек должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставляя координаты точек и , получаем: и .

Из условия перпендикулярности плоскостей имеем: . Вектор расположен в искомой плоскости и, следовательно, перпендикулярен нормальному вектору: .

Объединяя полученные уравнения, имеем:

Решив систему, получим: , , , .

Искомое уравнение имеет вид: .

Второй способ. Нормальный вектор заданной плоскости имеет координаты . Вектор . Нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярен вектору и вектору , т.е. коллинеарен векторному произведению . Вычислим векторное произведение:
.

Вектор
. Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

Или искомое уравнение.

Дано уравнение эллипса .

Решение:

Запишем уравнение эллипса в каноническом виде:
.

Отсюда
. Используя соотношение
, находим
. Следовательно,
.

По формуле найдем.

Уравнения директрис
имеют вид
, расстояние между ними
.

По формуле
находим абсциссу точек, расстояние от которых до точкиравно 12:

. Подставляя значениеx в уравнение эллипса, найдем ординаты этих точек:.

Таким образом, условию задачи удовлетворяет точка A(7;0).

Задача 56.

Составить уравнение эллипса, проходящего через точки .

Решение:

Уравнение эллипса ищем в виде
.

Так как эллипс проходит через точки
, то их координаты удовлетворяют уравнению эллипса:
. Умножая второе равенство на (-4) и складывая с первым, находим
.

Подставляя найденное значение в первое уравнение, найдем
. Таким образом, искомое уравнение
.

Задача 57.

;
.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точекиесть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между точкамии).

Точки иназываютсяфокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно
. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусовиобозначим через. По условию,
.

,

где
‑ координаты произвольной точки гиперболы,

.

Уравнение
называетсяканоническим уравнением гиперболы.

У гиперболы две асимптоты
.

Эксцентриситетом гиперболы называется число. Для любой гиперболы
.

Фокальными радиусами точки гиперболы называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусамии. Их длиныизадаются формулами:


Прямые
называются директрисами гиперболы. Как и в случае эллипса, точки гиперболы характеризуются соотношением.

Задача 58.

Найти расстояние между фокусами и эксцентриситет гиперболы
.

Ответ:
.

Задача 59.

Написать каноническое уравнение гиперболы, если (
). Определить эксцентриситет гиперболы.

Ответ:
.

Задача 60.

Написать каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, если она проходит через точку
, а эксцентриситет равен
.

Ответ:
.

Задача 61.

Найти уравнения гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы в вершинах эллипса
.

Ответ:
.

Задача 62.

Определить геометрическое место точек
, расстояния от которых до прямой
вдвое меньше, чем до точки
.

Ответ:
.

Задача 63.

Составить уравнение гиперболы симметричной относительно системы координат, если она проходит через точки
,
.

Ответ:
.

Задача 64.

Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнением
, и гипербола проходит через точку
.

Ответ:
.

Задача 65.

Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям:

.

Парабола

Параболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки
(фокуса) и данной прямой(директрисы).

Для вывода канонического уравнения параболы ось
проводят через фокус
перпендикулярно директрисев направлении от директрисы к фокусу; начало координат берут в середине отрезка между фокусом
и точкой
пересечения оси
с директрисой. Если обозначить черезрасстояние фокуса от директрисы, то
и уравнение директрисы будет иметь вид
.

В выбранной системе координат уравнение параболы имеет вид:
. Это уравнение называетсяканоническим уравнением параболы .